Esercizi di IDRAULICA

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1 Andrea alzano Eserz d IDRALIA Yu Q f < nverstà degl Stud d aglar Faoltà d Ingegnera Dpartmento d Ingegnera del Terrtoro Marzo 004

2 APITOLO IDROSTATIA.

3 Eserzo. La paratoa lndra A d peso P, avente ome drettre l quarto d ronferenza d entro e raggo R, è nernerata n e semplemente appoggata n A. Dat l peso spefo del lqudo, dento, ontenuto ne due ompart,, ed l lvello della superfe lbera nel serbatoo, determnare la poszone della superfe lbera nel omparto n ondzon d equlbro lmte della paratoa (oè tale he un ulterore aumento d lvello nel omparto determn l apertura della paratoa). Dat: peso spefo del lqudo, ; peso propro della paratoa, P ; poszone della superfe lbera nel omparto ; dat geometr. S andamento presson omparto P G P S R andamento presson omparto A 90 Fgura. La ondzone d apertura npente s realzza quando s annulla l momento rsultante delle dstrbuzon d pressone sulle due fae della paratoa e del suo peso propro, ol he è nulla la reazone vnolare del semple appoggo n A. Nel aso lo spessore della paratoa possa onsderars trasurable, e però le due superf possano essere onsderate ome le due fae della stessa superfe geometra, s verfa falmente he la somma algebra delle due dstrbuzon d pressone sulle due fae è una dstrbuzone unforme radale d valore, pohé, punto per punto, la dfferenza degl affondament del punto rspetto a due pan de arh drostat è ostante e par al dslvello.

4 nognto,, delle superf lbere ne due ompart del serbatoo. Per smmetra, la spnta drostata rsultante sulla paratoa è data pertanto da un vettore S avente la bsettre dell angolo A Ĉ ome retta d azone, rvolto ome l vettore G, e d modulo per untà d lunghezza n profondtà (drezone normale al pano del dsegno) S A, ossa par alla spnta sulla superfe pana proezone della paratoa lndra su un pano perpendolare alla bsettre d A Ĉ (l ragonamento è a analogo a quello medante l quale s dmostra l metodo d determnazone delle spnte drostathe per omponent). Assmlando la paratoa ad un aro d erho omogeneo, l suo barentro, ove è applato l peso propro, è stuato sulla bsettre dell angolo A Ĉ, a dstanza G R sen / dal entro dell aro d ronferenza sezone della paratoa lndra nel pano del dsegno, ove s è posto AĈ. Per l aso rportato n Fgura., s alolano bra del peso P e della spnta S rspetto al polo, dat rspettvamente da: P Gos G / Rsen R /. S La ondzone d equlbro lmte alla rotazone attorno al polo è data da: P S S, P n u è la dmensone n profondtà della paratoa, Sosttuendo dat del problema per l aso n Fgura., s ha: on l angolo espresso n radant, da u nfne: sen R PR os R sen, os P os P. R R Sulla base d tale espressone, s può determnare l modulo della spnta del lqudo: P 4P S. os S osserv he, n generale, la paratoa è soggetta a una forza rsultante delle presson e del peso propro non nulla, ma avente nullo soltanto l momento rspetto alla ernera. La reazone d quest ultma, pertanto, è anh essa non nulla e neessara per l equlbro della paratoa. Essendo nullo l momento della forza P S rspetto al punto, essa deve passare per detto punto. Inoltre, essa passa anhe per l barentro dell aro d erho drettre della paratoa lndra, n quanto per tale punto passano sa P he S. È pertanto possble determnare la forza S on un metodo grafo, ongungendo on un segmento punt e G e determnando la forza agente sulla bsettre dell aro d erho he determna, sommata vettoralmente on l peso P, una rsultante parallela alla ongungente G..

5 Eserzo. Determnare le spnte he s sarano sulle flange AA e delle testate del serbatoo n Fgura.. Dat: peso spefo del lqudo ontenuto nel serbatoo, ; msura del manometro semple, ; peso spefo del lqudo manometro, m; dat geometr (a, D, ). La poszone del pano de arh drostat s determna mponendo l uguaglanza de valor della pressone determnat per l menso m n funzone degl affondament dello stesso rspetto a pan de arh drostat del lqudo ontenuto nel serbatoo (nognto) e del lqudo manometro (posto alla quota del menso m):, da u s rava l affondamento. Il lqudo ontenuto nel serbatoo s trova n pressone n tutt suo punt. onseguentemente le spnte agent sulle due testate tendono a separare queste ultme dal orpo del serbatoo. m p... traa della retta d sponda retta d sponda y X a m m m A GxG D G x0 A x X Sezone X-X Fgura. Il modulo della spnta sulla testata rolare pana AA s ottene ome prodotto della pressone nel barentro della sezone per l area della superfe rolare:.4

6 S AA pg AA G La spnta S AA è applata al entro d spnta, posto, per smmetra, sull asse x ndato n Fgura. (è nfatt nullo l momento entrfugo della sezone rolare rspetto a tale asse), al dsotto del barentro della sezone, a una dstanza da questo par al rapporto fra l momento d nerza della sezone rolare rspetto all asse orzzontale barentro gaente sul pano della sezone ed l momento stato della sezone rspetto alla retta d sponda : D 4 x I x xg d 4 0 r / 4 AA 0 M s xd r xg AA r 4x G. In tale espressone, n forza del teorema d Vargnon, s è alolato l momento stato ome prodotto dell area della superfe rolare moltplata per la dstanza del barentro della sezone dalla retta d sponda. La spnta S vene esertata sulla alotta sfera dal lqudo adaente. Pertanto, per l prnpo d azone e reazone essa è l uguale e ontrara della forza he la alotta eserta sul lqudo. Fatta questa osservazone, la spnta può determnars medante applazone dell equazone globale dell drostata ad un volume lqudo avente una parte della superfe d ontorno a ontatto on la alotta. Il volume pù semple rspondente a questo requsto è l volume W avente ome parte rmanente della superfe d ontorno la superfe rolare vertale d dametro D (ved Fgura.). 0 G W D Fgura. Tale volume lqudo è n equlbro drostato sotto l azone della 0 esertata dalla alotta, uguale e ontrara alla spnta esertata dal lqudo sulla alotta, S 0 0, della esertata dal lqudo adaente e del peso propro G. (la rappresentazone grafa fatta della forza 0 vuole on l smbolo G è stato ndato l affondamento del barentro della sezone rspetto al pano de arh drostat, msurato sempre lungo la vertale; on l smbolo x G è stata ndata la oordnata del barentro lungo l asse gaente sul pano della sezone, normale alla retta d sponda. Essendo l pano n u gae la sezone vertale, le due grandezze ondono. In generale, per una superfe pana formante un angolo rspetto all orzzontale s avrà G = x G sen..5

7 soltanto evdenzare he essa agse sulla superfe sfera: essa è ovvamente un vettore ome tutte le altre forze. D pù, essendo essa la rsultante d forze elementar tutte passant per l entro della sfera, è applable nel entro della sfera o, per le ondzon d equvalenza de sstem d forze, n qualunque altro punto della sua retta d azone, passante per l entro della sfera). L equazone globale per l volume lqudo s srve però: G 0, 0 da u l espressone della spnta erata: S 0 G G S GW x 0 Fgura.4 La forza peso è data dal prodotto del peso spefo del lqudo,, per l volume d ontrollo, W. Essa è applata nel barentro del volume lqudo, GW. La ha lo stesso modulo e lo stesso punto d applazone della spnta sulla testata pana, S AA, n quanto le due spnte, avent vers oppost, sono esertate su una denta superfe geometra avent barentr alla stessa quota. Dovendo essere l sstema delle due forze, G e, equvalente alla loro rsultante applata nel entro della alotta sfera, l punto d ntersezone delle rspettve rette d azone deve appartenere alla retta d azone della rsultante S, ome llustrato n Fgura.4. Essendo la superfe pana rolare la proezone della superfe della alotta nella drezone dell asse del serbatoo, lo stesso rsultato s ottene mmedatamente medante l metodo d alolo per omponent. Tale osservazone può anhe essere utlzzata per ravare la poszone del barentro G W, note he sano le poszon del entro della alotta e del entro d spnta della omponente orzzontale..6

8 Eserzo. Determnare n modulo, drezone e punto d applazone, la spnta esertata omplessvamente sulla valvola sfera da flud ontenut ne due ompart del serbatoo n pressone rportato n Fgura.5. Verfare l equlbro della valvola sfera nella sua sede. Dat: Peso spefo del lqudo ontenuto nel serbatoo e m del lqudo manometro; msura fornta dal manometro dfferenzale, ; peso propro della valvola, P; dat geometr (dmenson serbatoo e valvola, quote pelo lbero e mensh manometro) z p... j k X l p... g a b ara Wa W e f d r h W h ara a G b Gb pl G Gb Sezone X-X m X x Fgura.5 alolo della spnta per omponent La omponente orzzontale So della spnta esertata da flud nel omparto s rdue alla spnta fttza sulla sezone pana rolare dell apertura pratata nel setto d separazone de due ompart, a b, proezone della alotta sfera ab n drezone normale al setto d separazone. Infatt, la parte rmanente d superfe laterale della sfera ompresa nel omparto.7

9 può essere suddvsa n part le u proezon orzzontal pane sono ugual e le relatve spnte orzzontal opposte n verso (sem-alotte ae, ed e bf, f e volume la u proezone su un pano vertale è rportata, ampta, nella sezone X-X). Assumendo una poszone del pano de arh drostat del lqudo nel omparto ome n Fgura.5, e ome verso postvo delle proezon orzzontal quello delle x resent, s ha pertanto: S p p o ara a Gb b pl a Gb n u para è la pressone dell ara, par alla pressone vgente sul pelo lbero del lqudo, pgb è la pressone del lqudo del omparto alla quota del barentro Gb della sezone b, pl e Gb sono gl affondament, rspetto al pano de arh drostat del lqudo nel serbatoo, del pelo lbero e del barentro Gb rspettvamente. La omponente vertale della spnta esertata da flud nel omparto è data dalla somma algebra delle spnte vertal agent sulle proezon ortogonal de due volum Wa e W su un pano orzzontale. Assunto ome verso postvo delle proezon vertal lo stesso dell asse z, s ha: b Sv a S v p V ara gjldfb h V gjk pl h V jlh, n u V rappresenta un volume ndvduato da punt della sua sezone on un pano vertale, ontenut nel pede del smbolo. S osserv he, mentre le omponent vertal delle presson agent sulla superfe d ontorno del volume Wa sono sempre rvolte verso l basso, per l alolo della omponente vertale della spnta agente sul volume W s è dovuta suddvdere la relatva superfe d ontorno n due part, n ognuna delle qual le omponent vertal delle presson agent avessero verso onorde. S osserv anhe he la Sva è par al peso d un volume lqudo fttzo ompreso fra l pano de arh drostat e la proezone orzzontale, h, della parte della superfe d ontorno del volume Wa esposta all ara. omplessvamente, per la omponente vertale della spnta esertata da flud del omparto s ha: S S S V V V V a v v v jlh gjldfb gjk ghfb. Essa è però data dal peso d una massa lquda fttza d peso spefo e volume par alla parte del volume della valvola sfera mmersa nel lqudo del omparto. Per quanto onerne l omparto, on analoga anals s determnano le omponent orzzontale e vertale della spnta esertata sulla valvola dal lqudo del omparto : S S o G G v p W La omponente vertale della spnta esertata omplessvamente da flud ontenut ne due ompart è pertanto penamente determnata, ed uguale a una forza vertale rvolta verso l alto, d modulo par al peso d una massa lquda d volume par al volume della parte della valvola effettvamente mmersa nel lqudo e peso spefo. S v S. v Sv Vghfb W Vghdfb W W. La omponente orzzontale della spnta omplessva è data da: S o S S, pl a Gb b o o G.8

10 n u rsultano nognt tre affondament. Assumendo per omodtà ome rfermento delle quote la superfe lbera e rordando he a b, l espressone della omponente orzzontale della spnta s può srvere: S o pl a pl z pl zg b pl z pl zg b z z z z pl Gb b pl G, n u le quote del pelo lbero e de barentr delle fgure pane sono not, ome tutt dat geometr. Il valore della dfferenza d quota fra due pan de arh drostat,, s rava n funzone della msura del manometro dfferenzale,, dalla relazone: m, he, sosttuta nella equazone preedente, onsente d determnare l valore d So. alolo della spnta medante l equazone globale dell drostata p... p... traa retta d sponda z pl G Gb ara ara Wa r Wa r Wa Ga a W W GW W GS Gb b G Fgura.6 x.9

11 ome nel proedmento seguto n preedenza, la spnta totale esertata da flud sulla superfe della valvola sfera va determnata ome somma delle spnte agent sulle part della superfe stessa he s trovano ne due ompart. S llustra d seguto l proedmento per determnare la spnta esertata da flud nel omparto. Il problema può essere rsolto medante l applazone dell equazone globale dell drostata se è possble defnre una stuazone fttza n u un volume fludo, anhe dsomogeneo:. ha tutta o parte della superfe d ontorno uguale alla superfe reale sulla quale s vuole determnare la spnta;. è soggetto alla stessa dstrbuzone d presson del aso reale;. s trova n equlbro drostato nel fludo rostante. Rspondono a tal requst volum rportat n tratteggo ne serbato e n Fgura.6, entramb osttut da ara nella parte posta al d sopra del pelo lbero del lqudo e lqudo d peso spefo nella parte sottostante. Nel prmo aso l volume è materalmente a ontatto della parete del serbatoo ove, nel serbatoo reale, s trovava l apertura rolare fra due ompart; nel seondo aso l volume è nteramente rondato d fludo. Essendo l pano de arh drostat del lqudo posto nella stessa poszone relatva al pelo lbero, due volum sono soggett punto per punto alla stessa pressone, uguale anhe a quella agente n realtà sulla superfe della valvola: a asuno de due può ndfferentemente fars rfermento per la determnazone della spnta erata. È po evdente he volum fttz s trovano n ondzon d equlbro drostato on flud rostant. Lo stesso non avrebbe potuto drs d un uguale volume omogeneo d ara o d lqudo, n quanto n tale aso le superf d separazone ara-lqudo non sarebbero state osttute da pan orzzontal (pù n generale: da superf equpotenzal), ondzone neessara per l equlbro drostato. on rfermento allo shema stato d Fgura.6, l equazone globale per l volume d ontrollo s srve: G a b n u G è la forza peso agente sul volume d ontrollo, assunta par, n buona approssmazone, al peso della sola parte lquda del volume ( G W ; nel aso dell aqua 0 ara), mentre la forza d superfe è stata somposta nelle tre forze: S, agente sulla superfe sfera, uguale alla spnta erata (la rappresentazone grafa fatta della forza vuole soltanto evdenzare he essa agse sulla superfe sfera: essa è ovvamente un vettore ome tutte le altre forze. D pù, essendo essa la rsultante d forze elementar tutte passant per l entro della sfera, è applable nel entro della sfera o n qualunque altro punto della sua retta d azone, passante per l entro della sfera);, agente sulla parte d superfe pana rolare, a, posta al d sopra del pelo lbero; a b, agente sulla parte d superfe pana rolare, b, posta al d sotto del pelo lbero; S ottene pertanto la spnta esertata dal lqudo nel omparto : S G.0 a 0, la u omponente vertale, d modulo G W, s ronose essere uguale alla S v determnata on l metodo d alolo per omponent. on ragonamento del tutto analogo s determna la spnta agente sulla parte della superfe della valvola posta nel omparto, analzzando l equlbro drostato d un volume dento alla parte del volume della valvola ontenuta nel omparto, osttuto nteramente d lqudo, posto nella stessa poszone relatva rspetto al pano de arh drostat del lqudo del omparto, ome llustrato n Fgura.7. b

12 0 G S ha pertanto: Fgura.7 0, 0 G n u S è la spnta esertata sulla valvola dal lqudo del omparto e G W è par alla omponente vertale della spnta Sv determnata on l metodo per omponent. S ottene però: da u l espressone della spnta totale: S, 0 G S S, S G G la u omponente vertale s è ronosuto essere uguale alla S W W metodo d alolo per omponent. ha drezone orzzontale e modulo: Il vettore a b 0 x pl a Gb b G, a b v 0 determnata on l par al valore assoluto della omponente orzzontale S o determnata on l metodo per omponent. Introduendo le relazon fra gl affondament pl, Gb e G e la formula del manometro dfferenzale ome gà fatto nel aso preedente, s determna l valore d S. La rappresentazone grafa qualtatva della spnta S e delle forze omponent evdenzate nell anals stata è rportata nella Fgura.8. x o S o 0 S v S G G a b Fgura.8.

13 La rsultante S forma on l orzzontale un angolo artg S / S S Sv So ed ha modulo. Essendo la rsultante d forze elementar d pressone puntualmente perpendolar alla superfe sfera e però passant tutte per l entro della sfera, la spnta S è applata essa stessa nel entro della sfera. Per le ondzon d equvalenza de sstem d forze, è nfatt onsentto fare sorrere tal omponent nfntesme lungo le rspettve rette d azone fno al entro della sfera e v effettuarne la omposzone per ottenere la spnta rsultante, S. Le poszon potzzate per sngol pan de arh drostat sono assolutamente arbtrare e non verfabl, n mananza d ulteror nformazon, anhe suessvamente alla determnazone della spnta omplessva. Alle stesse onluson sulla determnazone della spnta s sarebbe potut gungere nel aso n u entramb serbato fossero stat potzzat n depressone, ovvero avent pan de arh drostat sezonant l volume della valvola, purhé on l p... al d sopra del p... della quanttà, ome mposto dalla poszone de mensh del manometro dfferenzale. ondzone d equlbro della valvola nella sua sede La valvola è soggetta, oltre he alla spnta de flud, al peso propro ed alla reazone vnolare esertata dal ontorno rolare dell apertura pratata nel setto d separazone de due ompart. Quest ultma è una reazone d semple appoggo dstrbuta su tale ontorno (la u rappresentazone n Fgura.9 è del tutto qualtatva quanto all effettvo andamento degl sforz resstent), equvalente ad una forza orzzontale dretta nel verso negatvo dell asse delle x ome preedentemente defnto, applata n un punto ntermedo fra punt Q e T, rspettvamente d massma e d mnma quota del ontorno rolare. Essa è pertanto n grado d produrre unamente un momento MVQ avente verso d rotazone oraro rspetto al punto Q ed uno MVT d verso antoraro rspetto al punto T. Nel aso la valvola sa omogenea o, omunque, abba una dstrbuzone d massa a smmetra sfera (p.es. una sfera ava avente spessore della parete sfera ostante e denstà del materale osttuente unforme), anhe l peso propro della valvola è applato nel entro della sfera, osttuente l barentro della valvola, e per tale punto passa però anhe la rsultante R. Pertanto, dovendos la forza totale agente sulla valvola e le reazon vnolar equlbrars (quanto a rsultante e momento rsultante), s ha he le stuazon d equlbro possbl per la valvola sono quelle per le qual la retta d azone della rsultante R S P della spnta de flud e del peso propro ntersea la sezone rolare dell apertura. Le ondzon lmte d equlbro della valvola onsstono nel passaggo della retta d azone della rsultante R per l punto Q o per l punto T, on rotazone npente della valvola rspetto allo stesso punto. Nella parte destra della Fgura.9 sono rportate le due ondzon d equlbro lmte e due ondzon d dsequlbro a partà d spnta de flud, ossa, per var valor del peso propro della valvola. In partolare, la rotazone della valvola rspetto al punto Q avverrà qualora essa abba peso propro nferore alla omponente vertale della spnta de flud, ossa, al peso del volume sfero osttuto da flud he esertano la pressone sulla superfe della valvola, d modulo W W, ome determnat nell anals stata del sstema; avverrà attorno al punto T se nvee l peso della valvola è maggore d detto volume fludo. Il problema della determnazone de valor rt orrspondent del peso della valvola s rsolve semplemente mponendo he la retta d azone della rsultante R form on l orzzontale un angolo : v o Naturalmente, la onseguente ondzone d sforzo sul bordo della ronferenza determnerà l effettva possbltà del vnolo d esertare la reazone o, n alternatva, l ollasso del vnolo..

14 Sv P S sen P tan S S os o S R u MR Q T R P MV R Q lm R T lm R d Fgura.9 In modo del tutto analogo, per un fssato valore del peso propro della valvola s può nvee determnare un valore lmte della msura del manometro dfferenzale al d sotto della quale l equlbro non è pù possble. S utlzza anora la relazone su rportata, n u S dpende dalla msura seondo quanto esposto n preedenza nella soluzone del prmo problema. In tale aso, l segno da assumere a seondo membro è uno e dpende dal verso della omponente vertale della rsultante R. 0 Eserzo.4 Determnare l modulo della forza assale F he oorre applare al pstone a testata sfera perhé questo rmanga n equlbro sotto la spnta del lqudo all nterno del omparto del serbatoo. Entramb pston sono suppost vnolat alle paret del serbatoo medante manott deal prv d attrto, a tenuta stagna. Dat: pes spef e de lqud ontenut nel serbatoo; msura del manometro semple, ; peso spefo m del lqudo manometro; pes propr de pston; dat geometr (dmenson pston, poszone pano d separazone lqud e, angolo d nlnazone pstone omparto, et.) La poszone del pano de arh drostat del lqudo posto nel omparto A del serbatoo s determna mponendo l equlbro delle presson sul menso nterno del manometro semple: m.

15 p... lqudo /A p... lqudo / p... lqudo F s G Y s GA A X Y GA G X Sezon X-X, Y-Y D d Fgura.0 da u s alola l affondamento del menso nterno dal pano de arh drostat del lqudo nel omparto A: m In modo analogo, la poszone del pano de arh drostat del lqudo s ottene mponendo l equlbro delle presson sulla superfe pana d separazone fra l lqudo ed l lqudo : s s s s La poszone del pano de arh drostat del lqudo ontenuto nel omparto s determna mponendo l equlbro del pstone nterposto fra due ompart, sotto l azone delle forze: peso propro P, noto;.4

16 spnta de lqud e nel omparto A, determnable dalla poszone, ora nota, de pan de arh drostat de lqud e nel omparto A; spnta del lqudo nel omparto, nognta; reazone vnolare del manotto deale (equvalente ad una forza trasversale R, gaente nel pano del setto d separazone de due ompart, pù una oppa d momento M ), nognta. M GA G GA GP G Fgura. A P R A tale sopo è suffente mporre l equlbro alla traslazone, espresso dalla prma equazone ardnale della stata, esprmente l annullamento della rsultante delle forze esterne applate al pstone 4 : P R 0. A Proettando l equazone vettorale lungo la drezone dell asse del pstone (perpendolare alla drezone della forza R ), vengono elmnat ontrbut della reazone del vnolare e, nel aso spefo, del peso propro del pstone, avendo quest ultmo asse orzzontale. In funzone de modul delle omponent assal delle spnte de lqud s srve: 0. Aa Dall anals delle dstrbuzon d pressone sulle part della superfe laterale del pstone radent ne due ompart, è fale onvners he tal omponent assal sono date dalle spnte sulle superf pane rolar date: per l omparto A, dalla proezone della sezone retta dello stelo del pstone sulla superfe della testata dello stesso (ndata n Fgura. dalle lnee d proezone tratteggate); per l omparto, dalla stessa sezone retta dello stelo. È nfatt evdente he nel omparto tale parte della superfe d ontorno del pstone è l una ad avere normale on omponente non nulla lungo l asse. Nel omparto A, oltre a part d superfe d ontorno avent anh esse normale ortogonale all asse, ontrbut delle due orone rolar denthe poste sulle due fae della testata sono ugual e ontrar, essendo tal fae poste nella stessa poszone relatva a pan de arh drostat de due lqud. Avendo tal superf uguale area, la ondzone d equlbro alla traslazone assale del pstone s tradue nella uguaglanza delle presson agent su relatv barentr, da u nfne s rava la poszone del pano de arh drostat del lqudo del omparto : GA G G GA a 4 La rsultante della oppa è nulla per defnzone..5

17 F F S M P R Fgura. Il modulo della forza assale F he tene l equlbro l pstone s può determnare, ome nel aso preedente, mponendo l equlbro alla traslazone del pstone: S P R F 0, n u S è la spnta he l lqudo eserta sul pstone, rsultante della dstrbuzone d presson agent sulla parte della superfe laterale del pstone nterna al serbatoo. Proettando l equazone ardnale della stata lungo l asse, assumendo ome verso postvo delle proezon l verso opposto a quello potzzato per la forza F e assumendo he la omponente assale della spnta S abba verso postvo, s srve: S a P sen F 0, dove, anora, le reazon vnolar sono state elmnate dall operazone d proezone. La spnta S può determnars medante applazone dell equazone globale dell drostata ad un volume lqudo fttzo, uguale geometramente al volume della parte del pstone nterna al serbatoo, osttuto dal lqudo (o da altro lqudo d uguale peso spefo, ), posto nella stessa poszone relatva rspetto al pano de arh drostat. Tale volume fttzo è quello ndato n Fgura. on Vabde. Per ome è stato selto, evdentemente l volume fttzo subse dal lqudo all nterno del serbatoo una spnta uguale ad S. Essendo n realtà nteressat alla proezone d tale spnta lungo l asse, S a, osservando he sulla superfe laterale dello stelo del pstone le presson sono ovunque normal all asse, s può anhe onsderare, n luogo della spnta omplessva rsultante della dstrbuzone d presson agente sulla ntera superfe d ontorno del pstone nterna al serbatoo la omponente assale della spnta agente sul volume Vbd, he, per quanto detto, è denta alla S a. L equazone globale dell drostata applata al volume lqudo Vbd s srve: G 0, 0 dove G è l peso del volume lqudo, 0 è la spnta agente sulla superfe sfera della testata del.6

18 pstone, la u omponente assale è uguale alla S a e è la forza d superfe agente sulla parte resdua della superfe d ontorno del volume, osttuta dalla sezone retta, rolare, dello stelo del pstone. p... lqudo / F p... lqudo serbatoo fttzo a b d e traa della retta d sponda p... 0 G x G G x0 0 0 G S G V G G G S G V G Fgura..7

19 Il modulo della forza G è dato dal prodotto del volume per la denstà del lqudo: G V La forza è applata nel barentro del volume lqudo GV, l quale gae sull asse del pstone, spostato da parte opposta dello stelo del pstone rspetto al entro della sfera GS. Il modulo della è dato dal prodotto della pressone nel barentro della superfe pana rolare, G, per l area della sezone: bd. pg G d 4, n u G è l affondamento del barentro della sezone rolare rspetto al pano de arh drostat e d è l dametro della sezone rolare. Il vettore è applato nel entro d spnta della sezone rolare, posto sulla retta d massma pendenza del pano della sezone, passante per l entro del erho, da parte opposta della retta d sponda rspetto al entro della ronferenza, ad una dstanza da quest ultmo par a: x 0 I 0 I 0 I 0 M s xg d, xg 4 dove I0 è l momento d nerza della sezone rolare alolato rspetto all asse barentro orzzontale gaente sul pano della sezone e MS l momento stato della sezone rspetto alla retta d sponda 5. La spnta nognta è data da: 0 G, rappresentata grafamente nella Fgura.. Essendo la rsultante d una dstrbuzone d presson drette verso l entro della sfera (normalmente alla sua superfe), la spnta 0 è essa stessa applata nel entro della sfera. Dovendos tale punto d applazone poters ottenere anhe traslando le forze G e lungo le rspettve rette d azone e omponendole nel punto d ntersezone d tal rette, deve avers he la retta d azone della spnta 0, passante per l entro della sfera, deve passare anhe n tale punto d ntersezone, ome mostrato nella Fgura.. La omponente assale della spnta trovata è data da: 0 a G sen, per u la ondzone d equlbro alla traslazone assale del pstone s rsrve: S a G sen Psen F 0, dalla quale s rava, nfne, l valore del modulo della forza F rhesto: F d F G sen P sen G V 4 bd sen P sen 5 alolato, per l teorema d Vargnon, ome prodotto dell area della sezone per la dstanza del barentro della sezone dalla retta d sponda..8

20 ) Assegnate tutte le dmenson geometrhe, pes spef e m, la forza vertale F agente sul pstone (omprendente anhe l peso propro del pstone), l'ndazone del manometro dfferenzale, determnare la spnta he trattene nella propra sede la valvola ona ) Assegnat la msura del manometro metallo n n kp/m, pes spef e m e tutt dat geometr, determnare la msura del manometro semple a lqudo,.

21 ) Assegnat la msura del manometro dfferenzale, pes spef,, e m (on m >> e > > ) e tutt dat geometr, determnare la spnta he trattene nella propra sede la valvola ona. 4) Assegnat la msura del manometro semple a lqudo, l peso propro del pstone P, pes spef e m e tutt dat geometr, determnare la spnta sul fondello sfero.

22 5) Assegnat pes spef, e m, le profondtà h ed h e tutt dat geometr, determnare la msura del manometro dfferenzale e la spnta sulla paratoa a settore. 6) Assegnat la msura del manometro metallo pm n bar, pes spef, e m e tutt dat geometr, determnare la spnta he s sara su bullon he fssano l manometro semple a lqudo al serbatoo.

23 7) Assegnate le quote h ed h, pes spef e m e tutt dat geometr, determnare l'ndazone del manometro dfferenzale ne as (a) e (b). 8) Assegnat l peso spefo, la poszone del pano d separazone fra l lqudo e l'ara soprastante e tutt gl altr dat geometr, determnare l peso propro del seho apovolto, n equlbro nelle ondzon ndate n fgura 4

24 9) Assegnat l peso spefo, le dmenson del pstone e della ampana, la poszone del pano d separazone fra l lqudo e l'ara soprastante e tutt gl altr dat geometr, determnare la forza da applare al pstone e la forza da applare alla ampana per mantenere l sstema n equlbro. 0) Assegnat l peso spefo ed dat geometr, determnare la spnta sul fondo ono del repente lndro ndato n fgura. 5

25 ) Assegnat la msura del manometro semple a lqudo, l peso propro P del operho semsfero, la poszone del pano d separazone fra l'ara ed l lqudo sottostante, pes spef, e m e tutt dat geometr, determnare la forza F neessara a sollevare l operho. ) Assegnat le altezze h ed h, l peso spefo e tutt gl altr dat geometr, determnare la spnta sul repente trono-ono on setto ndato n fgura e l'ndazone del manometro dfferenzale, l u lqudo manometro posseda peso spefo. 6

26 APITOLO ORRENTI IN PRESSIONE.7

27 Eserzo. Determnare la portata fluente dal serbatoo A n ondzon d moto permanente. alolare la spnta he s sara sulla flanga d ollegamento del onvergente alla ondotta. Dat: dat geometr (lunghezze, dametr e sabrezze de tre tratt, dametro dell ugello del onvergente, lvello del lqudo nel serbatoo, quota dell asse della ondotta, oeffente d ontrazone); peso spefo del lqudo onvoglato,. A D D D L L L z Fgura. In generale una orrente può essere suddvsa n tratt ne qual essa può onsderars gradualmente varata, n u le traettore hanno urvatura trasurable e lo stato d tensone n una sezone normale al moto è dato n buona approssmazone da una pressone varable on legge drostata, e da tratt n u ò non s verfa neanhe approssmatvamente, avendo le traettore urvatura apprezzable. In una orrente gradualmente varata la dstrbuzone d pressone n una sezone normale (he n tal aso s de regolare, essendo essa pana e le velotà normal n ogn punto) obbedse pertanto alla relazone: p z ost.8

28 he esprme la ostanza della quota pezometra n tutt punt della sezone. Essendo uno l valore d tale grandezza per tutt punt d una stessa sezone ndvduata da un valore dell asssa urvlnea defnta sulla lnea luogo de barentr delle sezon (asse della orrente) l andamento del aro pezometro lungo l asse della orrente può essere rappresentato da una una lnea detta lnea pezometra. In una data sezone, l alolo delle presson agent ne var punt vene pertanto eseguto on rfermento al pano orzzontale posto ad una quota par alla quota pezometra loale, sul quale dette presson sono nulle. Tale pano è evdentemente l analogo del pano de arh drostat ntrodotto n drostata al quale, tuttava, tale denomnazone è rservata. Essendo l andamento de arh pezometr delle orrent gradualmente varate (n tutt suo punt) rappresentabl per mezzo d un una lnea, tal orrent vengono anhe denomnate lnear. Il aro (energa per untà d peso) totale n un punto della sezone d una orrente gradualmente varata è dato dalla somma del aro pezometro uguale per tutt punt della sezone, ome detto e dell altezza neta loale, varable da punto a punto. Il aro totale medo nella sezone è dato da: p z g, n u Q / è la velotà meda della orrente nella sezone, Q è la portata e l area della sezone, e è l oeffente d ragguaglo dell altezza neta, dato da: d u, he nel aso d moto turbolento è molto prossmo all untà. Il aro totale medo n una sezone è pertanto rappresentable da una seonda urva arattersta, detta lnea de arh total, avente quota superore alla quota pezometra della altezza neta alolata on la velotà meda della orrente, eventualmente orretta on l oeffente d ragguaglo. Il moto d una orrente gradualmente varata è desrtto dalla equazone d blano della quanttà d moto: g t s 0 R n u 0 è lo sforzo resstente alla parete e R è l raggo draulo, defnto ome rapporto fra l area della sezone ed l permetro bagnato. La adente de arh total rappresenta pertanto la perdta d energa spefa (per untà d peso) della orrente per effetto delle resstenze al moto, per untà d lunghezza lungo l asse. Le orrspondent perdte d aro s dono però dstrbute. Nel aso d moto permanente, o stazonaro, l equazone s srve:, s J, n u J è detta adente de arh total,he, ntegrata fra due sezon a e b, fornse: s J ds. b a b a.9

29 Inoltre, l equazone d ontnutà, la u espressone generale per un fludo omprmble è: Q s t 0, trasurando la omprmbltà del lqudo, s rdue per l moto stazonaro alla: Q 0 s, per u la portata s mantene ostante sezone per sezone: Q ost. Tale onlusone è d arattere generale per un fludo nomprmble n moto stazonaro. Nel aso spefo, supponendo la ondotta realzzata d materale pratamente ndeformable (aao, ghsa, PV, poletlene ad alta denstà, et..) essa è valda anhe per l moto varo 6 d un fludo nomprmble, essendo omunque n tal aso nulla la dervata temporale loale dell area della sezone per l ndeformabltà del materale. Ne tratt ne qual la orrente non può onsderars gradualmente varata non è defnble una equazone della orrente d tpo dfferenzale. Il moto, eventualmente omprendente fenomen d dstao on relatve elevate dsspazon d energa, deve n tal aso essere studato medante l equazone globale del blano della quanttà d moto. Tpamente, per tratt d questo tpo, generalmente d svluppo lmtato, nterpost fra due tratt sed d orrent gradualmente varate, ò he nteressa n prata è determnare la varazone del aro totale fra le due sezon regolar he l omprendono, del tpo: v m v. g S bad he, per quanto detto, n tratt del domno lqudo d questo tpo non ha senso, a rgore, l traamento delle lnee pezometra e de arh total. Tuttava, ò s suole fare, onvenzonalmente, nella rappresentazone grafa, avendo però hara n mente la dfferenza sostanzale on le orrent gradualmente varate, per le qual, sole, le due urve sono defnbl rgorosamente. Per l fatto he tal tratt sono generalmente d svluppo lmtato, le relatve perdte d aro vengono dette loalzzate. Nelle rappresentazon del proflo longtudnale d una ondotta a sale dstorte, tal zone possono essere anhe rappresentate, n prata, ome una dsontnutà delle lnee pezometra e de arh total. ome d frequente aade nelle applazon tenhe, nella orrente he ha sede nella ondotta rportata n Fgura., ne tratt ne qual la orrente è gradualmente varata s ha, pù spefamente, l moto unforme, nel quale le traettore sono rettlnee e parallele, mentre tutt tratt rmanent sono nteressat da dstah d vena on ntense dsspazon loalzzate d energa. Damo d seguto un sommaro delle formule utlzzate per l alolo delle perdte d aro dstrbute e loalzzate. Perdte d aro dstrbute Formula d Dary-Wesbah: 6 Purhé non rapdamente varato; a eslusone, oè, de osddett fenomen d olpo d'arete, determnat da brushe manovre d regolazone delle ondotte e aratterzzat dalla propagazone d onde elasthe all'nterno del lqudo..0

30 J, gd n u è l numero nde d resstenza (detto anhe oeffente d resstenza, oeffente d perdta dstrbuta o fattore d attrto frton fator ne test n lngua nglese, ndato sovente on l smbolo f), dato da: 64 regme lamnare (Re < 000) Re, 5 log regme turbolento (Re > 000), olebrook-whte, Re, 7 D n u Re D / è l numero d Reynolds, è la sabrezza equvalente della parete nterna del tubo e la vsostà nemata del lqudo. La natura mplta della equazone nell nognta rhede un proedmento teratvo per la sua soluzone. Essendo l equazone del tpo x = f(x), dove x = (/) /, le terazon possono esegurs (anhe se n modo non molto effente) alolando suessvamente: x k f, 5 Re. 7 D x log x k k, assumendo ome valore nzale x0 = 0, ossa, le ondzon d moto turbolento penamente svluppato (Re = ), fnhé due valor suessv dffersono d una prefssata tolleranza. La determnazone d può anhe esegurs on l solutore automato d un foglo elettrono, o, per va grafa, medante l abao d Moody, rportato n Fgura.. Fgura.. Abao d Moody..

31 Formula d hezy:, J R n u (usualmente ndato anhe on l smbolo ) è l oeffente d hezy, alolable medante vare formule: 87 R azn; 00 Kutter; m R / 6 k s R Gaukler-Strkler; / 6 R Mannng. n La formula d hezy, partolarzzata on una delle formule elenate per l oeffente, è applable unamente ne as d moto turbolento penamente svluppato, pohé non v ompare l numero d Reynolds. onfrontando le formule d Dary-Wesbah e d hezy è tuttava possble stablre un legame fra numero nde d resstenza e oeffente d hezy: 8g. (m), (m / ), m (m / ), n (m -/ s) sono oeffent d sabrezza resent all aumentare della sabrezza, o rugostà, della parete nterna del tubo. ks = /n (m / s - ) è nvee deresente all aumentare della sabrezza della parete. I valor de oeffent d sabrezza s trovano tabellat ne manual n funzone delle arattersthe della parete del tubo. Esstono po numerose formule d orgne empra, d arattere meno generale delle due su esposte, stablte spermentalmente, e però valde, soltanto nell ntervallo de parametr per qual sono state determnate. S tratta prevalentemente d formule orma d raro utlzzo. Perdte d aro loalzzate Perdta d orda o per bruso allargamento m v m g v v m v g Fgura..

32 Perdta d mboo All mboo d una ondotta s verfa una perdta loalzzata omposta d una parte dovuta alla vsostà e, se s verfa un dstao della vena lquda, d una parte relatva al bruso allargamento he la vena subse fra la sezone ove s ha la massma ontrazone (sezone ontratta) e la sezone n u la vena oupa nuovamente l ntera ondotta. L enttà della ontrazone dpende dalla varazone della drezone delle traettore delle partelle prossme alla parete. Tpamente s onsderano tre as notevol: Imboo a spgolo vvo (non raordato), devazone d Fgura.4 Le perdte dovute alla vsostà possono essere valutate ome perdta d energa neta, alolable sulla base della orrspondente orrezone del valore della velotà torrellana nella sezone ontratta, effettuata medante l oeffente d velotà v 0.98: Q / / v v v v g g g g avendo ndato on = / l oeffente d ontrazone he, per devazone d 90 delle traettore, vale 0,6. Sosttuendo valor numer s ha: 0,98 0,06 0, 0,6 g g g. La perdta dovuta al bruso allargamento è data da: 0,409 g g 0,6 g g omplessvamente s ha pertanto una perdta d mboo par a: 0,4 g.

33 0,5 g Imboo on tubo addzonale nterno, devazone d 80, 80 Fgura.5 Il oeffente d ontrazone vale, n questo aso, = 0,5. Sosttuendo tale valore nelle espresson preedentemente ottenute per le perdte vsosa e per bruso allargamento, s ottene: g 0,98 0,58 0,5 g g v g 0,5 g,00 g,6 g Imboo ben raordato Fgura.6.4

34 0, 05 00, g Perdta per bruso restrngmento m Dm Dv v Fgura.7 In orrspondenza d un bruso restrngmento d sezone, a valle del ambo d dametro s verfa un dstao d vena, on una ontrazone d enttà dpendente dal rapporto de due dametr. onseguentemente s produe una perdta loalzzata dovuta prevalentemente al suessvo bruso allargamento he la vena subse a valle della sezone ontratta. La perdta d aro è espressa ome frazone dell altezza neta della orrente a valle: v r, g dpendente dal rapporto de dametr ome rportato nella tabella seguente (v. Manuale d Ingegnera vle remonese, edzone 98, Parte Prma, pag. 08): Tabella.. v/m 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,8,0 0,64 0,6 0,64 0,659 0,68 0,7 0,8,0 r 0,47 0,44 0,40 0,5 0,8 0, 0,0 0 ome s può vedere dalla Tabella., per v/m << s rade nel aso lmte della perdta d mboo. Perdte n tronh dvergent m Dm Dv v Fgura.8.5

35 Le perdte n tronh dvergent vengono espresse n forma smle alle perdte d bruso allargamento (Gbson): K m v v v K g, m g n u l oeffente K dpende dal valore dell angolo d apertura del dvergente,, e dal rapporto delle aree delle sezon, ome llustrato nella tabella seguente (Marh e Rubatta Meana de Flud, p. 45). Tabella m/v K 0,0 0,40 0,70 0,95,0,0,0,6,,05,00 / 0,65 0,80 0,95,00,05,05,05,05,00 /0 ome s può vedere dalla Tabella., per fssat valor delle aree delle sezon l oeffente K ha un massmo d valore maggore dell untà. Il motvo d ò rsede nel fatto he le formule d Gbson esprmono le perdte d aro he s msurano omplessvamente nel dvergente, e ontengono però, oltre alle perdte dovute alla turbolenza assoata al dstao della vena lquda, le perdte ontnue dovute alla resstenza della parete del tubo. Queste ultme, evdentemente, per fssat valor delle aree delle sezon, dmnusono all aumentare dell angolo d apertura, dmnuendo n tal modo lo svluppo dell elemento. Veversa, al tendere a zero dell angolo d apertura, le perdte omplessve aumentano ndefntamente per l fatto he, pur tendendo a zero le perdte per dstao d vena, lo svluppo dell elemento rese ndefntamente. Il valore mnmo del oeffente K s ha per = 6 7 e vale 0,. Perdte nelle urve D r Fgura.9 Le perdte loalzzate nelle urve sono proporzonal all altezza neta della orrente, seondo un oeffente d proporzonaltà dpendente dall angolo d devazone,, e dal rapporto fra l raggo d urvatura dell asse della ondotta ed l dametro del tubo: g,,r D..6

36 Ne manual l lettore può trovare una sere d espresson d perdte d aro loalzzate d vara natura (gomt, gunzon, valvole d varo tpo, saraneshe, et..) d u n questa sede s omette una desrzone partolareggata. 0,5 /g /g L L gd gd g r /g /g /g L gd A G /g D D D L L L z Fgura.0 Determnazone della portata Per l aso proposto, le perdte d aro he ntervengono fra l nterno del serbatoo A e la sezone ontratta a valle del onvergente sono, nell ordne (ved Fgura.0): A ' 0, 5 perdta d mboo; g '' ' '' Jsds ds L ' ' '' perdta dstrbuta tratto ; gd gd '' ' g perdta per bruso allargamento; ' '' ' '' '' J s ds ds L perdta dstrbuta tratto ; gd gd '.7

37 .8 g / r ' '' perdta per bruso restrngmento; L gd ds gd ds s J '' ' '' ' '' ' perdta dstrbuta tratto ; 0 ' ' perorso n ara a valle onvergente, n u per le perdte dstrbute è stata utlzzata la formula d Dary-Wesbah, dove, n termn general, D Re,. Inoltre, la ostanza de dametr de var tratt della ondotta fa sì he, essendo le velotà mede pure ostant, la adente abba valor ostant all nterno d asun tratto. Ovvamente, alla stessa onlusone s perverrebbe se vensse utlzzata per l alolo delle perdte dstrbute la formula d hezy. Sommando membro a membro le espresson delle perdte d aro ne var tratt, s ottene la forma fnta dell equazone d onservazone della quanttà d moto per la orrente (detta anhe espressone del teorema d ernoull generalzzato a flud vsos): 5 0 L gd g L gd g L gd g, r A, (.) n u: A A A A A A A p z g p z g z g p z, avendo onsderato punt del serbatoo A abbastanza lontan dall mboo della ondotta per poterne trasurare l altezza neta. Dett punt s trovano pertanto all nterno d un ampo d presson drostato, n u la quota pezometra s mantene ostante e par alla quota della superfe lbera del lqudo ontenuto nel serbatoo. Nella sezone ontratta a valle del onvergente s hanno ovunque ondzon d pressone nulla. S bad he tale sezone non è una sezone regolare. S può nfatt mostrare falmente he una dstrbuzone d pressone unforme su una sezone vertale, quale è la sezone, derva dall avere tutte le traettore passant per tale sezone urvatura non trasurable, ausata dalla aelerazone d gravtà u le partelle sono sottoposte, muovendos, da tale sezone n po, ome un grave n ara. Sosttuendo nella equazone (.) le espresson de arh total agl estrem della orrente, s ha: 0 5 L gd g L gd g L gd g, g z r A. (.) tlzzando l equazone d ontnutà nella forma = Q = ost, l equazone (.) può srvers:

38 A z Q Q Q L Q Q L Q Q L 0, 5 g g gd g gd g gd, ronduble, mettendo n evdenza quadrat delle portate he ompaono ne termn d perdta d aro e nell altezza neta nella sezone ontratta, a una forma del tpo: n u: A z KQ, K 0, 5 L r g g gd (.) g gd g gd L L Nel aso l regme d moto sa del tpo turbolento penamente svluppato, l oeffente K è penamente determnato, essendo n tal aso = (/D), potendos trasurare l termne,5/( Re) nella formula d olebrook-whte. In tal aso s rava l valore della portata dalla: A z Q. (.4) K Per verfare l aettabltà dell approssmazone oorrerà, n prata, ontrollare valor del numero d Reynolds, Re, he s ottengono, per var tratt, n orrspondenza del valore d portata determnato. Il ontrollo può essere effettuato grafamente sull abao d Moody, oppure, analtamente, faendo rfermento alla urva separatre delle zone del dagramma relatve a moto turbolento d transzone e moto turbolento penamente svluppato, la u espressone è: u* Re * 70, n u u* è la velotà d attrto, defnta ome u * 0. Rordando he 0 R J e utlzzando la formula d Dary-Wesbah, on sempl passagg s ottene l espressone d Re* n funzone delle grandezze utlzzate ne alol prat, data da: / Re*. Qualora la verfa ndasse valor d Re* propr del regme d transzone, l alolo medante la equazone (.4) andrà reterato, utlzzando n asuna terazone, per l alolo del oeffente K, valor degl nd d resstenza e de numer d Reynolds determnat nella terazone preedente. ome gà aennato, per l alolo d prmo tentatvo s potrà onvenentemente adottare l potes d moto turbolento penamente svluppato. L applazone della formula d hezy n luogo delle formule d Dary-Wesbah olebrook, essendo d valdtà lmtata al moto turbolento penamente svluppato, non omporta terazon. Naturalmente, n lnea d prnpo oorre sempre verfare le ondzon d turbolenza penamente svluppata ontrollando Re* o medante l abao d Moody. Nel aso n u l moto non rsultasse turbolento penamente svluppato, la formula d hezy sarà nsuffente e rsulterà neessaro effettuare l alolo teratvo on le formule d Dary-Wesbah olebrook..9

39 alolo della spnta sul onvergente Il alolo della spnta he l lqudo eserta sul onvergente s effettua medante applazone dell equazone globale d blano della quanttà d moto al volume d ontrollo V ompreso fra la sezone maggore del onvergente (sezone ) e la sezone ontratta, ove, ome gà detto la pressone è ovunque nulla. Adottando ome verso postvo della normale alle superf d ontorno del volume d ontrollo quello della normale esterna, l equazone globale s srve: G I M, dove: G V f dv V g dv V gzdv è la rsultante delle forze d massa, date n questo aso dalla forza peso; L S 0 M 0 0 V G 0 M Fgura. R nds pi e ui R t ds S n S S nds è la rsultante delle forze agent sulla superfe d ontorno del volume d ontrollo, omprendent gl effett dello stato tensonale omplessvo, dovuto al tensore degl sforz vsos per un fludo omprmble,, ed al tensore degl sforz turbolent, dato da u ' u ' ; I t V udv R j j è l termne d nerza loale, e M S u u n ds.0

40 è l flusso d quanttà d moto attraverso la superfe d ontorno del volume d ontrollo. Quest ultma può essere suddvsa nelle seguent quattro superf: la sezone regolare orrspondente alla sezone d area massma del onvergente, sezone ; la sezone ontratta, sezone ; la superfe laterale del trono d ono a ontatto on le paret del onvergente; la parte d superfe laterale del volume d ontrollo ompresa fra l ugello del onvergente e la sezone ontratta, esposta alla pressone atmosfera. on rfermento alla Fgura., ndhamo le forze d superfe agent sulle quattro part della superfe d ontorno rspettvamente on,, L e 0. Per quanto rguarda lo stato d sforzo, s ha, n prata, per una orrente quale quella n onsderazone, undmensonale e d lqudo nomprmble, he gl sforz turbolent e gl sforz vsos rsultano generalmente trasurabl rspetto a termn del tensore sfero delle presson, l quale solo può pertanto essere assunto, n buona approssmazone, per desrvere lo stato d tensone nel lqudo. Essendo la sezone ontratta e la superfe laterale a ontatto on l ara esposte alla pressone atmosfera, ossa, alla pressone relatva nulla, s ha onseguentemente: 0 0. La, agendo su una sezone regolare, è la rsultante d forze d pressone dstrbute drostatamente, e la sua determnazone segue però le regole per la valutazone delle spnte drostathe su superf pane. Essa è parallela all asse della ondotta e rvolta (v. Fgura.) da snstra verso destra essendo la pezometra n tale sezone soprastante l barentro della sezone. Il suo modulo è dato da (v. Fgura.0): p G G ed è applata lungo l asse vertale della sezone, ad una dstanza 0 dal entro della sezone stessa. Infne, L, essendo la forza he, materalmente, la parete nterna del onvergente eserta sul volume d ontrollo, rappresenta, per l prnpo d azone e reazone, l uguale e ontrara della spnta S erata, he l lqudo ontenuto nel volume d ontrollo eserta sul onvergente. Per quanto rguarda fluss d quanttà d moto, le superf lateral a ontatto on la parete del onvergente ed esposta all ara osttusono de tub d flusso e per ess è pertanto: u n 0, ol he rsultano null relatv fluss d quanttà d moto. Nelle sezon e le velotà rsultano d verso rspettvamente opposto e onorde on la normale esterna e normal alle sezon stesse, per u relatv fluss d quanttà d moto sono dat rspettvamente da: M S u uds e M S u uds. Introduendo l oeffente d ragguaglo delle quanttà d moto per una sezone :.

41 u d, modul possono esprmers ome: M e M, nelle qual l oeffente d ragguaglo può pors uguale ad se l moto è turbolento. onsderando he n ondzon d moto permanente s annulla l termne d nerza loale, l equazone vettorale del blano della quanttà d moto può rsrvers: da u s ottene l espressone della spnta erata: della quale è rportata la omposzone grafa: G S M M, S G M M, (.5) M S M G Fgura. Per defnre omputamente l sstema d forze la u rsultante è data da S, oorre determnare l punto d applazone d quest ultma ovvero, per maggore presone, la poszone della retta d azone d modo he l momento della spnta S rspetto ad un qualunque punto dello spazo sa uguale al momento rsultante delle dstrbuzon d forze real rspetto allo stesso punto. Metodo grafo. Il metodo grafo per la determnazone del punto d applazone d una forza s basa sulle ondzon d equvalenza de sstem d forze, he rassumamo brevemente: due sstem d forze s dono equvalent se possedono ugual rsultante e momento rsultante rspetto ad un qualunque punto dello spazo; due sstem equvalent hanno moment rsultant ugual rspetto a qualunque punto dello spazo (ambando l punto ambano valor del momento rsultante per due sstem, he s mantengono però sempre ugual fra loro);.

42 se ad un sstema d forze applate ad un orpo rgdo s sosttuse un sstema equvalente, non s altera lo stato d quete o d moto del orpo; ogn sstema d forze nello spazo equvale sempre a una forza e una oppa; un sstema d forze gaent su un pano on vettore rsultante non nullo è equvalente ad una sola forza (applata n un punto opportuno); se l vettore rsultante è nullo, l sstema equvale ad una oppa. Da tal proposzon onsegue he: dato un sstema d forze, faendo sorrere una delle forze del sstema lungo la propra retta d azone s ottene sempre un sstema equvalente. Infatt, n tal modo rmangono nvarat l vettore rsultante ed l momento rsultante del sstema. n sstema equvalente s ottene po anhe eseguendo la somma d due forze del sstema applate nel medesmo punto, dal momento he, anhe n questo aso, non varano né l vettore rsultante né, per la propretà dstrbutva del prodotto vettorale rspetto alla somma d vettor, l momento rsultante. Nel aso del onvergente, n u tutte le forze appartengono ad uno stesso pano (l pano vertale ontenente l asse della ondotta) s potrà proedere, per esempo, nel seguente modo per rdurre l sstema d forze ad una una forza (rsultante) applata n un punto opportuno (v. Fgura.):. s fanno sorrere le forze M e M, gaent sull asse della ondotta, fno al barentro del volume d ontrollo;. s sommano le due forze;. l vettore rsultante dalla somma d M e M vene sommato alla forza peso G, applata nello stesso punto; 4. l vettore rsultante dalla somma d u al punto e la forza vengono fatte sorrere lungo le rspettve rette d azone fno al punto d ntersezone delle stesse; 5. le due forze vengono sommate. In un aso trdmensonale generale, l sstema d forze equvarrà ad una oppa d momento par al momento rsultante del sstema d forze rspetto ad un qualunque punto dello spazo e da un vettore uguale al vettore rsultante del sstema, applato nel punto utlzzato per l alolo del momento rsultante. In questo modo è stata determnata sa la rsultante (n modulo, drezone e verso) he l suo punto d applazone (per meglo dre: uno de possbl punt d applazone lungo la propra retta d azone). Da un punto d vsta prato, tuttava, avendo ostruto l polgono delle forze d Fgura., la sola determnazone della retta d azone della rsultante può effettuars mponendo he l momento della rsultante rspetto ad un qualunque punto dello spazo sa uguale al momento de vettor omponent rspetto allo stesso punto. Per l arbtraretà della selta del punto rspetto al quale alolare moment, lo s potrà seglere nel modo pù onvenente. In prata, nel aso sotto esame, sarà onvenente seglere ome polo per l alolo de moment l barentro del volume d ontrollo. Rspetto a tale punto rsultano nfatt null moment de due fluss d quanttà d moto e della forza peso. Il momento rsultante del sstema d forze ha pertanto modulo par a: M r 0 e verso d rotazone antoraro. La retta d azone della rsultante S, d drezone ndvduata dalla ostruzone del polgono delle forze, dovrà pertanto trovars ad una dstanza dal barentro del volume d ontrollo, tale he rsult: 0 S (.6).

43 M V M 0 G M M V 0 G M M V 0 M M G G 4-5 V 0 M M G S M M G Fgura...4

44 e l verso d rotazone antoraro, ome mostrato n Fgura.4. Dalla equazone (.5) s rava l valore del brao. M S M G V M M 0 G Fgura.4 S Metodo analto. tlzzando strument d alolo automato (od d alolo, fogl elettron, et..) può tornare omodo dsporre d un metodo he non rheda operazon manual. A parte la possbltà d mplementare proedment graf llustrat medante le equazon della Geometra Analta, un modo pù semple per determnare uno de possbl punt d applazone della rsultante d un sstema d forze pano evtando qualunque operazone grafa onsste nell mporre separatamente le uguaglanze de moment de sngol omponent nelle due drezon degl ass oordnat (nel aso n questone: orzzontale e vertale), del sstema d forze e della rsultante rspetto ad un qualunque punto. hamat S o e S v omponent, rspettvamente, orzzontale e vertale della rsultante, determnat dal polgono delle forze, seglendo anora l barentro, d oordnate xg e yg, ome polo per l alolo de moment s mpone: yg yp So 0 e S v x x 0 G P da u s determnano le oordnate xp, yp d un punto d applazone (v. Fgura.5): x y P P x y G G 0, S o.5

45 M S v S M G M S v V M S o 0 S o G S S 0 o Fgura.5 Ovvamente, l punto d applazone osì determnato dovrà appartenere alla retta d azone della rsultante determnata preedentemente on l metodo grafo. Eserzo. Determnare la portata fluente dal serbatoo A nel serbatoo n ondzon d moto permanente (Fgura.6). alolare la spnta he s sara sulla flanga d ollegamento del onvergente alla ondotta. Dat: dat geometr (lunghezze, dametr e sabrezze de tre tratt, dametro dell ugello del onvergente, lvell del lqudo ne serbato); peso spefo del lqudo onvoglato,. Determnazone della portata La determnazone della portata s esegue n modo del tutto analogo al aso dell Eserzo. 7, salvo he, nell equazone: A 0, 5 L L L g gd r g gd g gd, (.7) denta a quella determnata n preedenza, s ha ora: A z A pa A g z A pa A z p g g, 7 S trasura la pola perdta d aro dstrbuta he ntervene fra lo sboo del onvergente e la sezone ontratta..6

46 0,5 /g L gd g L gd /g /g /g r /g L gd /g A D D D L L L z Fgura.6 essendo, questa volta, la orrente allo sboo nel serbatoo gradualmente varata, e però dotata dello stesso aro pezometro del lqudo rostante n quete, par al lvello del serbatoo d valle 8. Eseguendo l operazone d sosttuzone delle velotà n funzone della portata e delle aree delle sezon, s pervene ad una equazone nella forma: A KQ, n u l oeffente K è dato anora dalla espressone (.): K 0, 5 L r g g gd. g gd g gd L L alolo della spnta sul onvergente In questo aso l onvergente è sottoposto all azone d una spnta nterna, d tpo dnamo, e d una spnta esterna, esertata dal lqudo rostante n quete, valutable pertanto on metod utlzzat n drostata. Adottando anhe n questo aso un volume d ontrollo ompreso fra la sezone e la sezone ontratta, l equazone globale s srve anora: 8 Se ome sezone termnale della orrente se ne fosse presa una a valle della sezone ontratta, n u la velotà della orrente fosse stata ntegralmente dsspata, l termne esprmente l altezza neta della sezone ontratta avrebbe fgurato ome ultma della sere d perdte d aro a seondo membro nella equazone (.), assumendo l nome d perdta d sboo..7

47 G I M. onsderando la stessa suddvsone della superfe d ontorno del volume effettuata nel aso dello sboo n ara (Eserzo.), n u ora le spnte sulla sezone e sulla sezone laterale a ontatto on l dvergente sono ontraddstnte dal pede, s ha ora he le spnte 0 e sono non nulle. onformemente all potes utlzzata per l alolo della quota pezometra nella sezone ontratta, s suppone he esse sano spnte d tpo drostato. L S 0 V M G 0 0 M Fgura.7 Ronosendo, ome nel aso preedente, he la spnta nterna della spnta L, l espressone della spnta nterna è data ora da : S G M M, 0 S nognta è l uguale e ontrara n u: e b. Per l alolo della spnta esertata sulla superfe esterna del onvergente s onsdera lo stesso volume d ontrollo 9, n equlbro n un ampo d presson drostato (quale è ragonevole supporre, ome gà detto, l ampo d presson nel serbatoo agente sul onvergente reale). L equazone globale dell drostata, data da: G 0, 9 Trasurando lo spessore del onvergente. A rgore l volume d ontrollo onsderato per l alolo della spnta nterna è delmtato dalla parete nterna del onvergente; quello onsderato per l alolo della spnta esterna è delmtato dalla superfe esterna..8

48 Fgura.8 L S e e 0 0 e V G 0 Fgura.9 s srve, evdenzando la deomposzone delle forze d superfe: G e L e 0. La spnta esterna erata è uguale alla spnta esertata sulla parte d superfe laterale del volume d ontrollo ondente, nella realtà, on la superfe esterna del onvergente: e L 0 S..9

49 La spnta esterna è data però da: S e G 0, e e la spnta totale, somma delle spnte nterna ed esterna, da: S G M M G e M M e tot Se S 0 0, n u (ved Fgura.6): e. La spnta totale agente sul onvergente è pertanto una forza orzzontale, rportata nella omposzone vettorale d Fgura.0, avente per retta d azone l asse della ondotta. S tot e M M M M V 0 e 0 Fgura.0 Infatt, alolando l momento rsultante del sstema d forze rspetto ad un punto dell asse, s ha: M a o per u anhe la rsultante S tot ' e o I o I o o ' 0 o I M o s deve avere per retta d azone l asse della ondotta. I M o s ',.0

50 Eserzo. Determnare la portata he n regme permanente fluse fra due serbato d Fgura.. alolare la potenza nstallata a servzo della pompa e la massma portata he può flure nella ondotta. Dat: dat geometr (lunghezze, dametr e sabrezze de tre tratt, dametro dell ugello del onvergente, lvell del lqudo ne serbato); peso spefo del lqudo onvoglato, ; urva arattersta della pompa; urva del rendmento della pompa,, a numero d gr fssato. Essendo l lvello energeto totale nel serbatoo maggore he nel serbatoo A, perhé s possa stablre l flusso stazonaro dretto dal serbatoo A al serbatoo oorre fornre energa alla orrente per mezzo d una pompa (mahna operatre). G = - A Gb = A - zm_max Gm = - zm_max ondotta d mandata o premente a ondotta d asprazone m v D D D A L L zm_max L z Fgura.. Shema della ondotta d pompaggo. ontraramente al aso del funzonamento a gravtà vsto negl Eserz. e., n questo aso l andamento della lnea de arh total, nvee he essere sempre deresente, presenta un aumento nel senso del moto, on dsontnutà, fra le sezon a monte ed a valle della pompa. Qualtatvamente l andamento della lnea de arh total s può analzzare ome per as preedent, avendo ura d rspettare le ondzon al ontorno del problema, rappresentate dalle quote de pel lber ne due serbato, A e. S parte pertanto dal serbatoo A on la sequenza d perdte loalzzate e dstrbute esamnate n preedenza, fno alla sezone mmedatamente a monte della pompa. Analogamente, s proede dal serbatoo, a rtroso, fno alla sezone mmedatamente a valle della pompa, on arh total resent. In orrspondenza della pompa s deve produrre pertanto un dfferenzale d aro totale fra monte e valle detto prevalenza totale della pompa, ndato on l smbolo. Il orrspondente dfferenzale d quota pezometra:.

51 . g g p z p z g g m m v v m v m (.8) prende l nome d prevalenza manometra. Nella prata onvene determnare la prevalenza totale d una pompa n funzonamento ndrettamente, msurando la prevalenza manometra medante manometr e sommandov la dfferenza delle altezze nethe fra valle e monte della pompa,, seondo la equazone (.8). Introduendo la prevalenza totale nella equazone del moto, quest ultma, ulterormente generalzzata per estensone a mot on mmsson d energa loalzzate, s srve: Fgura. 5 0 L gd L gd g L gd g, A on: A A A A A A A p z g p z g g p z. A z /g /g /g /g 0,5 /g gd L gd L gd L g m v = v - m

52 Eseguendo la orma famlare operazone d rduzone de termn net e della perdte d aro n funzone del quadrato della portata, s ottene una equazone he lega valor d prevalenza totale rhest n funzone delle portate rolant orrspondent, detta equazone arattersta della ondotta: n u l oeffente K è dato dalla espressone: A KQ, K g 0, 5 g L gd g L gd L gd e he, s bad, presnde dalle modaltà d funzonamento della pompa. La prevalenza totale è qund somma d un termne: g A detto prevalenza geodeta, he rappresenta l mnmo valore possble della prevalenza totale n assenza d perdte d aro, on l termne esprmente le perdte d aro. Evdentemente, quest ultmo termne tende a zero al tendere all nfnto de dametr d tutt tratt della ondotta, tendendo n tal aso a zero l oeffente K. Nel aso d sboo n ara, la quota d rfermento per l alolo della prevalenza geodeta g è quella dell'asse della ondotta allo sboo. S defnsono, noltre: altezza geodeta d asprazone (ga): dfferenza d quota fra l ntradosso della sezone mmedatamente a monte della pompa ed l pelo lbero della vasa d monte (quando l'ntradosso della sezone a monte della pompa s trova a quota superore al pelo lbero): battente geodeto (gb): dfferenza d quota fra l pelo lbero della vasa d monte e l ntradosso della sezone della ondotta mmedatamente a monte della pompa (quando questa s trova a quota nferore al pelo lbero, ved Fgura., dove gb = a D/): altezza geodeta d mandata (gm): dfferenza d quota fra l pelo lbero della vasa d valle e l ntradosso della sezone della ondotta mmedatamente a monte della pompa (Fgura.): Il funzonamento della pompa è desrtto da una equazone del tpo = f(q), detta urva arattersta della pompa, d u è rportato un esempo n Fgura. (ove la prevalenza vene però ndata on l smbolo ). Nella stessa fgura sono anhe rportate, sempre per la stessa pompa, n funzone della portata: le urve della potenza assorbta all asse (Na), del rendmento (), del osddetto NPS (Net Postve Suton ead, letteralmente: aro postvo netto d asprazone) e della dfferenza delle altezze nethe fra la boa d mandata (V /g) e la boa d asprazone (V /g). Questo ultmo è l termne he, sommato alla prevalenza manometra, fornse la prevalenza totale (equazone.8). Essendo P = Q la potenza d una orrente d portata Q d un lqudo d peso spefo n una sezone n u l aro totale è par ad, la potenza he la pompa fornse alla orrente (nremento d potenza della orrente fra monte e valle della pompa), detta potenza utle, è data da: N u Q e la potenza assorbta all asse: Q N a..

53 Fgura.. urve arattersta, della potenza assorbta, del rendmento, dell NPSR e del dfferenzale delle altezze nethe mandata-asprazone per una pompa entrfuga n funzone della portata, a numero d gr ostante (n = 450 g/mn)..4