P (A [ B) = P (A)+P (B) se sono disgiunti; generalizzazione: P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)

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1 Calcolo di Probabilità e Processi Stocastici, Lauree magistrali i Ig. Robotica e dell Automazioe, Ig. Iformatica, Ig. Iformatica per la Gestioe d Azieda, a.a. 2010/11 Registro delle lezioi Lezioe 1 (25/10). Itroduzioe al corso; materiale e comuicazioi alla pag. di F. Fladoli, (Barsati/Fladoli) Eveti, uiverso, eveti elemetari, operazioi sugli eveti. Algebre e sigma-algebre di eveti. Probabilità di eveti, suoi assiomi. Spazi di probabilità. Spazi di probabilità uiformi. Esempio del lacio di due dadi. Regole della probabilità; itepretazioe della probabilità come massa, accordo co le regole. Ceo iiziale alla Probabilità codizioale. Il materiale della prima lezioe è coteuto elle pp Lezioe 2 (28/10). Probabilità codizioale, de izioe e iterpretazioe gra ca. Idipedeza di eveti, legame co la probabilità codizioale. Formula di fattorizzazioe (probabilità totali) e formula di Bayes. Esempi ed esercizi. La formula di Bayes risolve il problema di trovare la causa più probabile, osservato l e etto (metre il cocetto di probabilità codizioale parla della probabilità dell e etto data la causa). Se l e etto A può essere causato da B 1 o B 2, si vuole capire chi è maggiore tra P (B 1 ja) e P (B 2 ja). Siccome il deomiatore (ella formula di Bayes) è lo stesso, basta cofrotare P (AjB 1 ) P (B 1 ) co P (AjB 2 ) P (B 2 ). Nel caso di cause equiprobabili, si cofrota P (AjB 1 ) co P (AjB 2 ) (ituitivo). E quato avviee ei caali co rumore, quado il ricevete deve decidere il messaggio iviato (se B 1 o B 2 ), sulla base della ricezioe di u messaggio corrotto A. Viee iterpretata la formula delle probabilità totali tramite u albero di eveti, e così la scelta della causa più probabile. Si tratta di calcolare probabilità lugo percorsi e sommarle o cofrotarle. De izioe di idipedeza tra due eveti, legame co le formule P (AjB) = P (A) e P (BjA) = P (B). No è legata al cocetto di eveti disgiuti. Schema: P (A [ B) = P (A)+P (B) se soo disgiuti; geeralizzazioe: P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (A \ B) = P (A)P (B) se soo idipedeti; geeralizzazioe: P (A \ B) = P (AjB) P (B). 1

2 Schema delle prove ripetute (o schema successi/isuccessi, o schema di Beroulli). Calcolo della probabilità di ua geerica striga di umeri, uguali a 0 o 1, co k di essi uguali ad 1, se ciascu simbolo viee scelto paria 1 co probabilità p (quidi 0 co probabilità 1 p). La probabilità di tale striga è p k (1 p) k : Abbiamo usato l idipedeza delle diverse prove. Lo spazio di tali strighe si partizioa i regioi uiformi (de ite dal umero di 1). Si raccomada lo svolgimeto dei segueti esercizi per casa: 1) es. 1.i del 30/6/2010; 2) es. 2.i del 21/7/2010. Lezioe 3 (4/11). Il Calcolo combiatorio ed i particolare i coe cieti biomiali, vegoo riviati alla prossima lezioe. Iizia lo studio del Capitolo 2, sui modelli discreti. Viee data prima la descrizioe ituitiva di variabile aleatoria (gradezza, quatità, valore, umero; casuale, imprevedibile ecc.), tramite esempi come Es. 2.1 o quello del primo successo ello schema di Beroulli (es. 2.10). Poi viee data la de izioe rigorosa, mostrado diverse variabili aleatorie de ite sullo spazio dello schema di Beroulli: ad esempio le X i (! 1 ; :::;! ) =! i che ci dao il risultato dell i-esima prova, oppure S (! 1 ; :::;! ) =! 1 + ::: +! che restituisce il umero di successi (capire questa a ermazioe). I quato detto abbiamo usato la otazioe! = (! 1 ; :::;! ) dell esempio Viee poi discussa i dettaglio, ache se u po secodaria, la codizioe fx 2 Ag 2 A che compare ella de izioe di variabile aleatoria (ella de izioe 2.2 è risptretta agli isiemi A della forma [t; 1), ma come spiegato el seguito del libro si geeralizza a molti altri isiemi, come itervalli geerici ed altro). La scrittura fx 2 Ag idica f! 2 : X (!) 2 Ag, ovvero la cotroimmagie di A attraverso X, quidi u suttoisieme di ; A idica la -algebra degli eveti ssata su el problema i cosiderazioe; quidi la codizioe fx 2 Ag 2 A chiede che tale cotroimmagie sia u eveto, o solo u geerico sottoisieme; ituitivamete, si richiede che tutte le a ermazioi 2

3 riguardati X siao eveti. Se o lo fossero, o potremmo poi lavorarci, es. calcolare le probabilità. Se A è l isieme di tutte le parti di, P (), la codizioe fx 2 Ag 2 A è ovviamete sempre soddisfatta. Viee ache dato u esempio i dettaglio di spazio (schema di Beroulli co tre prove), di algebra A o tradizioale (l algebra che cotiee tutti gli eveti riguardati solo le prime due prove) e viee mostrato che la fuzioe X 3 (! 1 ;! 2 ;! 3 ) =! 3 o è ua variabile aleatoria: ad esempio, co A = f1g, si vede che l isieme fx 2 Ag (cioè fx = 1g) o appartiee ad A. De izioe di distribuzioe geometrica e v.a. geometrica, sulla base dell esempio De izioe di desità discreta. Lezioe 4 (8/11). (M. Barsati) Calcolo combiatorio ed esercizi. Prodotto cartesiao di più isiemi e sua cardialità el caso di isiemi iti. Coteggio del umero di sottisiemi di u isieme ito. Calcolo combiatorio: disposizioi, permutazioi combiazioi. Coe ciete biomiale e alcue sue proprietà, triagolo di Tartaglia e sviluppo della -esima poteza del biomio. Probabilità di estrazioe di ua ciquia al lotto (secca e o). Problema dei compleai risolto co il calcolo della probabilità dell evedo complemetare. Schemi di estrazioi di pallie co e seza rimpiazzo. Legge ipergeometrica. Calcolo della probabilità di uscita di u tero al lotto co la legge ipergeometrica. Altri esempi di utilizzo di questa legge i problemi di distribuzioi di carte e estrazioi da u ura. Lezioe 5 (11/11). Variabili aleatorie discrete e cotiue. Desità discreta, p (k) = P (X = k), sue proprietà, P (X 2 A) = P k2a p (k). Desità cotiua f (x), sue proprietà, P (X 2 A) = R f (x) dx. I umeri P (X = a) A determiao tutto el caso discreto, valgoo 0 el caso cotiuo. Gra ci ei due casi. Esempi: Beroulli, biomiale, geometrica (e geometrica modi cata). Gra ci (svolti almeo delle prime due). Ammissibilità delle formule (ovvero veri ca che soo umeri o egativi a somma 1). Teorema: la somma S = X 1 + ::: + X di Beroulli idipedeti di parametro p è ua B (; p). Dimostrazioe. Iterpretazioe di S ello schema di Beroulli (S è il umero di successi i prove). Lezioe 6 (15/11). Valor medio (atteso) di ua v.a. discreta, valor medio di ua v.a. cotiua. Iterpretazioe gra ca. Calcolo di E [X] i alcui esempi, icluse Beroulli, biomiale, geometrica. Valor medio di ua 3

4 trasformazioe di v.a., E [g (X)], esempi. Caso particolare: mometi e variaza. Covariaza. Deviazioe stadard, iterpretazioe gra ca. Calcolo della variaza i alcui esempi, icluse Beroulli, biomiale, geometrica. Proprietà del valor medio, della variaza e della covariaza (liearità di E [X], riscalameto di V ar [X]; proprietà relative all idipedeza). Applicazioe al calcolo di media e variaza delle biomiali, attraverso il teorema della lezioe precedete. Lezioe 7 (18/11). (M. Barsati) Esercizi su probabilità discreta. Lezioe 8 (22/11). Complemeti su desità cogiuta di u vettore aleatorio, legame co le margiali (icluso il caso di v.a. idipedeti), euciato proposizioe 2.25, richiamo sull euciato teorema 2.37 e ceo di dimostrazioe dei teoremi 2.38, 2.44 (i etrambi i casi, si omette la veri- ca della sommabilità). Fuzioe di ripartizioe (o distribuzioe, cumulativa); caso discreto e caso cotiuo (euciato proposizioe 3.1), gra ci tipici, equivaleza di iformazioe rispetto alla desità. Ceo alla fuzioe di sopravviveza S (t) = P (X > t) = 1 F (t). Esempio 3.4 delle v.a. espoeziali. Macaza di memoria delle v.a. espoeziali: euciato, iterpretazioe e commeti applicativi. Lezioe 9 (25/11). (M. Barsati) Esercizi sulle desità di probabilità (cotiue), presi ache da testi d esame. Icludoo calcolo della costate di ormalizzazioe, calcolo di media e variaza, desità di ua trasformazioe (su questo argometo si può vedere ache il par. 3.2). Lezioe 10 (29/11). Dal capitolo 3. Richiamo su media e variaza el cotiuo, es. delle v.a. espoeziali. Dimostrazioe della proprietà di macaza di memoria delle v.a. espoeziali; viee solo detto che per le geometriche è simile e che soo le uiche co tale proprietà. Ceo a desità cogiuta e margiali (par. 3.3), caso di v.a. idipedeti; chi vuole può provare a ridimostrare el cotiuo la liearità E [X + Y ] = E [X] + E [Y ] (prop. 3.28) e la formula valida el caso di v.a. idipedeti E [XY ] = E [X] E [Y ] (prop. 3.31). Leggi ormali (par. 3.6), caso stadard e caso geerale. Esempio 3.6 ed applicazioe alla veri ca che X = Z + è ua N (; 2 ) se Z è N (0; 1). Facoltativamete (o c è sul libro) veri ca che R 11 e x2 =2 dx = p 2; ivece, la cdf o è calcolabile. Def. di, e di quatili gaussiai (e cocetto geerale di quatile di ordie, p. 96). Formula di trasformazioe per F geerica. Tavole. Esercizi, del tipo: calcolo di P (0 < X < 5) se X è N (3; 25); trovare tale che P (X ) = 0:9 se X è N (0; 1). 4

5 Lezioe 11 (2/12). Media e variaza delle gaussiae (caso caoico, poi trasformazioe usado le proprietà dei valori medi; ma si può fare diversamete). Proposizioe 3.32, dimostrata come segue, tramite le fuzioi geeratrici. Def. di fuzioe geeratrice dei mometi (par. 3.11) e formula 3.64 (solo ceo di dim.); geeratrice delle gaussiae (caso caoico, poi trasformazioe usado le proprietà dei valori medi); formula 3.62 (teorema sulla geeratrice della somma di v.a. idipedeti) ed esempio 3.58 (che completa la dimostrazioe della Proposizioe 3.32). V.a. di Poisso, veri ca della somma pari ad 1, sua geeratrice e relativo calcolo dei suoi mometi (ota sulla di ereza rispetto alle espoeziali, che hao = ), teorema degli eveti rari, o covergeza della biomiale alla Poisso, co dimostrazioe (iterpretazioe della Poisso come umero di successi i tatissime prove co bassissima probabilità di successo, opportuità del modello rispetto alle biomiali per la facilità di stimare il parametro). Esercizio per casa. Calcolare la geeratrice dei mometi di ua v.a. di Beroulli, di ua biomiale e di ua Poisso. Mostrare che la geeratrice di ua biomiale coverge a quella di ua Poisso, el limitede ito dal teorema degli eveti rari. Lezioe 12 (6/12). (M. Barsati) De izioe della fuzioe gamma di Eulero. Desità della variabile aleatoria gamma e sua ormalizzazioe. Desità del quadrato di ua v.a. gaussiaa a media ulla. Desità della somma di due v.a. idipedeti otteuta come covoluzioe. Riproducibilità della somma di variabili gamma, sua media e variaza. Mometi di ordie pari della v.a. ormale stadard. Fuzioe di ripartizioe della gamma per alfa itero. Esempi di utilizzo delle variabili gamma per modellizzare tempi di vita. Processo di Poisso. Lezioe 13 (9/12). Legge (debole) dei gradi umeri, secodo la covergeza i media quadratica (dal Capitolo 2): " lim E X 1 + ::: + X 2#!1 = 0 (tale valor medio è pari a 2 ). Dimostrazioe. Osservazioe: è su ciete ipotizzare chele variabili X 1 ; :::; X ; ::: siao scorrelate (Cov (X i ; X j ) = 0 se i 6= j), che abbiao la stessa media, ed abbiao la variaza maggiorata da ua comue costate: V ar [X ] C < 1. Si può ache forse geeralizzare a medie = E [X ] pur diverse ma tali che 1+:::+!. 5

6 De izioe di covergeza i probabilità e di covergeza quasi certa (Capitolo 4). Disuguagliaza di Chebyshev, co dimostrazioe, elle due versioi utili, ed applicazioe alla dimostrazioe della LLN secodo la covergeza i probabilità. De izioe di covergeza i legge (Capitolo 4), equivaleza co la covergeza delle desità discrete el caso di v.a. a valori iteri positivi, euciato del teorema degli eveti rari come covergeza i legge della B (; p ) alla P (), quado p = e! 1. Lezioe 14 (13/12). Premesse al Teorema limite cetrale: stadardizzazioe di ua v.a. X; caso i cui X è gaussiaa; media e variaza di S = X 1 + ::: + X quado X 1 ; :::; X è u campioe estratto da X (i.i.d. co la legge di X), stadardizzazioe di S : Z = S p : 2 Nel caso i cui X è gaussiaa, Z N (0; 1). I geerale, è apporssimativamete gaussiaa: euciato del TLC. Scrittura tramite covergeza delle cumulative: S P p t! (t) : 2 Visualizzazioe gra ca el caso i cui X è Beroulli: S è biomiale, Z è discreta, stadardizzata, la sua F Z approssima. Esercizio: probabilità di più di 400 richieste, su 1000 poteziali, ciascua co probabilità 0.3. Acora da fare: dimostrazioe del TLC, euciato del teorema di P. Lévy; correzioe di cotiuità. De izioe di vettore gaussiao stadard (dal primo capitolo dispese i rete). Compoeti idipedeti, desità cogiuta come prodotto, gra co della desità. De izioe di vettore gaussiao qualsiasi: ogi vettore della forma X = AZ + b, co Z = (Z 1 ; :::; Z ) vettore gaussiao stadard, A matrice da R i R k e b elemeto di R k. Ituizioe gra ca tramite simulazioe: si geerao N puti gaussiai stadard, li si trasforma secodo la relazioe X = AZ +b, otteedo N uovi puti, che per N grade dao l idea di dove la desità è più alta, che struttura ha (ua campaa, cetrata i b, evetualmete o ivariate per rotazioi ma più allugata i certe direzioi, ache o parallele agli assi coordiati). Per curiosità, scaricado il software R da rete, si possoo usare i comadi: N<

7 Z1<-rorm(N); Z2<-rorm(N); plot(z1,z2) A<-matrix(row=2,col=2); A[1,1]<-10; A[1,2]<-0; A[2,1]<-0; A[2,2]<-1; b<-1:2; b[1]<-5; b[2]<-5; X1<-A[1,1]*Z1+A[1,2]*Z2+b[1]; X2<-A[2,1]*Z1+A[2,2]*Z2+b[2]; plot(x1,x2) (bisoga ristabilire maualmete l uità di misura, allugado la estra fra ca) e si può ovviamete provare co altre matrici A, che icludao ad esempio delle rotazioi. Il plot plot(z1,z2) fa immagiare delle curve di livello che soo circofereze, metre relativamete al plot plot(x1,x2) soo delle ellissi. Osservazioi sul caso degeere (det A = 0), e sui casi < k, > k. Le compoeti X 1 ; :::; X soo idipedeti se e solo se gli assi degli ellissoidi soo paralleli agli assi coordiati. Matrice Q di covariaza di u vettore aleatorio X (richiami sul cocetto di coveriaza, i particolare la liearità rispetto a ciascua compoete). Q T = Q, quidi esiste ua base ortoormale e 1 ; :::; e di autovettori i cui Q è diagoale, co elemeti i sulla diagoale che soo autovalori. Ioltre Q è semi-de ita positiva (dimostrato), da cui segue che i 0, essedo i = e T i Qe i 0. Vedremo la seguete proprietà: se due vettori aleatori X = (X 1 ; :::; X ) e Y = (Y 1 ; :::; Y k ) soo legati dalla relazioe lieare Y = AX + b, co A matrice da R i R k e b elemeto di R k, vale Q Y = AQ X A T ; questa regola è coerete co le dimesioi: R k A T! R Q X! R A! R k e R k Q Y! R k : Applicheremo tutto questo alle gaussiae. Lezioe 14 (16/12). Dimostrazioe della proprietà Q Y = AQ X A T per Y = AX + b. Caso particolare: se X è u vettore gaussiao della forma X = AZ + b, co Z stadard, allora Q X = AA T, i quato Q Z è la matrice idetica. Quado Q X è ivertibile, X ha desità, data da f X (x) = p 1 X (x b) (somigliaze col caso ui-dimesioale). Ioltre (2) det Q X e 1 2 (x b)t Q 1 b è il vettore dei valori medi,. Per i vettori gaussiai, e Q X determiao la legge. Si iizia il capitolo 2 delle ote, sui processi stocastici. De izioe di processo a tempo discreto, sue realizzazioi (traiettorie, storie). Parametri medi fodametali, i particolare quelli che catturao la struttura di correlazioe tra tempi diversi. Le desità cogiute coterrebbero più iformazioe: ad esempio, se è ota la desità cogiuta f t;t+s (x; y) del vettore 7

8 (X t ; X t+s ), da essa si calcolao gradezze del tipo R R A B P (X t+s 2 AjX t 2 B) = f t;t+s (x; y) dxdy R +1 R f 1 B t;t+s (x; y) dxdy che descrivoo la probabilità di eveti futuri oti eveti preseti. Ma è di - cile arrivare a tale livello di descrizioe da realizzazioi sperimetali, per cui ci si accoteta dele gradezze medie. Nel caso gaussiao, esse determiao ache le desità cogiute. Processi stazioari, sempli cazioi delle varie fuzioi. Esempio del White Noise (calcolo dei suoi parametri e veri ca della stazioarietà; esempio gra co di realizzazioe). Problema che verrà a rotato: come stimare i parametri medi o avedo a disposizioe più esperimeti relativi ad u tempo ssato, ma solo ua realizzazioe Cose per il mometo o svolte del capitolo 2: distribuzioe multiomiale; desità codizioale; proposizioi 2.29 e 2.30 ed esempi segueti del paragrafo; proposizioe 2.39; esempi 2.42 e 2.43; proposizioi 2.46 e 2.47; coe ciete di correlazioe e proposizioe 2.49; paragra dal 2.9 i poi. Altre cose da vedere: ceo alla fuzioe caratteristica (come variate rispetto alla geeratrice). Mediaa, moda, legami co la media, iterpretazioe gra ca. Dimostrazioe del TLC, euciato del teorema di P. Lévy; correzioe di cotiuità. Approfodimeti ulteriori sulle gaussiae multidimesioali Lezioe 15 (20/12). (M. Barsati) De izioe di processi a tempo discreto itero, caratterizzazioe empirica di media e fuzioe di correlazioe data ua sola realizzazioe (serie temporale). Trasformata di Fourier a tempo discreto per serie temporali a quadrato sommabile e sue proprietà. Covoluzioe fra due serie temporali e sua DFT. Esempio di calcolo di DFT di ua serie temporale periodica. Delta di Dirac. De izioe di Desità Spettrale di poteza (PSD). PSD del rumore biaco. Altri tipi di rumore. Teorema di Wieer-Khichi e suo sigi cato sico. Traccia della dimostrazioe. 8

9 Nota. Si suggerisce di iiziare a svolgere tutti i compiti d esame dello scorso ao, escludedo ovviamete gli esercizi sulle catee di Markov, e riviado evetualmete quei dettagli di esercizi o acora approfoditi (come la correzioe di cotiuità ell applicazioe del teorema limite cetrale), che però si possoo studiare seza di coltà sul libro. Lezioe 16 (10/1/2011). Teorema ergodico: dal Capitolo 2, dimostrazioe del lemma 1 (cioè della proposizioe 2) e soprattutto del teorema 1, co iterpretazioe gra ca. Scorrelazioe asitotica. Esempio di processo che o soddisfa le ipotesi del teorema 1: X = Y per ogi ; la media aritmetica coverge, ma a Y, o a E [Y ]. Ci soo altri esempi rilevati di processi a struttura periodica, ma stazioari, per chi volesse approfodire. Esempio di processo che soddisfa le ipotesi del teorema 1: esempio del paragrafo 2.2 (liear equatio with dampig). Calcolo di e 2 e codizioi di stazioarietà (facoltativo il calcolo di R). Decadimeto espoeziale di C (). Iterpetazioe gra ca del modello, ei casi = 2 ed = 1=2. Bilacio tra variaza del dato iiziale, del oise e ampiezza del coe ciete di dissipazioe. Ierpretazioe gra ca o ituitiva del decadimeto di C (). Lezioe 17 (13/1). (M. Barsati) Dimostrazioe del Teorema di Wieer- Khichi. Sigi cato del Teorema di W-K. Campioameto di u segale coperto dal rumore, e importaza del rapporto segale/rumore. Semplici esempi di utilizzo di R per aalizzare serie temporali. Lezioe 18 (17/1). Veri ca che la soluzioe di X t = ax t 1 + " t, co jj < 1 ed opportuo dato iiziale, è stazioaria. Processi ARIMA: tutte le ote (Capitolo 4) salvo: esempio 4, il paragrafo 3.3 co la Proposizioe 2 e l esempio 6. (Si vedao ivece il facile esempio 5, il Remark 2 e l esempio 4.1, scordati per errore). Osservazioi dimeticate elle ote: i) Le equazioi della Proposizioe 1 soo dette di Yule-Walker. Esse vegoo usate, oltre che per calcolare C () dato il modello (come egli esempi delle ote), per stimare i parametri a k data ua serie storica, riteuta stazioaria, di cui si sia calcolata la C b () emprica. ii) La parte MA di u modello ARMA o poe restrizioi alla stazioarietà. Ivece per la parte AR P bisoga assumere che le radici complesse z del poliomio p (z) = 1 p k=1 kz k stiao tutte fuiri dalla palla uitaria chiusa del piao complesso: jzj > 1. di Taylor P 1 k=0 ' kx k del rapporto 1 + P q k=1 kx k = 1 Oppure che, P per lo sviluppo p k=1 kx k, valga 9

10 P 1 k=0 j' kj < 1. La codizioe P 1 k=0 j' kj 2 < 1 di pagia vii è u po fuorviate. Essa vale, essedo cosegueza di P 1 k=0 j' kj < 1, ma o è su ciete per la validità di tutti i risultati del capitolo. Ivece la codizioe P 1 k=0 j' kj < 1 è su ciete, così come la codizioe jzj > 1 sulle radici. Sotto queste codizioi, i) co opportui valori iiziali X 0 ; :::; X p 1 il processo è stazioario; ii) si può riscrivere ella forma X t = P 1 k=0 ' kl k " t ; iii) valgoo tutti i risultati del capitolo. Lezioe 19 (20/1). (M. Barsati) Catee di Markov. Paragra 5.1, 5.2, 5.3 o all esempio 5.9 escluso. Lezioe 20 (24/1). Catee di Markov. Esempio 5.9, grafo, classi chiuse irriducibili e isieme di stati trasitori. Ogi catea S si scompoe i T [ C 1 [ C 2 [ :::. Nell esempio, alcui trasitori soo evideti, altri più idiretti, soo tali i quato ci soo percorsi o baali che portao a stati da cui o si tora, oppure lo soo i quato comuicao co stati trasitori (cotagio della trasitorietà). Esempi di classe classi chiuse o irriducibili. Paragrafo 5.4: de izioe di misura ivariate, iterpretata ricordado la formula p (+1) = p () P. Descrive le statistiche i regime stazioario, ivariate el tempo. Si potrebbe dimostrare che il processo corrispodete è stazioario i seso stretto. Iterpretazioe della regola p (+1) = p () P come massa distribuita sugli stati, che viee spostata dalla catea i modo sicroizzato, spostado porzioi proporzioali alle probabilità di trasizioe; allora = P dice che dopo lo spostameto si vede la stessa distribuzioe di massa. da questa iterpretazioe risultao evideti alcui fatti che si potrebbero dimostrare algebricamete: i) gli stati trasitori o possoo avere massa ivariate (se fosse diversa da zero, ad ogi passo ua frazioe di quella rimasta se e adrebbe seza essere rimpiazzata, quidi la massa decrescerebbe); ii) ogi classe chiusa irriducibile ha ua sua diamica itera della massa, separata da quella delle altre classi, e o ulteriormete riducibile; iii) trovata la distribuzioe ivariate si massa i ciascua classe irriducibile, si possoo combiare queste masse i u uica massa ivariate per la catea el suo complesso, e la combiazioe si può fare co pesi w i arbitrari per ciascua classe C i. U teorema dice che, el caso di umero di stati ito, esiste almeo ua misura ivariate i ogi classe chiusa irriducibile; ed u altro teorema assicura, sempre el caso ito, che è uica. Quidi ogi C i ha la sua C i (vettore co tate compoeti quati gli stati di C i ; vettore ivariate per la diamica ristretta a C i ). A ciascua C i si associa i modo baale u e C i ivariate per la catea complessiva (vettore co tate compoeti quati gli stati di S). Già così si costruiscoo più mis- 10

11 ure ivariati per S. Poi esse si possoo modulare tramite pesi w i : ogi loro combiazioe covessa P w i C i è u vettore di probabilità (co tate compoeti quati gli stati di S) ivariate per la catea complessiva. Viee ache acdeata la visioe geometrica dell isieme di tutti i vettori di probabilità, che è u isieme covesso, etro cui sta l isieme di tutti le misure ivariati per ua certa catea, ach esso isieme covesso, i cui puti estremali soo le e C i. Per il calcolo delle C i viee illustrato il metodo del bilacio di usso, i alterativa all equazioe lieare. De izioe di catea regolare e criterio di regolarità. Teorema di covergeza all equilibrio (p ()! ) i codizioi di regolarità. Iterpetazioe come trasitorio che si spege; si istaura il regime stazioario. Serve ache per calcolare approssimativamete p (). De izioe di bilacio dettagliato, iterpretazioe ituitiva come scambio bilaciato di massa tra ogi coppia di stati; i alterativa a situazioi i cui la massa ruota tra più stati, pur mateedosi ivariate. De zioe di matrice bistocastica e relativa misura ivariate uiforme. Lezioe 22 (27/1). (M. Barsati) Esercizi su catee di Markov. Calcolo della probabilità di raggiugere uo stato assorbete partedo da uo stato iiziale che comuica co esso. 11