Decisioni strategiche e dilemmi sociali. Orientarsi fra le scelte con la teoria dei giochi

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1 Decisioni strtegiche e dilemmi socili. Orientrsi fr le scelte con l teori dei giochi Gin Itlo Bischi DEMQ - Diprtimento di Economi e Metodi Quntittivi Università di Urbino "Crlo Bo". Introduzione Ariete. Anche se siete sicuri del ftto vostro fte molt ttenzione lle decisioni degli ltri dll'oroscopo di Lind Wolf del 3 dicembre 009 Se devo decidere fr più opzioni possibili, e l'esito delle mie scelte dipende solo dll'opzione che seleziono, llor non è difficile cpire come orientrsi per prendere un decisione: bsterà scegliere l'opzione che mi permette di ottenere il miglior esito in bse un mi scl di preferenze. In termini più formli, dette x, x,..., x n le possibili opzioni fr le quli scegliere, e indict con u(x k ) un funzione che in qulche modo fornisce un misur dell soddisfzione (o felicità per usre un termine molto impegntivo) derivnte dll scelt x k, llor srà sufficiente confrontre gli n vlori ttesi u(x ),..., u(x n ) e optre per l scelt in corrispondenz dell qule si ottiene il vlore mssimo dell funzione u. Il termine tecnico per indicre l funzione u è funzione di utilità, e quindi possimo dire che il problem di scelt è ricondotto ll ricerc dell'rgomento che rende mssim l funzione di utilità. Non ci sono mggiori difficoltà se l vribile decisionle può vrire con continuità su un certo intervllo, nziché ssumere vlori discreti, in qunto l ricerc del mssimo ssoluto (o dei mssimi ssoluti) di un funzione rele di vribile rele è in genere un problem di fcile risoluzione con gli strumenti del clcolo infinitesimle. Inftti, l ricerc di condizioni necessrie e sufficienti per l'esistenz e l'unicità di mssimi o minimi di funzioni è uno dei problemi clssici dell'nlisi mtemtic, che fornisce nche strumenti (le derivte) per il clcolo effettivo di tli punti. E in ogni cso metodi numerici implementti in mcchine clcoltrici possono fcilmente venire cpo dei problemi più ostinti. L cos divent invece molto più difficile se l'esito dell mi scelt dipende nche dlle decisioni prese d ltri soggetti. In ltre prole, l'utilità che mi spetto d un mi scelt x k non è funzione dell sol x k m nche delle decisioni di lmeno un ltro soggetto, sulle quli non ho in generle lcun controllo. In ltre prole, se l'ltro soggetto h m opzioni tr le quli selezionre l propri zione y i, con i=,...,m, llor d ogni mi possibile scelt x k potrò ottenere m esiti diversi second dell scelt effettut dll'ltro. Potrei spettre che l'ltro decid e quindi regolrmi di conseguenz. M nche l'ltro potrebbe rgionre llo stesso modo, rischindo di entrre in un circolo vizioso. In situzioni del genere si prl di decisioni in presenz di interzione strtegic, e l questione si complic notevolmente, tnto che si è creto un pposito settore dell mtemtic, l teori dei giochi, per ffrontre in modo formle e logico simili problemi. In questo rticolo si introducono lcune notzioni e qulche principio di bse dell teori dei giochi, per illustrrne l'efficci ttrverso lcuni esempi. Nel prossimo prgrfo si cercherà di introdurre l problemtic dell'interzione strtegic nlizzndo un problem clssico dell'economi, ovvero il pssggio tr un sistem di monopolio uno di duopolio, problem che nche dl punto di vist storico è stto uno dei primi d essere ffrontto medinte rgionmenti tipici dell teori dei giochi. Nel terzo prgrfo verrà introdotto un minimo di formlismo e di terminologi che crtterizzno l teori dei giochi. Nel qurto e quinto prgrfo si nlizzernno lcuni prticolri esempi di giochi che conducono soluzioni pprentemente prdossli. Il prgrfo 6 conclude, fornendo indiczioni sull crescente importnz dell teori dei giochi nelle scienze economiche e socili.

2 . Un esempio per inizire: dl monopolio l duopolio Il tipico problem di un produttore consiste nel decidere qunto produrre per rendere mssimo il proprio profitto. Formlizzimo il problem indicndo con q l quntità prodott, che è l vribile decisionle, con c il costo unitrio (cioè il costo per unità di quntità prodott) e con p il prezzo unitrio di vendit (il prezzo che viene pgto per un quntità unitri). Il costo totle ssocito ll produzione q è C=cq, prodotto fr costo unitrio e quntità prodott, e il ricvo tteso è R=pq, prodotto fr prezzo unitrio e quntità vendut. Pertnto il profitto tteso, differenz fr ricvo e costo, srà Π = R C = pq cq = (p c)q. D quest semplice formul ottenimo il seguente Teorem: Se il prezzo di vendit è mggiore del costo unitrio di produzione, in simboli se p>c, llor più è elevt l produzione q e più è elevto il profitto. M se così fosse ogni produttore tenderebbe produrre sempre di più e vremmo il pinet ricoperto di fbbriche. Evidentemente qulcos non v, e in effetti c'è un'ipotesi poco relistic, che consiste nell'ssumere che tutto quello che si produce poi si vende. Un'ipotesi sicurmente d rivedere, perché ignor del tutto il ruolo dei consumtori i quli non sono sempre disposti d cquistre tutt l produzione immess nel mercto l prezzo preteso dl produttore. Allor il produttore, pur di non rimnere con merce invendut, bbsserà i prezzi. In definitiv, il prezzo risult essere un funzione decrescente dell quntità. Il cso più semplice di funzione decrescente è l funzione linere, p = bq, il cui grfico è un rett, dove e b sono coefficienti positivi che esprimono, rispettivmente, l'intercett dell rett con l'sse dei prezzi (il mssimo prezzo che i consumtori sono disposti pgre qundo l merce è molto rr) e il coefficiente ngolre, ovvero l pendenz, dell rett. Si può notre che per q=/b si ottiene p=0, ovvero se l produzione è dvvero eccessiv i consumtori non vorrnno sperne di cquistre tutto quello che si produce, nemmeno se l merce venisse reglt. Con quest ipotesi, che rende più relistico il modello, cmbi nche l'espressione dei profitti in funzione dell quntità prodott. Or il ricvo, tenendo conto del legme fr prezzo e quntità, divent R=pq=( bq)q, e di conseguenz vremo Π = R C = ( bq)q cq = b q + ( c) q il cui grfico è un curv ben not ogni studente dei primi nni delle scuole medie superiori: un prbol concv, come quell in figur, crtterizzt d un punto di mssimo, il vertice. In questo nuovo modello i profitti sono nulli non solo qundo produco q=0 (ovvimente se non produco con gudgno) m nche qundo produco troppo, ovvero per q ( c)/b. E metà fr questi due vlori st l produzione che mi dà il mssimo gudgno.

3 Profitto Profitto= bq + ( c)q c b Fig. c b q = quntità prodott M cos succede se i produttori sono due, ovvero se invece di un monopolio bbimo un duopolio? È fcile modificre il modello economico. Indichimo le due imprese che producono lo stesso bene come impres e impres e sino q e q le rispettive quntità prodotte. Inoltre denotimo con c e c i rispettivi costi unitri (in genere srnno diversi se le imprese usno diverse tecnologie per produrre, o pgno slri diversi i lvortori). Il prezzo corrente del bene, prodotto d entrmbi, srà ncor un funzione decrescente dell quntità totle immess nel mercto, solo che or sono due le imprese d rricchire il mercto del prodotto considerto, quindi p = b ( q + q ). Possimo or clcolre i rispettivi profitti: Π = pq c q = [ b ( q + q )]q c q Π = pq c q = [ b ( q + q )]q c q d cui risult che il profitto del produttore non dipende solo dll su produzione q, che è quello su cui può decidere (l su vribile decisionle), m dipende nche dll produzione del suo concorrente, cioè q, sull qule non h lcun controllo. Anzi il produttore nemmeno s qunto il suo concorrente h intenzione di produrre. Se lo spesse potrebbe regolrsi di conseguenz, in qunto un volt not q il produttore può disegnre l ben not prbol di equzione Π = bq + ( c bq )q che rggiunge il vlore mssimo in un punto che dipende dl vlore di q, dto d: c bq q mx =. b Poco mle, penserà il produttore, spetterò per vedere qunto decide di produrre il mio concorrente e poi mi regolerò di conseguenz, producendo l quntità q mx che ho ppen clcolto. M il vero problem è che nche il produttore si trov esttmente nell stess situzione, e nche lui penserà che gli conviene ttendere l decisione del produttore per prendere l propri decisione. Sembr un circolo vizioso, un tipico problem senz soluzione. M dove i rgionmenti sembrno troppo complicti ci vuole un po' di mtemtic per schemtizzre le cose. Proprio quello che nel 838 fece il mtemtico frncese Antoine Augustin Cournot, che nel trttto Récherches sur les principes mtémtiques de l théorie de l richesse ffrontò il problem come segue. Se il produttore clcol, per ogni possibile produzione q del suo concorrente, l propri produzione 3

4 ottimle, ottiene come grfico un rett (inftti q mx è un funzione di primo grdo in q ) che rppresent il luogo delle sue produzioni ottimli l vrire dell produzione del concorrente. Anlogmente, il produttore può clcolre, per ogni possibile produzione q del suo concorrente, l propri produzione ottimle q mx ottenendo nche lui come grfico un rett. Bene, disse Cournot, se riportimo le due rette sullo stesso pino, come in fig., si vede subito che esiste un solo punto ottimle per entrmbi: il punto di intersezione. Clcolrlo è semplice: bst risolvere il seguente sistem linere di due equzioni in due incognite q e q : bq +bq = c bq +bq = c Quest brillnte soluzione costituisce un primo esempio di Equilibrio di Nsh, introdotto in un contesto più generle nel 950 dl mtemtico John Nsh, diventto poi uno dei concetti centrli dell teori dei giochi. q Equilibrio di Cournot-Nsh Fig. q 3. Interzione strtegic e principio di rzionlità Cerchimo or di rppresentre, nel formlismo dell teori dei giochi, un problem di scelt che coinvolge l'interzione strtegic fr due gioctori A e B. Sino,..., n le n zioni disponibili per il gioctore A e sino b,...,b m le m zioni fr cui può scegliere il gioctore B. L'utilità u A del gioctore A dipende si dll propri scelt che d quell di B, indichimo con ij = u A ( i,b j ) l'utilità (o pyoff) che si spett il gioctore A in seguito ll propri scelt dell'zione i e dell'zione b j d prte del gioctore B. Anlogmente, si b ij = u B ( i,b j ) il pyoff che si spett il gioctore B in seguito ll stess coppi di scelte. L notzione utilizzt ci permette di sistemre il tutto sotto form di mtrici, dette mtrici dei pyoff, in cui si riportno le n strtegie del gioctore A sulle righe le m del gioctore B sulle colonne, rispettndo così l solit convenzione dell'lgebr mtricile di intendere il primo pedice di ogni elemento come indice di rig e il secondo come indice di colonn. A B b b b \ m m m n n n nm Mtrice di pyoff del gioctore A A B b b b \ m b b b m b b b m b b b n n n nm Mtrice di pyoff del gioctore B 4

5 In reltà nell teori dei giochi si introduce un ulteriore sintesi sostituendo le due mtrici di pyoff dei singoli gioctori con un'unic "bimtrice" che rppresent il gioco, in cui si us l convenzione che il primo numero in ogni csell rppresent il pyoff del gioctore di rig e il secondo quello del gioctore sulle colonne. A \ B b b b (, b ) (, b ) (, b ) m m (, b ) (, b ) (, b ) m m (, b ) (, b ) (, b ) n n n n n nm nm m Bimtrice dei pyoffs Fin qui solo questioni di notzioni, m delle buone notzioni iutno rgionre meglio. Nel nostro cso il formlismo introdotto ci permette di ffrontre l questione più delict, che consiste nel definire cos si intende per gioctore rzionle, questione sull qule ci srebbero tnte discussioni e distinzioni d fre, m che nel cso dell teori clssic dei giochi viene liquidt in mnier molto prgmtic definendolo come quell'individuo che preferisce un pyoff mggiore uno minore. Per essere più precisi introducimo il seguente: Principio di rzionlità. Un gioctore non sceglie l zione x se h disposizione un scelt y che gli permett di ottenere di più qulunque sino le scelte dell ltro (o degli ltri) gioctori Chirimo con un esempio, sfruttndo le notzioni ppen introdotte. Considerimo il gioco rppresentto dll seguente bimtrice dei pyoff, che si suppone essere not entrmbi i gioctori. A \ B b b b 3 (0,) (,0) (, ) (,) (3,) (0,) È chiro che, in bse l principio di rzionlità, il gioctore A non sceglierà mi l strtegi in qunto otterrebbe un pyoff minore rispetto ll scelt lterntiv, qulunque si l decisione di B fr le tre strtegie su disposizione. A questo punto, spendo che l scelt di A cdrà senz'ltro su, osservndo l second rig dell mtrice il gioctore B scrterà l'zione b 3, mentre mostrerà indifferenz fr le opzioni b e b. Potrebbe scegliere b se, prità di pyoff per sé, desider dnneggire A, b se invece desider fvorirlo. Oppure potrebbe ptteggire con A dicendogli che è disposto scegliere b ptto che A gli conced un quot dell mggiore vincit (3 invece di ) che con tle scelt gli consente di ottenere. M in questo modo stimo uscendo dlle regole del gioco, vventurndoci verso ccordi coopertivi che ne costituiscono un possibile estensione. Anche nel cso del duopolio di Cournot si potrebbero proporre diverse soluzioni ipotizzndo ccordi fr i due produttori. Supponimo che i due produttori bbino gli stessi costi, cioè c =c =c, e clcolimo * * * c le coordinte dell'equilibrio di Cournot-Nsh, q = q = q =, d cui si ottiene il corrispondente 3b * * + c prezzo p = b( q + q) = e quindi il profitto individule (che è lo stesso per entrmbi) 3 Π=q * ( c) (p c) =. 9b 5

6 Supponimo or che solo uno dei due produc, e che quindi decid di produrre l quntità che rende * c + c ( c) mssimo il profitto del monopolist, q = d cui p = e quindi Π=. b 4b Ebbene, se questo monopolist dividesse metà il proprio profitto con il concorrente (che nel ( c) frttempo è rimsto disoccupto) gudgnerebbero ciscuno, che è mggiore del profitto 8b individule nel cso di duopolio. Quindi, invece di competere srebbe conveniente stipulre uno dei seguenti ccordi: i) uno solo produce e poi si divide il profitto metà, ii) concordimo di produrre ciscuno un quntità pri ( c ), cioè inferiore ll'equilibrio di Nsh, e 4b questo ci consentirà di mntenere più lti i prezzi e di conseguenz gudgnre ciscuno un po' di più. Però, in ogni cso, occorre essere sicuri che i ptti vengno rispettti. Insomm, è un questione di fiduci. 4. Fidrsi o non fidrsi? Il dilemm del prigioniero e le trppole socili Decidere se fidrsi o no degli ltri può diventre difficile qundo ci si trov condividere gli stessi spzi, o le stesse risorse, o suddividersi delle responsbilità senz vere l possibilità di controllre ciò che fnno gli ltri. Nel linguggio dell teori dei giochi questo tipo di prdosso viene comunemente chimto dilemm del prigioniero, dll storiell che negli nni cinqunt fu propost per illustrrlo. Vedimol insieme, nche per renderci conto che situzioni in pprenz del tutto diverse si prestno d essere descritte dllo stesso modello mtemtico. Il gioco fu proposto nel 950 d Merrill Flood e Melvin Dresher, dell Rnd Corportion, per illustrre delle possibili impliczioni di un strtegi nell'mbito dell Guerr Fredd. L storiell d cui deriv il nome "dilemm di prigioniero" si deve invece d Albert Tucker che volle in questo modo rendere il gioco più comprensibile. L stori rigurd due criminli rrestti dll polizi, dopo un lungo inseguimento, perché sospettti di ver commesso un rpin. I due vengono sistemti in celle seprte, e ciscuno viene ftt l seguente propost: se denunceri il tuo complice potri usufruire dello sconto di pen previsto per i collbortori e ti lsceremo libero, mentre il tuo complice rimrrà in prigione per dieci nni. Quest offert però è vlid solo se il tuo complice non frà ltrettnto, perché se nche lui ti ccuserà llor srete dichirti entrmbi colpevoli e pur usufruendo dello sconto per ver collborto, rimrrete in crcere 5 nni ciscuno. Rest inteso che se entrmbi decidete di tcere non potremo incriminrvi, e potremo solo condnnrvi un nno di prigione ciscuno per guid pericolos e detenzione di rmi. Quest situzione è rppresentt schemticmente, nel formlismo dell teori dei giochi, nell seguente mtrice dei pyoff: A \ B tce ccus tce ccus (, ) ( 0,0) (0, 0) ( 5, 5) Mettimoci nei pnni del prigioniero A (sulle righe) e vlutimo cos conviene fre per ogni possibile strtegi scelt d B (sulle colonne). Se B tce, llor d A conviene ccusre in qunto srà libero invece di vere un condnn un nno di prigione; se B sceglie di ccusre, llor nche d A conviene ccusre in qunto sconterà cinque nni invece di dieci. Quindi, qulunque cos fcci B, d A conviene ccusre in bse l principio di rzionlità enuncito sopr. Per B vle lo stesso rgionmento, 6

7 il gioco è simmetrico. Quindi il principio di rzionlità pplicto d entrmbi i gioctori ci port ll coppi di strtegie (ccus, ccus) in corrispondenz dell qule i prigionieri ottengono 5 nni di prigione ciscuno. Certo che, visto dll'esterno, l coppi di strtegie (tce, tce) è sicurmente migliore. M per portrsi su quell strtegi occorrerebbe uno spostmento digonle, dll csell in bsso destr quell in lto sinistr, che rppresent un ccordo fr i due, mentre i prigionieri non possono comunicre. M nche se si potessero ccordre per tcere entrmbi, cioè collborre fr loro per rggiungere l coppi di strtegie migliore, chi può grntire che l'ccordo veng rispettto? In effetti c'è un forte tentzione non rispettrlo (ovvero defezionre) in qunto questo porterebbe chi defezion d essere liberto. Ecco il ruolo dell fiduci, dei possibili ccordi e del rischio che qulcuno non li rispetti, e se c'è questo rischio nessuno li rispetterà. Un ltro cso che si prest un simile dilemm è quello dell gestione delle risorse nturli d ccesso comune, come le popolzioni ittiche ttrverso l pesc o il legnme ttrverso l deforestzione. Si prl di sfruttmento sostenibile qundo il prelievo vviene in modo d non compromettere l cpcità di rigenerrsi dell risors, permettendo così di trsmetterl inttt lle generzioni successive. Invece uno sfruttmento eccessivo può condurre situzioni di scrsità futur, fino provocre lterzioni irreversibili dell risors. Supponimo, tnto per fissre le idee, di dover decidere qunte srdine pescre nel mre Adritico. Se ci fosse un sol società utorizzt pescre, quest cercherebbe di prelevrne quntità non eccessive, cioè senz superre l cpcità di riprodursi dell popolzione di srdine, ccontentndosi di gudgnre quel tnto che bst pur di preservre l risors inttt, e quindi ssicurrsi l possibilità di continure l ttività di pesc nche negli nni successivi. Supponimo or che l pesc delle srdine nel mre Adritico si permess nche un second società. Entrmbe sono conspevoli che occorre essere moderti nell pesc per preservre l risors, però l presenz dell ltr f sorgere qulche dubbio. Inftti, è inutile che un società si limiti nell pesc se l ltr non f ltrettnto. Il titolre dell prim società rgion così se io sono moderto, m l ltro non lo è, llor io gudgno poco oggi e poco nche in futuro cus dell pesc dissennt del mio concorrente, mentre l ltr società f un buon gudgno nell immedito, perché pesc più di me. Poiché non mi fido delle scelte dell ltr società, per evitre un simile rischio decido di pescre in modo intensivo. Un identico rgionmento lo frà nche l ltr società, e questo porterà ll peggior soluzione possibile (non solo per i profitti, m nche dl punto di vist delle srdine). Quest è un tipic situzione di interzione strtegic, e l teori dei giochi ne fornisce un sintetic rppresentzione utilizzndo l seguente mtrice dei pyoff, in cui i due gioctori, denotti simbolicmente con le lettere A e B, possono scegliere fr due possibili strtegie : sfruttre in modo moderto (tteggimento coopertivo) o sfruttre in modo intensivo (tteggimento competitivo). A \ B moderto intensivo moderto intensivo (3,3) (, 4) (4,) (,) Le coppie di numeri che compiono nelle cselle rppresentno, con unità di misur del tutto rbitrrie, i profitti lungo termine che ciscuno dei due ottiene dll combinzione dell propri strtegi e quell dell'vversrio: se entrmbi dottno l strtegi di sfruttre con moderzione, llor l popolzione si mntiene in buone condizioni ed entrmbi ottengono un buon pyoff, rppresentto convenzionlmente d 3 unità ciscuno (quindi un totle di 6). Se uno dei due sfrutt intensivmente mentre l ltro si comport d moderto, l popolzione srà in condizioni un po peggiori, e fornirà in tutto 5 unità, però il moderto vrà l peggio, ottenendo solo, mentre il pesctore con tteggimento ggressivo otterrà 4. Se entrmbi sfruttno in modo intensivo llor l popolzione verrà serimente impoverit e fornirà ncor meno, 4 in tutto, e tle scrs produzione ndrà riprtirsi equmente fr i due pesctori vidi, fornendo il mgro rccolto di unità per ciscuno. È evidente che l migliore coppi di strtegie è dt dllo sfruttmento moderto d prte di entrmbi, in qunto il profitto complessivo risult mssimo in quest situzione (e l popolzione di srdine st meglio). Invece, se i pesctori sono lsciti liberi di scegliere llor l soluzione del gioco srà l peggiore possibile. Inftti, il gioctore A si renderà 7

8 conto che se B è moderto llor gli conviene sfruttre intensivmente, perché così gudgn 4 nziché 3, mentre se B sfrutt intensivmente nche d A conviene sfruttre intensivmente, perché così fcendo prenderà invece di. Lo stesso rgionmento vle per B e pertnto, in mncnz di un ccordo (e dell reciproc fiduci che l ccordo veng rispettto o di un legge che obblighi di rispettrlo) lo studio dell mtrice dei pyoff ci port dimostrre che l soluzione srà l peggiore possibile dl punto di vist dei gudgni collettivi (e nche dl punto di vist delle srdine). In ltre prole, l ricerc del mssimo rendimento individule d prte di ciscun gente porterà l peggior rendimento collettivo. Si trtt di un cosiddetto dilemm socile, in cui l interesse dei singoli individui contrst nettmente con l interesse collettivo (o socile), qusi un prdosso che contrddice l'ipotesi dell "mno invisibile" di Adm Smith in bse ll qule se ciscun individuo persegue l'ottimo individule utomticmente emergerà l migliore situzione collettiv. Non si può fre meno di notre che le due situzioni presentte, pur rigurdndo circostnze e protgonisti ssi diversi, obbediscono ll stess logic di fondo. Questo si riflette sul ftto che i numeri che compiono nelle due mtrici, pur essendo diversi fr loro, si presentno con un medesimo ordinmento. Quindi vle l pen cercre di fre un piccolo sforzo che ci permett di ndre oltre i numeri e individure un form generle che rppresenti dei giochi, due gioctori con due strtegie ciscuno, che si configurno come dilemmi del prigioniero. Osservndo i due csi prticolri esposti sopr possimo generlizzrli dicendo che tutti i giochi le cui mtrici sono nell form: A \ B b b (, ) ( b, c) ( c, b) ( d, d) con c>>d>b, descrivono dilemmi di quel tipo. Per verificre ciò proponimo un ltr situzione che si prest d essere rppresentt in quell form (lscindo l lettore il compito di rppresentrl sotto form di mtrice). Supponimo che un ricco collezionist di libri ntichi bbi contttto, trmite internet, un giovne che h ereditto l bibliotec del bisnonno. Si mettono d ccordo per effetture uno scmbio vntggioso per entrmbi: il ricco collezionist pgherà 0000 euro l giovne, il qule gli cederà 00 libri dell prezios bibliotec. Per non fr spere lle rispettive fmiglie dello scmbio, visto che l moglie del collezionist non sopport che lui spend tnto in libri e l fmigli del giovne non grdisce che l bibliotec veng smembrt, decidono di portre le due vligie (un pien di bnconote, l ltr pien di libri) in un luogo lontno e poco illuminto e di scmbirle velocemente, senz vere neppure il tempo di controllre. Dove st il dilemm? Il problem è che il giovne, prim di prtire, pens: se metto nell vligi dell crtcci, posso ottenere i soldi senz intccre l bibliotec di fmigli. Il collezionist pens se metto nell vligi dei soldi flsi posso vere i libri senz spendere. Questi rgionmenti porternno entrmbi sprecre tempo e denro (per il crburnte dell uto) per effetture un operzione del tutto inutile, perdendo così l opportunità di portre termine un buon ffre per entrmbi (il collezionist desider i libri, il giovne h bisogno di soldi). M ciscuno pens: e se porto qunto pttuito per ricevere in cmbio null? Un ltr situzione ssimilbile l dilemm del prigioniero si verific qundo in un slone tutti prlno voce vi vi più lt per frsi sentire dl vicino. Ci vorrebbe un ccordo (condiviso e rispettto d tutti) di bbssre tutti i toni, m poi se uno lz un po l voce... Concludimo questo prgrfo sui dilemmi socili proponendo un gioco molto fmoso, noto col nome di "Ast d un dollro". Ne fornisco un versione espress in euro, m identic nell sostnz. Il gioco consiste nel mettere ll'st 00 euro, prtendo d un offert inizile di euro. Chi offre di più si ggiudic i 00 euro, m nche chi f l second offert pg, senz però vincere null. Sembr un buon opportunità, bbimo l possibilità di vincere 00 euro spendendone solo. Qulcuno rilnci offrendo, quindi tre ecc. Qundo si rriv ll'offert di 50 euro ci rendimo conto che il bnditore h già ftto un ffre perché chi vev offerto 49 euro, pur di non perderli, rilnci offrendone 5. Allor l'ltro perderebbe i suoi 50 senz prendere null in cmbio e rilnci 5 e così 8

9 vi. Arrivti 00 euro si vorrebbe smettere, m questo punto conviene offrire 0 se non voglimo perdere tutto. Inftti, offrire 0 euro per verne 00 in cmbio signific perdere solo euro nziché perderne 99. Aste di questo tipo, relmente effetture, sono rrivte euro, con un gudgno del 700% d prte del bnditore! Si trtt dell tipic situzione in cui il vincitore pg un prezzo sproporzionto rispetto l premio che ottiene, e lo sconfitto pg un lto prezzo per un bttgli che non frutt null. L morle è che er meglio non ccettre di prtecipre. Sembr un esempio ssurdo, eppure sono frequenti le situzioni in cui si vorrebbe uscire d un competizione che non è più conveniente, m non lo si f perché non si è disposti perdere tutto quello che è stto impegnto fino quel momento. Spesso le guerre hnno portto simili conclusioni: si pensi ll guerr degli Stti Uniti in Vietnm, e tnte ltre. 5. Altre situzioni pprentemente prdossli legte ll'interzione strtegic Qundo dobbimo scegliere fr un certo numero di opzioni possibili, ci sembr ovvio che se oltre lle opzioni disponibili se ne ggiungono ltre (fermo restndo quelle che c'erno già) l situzione non può che migliorre. Se ci dicessero di scegliere fr due possibilità di lvoro e poi ci chiedessero se voglimo nche considerrne un terz oltre quelle, l cos ci frebbe solo picere: mle che vd, le prime due restno comunque disponibili. Sembr strno, m quest ffermzione non è fftto ovvi in presenz di interzione strtegic. Considerimo come esempio il gioco rppresentto dll seguente mtrice : A \ B b b (,) (5,3) (3,5) (0,0) dll qule è evidente, in bse l principio di rzionlità, che verrà scelt l coppi di strtegie (, b ) che fornisce un pyoff pri 0 ciscun gioctore. Or ggiungimo un'ulteriore strtegi per ciscun gioctore, conservndo inttt l sottomtrice ssocit lle due strtegie già esistenti, come mostr l seguente mtrice del gioco con tre strtegie ciscuno: A \ B b b b 3 3 (,) (5,3) (0, 4) (3,5) (0,0) (0,) (4, 0) (, 0) (,) È un semplice llrgmento delle possibilità offerte, eppure l'effetto è tutt'ltro che positivo: or per ogni possibile decisione di B l'opzione più conveniente per A è l terz, e ltrettnto dicsi per l scelt di B. Quindi l'esito del gioco risulterà ( 3, b 3 ) con un pyoff di solo test, ben minore del 0 ottenuto con un opzione in meno. Questo dimostr qunto si difficile l logic di scelt qundo si deve intergire con le scelte degli ltri. Il seguente esempio risult ltrettnto controintuitivo, in qunto mostr che diminuendo tutti i pyoff di un gioco si ottiene un soluzione migliore per entrmbi i gioctori. Inftti, prtendo dll seguente mtrice di pyoff A \ B b b (0,0) (3,5) (5,3) (5,5) Entrmbi gli esempi di questo prgrfo sono trtti dl libro Pssione per Trilli di Roberto Lucchetti. 9

10 è fcile verificre che l soluzione port ll coppi di strtegie (, b ) con reltivi pyoff pri 5 per ciscuno, mentre diminuendo tutti i pyoff come segue: A \ B b b (8,8) (,7) (7, ) (0,0) è fcile consttre che l soluzione finisce nell coppi di strtegie (, b ) con pyoff pri 8 per ciscuno. Un esempio di "decrescit felice"! 6. Conclusioni Prtendo d lcuni semplici esempi, e introducendo un minimo di formlismo mtemtico, oltre un elementre principio di rzionlità, questo rticolo h cercto di fr ssporre (senz lcun pretes di pprofondire) lo spirito con cui l teori dei giochi studi i problemi di scelte in presenz di interzione strtegic, ovvero le situzioni nelle quli i risultti conseguiti d un gente dipendono nche dlle scelte di ltri. L nscit di quest disciplin è convenzionlmente colloct nel 944, in corrispondenz ll pubbliczione dell prim edizione dell monogrfi Theory of Gmes nd Economic Behvior scritt dl mtemtico John von Neumnn e dll economist Oskr Morgenstern. L'esposizione superficile, trtti persino ludic, offert in questo rticolo non deve fr pensre che l teori dei giochi, dispetto del suo nome, non si un disciplin seri e rispettbile. Ess h vuto un ruolo importnte nelle strtegie militri, in biologi (ttrverso i cosiddetti giochi evolutivi) e ovvimente in cmpo economico e socile, tnto che nel 994 gli studiosi John C. Hrsnyi, John F. Nsh Jr. e Reinhrd Selten è stto conferito il premio Nobel per l Economi per l loro pioneristic nlisi degli equilibri nell teori dei giochi non coopertivi. Nel 005, il premio è ndto Robert J. Aumnn e Thoms C. Schelling per vere rfforzto l nostr comprensione dei conflitti e dell cooperzione ttrverso l uso dell teori dei giochi. Inoltre ltri due premi Nobel sono scturiti d ppliczioni specifiche dell teori dei giochi, che possono essere etichettte col nome di ingegneri dell interzione strtegic (si ved Li Clzi, 00). Inftti, nel 996 Jmes A. Mirrlees e Willim Vickrey hnno ricevuto il premio Nobel per i loro fondmentli contributi ll teori economic degli incentivi in condizioni di informzione simmetric, e nel 007 L. Hurwicz, Eric S. Mskin e Roger B. Myerson sono stti premiti per ver gettto le fondment dell teori del mechnism design. Si rimnd il lettore i testi citti nell bibliogrfi per trovre trttzioni più complete dell teori dei giochi e le sue ppliczioni nei cmpi più disprti. Bibliogrfi A. Bsile, M. Li Clzi Chi h detto che un mtemtico non può vincere il premio Nobel?, in M. Emmer ( cur di), Mtemtic e Cultur 000, Springer-Verlg Itli, Milno 000. K. Binmore Fun nd gmes: text on Gme theory, Lexington (Mss), D.C.Helth 993 G.Cost, P.Mori Introduzione ll Teori dei Giochi, Il Mulino, Bologn 994 G. Gmbrelli, Giochi competitivi e coopertivi per ppliczione problemi decisionli di ntur industrile, economic, commercile militre, politic, sportiv, Gippichelli, Torino 003 H. Gintis "Gme theory evolving" Princeton University Press, 000. D. M.Kreps "Teori dei giochi e modelli economici", Il Mulino, Bologn, 99 M. Li Clzi " Recenti sviluppi nell teori dei giochi: l ingegneri strtegic" in Letter Mtemtic Pristem n , Springer-Verlg Itli, Milno 00. R. Lucchetti "Pssione per Trilli. Alcune idee dll mtemtic", Springer-Verlg Itli, Milno

11 R. Lucchetti "Di duelli, sccchi e dilemmi. L teori mtemtic dei giochi", Bruno Monddori, Milno 00. L. Méro "Clcoli morli. Teori dei giochi, logic e frgilità umn!, Edizioni Dedlo, Bri 000 F. Ptrone Decisori (rzionli) intergenti edizioni PLUS, Pis 006. S. Sthl "A gentle introduction to gme theory", Americn Mthemtyicl Society, Providence 999. A. Tylor, A.M. Pcelli, "Mthemtics nd Politics. Strtegy, Voting, Power, nd Proof ", nd Edition, Springher-Verlg, 009 J. von Neumnn, O. Morgenstern "Theory of Gmes nd Economic Behvior", Princeton University Pres, 944.