Scelta della distribuzione di riferimento nell uso degli indici di dissomiglianza per la valutazione con dati ordinali

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1 Scelta della distibuzione di ifeimento nell uso degli indici di dissomiglianza pe la valutazione con dati odinali Maia Chiaa Zanaotti Dipatimento di Scienze Statistiche Univesità Cattolica del S.C. di Milano L.go A. Gemelli 2023 Milano Riassunto: Quando si dispone di una seie di isposte fonite su scala odinale ad un insieme di item un pimo obiettivo è quello di costuie un indicatoe sintetico ottenuto mediante l aggegazione delle isposte. Senza entae nel meito né della scelta della funzione atta ad effettuae tale aggegazione (e quindi del sistema di pesi in essa definito) né della calibazione degli item le cui isposte concoono alla costuzione dell indicatoe nel pesente lavoo viene consideato l utilizzo degli indici di dissomiglianza al fine di associae un valoe numeico a ciascuno degli item che pesentano isposte odinali. Gli indici di dissomiglianza che vengono individuati con ifeimento alla natua odinale dei dati oppotunamente elativizzati o nomalizzati estituiscono un insieme di valoi numeici che ben si pestano a successive aggegazioni. Alla scelta di tali indici e più in paticolae alla scelta della distibuzione da poe a confonto con quella ossevata è dedicato il pesente lavoo. Paole chiave: dati odinali indici di dissomiglianza Custome Satisfaction.. Intoduzione Moltissimi contesti applicativi in ambiti più dispaati sono accomunati da un poblema metodologico icoente: la iceca e la costuzione di uno o pochi indici sintetici che iescano a misuae una caatteistica di inteesse pe sua natua non diettamente misuabile. Tipicamente tale caatteistica viene denominata costutto o vaiabile latente cosiddetta

2 popio in vitù di questa sua caatteistica peculiae che consiste nel non essee diettamente ossevabile né misuabile. Si tatta genealmente di una vaiabile che ha una natua multidimensionale ed allo scopo di ottenee infomazioni nei confonti di questa vaiabile viene ilevata tutta una seie di infomazioni che si eputa possano concoee alla quantificazione del costutto latente oggetto d inteesse. I contesti applicativi in cui tale poblematica si pesenta sono i più svaiati: da quello psicometico a quello dell appendimento da quello sanitaio a quello della custome/use satisfaction. Sopattutto in quest ultimo ambito le poposte ed i contibuti negli ultimi anni sono andati moltiplicandosi paallelamente all aumento significativo della ichiesta di valutazione da pate di enti pubblici e pivati con ifeimento ai sevizi eogati (si veda ad esempio: ennet & Salini 20; Capita et al. 2006). Il poblema che si pone innanzitutto è quello elativo a quali infomazioni accogliee e a come aggegae le infomazioni selezionate al fine di pevenie alla misuazione del costutto latente oggetto di inteesse. La scelta delle infomazioni da accogliee attiene tipicamente al contesto applicativo e può essee suppotata ex-ante da oppotune indagini esploative e confemata/modificata ex-post con il icoso a pocedue di validazione e calibazione. Rinviando alla sconfinata letteatua sulle vaiabili latenti (Batholomew 987; Bollen 989; Bosboom et al. 2003) sulle pocedue di validazione e calibazione e sui modelli ad esse associati in quanto segue l attenzione veà ivolta al caso in cui si suppone di dispoe di una seie di isposte fonite ad un insieme di item e che l obiettivo pefisso sia la costuzione di un indicatoe sintetico ottenuto mediante l aggegazione di tali isposte. Come è noto il pocesso di aggegazione può avvenie utilizzando opeatoi lineai che pesuppongono la natua cadinale delle quantità che vengono aggegate. Molto fequentemente tuttavia i dati a disposizione sono di natua odinale endendo quindi questo pocesso non immediato nel senso che è necessaio opeae una tasfomazione dei dati in modo tale da dispoe pe ciascun item di un valoe numeico da utilizzae nella successiva aggegazione. Questa opeazione di quantificazione può essee effettuata in vai modi: a. mediante l utilizzo di metodi di scaling ossia mediante l attibuzione di un valoe numeico a ciascuna modalità di isposta; b. mediante l utilizzo di modelli stocastici che consideano i dati ossevati come manifestazioni di un pocesso geneatoe con stuttua nota a meno di un insieme di paameti (Capita et al. 2006); c. mediante l utilizzo di indici elementai (calcolati item pe item) che si pestano ad una semplice aggegazione ai fini di ottenee un indicatoe sintetico. 2

3 Consideando in paticolae le poposte oggetto di maggioe attenzione negli ultimi anni pe quanto iguada i metodi di scaling si vedano ad esempio i metodi di tasfomazione di tipo Thustone (928) il dual scaling (Nishisato 980) e la homogeneity analysis del Gifi System (Gifi 990). Ta i modelli stocastici si icoda l ampia famiglia dei modelli IRT-Item Response Theoy (Hambleton 983; Hableton&Swaminathan 985) che costituiscono un estensione del modello intodotto da Rasch (960) in ambito psicometico. Infine pe quanto iguada l utilizzo di indici elementai è possibile icoee ad oppotune misue che estituiscono come detto un valoe numeico item pe item. Ta i divesi indici individuabili nel contesto dei dati odinali in quanto segue veà consideato l utilizzo di indici di dissomiglianza ta le distibuzioni ossevate ed una distibuzione di ifeimento oppotunamente scelta. Si noti come nei te casi consideati la costuzione di un indicatoe composto può ottenesi mediante aggegazione a livelli divesi: pe quanto iguada il caso a. l aggegazione può essee condotta sia con ifeimento ad ogni item ispetto a tutte le unità statistiche consideate che vicevesa ispetto a ciascuna unità statistica complessivamente pe tutti gli item. Stessa possibilità si pesenta nel caso b. dal momento che i modelli consideati foniscono delle misue sia con ifeimento ai singoli item che con ifeimento alle singole unità statistiche. Pe quanto iguada il caso c. invece l aggegazione saà possibile solo con ifeimento agli item nel senso che la pocedua estituisce un singolo valoe pe ciascun item ottenuto tenendo conto delle isposte fonite da tutte le unità statistiche. In questo lavoo l attenzione viene ivolta alla costuzione degli indici di tipo c. e nello specifico alla scelta della distibuzione di ifeimento da utilizzae pe effettuae il confonto. In paticolae nel paagafo 2 si tatteà della scelta dell indice di dissomiglianza nel paagafo 3 veà tattato il tema della scelta della distibuzione di ifeimento e nel paagafo 4 veanno confontati ta loo i isultati che si ottengono icoendo alle divese altenative poposte nei paagafi pecedenti. 2. Indici di dissomiglianza pe caattei odinali Pe misuae il gado di dissomiglianza ta due distibuzioni (elative ad uno stesso caattee) è oppotuno ichiamae il concetto di somiglianza ta distibuzioni. Tattando del caso dei caattei odinali è possibile stabilie la somiglianza ta due distibuzioni in modo molto semplice. Consideando in pima battuta un geneico caattee qualitativo (odinato o non) la somiglianza ta due distibuzioni viene definita nel seguente modo: 3

4 Definizione. Date due distibuzioni ifeite ad uno stesso caattee qualitativo (odinato o non) queste vengono consideate simili se pesentano le stesse modalità e a ciascuna modalità isultano associate fequenze elative ta loo uguali. Se dal confonto ta due distibuzioni emege la loo dissomiglianza può essee utile misuae il gado di tale dissomiglianza e a questo scopo sono peposti gli indici di dissomiglianza. Pe misuae la dissomiglianza ta due distibuzioni ifeite ad uno stesso caattee qualitativo si pocede con il consideae tutte le modalità ossevate (che potanno anche essee divese pe le due distibuzioni) ad associae fequenza nulla alle modalità eventualmente non ossevate in ciascuna distibuzione e a confontae ta loo le fequenze elative associate ad ogni modalità. Date quindi due distibuzioni A e B ifeite ad uno stesso caattee qualitativo X (eventualmente idotte ad assumee le stesse modalità) ed indicando con e ispettivamente le fequenze elative associate alla -ma (= ) modalità di X con ifeimento alla distibuzione A ed alla distibuzione B una famiglia di indici di dissomiglianza è la seguente (Leti 983): A Z = f = f B () con inteo e positivo. Gli indici ottenuti dalla () vengono detti indici assoluti di dissomiglianza di odine ta due distibuzioni ed assumono valoe zeo solo nel caso in cui le due distibuzioni sono simili ossia se: = pe ogni e valoi cescenti all aumentae delle diffeenze ta coppie di fequenze elative ifeite alla medesima -ma modalità. Nel caso in cui il caattee consideato sia qualitativo odinato stante la ben nota elazione ta fequenze elative e fequenze elative cumulate la somiglianza ta due distibuzioni può essee definita anche in temini di fequenze cumulate elative ossia: Definizione 2. Date due distibuzioni ifeite ad uno stesso caattee qualitativo odinato queste vengono consideate simili se pesentano le stesse modalità e a ciascuna modalità isultano associate fequenze elative cumulate ta loo uguali. È quindi possibile definie un alta famiglia di indici di dissomiglianza specificatamente ifeita ai caattei qualitativi odinati nel seguente modo (Leti 983): 4

5 A Z = F = F B (2) sempe con inteo e positivo ed avendo indicato con e le fequenze cumulate elative di ciascuna delle due distibuzioni. Si noti come gli indici di dissomiglianza foniti con le () e (2) possono essee intepetati come distanze ta punti (distibuzioni in questo caso) in R secondo la metica di Minowsy. In altenativa estendendo il campo di vaiazione di e consideando non solo gli intei bensì >0 la () e la (2) possono essee intepetate come medie potenziate di odine delle diffeenze in valoe assoluto ta le due distibuzioni. Essendo inolte: = = la (2) può essee iscitta nel modo seguente: Z = = F A F B. (3) Si noti come Z assuma valoe zeo se e solo se = pe ogni ossia se le due distibuzioni sono simili. Pe quanto iguada il valoe massimo assumibile da ciascuno degli indici descitti dalla (3) si dimosta che tale valoe si osseva nel caso in cui in una distibuzione tutte le ossevazioni sono concentate sulla pima modalità mente nell alta sono tutte concentate sull ultima. Tale valoe massimo coispondente quindi alla situazione di massima dissomiglianza isulta essee pai a: max Z = (4) pe cui è possibile ottenee l indice nomalizzato di dissomiglianza di odine nel seguente modo: Z * = = F A F B. (5) che assume valoi nell intevallo [0 ]. Pe quanto iguada la scelta dell odine dell indice Capusi (2008) ha effettuato alcune simulazioni pe studiae il compotamento dei divesi indici ottenuti con alcuni valoi di ( = ) evidenziando il diveso compotamento degli indici ottenuti al vaiae dell eteogeneità delle distibuzioni consideate. 5

6 3. Scelta della distibuzione di ifeimento In questo lavoo l utilizzo degli indici di dissomiglianza ha l obiettivo di confontae ta loo: la distibuzione ossevata con ifeimento alle isposte fonite da n soggetti a J item isposte accolte con l obiettivo di ottenee infomazioni in gado di tadusi in una misua del costutto latente di inteesse ed un oppotuna distibuzione di ifeimento. Come già detto tale necessità si pesenta in ambiti applicativi divesi ta i quali pe citae uno dei più fequenti vi è la misuazione della custome o use satisfaction anche se molti alti contesti si confontano tipicamente con poblematiche metodologiche simili (ad esempio in ambito medico iabilitativo psicologico sociologico). Nel seguito si suppoà che ciascuno dei J item utilizzati al fine di ottenee tale misua peveda J modalità di isposta odinate (ad esempio secondo una scala di tipo Liet). Volendo quindi confontae le distibuzioni ossevate - elativamente a ciascun item - con una distibuzione teoica scelta come di ifeimento la scelta di tale distibuzione saà fondamentale pe l intepetazione dell indice ottenuto. Dal momento che le modalità di isposta sono odinate ta le possibili scelte della distibuzione teoica di ifeimento è stata poposta la cosiddetta distibuzione ottimale (Capusi e Pocu 200) identificata come quella degenee in cui si osseva solo la categoia di isposta maggioe ta quelle possibili. Effettuando questa scelta è evidente come all aumentae della dissomiglianza ta la distibuzione ossevata e quella teoica coisponda una diminuzione del livello della caatteistica appesentata da quell item. Pensando ad esempio al contesto della custome satisfaction la distibuzione ottimale coincide con quella in cui tutti i soggetti si sono dichiaati massimamente soddisfatti con ifeimento all item consideato ossia la distibuzione seguente: F O 0 pe =... = pe = (6) dove con si è indicata la funzione di ipatizione della distibuzione ottimale (pe semplicità è stato omesso l indice j identificativo dell item). Inseendo tale distibuzione di ifeimento nella (5) l indice di dissomiglianza assume la foma: * = ( F Z = ) (7) dove con si è indicata la funzione di ipatizione ossevata. 6

7 Dal momento che la (7) aumenta all aumentae della diffeenza ta la distibuzione ossevata e quella (ottimale) di ifeimento pe ottenee un indice che vicevesa cesce all avvicinasi alla situazione ottima Capusi e Pocu (200) hanno poposto di utilizzae il complemento ad uno della (7) ossia: O = ( F ) (8) = che aumenta in modo concode ispetto all aumentae dell aspetto che si vuole misuae (la soddisfazione pe esempio). Pe evitae di dove consideae il complemento ad uno dell indice viene qui poposto l utilizzo pe quanto iguada la distibuzione di ifeimento di quella detta pessima ossia della distibuzione degenee in cui si suppone che tutte le unità statistiche abbiano scelto la modalità di isposta più bassa. Tale distibuzione assume la foma seguente: F P = =... (9) dove con si è indicata la funzione di ipatizione di detta distibuzione. L indice di dissomiglianza che si ottiene assume alloa la foma seguente: P = = F (0) Dal momento che la (0) aumenta all aumentae della diffeenza ta la distibuzione ossevata e quella (pessima) di ifeimento l indice ottenuto mantiene la diezione desideata (cesce all aumentae dell aspetto che si sta misuando) pe cui può essee utilizzato diettamente senza consideane il complemento ad uno. Un'alta possibilità pe quanto iguada la distibuzione di ifeimento è quella associata un giudizio intemedio (né pessimo né ottimo) caatteizzato anche da una elevata eteogeneità delle isposte. In paticolae vengono qui consideae due distibuzioni di questo genee. La pima è la distibuzione (simmetica) di massima eteogeneità (massima discodanza nelle isposte) ossia quella in cui si suppone che metà dei ispondenti abbiano isposto con la modalità più bassa e l alta metà con la modalità più alta. L indice che si ottiene in questo caso indicato con è il seguente: 7

8 = = F 0.5 () La seconda distibuzione è invece quella (simmetica) in cui si suppone la massima indiffeenza ossia la distibuzione unifome. L indice che si ottiene in questo caso indicato con è il seguente: = = F (2) Pe quanto iguada il compotamento e l intepetazione degli indici () e (2) si invia al paagafo successivo. Consideando oa in paticolae l indice assoluto di dissomiglianza di odine alcuni semplici passaggi consentono di veificae come la (8) e la (0) siano di fatto coincidenti il che dimosta come la scelta dell una piuttosto dell alta distibuzione di ifeimento ( e ) sia pe = del tutto indiffeente pe quanto iguada l indice che ne deiva (una volta consideato il complemento ad uno dell indice di dissomiglianza quando la scelta sia ). Ponendo = nella (0) si ottiene infatti: O ( F ) = F = P = F = = = = che dimosta l indiffeenza pe quanto iguada la distibuzione di ifeimento nel caso in cui venga scelto l indice assoluto di dissomiglianza di odine. Pe quanto iguada invece gli indici () e (2) sempe consideando l indice assoluto di dissomiglianza di odine alcuni semplici passaggi evidenziano come entambi gli indici sia nel caso in cui la distibuzione ossevata sia quella ottima che in quello in cui la distibuzione ossevata sia quella pessima assumono valoe 0.5. Questo isultato evidenzia la difficoltà di intepetazione pealto non ancoa appofondita di detti indici. Un ulteioe indice poposto in questo lavoo ed indicato con D* è il seguente: D* = F = F (3) = 2 = 8

9 ottenuto consideando la semplice somma (estesa fino a -) delle diffeenze ta la funzione di ipatizione della distibuzione unifome e quella ossevata. L indice veificae con semplici passaggi assume valoi nell intevallo: D* come si può D *. 2 2 L indice si pesta quindi ad essee elativizzato ispetto al suo valoe massimo ottenendo l indice D : D 2 = F (4) = che assume valoi nell intevallo [-; +]. Si noti come l indice poposto con la (4) pu deivando da una fomulazione e da una distibuzione di ifeimento molto divese ispetto agli indici O e P di fatto viene a coincidee con una loo tasfomazione lineae ed in paticolae alcuni semplici passaggi evidenziano quanto segue: D O P = = 2 (5) 2 Se si considea poi l indice D* nomalizzato si peviene al seguente inteessante isultato: D* D 2 O P NORM = = F = = = 2 2 (6) ossia la coincidenza olte che ta gli indici O e P anche ta quest ultimi e l indice che si ottiene nomalizzando l indice fonito con la (3). Alla luce della (5) e della (6) si può concludee come malgado la divesa genesi degli indici O e P ispetto all indice D (e D NORM ) il loo compotamento isulteà esattamente lo stesso (a pate il diveso campo di vaiazione dell indice D ). Nel paagafo successivo veanno pesentati alcuni isultati ottenuti confontando ta loo solo gli indici di odine =. Pe un analisi compaativa pe divesi valoi di con ifeimento al solo indice O si veda come già detto Capusi (2008). 9

10 Stante inolte sia la coincidenza iscontata ta gli indici ultimi e l indice solo te. O e P che quella ta questi D NORM gli indici che veanno confontati in quanto segue saanno quindi 4. Confonto pe alcune distibuzioni simulate. In questa sezione vengono pesentati alcuni isultati ottenuti confontando ta loo gli indici poposti nel paagafo pecedente. In paticolae il confonto si limiteà a consideae gli indici deivanti dalla (5) scegliendo = e come già detto iguadeà gli indici: e. Dal momento che non isulta siano stati poposti citei di valutazione con ifeimento alla scelta degli indici tattati di seguito veà condotto un semplice confonto pe evidenziae il compotamento di tali indici in coispondenza di divese distibuzioni ossevate. Nell effettuae i confonti si teà tuttavia conto dell eteogeneità delle isposte fonite pe veificae se gli indici poposti si dimostano sensibili (ed in modo monotono) alla minoe o maggioe discodanza dei giudizi espessi. Pe misuae tale eteogeneità viene calcolato il seguente indice d* di dispesione pe caattei odinali (Leti 983): 4 d * = F ( F ) (7) = Nella Tabella sono ipotati i valoi dei 4 indici consideati nonché il valoe dell indice d* fonito con la (7) con ifeimento a 8 distibuzioni simmetiche (=5) caatteizzate da cescente eteogeneità delle isposte. Tabella : Indici e d* distibuzioni simmetiche (=5). Distibuz. f f2 f3 f4 f5 () () d*

11 Dall esame della Tabella e dall andamento del Gafico si può ilevae il compotamento dell indice nel caso in cui vengano consideate distibuzioni simmetiche con =5 modalità odinate di isposta caatteizzate peò da divesi livelli di eteogeneità: l indice assume invaiabilmente il valoe intemedio (05) mostandosi quindi del tutto insensibile al fatto che le divese distibuzioni sono caatteizzate da livelli decisamente molto divesi di eteogeneità. Consideando ad esempio le distibuzioni 5 ed 8 a fonte dello stesso valoe egistato dall indice l eteogeneità è sostanzialmente divesa: si passa dall assoluta omogeneità (d*=0) dei giudizi pe la distibuzione (che si potebbe definie come una situazione di massima concodanza del giudizio espesso) ad una situazione di equidistibuzione (d*=0.8) delle isposte (che si potebbe definie come una situazione di massima indiffeenza del giudizio espesso) ed infine ad una distibuzione di massima eteogeneità (d*=) nei giudizi (che si potebbe definie come una situazione di massima discodanza del giudizio espesso). Tabella 2: Indici e d* distibuzioni simmetiche (=4). Distibuz. f f2 f3 f4 () () d* Commenti simili si possono fae con ifeimento alla Tabella 2 seppue tattandosi di distibuzioni in cui è assente la modalità centale la situazione di massima omogeneità associata alla simmetia non sia ossevabile. Tuttavia anche nel caso di =4 l assoluta indipendenza dell indice al vaiae del gado di omogeneità/eteogeneità delle isposte è evidente. Vicevesa i due indici ed isultano sensibili al vaiae dell eteogeneità (si veda Figua ): l indice decesce all aumentae dell eteogeneità (misuata con d*) mente l indice tende a vaiae in modo concode all aumentae dell eteogeneità così come definita (e misuata ad esempio mediante l indice di Gini) pe i caattei qualitativi sconnessi. Tali compotamenti degli indici ed sono del tutto ovvi stante la loo costuzione: isulta tuttavia di non facile intepetazione il valoe numeico da essi assunto nei

12 vai casi. Tale difficoltà intepetativa è anco più evidente se si consideano distibuzioni non simmetiche di cui alcuni esempi sono ipotati nelle Tabelle e 6. Pe tale motivo l utilizzo di tali indici malgado la loo sensibilità all eventuale disomogeneità delle isposte non viene suggeito. Vicevesa consideando nuovamente l indice il suo compotamento isulta diveso nel caso di distibuzioni asimmetiche (Tabelle e 6). L indice isulta infatti sensibile all andamento dell eteogeneità. Infatti sebbene non pesenti un andamento monotono in funzione dell indice di dissomiglianza d* tuttavia il legame ta e l indice di eteogeneità d* è tendenzialmente concode (la seveità del giudizio si iduce all aumentae dell eteogeneità) pe distibuzioni con asimmetia positiva e discode (la positività del giudizio si iduce all aumentae dell eteogeneità) pe distibuzioni con asimmetia negativa (si vedano Figue 2 e 3). Tabella 3: Indici e d* distibuzioni con asimmetia positiva (=5). Distibuz. f f2 f3 f4 f5 () () d* Tabella 4: Indici e d* distibuzioni con asimmetia positiva (=4). Distibuz. f f2 f3 f4 () () d*

13 Tabella 5: Indici e d* distibuzioni con asimmetia negativa (=5). Distibuz. f f2 f3 f4 f5 () () d* Tabella 6: Indici e d* distibuzioni con asimmetia negativa (=4). Distibuz. f f2 f3 f4 () () d* Figua : Indici in funzione di d* distibuzioni simmetiche (=5) () ()

14 Figua 2: Indici (=5). in funzione di d* distibuzioni con asimmetia positiva () () Figua 3: Indici (=5). in funzione di d* distibuzioni con asimmetia negativa () () Ossevazioni conclusive Dopo ave veificato alcune coincidenze con ifeimento ad indici divesi costuiti a patie da distibuzioni di ifeimento divese ta loo l esame del compotamento di alcuni indici consideati pota a fae le seguenti consideazioni: 4

15 - L indice isulta in gado di misuae la seveità/positività dei giudizi espessi nel caso in cui le distibuzioni ossevate isultino asimmetiche. In questo caso l indice isulta sensibile nel modo descitto nel paagafo pecedente a vaiazioni dell eteogeneità delle distibuzioni ossevate. - Nel caso di distibuzioni simmetiche ispetto alla modalità di isposta centale l indice isulta insensibile a vaiazioni impotanti pe quanto iguada l eteogeneità dei giudizi espessi. L indice pesenta il valoe intemedio della popia scala (05) indipendentemente dal fatto che vi sia stata unifomità di giudizio piuttosto che massima eteogeneità o anche massima indiffeenza. - Gli indici ed malgado la loo sensibilità all eteogeneità delle ossevazioni isultano di scaso inteesse dal un punto di vista dell oggetto che si vuole misuae: si tatta di indici che si potebbeo utilizzae eventualmente allo scopo di misuae la dispesione pe caattei qualitativi. Alla luce delle pecedenti ossevazioni si possono tae le seguenti conclusioni: l uso dell indice isulta adeguato agli scopi una volta escluso il caso in cui la distibuzione consideata sia non simmetica. In caso di simmetia si potebbe pensae di intodue una penalizzazione del valoe dell indice penalizzazione che dovebbe iflettesi in una sua iduzione popozionale al gado di disomogeneità nelle isposte fonite. Tale idea potà essee sviluppati in ulteioi studi sull agomento. L indice calcolato pe ciascun item ed eventualmente modificato in caso di distibuzioni simmetiche si pesta quindi ad essee aggegato mediante una combinazione lineae allo scopo di ottenee un unico indice sintetico di valutazione complessiva. Un ulteioe appofondimento non sviluppato in questo lavoo iguada la scelta dei coefficienti (pesi) da adottae all inteno della combinazione lineae. In assenza di una motivata scelta di un sistema di pesi ta loo divesi pe i divesi item la soluzione più fequentemente adottata è quella di consideae una semplice media aitmetica degli indici elementai di tipo. 5

16 Bibliogafia Batholomew D.J. (987). Latent vaiables models and facto analysis. Giffin & Co. Limited London. Bollen.A. (989). Stuctual equations with latent vaiables. Wiley New Yo. Bosboom D. Mellenbegh G.J. Van Heeden J. (2003). The theoetical status of latent vaiables. Psychological Review Capusi V. (2008). La qualità della didattica: indicatoi semplici o composti?. La valutazione dei pocessi fomativi: poblemi e metodi a confonto. Univesità degli Studi di Napoli Fedeico II Napoli. Capusi V Pocu M. (200). La didattica univesitaia valutata dagli studenti: un indicatoe basato su misue di distanza fa distibuzioni dei giudizi. In: Atti Convegno Intemedio S Pocessi e metodi statistici di valutazione Roma 4-6 giugno 200. Capita M. D Amba L. Vichi M. Vittadini G. (2006). Valutae la qualità: i sevizi di pubblica utilità alla pesona. Gueini Studio Milano. Gifi A. (990). Nonlinea multivaiate analysis. Wiley Chicheste. Hambleton R.. (Ed.) (983). Applications of item esponse theoy. BC. Educational Reseach Institute of Bitish Columbia Vancouve. Hambleton R.. & Swaminathan H. (985). Item esponse theoy: Pinciples and Applications. luwe Academic Publishes Boston. enett R. & Salini S. (20). Moden Analysis of Custome Satisfaction Suveys. Wiley New Yo. Leti G. (983). Statistica descittiva. Il Mulino Bologna. Nishisato S. (980). Analysis of categoical data: dual scaling and its applications. Univesity of Toonto Pess Toonto. Rasch G. (960). Pobabilistic models fo some intelligence and attainment tests. Danish Institute fo Educational Reseach Copenhagen. Thustone L. L. (928). Attitudes can be measued. Ameican Jounal of Sociology