IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI. Sergio Baragetti Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Bergamo

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1 5 IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Sergio Brgetti Fcoltà di Igegeri, Uiversità degli Stdi di Bergmo

2 Il metodo degli elemeti fiiti IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Sergio Brgetti Fcoltà di Igegeri, Uiversità degli Stdi di Bergmo. Itrodzioe Il metodo degli Elemeti Fiiti permette di risolvere il problem dell determizioe dello stto di sforzo e deformzioe i elemeti i codizioi di crico per le qli o è reperibile o ricvbile l solzioe litic. I qesto metodo si discretizz il cotio, che h ifiiti grdi di libertà, co isieme di elemeti di dimesioi fiite, tr loro itercoessi i pti predefiiti (odi). È qidi possibile ridrre il problem sttico i sistem di eqzioi lgebriche co mero fiito di icogite (gli spostmeti odli). Nel metodo degli elemeti fiiti si ssme fzioe di spostmeto ll itero del sigolo elemeto, defiedo cioè le compoeti di spostmeto del geerico pto come fzioe, ipotizzt ot, degli spostmeti dei odi: il problem, co tle sszioe, pss dl domiio cotio l domiio discreto visto che le ove icogite soo gli spostmeti odli. U volt oti gli spostmeti odli è immedito il pssggio lle deformzioi e, medite l mtrice di legme sforzi-deformzioi, si pss sccessivmete l tesore degli sforzi.. Solzioe di problemi strttrli pii i cmpo liere elstico Cosiderimo il semplice cso di figr e vedimo come viee impostto il problem dell solzioe i cmpo liere elstico ttrverso l tilizzo del metodo degli elemeti fiiti. s F F figr - Lstr fort i stto di sforzo pio Dto che l strttr è piccolo spessore possimo riteere che lo stto di sforzo si pio. Immgiimo or di dividere l lstr i gr mero di elemeti di dimesioi fiite, o ifiitesime, veti geometri trigolre: bbimo così forito modellzioe d elemeti fiiti dell strttr come si vede i figr. Il metodo degli elemeti fiiti

3 figr - Schemtizzzioe d elemeti fiiti dell lstr fort di figr L scelt di elemeti trigolri odi implic (come vedremo) cmpo di spostmeti dei pti del sigolo elemeto descritto d fzioe liere delle coordite dei vertici (odi) dell elemeto stesso. L lierità del cmpo di spostmeto comport o stto di deformzioe, che si ottiee ovvimete dll derivzioe delle fzioi di spostmeto, iforme s cisc elemeto, sl qle gisce di cosegez o stto di sforzo ch esso iforme. Si risle llo stto di sforzo medite l ipotesi di lierità del legme sforzi/deformzioi. A cs dell iformità dell deformzioe, e qidi dello sforzo, s cisc elemeto si deve ifittire l sddivisioe i elemeti elle zoe dove tle grdezz preset elevto grdiete, per otteere soddisfcete precisioe dll lisi: è qidi tile dottre elemeti prticolrmete piccoli elle vicize di itgli o ltre discotiità. Coviee ioltre sfrttre simmetrie geometriche e di crichi che permettoo di semplificre il problem limitdo l schemtizzzioe, e qidi l lisi, d sol prte dell strttr. Nel ostro cso, vist l doppi simmetri dell lstr rispetto i de ssi coorditi, possimo pesre che l sezioe di simmetri prllel d sse o sbisc spostmeti i direzioe ortogole tle sse: cosidereremo qidi qrto dell strttr complessiv che, per rispettre l eqilibrio, dovrà essere opportmete vicolt cor i rispetto delle codizioi di simmetri. A qesto proposito osservimo come le sezioi di simmetri potro sbire spostmeti solo i direzioe e cotemporemete dovro mteersi pie: il vicolo più idoeo rislt llor rppresetto d serie distribit di crrelli come si vede i figr. F/6 F/6 F/6 figr - Schem dell strttr semplifict i bse lle codizioi di simmetri Allo stesso modo si procede ell ffrotre il problem del crico dell strttr: i crichi esteri dovro essere pplicti i odi dell strttr discretizzt, el cso di crichi Il metodo degli elemeti fiiti

4 cocetrti e, se simo i presez di crichi distribiti, si dovrà procedere ll loro ridzioe odle; tttvi qest ltimo problem esl di ostri propositi e si rimd pertto testi più specifici. Nel cso d oi cosiderto, come si vede i figr, schemtizzimo l forz F pplict ll lstr co crico iformemete distribito sll sezioe dell lstr stess: si osserv come s metà sezioe gisc solo metà dell forz complessiv. Esmiimo or sigolo elemeto, riferedoci d sistem crtesio ortogole come si vede i figr 4. v v v v figr 4 - Rppresetzioe di elemeto fiito Sppoimo che il geerico spostmeto, v, lgo ed rispettivmete, si fzioe liere di e stesse: () v i ci, K, 5, 6, soo dei coefficieti costti; co scrittr mtricile più comptt otteimo: e qidi: co: v { f } [ A]{ } { f } 6 () () (4) v Il metodo degli elemeti fiiti

5 Il metodo degli elemeti fiiti 4 [ ] A (5) { } (6) Possimo imporre gli spostmeti per i tre vertici di elemeto trigolre: v v v (7) che i form mtricile divet: v v v (8) { } [ ]{ } f C (9) A qesto pto il vettore { } rislt essere pri : { } [ ] { } C f (0) Qidi il vettore spostmeto geerico si pò scrivere i fzioe degli spostmeti dei odi: { } [ ][ ] { } [ ]{ } f A C f f Φ () L mtrice[ ] Φ, dett mtrice delle fzioi di form, pò essere scritt el segete modo: [ ] φ N N N N N N () co:

6 i ci: N ( )( ) ( )( ) () det (4) Si osserv che il termie o è ltro che il doppio dell're del trigolo di vertici, e. E possibile ricvre, logmete qto ftto per N, che N ed N, m si pò gigere più semplicemete ll loro espressioe permtdo ciclicmete gli idici, e. Spposti qidi oti i geerici spostmeti possimo pssre lle deformzioi; come oto, esse soo dte dlle derivte degli spostmeti rispetto lle vribili e : v v ε ; ε ; γ (5) Qidi, co scrittr mtricile (co f { v v v } ): ε ε { f } (6) γ { ε } [ B]{ f } (7) L mtrice [B] è mtrice di costti i qto bbimo ipotizzto che gli spostmeti dei pti del trigolo sio lieri elle coordite. Simo desso i grdo di ricvre lo stto di sforzo ote le deformzioi: iftti sppoedo di essere i mbito liere elstico, si pò tilizzre l legge di Hooke geerlizzt che, el cso di stto di sforzo pio, divet: σ υ ε E 0 σ υ ε ν ν τ 0 (8) γ 0 0 { σ} [ D ]{ ε } (9) Il metodo degli elemeti fiiti 5

7 Qidi, sfrttdo il legme deformzioi-spostmeti odli, si ottiee: { σ } [ D][ B]{ f } (0) Per pssre dgli sforzi lle forze, qidi gigere d 'eqzioe che leghi le forze gli spostmeti odli, possimo tilizzre il pricipio dei lvori virtli ed egglire il lvoro delle forze per gli spostmeti odli qello degli sforzi per le reltive deformzioi (si potrebbe che procedere co eqzioi di eqilibrio, m il procedimeto rislterebbe più lborioso): Ff σε dv () V che i form mtricile, se co { F} idichimo il vettore delle forze estere, divet: T T T { } { } { } [ ] [ ][ ]{ } f F f B D B f dv () V Le mtrici sotto il sego di itegrle soo mtrici costti: l itegrle triplo si ridce qidi l clcolo del volme s dell elemeto trigolre: d ci: T T T { } { } { } [ ] [ ][ ]{ } f F f B D B f s () { F} [ K]{ f } (4) co: T K B D B s (5) L mtrice [ K ] è mtrice 6 6 di costti ed ssme il sigificto di mtrice di rigidezz dell elemeto. Se si scrive l mtrice co i segeti idici: [ ] K k k k k k k k, k, k, k, k,,,,,,, (6) Il metodo degli elemeti fiiti 6

8 rislt più chiro il sigificto dei diversi termii: l elemeto geerico k i,j rppreset l rezioe che sce el odo i ell direzioe per effetto di o spostmeto itrio impresso l odo j i direzioe. L mtrice di rigidezz or trovt si riferisce d ico elemeto fiito. Il psso sccessivo è l determizioe dell mtrice di rigidezz globle reltiv l sistem di riferimeto globle. Cosiderimo d esempio il sistem di figr 5, costitito d de elemeti fiiti: 4 figr 5 È ecessrio merre ttti i odi e gli elemeti e ttribire i odi cisc elemeto. A qesto scopo si compil tbell ell qle si riporto, per ogi trigolo, i meri dei vertici, che per covezioe si leggoo i seso tiorrio (così si costrisce l tbell delle icideze): Tbell : tbell delle icideze per il modello FEM di figr 5 odo odo odo Trigolo (EF) 4 Trigolo (EF) 4 Il odo pprtiee l trigolo (dove è il odo ell merzioe iter) e l trigolo (dove è il odo ell merzioe iter) Or è fcile osservre come, d esempio, il K,, coefficiete di rigidezz del odo i direzioe si dto d: ( ) ( ) k k k (7),,, dove il pedice fori pretesi si riferisce l mero del trigolo. E opporto sottoliere che il odo del termie siistr dell gle si riferisce ll merzioe globle metre i odi destr elle pretesi soo reltivi ll merzioe iter del sigolo elemeto. L corrispodez tr le de merzioi (locle e globle) è dt dll tbell delle icideze Ricvdo per ogi odo il coefficiete di rigidezz, si pò scrivere l mtrice globle di rigidezz: { F} [ K] { f } g g g Il metodo degli elemeti fiiti 7 (8) A qesto pto simo i grdo di ricvre gli spostmeti i fzioe delle forze pplicte ivertedo l'espressioe precedete; dgli spostmeti si possoo ricvre gli sforzi ripercorredo qto ftto ll'iizio di qesto prgrfo.

9 I geerle, ei problemi prtici, o soo icogiti ttti gli spostmeti e ote ttte le forze, m è possibile che si oto qlche spostmeto (per esempio per l presez di vicolo) e icogit qlche forz. Affiché il problem si risolbile è ecessrio distigere vettore di termii icogiti e o di termii oti. Nel cso i ci si oto qlche spostmeto e icogit l forz ell stess direzioe, si tilizz d esempio qesto rtificio mtemtico che cosete di otteere sistem i ci le metre il vettore { F } g si completmete oto: si cosider lo spostmeto oto come icogito vedo cr di mettere il vlore merico l posto dell forz icogit corrispodete e si sostitisce l corrispodete rig dell mtrice [ K] co formt d ttti zeri tre termie itrio sll digole priciple. icogite sio cocetrte el vettore { } f g Ciò permette di cosiderre ote ttte le forze ed icogiti ttti gli spostmeti: il sistem così otteto è risolvibile e permette il clcolo del vettore { f }. g Si procede or l clcolo delle forze odli: { F} [ K] { f } g g (9) g Noto completmete il vettore degli spostmeti { f } g, è ot l segete relzioe per ogi elemeto fiito: { F} [ K]{ f } (0) E possibile ricvre qidi le rezioi vicolri, clcolre le deformzioi e poi rislire l vettore degli sforzi per ogi elemeto fiito: { ε } [ B]{ f } { σ } [ D][ B]{ f } I ppedice A si riport il listto di file per Mtlb (versioe 5.) che permette di ricvre l mtrice di rigidezz per ogi elemeto fiito ed ssemblre l mtrice di rigidezz globle secodo le regole esposte.. Le fzioi di form L scelt dell fzioe di form iflez l fse di sddivisioe i elemeti fiiti. L tilizzo di elemeti fiiti co fzioi di form lieri permette di modellre l dmeto degli spostmeti (qidi delle deformzioi e delle tesioi) ll itero dei sigoli elemeti fiiti ttrverso fzioi di lieri. L tilizzo di elemeti fiiti co fzioi di form lieri richiede perciò sddivisioi molto fitte i corrispodez delle zoe del compoete i lisi i ci si prevede vi si elevto grdiete degli sforzi (dovto d esempio d itgli o brsche vrizioi di sezioe), e ecessit l effettzioe di prove prelimiri (lisi di modelli fittezz crescete) che permetto di idicre l dimesioe crtteristic corrett degli elemeti fiiti elle zoe critiche. I figr è riportto l esempio di compoete strttrle modellto medite elemeti fiiti veti fzioi di form lieri: i corrispodez delle zoe critiche è ecessrio operre ifittimeto dell sddivisioe i elemeti fiiti. () Il metodo degli elemeti fiiti 8

10 fig. 6 Esempio di modellzioe medite l tilizzo di elemeti fiiti co fzioi di form lieri: i corrispodez delle zoe critiche è ecessrio ifittire opportmete l sddivisioe i elemeti fiiti. L itrodzioe di elemeti fiiti che prevedo l tilizzo di fzioi di form di grdo speriore l primo, permette di degre il grdo dell fzioe di form ll prticolre ppliczioe (si pss d poliomi iterpolti semplici poliomi più complessi). I prtic o è ecessrio effettre delle prove prelimiri co modelli fittezz crescete per otteere discretizzzioi che dio risltti corretti i qto è il progrmm di clcolo stesso che, fissto il tipo di sddivisioe i elemeti fiiti, tilizz fzioi di form di grdo degto (i mier gerrchic, prtedo d poliomi di grdo iferiore). I figr 7 è riportto il prticolre di compoete strttrle modellto ttrverso elemeti fiiti co fzioi di form di grdo speriore l primo; pr essedo l mesh iforme per ttto il modello, i risltti soo ccrti che per le zoe i ci vi soo elevti grdieti degli sforzi. F/6 F/6 F/6 ) b) figr 7 - esempio di compoete strttrle modellto ttrverso elemeti fiiti ) co fzioi di form veti grdo speriore l primo e b) co fzioi di form di primo grdo; pr essedo, el cso ), l mesh iforme per ttto il modello, i risltti soo ccrti che per le zoe i ci vi soo elevti grdieti degli sforzi. Il metodo degli elemeti fiiti 9

11 L impiego cotemporeo di schemtizzzioe i elemeti fiiti di dimesioi corrette e di elemeti gerrchici che bilitio l modellzioe medite fzioi di form di grdo degto) permette di otteere i risltti migliori. 4. Criteri di modellzioe Elemeti fiiti cotigi devoo vere odi coicideti. Si riport, i figr 8, l esempio di sddivisioe i elemeti fiiti tridimesioli relizzt correttmete. I figr 8b lo stesso volme preset discotiità dovte ll o coicidez dei odi ell sezioe di mezzeri. SI NO ) b) figr 8 ) esempio di sddivisioe i elemeti fiiti tridimesioli relizzt correttmete e b) sddivisioe i elemeti fiiti o corrett Alci softwre cosetoo di ristbilire l cogrez degli spostmeti per sperfici co odi o coicideti slle sperfici di cofie (cso dell figr 8b). Tttvi i risltti, i termii di sforzi, spesso i tli le zoe o soo ccrti e, solitmete, qest modlità di sddivisioe i elemeti fiiti viee tilizzt per collegre zoe del modello co differete ifittimeto, loto dlle zoe di iteresse. Per elemeti fiiti co fzioi di form di grdo crescete i fzioe del grdiete degli sforzi:. Utilizzdo i soltori i commercio o si icotro problemi di covergez d solzioe ccettbile dl pto di vist igegeristico. L tilizzo di fzioi di form di grdo crescete, elle zoe i ci sio preseti grdieti di sforzi ccetti, permette di degre l fzioe di form ll precisioe volt. Il metodo degli elemeti fiiti 0

12 Per elemeti fiiti co fzioi di form lieri (elle le zoe del modello i ci si voglioo risltti ccrti):. Gli elemeti fiiti, bidimesioli o tridimesioli, devoo vere rpporto tr i lti, ASPECT RATIO, prossimo ll ità.. Gli goli i vertici degli elemeti fiiti, bidimesioli o tridimesioli, dovrebbero ssmere lo stesso vlore (d es. 90 per elemeti fiiti qdrgolri e 60 per elemeti fiiti trigolri).. E ecessrio ifittire l sddivisioe i elemeti fiiti elle zoe i ci soo previsti elevti grdieti di sforzo (itgli o brsche vrizioi di sezioe). 4. L correttezz dell sddivisioe i elemeti fiiti, i lisi strttrli sttiche co comportmeto del mterile liere elstico, pò essere verifict relizzdo modelli d ifittimeto crescete (Vd. figr 9). 00 Tesioe Priciple Mssim [MP] N Modello figr 9 vltzioe dell ccrtezz dei risltti ttrverso l tilizzo di modelli d ifittimeto crescete Il metodo degli elemeti fiiti

13 Appedice A Listto di file per Mtlb per il clcolo dello stto di sforzo e deformzioe di strttre pie (l esempio si riferisce l cso di sddivisioe i soli de elemeti fiiti pii trigolri m pò essere esteso strttre pie co più odi ed elemeti fiiti). S.Brgetti P/ P/ E06000 [N/mm] v0.8 4 s4 (spessore lmi)[mm] 0 [mm] EF 0 [mm] 0 [mm] 0 [mm] 0 [mm] EF 0 [mm] 40 [mm] 40 [mm] P000 [N] Mtrice delle coordite odli odi[ 4 4 4]; Mtrice delle icideze elem[ 4 4]; Mtrice dei vicoli spost[ 0 0 odo, vicolto, vlore sp0, vicolto,vlore sp odo, sp libero, sp vicolto, vlore sp ]; Mtrice dei crichi esteri forze[ ]; mtrice elstic del mterile D[ v 0 v (-v)/]*e/(-v^); clcolo mtrice di rigidezz per il primo elemeto fiito mtrice del primo elemeto fiito A[ 4 4] redet(a)/ if re<0 re-re ed mtrice delle derivte del primo elemeto fiito B[ ]/(*re) mtrice di rigidezz del primo elemeto fiito KB'*D*B*s*re clcolo mtrice di rigidezz per il secodo elemeto fiito mtrice del secodo elemeto fiito A[ 4 4] Il metodo degli elemeti fiiti

14 redet(a)/ if re<0 re-re ed mtrice delle derivte del secodo elemeto fiito B[ ]/(*re) mtrice di rigidezz del secodo elemeto fiito KB'*D*B*s*re Mtrice siliri per il clcolo degli spostmeti odli Kg[ ] Vettore dei crichi silirio per il clcolo degli spostmeti odli F[ P/ 0 P/]' vettore degli spostmeti odli fkg\f Mtrice di rigidezz globle Kg[ ] vettore delle forze odli FKg*f Clcolo delle deformzioi e degli sforzi per il primo elemeto fiito epsb*[f() f() f() f(4) f(7) f(8)]' sigmd*eps Clcolo delle deformzioi e degli sforzi per il secodo elemeto fiito epsb*[f() f(4) f(5) f(6) f(7) f(8)]' sigmd*eps Il metodo degli elemeti fiiti

15 Bibliogrfi. M.Gglio, L.Vergi, Appti delle lezioi di Costrzioe di Mcchie del Prof. Agelo Terrov, Edizioi CUSL, Milo, Johso, L. W., Riess, R. D. (98) Nmericl Alsis, Addiso-Wesle Pblishig Comp ic., Philippies.. Comicioli, V. (995) Alisi meric: metodi, modelli, ppliczioi, McGrw-Hill Libri Itli srl. 4. Brrett, R., Berr, M., Ch, T., Demmel, J., Doto, J., Dogrr, J., Eijkhot, V., Pozo, R., Romie, C., v der Vorst, H. (996) TEMPLATES-for the Soltio of Lier Sstems: Bildig Blocks for Itertive Methods, SIAM. 5. Ziekiewicz, O. C., Tlor, R. L. (989) The Fiite Elemet Method, McGrw-Hill Book Comp, Gret Briti. 6. Krowski, P. (996) Good Solid Modelig, Bd FEA, Mchie Desig, N. 7. Nesr, U. A., Bs, P. K. (99) Higher Order Modelig of Pltes b P-Versio of Fiite Elemet Method, Jorl of Egieerig Mechics, Vol. 9, No Bthe, K. J. (996) Fiite Elemet Procedres, Pretice Hll, New Jerse. Il metodo degli elemeti fiiti 4