Problemi Pre-Ipho. Particelle Instabili [120] Parte I: Decadimenti nell atmosfera [20] Parte II: Decadimento a due corpi [100] NOME: COGNOME:

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1 Poblemi Pe-Ipho Paticelle Instabili [10] Pate I: Decadimenti nell atmosfea [0] Nella pate alta della nosta atmosfea aivano continuamente aggi cosmici dallo spazio che, utando le paticelle pesenti nella pate alta dell atmosfea vanno a podue paticelle caiche negativamente chiamate muoni. Non enteemo nei dettagli di come vengono podotte, ci basti sapee che tale paticella ha la stessa caica dell elettone, e che ha una vita media τ e una massa m μ. 1. Sapendo che l enegia media che hanno i muoni podotti è E, calcola la loo velocità in unità di c (ovveo il appoto β = v/c) [5]. Che fazione k dei muoni podotti vedà aivae un ossevatoe che sta sulla supeficie teeste? Assumee che i muoni siano podotti solo in uno stato sottilissimo nella pate alta dell atmosfea, e che lo spessoe atmosfeico sia l. [15] Pate II: Decadimento a due copi [100] Consideiamo adesso invece il decadimento di paticelle non caiche eletticamente, i π 0. Essi possono venie podotti duante alcune eazioni negli acceleatoi. Quando vengono podotti, in genee non sono femi ma hanno una ceta enegia cinetica iniziale (e quindi una velocità). Consideiamo quindi un pione neuto in moto lungo una ceta diezione con una ceta velocità. Chiamae l enegia del pione E. A un ceto punto esso, essendo instabile, decadà. Il decadimento più pobabile e che consideeemo qui è π 0 γγ Ovveo in due fotoni. Indicae la massa del pione con m π. Pe comodità indichiamo con x l asse paallelo alla velocità del pione, e definiamo l asse y in modo che i fotoni isultino essee nel piano xy. Chiamiamo sistema xyz il sistema del laboatoio, e sistema xyz ottenuto tamite una tasfomazione di Loentz lungo l asse x il sistema del cento di massa. 3. Nel sistema del cento di massa del pione, tovae enegie, impulsi e lunghezze d onda dei due fotoni [5] 4. Passiamo oa al sistema del laboatoio, ovveo quello dove il pione ea in moto. Tova le enegie e le lunghezze d onda dei fotoni in tale sistema [15] 5. Pe stimae la sepaazione angolae nel sistema del laboatoio, calcola l angolo fa di essi nel caso che vengano emessi in diezione pependicolae alla velocità del pione [5] 6. Sia θ l angolo fa l asse x (asse lungo cui viaggia il pione) e la diezione dell impulso dei fotoni nel sistema del cento di massa, e θ l angolo fa l asse x (paallelo a x) e la diezione dell impulso dei fotoni nel sistema del laboatoio. Tovae la funzione [0] θ = f(θ, β) 7. Se nel sistema del cento di massa il decadimento è isotopo, ovveo si osseva un flusso pe unità di angolo solido costante dn dω = dn dcos(θ)dφ = K Pag. 1

2 Quanto vale la distibuzione in funzione dell enegia nel sistema del laboatoio, ovveo [5] dn de 8. Ipotizziamo oa che la paticella decada in due paticelle con massa non nulla M < m π /. Tova il massimo angolo θ MAX ossevabile nel sistema di ifeimento del laboatoio. Pe quali M = f(m, E) l angolo può essee π? [5] Supponiamo oa che il pione facesse pate di un fascio di paticelle, dove eano pesenti anche alte paticelle dalla massa M X sconosciuta. Tale paticella decade in due paticelle massive di massa identica m y. 9. Mostae che misuando le enegie delle due paticelle futto del decadimento e i loo angoli ispetto alla diezione di volo del fascio è possibile icostuie la massa della paticella decaduta: inolte se si può misuae con pecisione ottima gli angoli di decadimento, e con un eoe dell 1% le enegie delle paticelle decadute, stimae l eoe elativo sulla massa della paticella incognita [15] 10. [FACOLTATIVA] Se nel sistema del cento di massa il decadimento è isotopo, ovveo si osseva un flusso pe unità di angolo solido costante dn dω = dn dcos(θ)dφ = K Quanto vale tale flusso nel sistema del laboatoio, ovveo dn dω = dn dcos(θ)dφ Pe semplicità si può consideae il caso in cui i podotti del decadimento hanno massa nulla [10] Dati numeici m μ = 105 MeV τ =,μs E =,5 GeV l = 15Km c = km/s Pag.

3 Suggeimenti: 1. Seve la elazione fa enegia, massa e impulso. La vita media di una paticella è definita nel sistema nel quale è fema 3. Enegia e impulso si consevano. Pe la lunghezza d onda, è necessaia la elazione fa impulso e lunghezza d onda pe i fotoni 4. Usae le tasfomazioni di Loentz 5. La componente tasvesa dell impulso non vaia 6. Usae le tasfomazioni di Loentz 7. Usae le tasfomazioni di Loentz pe tovae la deivata dell enegia ispetto al coseno, la deivata del coseno ispetto all enegia è l inveso della deivata così calcolata 8. Nel sistema del cento di massa le paticelle sono emesse in diezioni uguali e veso opposto. Quando applico la tasfomazione di Loentz può accadee che il veso diventi concode? 9. Scivesi le elazioni pe gli angoli pe entambe le paticelle (che nel sistema del cento di massa sono back to back ), icavae l angolo nel sistema del cento di massa e sostituie nella tasfomazione di Loentz pe l enegia 10. Bisogna calcolae la deivata del coseno del nuovo angolo ispetto al coseno del vecchio, e invetie la fomula Pag. 3

4 L atomo di idogeno semiclassico [10] Volendo studiae un atomo di idogeno, le leggi della fisica classiche non son sufficienti, ed è necessaio effettuae una tattazione quantistica. In questo poblema cecheemo di semplificae il più possibile la pate quantistica, effettuando un appoccio semiclassico In meccanica quantistica, lo stato di una paticella non è dato da una funzione che indica la sua posizione in funzione del tempo, ma piuttosto da una densità di pobabilità Ψ(x, t), tale che la pobabilità di tovae la paticella in un ceto volume V al tempo t è P(V, t) = dv Ψ(x, t) V Se uno stato è stabile, ovveo non si tatta di uno stato che decade, tale funzione d onda è possibile scegliela indipendente dal tempo. Nel caso dell atomo di idogeno, assumiamo il potone dotato di massa molto maggioe di quella dell elettone, cosi che possa essee consideato immobile, e l elettone saà descitto da una funzione d onda. Nello stato fondamentale, tale funzione d onda è indipendente dal tempo e vale Ψ() = Ce Dove C è una costante oppotuna e è il aggio di Boh L equazione che deve soddisfae la funzione d onda è (in un oppotuno sistema di unità di misua) 1 e Ψ() m ħ (dove E è l enegia dello stato fondamentale dell atomo). Pag. 4 Ψ() = EΨ() 1. Sapendo che l equazione, in unità del sistema intenazionale, è ħ 1 m Ψ() e Ψ() = EΨ() 4πε 0 Deteminae, da consideazioni dimensionali, E, C ed (nel pimo sistema di unità di misua) [10]. Deteminae E ed, isolvendo l equazione (nel pimo sistema di unità di misua) [5] Lo stato gode di simmetia sfeica, pe cui x = 0, p x = 0 e il momento angolae è L = 0. Assumendo che Δx =, classicamente si può immaginae che il moto sia kepleiano e avvenga su una ciconfeenza di aggio nel piano xy, ed che è possibile associae una enegia cinetica classica p data da m p m = ħ 1 m Ψ() /Ψ( ) = 3. Deteminae il momento angolae classico associato all obita in esame [10] 4. Veificae che la coppia di vaiabili semiclassiche (x, p x ) veifica il pincipio di indeteminazione di Heisenbeg [15] 5. Da cosa dipende C? Spiegae e detemina tale costante (assumela eale positiva) [10] Intepetiamo oa la densità di pobabilità come una densità di mateia, pe cui in un volume dv toviamo una fazione dv Ψ() di elettone, e quindi una densità di caica

5 ρ() = e Ψ() 6. Tovae il campo elettico in tutto lo spazio [0] 7. Immaginiamo oa di vole mettee in obita (stabile, cicolae) un secondo elettone attono all atomo, in modo che l obita abbia un momento angolae doppio ispetto alla pecedente. Assumendo che l inseimento di un secondo elettone non modifichi significativamente il sistema (ovveo la funzione d onda, e quindi la distibuzione di caica) (di conseguenza, l obita deve essee a ), die se è possibile fae ciò (classicamente) [30] 8. Commentae il isultato del punto pecedente, in paticolae, nel caso in cui isulti possibile, die le popietà dell obita (aggio, peiodo); nel caso in cui non isulti possibile, spiegae il peché [5] 9. Ripetee i due punti pecedenti nel caso di atomo idogenoide, cioè con un elettone e Z > 1 potoni. [15] Note: x n e x dx = n! 0 x e x dx = e e e + 0 xe x dx 0 = e e + 1 Pag. 5

6 Suggeimenti: 1. Pe passae da un sistema di unità all alto, basta una semplice tasfomazione.. L equazione si intende isolta se si tova un identità valida pe ogni aggio 3. Il momento angolae classico è quello dato isolvendo classicamente il poblema del moto di una caica elementae negativa di massa m attono a una caica positiva elementae infinitamente massiva, e consideando poi il caso specifico di un obita di aggio Δx = 4. Il pincipio di Heisenbeg dice che Δx Δp ħ. Ricodasi che Δx = x x 5. La paticella deve stae da qualche pate 6. Il poblema gode di simmetia sfeica e la caica è data da 7. Olte al potenziale elettico bisogna consideae. 8. Che caica vede l elettone, se è abbastanza distante, come nel nosto caso? 9. Come cambia quanto detto al punto pecedente? Ricodasi che l elettone deve petubae poco il sistema, quindi si può assumee > Pag. 6

7 Condensatoe ad alte fequenze [90] Pate I: Campi nel condensatoe [50] Consideiamo un condensatoe piano con amatue cicolai di aggio R, distanti l. 1. Calcolae la capacità del condensatoe nel caso sia attavesato da coente continua [5] Colleghiamo oa il condensatoe a un cicuito contenente un geneatoe di coente altenata. In pima appossimazione si genea solo un campo elettico, unifome, come nel caso di coente continua, solo che tale campo è vaiabile nel tempo. Sapendo che la coente che lo attavesa è I 0 (t) = I 0Cos(ωt) = Re[I 0e iωt ]. Tovae il campo elettico all inteno del condensatoe, sempe tascuando il campo magnetico [5] 3. Consideando oa la soluzione pe il campo elettico tovata al punto pecedente, tovae il campo magnetico [15] Il campo magnetico al punto pecedente è vaiabile e non unifome: quindi genea un campo elettico, e questo deve essee non unifome. Da questo agionamento capiamo che il campo elettico tovato al punto è solo una pima appossimazione del campo eale nel condensatoe. 4. C è un punto in cui non vi è alcuna coezione al campo elettico, qual è? [5] 5. Tovae la coezione al campo elettico calcolato al punto dovuta al campo magnetico tovato al punto 3 [10] Il nuovo campo elettico calcolato (somma dei isultati dei punti e 5) non è più compatibile col campo magnetico calcolato al punto 3, in paticolae la coezione al campo elettico calcolata al punto 5 implica una conseguente coezione del campo magnetico. 6. Calcolae tale coezione al campo magnetico [5] Tale nuova coezione al campo magnetico implica una nuova coezione al campo elettico, e così via all infinito. Questo peché le equazioni di maxwell andebbeo isolte simultaneamente. Tuttavia in questo poblema ci accontenteemo di una appossimazione e ci femeemo alla seconda coezione del campo elettico 7. Tovae tale seconda coezione al campo elettico, dovuta alla coezione al campo magnetico tovata al punto 6 [5] Pate II: Calcolo della capacità [40] Visto in questa luce, un condensatoe ad alte fequenze isulta essee un oggetto molto più complicato della consueta schematizzazione che si adotta genealmente. Vediamo di calcolae come vaia la sua capacità in funzione della fequenza. Pe falo useemo la consueta fomula che definisce la capacità. Bisogna capie peò cosa sono V e Q. Come V consideiamo la diffeenza di potenziale fa i punti sulle due amatue ad = Calcola la diffeenza di potenziale V [5] Pag. 7

8 Pe il calcolo di Q invece ci sono meno dubbi teoici, essa è chiaamente definita una volta conosciuto il campo elettico 9. Calcola la caica totale Q pesente sull amatua del condensatoe, usando il campo elettico appossimato tovato ai punti,5 e 7. [10] 10. Tova quindi la capacità del condensatoe in funzione della fequenza: essa aumenta o diminuisce all aumentae della fequenza? Nel ispondee a questa domanda, non scodati che stai usando un espessione appossimata e che stai quindi tascuando dei temini [15] Si può dunque schematizzae il condensatoe eale con un cicuito equivalente dato dal paallelo di un condensatoe, con capacità pai alla capacità a bassa fequenza, e di un alto condensatoe o un induttanza (a seconda che la capacità aumenti o diminuisca). 11. Tovae il valoe del secondo componente (della capacità o dell induttanza a seconda della isultato ottenuto al punto 10). [5] 1. Si poceda oa a delle stime numeiche: che fequenza è necessaio aggiungee affinché i contibuti qui calcolati diventino ilevanti? [5] R = 1cm c = m/s Pag. 8

9 Suggeimenti: 1. Easy. Easy 3. Legge di maxwell sul flusso di E 4. Simmetia 5. Legge di maxwell sul flusso di B 6. Legge di maxwell sul flusso di E 7. Legge di maxwell sul flusso di B 8. Easy 9. Integale 10. Povae a capie come continua la seie di contibuti. Si può povae a disegnae il temine appossimato pe piccoli valoi della fequenza (avendo 3 temini lo sviluppo vaà fino a poco più del pimo minimo/massimo) 11. Il tipo di componente dipende dal segno della vaiazione. Pe le impedenze in paallelo valgono le stesse leggi che pe le esistenze 1. Easy Pag. 9

10 Fogli isposta Paticelle Instabili [10] Pate I: Decadimenti nell atmosfea [0] 1. Velocità β =. Fazione k = Pate II: Decadimento a due copi [100] 3. Risposte E = p = λ = 4. Risposte E = λ = 5. Apetua angolae Senθ = 6. Relazione fa gli angoli θ = 7. Distibuzione in enegia dn de = 8. Angolo massimo θ MAX = 9. Massa incognita ed eoe elativo M X = 10. Distibuzioni Angolai M X M X = dn dω = Pag. 10

11 L atomo di idogeno semiclassico [10] 11. Risposte E = C = = 1. Risposte E = = 13. Momento angolae L = 1. Dimostazione. Discussione su C 3. Campo elettico E = 4. Discussione Pag. 11

12 5. Commento 6. Caso atomo idogenoide Pag. 1

13 Condensatoi ad alte fequenze [90] Pate I: Campi nel condensatoe [50] 1. Capacità C = E 0 = B 1 =. Campo elettico 3. Campo magnetico 4. Discussione E = 5. Campo elettico 6. Campo magnetico B 3 = E 4 = 7. Campo elettico Pate II: Calcolo della capacità [40] 8. Diffeenza di potenziale V = Q = 9. Caica 10. Discussione 11. Valoe capacità o induttanza X = 1. Odine di gandezza della fequenza f = Pag. 13

14 Soluzioni Paticelle instabili [10] Pate I: Decadimenti nell atmosfea [0] 1. Uso la elazione Da cui Numeicamente E = γm μ 1 β = 1 γ = m μc E β = 1 m μc E β 0,999. La vita media è definita nel sistema in cui la paticella è a iposo, quindi pe pima cosa calcolo quanto vale nel sistema di ifeimento in cui vedo la paticella in moto: La distanza mediamente pecosa saà alloa t = γτ d = cβγτ E la fazione ichiesta (usando la legge del decadimento esponenziale) è Pate II: Decadimento a due copi [100] 3. Enegia e impulso si consevano, quindi e h/d = e h/(cβγτ) E 1 + E = m π p 1 + p = 0 A queste equazioni dobbiamo aggiungee le elazioni enegia-impulso Risolvendo si tova E 1 p 1 c = m 1 c 4 = 0 E p c = m c 4 = 0 E 1 = E = p 1 c = p c = m π c Pag. 14

15 E che gli impulsi hanno stessa diezione e veso opposto. Pe le lunghezze d onda si usa la elazione Da cui E 1, = ħω 1, = ħck 1, = hc λ 1, λ 1, = hc E 1, = h m π c 4. Bisogna effettuae le tasfomazioni di Loentz al nuovo sistema di ifeimento E 1 = γ m π c (1 + βcosθ) 5. L impulso tasveso imane invaiato p 1y = m π csenθ E si tova 6. Bisogna tasfomae anche gli impulsi Da cui si tova 7. Si ha Dalle tasfomazioni si icava Quindi dj de Senθ = p 1y m π E = c 1 θ= π γ m π c = 1 γ = γ m π c(cosθ + β) p 1x Tanθ = Senθ γ(cosθ + β) θ Senθ = AcTan γ(cosθ + β) = dφ dj dcos(θ)dφ dcos(θ) de de dcos(θ) = βγ m π c dj de = dφk 1 βγ m π c = 4πK βγm π c Pag. 15

16 Ovveo è costante e indipendente dall enegia. 8. Toviamo quando le paticelle che nel sistema del cento di massa hanno velocità in diezione opposta a quella del pione isultano andae in avanti nel sistema del laboatoio = γ m π p 1x c 1 4M m π + β > 0 1 m π c 4 E > 1 4M m π c 4 m 4 π < 4M E Se tale condizione non è soddisfatta è sempe possibile avee θ MAX = π. Un metodo pe tovae il massimo angolo è fae la deivata della tangente e pola uguale a zeo, tovae l angolo nel sistema del cento di massa che pota al massimo, e sostituie tale valoe nella fomula della tangente. Il valoe dell angolo nel sistema del cento di massa pe cui si ha il massimo isulta Sostituendo si tova Cosθ = 1 4M m π 1 m π c 4 E Tanθ MAX = 1 4M m π 4M E m π 4 c 4 1 Un alto sistema è il seguente: Nel sistema del cento di massa gli impulsi soddisfano p x + p y = (m π /4 M )c Quindi, al vaiae dell angolo, stanno su una ciconfeenza. Applicando il boost agli impulsi la elazione diventa p x γ βm πc/ + p y = (m π /4 M )c Che è un ellisse con il cento non più nell oigine. Se L oigine sta dento l ellisse saà sempe possibile tovae un angolo tale che θ = π (in paticolae, esso saà popio θ = π) e un angolo tale che θ = 0 (in paticolae, esso saà popio θ = 0). Il cento dell ellisse è in p x = γ βm πc = Ec 1 m π /E p y = 0 I semiassi sono a x = γ m π /4 M c = E m π c m π /4 M Pag. 16

17 a y = c m π /4 M Si hanno punti con p x < 0 se Ec 1 m π /E < a x = E m π c m π /4 M Che pota alla condizione vista in pecedenza. Altimenti l ellisse non contiene l oigine, e il massimo angolo si tova cecando la etta tangente passante pe l oigine p y = Tanθp x La tangente si tova imponendo che il disciminante dell equazione di secondo gado sia nullo p x γ βm πc/ Si tova nuovamente + Tanθ MAX p x = (m π /4 M )c Tanθ MAX = 1 4M m π 4M E m π 4 c Definiamo Alloa β = 1 4M m π Tanθ 1 = Tanθ = β Senθ γ(β Cosθ + β) β Senθ γ( β Cosθ + β) Cosθ = β β Tanθ + Tanθ 1 Tanθ Tanθ 1 E 1 = γ M X c (1 β βcosθ) = γ M X c 1 β Tanθ + Tanθ 1 Tanθ Tanθ 1 M X = E 1 γc 1 β Tanθ + Tanθ 1 Tanθ Tanθ L eoe elativo su M X è pai all eoe elativo su E 1, cioè l 1% 11. Si tova dj dω = dj dcos(θ)dφ = dj dφ dcosθ dcos(θ)dφ dφ dcos(θ ) Pag. 17

18 Lungo la diezione tasvesale non c è boost e nulla cambia Bisogna calcolae Conviene tovae Deivae tale funzione, e pendene l inveso Quindi dφ dφ = 1 dcosθ dcos(θ ) Cos(θ ) = g(cos(θ )) Cos(θ 1 1 ) = = Senθ 1 + γ(cosθ β) Cos θ γ (Cosθ β) g(x) = g(x) = x γ (x β) βx 1 γ (β x) x 3/ γ (x β) 1 Cos dj γ (β Cosθ) / θ dω = K γ (Cosθ β) βcosθ 1 Oa è necessaio scivee tutto in funzione del nuovo angolo. Si ottiene dj dω = K γ (1 βcosθ ) Pag. 18

19 L atomo di idogeno semiclassico [10] 1. Basta idefinie la caica: E si tova e 4πε 0 = e ħ = me E = e C = 1. Imponendo che l equazione sia isolta pe ogni valoe della vaiabile, si tova 3. Usando le equazioni classiche 3 ħ = me E = e Da cui F = e = mω ω = e m 3 L = Iω = m e m 3 = e m 4. Poiché L( ) = e m ħ me = ħ p = 0 p x = p x p x = p x L enegia cinetica media è Pag. 19

20 Da cui ħ p m = p m = m 1 Ψ() = Ψ( ) p x = me = p = ħ = E + e = e = p x m + p y m = p x m ħ p = ħ > ħ 5. La pobabilità di tovae l elettone da qualche pate nello spazio deve essee 1, quindi 1 = dv Ψ(x, t) = 4πC d e R 3 0 C = 1 π 3 = πc 3 6. Pe il teoema di Gauss (godendo il poblema di simmetia sfeica) E = Q int = e d e B 7. Con calcoli analoghi al punto 3, toviamo E = B x e x dx 0 = e e = πc 3 e Da cui L = Em 3 = e e e e = e e m = 4ħ m = e e e ħ = 4ħ = 8 m = ħ e B m Pag. 0

21 Chiamiamo x la vaiabile adimensionale e vediamo se l equazione può essee soddisfatta x 1 + x + x e x = x + x + x3 e x = 8 Il modo più veloce pe vedee che non esistono soluzioni è usae i massimi delle funzioni x n e x Da cui Che è chiaamente impossibile. x n e x n n e n 8 = x + x + x3 e x 1 e + 4 e + 7 e 3 < = La caica è schemata, di conseguenza l attazione non è sufficiente a tenee in obita una seconda caica con momento angolae così elevato (il potenziale efficace è monotono decescente) 9. L equazione che si ottiene stavolta è x + x + x3 e x + (Z 1)x = 8 Il temine monotono cescente in x assicua l esistenza di soluzioni pe ogni Z > 1. Tuttavia già pe Z = si tova x < 4, pe cui l assunzione che l elettone petubi poco il sistema cade. Infatti espandendo attono a x = 4 al pimo odine Si ottiene (ponendo e 4 ~54) x = 4 + y y = < 0 Il secondo odine isulta tascuabile ai fini della negatività di y. Pag. 1

22 Condensatoi ad alte fequenze [90] 1. Quando è collegato a un geneatoe di coente continua il condensatoe si caica fino a che non viene a ceasi ai suoi capi una diffeenza di potenziale V pai alla fem del geneatoe. Tascuando gli effetti di bodo, pe simmetia il campo elettico è pependicolae alle amatue e costante all inteno del condensatoe, ed è pai al campo geneato da due laste infinite unifomemente caiche. E = σ ε 0 z V = σ ε 0 l Dove l è la distanza fa le amatue del condensatoe. La caica contenuta sulle amatue è Da cui si icava Q 0 = σa C = C 0 = Q V = ε A 0 l = ε πr 0 l. Sapendo che la coente che lo attavesa è I 0 (t) = I 0Cos(ωt) = Re[I 0e iωt ] Lavoiamo alla ovescia ispetto a pima: Toviamo la ddp ai suoi capi: Da cui Quindi V 0 = I 0e iωt iωc E 0 = σ iωt I 0e z = ε 0 iωcl = σ ε 0 l iωt I 0e z = i ωcl z I 0 ωcl Sin(ωt)z 3. Consideo oa come supeficie che abbia come bodo una ciconfeenza con il cento coincidente con l asse del condensatoe. Pe simmetia, B potà avee componente solo lungo θ. Quindi applicando la legge della coente di spostamento B dl = πb = 1 d c dt Φ E = 1 d c dt (π E) = π de c dt B 1 = c de dt θ = I 0e iωt θ c Cl c I 0 Cl Cos(ωt)θ 4. Pe simmetia, sono i punti che stanno sull asse del condensatoe Pag.

23 5. Consideiamo oa un alta supeficie gaussiana (stavolta apeta), il cui bodo ha foma ettangolae, un lato sta sull asse del condensatoe, uno sta a distanza, e gli alti due sono paalleli a una amatua. La cicuitazione del campo elettico su tale cuva è E dl = E 0 + E dl Dove E è la nuova coezione. I lati paalleli alle amatue non contibuiscono, peché il campo elettico è otogonale ad esse pe simmetia. Inolte sull asse la coezione è nulla, e la coezione è unifome su z sempe pe simmetia, pe cui E dl = E 0 + E dl = E 0 dl + E l = E l In quanto il pimo campo aveva cicuitazione nulla essendo costante. Applica oa la legge di Faaday E dl = E l = d dt Φ B = d dt B 1 da = iωl I 0e iωt 4c Cl Il meno al flusso scompae essendo campo e oientazione della supeficie discodi. Pe cui 6. Di nuovo E = iω I 0e iωt 4c z ω I 0 Cl 4c Cl Sin(ωt)z B dl = B 1 + B 3 dl = B 1 dl + B 3 dl = 1 c d dt Φ E = π c de 0 dt + 1 c d dt E da Ma pe quanto fatto pima Quindi 7. Ancoa B 1 dl = π de 0 c dt B 3 dl = πb 3 = 1 c d dt E da = π B 3 = ω 3 I 0e iωt θ 16c 4 ω Cl 3 4 I 0e iωt c ω 16c Cl 16c 4 I 0 Cl Cos(ωt)θ E dl = E 0 + E + E 4 dl = E 0 dl + E dl + E 4 l = E dl + E 4 l E dl = E dl + E 4 l = d dt Φ B = d dt Φ B 1 + d dt (lb 3 ) = d dt Φ B 1 + d dt B 3 da Ma pe quanto fatto pima E dl = d dt Φ B 1 Pe cui Pag. 3

24 Il campo elettico totale isulta essee E 4 l = l db 3 dt = 4 I 0e iωt liω3 64c 4 Cl E 4 = iω 3 4 I 0e iωt 64c 4 z ω 3 Cl E = E 0 + E + E 4 = i I 0 I 0 ω ωcl 4c 4 64c 4 I 0 Cl Sin(ωt)z Cl + ω3 4 I 0 ωcl 1 ω 4c + 4 ω 4 64c4 Sin(ωt)z Pate II: Calcolo della capacità [40] 8. La ddp non è cambiata, infatti lungo l asse le coezioni sono nulle I 0e iωt 64c 4 I 0 Cl e iωt z V = V 0 = iωc 9. Si usa il teoema di Gauss, con una supeficie cilindica, una delle due basi del cilindo sta fuoi del condensatoe dove il campo è nulla, la supeficie lateale non contibuisce, quindi Q = ε 0 Φ E = ε 0 E da = πε 0 di I 0 ωcl = πiε 0 e iωt I 0 ωcl d 1 ω 4c + 4 ω 4 64c 4 Sostituendo la capacità a basse fequenze 0 R 0 R I 0 4 I 0 ω c + ω3 Cl 4c 4 Cl = πr iε 0 e iωt I 0 ωcl 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 e iωt = πiε 0 e iωt I 0 ωcl R R4 ω 16c + R6 ω 4 384c 4 iωt I 0 = e iω 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 = Q 0(t) 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c La nuova capacità isulta quindi essee C = Q V = Q 0 V 0 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 = C 0 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 Il pimo contibuto diminuisce quindi la capacità. Tuttavia la seie è infinita. I vai temini della seie sono del tipo ( 1) n a n ωr C n E si può intuie che gli a n sono decescenti pe come sono stati tovati i pimi (ogni integale pota un fattoe al denominatoe, ogni cicuitazione sulla ciconfeenza un alto fattoe ). Quindi la seie convege sicuamente pe Pag. 4

25 ωr C < 1 Ed essendo i coefficienti decescenti la somma saà infeioe a quella della seie geometica C = C 0 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 + < C 0 ( 1) n ωr n c Pe la pecisione i coefficienti sono a n = n=0 1 4 n n! (n + 1)! = C 0 1 E le funzioni che si ottengono pe i campi convegono ovunque non solo pe ωr c < 1 Ad ogni modo ha poco senso utilizzae la soluzione pe ωr c > ωr c < C 0 In quanto se la dimensione del cicuito è così gande i campi elettici e magnetici non si possono consideae come popagati istantaneamente su tutto il cicuito. 11. Si sommano gli invesi delle impedenze quindi iωc = iωc Z iωc 0 1 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 + = iωc Z iωc 0 R ω 6c + R4 ω 4 19c 4 + = 1 Z 1 1 Z = iωc 0 R ω 6c + R4 ω 4 = iω 19c 4 + ω C 0 R ω 6c R4 ω 4 19c 4 + Pe quanto abbiamo detto pima, si ha R ω 6c R4 ω 4 + > 0 R 19c4 Pe questo motivo abbiamo messo in evidenza un segno positivo. Il componente cicuitale da aggiungee è quindi un induttanza di valoe 1. È necessaio che il temine della seie 1 L = ω C 0 R ω 6c R4 ω 4 19c 4 Pag. 5

26 Non sia toppo infeioe all unità, pe esempio Implica ωr c ωr c 1 10 ω 1 c 10 R = ad/s ν = Hz GHz Pag. 6