Stabilità dei sistemi lineari (2 )

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1 eori dei sistemi - Cpitolo 6 Stbilità dei sistemi lieri ( ) Criterio di Hrwitz... Clcolo dei coefficieti del poliomio crtteristico di F: forml di Sori 3 Appliczioe del criterio di Hrwitz...4 Stbilità dei sistemi lieri itercoessi...6 Itrodzioe...6 Coessioe i csct...6 Coessioe i prllelo...9 Osservzioi coclsive... 0 Stbilità dei sistemi lieri tempo-discreti... Itrodzioe... Eqzioe di Lipov el cso tempo-discreto... Asitotic stbilità d tovlori... 4 Criterio di semplice stbilità... 4 Stbilità dei sistemi lierizzti... 5 Itrodzioe: determizioe del sistem lierizzto... 5 Lierizzzioe itoro d o stto di eqilibrio... 6 Stbilità dell eqilibrio e stbilità del sistem lierizzto... 7 Esempio... 9 Osservzioe: eqzioe di scit del sistem lierizzto... Esempio... Esempio... 3 Esempio... 4 Esempio... 5 Esempio... 6 Esempio: Modello pred-predtore... 7

2 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 CRIERIO DI HURWIZ Cosiderimo sempre sistem tempo-cotio regolre, dimesioi fiite, liere, tempoivrite, libero, descritto d eqzioe di stto ell form & = F (i bse qest eqzioe, il sistem è che toomo, ossi tle che l igresso o bbi iflez sll evolzioe dello stto). Stimo stdido l stbilità di qesto tipo di sistem e bbimo ecito i precedez dei criteri di stbilità (semplice e sitotic) e di istbilità bsti sl clcolo e lo stdio degli tovlori dell mtrice di stto F: i bse qesti criteri, ciò che import, i fii di trrre coclsioi sll stbilità, è il sego dell prte rele degli tovlori di F; dto che gli tovlori di F soo le rdici del poliomio crtteristico p(λ) dell mtrice F, è dqe ecessrio determire e stdire il sego dell prte rele di qeste rdici. I reltà, ziché dre clcolre le rdici del poliomio p(λ), è sfficiete esegire degli opporti test si coefficieti del poliomio crtteristico. I prticolre, ci iteressimo d o di qesti test (dovto Hrwitz), il qle, però, preset l ic limitzioe di essere vlido SOLO qdo ttte le rdici del poliomio crtteristico p(λ) ho prte rele egtiv. Ricorddo che qesto ccde se e solo se il sistem è sitoticmete stbile, dedcimo che il criterio che ci ccigimo d esporre è ov codizioe ecessri e sfficiete per l sitotic stbilità. Prtimo dl poliomio crtteristico dell mtrice F: p ( ) λ = λ + λ + λ λ + Medite i coefficieti di qesto poliomio è possibile costrire l segete mtrice, dett mtrice di Hrwitz, di dimesioe : A = D qest mtrice possimo tirre fori miori pricipli, cioè i determiti delle sottomtrici qdrte otteibili d A elimido gl mero di righe e di coloe: D = D = det 3 0 D 3 = det Allor, il criterio di Hrwitz per l sitotic stbilità dice qto sege: Atore: Sdro Petrizzelli

3 Stbilità dei sistemi lieri - Prte eorem - Dto il sistem liere & = F, codizioe ecessri e sfficiete ffiché esso si sitoticmete stbile è che sio positivi ttti i miori pricipli dell mtrice di Hrwitz ssocit l poliomio crtteristico di F Esistoo diversi metodi per dimostrre qesto teorem. Noi o ci preoccpimo dell dimostrzioe, m è tile osservre che lce dimostrzioe si bso sll teori delle fzioi di vribile complesse, metre ltre sfrtto l teori di Lipov espost i precedez. Esistoo ltri importti risltti rigrdti l stbilità dei sistemi lieri. Uo di qesti rppreset codizioe ecessri per l sitotic stbilità di sistem. Ess si bs s pricipio di fodo rppresetto dl legme esistete tr i coefficieti del poliomio crtteristico p(λ) e le rdici del poliomio stesso (cioè gli tovlori di F): iftti, si pò verificre che... = = k= i= k= ( ) = λ k λ λ k λ λ i... λ I bse qeste relzioi sclri e i bse l criterio di sitotic stbilità secodo ci ttti gli tovlori devoo vere prte rele egtiv, si dedce che l sitotic stbilità implic che ttti i coefficieti del poliomio crtteristico sio positivi. Il risltto completo è dqe il segete: eorem - Dto il sistem liere & = F, codizioe ecessri ffiché esso si sitoticmete stbile è che sio positivi ttti i coefficieti del poliomio crtteristico di F rttdosi di codizioe solo ecessri, o è detto che, se i coefficieti di p(λ) soo ttti positivi, il sistem si sitoticmete stbile. D ltr prte, se che o solo dei coefficieti è egtivo o llo, llor possimo str certi che il sistem o si sitoticmete stbile. L coveiez di qesto risltto sbetr, perciò, qdo si bbi già disposizioe (o comqe si poss clcolre fcilmete) il poliomio crtteristico dell mtrice F. Clcolo dei coefficieti del poliomio crtteristico di F: forml di Sori Il problem priciple, per l ppliczioe degli ltimi de risltti eciti (i prticolre del criterio di Hrwitz) è evidetemete el clcolo dei coefficieti del poliomio crtteristico. Il modo più immedito di trovre qesti coefficieti è chirmete qello di clcolre il determite dell mtrice (λi-f), ossi ppto di clcolre il poliomio crtteristico. Qesto però divet difficile qdo il sistem è di grdi dimesioi; i qesti csi, è ecessrio ricorrere schemi di clcolo più efficci, tr i qli il più oto è qello che v sotto il ome di forml di Sori : dto il poliomio p ( λ) = λ + λ + λ λ +, i soi coefficieti soo dti d 3 Atore: Sdro Petrizzelli

4 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 ( trccif) = ( trccif + trccif ) 3 = trccif + trccif + trccif 3... = 3 ( ) = ( trccif trccif... trccif ) dove ricordimo che l trcci di mtrice è l somm degli elemeti sitti sll digole priciple dell mtrice stess. Qeste relzioi cosetoo dqe metodo di clcolo reltivmete rpido dei coefficieti di p(λ). Oltre qesto, è di prticolre importz l prim relzioe: iftti, se = ( trccif) e vedo i precedez detto che = λ k= k, dedcimo che trccif = λ ossi che l somm degli elemeti digoli di mtrice (ovvimete qdrt) è pri ll somm degli tovlori dell mtrice stess, che el cso i ci l mtrice o si trigolre (el ql cso gli elemeti digoli coicidoo co gli tovlori). Qesto ftto ci cosete di forire ov codizioe ecessri per l sitotic stbilità: iftti, sempre i bse l criterio di sitotic stbilità visto i precedez, se ttti gli tovlori di F devoo vere prte rele egtiv, ecessrimete l loro somm (cioè l trcci di F) deve vere s volt prte rele egtiv. Possimo perciò ecire il segete risltto: k= k eorem - Dto il sistem liere & = F, codizioe ecessri ffiché esso si sitoticmete stbile è che l trcci dell mtrice F bbi prte rele egtiv Se l mtrice di stto del sistem i esme preset trcci positiv o ll, llor il sistem o è sitoticmete stbile. Allo stesso tempo, però, se l trcci di F h prte rele egtiv, o è comqe detto che il sistem si sitoticmete stbile. Appliczioe del criterio di Hrwitz Abbimo prim detto che, i bse l criterio di Hrwitz, codizioe ecessri e sfficiete ffiché sistem liere del tipo & = F si sitoticmete stbile è che sio positivi ttti i miori pricipli dell mtrice di Hrwitz ssocit l poliomio crtteristico di F. U cso di estremo iteresse i ci qesto criterio pò essere pplicto direttmete è qello dei sistemi dimici lieri descritti, i modo empirico, trmite sol eqzioe differezile, di ordie, che leg l igresso e l scit. Vedimo di che si trtt. 4 Atore: Sdro Petrizzelli

5 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Per semplicità, sppoimo che il sistem i esme bbi solo igresso, che idichimo co ( ), ed sol scit, che idichimo co y ( ) ; sppoimo ioltre di ver trovto che i vlori isttei (t) e y(t) di tli grdezze soo legti dll segete eqzioe differezile liere: d y t d y t d ( ) ( ) y ( t ) dy( t) + y t t ( ) = ( ) dt dt dt dt U sistem descritto d qest relzioe igresso-scit pò essere descritto, i form di stto, i ifiiti modi, el seso che è possibile scegliere ifiite rppresetzioi dello stto del sistem; si dice che esistoo ifiite relizzzioi di qesto sistem, ossi ifiite tere di mtrici F,G ed H che cosetoo di rppresetre il sistem ell form & = F + G y = H Ntrlmete, cisc di qeste relizzzioe, qidi cisc ter (F,G,H) di mtrici, corrispode certo ordie del sistem, ossi cert dimesioe dello spzio di stto: tle dimesioe coicide co l ordie dell mtrice F. Allor, possimo pesre di scegliere, tr le ifiite relizzzioi, qelle che preseto lo spzio di stto co dimesioe miim: si prl, i qesto cso, di relizzzioi miime. L più ot, tr le relizzzioi miime, è qell che corrispode ll segete scelt di vribili di stto: & & &... & = = 3 = 3 4 = & =... + Co qest scelt, poedo che y =, è possibile fr vedere (lo fremo i segito) che l rppresetzioe di stto del sistem è defiit dlle segeti mtrici: F = G =... 0 H = [ ] Voledo pplicre il criterio di Hrwitz qesto sistem, dobbimo cooscere i coefficieti del poliomio crtteristico dell mtrice F: è fcile verificre che tle poliomio è 5 Atore: Sdro Petrizzelli

6 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 p ( ) λ = λ + λ + λ λ + ossi è tle che i soi coefficieti sio esttmete gli stessi dell relzioe igresso-scit d ci simo prtiti. D qi dedcimo che il criterio di Hrwitz pò essere pplicto direttmete i coefficieti dell eqzioe differezile che leg i vlori isttei dell igresso e dell scit. Si pò che fr vedere che, prtedo sempre dll sddett eqzioe differezile e ricvdo qlsisi delle relizzzioi miime del sistem, il poliomio crtteristico ssocito ll corrispodete mtrice F è sempre lo stesso, per ci il criterio vle per qlsisi relizzzioe miim del sistem. Stbilità dei sistemi lieri itercoessi INRODUZIONE U prte molto importte dell teori dell stbilità è qello reltivo llo stdio dei sistemi complessi costititi d sottosistemi opportmete coessi. Qest teori è prticolrmete svilppt ell mbito dei sistemi lieri, dei qli itedimo occprci desso. I risltti più semplici dell teori dell stbilità dei sistemi itercoessi soo qelli reltivi lle coessioi i csct ed i prllelo (precedetemete esmite), metre molto più complesso è il cso del collegmeto i retrozioe, del qle perciò o prleremo. Il risltto più geerle dei sistemi i csct e i prllelo è, i defiitiv, geerlizzzioe di qto già visto proposito dei sistemi i form di Jord, ossi di qei sistemi che possoo essere scomposti i certo mero di sottosistemi semplici: qesto risltto srà or esposto, per semplicità, solo per sistemi costititi d sottosistemi (collegti i csct e/o i prllelo), m è opporto sottoliere che esso è vlido per qlsisi mero di sottosistemi collegti i csct e/o i prllelo. CONNESSIONE IN CASCAA Ricordimo, prim di ttto, che coessioe i csct di de sistemi è coessioe del tipo schemtizzto ell figr segete: y S y S Il vicolo di itercoessioe è i qesto cso rppresetto dl ftto che l igresso l secodo sottosistem corrispode ll scit del primo sottosistem: Y Γ = U = Ω 6 Atore: Sdro Petrizzelli

7 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Oltre qesto, l scit del sistem complessivo coicide co qell del secodo sottosistem, metre l igresso l sistem complessivo coicide co l igresso l primo sottosistem. Di cosegez, gli isiemi che defiiscoo il sistem complessivo soo i segeti: = = U = U Ω = Ω X = X X Y = Y Γ = Γ Adesso, se sppoimo che etrmbi i sottosistemi S ed S sio tempo-cotii, regolri, dimesioi fiite, lieri e tempo-ivriti, possimo rppresetrli, i form di stto, el modo segete: & = F + G = F + G S y = H & = F + G S y = y = H Cerchimo llor di rppresetre, sempre i form di stto, il sistem complessivo. Itto, vedo detto che lo spzio di stto del sistem complessivo è X = X X, il corrispodete vettore di stto srà =, per ci l eqzioe di stto, prtiziot blocchi, srà del tipo &??? & =?? +? Al fie di otteere eqzioe vettorile di qesto tipo, prtimo dlle eqzioi di stto dei de sottosistemi: & = F + G S & = F + G L prim eqzioe ci v bee così com è; ell secod, ivece, possimo sostitire = y = H, per ci bbimo & = F + G S & = F + G H I form mtricile, qeste de eqzioi (vettorili) do qto sege: & & F 0 G = G H F F : mtrice di stto del sistem complessivo G: mtrice di igresso del sistem complessivo Qest eqzioe, i form comptt, o è ltro che & = F + G. 7 Atore: Sdro Petrizzelli

8 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Per qto rigrd l eqzioe di scit, o dobbimo fre grché, i qto si trtt semplicemete dell eqzioe di scit y = H del secodo sottosistem: i form mtricile, bbimo perciò y = [ 0 H ] 4 34 H: mtrice di igresso del sistem complessivo I coclsioe, il sistem complessivo è descritto, i form di stto, dlle eqzioi & = F + G y = H Dovedo stdire l stbilità di qesto sistem, possimo tilizzre ttto qto i precedez bbimo visto si sistemi espressi i qest form. I prticolre, sppimo che le proprietà di stbilità di sistem di qesto tipo dipedoo esclsivmete dlle crtteristiche dell mtrice F. Cocetrimoci llor s tle mtrice: lo scopo è qello di pplicre il criterio sgli tovlori. Sppoimo che i de sottosistemi S ed S sio i form di Jord, ossi sio scompoibili i certo mero di sottosistemi itercoessi (fccimo osservre che o si trtt di ipotesi limittiv, i qto sistem liere è SEMPRE scompoibile, per mezzo di opporto cmbio di vribili, i form di Jord): se ccde qesto, bbimo i precedez visto che le mtrici F ed F soo etrmbe trigolri, il che sigific che i rispettivi elemeti digoli coicidoo co i rispettivi tovlori. D ltr prte, l mtrice F è risltt essere trigolre blocchi, co gli elemeti digoli coicideti proprio co F ed F : di cosegez, gli elemeti digoli di F coicidoo co qelli di F ed F, il che sigific che gli tovlori di F soo gli tovlori di F ed F. L cosegez evidete di qesto ftto è che le proprietà di stbilità del sistem complessivo soo determite dlle proprietà di stbilità dei de sottosistemi compoeti: il primo cso è qello i ci i de sottosistemi S ed S soo etrmbi sitoticmete stbili: ciò sigific che ttti i rispettivi tovlori ho prte rele egtiv, per ci che gli tovlori di S ho ttti prte rele egtiv e qidi che S è sitoticmete stbile; il secodo cso è qello i ci lmeo o dei sottosistemi è semplicemete stbile metre l ltro è sitoticmete stbile: i qesto cso, lmeo o dei sottosistemi preset lmeo tovlore vete prte rele =0 e idice h itrio; i qesto cso, il sistem complessivo S sicrmete o è sitoticmete stbile, m o possimo emmeo ffermre che si semplicemete stbile; ifie, l ltimo cso è qello i ci lmeo o dei sottosistemi è istbile: i qesto cso, S preset lmeo tovlore co prte rele positiv, per ci che S è istbile. Possimo dqe cocldere co il segete risltto geerle: eorem - Dto sistem liere ( F, G, H) S costitito dll csct di de sottosistemi lieri (,, ) e (,, ), F G H S F G H S codizioe ecessri e sfficiete ffiché esso si sitoticmete stbile è che etrmbi i sottosistemi sio sitoticmete stbili. Se lmeo o dei sottosistemi è istbile, llor che S è istbile. 8 Atore: Sdro Petrizzelli

9 Stbilità dei sistemi lieri - Prte CONNESSIONE IN PARALLELO Pssimo desso d esmire cos sccede qdo i de sottosistemi soo coessi i prllelo come illstrto ell figr segete: S S y S y Il vicolo di itercoessioe è qest volt rppresetto dl ftto che i de sottosistemi soo sottoposti llo stesso igresso, che poi è qello vlido per l itero sistem complessivo: = = U = U U Ω = Ω Ω X = X X Y = Y Y Γ = Γ Γ Cerchimo che i qesto cso l rppresetzioe di stto del sistem complessivo, prtedo d qelle dei de sottosistemi compoeti: S S & = F + G = F + G y = H & = F + G = F + G y = y = H L eqzioe di stto è immedit, i qto corrispode ll isieme delle eqzioi di stto dei de sottosistemi: i form mtricile, bbimo perciò & & = F 0 G 0 F + G F : mtrice di stto del sistem complessivo G: mtrice di igresso del sistem complessivo E immedito ccorgersi che l mtrice F trovt i qesto cso è semplicemete cso prticolre dell mtrice F trovt el collegmeto i csct: l differez è solo el ftto che, i 9 Atore: Sdro Petrizzelli

10 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 qesto cso, il blocco è llo, metre prim er G H. L cosegez di ciò è che vlgoo le stesse idetiche cosiderzioi ftte per il collegmeto i csct: eorem - Dto sistem liere ( F, G, H) S costitito dll prllelo di de sottosistemi lieri (,, ) e (,, ), F G H S F G H S codizioe ecessri e sfficiete ffiché esso si sitoticmete stbile è che etrmbi i sottosistemi sio sitoticmete stbili. Se lmeo o dei sottosistemi è istbile, llor che S è istbile. OSSERVAZIONI CONCLUSIVE Si è visto dqe come il criterio di stbilità per sistemi lieri itercoessi si idetico per il collegmeto i csct e per qello i prllelo. Per qto rigrd, i prticolre, il collegmeto i csct, è possibile fr vedere che il poliomio crtteristico di sistem costitito dll csct di de sottosistemi lieri ( F, G, H ) S e ( ) F, G, H S è il prodotto dei rispettivi poliomi crtteristici p (λ) e p (λ). Sll bse di ciò, se riscimo d idividre i poliomi crtteristici dei de sottosistemi compoeti, possimo trovre qello del sistem complessivo e possimo pplicre i criteri di stbilità (visti i precedez) che si bso sllo stdio dei segi dei coefficieti di tle poliomio. E bee osservre, però, che proprietà log NON vle per i poliomi miimi. I coclsioe, possimo ffermre che l lisi dell stbilità dei sistemi complessi, costititi d sottosistemi collegti i cscti e/o i prllelo, pò essere effettt esmido, o d o, i sigoli sottosistemi. Qesto ftto è importte e vtggioso per de motivi essezili: il primo è che è sempre meglio ffrotre più problemi semplice che o ico problem complesso; il secodo è che, mteedo seprti i vri sottosistemi, è possibile mteere certo cottto co lce proprietà fisiche del problem, proprietà che ivece srebbero meo direttmete ccessibili qlor si cosidersse il sistem ell s iterezz. 0 Atore: Sdro Petrizzelli

11 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Stbilità dei sistemi lieri tempo-discreti INRODUZIONE Fio d or, ello stdio dell stbilità per i sistemi lieri, ci simo occpti solo dei sistemi lieri tempo-cotii (oltre che regolri e dimesioi fiite). Voglimo desso vedere, i modo sez ltro più rpido, come si codce lo stdio di stbilità per i sistemi lieri tempo-discreti (oltre che regolri e dimesioi fiite). Cosiderimo dqe sistem tempo-discreto (regolre dimesioi fiite), liere e tempoivrite: esso srà descritto d eqzioe (vettorile lle differeze) di stto del tipo ( k + ) = F( k) + G( k) Così come bbimo visto el cso tempo-cotio, lo stdio dell stbilità di sistem sifftto pò essere ricodotto, per mezzo di opport trsformzioe di vribili, llo stdio dell stbilità dell origie come stto di eqilibrio del sistem toomo ( k + ) = F( k) Di cosegez, i criteri di stbilità che ci ccigimo d ecire soo del ttto loghi, che elle rispettive dimostrzioi, qelli visti el cso tempo-cotio. Ntrlmete, l ic differez che compre elle dimostrzioi è che si deve fr so dei criteri di stbilità di Lipov ell loro formlzioe discret ziché i qell coti. EQUAZIONE DI LIAPUNOV NEL CASO EMPO-DISCREO Il primo teorem che ecimo è criterio di sitotic stbilità: eorem - Si dto sistem liere (tempo-discreto) rppresetto, i form di stto, dll eqzioe ( k + ) = F( k). Codizioe ecessri e sfficiete ffiché il sistem si sitoticmete stbile è che, pres qlsisi mtrice Q simmetric e defiit positiv, esist mtrice P, ch ess simmetric e defiit positiv, che soddisfi l segete eqzioe: F PF P = Q E evidete che si trtt di teorem estremmete simile qello visto el cso tempocotio, co l ic differez che, i qel cso, l eqzioe che leg le mtrici F,P e Q (dett eqzioe di Lipov ) er F P + PF = Q. Ache l dimostrzioe (pg. 8) di qesto teorem è del ttto log qell vist el cso tempo-cotio. Atore: Sdro Petrizzelli

12 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Dimostrzioe del teorem Il teorem forisce codizioe ecessri e sfficiete per l sitotic stbilità, per ci dobbimo dimostrre le de opposte impliczioi. Comicimo dimostrre che, se il sistem è sitoticmete stbile, llor, pres qlsisi mtrice Q simmetric e defiit positiv, esiste mtrice P, sempre simmetric e defiit positiv, che soddisf l eqzioe di Lipov F PF P = Q. Dire che il sistem è sitoticmete stbile sigific dire che ogi movimeto pertrbto (t), prtito d opporto itoro dell origie, tede ll origie stess: i formle, ccde cioè che lim ( t) t = 0 X tle che ε Sppimo che, per i sistemi lieri (tempo-discreti o tempo-cotii che sio), l espressioe litic di qlsisi movimeto (si esso omile o pertrbto, si ottiee sdo l mtrice di trsizioe di stto ϕ(τ,t): si h iftti (ell ipotesi di ( t) = ϕ t, τ ( τ ), per ci l codizioe di sitotic stbilità è igresso llo) che ( ) ( t ) lim ϕ, τ ( τ) = 0 X tle che ε = 0 t D ltr prte, lo stto iizile (τ) o dipede dl tempo, per ci qest eqivle lim ϕ t, τ = 0. semplicemete ( ) t Stimo ioltre fcedo l ipotesi che il sistem si tempo-ivrite: qesto cosete si di predere l istte τ=0 come istte iizile si che di vltre l mtrice di τ ϕ t, τ = F t t : l codizioe di prim divet perciò lim F = 0. trsizioe di stto come ( ) Adesso, sppoedo di ver scelto, i modo del ttto rbitrrio, l mtrice Q simmetric e defiit positiv, costrimo l segete mtrice: ( ) k k ( ) P = F Q F k= 0 Possimo fcilmete verificre che qest mtrice è simmetric (e ovvimete che qdrt); bst iftti verificre che ess coicid co l s trspost: k ( ) ( ) (( ) ) k= k= ( ) ( ) (( ) ) k k k ( ) k k ( ) ( ) ( ) ( ) k k P F k k Q F F QF F Q F k = = = = k= k ( ) ( ) = F Q F = F Q F = F Q F = P k= 0 k= 0 k= 0 Fccimo ioltre vedere che si trtt di mtrice defiit positiv: ci bst fr vedere che l corrispodete form qdrtic P è fzioe defiit positiv ell origie. Itto, rislt P = k k k k k k ( F ) Q( F ) = ( F ) Q( F ) = ( F ) Q( F ) = k= 0 k= 0 k= 0 k= 0 t z Qz Atore: Sdro Petrizzelli

13 Stbilità dei sistemi lieri - Prte dove bbimo ovvimete posto z = F t. Dto che l mtrice Q è per ipotesi defiit positiv, llor il termie z Qz è certmete positivo se z 0, metre è =0 se z=0, ossi se =0. D qi dedcimo che Q è sez ltro form qdrtic defiit positiv ell origie, per ci P è defiit positiv. L ltim cos d fr vedere è che l mtrice P così costrit soddisf l eqzioe Abbimo che F PF P = Q ( ) ( ) ( ) k k ( ) F PF P F F k k = Q F F F Q F = k= 0 k= 0 F ( F ) k k Q( F ) F ( F ) k k Q( F ) ( F ) k k Q( F ) ( F ) k k Q( F ) k= 0 k= 0 k= k= 0 [( F ) Q( F )] k k Q = = = = = k= 0 Abbimo dqe dimostrto l prim impliczioe. Adesso dobbimo dimostrre l impliczioe oppost: se, pres qlsisi mtrice Q simmetric e defiit positiv, esiste mtrice P, sempre simmetric e defiit positiv, che soddisf l eqzioe di Lipov F PF P = Q, llor il sistem è sitoticmete stbile. Si dqe Q rbitrri mtrice simmetric defiit positiv e si P l mtrice, simmetric defiit positiv, che soddisf l eqzioe di Lipov. Cosiderimo l form qdrtic ssocit P, ossi V( ) = P : essedo P defiit positiv, V() è fzioe defiit positiv i =0. Possimo llor provre d pplicre il criterio di Lipov per l sitotic stbilità del sistem i =0 (e qidi, i qesto cso, per l sitotic stbilità del sistem): dobbimo verificre se l fzioe V( ) è defiit egtiv i =0. Itto, bbimo che V() = 4 43 Q ( P) = ( ) P + P =..(?).. = F PF P = F PF P Ricorddo che, per ipotesi, l mtrice P soddisf l eqzioe di Lipov, cocldimo che V( ) = Q : dto che che Q è, per ipotesi, defiit positiv, dedcimo che V( ) è defiit egtiv e qesto, i bse l criterio di Lipov, ci dice che il sistem è sitoticmete stbile. 3 Atore: Sdro Petrizzelli

14 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 ASINOICA SABILIÀ AD AUOVALORI I modo sempre logo l cso tempo-cotio, esiste criterio di sitotic stbilità che si ricodce ll idividzioe ed llo stdio degli tovlori dell mtrice di stto del sistem i esme: eorem - Si dto sistem liere (tempo-discreto) rppresetto, i form di stto, dll eqzioe ( k + ) = F( k). Codizioe ecessri e sfficiete ffiché il sistem si sitoticmete stbile è che ttti gli tovlori dell mtrice di stto F sio i modlo miori di o Qesto teorem potrebbe essere ricvto d qello dimostrto el prgrfo precedete, m, come per l logo tempo-cotio, l dimostrzioe più semplice cosiste ei segeti de pssi fodmetli: il primo è qello di trsformre il sistem ( k + ) = F( k), per mezzo di opport ~ ~ trsformzioe o sigolre =z, el sistem z( k + ) = Fz ( k ), co l mtrice F = F che rislt essere i form di Jord; il secodo psso è qello di fr vedere il teorem o più per il sistem di prtez ~ ( k + ) = F( k), m per il ovo sistem z( k + ) = Fz ( k ), co il vtggio di poter sfrttre l prticolre strttr dell form di Jord. Il procedimeto è dqe del ttto logo qello visto el cso tempo-cotio, per ci o riportimo l dimostrzioe. Fccimo che osservre che, sempre i modo logo l cso tempocotio, o è sempre ecessrio clcolre i vri tovlori, m spesso è possibile limitrsi d idgie si coefficieti del poliomio crtteristico dell mtrice F. CRIERIO DI SEMPLICE SABILIÀ Per cocldere sll stbilità dei sistemi tempo-discreti, ecimo il segete criterio di semplice stbilità, cor volt logo qello visto el cso tempo-cotio: eorem - Si dto sistem liere (tempo-discreto) rppresetto, i form di stto, dll eqzioe ( k + ) = F( k). Codizioe ecessri e sfficiete ffiché il sistem si semplicemete stbile è che gli tovlori dell mtrice di stto F sio i modlo miori di o e che qelli i modlo gli d (che devoo ecessrimete esistere) sio rdici semplici del poliomio miimo di F 4 Atore: Sdro Petrizzelli

15 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Stbilità dei sistemi lierizzti INRODUZIONE: DEERMINAZIONE DEL SISEMA LINEARIZZAO tti i risltti presetti ei precedeti prgrfi e rigrdti l stbilità dei sistemi lieri soo di grde importz che perché soo spesso ll bse dell discssioe dell stbilità di o stto di eqilibrio o di movimeto di sistem o liere. Iftti, per poter pplicre tli risltti, è sfficiete pssre dl sistem o liere i esme l sistem liere che descrive il movimeto del sistem i itoro dello stto di eqilibrio o del movimeto geerico esmito. I ltre prole, l ppliczioe dei sddetti risltti è possibile ptto di lierizzre il sistem ell itoro del movimeto cosiderto. Comicimo llor precisre cos itedimo per lierizzzioe di sistem ell itero di movimeto. Fccimo riferimeto d sistem regolre retto d eqzioe (differezile vettorile) di stto ell form & = f ( t), ( t), t ( ) Sppoimo di ver fissto istte iizile τ, o stto iizile = ( ) pplicto l sistem: i corrispodez di qesto igresso e dell specifict codizioe iizile, il sistem prodce movimeto regolto dll eqzioe ( ) ( ) = ϕ, τ,, ( ) τ e igresso ( ) Qesto movimeto o è ltro che l ic solzioe dell eqzioe differezile & = f( ( t), ( t), t). Sppoimo, desso, che ci si pertrbzioe sl sistem tle che d provocre vrizioe δ ( ) sll igresso e vrizioe δ sllo stto iizile: ciò sigific, qidi, che il ovo igresso (cioè l igresso pertrbto) è ( ) + δ ( ) e che il ovo stto iizile (cioè lo stto iizile pertrbto) è + δ ; il sistem prodce llor movimeto pertrbto regolto dll eqzioe ( ) & ( t ) + δ & ( t ) = f ( t ) + δ ( t ), ( t ) + δ ( t ), t A qesto pto, ell ipotesi che le pertrbzioi sio sfficietemete piccole, possimo svilppre l fzioe geertrice i serie di ylor, rrestdoci l secodo termie dello svilppo: così fcedo, otteimo & f f ( t ) + & ( t ) = f( ( t ), ( t ), t) + ( t ) ( t ) ( t) ( t) + δ D ltr prte, vedo prim detto che & f( ( t), ( t), t) ( t) ( t) =, qest relzioe divet δ& ( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) + ( t) ( t) 5 Atore: Sdro Petrizzelli

16 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Qest relzioe rppreset il cosiddetto sistem lierizzto ssocito l sistem & f ( t), ( t), t. Si osserv sbito che si trtt di sistem ell form = ( ) ed l movimeto ( ) z&( t) = F( t) z( t) + G( t) v( t) dove si è posto z&( t) = δ& ( t) f F( t) = z( t) = ( t) f G( t) = v( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) LINEARIZZAZIONE INORNO AD UNO SAO DI EQUILIBRIO Possimo sbito osservre cos iteresste: sppoimo che il sistem o liere & = f( ( t), ( t), t) di prtez si sistem tempo-ivrite, per ci l s eqzioe di stto è ell form & = f, ( ) Se operimo l lierizzzioe s qesto sistem, è evidete che otteimo ovmete δ& ( t) = ( t) ( t) ( t) ( t) + ( t) il che sigific che il sistem lierizzto coti d essere tempo-vrite. Il motivo è chirmete el ftto che dipedoo comqe dl tempo le grdezze ( t) e ( t). Di cosegez, l codizioe ffiché il sistem lierizzto risltti tempo-ivrite è che che le grdezze ( t) e ( t) sio idipedeti dl tempo: qesto ccde solo se ( t) è igresso costte di eqilibrio e è so corrispodete stto di eqilibrio. Possimo perciò cocldere che, dto sistem o liere tempo-ivrite & = f(, ), dto igresso di eqilibrio e so corrispodete stto di eqilibrio, il sistem lierizzto ssocito & = f(, ) ed l sddetto stto di eqilibrio è ell form z&( t) = Fz( t) + Gv( t). ( t) 6 Atore: Sdro Petrizzelli

17 Stbilità dei sistemi lieri - Prte SABILIÀ DELL EQUILIBRIO E SABILIÀ DEL SISEMA LINEARIZZAO Cerchimo desso di cpire qle si l tilità di qesto sistem lierizzto. Il ostro scopo è l lisi dell stbilità dell eqilibrio per sistem o liere tempoivrite descritto d eqzioe di stto ell form ( ) & = f, Qest lisi è problem i geerle complesso, dto che, per risolverlo medite l clssic teori di Lipov, è ecessrio ivetre opport fzioe V() dello stto che soddisfi le codizioi di o dei criteri di stbilità o istbilità esmiti i precedez. Al cotrrio, bbimo visto che l lisi di stbilità dei sistemi lieri è reltivmete semplice d portre termie. D ltr prte, cosiderdo che l stbilità ll Lipov richiede solo l lisi del comportmeto sitotico dei movimeti cosegeti piccole pertrbzioi dello stto iizile, è ititivo pesre che, d eccezioe di lci csi critici che poi sro esmiti, lo stdio dell stbilità di o stto di eqilibrio poss effettrsi lizzdo l stbilità del sistem lierizzto. Qesto è qello che, i effetti, ccde ell mggiorz dei csi, come mostrto dl segete teorem: eorem - Dto sistem o liere tempo-ivrite & f(, ) =, fissto igresso di eqilibrio e so corrispodete stto di eqilibrio, codizioe sfficiete ffiché l eqilibrio si sitoticmete stbile è che il sistem lierizzto ssocito & f(, ) sitoticmete stbile = ell itoro di si Dimostrzioe Iqdrimo, itto, ciò che dobbimo dimostrre: dobbimo fr vedere che, se il sistem lierizzto è sitoticmete stbile, llor lo stto di eqilibrio è di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem o liere. Per semplicità di rgiometo, sppoimo che lo stto di eqilibrio cosiderto si lo stto llo: = 0. Si ioltre il geerico igresso di eqilibrio ci corrispode tle stto di eqilibrio. L eqzioe del movimeto pertrbto per il sistem o liere è & = f(, ) = f ( ) ed è l eqzioe corrispodete l solito sistem toomo. Espdedo i serie di ylor di pto iizile = 0, otteimo f f & ( t) = f( ) + g( ) = 0 dove = = 0 = e dove il termie g() è vettore di poliomi compredete i f termii di ordie dello svilppo i serie. Posto llor F =, possimo cocldere che l eqzioe del movimeto pertrbto per il sistem o liere è esprimibile ell form & = F + g( ) 7 Atore: Sdro Petrizzelli

18 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 D ltr prte, bbimo detto che il modello lierizzto ssocito l sistem o liere ell itoro di è del tipo z&( t) = Fz( t) + Gv( t) Se sppoimo che si v=0, il modello si ridce z&( t) = Fz( t) e qest eqzioe, vedo preso = 0, è del ttto eqivlete ll eqzioe & = F. L ipotesi che stimo fcedo è che il sistem lierizzto z&( t) = Fz( t) si sitoticmete stbile: possimo llor pplicre tle sistem il criterio di Lypov, i bse l qle, scelt qlsisi mtrice Q simmetric defiit positiv, esiste sez ltro mtrice P, ch ess simmetric e defiit positiv, tle d soddisfre l eqzioe F P + PF = Q Vedimo llor se qesto ftto pò itrci cocldere che è o stto di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem & = F. Itto, se P è mtrice simmetric defiit positiv, l form qdrtic V( ) = P gode dell proprietà di essere defiit positiv ell origie. Vedimo se gode che dell proprietà per ci V & ( ) è defiit egtiv ell origie. Itto, rislt che & dv( ) V ( ) = = & P + P& dt D ltr prte, sppimo che & = F + g( ), per ci ( ) ( ) & ( ) ( ) ( ) V F g P PF Pg F g ( ) = = + P + PF + Pg ( ) = = F P + g ( ) P + PF + Pg( ) = F P + PF + g ( ) P + Pg( ) = ( ) = F P + PF + g ( ) P + Pg( ) = Q + g ( ) P + Pg( ) Sll bse di qto otteto, possimo trrre lce coclsioi circ l fzioe V & ( ) : i primo logo, si osserv evidetemete che V & ( 0) = 0 ; ioltre, vedo detto che g() cotiee i termii di grdo dello svilppo i serie di ylor,, è chiro che i termii g ( ) P e Pg( ) soo poliomi lmeo di 3 grdo; che l loro somm, llor, è poliomio di lmeo 3 grdo: qesto sigific che, i itoro sfficietemete piccolo dell origie, tle poliomio si poss trscrre rispetto l termie - Q. I defiitiv, qidi, i itoro sfficietemete piccolo dell origie, l fzioe & ( ) V h espressioe V & ( ) = Q A qesto pto, ricorddo che l mtrice Q è mtrice simmetric defiit positiv ell origie, dedcimo sbito che V & ( ) è defiit egtiv ell origie: vle perciò il criterio di Lipov i bse l qle l origie è o stto di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem & = F. 8 Atore: Sdro Petrizzelli

19 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Qesto teorem dice dqe qto sege: il problem di prtez è qello per ci, dto il sistem o liere tempo-ivrite & = f(, ), voglimo spere se, fissto igresso di eqilibrio e idividto corrispodete stto di eqilibrio, tle stto rislt essere sitoticmete stbile; possimo llor lierizzre & = f(, ) ell itoro di e stdire l stbilità del corrispodete sistem lierizzto z&( t) = Fz( t) + Gv( t) ; se tle sistem è sitoticmete stbile, llor simo certi che si o stto di eqilibrio sitoticmete stbile per & = f(, ) ; vicevers, se z&( t) = Fz( t) + Gv( t) o dovesse risltre sitoticmete stbile, llor o è detto (m è comqe possibile, visto che l codizioe è sfficiete, m o ecessri) che si o stto di eqilibrio sitoticmete stbile per & = f(, ). C è solo cso prticolre i ci è possibile trrre coclsioi defiitive sll istbilità del & = f, prtedo dll cooscez del sistem lierizzto z&( t) = Fz( t) + Gv( t) : sistem ( ) eorem - f Se l mtrice F = del sistem lierizzto h o o più tovlori co prte rele positiv, lo stto di eqilibrio corrispodete ll igresso del sistem & = f, è istbile ( ) Mettedo isieme gli ltimi de teoremi, possimo cocldere che l ico cso i ci o è possibile cocldere ll sll stbilità dello stto di eqilibrio, per mezzo di lisi del sistem lierizzto, è f qello i ci l mtrice F = h gli tovlori co prte rele egtiv d eccezioe di lci co prte rele ll. Solmete i qesto cso, l stbilità dello stto di eqilibrio dipede dlle o-lierità del sistem, ossi di termii che, i precedez, soo stti rggrppti i g(). Ad esclsioe di qesti csi critici, lo stdio dell stbilità dell eqilibrio pò, dqe, essere riteto problem risolbile che per sistemi o lieri e grdi dimesioi. ESEMPIO Sppoimo di vere sistem del ordie, co igressi, l ci eqzioe di stto si ftt el modo segete: & = f(,) & = f (,) Si osserv immeditmete che il sistem o liere, i qto o lo soo le de compoeti f ed f dell fzioe geertrice. Sppoimo di ver fissto l igresso (costte) l sistem: = I corrispodez di qesto igresso, l eqzioe del movimeto pertrbto è 9 Atore: Sdro Petrizzelli

20 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 & = f (, ) = + & = f (, ) = + Per trovre gli stti di eqilibrio corrispodeti ll igresso specificto, dobbimo semplicemete imporre che & = 0 e & = 0: così fcedo, otteimo le eqzioi Fcedo qlche semplice clcolo, si ottiee 0 = + 0 = + = + = + ( ) I bse qeste eqzioi, dedcimo che il sistem, i corrispodez dell igresso specificto, mmette come ico stto di eqilibrio lo stto = + ( + ) ( + ) Voglimo llor verificre se si trtt o meo di o stto di eqilibrio sitoticmete stbile e lo voglimo fre tilizzdo qto detto proposito dei sistemi lierizzti. Dobbimo perciò trovre le mtrici F e G che defiiscoo il sistem lierizzto z&( t) = Fz( t) + Gv( t) ssocito l sistem i esme e determito ell itoro dello stto di eqilibrio i esme. Per determire le sddette mtrici, ci bst pplicre le rispettive defiizioi: per qto rigrd l mtrice di stto F, bbimo che f F = = = = =... = per qto rigrd, ivece, l mtrice di igresso G, bbimo che + = 0 Atore: Sdro Petrizzelli

21 Stbilità dei sistemi lieri - Prte f G = = = 0 = Si osserv, come previsto, che, volt fissto l igresso, le de mtrici F e G soo mtrici di meri. Sll bse di qeste mtrici, possimo effettre l lisi di stbilità del sistem lierizzto. L prim cos d fre è qell di idividre gli tovlori dell mtrici F; i prticolre, o ci iteress tto spere il loro vlore merico, qto il sego dell loro prte rele. A qesto scopo, ci ricordimo che, dt qlsisi mtrice qdrt, l somm degli elemeti digoli (l cosiddett trcci ) è pri ll somm degli tovlori, metre il determite dell mtrice è pri l prodotto di tli tovlori. Nel ostro cso, qidi, bbimo che trcci( F) = λ + λ = + < 0 det( F) = λ λ = = + + > 0 D qeste semplici relzioi possimo stbilire il sego dei de tovlori: iftti, il ftto che l somm degli tovlori rislti <0 idic che essi o soo certmete etrmbi reli positivi oppre complessi co prte rele positiv; ioltre, il ftto che il loro prodotto rislti >0 idic che i de tovlori o possoo emmeo essere reli o positivo e l ltro egtivo. Di cosegez, l ic possibile è che etrmbi bbio prte rele egtiv, il che comport, i bse l oto criterio di Roth, che il sistem lierizzto si sitoticmete stbile e che, qidi, lo stto di eqilibrio prim idividto si di sitoticmete stbile per il sistem o liere. Osservzioe: eqzioe di scit del sistem lierizzto Possimo che idividre l eqzioe di scit del sistem lierizzto: ell ipotesi che il sistem i esme si proprio (ossi tle che l scit o si iflezt direttmete dll igresso) e tempo-ivrite, l eqzioe di scit srà ell form y = η( ). I presez di pertrbzioe sl sistem, l eqzioe srà ell form y + y = η( + z) : svilppdo i serie di ylor, di pto iizile, l fzioe di scit η, bbimo che η y + y = η( ) + z +... d ci si ottiee, trscrdo i termii di ordie speriore l primo, che y = η z Atore: Sdro Petrizzelli

22 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Poedo llor H = η e w = y, dedcimo che l eqzioe di scit è ell form w = Hz Co riferimeto ll esempio cosiderto poco f, se sppoimo che l eqzioe di scit del sistem o liere si, per esempio, y = k, otteimo che l eqzioe di scit del sistem lierizzto è η w = Hz = z = η η z = 0 z = 0 z = 0 ( + ) z ESEMPIO Sppoimo desso di vere sistem del ordie, co igresso, l ci eqzioe di stto si ftt el modo segete: & = f(,) & = + si f (,) Ache qi, si osserv immeditmete che il sistem è o liere. Come igresso l sistem predimo l igresso llo: = 0. I corrispodez di qesto igresso, l eqzioe del movimeto pertrbto è & = f (, ) = + & = f (, ) = Gli stti di eqilibrio corrispodeti ll igresso specificto si ottegoo impoedo che rislti & = 0 e & = 0: così fcedo, otteimo le eqzioi 0 = + 0 = e d qi si ricv fcilmete che l ico stto che soddisf qeste de codizioi è lo stto llo = 0 0. Voglimo llor verificre, tilizzdo cor volt l lierizzzioe, se si trtt o meo di o stto di eqilibrio sitoticmete stbile. Dobbimo perciò trovre le mtrici F e G che defiiscoo il sistem lierizzto Applichimo cor volt le defiizioi: z&( t) = Fz( t) + Gv( t) Atore: Sdro Petrizzelli

23 Stbilità dei sistemi lieri - Prte per qto rigrd l mtrice di stto F, bbimo che f F = = = = per qto rigrd, ivece, l mtrice di igresso G, bbimo che f G = = 0 0 = = cos Sll bse di qeste mtrici, possimo effettre l lisi di stbilità del sistem lierizzto. Si trtt di cso molto semplice, i qto l mtrice di stto F è mtrice trigolre iferiore co gli elemeti digoli lli: ciò sigific che ess preset, come ico tovlore (di molteplicità lgebric ) l tovlore λ=0. Allor, i bse l criterio di Roth, possimo ffermre che il sistem lierizzto è istbile. Di riflesso, dedcimo che o simo i grdo di trrre lc coclsioe circ l stbilità del sistem o liere. ESEMPIO Sppoimo di vere cor sistem del ordie, toomo (cioè tle che l igresso o iflezi i lc modo lo stto), l ci eqzioe di stto si ftt el modo segete: & = { f( ) & = ksi f ( ) co k>0 e >0. Acor volt, si osserv che il sistem è o liere. I soi stti di eqilibrio si ottegoo impoedo che rislti & = 0 e & = 0: così fcedo, otteimo le eqzioi 0 = 0 = ksi e d qi si ricv fcilmete che soo stti di eqilibrio ttti gli stti del tipo hπ 0, co h mero itero positivo. Sez cocetrrci s prticolre stto tr qesti, idghimo slle crtteristiche di stbilità di tli stti. Dobbimo cor volt lierizzre, ossi, i defiitiv, trovre le mtrici F e G: 3 Atore: Sdro Petrizzelli

24 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 F = G = = 0 = 0 0 = k cos Sll bse di qeste mtrici, i prticolre dell mtrice di stto F, possimo effettre l lisi di stbilità del sistem lierizzto. L prim cos che si osserv è che il vlore degli elemeti di F (i prticolre di qello di posto hπ ) dipede dl vlore dell costte h che compre ell espressioe 0 : qdo h è pri, si h che cos =, per ci F = 0 k : i qesto cso, rislt trcci( F) = < 0 e bbimo già visto che corrispode d eqilibrio sitoticmete stbile; det( F) = k > 0 0 qdo ivece h è dispri, si h che cos =-, per ci F = k : i qesto cso, rislt trcci( F) = < 0 e qesto sigific che tovlore è positivo metre l ltro è egtivo; di det( F) = k < 0 cosegez, l eqilibrio, i qesto cso, è istbile. Possimo perciò cocldere che gli stti hπ 0, co h pri, soo sez ltro stti di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem o liere i esme, metre ivece o possimo dire iete hπ sgli stti 0 co h dispri. ESEMPIO Cosiderimo desso sistem del ordie, toomo, l ci eqzioe di stto si ftt el modo segete: 3 & = f( ) 3 3 & = 4 34 f ( ) Qesto sistem, cor volt o liere, h evidetemete lo stto llo come stto di eqilibrio. Verifichimo, trmite l lierizzzioe, se si trtt o meo di o stto di eqilibrio sitoticmete stbile. 4 Atore: Sdro Petrizzelli

25 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Applicdo le solite defiizioi, bbimo che f F = f G = = = 0 0 = = Acor volt, l mtrice di stto F preset come ico tovlore (di molteplicità ) λ=0, il che ci dice che il sistem lierizzto è istbile e o ci cosete di dire ll circ l stbilità dello stto di eqilibrio = 0 per il sistem o liere. Allor, vedimo se è possibile pplicre l sistem il criterio di stbilità di Lipov. Cosiderimo perciò l fzioe 4 V( ) = + Qest fzioe si ll i = 0 e ssme solo vlori positivi, per ci è defiit positiv i = 0. Verifichimo se l s derivt, rispetto llo stto, è defiit egtiv i = 0. Itto, si h che ( 4 )( + ) + ( 4 )( ) =... = 4( ) V() V() V & () = f() + f () = + d d Si dedce immeditmete che qest fzioe si ll i = 0 e ssme solo vlori egtivi, per ci è defiit egtiv i = 0. I bse l criterio di Lipov, possimo dqe ffermre che lo stto llo è o stto di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem o liere cosiderto. ESEMPIO Cosiderimo ltro sistem del ordie, toomo, descritto dll eqzioe di stto 3 & = f( ) 3 & = 4 34 f ( ) Qesto sistem, sempre o liere, h lo stto llo come stto di eqilibrio. Verifichimo, trmite l lierizzzioe, se si trtt o meo di o stto di eqilibrio sitoticmete stbile. L mtrice di stto del sistem lierizzto è 3 f F = = 3 = = Atore: Sdro Petrizzelli

26 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Si trtt dell stess mtrice trovt ell esempio precedete, per ci il sistem lierizzto è istbile e o ci cosete di dire ll circ l stbilità dello stto di eqilibrio = 0 per il sistem o liere. Vedimo se è possibile pplicre l sistem il criterio di stbilità di Lipov. Cosiderimo perciò l fzioe 4 V( ) = + Si trtt dell stess fzioe esmit ell esempio precedete, per ci sppimo che ess è defiit positiv i = 0. Verifichimo se l s derivt, rispetto llo stto, è defiit egtiv i = 0. Itto, si h che ( 4 )( + ) + ( 4 )( + ) =... = 4( ) V() V() V & () = f() + f () = + d d Qest fzioe si ll i = 0 e ssme solo vlori positivi, per ci è defiit positiv i = 0. I bse l criterio di istbilità Lipov, possimo dqe ffermre che lo stto llo è o stto di eqilibrio istbile per il sistem o liere cosiderto. L cos iteresste d otre è che, egli ltimi de esempi, l mtrice di stto F del sistem lierizzto è l stess, m, el primo esempio, il sistem o liere d ci proviee F h lo stto llo come stto di eqilibrio sitoticmete stbile, metre, i qesto secodo esempio, il sistem o liere di proveiez h lo stto llo come stto di eqilibrio istbile. ESEMPIO Come ltimo esempio, cosiderimo il segete sistem del ordie toomo: & & = = 3 Acor volt, il sistem, sempre o liere, h lo stto llo come stto di eqilibrio. Verifichimo, trmite l lierizzzioe, se si trtt o meo di o stto di eqilibrio sitoticmete stbile. L mtrice di stto del sistem lierizzto è i qesto cso f F = = 0 = = Si trtt dell stess mtrice trovt ei de esempi precedeti, per ci, se voglimo stdire l stbilità del sistem o liere, dobbimo cor volt rifrci i criteri di Lipov. 4 Cosiderimo perciò l solit fzioe V( ) = +, che sppimo essere defiit positiv i = 0. Abbimo ioltre che & V( ) V( ) ( ) 3 3 V = f( ) + f ( ) = ( 4 )( ) + ( 4 )( ) =... = 0 d d 6 Atore: Sdro Petrizzelli

27 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Il ftto che rislti V & ( ) 0 ci dice che V & ( ) è semidefiit egtiv i = 0 e,qidi, i bse l criterio di Lipov, che, per il sistem o liere, lo stto llo è o stto di eqilibrio stbile. No sppimo, però, cor se l stbilità è semplice o sitotic. D ltr prte, possimo rgiore el modo segete: dire che V & ( ) 0 sigific dire che V()=cost lgo qlsisi movimeto pertrbto, ossi che il movimeto (di stto) del sistem vviee lgo crve lle qli corrispode sempre lo stesso vlore di V(). Di cosegez, il movimeto (di stto) del sistem vviee lgo crve di livello, il che implic che o ci si covergez, ossi che l eqilibrio si semplicemete stbile. ESEMPIO: MODELLO PREDA-PREDAORE Sppoimo di vere regioe del ttto isolt ell qle vivoo solo specie: l specie dell PREDE, che si troo solo di qto forito dll mbiete, e l specie dei PREDAORI, che si troo ivece delle prede. Idichimo co l desità sperficile delle prede (cioè il mero di prede per Km ). Nell ipotesi che l regioe si isolt e qidi o sio possibili feomei di migrzioe, possimo spporre che l legge co ci vri l desità di prede si del tipo & =, dove & rppreset il tsso di vrizioe di, metre è geerico coefficiete positivo. Fccimo ioltre l ipotesi che le risorse forite dll mbiete sio illimitte: qest ipotesi è tto più ver qto più piccol è l desità di prede ; se, ivece, fosse grde, llor srebbe ecessrio teere coto dell cotrpposizioe tr le prede stesse l fie di ccprrrsi le ridotte risorse dispoibili. Per teere coto di qesto, possimo sre qest ltro modello, che prede il ome di modello logistico : & = b ( ) dove che b è coefficiete positivo. Al termie /b si dà il ome di cpcità portte dell specie cosidert: il sigificto è che, se o ci soo predtori, l tede l vlore /b prtedo d vlori iferiori (il che sigific che l tlità prevle sll mortlità), metre, se ci soo predtori, l tede l vlore /b d vlori speriori (il che sigific che l mortlità prevle sll tlità). /b tempo Adesso idichimo co l desità sperficile dei predtori (cioè il mero di predtori per Km ): è chiro che, se o ci fosse prede, i predtori o vrebbero come trirsi e si estigerebbero, per ci vremmo legge del tipo & = c 7 Atore: Sdro Petrizzelli

28 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Al cotrrio, i presez di prede e predtori cotemporemete, possimo riteere vlide le segeti de leggi di vrizioe delle rispettive desità: ( ) & = b d & = c + e I prtic, bbimo spposto che si l mortlità delle prede, dovt ll predzioe d prte dei predtori, si l tlità dei predtori, dovt l trimeto, dipedo dll probbilità di icotro tr prede e predtori e tle probbilità dipede perciò d e d : d qi, l itrodzioe dei de termii d e e. Le de eqzioi ppe trovte rppreseto dqe le eqzioi di sistem toomo del ordie. Fccimo osservre, prim di ogi ltr cos, che il sistem mc di igressi solo perché li bbimo trscrti e o perché o ci sio effettivmete. Adimo dqe d lizzre il sistem, comicido dll ricerc degli evetli stti di eqilibrio: per trovre tli stti, dobbimo imporre le de codizioi & = 0 e & = 0, otteedo [ ( ) ] ( ) = 0 b d = 0 e c Dll secod eqzioe, otteimo i vlori = 0 e eqzioe, otteimo qto sege: c = ; ddo sostitire ell prim e i corrispodez di =0, otteimo de possibili vlori per, che soo 0 e b ; c i corrispodez di = e, si ottiee, ivece, il vlore = d Possimo perciò cocldere che il sistem preset i segeti 3 stti di eqilibrio: bc e A B C = ( 0, 0) =, 0 b c =, e d bc e ttvi, qesto è discorso del ttto litico, el seso che, metre i primi de stti ho bc sicrmete seso fisico, il terzo h seso fisico solo se C, = 0, ossi se bc e. Azi, d e be vedere, se fosse bc=e, lo stto C drebbe coicidere co B ; di cosegez, ci mettimo ell ipotesi che si bc < e. 8 Atore: Sdro Petrizzelli

29 Stbilità dei sistemi lieri - Prte Premesso qesto, lizzimo l stbilità di qesti stti di eqilibrio. Essedo il sistem i esme chirmete o liere, possimo sfrttre l lierizzzioe. Adimo llor determire l mtrice di stto F del sistem lierizzto per o stto di eqilibrio geerico, i modo poi d clcolrl i corrispodez dei tre stti che stimo stdido. Applicdo l ormle defiizioe, bbimo che f F = = b d d = e c + e Vedimo llor che sccede i corrispodez dei tre stti di eqilibrio: i corrispodez di A = ( 0, 0) rislt F = 0 A 0 c Il determite di qest mtrice è egtivo, il che sigific che c è tovlore positivo e l ltro egtivo; qidi, l eqilibrio del sistem lierizzto è istbile, il che ci impedisce di A = 0, 0 per il sistem o liere; trrre coclsioi circ l stbilità di ( ) i corrispodez di = B, 0 rislt b d F = d B e e c + b Il determite di qest mtrice è det F = e B c ed è egtivo ell ipotesi che bc < e : che b i qesto cso, qidi, il sistem lierizzto è istbile, per ci o possimo trrre coclsioi circ l stbilità di B =, 0 per il sistem o liere; b ifie, i corrispodez di C = c bc e d, rislt e bc cd F = e e C e bc 0 d e 9 Atore: Sdro Petrizzelli

30 Appti di EORIA DEI SISEMI - Cpitolo 6 Il determite di qest mtrice è det F = bc C c ed è positivo ell ipotesi di bc < e ; l e bc trcci dell mtrice è ioltre trcci( FC ) = < 0 ; bbimo dqe che l somm degli e tovlori di F C (pri ll trcci di F C ) è egtiv, metre il prodotto dei de tovlori (pri l determite di F C ) è positivo: dedcimo che i de tovlori soo etrmbi egtivi, per ci il sistem lierizzto è sitoticmete stbile e qidi lo stto C è o stto (l ico) di eqilibrio sitoticmete stbile per il sistem o liere. Atore: SANDRO PERIZZELLI e-mil: sdry@iol.it sito persole: sccrsle: 30 Atore: Sdro Petrizzelli