LABORATORIO DI FISICA INGEGNERIA "La Sapienza" Per costruire un campione si esegue una prima misura X 1

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1 LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapenza" Prof. A. Scubba ELABORAZIOE STATISTICA DI DATI SPERIMETALI Fnora abbamo accennato ad alcun element d calcolo delle probabltà ed abbamo vto alcune dtrbuzon "teorche" nel eno che rfervano ad enttà (event dello pazo S) che eguvano regole ben prece (probabltà note, varabl contnue, numero nfnto d valutazon delle varabl aleatore). In qualche cao è accennato ad alcun legam con la realtà. La determnazone delle carattertche d tal event aleator è argomento della tattca che, baando u un numero lmtato d nformazon (mure) cerca d tmare parametr delle dtrbuzon d probabltà. Il notro nteree è dovuto al fatto che tal metodologe conentono d dare valutazon oggettve (n termn probabltc) delle mure delle grandezze fche che rultano empre oggette al cao. Introducamo alcune defnzon che pongono n correlazone l mondo delle probabltà con quello della tattca: prea la varable aleatora poamo mmagnare d eegurne nfnte determnazon (ndvdu [] ) che rappreentano una popolazone tattca (popolazone madre) che egue la dtrbuzone d probabltà della varable aleatora. Un ottoneme d ndvdu (con fnto [] ) d tale popolazone prende l nome d campone d grandezza. Lo copo della tattca è quello d tmare parametr della dtrbuzone d probabltà che regola l'ntera popolazone dalla quale è tato etratto un campone d mure (nferenza tattca) e valutare n termn probabltc n che mura rultat d tale ndagne, eeguta necearamente u un campone fnto, poano appromare valor ver (tma delle ncertezze). IFEREZA STATISTICA VEROSIMIGLIAZA Conderamo una popolazone ndvduata dalla v.a. che egue una dtrbuzone f(x) [da ora n po ndcheremo con f(x) a dtrbuzon d probabltà dcrete che dentà d probabltà contnue] con meda par a m e varanza par a. Per cotrure un campone eegue una prma mura ( etrae coè un ndvduo dalla popolazone) e aoca ad ea l uo valore numerco x ; qund determna l valore della econda mura x e coì fno a x. Il campone arà qund decrtto dagl valor aunt dagl ndvdu: [x, x,, x ] e u quet arà defnta la dentà d probabltà congunta f( x e x e... e x ) f(x, x,..., x ). nel notro cao gl ndvdu ono rultat d mure; la popolazone madre è cottuta dagl nfnt rultat pobl; l campone è cottuto dal partcolare neme d rultat d una ere (fnta) d mure la bontà delle concluon che poono trar dall'anal d un campone dpende fortemente dalle modaltà d etrazone d un campone dalla popolazone madre: pen a dver rultat d un'ncheta relatva all'abolzone degl eam e l'ndagne vene volta ntervtando olo tudent o olo docent. STATISTICA

2 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Ovvamente e eegue una nuova ere d mure otterrebbe un dvero campone cottuto da [x, x,, x ] a caua del carattere ntrnecamente aleatoro dell'operazone d etrazone d un ndvduo e qund una dvera f(x, x,, x ). Queta probabltà è detta veromglanza: ndca quanto è veromle che ottenga l campone effettvamente ottenuto. La motvazone d molte delle formule tattche ncontrate n queto coro baa ul prncpo della mama veromglanza: la probabltà d ottenere rultat effettvamente ottenut deve eere elevata (la mama, n queto metodo) altrment arebbero tat ottenut altr rultat. Senza entrare n dettagl lmtamoc a conderare due eemp per nture la potenza del metodo della mama veromglanza: STIMA DELLA PROBABILITÀ I U PROCESSO BIOMIALE Supponamo d aver ottenuto k ucce u prove n un epermento che pena a decrtto da una bnomale. Voglamo tmare la probabltà p aocata al ngolo evento. k k La probabltà aocata a k ucce ottenut è P,p (k) p ( p) ; k per trovare l mamo dervamo rpetto a p: P,p (k) k k k k k k [ kp ( p) + p ( + k)( p) ] p ( p) [ k( p) + p( + k) ] p k k k numero d ucce ottenut e uguaglando a 0 ottene k - p 0 coè p numero delle prove effettuate S vede qund che, n queto cao, la mglore tma per la probabltà non è nent'altro che la frequenza relatva dell'evento conderato. STIMA DEL VALORE ATTESO DI UA GAUSSIAA A PARTIRE DA MISURE Se nell eegure le mure non è tato alterato l tema n eame [3] poamo rtenere che le determnazon ano ndpendent e qund la funzone d veromglanza f(x, x,..., x ), che è una probabltà congunta, dventa par al prodotto delle probabltà e qund può eere rcrtta come f(x )f(x )...f(x ). el cao d una dtrbuzone gauana la veromglanza vale: (xm) (x m) (x m) e e e e π π π π (x m) Mamzzare la veromglanza corrponde qund a mnmzzare ponendo par a 0 la dervata m qund x m 0 coè m,, (x m), x!!! (x m),., al varare d m: (x m)( ), ottene ( x m) 0 e,, 3 come peo accade almeno n prma appromazone. In realtà l errore d nerzone è nelmnable e qund ete empre una pur debolma correlazone fra le mure STATISTICA pag.

3 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 STIMA STATISTICA DEI PARAMETRI DI UA DISTRIBUZIOE Come detto, lo copo della tattca è quello d determnare dall'anal d un campone (una ere d mure) parametr dell'ntera popolazone (l valore vero della grandezza fca n mura). S tratta n ultma anal d determnare la funzone degl valor d un campone che meglo approma l valore d tal parametr. È poble ottenere dallo teo campone d grandezza pù tme θ (q) d un partcolare parametro q; fra quete ono preferbl le tme: - content: quelle n cu la tma, al crecere della dmenone del campone, converge n probabltà vero l valore del parametro della popolazone: lm P ( θ ( q) q < ε) Queta condzone acura che al crecere della dmenone del campone, è pratcamente certo che la tma del parametro dt dal parametro teo per una quanttà arbtraramente pccola (del reto per l campone concde con l'ntera popolazone). - ncondzonate (o non dtorte): quelle n cu l valore atteo della tma concde col parametro ndpendentemente dalla grandezza del campone: [ ( q) ] E θ q per ogn Queta condzone acura che e la tma del parametro vene eeguta u pù campon d grandezza dvera, rultat delle tme non dcoterebbero fra loro a caua della dvera grandezza de campon. Vedamo ora come procedere per tmare da un campone alcune carattertche e raunt della dtrbuzone della popolazone madre che egue una dtrbuzone con raunt m e : STIMA DELLA PROBABILITÀ p DI U EVETO Dato un evento come è poble tmare la probabltà p che eo ha d realzzar? Eeguamo un numero elevato d prove e contamo quante volte k realzza l evento. Calcolamo la frazone d volte f k (frequenza relatva) n cu l'eto è tato potvo: la frequenza relatva è una tma della probabltà d realzzar dell'evento: p f k Queta tma è contente n quanto lm P p < ε (è l teorema d Bernoull ); k è anche non condzonata perché E ( k) E p p (l valore atteo d k ottene dalla dtrbuzone bnomale che valuta la probabltà che n tentatv ottengano k ucce nell'pote che cacun evento abba probabltà p d ucceo). Come eempo d tma della probabltà d un evento rveda quello del lanco d una moneta utlzzato nella defnzone frequenttca della probabltà. k STATISTICA pag.3

4 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 STIMA DELLA MEDIA m DI UA DISTRIBUZIOE el cao ano tate ottenute determnazon x nelle tee condzon d mura, la mglor tma d m è la meda artmetca delle oervazon: m - la meda artmetca è una tma contente della meda: utlzzamo le note relazon: E ( ) m, ( ) ( ) ; applcando la duguaglanza d Chebychev alla varable aleatora : ( ) P m K K. Paando al lmte per, poto ε K ( ), ottene lm P( m ε) ε e qund, per K uffcentemente elevato, la verfca della contenza della tma. - la meda artmetca è una tma non dtorta della meda: ( ) E,, E( ) m E ( ) E m E( ) m perché rcordamo che le del campone hanno tutte la tea dtrbuzone della v.a. della popolazone madre. S può notare l'analoga fra meda e meda artmetca conderando che le frequenze relatve f j ono una tma delle probabltà P( j ): j, ν n j j j,ν n j f j j j j, ν P ( ) j,ν, x j j E() m ( ) el cao n cu le determnazon x d non ano tate ottenute nelle tee condzon d mura, e qund abbano varanze dvere, la mglore tma d m è data dalla meda peata [4] m x ( ) ( ) È uffcente notare che e le varanze foero tutte ugual fra d loro la formula della meda peata traformerebbe n quella della meda artmetca [5]. 4 è poble rcavarne l'epreone anche col metodo de mnm quadrat 5 apete verfcarlo? E nel cao d varanze ugual coa v apettate ucceda dell ncertezza da aocare alla meda peata? Verfcate anche queto: è molto truttvo STATISTICA pag.4

5 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 STIMA DELLA VARIAZA DI UA DISTRIBUZIOE La mglor tma d permentale) è la varanza permentale (l quadrato della devazone tandard (), ( x ) - la contenza della tma della varanza può nture rcrvendo la varanza permentale: S ( ) j, ν n j ( x ) n j come ( x ) j, ν n j n j e conderando che per ha che m e f p e qund lm () lm j, ν n j ( x ) j, ν P j ( m) () (x ), Pù rgoroamente, conderando che la quanttà egue la dtrbuzone del χ con - () grad d lbertà e qund ha meda - e varanza (-) può rcorrere ancora alla duguaglanza d Chebychev: Σ(x ) P ( ) K ( ) < / K che con qualche paaggo dventa: (x ) ( ) P Σ < K / K Paando al lmte per, per K uffcentemente elevato verfca la contenza della tma. - la tma della varanza non è condzonata: ' e la varanza vene tmata con ( ) d () ' E [ ] ' : E ( ) l prmo termne è par a ( x ) pertanto E[ ( ) ] ( ) ' S ( x ) E ( ) m, ( x ) otterrebbe per l valore atteo x E( x ) E E( ) dove + e l econdo è ( ) ( ) ( ). E ( ) + m STATISTICA pag.5

6 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Defnendo nvece come tma d ( ) la quanttà ' ( ) ( ) [ ] ' ottene una tma non dtorta: E ( ) E S ( ) ( ). ( x ), In generale, per ottenere tme non dtorte dovremo dvdere non per ma per l numero d v.a. ndpendent (grad d lbertà del problema) coè meno l numero d relazon tattche fra le dvere grandezze. Per eempo nel cao d () l'uo d necearo per tmare m mpone un vncolo fra le varabl e qund, fate arbtraramente le prme -, l -ma dpende numercamente (e non pù olo probabltcamente) dalle altre varabl. Abbamo vto che nel cao n cu le determnazon x d non ano tate ottenute nelle tee condzon d mura, e qund abbano varanze dvere [6], la mglore tma d m è data dalla meda peata. In queto cao la varanza è tmata con l'epreone: ( ) ( ) La varanza della meda peata rulta qund matematcamente nferore alla pù pccola delle varanze ( ): ogn mura, anche e affetta da groe ncertezze, contene nformazon mportant; l uo uo aumenta la conocenza del fenomeno rducendo la varanza fnale. Come eempo valutamo la meda peata delle mure: 7,4 ±,5 3, ±,3 9, ±,0 7,4 3, 9, + +,5,3,0 + +,5,3,0 ±,5 +,3 +,0 9,36 ± 0,70 Bogna pretare attenzone al valore delle mure prma d utlzzare la meda peata: la teora baa ul fatto che le dvere mure rfercono alla tea grandezza fca e qund ano tracurabl gl effett tematc. Dveramente l'uo della meda peata non è lecto. 6 n coa v apettate che traform queta formula nel cao d varanze tutte ugual fra loro?... provate STATISTICA pag.6

7 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 STATISTICA pag.7 STUDIO DELLA DIPEDEZA FUZIOALE DI GRADEZZE FISICHE Supponamo d voler tudare un tema fco ma d conocerlo gà a un lvello tale da poter prevedere che e vene ottopoto alla ollectazone eo produrrà una rpota Y econdo a legge Y f(;q, q,..., q m ) dove q ono parametr ncognt, copo della notra mura. Queto cao è aa frequente perché peo lo tudo d un tema pù o meno compleo rduce alla determnazone della ua rpota a ollectazon note. S rcorre però a queto metodo anche quando una ola coppa d mure arebbe n grado d fornre la rpota cercata perché lo tudo della rpota a ollectazon dvere conente d evdenzare a la preenza d error tematc e caual a eventual anomale nel comportamento del tema. Il METODO DEI MIIMI QUADRATI (che trova la ua gutfcazone anche nel prncpo della mama veromglanza) conente d determnare tattcamente valor de parametr ncognt nella dpendenza funzonale. In partcolare, lmtandoc al cao d una dpendenza lneare: Y p + q con pendenza p e ntercetta q ncognte è uffcente, per ogn valore della ollectazone (con, valor dver) eegure una mura Y della grandezza Y ed eventualmente ottenere una tma della ua varanza. L'applcazone del metodo [7] fornce le tme: p Y Y (p ) q Y Y (q ) Per verfcare e quete tme ano condzonate o meno calcolamo l valore atteo d p rcordando che E(Y ) p + q [8] : E(p ) ( ) ( ) Y E Y E + + q p q p p. Analogamente trova E(q) q; le tme de mnm quadrat ono qund non condzonate (non dtorte). 7 ved PROBABILITÀ 8 le formule ono tate rcavate otto l'pote che l'ncertezza relatva alle determnazon a tracurable

8 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Speo per le mure d Y avvene che lo teo operatore utlzz lo teo metodo e gl te trument. In queto cao è lecto rtenere che gl error d mura e qund le varanze delle Y ano tutte ugual fra loro [9]. Le formule emplfcano (bata porre ) e dventano: p q Y Y Y Y (p ) (q ) elle epreon delle varanze compare la quanttà che peo non è nota (tpcamente conoce olo l contrbuto determnato dalla trumentazone che è peo un valore fortemente ottotmato). In quet ca è poble determnarla dalle mure gà ottenute: [ Y ( p + q )] S S ESEMPIO Supponamo d aver eeguto delle mure del perodo d ocllazone d un pendolo vertcale n funzone della maa applcata all'etremtà della molla che lo cottuce. Poché ete una relazone lneare fra l quadrato del perodo d ocllazone e tale maa può valutare col metodo de mnm quadrat la cotante d proporzonaltà fra T e M: T p M + q. Sono tate ottenute n laboratoro le eguent 6 coppe d mure: M [kg] T [ ] ( T )[ ] 0,400 0, , ,480 0, , ,560 0, , ,640 0, , ,70 0,664 0,00 6 0,800 0, ,00 3 Conderando che le ncertezze delle mure de quadrat de perod ono dvere fra loro decdamo d utlzzare le formule pù complete. A partre dalle mure calcolano le quanttà: p 0, /kg con p 0, /kg; q 0, con q 0,00 0 e qund p (0,874 0 ± 0,003 9) /kg e q (0,039 0 ± 0,00 ). 9 non tratta d un cao raro, anz, nella grande maggoranza de ca le ncertezze non dffercono fra loro per pù d un fattore -3 conentendo l uo delle formule emplfcate STATISTICA pag.8

9 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Se conderamo pù attentamente valor delle ( T ) notamo che entro un fattore -3 ono ml e valgono crca ( T ) 0,00 5. Eeguamo nuovamente l calcolo conderando l cao d ncertezze ugual fra loro ottenendo: p 0, /kg con p 0, /kg q 0, con q 0, e qund p (0,863 9 ± 0,004 5) /kg e q (0,044 6 ± 0,00 8). Quet valor ono otanzalmente equvalent a precedent ma l loro calcolo è aa pù rapdo. Infne upponamo, come peo accade, d non aver potuto murare le varanze relatve a perod e d aver potuto conderare olo l contrbuto mnmale dato dalla trumentazone. In queto cao, non avendo a dpozone le ( T ) dalle mure: M [kg] T [ ] 0,400 0, ,480 0, ,560 0, ,640 0, ,70 0, ,800 0,735 3 poono calcolate le quanttà: ( T ) 0, anzché l precedente 0,005 p 0, /kg con p 0, /kg q 0, con q 0,004 8 e qund p (0,863 9 ± 0,006 8) /kg e q (0,044 6 ± 0,004 ). Se non poede una calcolatrce gà programmata per tmare la retta d regreone convene calcolare preventvamente (accumulando [0] dat n opportun regtr della calcolatrce o nelle celle d un foglo d calcolo elettronco) le quanttà: 6 Σ 3,6 kg ΣY 3,3776 Σ Y,33 kg Σ,7 kg ΣY, l denomnatore d p e q : D 0,67 kg la devazone tandard delle Y 0, Conderando: ) l notevole rparmo d tempo ntrodotto dal econdo approcco, ) l fatto che otanzalmente rultat concdono è naturale, almeno quando le precon rchete non ono partcolarmente elevate, conderare la formula con le varanze ugual e rcavare la varanza della varable dpendente drettamente da dat. 0 e, non avendo acquto pratca col votro trumento d calcolo, rportate u carta rultat parzal fate attenzone a non ntrodurre appromazon peant lmtando l numero d cfre gnfcatve STATISTICA pag.9

10 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 TABELLE E GRAFICI La potenza del metodo de mnm quadrat ha lo vantaggo d rchedere l calcolo d formule che potrebbero dtoglere l'attenzone degl tudent dagl cop del coro: durante le eperenze rtengo che n laboratoro a pù mportante concentrar ul metodo permentale che non ul rgore dell'elaborazone tattca de dat. Tuttava n laboratoro è anche d mportanza fondamentale avere rapdamente una valutazone, anche e rozza, della qualtà de dat che tanno raccoglendo. Inoltre non è raro che commetta uno baglo nell'mmettere un dato nello trumento d calcolo ottenendo un rultato baglato. Sarebbe utle poter verfcare rapdamente e l rultato è appromatvamente corretto; a queto punto arà pù affdable conderare corretto l rultato calcolato. Segue la dcuone d un metodo appromatvo che conentrà d ottenere tal nformazon medante pochm calcol; durante la teura della relazone c arà po tempo a uffcenza per elaborare rgoroamente rultat. Per fare le dee conderamo un eempo: upponamo d avere eeguto una ere d mure d allungament Y d una molla ottopota a ollectazon crecent medante l'aggunta d peett d maa u un pattello. Molto probablmente gl allungament Y avranno le tee ncertezze perché per murarl arà tato utlzzato lo teo trumento e lo teo metodo d mura. TABELLE IIZIAMO COL RIPORTARE LE MISURE Il modo pù razonale d rportare molt dat è n forma d tabella perché permette confront per colonne e/o rghe, controll d coerenza, d tendenze, etc. Alcune raccomandazon dettate n parte dalle convenzon e n parte dalla pratctà nell'uo: - ogn mura va rporta con l'untà d mura e col corretto numero d cfre gnfcatve: e tratta d mure drette: fno al decmo d dvone per letture d trument analogc; tutte le cfre per letture d trument dgtal rportando anche gl eventual zer termnal e tratta d mure dervate: e è tata gà valutata l'ncertezza lo teo numero d cfre decmal dell'ncertezza rportata con due cfre gnfcatve e non è tata ancora valutata l'ncertezza un numero uffcente d cfre gnfcatve che non rcheda uccevamente la rpetzone de calcol (ma enza eagerare [] ) - ndcazon aulare comun a tutt dat d una colonna (p.e. 0 n o l'untà d mura) vanno rportate ull'ntetazone: non devono ngombrare la tabella; - evtare colonne d dat ugual; rcordarne l'etenza n legenda; - convene mpotare le tabelle n forma aperta (pobltà d aggungere colonne/rghe). - evdenzare eventual dat non grafcat motvandone l'ecluone; dffclmente n laboratoro avrete a che fare con ncertezze nferor allo 0, % che mplca al pù 5 cfre gnfcatve STATISTICA pag.0

11 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 È partcolarmente mportante che almeno dat grafcat ano rportat n una tabella. In queto modo le nformazon per realzzare l grafco andranno pree dalla tabella e non rcercate all'nterno della relazone. Inoltre, anche e non trettamente neceare per la realzzazone del grafco, è mportante che nella tabella compaano anche le ncertezze delle grandezze grafcate: e un punto rultae non allneato arebbe aa rapdo verfcare e la dcordanza è compatble con l'ncertezza della mura o è nonmo d qualche altro effetto. GRAFICHIAMO LA SERIE DELLE COPPIE DI MISURE Y I I FUZIOE DI I GRAFICI Anche e per la realzzazone profeonale d un grafco è conglable l'utlzzo d opportun programm d calcolo e grafca, è fondamentale una fae d apprendmento che non può precndere dalla loro realzzazone manuale. Per queto copo ono a dpozone fogl d carta con dvon ogn mllmetro (carta mllmetrata). Per l loro uo congla: - le cale ugl a devono eere celte n modo da garantre la leggbltà delle coordnate d un quala punto poto ul grafco (anche dvero da punt rultat d mure); - non è ndpenable che l grafco etenda a tutto l foglo ma deve rultare leggble - per pratctà d'uo le cale devono eere multple d,, 5 mllmetr (evtare, e poble, 4; MAI 3, 7, 9 o valor che rchedano una calcolatrce) - e non rcheto dal partcolare problema n eame non è necearo che le cale nzno dall'orgne - ogn ae deve rportare l mbolo della grandezza, l'untà d mura, l'eventuale fattore 0 n - u ogn ae vanno rportate a ntervall regolar poche (5-0) tacche con l'ndcazone del valore: dato che l foglo è mllmetrato non va rportata ul foglo la cala - per non rendere dffcoltoa ogn ucceva elaborazone non rportare ugl a valor delle mure e non collegare punt tra loro o con gl a - è utle [] rportare ul grafco la relazone (ttolo del grafco) che c attende occorrere fra le quanttà rportate ugl a Grafcata la ere può traccare con un rghello la retta che econdo no è medamente equdtante da tutt punt grafcat. Poché gl punt u queto grafco rappreentano delle mure (qund affette da error) la retta (funzone analtca) non paa per tutt punt permental neanche e la notra chematzzazone della legge fca è corretta. Dopo qualche tentatvo è però n grado d traccare una retta che non dcota [3] per pù d qualche percento da quella ottenble medante l metodo de mnm quadrat che baa ullo teo prncpo della mnmzzazone [4] delle dtanze. tratta d un eufemmo: è obblgatoro (all'nterno d queto coro, per fn ddattc) perché conente d comprendere rapdamente l gnfcato fco del grafco. In queto coro c lmtamo a tudare relazon lnear. on è una groa lmtazone dato che è peo poble traformare relazon non lnear n lnear (lnearzzazone) grafcando ugl a opportune funzon delle grandezze murate 3 arebbe molto truttvo e provate a verfcare quanto detto 4 non è eattamente la tea mnmzzazone per due motv, apete ndvduarl? STATISTICA pag.

12 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Un grafco delle coppe d mure preenterebbe coì dopo aver traccato la retta: Y p + q della quale per l momento ancora non ono not valor d p e q [5] STIMA DEI PARAMETRI DELLA RETTA A queto punto non reta che determnare l valore della pendenza [6] p e dell'ntercetta q. Per la pendenza p prendono due punt ulla retta quanto pù dtant poble al fne d mnmzzare l'effetto degl error d lettura delle coordnate dal grafco. Evdenzate, ad eempo cerchandol, due punt e rportate valor delle coordnate [x, y ] e [x, y ] (con le untà d mura!) al fne d calcolare la pendenza come rapporto [7] fra la dfferenza y y delle ordnate e la dfferenza delle ace: p. x x L'ntercetta q legge drettamente dal grafco: q Y(0). Per quel che rguarda l calcolo delle ncertezze... Il metodo grafco per la tma de parametr ottenut conente d non utlzzare le formule de mnm quadrat ma per tmare l'ncertezza de parametr cò non è n generale evtable. Tuttava, e è uffcente un'elaborazone appromatva, può nellre l calcolo. La prma appromazone conte nel conderare, e ragonevole, le ncertezze tutte ugual fra loro (ma ncognte dato che peo delle grandezze non è nota l'ncertezza). Le formule da utlzzare dventano qund [8] : Y Y p q + dove Y [ Y ( p + q )] S S 5 da queto momento n po va dmentcata l'etenza de ngol punt: la mglore rappreentazone del fenomeno tudato è la retta che è tata traccata 6 analtcamente parla d coen drettor o d coeffcent angolar ma n queto cao c'è da notare che ugl a ono rportate untà d mura n generale dvere e addrttura d grandezze fche dvere. L'angolo che potrebbe murare con un gonometro camberebbe e lo teo grafco vene rpetuto con cale dvere: tale angolo non ha neuna relazone col gnfcato fco del parametro p. Per evtare confuone preferce parlare d pendenza (con dmenon fche par a quelle d Y/). 7 la dmotrazone è banale trovatela 8 ved PROBABILITÀ STATISTICA pag.

13 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Ulteror emplfcazon (quando applcabl): ) peo punt ul grafco rultano preoché equdtant. ell'eempo della ollectazone d una molla è aa probable che peett ano ugual e che qund valor ano unformemente dtrbut fra un valore mnmo m e uno mamo M. Allora è poble conderare valor come determnazon d una varable aleatora dtrbuta unformemente M m M m fra m e M e qund: e + ) dato l gnfcato d ncertezza non è empre fondamentale che queta a quantfcata eattamente; peo è uffcente conocerne l'ordne d grandezza. In quet'ottca, dato che Y quantfca lo carto quadratco medo delle coordnate Y dalla retta traccata, ea può eere tmata leggendo dal grafco conderando l mamo carto d M (potvo o negatvo) e conderando che nel cao d una dtrbuzone unforme d M Y Y d M / 3. Ovvamente quet'ulterore appromazone non è lecta qualora dal grafco non foe poble apprezzare d M (punt perfettamente allneat, apparentemente). RELAZIOI O LIEARI S è accennato alla lnearzzazone delle funzon da grafcare. Come eempo conder l moto d un pendolo matematco n cu L T π g non è una relazone lneare fra le mure drette T e L. C ono due alternatve equvalent: grafcare T v L o T v L. Ovvamente L o T non ono pù mure drette: nella tabella che rporta dat da grafcare vanno rportat loro valor e le loro ncertezze. Altro eempo: ocllazone d una molla d cotante elatca K con appea una maa m + m 0 (l contrbuto m può eere varato) π K T m + m 0 In queto cao convene calcolare recproc e quadrare: T m + m 0 T (π) ( π) m0 m + (π) K K K (π) ( π) m0 da queto ttolo rulta evdente che la pendenza p e l'ntercetta q K K t τ E come traformare relazon del tpo d: T(t) T 0 e? In queto cao, paando a logartm, ottene: ln [T(t)] ln(t 0 ) t / τ coè una retta con p - / τ e ntercetta ln(t 0 ) ottenuta grafcando le grandezze ln [T(t)] v t Data la frequenza d tud d funzon eponenzal è tata ntrodotta della carta n cu uno de due a rporta delle dvon logartmche anzché lnear (carta emlogartmca). In queto cao, AZICHÉ DOVER CALCOLARE I LOGARITMI DELLE QUATITÀ I ORDIATA, È SUFFICIETE STATISTICA pag.3

14 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 RIPORTARE L'ARGOMETO DELLA FUZIOE; ulla cala lneare delle ace andrebbero nvece rportat temp. Il partcolare tpo d carta produrrebbe una preentazone logartmca e qund nell'eempo ctato vualzzerebbe una retta a pendenza negatva (enza rcorrere all'uo d una calcolatrce). Utlzzando la carta emlogartmca la generca relazone Y b e a verrebbe vualzzata come ln(y) ln(b) + a e la retta traccata ul grafco avrebbe ntercetta q ln(b). Il valore del coeffcente b verrebbe qund letto drettamente ulla cala che rporta gl argoment della funzone logartmo: b Y(0). Pre ulla retta due punt d coordnate P [x ; ln(y )] e P [x ; ln(y )] la pendenza verrebbe y ln(y ) ln(y) ln( y tmata da: p ) x x x x Ete, fra le altre, anche un tpo d carta (doppo-logartmca) con entramb gl a logartmc per la rappreentazone d funzon del tpo Y b a che verrebbero lnearzzate paando a logartm: ln (Y) ln (b) + a ln () In queto cao l'andamento lneare arebbe fra le grandezze ln(y) e ln() e la pendenza verrebbe y ln(y ) ln(y ) ln( y ) ottenuta da p mentre l'ntercetta rcaverebbe da b ln[y()]. x ln(x ) ln(x ) ln( ) x La lnearzzazone delle funzon è ovvamente valda a per una rappreentazone grafca che per l'uo de mnm quadrat. In queto cao, penando come eempo alla carta emlogartmca, dat da ntrodurre arebbero le mure drette e quelle dervate ln(y). Sa per l'elaborazone grafca che per quella tattca medante mnm quadrat c'è da fare attenzone alle ncertezze. Anche e la grandezza Y è murata con lo teo trumento e metodo e qund ogn ua mura ha ragonevolmente la tea ncertezza conentendo l'uo delle formule emplfcate, le mure, per eempo L, T o ln(y), hanno ncertezze dvere. Tuttava, empre per l fatto che è peo uffcente una valutazone appromata delle ncertezze, è poble utlzzare le formule con le ncertezze ugual e quete dtano fra loro per non pù d un fattore due o tre. ISTOGRAMMA A volte può eere necearo rappreentare grafcamente una ola varable, per eempo per analzzare la dtrbuzone d frequenze d partcolar grandezze (controllo d produzone). Analzzamo queto problema medante l eguente eempo: Con un cronometro dgtale n grado d apprezzare centem d econdo vengono effettuate 40 mure d perod T che rultano eere (epree n econd): -0:,80,7,74,90,78,7,69,70,73,73-0:,74,69,76,69,77,77,7,74,67,75-30:,79,79,7,77,83,8,73,75,7, :,75,80,75,8,76,79,73,7,76,60 STATISTICA pag.4

15 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Elaborando quet dat ottengono le quanttà: T,40 40 T,748 e,40 (T T) (T) 40 0,0508 Organzzamo ora dat n modo da ottenere una loro rappreentazone che poa fornre maggor nformazon: raggruppamo dat n una dozzna crca d cla (e dat foero dtrbut econdo la curva d Gau - coa che accade peo - la qua totaltà d mure cadrebbe n un ntervallo largo crca 6 devazon tandard; per una buona rappreentazone de dat la larghezza d una clae dovrebbe eere par a mezza devazone tandard). Per far cò conderamo la dfferenza,90 -,60 0,30 fra l mamo e l mnmo valore murat; ogn clae dovrebbe corrpondere qund 0,30 / 0,5 che arrotondamo a 0,30 (n ogn clae c aranno qund 3 pobl valor). Ottenamo pertanto la tabella: le mure ono epree n econd # clae: dal valore:,60,63,66,69,7,75,78,8,84,87,90 al valore:,6,65,68,7,74,77,80,83,86,89,9 valore centrale:,6,64,67,70,73,76,79,8,85,88,9 mure nella clae: e da queta l grafco (togramma o dagramma a baton) eguente: A partre da dat raggruppat n cla ottengono valor appromat: n j, j T j n (T T) j j, T,748 e (T) 0, che, come può notare concdono con l calcolo eatto quando vengono applcate le convenzon ul numero d cfre gnfcatve e decmal. Per queto motvo, una volta che a tato effettuato un raggruppamento n cla, è pù economco utlzzare dat raggruppat per tutt calcol uccev. L'togramma d queto eempo conente d oervare l'andamento gauano delle mure; per confronto è rportata una gauana con m,748 e 0,0507 j STATISTICA pag.5

16 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 TEST DI IPOTESI Le epreon rcavate precedentemente conentono d tmare u bae tattca a raunt d una dtrbuzone d probabltà come l valore atteo o la varanza, a parametr d un andamento funzonale (mnm quadrat). Abbamo ntrodotto anche gl element necear per verfcare la valdtà d alcune pote. Ad eempo, conderando la dtrbuzone t-student, è poble quantfcare la bontà dell'accordo fra la meda artmetca d una ere d mure e l valore atteo m. In queto cao lo carto tandardzzato: t ( m) S () egue una dtrbuzone d Student con - grad d lbertà. Se effettvamente l campone d mure ottenuto rappreenta la grandezza fca n eame, otto l'pote d dtrbuzone gauana degl error caual, l valore della varable t è prevedble u bae tattca. Operatvamente: - tablce un lvello d confdenza - fa l corrpondente ntervallo d confdenza per lo carto t conderando che l numero d mure effettuate ( m) - e l valore t ottenuto calcolando la quanttà cade all'nterno dell'ntervallo d confdenza S () prefato l'eto del confronto è potvo (al lvello d confdenza fato) COFROTO FRA MISURE In generale, però, non è nota la dtrbuzone d probabltà delle varabl aleatore che caratterzzano rultat d mure, anche e peo è appromatvamente gauana; ancor pù peo eegue una ola mura e qund non è poble calcolare una devazone tandard. Cononotante è ancora poble verfcare l'attendbltà della mura rcorrendo alla duguaglanza d Chebychev: ndpendentemente dalla dtrbuzone d probabltà è raro (<0%) che la dfferenza fra l valore ottenuto e l valore vero a uperore a tre volte la devazone tandard [9]. Queta conderazone c permette d confrontare rultat delle mure a con valor d rfermento che fra d loro. Sono ovvamente pobl anche altr tp d confronto qual lo carto aoluto e relatvo fra valor. Eamnamo dver ca: 9 ved PROBABILITÀ: l lvello d confdenza è maggore d -/t ; volendo aumentare la certezza del rultato andrebbe conderato un maggor numero d devazon tandard. Speo, e n partcolare all'nterno d queto coro, condera uffcente un ntervallo d confdenza par a tre devazon tandard STATISTICA pag.6

17 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 COFROTO MISURA VALORE S vuole confrontare la mura ± con l valore m. Se la mura foe rappreentatva del valore vero m e tmae correttamente l'ncertezza aocata alla mura allora: lo carto (aoluto) m dovrebbe eere "pccolo" (quanto?) qualtatvo lo carto relatvo ( - m)/m dovrebbe eere "pccolo" (poch %) qualtatvo la varable t [0] t ( m)/ dovrebbe rultare t < 3 quanttatvo COFROTO MISURA MISURA Se non è dato un valore d rfermento, per confrontare fra loro le mure Se non è dato un valore d rfermento per confrontare fra loro le mure ± e ± occorrerà, a econda del tpo d confronto, tmare l valore m: lo carto (aoluto) dovrebbe eere "pccolo" (quanto?) qualtatvo lo carto relatvo dove + è la mglore tma d m dovrebbe eere "pccolo" (poch %) qualtatvo la varable t n queto cao vene cotruta conderando che la dfferenza - dovrebbe eere nulla e che la mura d - ha un'ncertezza ( - ) + : t dovrebbe rultare t < 3 quanttatvo ( ) Lo carto aoluto, anche e a volte utle, rchede una certa "enbltà" da parte d ch analzza dat per rconocere o meno la compatbltà fra le mure; lo carto relatvo, rapportando lo carto aoluto al valore vero (o alla ua mglore tma), è d pù emplce uo: all'nterno d una partcolare applcazone, un valore percentuale partcolarmente bao o elevato è d facle nterpretazone anche e non condera anche gl effett degl error d mura che poono falare rultat; la varable t quantfca maggormente l gnfcato dello carto fra le mure: e t < 3 gnfca che lo carto è compatble con la preenza de ol error caual (eventual error tematc ono tracurabl rpetto a quell caual); rpetendo pù volte la/e mura/e è poble rdurre, con le opportune mede artmetche, l'enttà degl error ed è poble trovare una rduzone dello carto. Il confronto va conderato potvo e le mure compatbl (concdent) e t > 3 gnfca che lo carto non è compatble con la preenza de ol error caual (ono preent error tematc no n tracurabl); rpetendo pù volte la/e mura/e non è poble rdurre, con le opportune mede artmetche, l'enttà degl error: lo carto è gnfcatvo d una dfferenza fra valor ottenut.. Il confronto va conderato negatvo e le mure non compatbl (dvere) 0 non ete una convenzone ul nome d queta grandezza: peo ndca con z lo carto tandardzzato per una varable gauana e con t una varable d Student. Ho preferto mantenere queto nome per cop mnemonc anche e, a rgore, è corretto olo nel cao d una meda artmetca d mure dtrbute gauanamente. STATISTICA pag.7

18 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 IL TEST DEL χ Vedamo ora come quantfcare la bontà dell'pote che una varable aleatora, della quale ono tate eegute delle mure, egua una partcolare dtrbuzone. Il metodo n eame fonda ulla cotruzone d una varable U che quantfch la dfferenza fra l campone d mure e la dtrbuzone potzzata e egua una dtrbuzone del χ (da qu l nome del tet). Per accettare o rfutare l'pote della partcolare dtrbuzone è qund uffcente controllare e u, l partcolare valore d U ottenuto, cade o meno all'nterno d un opportuno ntervallo d confdenza fato a pror. Perché U abba una dtrbuzone del χ occorre [] che a par alla omma de quadrat d varabl aleatore ndpendent con dtrbuzone gauana, meda nulla e varanza untara: U Σ u. In queto cao potzza d uddvdere l'togramma delle mure effettuate n ν ntervall. Per ogn ntervallo cotruce una n m u (n ) dove n e (n ) rappreentano la frequenza e la devazone tandard della frequenza delle mure nell'ntervallo -mo e m la frequenza attea per l'-mo ntervallo. el dettaglo, le mure che cottucono l campone n eame hanno cacuna una probabltà p d cadere nell'ntervallo -mo e una probabltà -p d eerne fuor; pertanto la frequenza d mure dell'ntervallo -mo egue una dtrbuzone bnomale d parametr e p e qund con valore medo m p e varanza p (-p ). Se po le n eguero una dtrbuzone d Gau allora la varable U n p p ( p ), ν egurebbe una dtrbuzone del χ con ν - grad d lbertà (c'è l vncolo Σ n che rduce d una untà le ν varabl ndpendent). Per ottenere, anche e n modo appromatvo, un andamento gauano occorre ceglere la larghezza, e qund l numero, degl ntervall dell'togramma n modo tale che n ognuno d e cada un numero uffcentemente elevato d mure n tale da conentre l'appromazone bnomale gauana. Ma n elevato ottene con grande o realzzando un togramma con poch canal. In queto cao bogna fare attenzone perché e canal dell'togramma foero troppo poch non arebbe poble rconocere la forma del campone (per eempo nel lmte d o canal non arebbe pù poble dtnguere un andamento eponenzale da uno gauano). on reta ora che determnare le p. Rappreentano la probabltà, come detto, che ha ognuna delle mure, rtenute ndpendent, d cadere nell'ntervallo -mo. Come calcolarle dpende dalla dtrbuzone d probabltà della varable della quale ono tate effettuate le mure: a econda d quale dtrbuzone potzzamo l calcolo delle p produrrà valor dver e qund un dvero valore u d U che quantfcherà un dvero eto per l notro tet. ved PROBABILITÀ STATISTICA pag.8

19 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 U ESEMPIO DELL'USO DEL TEST DEL χ Applchamo l tet del χ per valutare e l procedmento cotruttvo d alcun oggett è tale per cu le loro mae ano dtrbute econdo una gauana. La eguente tabella rporta rultat della mura della maa d 00 oggett [] ; le mure ono tate raggruppate n cla d 00g : #clae ntervallo valore centrale frequenza M [kg] M [kg] n 0,5 M < 0,5 0, 9 0,5 M < 0,35 0,3 3 0,35 M < 0,45 0, ,45 M < 0,55 0, ,55 M < 0,65 0, ,65 M < 0,75 0, ,75 M < 0,85 0,8 5 Calcolamo la meda artmetca e la devazone tandard del campone a partre dalla tabella: 0,477 kg () 0,33 kg. Vedamo e, applcando l tet del χ, rulta che l notro campone è dtrbuto econdo una gauana con parametr par, ad eempo, a M 0,48 kg e 0,3 kg; voglamo coè verfcare e rulta: f(m) (M - 0,48) 0,3 e π 0,3 kg Inzamo qund col calcolare la probabltà p che la v.a. M a comprea nell'ntervallo [0,5 kg; 0,5 kg] che cottuce la prma clae. Integrando la dtrbuzone per tutt valor d maa compre nel prmo ntervallo ha: p 0,5 0,5 e π 0,3 M - 0,48 0,3,77 dm,54 π e z dz ERF(,54) ERF(,77) 0,4945-0,467 0,038 Le 00 mure hanno qund una probabltà del 3,8% d cadere nell'ntervallo [0,5 kg; 0,5 kg] e una probabltà del 96,7% d caderne fuor: amo d fronte ad un proceo bnomale per l quale, n meda, l contenuto d quel canale arà p 00 0,038 6,56 mure. el notro campone, nvece, abbamo nel prmo ntervallo 9 mure; e la notra pote d dtrbuzone gauana con meda 0,48 kg e devazone tandard 0,3 kg foe valda, allora la dfferenza 9 6,56 arebbe da mputare olo a fluttuazon tattche. Lo carto tandardzzato vale qund u : 9 6,56 00x0,038x0,967 0,969. dat ono tat prodott da una mulazone al calcolatore: tratta della meda artmetca d quattro varabl che eguono una dtrbuzone unforme fra 0 e STATISTICA pag.9

20 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Procedendo analogamente per gl altr ntervall ottene: n z z + ERF(z ) ERF(z + ) p p p (-p ) u n p p ( p ) u 9,77,54 0,467 0,4945 0,038 6,56 6, ,969 0,938,00,77 0,343 0,467 0,04 4,08, ,45 0, ,3,00 0,090 0,343 0,503 50,06 37,5998 0,480 0, ,54 0,3 0,054 0,090 0,964 59,8 4, ,73 0, ,3 0,54 0,4049 0,054 0,995 39,90 3, ,575, ,08,3 0,483 0,4049 0,0764 5,8 4,608 0,9 0, ,85,08 0,4978 0,483 0,065 3,30 3, ,943 0, ,993 5,33 Come può notare Σp < 00%; nfatt poché la curva d Gau etende fno all'nfnto, è ovvo che la probabltà che una mura cada nella zona coperta dal notro campone a nferore all'untà. n p La omma de quadrat degl cart tandardzzat u p ( p appromazon vte, una dtrbuzone del χ con ν - 6 grad d lbertà., ν ) egue, con le Se ceglamo un ntervallo d confdenza E(χ ) ± (χ ) 6 ± [,54; 9,46], dato che l valore u trovato (5,33) cade nell'ntervallo, poamo concludere che l notro campone egue una dtrbuzone gauana con meda 0,48 kg e devazone tandard 0,3 kg. C aremmo però potut chedere e l campone de dat ottenuto egue una dtrbuzone gauana, enza eplctare valor della meda e della varanza. In queto cao la varable U avrebbe dovuto quantfcare l'accordo fra l campone d mure e una dtrbuzone gauana con meda par alla meda artmetca delle mure e devazone tandard par alla devazone tandard permentale e qund l calcolo delle p arebbe baato ulla: f(m) π (M - ) () e () L'uo, nell'epreone della dentà d probabltà, delle formule della meda artmetca e della devazone tandard permentale avrebbe rdotto a 4 l numero de grad d lbertà portando ad un ntervallo d confdenza par a 4 ± 8 [,7; 6,83] nel quale, tuttava, n queto eempo ancora cade l valore d U trovato. IL METODO DEL χ MIIMO Il tet del χ può eere utlzzato anche per determnare quale a la dtrbuzone madre d un campone d mure. In queto cao vene potzzata una dtrbuzone della v.a. nota a meno d parametr q j : f(x; q, q,..., q K ) In queto cao parametr poono eere a de raunt d una dtrbuzone, a pù n generale de coeffcent che ndcano per eempo la frazone d dtrbuzone che è unforme, quella che è eponenzale e quella che è gauana. È compto dello permentatore ceglere, ulla bae della conocenza del problema n eame, gl ngredent della "mcela". STATISTICA pag.0

21 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Qund varano K parametr fno a trovare quel loro neme d valor per l quale è mnma la n p quanttà U(q, q,..., q K ) dove p p (q, q,..., q K ) p ( p ), ν La mnmzzazone corrponde alla mglore appromazone della dtrbuzone potzzata al campone (mnor dtanza fra l contenuto de canal dell'togramma e l valore atteo n bae alla dtrbuzone potzzata). Trovato l'neme de K parametr corrpondente al mnmo (le quanttà de dver ngredent nella mcela) può applcare ancora una volta l tet del χ per quantfcare la bontà dell'appromazone. In queto cao, però, ogn parametro che è tato utlzzato durante la mnmzzazone dmnuce d una untà l numero d v.a. ndpendent e qund l confronto andrà effettuato con una dtrbuzone del χ con ν - - K grad d lbertà. Ovvamente data la completà de calcol queto metodo rchede l'uo d un calcolatore, ma è un metodo molto potente e largamente utlzzato perché produce rultat notevol a partre da care conocenze del tema (e, ovvamente, da un nutrto campone d mure). STATISTICA pag.

22 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 STIMA DELLE ICERTEZZE el 993 l'organzzazone Internazonale per la Standardzzazone (ISO) ha pubblcato ( ) una "Guda all'epreone dell'ncertezza d mura" baata ulle raccomandazon dell'uffco Internazonale d Pe e Mure (BIPM). La Guda raume fondament teorc, le defnzon e le procedure elaborate dalle pù autorevol organzzazon mondal d metrologa: BIPM Bureau Internatonal de Pod et Meure IEC Internatonal Electrotechncal Common IFCC Internatonal Federaton of Clncal Chemtry ISO Internatonal Organzaton for Standardzaton IUPAC Internatonal Unon of Pure and Appled Chemtry IUPAP Internatonal Unon of Pure and Appled Phyc OIML Internatonal Organzaton of Legal Metrology Adercono all'nzatva anche altr ttut nazonal afflat come, ad eempo: DI (D) Deutche Inttut fur ormung IST (USA) atonal Inttute of Standard and Technology UI (I) Ente Italano per l'unfcazone ) The uncertanty n the reult of a meaurement generally cont of everal component whch may be grouped nto two categore accordng to the way n whch ther numercal value etmated: A: thoe whch are evaluated by tattcal method B: thoe whch are evaluated by other mean. There not alway a mple correpondence between the clafcaton nto categore A or B and the prevouly ued clafcaton nto "random" and "ytematc" uncertante. The term "ytematc uncertanty" can be mleadng and hould be avoded. ) The component n category A are characterzed by the etmated varance or the etmated "tandard devaton" and the number of degree of freedom. 3) The component n category B hould be characterzed by quantte whch may be condered a approxmaton to the correpondng varance, the extence of whch aumed. 4) The combned uncertanty hould be characterzed by the numercal value obtaned by applyng the uual method for the combnaton of varance. The combned uncertanty and t component hould be expreed n the form of "tandard devaton". 5) If, for a partcular applcaton, t neceary to multply the combned uncertanty by a factor to obtan an overall uncertanty, the multplyng factor ued mut alway be tated. For etmate of an nput quantty that ha not been obtaned from repeated obervaton, the tandard uncertanty evaluated by centfc judgement baed on all the avalable nformaton on the poble varablty of. The pool of nformaton may nclude: - prevou meaurement data; - experence wth or general knowledge of the behavour and properte of relevant materal and ntrument; - manufacturer' pecfcaton; - data provded n calbraton and other certfcate; - uncertante agned to reference data taken from handbook. Internatonal Organzaton for Standardzaton (ISO), "Gude to the expreon of uncertanty n meaurement", Geneva, Swtzerland, 993. STATISTICA pag.

23 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 noltre Lo copo d ogn murazone è la determnazone del valore vero d un murando M. Le mperfezon degl trument, le varazon delle condzon ambental e l'nfluenza dell'oervatore (nonché uo bagl) provocano error d mura. E ono l motvo per cu non è poble trovare l valore vero M. S aume che valor x ottenut da dvere murazon ndvdual d una ere d murazon altro non ono che le determnazon d una varable cauale. Queta varable aleatora obbedce ad una dtrbuzone d probabltà caratterzzata n partcolare da due parametr che ono l valore atteo m e la devazone tandard. In aenza d error tematc l valore atteo m concde col valore vero M del murando. La devazone tandard è una mura della varabltà, per va dell'errore cauale, d un ngolo valore murato dal valore atteo del murando. I parametr m e della dtrbuzone d probabltà non ono generalmente not. Il problema conte nel determnare delle loro tme a partre da una ere d murazon. Uualmente per la tma d m utlzza la meda artmetca e per quella d utlzza la devazone tandard permentale. Poché valor murat ono realzzazon d una varable aleatora, fluttuerà tattcamente ntorno a m e ntorno a. Sulla bae delle aunzon rguardant l tpo d dtrbuzone (peo aumerà quella gauana) con l'auto de valor e ( ) è poble determnare un ntervallo d confdenza all'nterno del quale è contenuto, con un lvello d confdenza fato, l valore m. Gl effett not degl error tematc vengono elmnat applcando correzon. Per gl altr, conocut, un approcco per la loro rduzone conte nell'allargamento dell'ntervallo d confdenza n bae alle aunzon applcabl al tpo d murazone effettuata. Adattato dalle norme DI 39 parte 3 pertanto [3] : l'ncertezza da aocare ad ogn mura può eere: 3 anzché rportare accuratamente tutta la normatva relatva al trattamento de dat permental ho preferto relaborarla prendendone olo alcun element e adattandol a contenut del coro. L'arbtraretà (e n alcun ca, purtroppo, anche la uperfcaltà) d queta operazone non rende empre utlzzable l materale per cop profeonal ma a volte ho preferto acrfcare l rgore formale all'effcaca ddattca. Me ne cuo con profeont e gl operator del ettore. Gl tudent ntereat poono contattarm per conocere la documentazone orgnale STATISTICA pag.3

24 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 ICERTEZZE DI TIPO A Sono quelle ottenute a partre dalla devazon tandard permentale della meda artmetca: che quantfca quanto bene tm l valore atteo m della grandezza fca : () (), (x ) ( ) In bae al teorema del lmte centrale è anche poble conocere la dtrbuzone d probabltà della meda artmetca: la curva d Gau con meda par al valore vero m e devazone tandard par a. Pertanto e l valore vero d una mura è m e l'enttà degl error caual è, c apetta che la meda artmetca d mure a comprea nel 68% de ca nell'ntervallo ntervallo d confdenza [4] : m ;m +. Inverone: con un lvello d confdenza del 68% ha che: m - m + che corrponde alle duguaglanze: - m +. Dopo queta nverone può tablre che l valore vero m è all'nterno dell'ntervallo: [ (); + ()] pertanto: uualmente [5] l rultato d una ere d mure vene epreo da: x ± () ndcando n queto modo che con alta probabltà l valore vero cercato è compreo nell'ntervallo: (); + ()] [ È charo qund perché, per rdurre l'effetto degl error caual, a uffcente aumentare (coè rpetere pù volte la mura della tea grandezza): n queto modo rduce la larghezza dell'ntervallo d confdenza () /. Ovvamente () non dpende da : rpetendo la mura determna meglo la forma della dtrbuzone d probabltà della ma non la altera; è l meccanmo d compenazone nto nella omma degl cart che rduce l'enttà redua degl error caual nella meda artmetca rducendo (). 4 perché è confdent che con un lvello d confdenza del 68% l valore cercato è all'nterno dell'ntervallo 5 per motv d tempo talora tramette l'nformazone relatva all'ncertezza delle mure utlzzando un opportuno numero d cfre gnfcate p.e. quello determnato dalla enbltà della trumentazone utlzzata. STATISTICA pag.4

25 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 Il numero d oervazon deve eere uffcentemente elevato non tanto affnché a una tma affdable d m (batano 4-5 mure) ma oprattutto perché () a una tma affdable della devazone tandard. Infatt e la v.a. è gauana può appromatvamente rtenere che ( ) ( ) (coè e 5, 0, 0 l'ncertezza relatva della tma d vale 35%, 4%, 6%). Bogna qund tener conto della dfferenza fra () e () quando calcolano lvell d confdenza: e la dtrbuzone d probabltà d è normale (gauana) della dfferenza fra la devazone tandard e la ua tma tene conto la dtrbuzone t-student. Tuttava e è dtrbuta gauanamente (e peo lo è) gà con olo 5 mure c'è una probabltà d crca l 90% che x a compreo nell'ntervallo (); ()]. [ + ICERTEZZE DI TIPO B non ono ottenute come devazone tandard permental della meda artmetca. Se data una grandezza vene eeguta una ola murazone ottenendo l valore x l'ncertezza da aocare a x come tma d non può eere rcavata dall'unca mura a dpozone ma dalla conocenza delle carattertche degl trument utlzzat o (n loro aenza) d rultat precedent eegut nelle tee condzon e con gl te trument. Se non c'è una conocenza pecfca della dtrbuzone d all'nterno d un certo ntervallo, può olo aumere che ea a cotante nell'ntervallo e nulla all'eterno (dtrbuzone unforme) [6]. In queto cao la devazone tandard è par a volte la larghezza dell'ntervallo (p. e. 0,9 volte la dvone ulla cala dello trumento o l'ntervallo defnto da una tolleranza). IL RISULTATO DI UA MISURA PUÒ ESSERE ESPRESSO EI SEGUETI MODI: - m (00,0 47 ± 0, ) g - m 00,0 47 (35) g - m 00,0 47 (0,000 35) g - m 00,0 47 g con 0,35 mg - m 00,0 g All'nterno d queto coro verrà preferta la prma modaltà; la terza e la quarta ono caramente dffue; l'ultma vene vetata (per motv ddattc) all'nterno d queto coro ma è dffuma ne ettor n cu l'ncertezza delle mura non rvete un ruolo crtco. 6 otare che, nel cao non a nota la dtrbuzone d all'nterno dell'ntervallo che ne contene "tutt" valor, l'aunzone d una dtrbuzone unforme mplca che la devazone tandard è par a volte l'ntervallo mentre una dtrbuzone normale, appromando l lvello del 99,73% al 00%, mplca una devazone tandard par a 6 dell'ntervallo. La dfferenza è tracurable e pena a quanta nformazone è neceara per gutfcare l'una anzché l'altra. STATISTICA pag.5

26 LABORATORIO DI FISICA - IGEGERIA "La Sapenza" gennao 003 ESEMPIO Vengono eegute 0 mure ndpendent della temperatura t (n "gergo": vene etratto caualmente dalla popolazone madre un campone d 0 ndvdu). Tal valor ono rportat nella eguente tabella raggruppat n ntervall d C per ottenere un togramma (la preparazone d un togramma non è necearo per l'anal tattca de dat ma, come detto, è utle per vualzzare l'andamento de dat). t ( C) t ( C) t ( C) con t t < t 94,5 95,5-95,5 96,5-96,5 97,5 96,90 97,5 98,5 98,8; 98,5 98,5 99,5 98,6; 99,03; 99,49 99,5 00,5 99,56; 99,74; 99,89; 00,07; 00,33; 00,4 00,5 0,5 00,68; 00,95; 0,; 0,0 0,5 0,5 0,57; 0,84; 0,36 0,5 03,5 0,7 03,5 04,5-04,5 05,5 - La meda artmetca delle 0 oervazon è t 00,45 C (mglor tma del valor medo d t); la devazone tandard permentale è par a,489 C (ncertezza aocata ad una mura d t) e la devazone tandard permentale della meda artmetca è par a 0,333 C (ncertezza aocata alla mura della meda artmetca); pertanto t (00, ±,5) C e t (00,5 ± 0,33) C (ncertezza d tpo A) Se l'unca nformazone a dpozone foe tata che una murazone aveva fornto l valore 00,5 C e che n generale la temperatura era comprea fra due valor 96 C e 04 C, la tma della devazone tandard arebbe tata 8 C /,3 C; pertanto t t (00,5 ±,3) C (ncertezza d tpo B). Se nvece foero tate ottenute le due mure 96 C e 04 C arebbe ottenuta la meda artmetca t 00 C, la devazone tandard permentale 5,7 C e quella della meda artmetca [7] 4,0 C. Pertanto t (00,0 ± 5,7) C e t (00,0 ± 4,0) C (ncertezza d tpo A) 7 è truttvo dmotrare che date le mure x e x la devazone tandard permentale della loro meda artmetca vale x -x /, coè la metà della loro dtanza (em-dperone mama)... provate STATISTICA pag.6