Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione, a.a. 2009/10 Registro delle lezioni

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1 Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ig. Iformatica e dell Automazioe, a.a. 009/0 Registro delle lezioi Lezioe (4/3). Itroduzioe al corso; materiale e comuicazioi alla pag. di F. Fladoli, Eveti (iterpretazioe ituitiva e rigorosa), uiverso, eveti elemetari, operazioi sugli eveti. Algebre e sigma-algebre di eveti, maggior o mior iformazioe coteuta i esse, esempio delle algebre relative a ciò che è accaduto etro u certo tempo. Probabilità di eveti, sue regole. Itepretazioe della probabilità come massa, accordo co le regole. Spazi di probabilità uiformi. Esempio del lacio di due dadi. Probabilità codizioale, de izioe e iterpretazioe gra ca. Idipedeza di eveti, legame co la probabilità codizioale. Formula di fattorizzazioe (probabilità totali). Esercizio: vedite di vio a F (50%) e G (50%); le vedite a F riguardao vio B per i 3/4; le vedite a G riguardao vio B per /4. Che probabilità c è di vedere vio B? (Soluzioe co la formula delle probabilità totali). Gli argometi di questa lezioe si trovao el capitolo, par..,.3,.4,.5 )di questo maca Bayes). Lezioe (5/3). Richiamo sulla formula delle probabilità totali. Formula di Bayes. Essa risolve il problema di trovare la causa più probabile, osservato l e etto (metre il cocetto di probabilità codizioale parla della probabilità dell e etto data la causa). Se l e etto A può essere causato da B o B, si vuole capire chi è maggiore tra P (B ja) e P (B ja). Siccome il deomiatore (ella formula di Bayes) è lo stesso, basta cofrotare P (AjB ) P (B ) co P (AjB ) P (B ). Nel caso di cause equiprobabili, si cofrota P (AjB ) co P (AjB ) (ituitivo). E quato avviee ei caali co rumore, quado il ricevete deve decidere il messaggio iviato (se B o B ), sulla base della ricezioe di u messaggio corrotto A. Viee iterpretata la formula delle probabilità totali tramite u albero di eveti, e così la scelta della causa più probabile. Si tratta di calcolare probabilità lugo percorsi e sommarle o cofrotarle. Richiamo del cocetto di idipedeza. Calcolo della probabilità di ua geerica striga di umeri, uguali a 0 o, co k di essi uguali ad, se ciascu simbolo viee scelto paria co probabilità p (quidi 0 co probabilità

2 p). La probabilità di tale striga è p k ( p) k : U simile calcolo si può svolgere, co più fatica, quado le cifre soo scelte a caso ma i modo dipedete dall ultima scelta (schema markoviao). Vedremo che il umero di tali strighe è il coe ciete biomiale k, e quidi la probabilità che ua striga a caso cotega k è p k ( p) k : k Per ora chiamiamo disposizioi le strighe ordiate di k umeri diversi presi dall isieme f; :::; g. Ce e soo ( )( k + ) (il primo elemeto della striga si può predere i modi; ssato questo, il secodo si può predere i modi; e così via). Lezioe 3 (/3). Ulteriori elemeti di calcolo combiatorio. Pricipio di eumerazioe (facoltativo, o sul libro di testo): se i u primo esperimeto ci soo esiti possibili diversi, poi i u secodo esperimeto ecc., e se i risultati complessivi della sequeza di esperimeti si cosiderao i modo ordiato (cioè o a meo dell ordie co cui soo stati fatti), allora il umero totale di risultati è Vegoo riprese le disposizioi, itese come strighe ordiate di k umeri, estratti seza reimbussolameto da u ura coteete umeri (k ), e vegoo itepretate ache come applicazioi iiettive, come sul libro. Il loro umero è ( ) ( k + ) (per il pricipio di eumerazioe). Poi viee esamiato il caso k =, delle permutazioi, iterpretate ache come scambi. Il loro umero è!. Poi viee cosiderato il problema delle strighe ordiate di 0 e, lughe, co k valori uguali a. Vegoo messe i corrispodeza co le applicazioi strettamete cresceti, come sul libro, e da qui viee dedotto il loro umero, k = ( ) ( k + ) k! =! k! ( k)! (ifatti per ciascua di esse ci soo k! diverse applicazioi iiettive). I e viee spiegato che, i base al pricipio di eumerazioe, il umero di strighe ordiate di k elemeti, i cui ogi elemeto è u qualsiasi umero tra ed (ache co ripetizioe), è k.

3 Esercizio. U satellite per telecomuicazioi di cellulari ha poteziali uteti. Se li possiamo cosiderare idipedeti e ell uità di tempo ciascuo di essi chiama co probabilità p, qual è la probabilità che chiamio k uteti? Soluzioe: k p k ( p) k, basata sui fatti appea visti e sulla proprietà che la probabilità di u isieme discreto è la somma della probabilità dei suoi elemeti (o il fatto che la probabilità dell uioe di evetiu disgiuti è la somma delle probabilità). Se ivece iteressa la probabilità che il umero di uteti superi j, il risultato è P k=j+ k p k ( p) k (sempre per gli stessi fatti). Il Capitolo si cosidera ito. Iizia lo studio del Capitolo, co alcue putate al Capitolo 3, per cofrotare il caso discreto col cotiuo. Cocetto di variabile aleatoria, come fuzioe da uo spazio di probabilità (; F; P ) ei umeri reali. La otazioe (X I), co I R, idica l isieme di tutti gli! tali che X (!) I. Ua v.a. X iduce ua probabilità su eveti I R dei umeri reali, poedo (I) = P (X I) : Questa si dice legge (immagie) di X. Due esempi di v.a., collegate all esercizio precedete: le idicatrici (esempli cate co le v.a. che valgoo se il k-esimo utete chiama) ed il umero N di uteti che chiama. Variabili aleatorie discrete e cotiue. Rappresetazioe gra ca delle prime: lista dei valori e delle loro probabilità. Tali probabilità p k = P (X = k) soo umeri 0 a somma (pertato, se vegoo assegati i parteza, va veri cato che questo è vero). La successioe (p k ) è detta desità (di probabilità) discreta (metre la fuzioe f (x) del caso cotiuo, cioè tale che P (X I) = R f (x) dx, è detta desità di probabilità, pdf ). Gra co di ua I desità discreta. Esempi di desità discrete: Beroulli, biomiale (veri ca di somma uo). Euciato di u teorema di legame che verrà ripreso. De izioe di v.a. idipedeti: X ; :::; X si dicoo idipedeti se P (X I ; :::; X I ) = Y P (X i I i ) : Lezioe 4 (/3). Teorema: se X ; :::; X soo idipedeti B (; p), allora S = X +:::+X è ua B (; p). La dimostrazioe è basata sugli stessi ragioameti dell esercizio del satellite, formalizzati u po di più. 3 i=

4 Variabili aleatorie cotiue, desità di probabilità, P (X I) = R f (x) dx. I Esempi: uiforme su [a; b], espoeziale di parametro > 0, gaussiaa stadard. R I tutti i casi è stato esamiato il problema della codizioe f (x) dx = (che forisce le costati di ormalizzazioe). Ruolo gra co di R. Ecco il coto di Gauss, i sitesi: Z Z Z Z dx = e x y e Z dxdy = d e d e x = Z 0 e t dt = : Lezioe 5 (8/3). Valor medio (valore atteso, speraza matematica) per variabili discrete e cotiue. E [' (X)]. Iterpretazioe gra ca (media pesata dei valori, baricetro, cetro di massa, comuque sull asse delle ascisse). Esempi: Beroulli, biomiale, uiforme, espoeziali, gaussiaa qualsiasi. Vegoo itrodotte apputo le gaussiae N (; ), osservado che sostazialmete di eriscoo da quella stadard per la trasformazioe z = x (traslazioe e dilatazioe). Se il gra co della stadard divetava idistiguibile da zero per valori a distaza circa pari a 4-5 dall origie, lo stesso accade per la N (; ) a distaza circa pari a 4-5 per, da. La media della biomiale è stata calcolata per ora i modo esplicito: E [X] = X k p k ( p) k = X! k (k )! ( k)! pk ( p) k = X ( )! (k )! ( k)! pk ( p) k = p X ( )! (k )! ( k)! pk ( p) k = p (p + ( p)) = p: Vao curate le sommatorie (si può togliere k = 0 all iizio, poi alla e si cambia variabile, es. j = k ). De izioi di mediaa e moda, osservazioi sul legame co la media. Media aritmetica x = x +:::+x di u campioe sperimetale. Legame tra i due cocetti: x + ::: + x (0 + ::: + 0) + ::: + (k + ::: + k) + ::: = = ::: + k k + ::: 4 0 0

5 dove k è il umero di elemeti x i uguali a k. Se ipotizziamo che le frequeze empiriche k (quelle degli istogrammi) siao prossime alle probabilità teoriche p k (quelle della fuzioe massa di probabilità), allora la somma precedete è circa uguale a p ::: + p k k + ::: = E [X] : Fuzioe di ripartizioe F (x), alcui esempi (v.a. cotiue), proprietà (tra 0 ed, o decrescete, limiti agli estremi, F 0 (x) = f (x) ei puti di cotiuità di f). Lezioe 6 (9/3). Valor medio di ua trasformazioe: E [' (X)] = X ' (a k ) p k ; E [' (X)] = Z ' (x) f (x) dx ei dua casi, cotiuo e discreto. Casi particolari rilevati: mometi di ordie k, E X k, e variaza V ar [X] = E (X ) dove = E [X]. E lo scarto quadratico medio. Liearità del valor medio (seza dimostrazioe); media di ua costate: uguale alla costate. Formula V ar [X] = E [X ]. Note: E [X ] sempre; E [X ] = solo se X è costate (quidi uguale alla sua media). Deviazioe stadard; riporta all uità di misura della variabile. Scarto medio: E [jx j], meo maeggevole, più isesibile ai valori fuori misura. Esempi: variaza delle Beroulli; variaza delle espoeziali. Iterpretazioe gra ca della deviazioe stadard, caso delle espoeziali i cui è uguale alla media. Lezioe 7 (5/3). Esempio.8 (legge ipergeometrica). Richiamo: k è il umero di strighe lughe co k zeri ma ache il umero di sottoisiemi ampi k di u isieme ampio (basta far corrispodere, a priori, ua posizioe ella striga ad ogi puto dell isieme). Proposizioe.3 sulla multiomiale, iterpretazioe come sul libro e come umero di strighe lughe fatte di simboli presi da u alfabeto geerico (o più solo biario). Esercizio.0 e de izioe., a partire dallo schema di Beroulli, osservado il primo istate di successo: v.a. geometriche e geometriche modi - cate, di parametro p. Serie geometrica. Veri ca della proprietà di somma. Serie P k= kxk = = ( x) e calcolo del valor medio di ua geometrica modi cata: E [X] = (somigliaza co le espoeziali). p 5

6 Fuzioe di a dabilità (o di sopravviveza): P (X k). Per le geometriche: P (X k) = ( p) k. Euciato (iterpretazioe) e dimostrazioe della proprietà di asseza di memoria (asseza di logorameto). V.a. di Poisso di parametro > 0, veri ca che la media è, teorema degli eveti rari (covergeza delle probabilità biomiali a quelle di Poisso). Fuzioe di ripartizioe el caso di v.a. discrete, suo gra co. Lezioe 8 (6/3). Legge cogiuta di u vettore aleatorio (X ; :::; X ) e leggi margiali. Legami i geerale e el caso di idipedeza. Desità codizioale. Verso la proprietà di Markov. La legge cogiuta dello schema di Beroulli geeralizzato (a m simboli), distribuzioe multiomiale. Euciato di alcui teoremi sui valori medi: liearità del valor medio, E [XY ] = E [X] E [Y ] se soo idipedeti, V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ] se soo idipedeti. Esercizi suggeriti sul programma svolto o ad ora (umerazioe del libro):.,.3,.6,.7,.8,.4,.,.3,.7,.0 a,.3 a,.4 a,.5 a (prime due domade) e b, 3., 3.3 a, 3. a, 3.3 a, b (solo espoeziale), 3.4 a. Lezioe 9* (8/4). Il testo delle lezioi cotrassegate co * si può trovare alla pagia Itroduzioe ai processi stocastici, proprietà di Markov, matrice di trasizioe. Esempio: la rovia del giocatore. Altro esempio di catea di Markov a due stati, co calcolo della probabilità che la catea sia ello stato al tempo. Calcolo di distribuzioi di probabilità cogiute usado la matrice di trasizioe a passi. Lezioe 0* (9/4). Esercizi su leggi cogiute e catea di Markov a stati. Classi cazioe degli stati di ua catea di Markov. Lezioe * (5/4). Decomposizioe di ua MC i classi irriducibili e isieme degli stati trasitori. Classi cazioe degli stati della rovia del giocatore e della catea di ascita e morte. Probabilità ivariate. Esempio di catea di Markov co più di ua probabilità ivariate. Esempio di calcolo esplicito di ua probabilità ivariate uica. MC regolare. Di ereza fra regolarità e irriducibilità. Teorema di Markov. Codizioe su ciete per la regolarità. Matrice bistocastica e sua probabilità ivariate. Probabilità reversibile ed equazioe del bilacio dettagliato. Vari esercizi su catee di Markov. Lezioe * (6/4). Tipi di MC descrivibili come cammii aleatori su 6

7 gra, loro probabilità ivariati. Uicità della probabilità ivariate per catee irriducibili de ite su isiemi iti. Lezioe 3* (/4). Esempio di catea irriducibile ma o regolare. Probabilità ivariate della catea di ascita e morte. Euciato del teorema ergodico. Problemi di passaggio. Calcolo della probabilità di raggiugere uo stato assorbete partedo da uo stato iiziale che comuica co esso. Esempio di calcolo della probabilità che u giocatore vica el caso i cui essa dipeda da quale giocatore fa la prima mossa. Lezioe 4* (3/4). Probabilità di cadere ello stato 0 della catea di ascita e morte. Cosegueze per la catea della rovia del giocatore. Riepilogo lezioi 9-4 ed esercizi suggeriti. Paragra spiegati a lezioe: 5., 5., 5.3, 5.4, 5.6 o all esempio 5.34 icluso. Esercizi del Baldi svolti a lezioe: 5., 5.3, 5.5. Esercizi del Baldi che possoo essere svolti per migliorare la preparazioe: ) (co soluzioe sul libro) 5., 5.4, 5.7, 5.8. U esercizio simile al 5.8 è stato svolto a lezioe. ) (seza soluzioe sul libro) 5.7, 5.8, 5.9. Lezioe 5 (9/4). Fuzioe geeratrice dei mometi (par. 3.) di ua v.a. X: ' X (t) := E e tx. Dado per buoa la possibilità di u certo passaggio al limite sotto il sego di valor medio (valido sotto l ipotesi che ' X (t) sia ita i u aperto (a; b) che cotiee t = 0), ed usado la liearità del valor medio, si deriva i t dimostrado che ' 0 X (t) = E Xe tx, ' 00 X (t) = E X e tx, e quidi ed i e quidi ' 0 X (0) = ; ' 00 X (0) = E X V ar [X] = ' 00 X (0) (' 0 X (0)) : Altro fatto rilevate: se X ed Y soo idipedeti, vale ' X+Y (t) = ' X (t) ' Y (t) : Esercizio. Calcolare la fuzioe geeratrice dei mometi di ua v.a. di Beroulli. Sol: ' X (t) = q + pe t. Esercizio. Calcolare ' X, e da essa e, per ua B (; p). Sol: ' X (t) = (q + pe t ), ecc. Esercizio 3. Calcolare ' X, e da essa e, per ua P (). Sol: ' X (t) = e (et ), ecc. 7

8 Esercizio 4. Mostrare che lim ' B(;p ) (t) = ' P() (t)! per ogi t, dove p =. Osservazioi: i) Il calcolo di ' X per la P () è più facile del calcolo diretto di e ; ii) l esercizio 4 espoe ua forma del teorema degli eveti rari; iii) vedremo che, per u teorema di Levý, questa forma equivale a quella già ota. Siao X ; :::; X ; ::: delle v.a. idipedeti che valgoo co ugual probabilità. Poiamo S = X + ::: + X e disegiamo alcui gra ci possibili della successioe S 0 = 0, S,..., S, ecc. Vegoo tracciati due gra ci, uo più raccolto vicio all asse delle ascisse, oscillate itoro ad esso, l altro co oscillazioi, escursioi, decisamete più ampie. Quale dei due gra ci è più tipico? L alteraza equiprobabile di potrebbe far pesare al primo. Ivece esso è rarissimo. Il più tipico è il secodo. Questo fatto viee messo i relazioe al problema della rovia del giocatore. Cosa ci aiuta a capire rapidamete che il secodo gra co è il più ormale? vale E [S ] = 0 e V ar [S ] = V ar [X ] + ::: + V ar [X ] = quidi, la deviazioe stadard (scostameto tipico dall asse delle ascisse) della v.a. S, vale = p : Quidi ci dobbiamo aspettare delle escursioi decise, come el secodo gra co. Questo cotraddice l idea ituitiva del fty- fty: su ceto laci di ua moeta, usiamo dire che circa la metà sarao testa. Questo è falso: c è uo scostameto di ordie p 00. Cosa è vero? E vero che la frequeza relativa S è vicia alla media (o la frequeza assoluta S ). (Nota: p 00 è comuque u umero modesto rispetto a 00; i questo seso, si potrebbe dire che ache la frequeza assoluta S o si discosta tato da 0; però dev essere chiaro che S o vale circa 0). Viee data ua forma elemetare di Legge dei Gradi Numeri (LGN). Teorema: date X ; :::; X ; ::: v.a. idipedeti, co la stessa legge, di media e variaza ite, posto S = X + ::: + X, vale lim E! " S 8 # = 0:

9 Si può dire che S coverge a i madia quadratica. Dalla dimostrazioe si vede che la velocità di covergeza è. La dimostrazioe (che si trova sul libro all itero del teorema LGN, Teorema.5), è idetica al calcolo fatto sopra ell esempio, cioè si veri ca che E S =, V ar S =. L ipotesi di ugual legge o viee di fatto usata. Si potrebbero idebolire ache altre ipotesi 8ad esempio predere V ar [X ] ). Disuguagliaza di Chebyshev (Proposizioe.47, per ora seza dim.): P (jx j > a) V ar[x], a > 0 qualsiasi. Commeti sul suo valore o sigi ato: i) collega probabilità e valori medi; ii) o dice ulla quado V ar[x] a a è maggiore di uo; iii) serve quado a è molto piccolo, quidi è molto a grade, quidi ha valore solo se V ar [X] è piccolissima. Cosegueza: forma usuale della LGN (Teorema.5) lim P S! > " = 0 per ogi " > 0; la velocità di covergeza è. Iterpretazioe frequetista: " se prediamo i modo che valga ad es. 0., possiamo dire che S " " il 90% delle volte. De izioi di covergeza quasi certa e di covergeza i probabilità (De izioe 4.), quest ultima essedo quella usata ella LGN (Teorema 4.). Lezioe 6 (30/4). Trasformazioi di v.a. (paragrafo 3.). Nel caso discreto è u operazioe ovvia. Vediamo el caso cotiuo. Esercizio. Data X N (0; ), calcolare la desità di probabilità di Y = X. Sol.: f Y (t) = Ct = e t=. Esercizio. Data X N (0; ), calcolare la desità di probabilità di Y = ax + b, co a; b R. Sol.: N (b; a ). Abbiamo così dimostrato i segueti due fatti: Teorema : le trasformazioi lieari (più precisamete a i) di v.a. gaussiae producoo v.a. gaussiae. Teorema : ogi v.a. X N (; ) si può scrivere ella forma X = Z +, co Z gaussiaa caoica. Esercizio 3. Data U v.a. uiforme, data f desità di probabilità, co F strettamete crescete, idicado co F la sua iversa, trovare la desità di Y = F (U). Sol.: f. Abbiamo così dimostrato il seguete: Teorema 3: ogi v.a. cotiua Y co F strettamete crescete si può scrivere ella forma Y = F (U), co U v.a. uiforme. E utile ad esempio 9

10 per simulare v.a. co distribuzioe qualsiasi. Esercizi itermedi cosigliati sulle ultime lezioi: 3., 3., 3.3, 3.4, 3.35, 3.36, 3.37, Lezioe 7 (6/5). Richiami sulle proprietà delle geeratrici e sui teoremi e della lezioe precedete. Esercizio a. Calcolare la fuzioe geeratrice di ua gaussiaa caoica. (Es. 3.4 a) Esercizio b. Calcolare la fuzioe geeratrice di ua gaussiaa qualsiasi. (Usado il teorema ) Esercizio. Mostrare che le combiazioi lieari (azi a i) di gaussiae idipedeti soo gaussiae. (Usado le geeratirci) Chiamiamo autoriproducete ua classe di v.a. tali che sommado due idipedeti della classe si ottiee ua della classe. Esercizio 3. Discutere questa proprietà riguardo a Beroulli, biomiali, Poisso. (tra le cose più rilevati: la somma di Poisso idipedeti è Poisso, co parametro pari alla somma dei parametri) Quatili gaussiai, tavole. Dalla def. di F si scopre che vale x F ; (x) = dove F ; (x) è la cumulativa di ua N (; ), (t) la cumulativa di ua N (0; ). Circa i quatili, vale q ; = + q 0; dove q ; e q 0; soo i quatili delle N (; ) e N (0; ), rispettivamete. E aaloga a X = + Z, teorema della lezioe precedete. Esercizio 3.7. Suggeriti: 3.8, 3.9. Esercizio 4. Data Z v.a. ormale stadard, trovare la desità di probabilità della v.a. Y = exp (Z) e tracciare approssimativamete il gra co. Si chiama log-ormale. Esercizio suggerito: ripetere l esercizio per ua ormale qualsiasi. Esercizio 5. Data ua successioe Y ; Y ; ::: di v.a. idipedeti, co la stessa legge, di media 0 e variaza, aveti fuzioe geeratrice ' (t) ita per ogi t R, calcolare la fuzioe geeratrice ' (t) di S := Y +:::+Y p e dimostrare che essa tede alla fuzioe geeratrice di ua N (0; ). Sol: ' (t) = E e ts = E i i i he t p Y t p e Y p = E he t Y p E he t Y t = ' p 0

11 t ' (t) = ' p = e log ' p t t per cui basta dim. che log ' p! t. Vale quidi ' (t) = ' (0) + ' 0 (0) t + ' 00 (0) t + o t = + t + o t t ' p = + t t + o t t t log ' p + o = t t + o! t : Esercizio 6. Data ua successioe X ; X ; ::: di v.a. idipedeti, co la stessa legge, di media e variaza ite, aveti fuzioe geeratrice ' (t) ita per ogi t R, posto S := X + ::: + X p mostrare che vale il risultato dell esercizio precedete. Euciato del Teorema Limite Cetrale. Iterpretazioe ituitiva: X + ::: + X è circa N ; p : Lezioe 8 (3/5). Richiamo su covergeza i probabilità, itepretazioe gra ca co isieme, viciaza i probabilità. De izioe di covergeza i legge, riformulazioe come P (a < X b)! P (a < X b) per ogi a < b i cui F X è cotiua. Si ituisce gra camete che la covergeza i probabilità implica quella i legge. Esempio che mostra che la covergeza i legge o implica quella i probabilità (successioe di v.a. idipedeti co la stessa distribuzioe). Euciato del TLC, basato sulla covergeza i legge.

12 Approssimazioe gaussiaa: X + ::: + X P (X + ::: + X < t) = P p < t p approssimativamete uguale a P Z < t p t = p dove Z N (0; ). Ragioameti critici circa la umerosità di e la ragioevolezza di questa approssimazioe, alla luce del TLC. L approssimazioe deteriora se le X hao legge molto asimmetrica. Due esempi del libro (tempi di attesa e testa-croce). Lezioe 9 (4/5). Preciasazioi sull esempio 4.7. E richiesta la probabilità di almeo 9 teste i 50 laci. Dette X i, i = ; :::; 50, delle Beroulli che valgoo se esce testa, la v.a. S = X + ::: + X 50 è ua B 50;. Allora P (S 9) = X50 k=9 50 k k = 50 k 50 X50 k=9 50 = 0:6: k Si possoo immagiare varie approssimazioi gaussiae, tutte a priori lecite:! 9 5 P (S 9) P Z p = P (Z : 3) = 0:3 50 P (S 9) = P (S < 9) = P (S 8) P Z = P (Z 0:85) = 0:! 8 5 p 50 che commettoo all icirca lo stesso errore, ed i e la correzioe di cotiuità! 8:5 5 P (S 9) P Z p = P (Z 0:99) = 0:6 50 che è la più precisa.

13 U secodo fatto che aveva lasciato perplessi era che, per ua gaussiaa cetrata (era ua N (0; 50) ell esempio), la probabilità di superare 0:85 fosse solo pari a 0.. A prima vista, gra camete, sembra troppo piccola. Ma basta scomporre l area della gaussiaa i sei parti circa uguali (due code triagolari e quattro triagoli cetrali) per covicersi che l e etto ottico può igaare. Le code oltre hao area dell ordie di u sesto del totale, quidi le code oltre 0:85 è ragioevole che abbiao area circa u quito del totale. Commeti sulla dimostrazioe del TLC: vale ua variate del teorema di P. Levý per le fuzioi geeratrici. Uica pecca: le fuzioi geeratrici o esistoo sempre, quidi la dimostrazioe forita dagli esercizi precedeti è ristretta al caso i cui ' (t) esiste ita per ogi t R. Per questo il libro itroduce la fuzioe caratteristica e ripete gli stessi calcoli per essa, oggetto che esiste sempre. Cei sulla fuzioe geeratrice. Covergeza i legge e teorema degli eveti rari, itepretazioe gra ca della covergeza i legge el caso discreto a valori iteri positivi. Esercizi suggeriti relativi al capitolo 4: 4..b; 4.4; 4.6; 4.7; 4.8.a; 4.9.a. Altri eserizi suggeriti sul capitolo :.5,.7,.3a,.34. Lezioe 0 (0/5). Fuzioe Gamma, legame co!, desità Gamma e vari altri elemeti del paragrafo 3.7, attraverso i segueti esercizi. Esercizio. Trovare la costate c per cui la fuzioe f (x) = cx e x per x > 0, ulla per x < 0, sia ua desità. Il umero > 0 è u parametro. Esercizio. Trovare la costate c per cui la fuzioe f (x) = cx e x per x > 0, ulla per x < 0, sia ua desità. I umeri ; > 0 soo parametri. Tale desità è detta (; ). Esercizio 3. Trovare la fuzioe geeratrice dei mometi di ua (; )., (sol. ' (t) = t ita per t < ). Nota: per = si tratta delle desità espoeziali di parametro. Esercizio 4. La somma di ua ( ; ) ed ua ( ; ) idipedeti è ua ( + ; ). Nota: i questo seso, le Gamma soo autoriproduceti. Ivece le espoeziali o lo soo. Nota: la desità f X+Y (t) della somma di due v.a. idipedeti X ed Y è data dalla covoluzioe f X+Y (t) = Z f X (t s) f Y (s) ds: 3

14 Da altri corsi potrebbe essere oto che per calcolare ua covoluzioe, u modo è di calcolare le trasformate (di Laplace o Fourier), moltiplicarle e trasformare all idietro. E esattamete quello che abbiamo fatto co le geeratrici: le geeratrici soo le trasformate di Laplace, le abbiamo moltiplicate e ci siamo accorti che il risultato + t è la trasformata di ua ( + ; ). Esercizio 3.: appea svolto, più i geerale. Esercizio 5. Impostare il calcolo della probabilità che il tempo totale di fuzioameto del seguete sistema sia superiore a t ssato: il sistema cosiste i u oggetto che, quado si guasta, viee sostituito, e così via, per 3 sostituzioi dopo il primo guasto; il tempo di vita di ciascu oggetto è ua v.a. espoeziale di parametro 5. Sol: il tempo globale T è la somma T + ::: + T 4 di quattro tempi espoeziali di parametro 5, che suppoiamo idipedeti; allora T (4; 5). Dobbiamo calcolare P (T > t). Viee poi eseguito questo calcolo, piuttosto laborioso. Detta F (t) la probabilità P T () t dove T () = T + ::: + T, v.a. espoeziali di parametro idipedeti, vale (itegrado per parti) F (t) = F (t) e t (t) ( )! ed ioltre Si trova quidi Nota. Vale ache F (t) = e t : X F (t) = e t k=0 F (t) = P (N t ) (t) k : k! dove N t P (t). Ai margii del programma (si veda evetualmete l esempio 3.40) viee descritto il cocetto di processo stocastico a tempo cotiuo, le sue traiettorie o realizzazioi; viee descritto il caso del processo di Poisso N t, che ha realizzazioi costati a tratti, che saltao di u uità a tempi aleatori espoeziali, ed ha legge P (t) al tempo t. Il legame P T () t = P (N t ) appea trovato viee iterpretato i questo ambito: gli eveti T () t e (N t ) 4

15 coicidoo, quidi hao la stessa probabilità. L idetità T () t = (N t ) dice la cosa ovvia che ci soo (almeo) salti prima del tempi t se e solo se il umero N t di salti etro il tempo t è almeo. Vegoo svolti i puti a e b dell esercizio 4.. L esercizio viee iterpretato come il tetativo di valutare l errore che si commette quado si stima u valor medio teorico, scoosciuto, tramite la media empirica di u campioe. Nasce il cocetto di itervallo di co deza, descritto al paragrafo 4.5. Lezioe * (/5). Esercizi sulle catee di Markov. Lezioe (7/5). Esercizio. Calcolare la fuzioe geeratrice di X 7Y dove X assume i valori -,0, co ugual probabilità, Y ha desità proporzioale a e x per x > 0 e ulla per x < 0, e soo idipedeti. Esercizio. Si cosideri la fuzioe che vale Ce x C per x < 0, (+x) per x > 0, co ; parametri e C costate da determiare. Trovare per quali valori dei parametri questa è ua desità di probabilità, sceglido C i modo opportuo. Calcolare la sua media e la sua variaza, sottolieado i particolare per quali valori dei parametri esse risultao ite. Trovare la desità della v.a. Y = jxj. Prima acora di eseguire quest ultimo calcolo, prevedete che la coda di Y sia determiata dalla coda destra o da quella siistra di X? Esercizio 3. Calcolare la fuzioe geeratrice dei mometi per ua v.a. geometrica. Le geometriche soo autoriproduceti? Esercizio 4. Date due v.a. espoeziali idipedeti X ed Y, detta m la v.a. m = mi (X; Y ), trovare la desità di probabilità di m. Scrivere ua formula per la desità di M = max (X; Y ). Esercizio 5. Suppoiamo che lugo ua strada che attraversa gli Stati Uiti, i u certo lugo tratto, i paesi distio uo dall altro i modo aleatorio espoeziale di media 0 miglia. Che probabilità c è di o trovare eache uo per 30 miglia, a partire da u mometo qualsiasi i cui ci accorgiamo di avere fame? Che probabilità c è di trovare solo due ell arco di 70 miglia? Esercizio 6. Suppoiamo che il tempo di attesa ad uo sportello dipeda dal servizio che si sta svolgedo, el seguete modo: se il servizio è di tipo A, cosa che capita il 30% delle volte, il tempo è espoeziale di media 5 miuti; se il servizio è di tipo B, cosa che capita il 70% delle volte, il tempo è espoeziale di media 3 miuti. Calcolare la probabilità di attedere più di 5 miuti. Svolti ache l esercizo del compito. 5 ed u esercizio del Baldi su carte da gioco colorate di biaco o ero su ambo i lati. Lezioe 3(*) (8/5). Prima ora*: Esercizi sulle catee di Markov. 5

16 Secoda ora: altri esercizi. 6