UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA Scuol di Specilizzzioe per l Isegmeto Secodrio VIII ciclo.s Idirizzo F.I.M. Lortorio di Didttic dell Mtemtic UNITA DIDATTICA L INTEGRALE DA DEFINITO A INDEFINITO Gruppo: Lzzrii Mrth Mrii Flvi Rschellà Rffell

2 Itroduzioe Viee presetto il cocetto di itegrle e le teciche di clcolo secodo il percorso defiitoidefiito. Viee cioè presetto il prolem di clcolo delle ree e defiito l itegrle defiito; quidi viee mostrt l ecessità di uo strumeto per il clcolo dell itegrle defiito, che viee trovto ell itegrle idefiito e el teorem fodmetle del clcolo. Clsse: V Liceo Scietifico Schem dell uità didttic Oiettivi Oiettivi specifici: itegrle defiito e iterpretzioe geometric clcolo di ree comprese tr due curve grfico di fuzioe fuzioe primitiv e itegrle idefiito teorem fodmetle del clcolo teoremi e proprietà pricipli degli itegrli clcolo di itegrli defiiti e idefiiti Oiettivi geerli: sper cofrotre l ecoomicità e geerlità dei diversi strumeti mtemtici e sper scegliere quello più opportuo elle diverse situzioi

3 Fsi dell ttività FASE TIPOLOGIA DESCRIZIONE PREREQUISITI OBIETTIVI ttività di gruppo ( h) ttività di gruppo ( h) 3 lezioe frotle ( h) 4 ttività di gruppo ( h) 5 lezioe frotle ( h) 6 lezioe frotle Sputo storico. Clcolo delle ree co il metodo di esustioe. Are del cerchio. Archimede e il segmeto prolico Somme iferiori e superiori e clcolo di ree come loro limite Defiizioe itegrle defiito e iterpretzioe geometric proprietà e teorem medi Limiti del metodo dei rettgoli: csi i cui o fuzio, csi i cui o è ecoomico Defiizioe fuzioe itegrle e iterpretzioe geometric Defiizioe di primitiv Teorem di Torricelli Defiizioe di itegrle idefiito Proprietà Teciche di clcolo geometri, limiti e teoremi, serie e successioi, trigoometri fuzioe, limite, serie ritmetic e geometric, teorem Weierstrss itervlli, sup e if, fuzioe e suo grfico (teo dei vlori itermedi) fuzioe e suo grfico, sommtorie, limiti di successioi fuzioe e suo grfico, derivt, limite, teorem medi itegrle, teoremi fuzioi cotiue fuzioe, derivt e primitiv compredere l ecessità di u metodo geerle per il clcolo delle ree costruire il cocetto di itegrle defiito formlizzre il cocetto di itegrle defiito compredere l o geerlità del metodo del limite delle somme iferiori e superiori cquisire uo strumeto di clcolo degli itegrli defiiti clcolre gli itegrli, defiiti e idefiiti 3

4 Sched isegte Teori Itegrle secodo Riem [] Nel seguito si sottitederà che ogi fuzioe è vlori reli di vriile rele.. Defiizioe di itegrle defiito. Dt l fuzioe f:[,], limitt i [,], e u prtizioe π i u umero fiito di itervlli π: 0= < < < < = sio mi = if f([ i, i]) e Mi = sup f([ i, i]) e si costruisco le somme iferiore e superiore i( i i ) Sπ = Mi i i i= i= s = m π ( ). Sio I =sup s π e I =if S π l vrire dell prtizioe di [,]. Se I =I =I l fuzioe si dice itegrile su [,] e I si dice itegrle di f su [,] e si scrive I = f( ) d. Codizioe NeS per l itegrilità. Si dt f limitt i [,] e s e S sio le somme iferiore e superiore reltive u prtizioe di [,] i itervlli di ugule lughezz. f è itegrile se e solo se ( S s ) lim = 0 e i tl cso le successioi S e s covergoo etrme llo stesso limite I. L stess coclusioe vle per prtizioi ritrrie π co π 0, dove π è il psso dell prtizioe, cioè l lughezz del mssimo sottoitervllo dell prtizioe. Quest crtterizzzioe forisce uo strumeto per il clcolo dell itegrle defiito di u fuzioe itegrile: scelt u opportu prtizioe i sottoitervlli, tle che π 0 per, si trov S o s e si clcol I = f( ) d= lims = lim s. 3. Itegrilità delle fuzioi cotiue. Se f è u fuzioe cotiu i [,], è ivi itegrile. DIM. Per il teorem di Weierstrss, f è limitt i [,]. Quidi è uiformemete cotiu, cioè ε > 0 δ > 0, ʹ [, ] ʹ < δ f ( ) f ( ʹ) < ε Cosidert u prtizioe di [,] i itervlli di ugule mpiezz, e chimte S e s le somme superiore e iferiore, per >( )/δ 4

5 cioè ( S s ) ( )( ) ε ( ) ε( ) S s = M m = i i i i i i i= i= lim = 0, d cui l tesi per il teorem precedete. NOTA. L cotiuità è codizioe sufficiete m o ecessri per l itegrilità. E fcile vedere che u fuzioe limitt i [,] co u umero fiito di discotiuità, essedo cotiu ei sottoitervlli delimitti di puti di discotiuità, è itegrile su [,]. U prim codizioe ecessri e sufficiete per l itegrilità fu forit d Riem, per questo l itegrle defiito i () si chim di Riem. U utile codizioe ecessri e sufficiete fu dt d Drou: defiimo trscurile u isieme A se per ogi ε>0 vi è u successioe di itervlli (i,i) che ricopre A ed è tle che ( ) i= i i 5 < ε ; u fuzioe f limitt i [,] è Riem itegrile su [,] se e solo se l isieme dei puti i cui f o è cotiu è trscurile. 4. Teorem dell medi. Se f è cotiu i [,] llor esiste c [,] tle che ( ) = ( )( ) f d f c DIM. Essedo f cotiu i u itervllo chiuso, è limitt, quidi, chimti m e M il miimo e il mssimo, per l proprietà di mootoi dell itegrle defiito si h ( ) ( ) ( ) m fd M llor per il teorem di Drou dei vlori itermedi esiste u c tle che f(c)=i/( ), d cui l tesi. NOTA. Il sigificto geometrico dell medi itegrle, cioè l qutità Im= ( ) /( ) f d è che l re sottes ll curv di equzioe y=f() ell itervllo [,] è ugule ll re del rettgolo di se ( ) e ltezz Im. Ioltre Im è il limite dell medi ritmetic (f()+f()+ +f())/ dei vlori ssuti d f i puti equispziti. 5. Teorem di Torricelli. Dt l fuzioe f cotiu i [,], l fuzioe itegrle Φ: [,], f () tdt è derivile i [,] e Φ ()=f() per ogi [,]. DIM. Cosiderimo [,] e u icremeto h: Φ ( + h) Φ( ) + h + h + h = f () tdt ftdt () = ftdt () + ftdt () ftdt () = ftdt () h h h h per il teorem dell medi, esiste u c [,+h] se h>0, oppure c [+h,] se h<0, tle che: = + h f () c h f() t dt

6 d cui Φ ( + h) Φ( ) + h = ftdt () fc () h fc () h h = = h per h 0, essedo c compreso tr e +h, c quidi, essedo f cotiu, cioè l tesi. Φ ( + h) Φ( ) Φ ʹ( ) = lim = lim f( c) = f( ) h 0 h h 0 6. Teorem fodmetle del clcolo. Dt l fuzioe f cotiu i [,] e u su primitiv F, F() F() = f () tdt. DIM. Per il teorem di Torricelli e le ipotesi, l fuzioe F e l fuzioe itegrle Φ ho l stess derivt f ell itervllo [,], quidi differiscoo per u costte, quidi: cioè, essedo F() = f () tdt +k = k, d cui d cui l tesi. F() = f () tdt +k F() = f () tdt F() = f () tdt + F() + F() Esercizi svolti I quest sezioe soo riportte le soluzioi dettglite delle ttività proposte e discusse elle lezioi. Esercizi proposti ell fse.. Clcolre l re del trpezoide defiito su I [0,] dll cuic y = 3. Suddividedo I i itervlli cogrueti di misur = : le scisse dei mssimi soo: Mk= /, /, 3/,./, metre le ltezze dei rettgoli circoscritti soo: f(mk) = (/) 3, (/) 3,..(/) 3. Risult llor S Quidi S= lims = 4 ( + ) [ ] = = =

7 lim = 0. Dimostrre che ( S s ) Essedo S s = f(m) = / risult ( S s ) Esercizi proposti ell fse 4.. d Dividedo i prti uguli: lim = lim = 0 3 k= k= 3 ( ( ) ( )) S = + k = + k + k = + k + k k= k= k= 3 ( + )(+ ) ( + ) = ( ) pssdo l limite: ( ) d= lim S = + + ( ) 3 = = d Dividedo i prti uguli: S = = = pssdo l limite: / k / k / k= k= / / d = lim S = lim lim ( / ) = log d Dividedo i prti uguli: k S = = k k= k= si trov u sommtori di cui o si coosce l somm. Si può scegliere llor u prtizioe i prti i modo che k = k ( / ) e ogi sottoitervllo = / k (k ) : 3/ k k 3/ ( + )(+ ) ( + ) 3 ( ) 3 3 k= k= 3 S = = k k = pssdo l limite: 7

8 4. 0 d d = lim S = 3, Dividedo i prti uguli: S 3 / = = + + k( ) k( ) k= k= di cui o si coosce l somm. 5. d Dividedo i prti uguli: S = = = + + k k k ( ) k= k= k= + l cui somm o si può esprimere i modo elemetre i fuzioe di. Iftti / = γ +Ψ ( ) = 0 + k k, dove γ = è l costte di Eulero Mscheroi, e Ψ0 è l fuzioe digmm. Si può però pprossimre l somm precedete co: log + γ + + o 4 5 k = k 0 quidi sitoticmete per = = log log = log k k k k= + k= k= 6. d Dividedo i prti uguli: + = S + k = + k = pssdo l limite: ( ) ( ) ( ) ( ) d = lim S = ( ) = Appedice Fuzioe digmm: Ψ0(z)=Γʹ(z)/Γ(z)= e e t dt = γ + t e t t zt z 0 t 0 dt Fuzioe gmm: Γ(z)= z 0 t z t! e dt = lim zz ( + )...( z+ ) 8

9 Descrizioe dell ttività Fse Motivzioe Viee itrodotto il prolem delle ree i csi prticolri. L risoluzioe, effettut medite il metodo di esustioe, viee sviluppt co u lvoro di gruppo per mettere i evidez che questo metodo h isogo di scelte studite cso per cso così d fr emergere l ecessità di uo strumeto più geerle. Sclett lvoro di gruppo: segmeto prolico lvoro di gruppo: cerchio Ostcoli difficoltà ell idividure i poligoi più dtti per l pprossimre epistemologico: difficoltà ell ccettre che questo processo di pprossimzioe o è fiito Lezioe lvoro di gruppo: segmeto prolico Lvoro di gruppo : Trovre u pprossimzioe dell re del segmeto prolico delimitto dll sse e dll prol y= +8. Rilci: Izi tutto isog fre il disego stz grde. Archimede risolse il prolem medite il metodo di esustioe, cioè pprossimdo il segmeto prolico co poligoi. B Possimo scegliere u trigolo opportuo che pprossimi per difetto il segmeto prolico. D E Svolgimeto: Sceglimo il trigolo ABC i figur e clcolimo l re: A=4*8/=6. Lvoro di gruppo : Trovre u pprossimzioe migliore. Rilci: A D B C 9

10 Potremmo cotiure d pprossimre le zoe rimste co ltri trigoli. E utile otre, per semplicità di clcolo, l simmetri. Cosiderimo come vertice del trigolo ggiuto il puto sull prol di sciss il puto medio di AO. Svolgimeto: = y = + 8 = D(, 6) y = 6 AB = + 8 = = 68 = 7 AB: y 0 = y 8 = + y=4(+) y=4+8 4 y+8 DH=d(D,AB)= = 7 7 AADB= 7 A=AADB+ABEC=AADB=*=4 = Lvoro di gruppo 3:. A questo puto ci possimo chiedere i che rpporto soo le due ree A ed A. A/A=6/4=/4, A=(/4)A.. Rimgoo però cor delle prti d riempire e quidi il procedimeto può essere iterto otteedo? (U progressioe geometric di rgioe q=¼) 3. Quidi ci spettimo che l re del segmeto prolico si? Svolgimeto: defiedo S l somm delle prime ree, costruite co il metodo idicto, A= lim S = k k 4 A lim q = A, essedo S= = q = 4 4 = Questo ce lo dice l ostr costruzioe, m o è u dimostrzioe. Ache Archimede, pplicdo questo stesso metodo di esustioe rrivò llo stesso risultto che poi dimostrò formlmete el suo trttto. L dimostrzioe cosiste i u doppio ssurdo, cioè Archimede dimostr che l re del segmeto prolico o può essere é mggiore é miore dei 4/3 del trigolo che h per se l stess se e per ltezz l stess ltezz del segmeto prolico. E ovvio che se l re del segmeto prolico è ugule i 4/3 dell re del trigolo che h l stess se e l stess ltezz del segmeto. 0

11 prolico, srà che ugule i /3 dell re del rettgolo che h l stess se e l stess ltezz del segmeto prolico. Il metodo di esustioe che imo usto per u segmeto prolico prticolre può essere pplicto i geerle, se si riesce idividure u figur per eseguire l pprossimzioe, clcolre l re come limite e dimostrre che il vlore otteuto è l re cerct. lvoro di gruppo: cerchio Lvoro di gruppo 4: Approssimre l re di u circoferez di cetro O e rggio r. Rilcio: Utilizzimo poligoi regolri per l pprossimzioe. Svolgimeto: Iscrivimo ell circoferez u poligoo regolre di lti. L su re è dt dll misur del semiperimetro per l potem. L potem di questo poligoo regolre iscritto è: π π π π π =r*cos, quidi l re del poligoo regolre iscritto è: A= r si cos =r si cos. Per che tede d ifiito quest re tede : π π π lim A = lim r si cos = r lim sit cost = π r t t 0 Se circoscrivimo ll circoferez u poligoo regolre di lti, il suo potem srà r e l su re: π π A= r tg =r tg. Per che tede d ifiito quest re tede : lim A= π π sit = = π lim r tg r lim r t 0 t cos t. Per il teorem del cofroto llor l re dell circoferez srà: A=π r. Ache or si è dovuto procedere scegliedo degli opportui poligoi per l pprossimzioe, si è dovuto idividure il risultto cercto e poi dimostrre trmite teoremi che i effetti quell è proprio l re cerct. Il vtggio rispetto l metodo di esustioe è che si costruiscoo due successioi, u miorte e u mggiorte l re cerct, per cui l loro covergez uo stesso vlore grtisce che questo si l re d clcolre, sez dover ricorrere ll doppi dimostrzioe per ssurdo.

12 Fse Motivzioe L vvicimeto l cocetto di itegrle defiito viee itrodotto trmite il cocetto di re clcolt ttrverso diverse teciche scelte d hoc per ogi sigolo prolem (esustioe, plurirettgoli); l ttività di gruppo serve sperimetre l utilità e i limiti di ogi soluzioe e d esplorre teciche più geerli. Quest ttività di gruppo dovree fcilitre l distizioe tr gli spetti ecessri e covezioli dell successiv defiizioe di itegrle defiito. Sclett itroduzioe l prolem del clcolo dell re sottes u curv: metodo delle somme iferiori e superiori dei plurirettgoli lvoro di gruppo: ppliczioi del metodo dei plurirettgoli Ostcoli Difficoltà: - epistemologic: pssggio dl discreto l cotiuo - gli esercizi proposti presuppogoo prticolri ilità ell trttzioe delle serie e dell prtizioe di u segmeto. Lezioe itroduzioe l prolem del clcolo dell re sottes u curv: metodo delle somme iferiori e superiori dei plurirettgoli. Archimede vev risolto il prolem del clcolo dell re di u segmeto prolico per esustioe. E ecessrio idividure u metodo geerle che permett di clcolre l misur dell re di u figur geeric. Successivmete fu idividuto il metodo del clcolo del limite di successioi, m che quest secod strd si rivelerà imprticile per figure complesse. Vedimo i dettglio il metodo delle successioi. Il prolem del clcolo di u re di figur pi cotoro curvilieo può essere ridotto llo studio del trpezoide, ovvero u figur mistilie delimitt d u fuzioe f() defiit su u itervllo I [,].. Defiimo u fuzioe f che si - defiit e cotiu su I [,]. - o egtiv su I

13 . Defiimo su I u uov fuzioe A che ssoci d ogi I l misur uic A() dell re del trpezoide formto dl semisse positivo e dll curv di equzioe y=f(), e di se h =. Esercitzioe di gruppo sul cocetto di fuzioe re A: dt l fuzioe di equzioe y = costruire l espressioe A() dell fuzioe Are del trpezoide; sfrutt il risultto dell fse. Svolgimeto: essedo l re del segmeto prolico i /3 dell re del rettgolo circoscritto, A() = 3 /3. L isegte questo puto dovree suggerire di derivre l fuzioe A così trovt fcedo otre che tle derivt coicide co l fuzioe che h per equzioe quell dell prol stess e chiedere di verificre elle prossime lezioi se tle risultto potree essere geerlizzto. Lvoro di gruppo : Or che imo defiito l fuzioe re, itroducimo u metodo geerle (dei plurirettgoli) che ci coset di rrivre tle fuzioe. Clcolre l re del trpezoide defiito su I [0,] dll cuic y = 3. Rilcio: suddividere I i itervlli cogrueti di misur =. L isegte si spett che i rgzzi rrivio determire l somm dei rettgoli circoscritti = e che ituisco che ifittedo l prtizioe dell itervllo, ovvero S 4 umetdo ll ifiito si rrivi l vlore corretto dell re. Si preset or il prolem di trovre u dipedez di S d più utile l clcolo del limite, ovvero isog trovre u form litic per l somm dei primi cui. Rilcio: S ( + ) [ ] = = = Istituziolizzzioe del metodo dei plurirettgoli: Si cosideri l itervllo I [,] e u fuzioe di equzioe y = f() ivi defiit e cotiu. Eseguimo or u suddivisioe di I i sottoitervlli cogrueti di mpiezz = e si costruisco i rettgoli di se e ltezz il mssimo di f i tle itervllio (rettgolo circoscritto) e quelli di 3

14 se e ltezz il miimo di f (rettgolo iscritto). Il teorem di Weierstrss sulle fuzioi cotiue grtisce l esistez del mssimo e del miimo i ogi sottoitervllo K. Chimimo Mk e mk rispettivmete i puti di mssimo e di miimo di ogi sottoitervllo. Il plurirettgolo circoscritto è l uioe dei rettgoli costruiti coi mssimi ed vrà re S = f( Mk) che pprossim per eccesso quell del trpezoide S. Il plurirettgolo iscritto è l uioe dei rettgoli costruiti coi miimi ed vrà re s = f( mk) che pprossim per difetto quell del trpezoide S; ovvero per costruzioe srà s S S. Se, ll ifittirsi dell prtizioe (per ), etrme le successioi covergoo llo stesso vlore, l re S = lims = lim s L isegte questo puto riprede l esempio svolto el lvoro di gruppo e putulizz che il limite S trovto grtisce semplicemete che l re del trpezoide è mggiort dl vlore ¼. Bisog or dimostrre che che il limite di s coverge llo stesso vlore: Rilcio: si dimostri che ( S s ) lim = 0 lvoro di gruppo 3: L clsse h si qui cquisito l procedur di clcolo dell re sottes d u curv trmite plurirettgoli costruiti prtire d u prtizioe di I i itervlli cogrueti. L isegte f eseguire or u secodo esercizio co tle metodo che itroduce ulteriori difficoltà di clcolo dimostrzioe che il metodo risult poco ecoomico. Clcol l re del trpezoide geerto sull itervllo I[0,] dll equzioe y = 4. Cos ti ssicur che per trovre l soluzioe st clcolre il limite di S? lim( S s) lim = L isegte si spett che l clsse rrivi S = e che questo puto si fermi poiché 5 il clcolo dell somm delle prime poteze ll qurt risult estremmete complesso. Rilcio: Pierre Fermt el 657 propose u metodo geerle per l qudrtur di y= p, co p itero diverso d. 4

15 cosider y = p e dividi I=[0,] NON i prti tutte uguli m secodo u prtizioe defiit di puti di sciss, E, E,, E, 0, co E<. clcol le ree superiori e l re del plurirettgoli come somm delle sigole ree Svolgimeto: re= p ( E); re=(e) p (E E ); re3=(e ) p (E E ), quidi l re del plurirettgolo è: p+ p+ S ( ) ( E E ) k= 0 k =, cioè è proporziole u serie geometric di rgioe q=e p+. Spedo che + k q q =, riscrivimo l somm come: q k= 0 E E S E E + E E ( p+ ) ( p+ ) p+ p+ = ( ) = p+ p k Clcol il limite per, scegliedo E= /, i modo che lim E= lim E = Svolgimeto: ( p+ ) p+ p+ (/ ) S= lim =... p + E+ + E p+ Esercizio : el cso prticolre y = 4 su [0,], quto vle l re? Svolgimeto: = e p = 4 quidi S = /5 geerlizzimo or per = ovvero fcedo vrire l estremo dell itervllo: osservimo che l fuzioe che defiisce il trpezoide è l derivt dell re A(). Fse 3 Motivzioe I quest lezioe si è scelt l modlità frotle perché i effetti, trmite i lvori di gruppo, i rgzzi ho già costruito il cocetto di itegrle defiito che si deve istituziolizzre. Sclett Defiizioe itegrle defiito e iterpretzioe geometric proprietà (lierità, dditività e mootoi) e teorem medi Ostcoli Miscocetti sull itegrle defiito Lezioe Defiizioe itegrle defiito e iterpretzioe geometric 5

16 Nell lezioe precedete imo visto che, per u fuzioe f:[,] cotiu e o egtiv ell itervllo chiuso e limitto [,] possimo defiire u qulsisi prtizioe P di [,] formt d + puti distiti: =0< < < < = ovvero d itervlli di lughezze diverse, si può ioltre idividure i ogi itervllio k esimo u if f([k, k]) = ek l vrire di i tle itervllio ed logmete u sup f([k, k]) = Ek. Si defiisco or: somm iferiore reltiv P : somm superiore reltiv P : s = e P k k k= S = E P k k k= Per costruzioe, comuque si scelg P, vle che sp Sp. Al vrire delle possiili prtizioi, ottego due clssi S e s, che si può dimostrre essere seprte. Se esiste u uico elemeto seprtore (l cotiuità è codizioe sufficiete), l elemeto seprtore I è detto itegrle dell fuzioe f, che si dice itegrile su [,], e questo itegrle si idic co: I= f ( ) d che si legge: itegrle tr e di f()d dove è detto estremo iferiore di itegrzioe, estremo superiore di itegrzioe ed f() è dett fuzioe itegrd. Il simolo deriv dll deformzioe dell letter S per ricordre che si ottiee d u somm. Quidi f ( ) d rppreset l re sottes ll curv di equzioe y=f() ell itervllo [,] solo se f()>0 per ogi [,], m l defiizioe è più geerle: l itegrle può essere visto come u somm ifiit estes ll itervllo [,] del prodotto dell icremeto delle scisse (d) per l ordit. proprietà (lierità, dditività e mootoi) e teorem medi Proprietà:. f ) d ( = f ( ) d ;. f ( ) d =0; 3. lierità: k f( ) + k f ( ) d = k f ( ) d + k f ( ) d ; 6

17 4. dditività: c f ( ) d = f ( ) d + c f ( ) d (vle che el cso i cui c si estero ll itervllo [,] se f è defiit e cotiu egl itervlli [,], [,c] e [c,]); 5. mootoi: se ed f() g() f ( ) d g ( ) d ; 6. f ( ) d f ( ) d. L e l soo defiizioi, le successive soo teoremi che vegoo giustificti dll loro iterpretzioe geometric, per o ppestire l lezioe co troppe dimostrzioi. Teorem dell medi. Se f è cotiu i [,] llor esiste c [,] tle che ( ) = ( )( ) f d f c DIM. Essedo f cotiu i u itervllo chiuso è limitt, quidi, chimti m e M il miimo e il mssimo, per l proprietà di mootoi dell itegrle defiito si h ( ) ( ) ( ) m fd M f ( ) d m M llor per il teorem di Drou dei vlori itermedi esiste u c tle che f(c)=i/( ), d cui l tesi Il sigificto geometrico dell medi itegrle, cioè dell qutità Im= ( ) /( ) f d è che l re sottes ll curv di equzioe y=f() ell itervllo [,] è ugule ll re del rettgolo di se ( ) e ltezz Im per questo il vlore f(c) è detto vlor medio dell fuzioe ell itervllo [,]. Fse 4 Motivzioe Nelle lezioi precedeti si è mostrto come l defiizioe di itegrle defiito si l più geerle per defiire l re sottes u curv compless. Si vuole or mostrre che il metodo di clcolo suggerito dll defiizioe, cioè l scelt di u prtizioe dell itervllo e il clcolo del limite dell somm delle ree dei rettgoli iscritti o circoscritti, è limitto, si perché o pplicile tutti i csi, si perché o sempre ecoomico. Il modo migliore i questo cso è fr scotrre gli studeti co il ftto che i certi csi il metodo richiede clcoli eccessivi, i ltri o forisce l soluzioe; si propoe quidi u ttività di gruppo. 7

18 Dovedo ricercre i prim perso il modo migliore per clcolre le ree proposte, gli studeti ho che l possiilità di cpire come il metodo richied spesso soluzioi d hoc, e di setire l ecessità di uo strumeto più geerle, che verrà forito ell lezioe successiv. Ioltre, ddo esercizi diversi i gruppi, l mometo dell discussioe gli studeti si esercito che riportre i loro risultti gli ltri, quidi d usre u liguggio specifico e sitetizzre. Sclett lvoro di gruppo: ppliczioe del metodo dei rettgoli diversi csi discussioe dei limiti del metodo Ostcoli difficoltà trovre soluzioi d hoc sez il supporto di uo strumeto lgoritmico geerle Lezioe lvoro di gruppo: ppliczioe del metodo dei rettgoli diversi csi Si propoe ogi gruppo uo dei segueti esercizi di clcolo dell re sottes lle curve di equzioe:. y= ell itervllo [, ]. y= i [0, ] 3. y= i [0, ] 4. y=/ i [, ], 5. y=/ i [, ] 6. y= i [, ] Gli esercizi e soo ppliczioi di quto detto elle lezioi precedeti, quidi o dovreero dre prolemi ell impostzioe, cioè l scrittur delle somme superiori o iferiori riferite u prtizioe co sottoitervlli di ugule lughezz; le difficoltà soo di clcolo, i prticolre isog spere l somm dei primi iteri e dei primi qudrti i () e cooscere u limite otevole i (). Gli esercizi soo quidi u occsioe di ripsso m che utili per evidezire l o geerlità e l mcchiosità del metodo di clcolo derivto dll defiizioe di itegrle defiito. L esercizio 3 richiede di trovre u prtizioe d hoc, che può essere suggerit i u secodo mometo se gli studeti o ci peso d soli. Nell esercizio 4 quest ricerc dovree fllire, mostrdo i limiti del metodo che per fuzioi semplici. 8

19 Nell esercizio 5 ci si spett che gli studeti rrivio scrivere l somm dei reciproci; questo puto si può forire l pprossimzioe che permette di clcolre il limite, che cor più degli esercizi e dovree dre l ide dell ecessità di trovre u soluzioe d hoc cso per cso. L esercizio 6 o h difficoltà di impostzioe é di clcolo, e ci si spett che gli studeti osservio l scomodità di questo metodo rispetto l clcolo diretto dell re del trpezio. discussioe dei limiti del metodo Si sollecit u discussioe i cui i gruppi riporto il loro risultti, evidezido qudo il metodo risult efficce (ess. e ), qudo o permette di clcolre l re (es. 4), qudo o è ecoomico (3, 5 e 6). Si può evidezire i ogi cso l mcchiosità e o geerlità del metodo, i quto richiede di cooscere le somme przili di diverse successioi, o le somme di diverse serie ifiite, e volte di procedere per tettivi per trovre l prtizioe opportu. Fse 5 Motivzioe Si vuole presetre il teorem fodmetle del clcolo come strumeto geerle ed ecoomico per il clcolo degli itegrli defiiti. Si è scelt i questo cso l modlità dell lezioe frotle perché o si vuole costruire u uovo cocetto o strumeto livello ituitivo m formlizzre u teorem che richiede l itroduzioe di lcue defiizioe prelimiri (fuzioe itegrle e primitiv) e che o può essere scoperto i tempi rgioevoli ttrverso u ttività d prte degli studeti. Sclett Defiizioe fuzioe itegrle e iterpretzioe geometric Defiizioe di primitiv Teorem di Torricelli o teorem di iversioe Teorem fodmetle del clcolo Ostcoli difficoltà reltiv ll fuzioe itegrle: difficoltà trttre u fuzioe di cui o si h presete il grfico, m i cui vlori dipedoo dll re sottes l grfico di u ltr. Può divetre u ostcolo didttico se le fuzioi soo sempre stte presette ssocite u curv el pio crtesio 9

20 Lezioe Voglimo trovre uo strumeto di clcolo degli itegrli defiiti più geerle e che richied meo clcoli del metodo usto fior. Vedremo che il clcolo degli itegrli defiiti si ridurrà ll ricerc di fuzioi l cui derivt è l fuzioe d itegrre. Itroducimo tle scopo l fuzioe itegrle: dt u fuzioe f:d, itegrile su [,] D si defiisce fuzioe itegrle l fuzioe Φ: [,] f () tdt che si può iterpretre geometricmete come l fuzioe che ssoci ogi puto dell itervllo [,] l re sottes ll curv di equzioe y=f() ell itervllo [,]. Possimo ituire l utilità di quest fuzioe cosiderdo i due trpezoidi Φ() e Φ(+d) mostrti i figur. L differez Φ+d) Φ() è l re trtteggit; per il teorem dell medi, esiste u puto < c < +d tle che Φ(c)d = Φ(+d) Φ(), cioè il rpporto icremetle [Φ(+d) Φ()]/d = Φ(c) è l ltezz di u rettgolo di se d e re pri quell trtteggit. Per d 0 ituitivmete ci spettimo che il trpezoide trtteggito diveti u rettgolo di se ifiitesim d e ltezz f(), per cui: Φ ( + d) Φ( ) f( ) = lim d 0 d cioè Φ()=f(). Quidi, se voglimo clcolre l itegrle I= f () tdt, per come imo defiito l fuzioe itegrle, Φ()=I, cioè il clcolo itegrle è stto ricodotto ll ricerc di u opportu fuzioe Φ che h per derivt l fuzioe itegrd f e l suo clcolo i u estremo di itegrzioe. Formlizzimo quto detto i precedez: dt u fuzioe f:d, u fuzioe F:D si dice primitiv dell fuzioe f se, per ogi D, F ()=f(). L fuzioe primitiv o è uic, perché st sommre ll fuzioe F trovt u fuzioe costte, perché l derivt si cor l f. Il risultto che imo itrodotto ituitivmete è formlizzto dl teorem di Torricelli: IP: si dt l fuzioe f: D, cotiu i [,] D TS: l fuzioe itegrle Φ: [,], f () tdt è derivile i [,] e Φ ()=f() per ogi [,] 0

21 DIM. Cosiderimo [,] e u icremeto h: Φ ( + h) Φ( ) + h + h + h = f () t dt f () t dt = f () t dt + f () t dt f () t dt = f () t dt h h h h per il teorem dell medi, esiste u c [,+h] se h>0, oppure c [+h,] se h<0, tle che: = + h f () c h f() t dt d cui Φ ( + h) Φ( ) + h = ftdt () fc () h fc () h h = = h per h 0, essedo c compreso tr e +h, c quidi, essedo f cotiu, Φ ( + h) Φ( ) Φ ʹ( ) = lim = lim f( c) = f( ) h 0 h h 0 cioè l tesi. QED Questo risultto ci permette di dimostrre u teorem che cosete di clcolre i modo reltivmete semplice u itegrle defiito, e che per questo viee chimto teorem fodmetle del clcolo: IP: si dt l fuzioe f: D, cotiu i [,] D e u su primitiv F:[,] TS: F() F() = f () tdt DIM. Per il teorem di Torricelli e le ipotesi, l fuzioe F e l fuzioe itegrle Φ ho l stess derivt f ell itervllo chiuso [,], quidi differiscoo per u costte k, quidi: cioè, essedo F() = f () tdt +k = k, d cui F() = f () tdt +k F() = f () tdt F() = f () tdt +F() +F() d cui l tesi. QED Fse 6 Motivzioe L defiizioe di itegrle viee ecessrimete propost co u lezioe frotle.

22 Le teciche verro itrodotte i modo pplictivo foredo le sottostti telle sez ulteriori spiegzioi e chiededo di eseguire sigolrmete gli esercizi suggeriti per ogi tipo. Riteimo iftti che u volt chiro il cocetto di itegrle idefiito, si più efficce u pproccio prtico ed idividule. I clsse si discuterà di evetuli difficoltà e dui. Sclett Defiizioe di itegrle idefiito teciche di clcolo: immediti, fuzioi frtte, sostituzioe, per prti co esercizi pplictivi Ostcoli Lvorre i Lezioe DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO Questo rgometo richiede u uo pdroz delle regole di derivzioe, e deve sviluppre ilità ell tecic di itegrzioe di seguito espost: si preset quidi più semplice rispetto i precedeti che ivece presetvo difficoltà cocettuli. Dt l fuzioe f, l llievo s clcolre l derivt prim f e s che se esiste è uic. Egli s che l opertore derivt prim è liere. I questo prgrfo l llievo dovrà eseguire l operzioe ivers ll derivzioe: dt u fuzioe f, determire u fuzioe che mmett f come derivt. Per quest proprietà l fuzioe icogit verrà chimt primitiv. Poiché l derivt di u fuzioe costte è ull, D(F+k) = F = f, cioè esistoo ifiite primitive dell stess fuzioe. Allor o si può defiire u opertore iverso dell opertore di derivzioe, m l su relzioe ivers (dett itegrzioe), che ssoci u fuzioe f tutte e sole le sue primitive. L immgie di u fuzioe f ttrverso l itegrzioe si chim itegrle idefiito di f e si rppreset col simolo: D { } f ( d ) = F Fʹ = f dove D è il domiio dell f. Se f è defiit su u itervllo, per il terzo corollrio del teorem di Lgrge tutte le primitive differiscoo per u fuzioe costte, quidi trovt u primitiv F0, l fmigli {F0+k}, co k fuzioe costte k: D, k, defiisce tutte e sole le primitive di f, cioè D { 0 } { 0 } f ( ) d = F ( k )( F = F + k ) : = F + k (*)

23 I geerle, co f( ) d si itede che il domiio di f è il suo isieme di esistez, quidi se o si specific u restrizioe su u itervllo, i geerle l scrittur {F0+k} o rppreset tutte le primitive, quidi l ugugliz (*) è errt. Nei prolemi di clcolo degli itegrli idefiiti, si cercherà quidi u sol primitiv F, e si scriverà f ( d ) =F(), dove F() è u rppresette dell clsse di equivlez geert dll itegrle, omettedo l costte k ust ei liri di testo (vedi l lisi dei liri di testo l prgrfo successivo). Proprietà dell itegrle idefiito Dte due fuzioi f e g itegrili:. costte moltiplictiv: k, kf( ) d= k f( ) d. dditività: [ f ( ) + g( )] d = f ( ) d + g( ) d 3. lierità: k, k, [ kf ( ) + kg ( )] d= k f( d ) + k gd ( ) TECNICHE DI CALCOLO L difficoltà del clcolo itegrle è ricoduciile ll ricerc di u primitiv: vedimo di ctlogre le fuzioi i modo d ricodursi velocemete lle primitive. L isegte cosegerà gli studeti l sottostte tell sez ulteriori commeti chiededo di clcolre gli itegrli dell colo esercizi iutdo sigolrmete l llievo i cso di difficoltà. INTEGRALI IMMEDIATI fuzioi Itegrli immediti primitiv esercizi poliomio α α + d + d α - α + l() d Prodotto di due fuzioi f ( ) f ( ) '( ) e e se cos d di cui u espoezile e f d Prodotto di due fuzioi di cui u espoezile e f '( e ) d f ( e ) e + e d Prodotto di due fuzioi f '( ) g'( f ( )) d g ( f ( )) Vedi itegrzioe per sostituzioe di vriile Fuzioi rziole frtte f '( ) rcse(f()) co deomitore d d f ( ) ( f ( )) 3

24 Fuzioi rziole f '( ) frziori co d deomitore +f () + f ( ) Fuzioi rziole ' f ( ) frziori d f ( ) Fuzioi rziole frziori f ) d + f '(( ) rctg(f()) + l f ( ) tg ( ) d [f()] - d INTEGRALI DI FUNZIONI RAZIONALI FRAZIONARIE CON DENOMINATORE POLINOMIALE P DI II GRADO: ( ) d + p + q Numertore: P = A + B d + p + q Deomitore: tecic > 0 Scomporre il deomitore i fttori ( )( ) e si trovo due coefficieti, tli che A + B d = + p + q d + l d = + l esempio 3 d + = A + B d + p + q = 0 Aggiugere e togliere A l umertore A + B d = + p + q A( ) d + ( ) Al ( A A + B d = + B)( ) d + = B d + p + q < 0 A = 0 Trmite trucchi lgerici cercre di fr comprire deomitore : + f () i modo che l fuzioe d + + ± = rctg( + ) itegrle si u rctg (f()) 4

25 = A + B d + p + q < 0 A 0 Cotrollre se ci si può ricodurre ' f ( ) d ltrimeti trmite trucco f ( ) lgerico mettere i evidez l precedete formul e seprre ( ± ) + 3 d = + 0 l( + 0) + + rctg 3 l itegrle i due di cui uo porterà ll fuzioe logritmic, ed il secodo ll fuzioe rcotgete P d + + c Eseguire l divisioe tr umertore e deomitore Q( ) D( ) + R( ) R( ) = Q( ) + per D( ) D( ) d + N( ) = d D( ) scomporre l fuzioe itegrdo ell somm tr u poliomio e di u frzioe lgeric co umertore di grdo iferiore l deomitore ricdedo ei csi delle prime 4 righe INTEGRAZIONE PER PARTI Dto il seguete itegrle: f ( ) g( ) d, se u delle due fuzioi (d esempio g) può essere vist come l derivt di u ltr fuzioe (d esempio G), llor, per l proprietà dell derivt del prodotto di due fuzioi risult: ( ) g( ) d f ( ) G( ) f = f '( ) G( ) d Coseg : e d = ( ) e L tecic di itegrzioe per prti ripetut, si utilizz per l itegrzioe di fuzioi cicliche ovvero per quelle fuzioi per le quli l derivt eesim coicide co l fuzioe stess d esempio e, Ch(), Sh(), cos(), se(). Esempio guidto eseguito dll isegte: se( ) e d = se e cos( ) e d = se e cos e se( ) e d se( ) e d = [( se cos ) e ] 5

26 INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE Per clcolre lcui itegrli o immediti, coviee eseguire u trsformzioe di vriile = g(t) che si ivertiile ed pplicre l regol di itegrzioe delle fuzioi composte. e Esempio guidto eseguito dll isegte: d e e + utilizzdo l vriile usiliri t = e d cui dt = t d. l itegrle divet quidi: t dt = ( t ) = ( e ) t+ Quest tecic è molto utilizzt per clcolre l itegrle di fuzioi goiometriche ssieme lle formule di isezioe. Coseg: Verific che d = l tg se operdo l sostituzioe t = tg(/) spedo che tg se = Ricord che l ivertiilità dell tgete è grtit tr + tg π/ < / < +π/ Alisi dei liri di testo: l itegrle idefiito Come imo mostrto, esprimere l isieme delle primitive idividuto dll itegrle idefiito ell form F()+c è corretto solo el cso i cui l fuzioe itegrd si defiit su u itervllo. Il prolem del clcolo dell itegrle idefiito è legto quello del clcolo dell itegrle defiito, e quidi limitre l ricerc delle primitive ll restrizioe dell fuzioe itegrd ll itervllo di itegrzioe o h effetti sul clcolo dell itegrle defiito. Tuttvi, i fii dell ppliczioe del teorem fodmetle del clcolo è sufficiete trovre u primitiv, quidi o h seso limitre u prolem più geerle, che può essere defiito utoommete (l ricerc di tutte e sole le primitive di fuzioi reli di vriile rele, co domiio qulsisi), solo per slvre u itudie di scrittur e co l scus che il prolem così limitto è sufficiete per le ppliczioi. I questo lvoro si è scelto quidi (vedi fse 6) di defiire il prolem geerle, di evidezire i csi i cui può essere risolto esplicitmete, e di distiguere l su ppliczioe i fii del clcolo di itegrli defiiti, per cui è sufficiete trovre u sol primitiv. Nei liri di testo, i geerle si us l otzioe itule f( ) d= F( ) + c, trlscido di defiire l itegrle come isieme di fuzioi (limitdosi u ide ituitiv di processo che idividu le 6

27 primitive di u fuzioe) o ddo defiizioi errte (di opertore iverso dell derivt); solo i pochi csi si chiriscoo le covezioi di scrittur o l scelt di restrigere il prolem lle fuzioi defiite su u itervllo. Si riporto lcui esempi. Ciolli Michelssi [] defiisce l itegrzioe idefiit come operzioe ivers dell differezizioe, pur fcedo otre che l primitiv o è uic. No poe restrizioi sul domiio, m discute l esempio di d e dice che, per degursi ll scrittur itule d = l + c, l ugugliz deve essere ites el seso che l restrizioe di u qulsisi primitiv dell fuzioe itegrd ciscuo degli itervlli del domiio differisce d F() per u costte. Lmerti Mereu [3] defiisce l itegrle idefiito come totlità delle primitive, e specific che l scrittur itule è u covezioe che sottitede u isieme di fuzioi, cioè { } f ( d ) = F ( ) + c. Euci correttmete il teorem per cui le primitive differiscoo per u costte se defiite su u itervllo, m o limit l itegrle lle fuzioi defiite su u itervllo, usdo scritture del tipo d = l + c sez ulteriori commeti. Zwirer [4] defiisce l itegrle idefiito come totlità delle primitive, o l più geerle delle primitive, dopo ver defiito le primitive solo di fuzioi defiite su u itervllo, deducedo che l operzioe di itegrzioe è l operzioe ivers dell derivzioe. Utilizz l scrittur usule sez commeti. Approccio simile i Dodero [5], co l ggrvte che o specific mi il domiio delle fuzioi di cui prl, e defiisce o l itegrzioe, m l itegrle idefiito come opertore iverso dell derivt, cofodedo l operzioe co l su immgie, oltre o cosiderre che l derivzioe o è ivertiile. Bgi [6] defiisce l itegrle di u fuzioe co domiio sottoisieme di qulsisi, come l isieme delle espressioi delle fuzioi primitive, proilmete per degursi ll scrittur usule,, m dicedo poi che l itegrle è u isieme di fuzioi, scrivedo f ( d ) = { F ( ): F ʹ( ) = f ( )} cofodedo le fuzioi co l loro espressioe litic. Si degu poi ll scrittur itule f ( d ) = F ( ) + c sez commeti sull covezioe di scrittur, e scrive d = l + c, che risult errto secodo le sue defiizioi. Biliogrfi [] F. Coti Clcolo, Mc Grw Hill 7

28 [] M. Ciolli, L. Michelssi Corso di Mtemtic, Priicipto [3] L. Lmerti, L. Mereu, A. Ni Corso di Mtemtic, ETAS [4] G. Zwirer, L. Scgliti L idgie Mtemtic, CEDAM [5] N. Dodero, P. Brocii, R. Mfredi Liemeti di Mtemtic, Ghisetti e Corvi [6] G. T. Bgi Corso di Mtemtic, Zichelli [7] M. Adreii, R. Mr, F. Prestipio, Mtemtic i cotroluce, ETAS 8

29 Sommrio Itroduzioe... Schem dell uità didttic... Oiettivi... Fsi dell ttività...3 Sched isegte...4 Teori...4 Itegrle secodo Riem...4 Esercizi svolti...6 Appedice...8 Descrizioe dell ttività...9 Fse...9 Fse... Fse Fse Fse Fse 6... Alisi dei liri di testo: l itegrle idefiito...6 Biliogrfi...7 9