Interesse e Sconto. Benedetto Matarazzo

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1 Ieresse e Soo Beedeo Maarazzo

2 Corso d Maemaa Fazara Regm azar Operazo azare Ieresse e Soo Equvaleze azare Regme dell eresse semple Regme dell eresse omposo Regme dell eresse apao soo ommerale Prpal propreà d u qualsas regme azaro Coroo ra regm Tass eev Tass equvale Tass omal Tass saae Sdblà Regm sdbl Sdblà e orza d eresse Regm ouga Tass med Forza d eresse e d soo

3 Ieresse x Ieresse y x y empo Capalzzazoe: Capale Impego Moae M I Ieresse : I = M - C; M = C + I; F ; I = C F C C usualmee M > I >-C, I F, F > Ida perao l remeo assoluo del apale seguo all operazoe d mpego osderaa S presde dalla msura del empo erorree ra le sadeze x e y

4 Posulao del redmeo del dearo Usualmee s pozza he l eresse è posvo, ome del reso è omprovao dalla realà eooma: l possesso, la dspoblà o l uso d u apale è vaaggoso e qud ha u prezzo. Le prpal eore he gusao ale assuzoe soo le segue: - Preereza per la lqudà; - Preereza per osum prese; - Reddvà degl vesme real e azar. I eooma l eresse è deo ome l prezzo d uso del apale osderao ome rsorsa produva. I maemaa azara la dezoe dell eresse è asraa; presde dalle dverse eore he lo possoo gusare.

5 Soo x Soo y x y empo Aualzzazoe : Valore Auale Apazoe Somma a sadeza Soo : o eresse apao D = S A ; A = S D ; D = S A S D S usualmee < A S D < S < ; Ida perao l deremeo assoluo della somma a sadeza seguo all operazoe d apazoe osderaa S presde dalla msura del empo erorree ra le sadeze x e y

6 Tass d eresse e d soo Tasso d eresse perodale: usualmee: I = uo perodo; I = C > - C Tasso d eresse: eresse rero all uà d apale ed al perodo x,y, osderao uaro; umero puro; remeo relavo del apale el perodo osderao Tasso d soo perodale: usualmee: d D d = uo perodo; D = S d d < S Tasso d soo: soo rero all uà d somma a sadeza ed al perodo x,y, osderao uaro; umero puro; deremeo relavo della somma a sadeza el perodo osderao

7 Tass d eresse e d soo Poso y-x = perodo uaro Tasso d eresse : equvaleza odameale + x X+ - + empo Tasso d soo : equvaleza odameale -d y- y -d - empo

8 Iesà d eresse e d soo Poso y-x = > duraa dell operazoe Iesà d eresse perodale: = I C x y empo - C C+I Iesà d soo perodale: D = S Per = : = e = d x y empo S-D -S

9 Legge azara d apalzzazoe a due varabl E dea quado, assegae due sadeze emp qualuque x, y o x y, è oo l valore del FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE Fx, y, he da l moae y d u apale uaro veso x. x y x y Propreà d Fx,y: - Fx, y - Fx, y >, x, y posvà; usualmee Fx, y - Fx, x, x rlessvà - Fx, x+= + x, x moae uaro - Fx, y Fx, z, z > y moooa x y z - Fx, y Fz, y, z > x moooa x z y empo

10 Legge azara d aualzzazoe a due varabl E dea quado, assegae due sadeze emp qualuque y, x o y x, è oo l valore del FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE y, x, he da l valore auale x d u apale uaro dspoble y. x y x y y, x - Propreà d y, x: - y, x >, y, x posvà; usualmee y, x - y, y, y rlessvà - y, y- = -d y, y valore auale uaro x y z - y, x z, x z > y moooa empo - y, x y, z z > x moooa x z y empo

11 Legg azare a due varabl Ua oppa d uzo F, dese ua LEGGE FINANZIARIA a due varabl, l u aore azaro d sambo Lx,y è: Lx,y = Fx,y x,y Le due legg azare F e s doo CONIUGATE se, per og x y, rsula y,x = F x, y ossa se l eeo del aore d aualzzazoe euralzza esaamee l eeo del aore d apalzzazoe.d. operazo orrspode. Cò aade ovvamee sempre se al gradezze s rersoo alla medesma operazoe azara. se se x x y y

12 Legg azare a due varabl Capalzzazoe Aualzzazoe x - Fx,y y,x - y empo FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE INIZIALE F x, y x, y TASSO D INTERESSE PERIODALE INIZIALE x, y F x, y INTENSITA D INTERESSE PERIODALE INIZIALE x, y F x, y / y x FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE INIZIALE y, x d y, x TASSO DI SCONTO PERIODALE INIZIALE d y, x y, x INTENSITA DI SCONTO PERIODALE INIZIALE y, x y, x / y x

13 Legg azare a due varabl Cosderado re epohe: x, epoa d zo d mpego; y, epoa d zo della msurazoe; z, epoa olusva, x<y<z, d u operazoe azara; possoo geeralzzars le dezo preede ove yx e z=x+ Tasso d eresse perodale d prosegumeo da y a z: Iesà d eresse perodale d prosegumeo da y a z: Faore d moae d prosegumeo da y a z: x y z Fx;y,z - Fx,y Fx,z -y,x x<y<z -, ; z y x F,, y x F z x F, ; z y x,,, y x F y x F z x F, ; z y x,,, y x F y z y x F z x F

14 Legg azare a due varabl Poedo ques ulma z=y+, >: duraa dell operazoe azara z=y+: epoa olusva d u operazoe azara, può srvers: x y y+ x<y<y+ -y,x Fx;y,y+ - Fx,y - Fx,y+ Iesà d eresse perodale d prosegumeo da y a y+: F x, y F x, y x; y, y F F x, y x, y Se x;y,y+, è dervable parzalmee rspeo a, o dervaa oua, può oeers l esà saaea d eresse: x, xy, y lm F x, y F x; y, y F x, y F x, F x, y y log logf Fx, yx, y y

15 Legg azare uorm ad ua varable Poso y = x +, ; = y - x: duraa dell operazoe azara; s presde dalle eeve sadeze zal e al propreà d uormà el empo, varaza rspeo a raslazo emporal. Ossa, aor d sambo dpedoo solo dalla duraa o sego. FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE F Fx, xx, x y x y x u r FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE y, y y, y y x v TASSO INIZIALE PER LA DURATA u d v INTENSITA INIZIALE PER LA DURATA u y x y v x y empo = =

16 Legg azare uorm TASSO DI PROSEGUIMENTO PER LA DURATA h OLTRE INTENSITA DI PROSEGUIMENTO PER LA DURATA h OLTRE INTENSITA ISTANTANEA IN segue FATTORE DI PROSEGUIMENTO PER LA DURATA h OLTRE u h u v h v u u h u v h v v hu u h u hv h v v u u v v u h u v h v u u h u v h v v hu u h u hv h v v u u v v

17 segue Legg azare uorm Per y - x = : duraa uara dell operazoe azara; s poe: FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: FF x x,, x x x u FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE: y, y, yy y y y RELAZIONE TRA TASSI DI INTERESSE E DI SCONTO Per dezoe perodo uaro s ha: Se aor u e v soo ouga, s ha: d v u da u: dd d d e d, e dd u rx v v v x u r e v d

18 Regm azar Regm azar d apalzzazoe e d aualzzazoe: Modell ormal he soddsao ere ovezo, espress uzoe della sadeze e degl mpor delle operazo azare e d alr paramer ass o esà d eresse o d soo, ossa veloà d resa del moae o d dmuzoe della somma a sadeza, ell ambo d ua loga oggeva. I parolare, u regme s de uorme se s aea l poes d uormà delle operazo azare osderae. S parla d legg azare allorhé vegoo spea valor parolar he assumoo al paramer el regme orrspodee. Gradezze odameal: mpor moear C, emp o epohe Gradezze dervae: luss C/, ass C/C, esà C/C

19 Regm azar Regm azar d apalzzazoe e d aualzzazoe: posulao d addvà Nel alolo azaro s assume abualmee he l valore auale o l moae d due apal C e C 2 dspobl alla sessa epoa è uguale alla somma de orrspode valor aual o moa. Tale prpo s esede mmedaamee al aso d u umero o qualuque d apal C j, j=2,3,,, ahe se dspobl epohe dverse j, j=2,3,,,. Idado, perao, o MC j e o AC j, j=, 2,,, orrspode moa e valor aual, s ha: MC + C 2 + +C =MC +MC 2 + +MC e AC, C 2,, C =AC +AC 2 + +AC, ossa M e A soo uzo lear dell mporo de rspev apal. Cosderado u apale C qualuque, s assume allora he: MhC=hMC e AhC=hAC, h,>, e qud MC=CM=CF e AC=CA=C, ossa M e A soo uzo lear omogeee d C

20 Regm e legg azar uorm usual Capalzzazoe Aualzzazoe Regm ouga Ieress sempl Ieress ompos Ieress apa Soo razoale Soo omposo Soo ommerale Legg orrspode Leare Espoezale Iperbola Iperbola Espoezale Leare

21 I, M C + C Ieress sempl Gl eress sempl soo proporzoal all ammoare del apale C, al empo d mpego duraa ed al asso d eresse perodale zale, he s assume osae, e vegoo oablzza solao al erme dell operazoe d duraa ; qud: I = C, M = C + I = C + C = C + ; M = argc ag = C I s M u r C M C C M è uzoe leare d C, e ; ordaa all orge C e oeee agolare C, M C C ; oua...

22 Ieress sempl segue... I parolare, el regme della apalzzazoe semple: + + s + s = [ + + ] [ + ] =, - è ahe l eresse osae prodoo dal apale uaro u geero perodo uaro d mpego: C= I=, ossa gl eress perodal s sommao per oeere l eresse dell era operazoe d duraa geera oua...

23 Il regme degl eress sempl s usa prevaleemee per operazo azare d breve duraa Ieress sempl = solo per =, s s ; oè l asso d eresse perodale è uguale ad solao el prmo perodo, po derese perbolamee o I alr erm, s osdera l ero perodo [, ] ome UNICO PERIODO DI CAPITALIZZAZIONE

24 Ieress sempl Se l asso d eresse osse varable, ossa asso per ua duraa, asso 2 per ua duraa 2,, per ua duraa, s avrebbe: M C T T 2 T - T T j = j N.B. Og oppa j, j, j=,2,,, deve essere espressa uzoe della sessa uà d empo

25 s Soo razoale Il regme ougao agl eress sempl è lo soo razoale, l u aore d aualzzazoe è: v ; s soo semple o razoale D,A S D A S S A ; D S A, ; Per S = e = : D s d E uzoe del asso d soo d: d s D Sd d s s

26 Ieress ompos el dsreo Durae ua la duraa N dell operazoe, alla e d asu perodo uaro oveuo s ha la apalzzazoe o oversoe degl eress, oè gl eress maura asu perodo uaro alola perodamee al orrspodee asso assegao vegoo rasorma somma al apale e produoo a loro vola eress dal perodo suessvo. I alr erm, alla e d og perodo uaro l /eress vee rasormao /apale.

27 Ieress ompos Caso parolarmee eressae: epohe d apalzzazoe equdsa o dsaza uguale ad u perodo; 2 prma epoa adee esaamee u perodo dopo l zo dell operazoe; 3 asso d eresse perodale osae. 2 3 Calolo per rorreza: C = C + C 2 = C + = C C C C 2 C 3 M C C 3 = C 2 + = C ed erm d d: M C = C + N M C M d u r > -; C I parolare, per = : = + = u=r

28 Da M C = C + I Ieress ompos C C C Per C= e = s ha: I =. possoo ravars valor delle alre gradezze: C M Mv, ed erm d d: C M d M C log M log log C

29 Ieress ompos L eresse prodoo dal apale uaro el geero perodo d mpego [, +] rese espoezalmee el empo ed è proporzoale al apale + essee all zo d ale perodo ed al asso d eresse ; è uguale a solo el prmo perodo =. 2..., oè: L eresse prodoo asu perodo d apalzzazoe è proporzoale al apale essee all zo d ale perodo; l valore omue d al rappor asso d eresse perodale vale. I alr erm, l remeo relavo del moae og perodo è osae e vale.

30 Soo omposo Il aore d aualzzazoe ougao è: N, > - S A Sv S d D d d S A S u I parolare, per =: v S v v v v v v v d v v A S osae per og

31 Ieress ompos el ouo Durae ua la duraa TR dell operazoe, gl eress soo over apale ouamee, ossa gl eress prodo sae per sae ad ua esà osae vegoo rasorma somma al apale e produoo a loro vola eress mao a mao he ess s ormao: apalzzazoe oua degl eress Può dmosrars he rsula: M = C e,,t regme espoezale. Se è assegao l asso osae perodale d eresse, poedo = log+, s ha: M = C +, >, ossa u = r = +.

32 Soo omposo el ouo Cosderado u operazoe azara ove C da l valore del moae M per eeo d u apazoe d duraa, e u esà d soo paramero osae >, ell ervallo d empo esmo,+d, può dmosrars he rsula: C = Me -, > regme espoezale, ougaa alla legge d apalzzazoe espoezale se e solo se =. Se è assegao l asso osae perodale d soo d, poedo =-log-d, s ha: C = M-d, >, ossa v = e - = -d = + - = /u.

33 Regm degl eress e dello soo ompos el ouo I orrspode aor espoezal d apalzzazoe e d aualzzazoe possoo qud esprmers dvers mod, uzoe del asso d eresse, del asso d soo d o delle rspeve esà e, > : Varable Faore d apalzzazoe Faore d aualzzazoe d d d e e La sessa uzoe rappresea la apalzzazoe o lo soo a seoda del sego d e e

34 Ieresse omposo a asso varable Se l asso d eresse osse varable, ossa asso per ua duraa, asso 2 per ua duraa 2,, asso per ua duraa, e s adoperasse la ovezoe espoezale per og perodo, s avrebbe: M C T T 2 T - T T j = j N.B. Tu ass e le durae j, j, j=,2,,, devoo essere espress uzoe della sessa uà d empo. Per = 2 = = =, ale apalzzazoe ode o l regme omposo el ouo gà esamao.

35 Soo ommerale I ale regme d apazoe s assume he lo soo sull apazoe d ua somma a sadeza sa proporzoale al apale da soare S, al asso d soo d osae ed alla duraa dell apazoe. Perao, D = S d, dove d è l asso d soo, oè lo soo praao sull uà d apale apao per l uà d empo. A S D S S d S d; A m d aore d aualzzazoe leare S N. B. m d d e d A, D A Legge d apalzzazoe ougaa D S eress apa Sd = a A C oè, oo C: ovvero: S M d d Cd d I M C m d m d aore d apalzzazoe perbolo

36 d d d,, m Soo ommerale m d è ahe lo soo osae prodoo da ua somma a sadeza uara u geero perodo uaro d apazoe: S= D=d; d m m m d, d, d = d solo per =, oè l asso d soo perodale è uguale a d solao el prmo perodo, po rese perbolamee o

37 Ieress apa Per C = e =, s ha eresse sul apale uaro per l prmo perodo espresso uzoe del asso d soo: m d m ovvero: d. d Esprmedo I per mezzo del asso d eresse, poedo d=/+: I C e M C d M C+ C m apalzzazoe perbola

38 Assom de regm azar Prpal propreà omu a re regm osdera: d d d d lm lm

39 Coroo ra regm azar m s ;, A parà d asso d eresse d eresse > rsula: m s m s m s m s

40 Coroo ra regm azar oua m + s s m

41 ; F F F s log ' ' ' F s ; ' lm ; oua; ' F F' F ovessa ; log 2 F F". e per qud e,, per mmo puo d, ;, ; :! resee ' ' ' ' per F F F F F F F F Coroo ra regm azar oua

42 Coroo ra regm azar o ass d eresse dvers S alolo le dervae prme de aor d moae rspeo al empo, per =; dado o s e rspevamee ass d eresse e regm semple e omposo, s ha: ' s ' s ; ' s s ; log ; ' log. Perao, se s, per la ovessà d s ha s = e > s per >; se, vee, s >, allora s ha s =, s > per << *, s * = * e s < per > *, ove * è la rade dell equazoe s Per s = s ha, ovvamee, * =. s * *.

43 Capalzzazoe msa Caso geerale dell eresse omposo el dsreo S alolao gl eress sempl all ero d og perodo d apalzzazoe ovezoe leare Dae le segue gradezze: - Tasso d eresse perodale el perodo [ j, j ]: j, j=,2,,; - Epohe d apalzzazoe:, 2, 3,, - ; - Sadeza moae: ; - Epoa zale:. M C s.... s 2 s... s M C Ampezze de perod d apalzzazoe: N.B. sessa uà d empo......

44 Capalzzazoe msa Caso parolare I S pozza he gl -2 perod d apalzzazoe ompres ra e - hao asuo ampezza uara e he l asso d eresse perodale è osae ed uguale ad. Adoperado per perod d ampezza razoaa e la ovezoe leare, s ha: M C 2 < < ; < < M C M 2 C

45 Capalzzazoe msa Caso parolare I I ale aso può heders qual è l epoa zale oma dell operazoe azara d duraa omplessva assegaa T = < < ; < <, ossa quado ovee zare l operazoe, oe la duraa omplessva e le epohe d apalzzazoe d ampezza uara. Poedo + = T--2 = F volo, può srvers la uzoe obevo: M C 2 2 C F. Dervado rspeo a s ha: M C F 2 2 he s aulla quado F 2 2, ossa per = F/2 = ; Essedo po egava la dervaa seoda per >, l puo ro rovao per = rsula u puo d massmo relavo. Perao, l epoa zale oma he massmzza l moae è quella per u l operazoe osderaa rsula eraa rspeo alle epohe d apalzzazoe regme o uorme.

46 Capalzzazoe msa Caso parolare II Se ahe per perod d ampezza razoaa e s adopera la ovezoe espoezale o asso d eresse osae, s ha: M 2 C M C I queso aso, ale apalzzazoe ode o l regme degl eress ompos el ouo per =