TECNICA DI IDENTIFICAZIONE DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA CON IL METODO CASCADE RELAY
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- Alessio Morelli
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1 C p i t o l o TECNICA DI IDENTIFICAZIONE DELLA RISOSTA IN FREQUENZA CON IL METODO CASCADE RELAY In qusto pitolo si introdurrà l idntifizion di sistmi mdint sd rly. Tl tni prmtt di idntifir simultnmnt più punti dll rispost in frqunz di un prosso linr prtir dll osillzioni stzionri dl sgnl di usit. L vrsion inizil prsntt in [], tuttvi, può ssr sts pr idntifir i prmtri rttristii di un prosso di Hmmrstin (non linrità, ritrdo introdotto, offiinti dll funzion di trsfrimnto dll prt linr.rim di introdurr il mtodo sd rly vrrà trttto il so dl rly stndrd dl prsit rly.. Stndrd Rly Si onsidri un rly stndrd in ui l mpizz di usit dl rly è d. S il prosso h un ritrdo di fs di lmno π rdinti, il rly riport il sistm d un osillzion stzionri.. In qusto modo si risono lolr si il priodo risultnt dl prosso T h l su mpizz. Inftti grzi l mtodo dll funzion dsrittiv,h vrrà trttto mglio nl prossimo pitolo, si ris rivr l frqunz di tglio: π ; T
2 il gudgno sttio: 4d u π Qusto mtodo, om vdrmo in sguito. è limittivo prhé on un tst rly si ris rivr solo un punto dll rispost in frqunz dl prosso.. rsit rly L modifi dl rly stndrd è visiil in figur., in ui si è introdotto il loo prsiti rly (Bi t l Fig.. rsit rly Fd
3 Il prsiti rly è rlizzto osì: u ( αd u ( αd sign( u u ( u ( ( s( u ( > u ( < ltrimnti dov α è un ostnt il ui vlor vri tr.-. u ( è il -simo mpion di u (. L usit dl rly modifit è prs om u u ( + u ( mndt t ( om ingrsso l prosso. In qusto modo il prosso è sollitto d du frqunz di priodo T T, l usit dl prosso tndrà osì stilizzrsi l priodo di T. Grzi ll du itzioni in ingrsso, il sgnl di usit y(t onst di omponnti frqunzili rispttivmnt. π T π 6π π π 5π on l loro rmonih dispri,,,,,, T T T T T. Csd Rly L tnih st su un singolo rly possono idntifir, dll risultnt osillzion stzionri, un punto dll rispost in frqunz dl prosso linr. L tni st sull uso in fd di sd rly., propost d Q.-G. Wng Y. Zhng nl loro rtiolo Frquny rspons idntifition with sd rly fd [], onsnt di idntifir più punti dll rispost in frqunz dl prosso linr ffttundo un solo tst on rly in fd. L tni dl sd rly è ostituit d du rly insriti in du diffrnti ili: lo slv rly si trov
4 nll nllo più intrno d h il ompito di idntifir l pulszion riti sistm linr, il mstr rly, inv, si trov nll nllo strno. (Fig... di un Figur. Sistm linr on fd rly Lo slv rly nl loop più intrno è uno stndrd rly simmtrio, l ui usit mpiont u ( h mpizz pri d : qusto rly, un volt hiuso il loop, h il ompito di itr il sistm ll pulszion. Il mstr rly vin insrito pr itr il prosso on ltr osillzioni divrs d. Il mstr rly lvor ll frqunz.5,l ui usit è: u( + µ s ( - < ( ( s ( - > ( ( ltrimnti u ( u µ u > < (.
5 d + d - Figur.. Andmnto lssio dll'usit dl mstr rly in funzion dl sgnl d'ingrsso L usit dl mstr rly mpiont u ( è un ond priodi grdini on tr mpizz: d + µ, d µ, dov µ è un sogli (Fig... In qusto modo si ottngono in usit l sistm osillzioni prsistnti nh pulszioni pri.5.5 (pr fftto dl mstr rly in ggiunt (ontriuto dllo slv rly. Il prosso risult quindi stimolto d du divrs itzioni i ui priodi sono rispttivmnt T T. L usit è un osillzion stzionri di priodo ir ugul T il sgnl u ( ssum l form di un ond qudr in ui, ll intrno dllo stsso priodo, sono prsnti du fronti d ond. t
6 d -d Figur.4. Usit dllo slv rly Fig..5 Usit dl prosso L sogli µ vin introdott pr ridurr il più possiil imprvdiili swithings dovuti rumor o disturi. L diffrnz tr l usit dl mstr rly l usit dl sistm dtrmin gli swithings nllo slv rly, mntr vntul rumor o disturo non us indsidrti swithings fintnto h l su mpizz si infrior µ. Un pproprito vlor di µ iut dtrminr osillzioni roust nll usit dl prosso on du frqunz fondmntli.
7 Grzi ll du itzioni in ingrsso, il sgnl di usit y(t onst di omponnti frqunzili π T π 6π π π 5π on l loro rmonih dispri,,,,,, T T T T T rispttivmnt, osì om dv nl prsiti rly. r un prosso linr, l rispost in frqunz di G(s può ssr ottnut grzi ll nlisi di Fourir om: T y s it G( i T pr i,,... (.4 it u s dov ( i π i l l T, sono l frqunz fondmntli l frqunz dll loro rmonih dispri in u y s s dov u y sono rispttivmnt l form dll osillzioni stzionri u ( y( in s un priodo. s L G nll rlzion (.4 può ssr lolt ttrvrso l lgoritmo dll FFT: ( i ( ys ( u FFT G ( i (.5 FFT s
8 E quindi possiil idntifir più punti dll rispost in frqunz in modo priso, grzi d un solo tst on un rio omputzionl modsto (l FFT vin ust un sol volt pr isun tst.. Sistmi dl primo ordin I sistmi on funzion di trsfrimnto dl primo ordin on ritrdo di tmpo (Firstordr plus dd tim FODT sono spsso usti pr rpprsntr di prossi: G( s τs + Ls (.6 Un lmm dl [] di h pr un sistm linr on fd rly sd, om in figur., in ui il prosso linr è dfinito dll funzion di trsfrimnto (.6, s sist l osillzion stzionri du rmonih fondmntli llor: d K > l τ µ < mind K, d K( (.7 r l dimostrzion dl lmm si rimnd []. L onlusioni di qusto lmm sono: L ondizioni sopr indit srvono sttr l sogli µ in modo d vr un ilo limit. Inoltr on qust ondizioni si risono rgolr, in mnir simil, ltri prmtri nl so di rly stndrd. In prti, l mpizz dl
9 rly vin rgolt ffinhé l osillzion in usit l prosso si tr volt l mpizz dl rumor; qusto lmm può ssr filmnt stso i rly on istrsi; pr un prosso on gudgno sttio ostnt ngtivo, u u sono miti di sgno pr ottnr un osillzion stzionri. Vdimo un smpio di FODT, in ui sminimo nh l rror prntul di idntifizion ommsso nl so pggior: Gˆ ( i G( i ERR m *%, i,,..m i G( i (.8 dov G Gˆ( sono rispttivmnt l rispost in frqunz stt l stim ( i i dll rispost in frqunz. Il rpporto sgnl-rumor (Hyin 989 è dfinito d: N Mdi dll dnsità spttrl di potnz dl rumor Mdi dll dnstità spttrl di potnz dl sgnl (.9 E N { s( rumor } E{ s( sgnl } (.
10 Vdimo on un smpio l pplizion prti dl lmm. rndimo il prosso: G( s 5s + 5s In qusto tst, l mpizz dllo slv rly d è impostto ugul, qullo dl mstr rly d l su sogli µ.5. L rispost di du rly sono rpprsntt in figur.6, dov u è l ingrsso dl prosso. Figur.6 Rispost ottnut on in vri mtodi in ssnz di rumor ( vrd :stndrd: lu : prsit; rosso : sd
11 r l stim di punti multipli, il sistm on il prsiti rly ponv l mpizz dl rly stndrd.5 l ltzz dl loo..5, mntr nl rly stndrd l ltzz è sttt. In qusto sistm, om si è dtto, si ris stimr solo un punto : qusto si prnd om rifrimnto pr lolr il suo ERR. In ssnz di rumor, l rror introdotto nll stim di prmtri ni vri si è:.% on il mtodo dl sd rly.% on il mtodo dl prsit rly.9% on lo stndrd rly. Introdundo or dl rumor gussino ino mdi null nl sistm,on l funzion Mtl wgn, il vlor di istrsi ni tr rly vin posto ugul.. r diminuir l fftto dl rumor, spilmnt ni si in ui il rpporto sgnlrumor è onsidrvol, si prnd in onsidrzion l mdi dgli ultimi du-quttro priodi di osillzion om priodo di osillzion stzionri.. Tuttvi, l urtzz dl tst dipnd dll ffidilità dl priodo dl ilo limit. r ottnr un stim miglior dl priodo si utilizz l tni vrging (Wng t l. 999, quindi l formul pr lolr l ultimo gudgno u usndo l istrsi h è: u 4d (. π h dov h è l lrghzz dll istrsi l ultimo priodo può ssr lolto dl priodo di osillzion su un rto numro di si (qullo su ui vin sguit l mdi. Con qust tnih di rizion dl rumor,s N è minor dl %, l rror ERR ni tr si è:.87% on il mtodo dl sd rly 6.8% on il mtodo dl prsit rly
12 .% on lo stndrd rly rndndo in onsidrzion l mdi su quttro priodi dll osillzion stzionri, l rispost in frqunz dl prosso stimt pr livlli di rumor di N % % è rpprsntt in figur.7.8. Figur.7 Stim di G( in prsnz di rumor, pr N % (+,sd,, prsit, O, stndrd
13 Figur.8 Stim di G( in prsnz di rumor, pr N % (+,sd,, prsit, O, stndrd.4 Estnsion dl sd rly sistmi di tipo Hmmrstin Nll vrsion originl dll tni dl sd rly il sistm di ui lolr l rispost in frqunz è ovvimnt linr. Si riordi inftti h l rispost in frqunz non è dfinit pr sistmi non linri. Un intrssnt stnsion sistmi non linri è prsntt in [6]. L trttzion di sistmi non linri è prtiolrmnt importnt prhé molti sistmi rli prsntno nonlinrità intrinsh h rndrro il sistm stsso diffiil d idntifir. Inoltr, in [] si lol solo l rispost in frqunz (ottnut pr punti dl sistm, snz ottnr nssun informzion pr qunto rigurd il modllo mtmtio dl sistm (sprsso mdint l funzion di trsfrimnto.
14 L stnsion i sistmi di Hmmrstin dll tni dl sd rly prmtt di idntifir on ottim prision si l non linrità prsnt nl sistm, si i offiinti dl dnomintor dll funzion di trsfrimnto dl prosso linr, si il ritrdo introdotto dl sistm. Il prosso linr ll intrno di qullo di Hmmrstin (omposto d un prt non linr sguit d un prt linr vin qui ssunto ssr di ordin (il polinomio dll funzion di trsfrimnto srà quindi dl tipo s + s +, on fil stnsion sistmi di ordin qulsisi. Un modllo di sistm non linr di tipo Hmmrstin può shmtizzrsi om l sri di un sistm non linr di un sistm linr, om in figur: Esmpi di modlli di tipo Hmmrstin sono quindi i sgunti:
15 in ui pr isun modllo il primo loo rpprsnt l non linrità, mntr il sondo è il prosso linr. Nl sguito supporrmo h pr l prt linr on rispost in frqunz dl sondo ordin più ritrdo, il gudgno sttio si unitrio: Dlys G( s s + s + (. Il gudgno omplssivo dl prosso risult inluso, prtnto, nll prt non linr. Nl so prtiolr in ui il loo Non linrità si sostituito d un ostnt, il sistm omplssivo divnt linr. Nl so gnrl, inv, non si può prlr di rispost in frqunz pr il sistm di Hmmrstin, m si può nor dottr l trsformt di Fourir pplit i sgnli. S (t è il sgnl in ingrsso ll prt linr dl prosso, è possiil srivrn l trsformt di Fourir om: ( t πt / T X (. dov X, vlor mdio di (t, d in gnrl i offiinti X, possono srivrsi om: X ( + high low ( D + D + ( D + D πd π ( D +.5D [ D sin( D + D sin( D ] low + low C (.4
16 dov si è posto: C D sin( D πd + Dsin( D π ( D +.5D (.5 In qust sprssioni, D, D, D, sono prmtri rivili nlitimnt dllo studio dl sgnl d usit dllo slv rly u (t. In prtiolr, D D sono i dutyils dl primo dl sondo front d ond dl sgnl, mntr D è il ritrdo tr i du fronti d ond, normlizzto. Inoltr low high sono i du vlori h (t ssum h ostituisono du vlori ssunti dll funzion h sprim l non linrità. Anlogmnt, è possiil srivr l trsformt di Fourir dll usit y(t om: y ( t Y πt / T (.6 dov i offiinti Y possono srivrsi om: Y R + I (.7 in ui:
17 T T dt T t t y T I dt T t t y T R / sin( ( / os( ( π π (.8 ovvro: C G C G X G Y ( ( (.9 dov: Dly G + ( (. Andndo sostituir qust sprssion nll rlzion (.9 ottnimo dll quntità, h possono ssr lolti in du modi diffrnti, sond di om vin dtrminto il ritrdo Dly..4. Vrsion In qust prim vrsion il ritrdo Dly introdotto dl sistm di Hmmrstin vin lolto dirttmnt misurndo dopo qunto tmpo, prtir dll inizio dll simulzion, l usit divnt non null. Riprndndo l (., himimo i offiinti ottnuti sondo l formul:
18 Dly C Y + (. r,, si ottin: (. Il sistm è linr, quindi risolviil in mnir smpli: l inonvnint st nl ftto h qusto pproio non può ssr utilizzto qundo l usit dl prosso di Hmmrstin vin orrott d rumor, dto h l usit sr non null nh l tmpo..4. Vrsion L uni os h mi risptto ll prim vrsion st nl modo in ui è lolto il ritrdo dl sistm. In qust sond vrsion il ritrdo vrrà lolto insim gli ltri prmtri di intrss risolvndo un sistm non linr. Si vdrà om tl sistm si di diffiil soluzion, m om, mdint un orgimnto, potrà ssr riportto ll soluzion di un sistm linr. Si sgli di vr un stim dl ritrdo Dly insrndolo om ultrior inognit. In qusto so:
19 Dly C Y + (. r,, si h il sgunt sistm non linr, on quzioni omplss Dly Dly Dly (.4 Somponndo l quzioni in prt rl immginri si rriv l sistm nll form finl on 6 quzioni 4 inognit (,,, Dly: sin( os( sin( os( sin( os( Dly Dly Dly Dly Dly Dly In ntrmi i si, l mtri in (. o il sistm in (.5 sono omplssi mntr,,, Dly, sono numri rli; dll soluzion si onsidr priò solmnt l prt rl. Infin, prtir d si rivno i du vlori dll non linrità low high, ttrvrso l sprssion di X nll (.4, dopo vr ssunto h X Y, dl momnto h G( h gudgno unitrio.
j Verso la scuola superiore Gli insiemi N, Z, Q, R
j Vrso l suol suprior Gli insimi N, Z, Q, R Individu l rispost orrtt Un numro è divisor sondo di un numro s L oprzion è impossiil possiil in Z possiil in R Trdundo il tsto nll simologi mtmti si h ; pplindo
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