Misure di tendenza centrale e di dispersione in MINITAB

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1 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 55 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 3. Itroduzioe A questo puto è opportuo focalizzare l attezioe su alcue fuzioi di MINITAB che risultao di particolare iteresse per l aalisi dei dati sperimetali. Si è già visto come creare dei vettori coloa, e soo già stati descritti i diversi metodi per estrarre dei sub-set da u isieme geerale di dati. Di seguito soo riportate alcue fuzioi dispoibili el calcolatore di MINITAB, che lavorao su u vettore el suo isieme. Si ricorda che per attivare la cartella del calcolatore è ecessario eseguire le segueti operazioi: dal meu pricipale scegliere Calc Calculator. Fuzioi: COUNT (x) : restituisce il umero di elemeti del vettore x; MAX (x) : restituisce il massimo elemeto del vettore x; MEAN(x) : restituisce la media dei valori del vettore x; MEDI(x) : restituisce la mediaa dei valori del vettore x; MIN (x) : restituisce il miimo elemeto del vettore x; STDEV (x) : restituisce la deviazioe stadard dei valori del vettore x; SUM (x) : restituisce la somma degli elemeti del vettore x; PARS (x) : restituisce il vettore dato dalle somme parziali, ossia il k-esimo elemeto è dato dalla somma dei primi k elemeti del vettore x; PARP (x) : restituisce il vettore dato dai prodotti parziali, ossia il k-esimo elemeto è dato dal prodotto dei primi k elemeti del vettore x. 3. Misure di tedeza cetrale (idici di posizioe) Di seguito, tramite l utilizzo di alcui esempi applicativi, soo descritte le procedure per il calcolo dei pricipali idici di posizioe co l utilizzo di MINITAB. 3.. Media aritmetica Si cosideri il file massa.mtw. Esso cotiee i dati relativi alla massa (i kg) di 4 pacchi di zucchero di u determiato lotto di produzioe: Questi dati soo coteuti ella coloa C (massa). Idicado co il umero di elemeti el campioe, la media aritmetica di quest ultimo è data da:

2 56 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB x = x i i= Co MINITAB è possibile calcolare questa espressioe co i segueti passaggi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C. 3) Alla voce Expressio, digitare: SUM('massa') / COUNT('massa'). Il risultato (0,4 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome media. Lo stesso valore si può otteere attraverso la fuzioe MEAN: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C. 3) Alla voce Expressio, digitare: MEAN('massa'). 3.. Media geometrica La media geometrica è defiita come: x g = x i i= Cosiderado i valori del file massa.mtw co MINITAB è possibile calcolare questa espressioe co i segueti passaggi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C3. 3) Alla voce Expressio, digitare: (MAX(PARP('massa'))**(/COUNT('massa'))). Il risultato (0,4 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C3. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome media geometrica Media armoica La media armoica è data da: x a = i= x i Cosiderado i valori del file massa.mtw co MINITAB è possibile calcolare questa espressioe co i segueti passaggi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C4. 3) Alla voce Expressio, digitare: COUNT('massa') / SUM((/'massa')).

3 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 57 Il risultato (0,4 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C4. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome media armoica. La media armoica è sempre iferiore alla media geometrica (la quale a sua volta è iferiore alla media aritmetica), l uguagliaza che compare è dovuta all arrotodameto effettuato Mediaa Cosiderado i valori del file massa.mtw co MINITAB è possibile calcolare la mediaa co i segueti passaggi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C5. 3) Alla voce Expressio, digitare: MEDI('massa'). Il risultato (0,4 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C5. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome mediaa Frattili I frattili possoo essere automaticamete calcolati utilizzado le opzioi del Grafico di Probabilità Normale. A tal fie (co i dati del file massa.mtw ) è ecessario eseguire le segueti operazioi: ) Scegliere Graph Probability Plot. ) Selezioare la coloa C (massa). 3) Alla voce Distributio, scegliere Normal. 4) Cliccare su Optios. 5) Selezioare le voci Maximum Likelihood, Default method, All poits, Display table of percetile estimates, Iclude cofidece itervals i plot. 6) Alla voce Estimate the followig percetiles (i additio to defaults), digitare i frattili che si itedoo visualizzare (se o si digita ulla vegoo comuque riportati i valori dei 99 frattili da a 99, altrimeti, i aggiuta ai frattili di default, si ottegoo quelli richiesti). 7) Alla voce Title, digitare il titolo del grafico (ad es. GPN). 8) Cliccare su OK. 9) Cliccare su OK. Comparirà il grafico riportato i Fig. e ella fiestra sessioe si otterrà la seguete tabella: Distributio Fuctio Aalysis Normal Dist. Parameter Estimates (ML) Variable: massa Mea.4 StDev Goodess of Fit Aderso-Darlig (adjusted) =.85 Percetile Estimates

4 58 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 95% CI 95% CI Approximate Approximate Percet Percetile Lower Limit Upper Limit Fig. Grafico di Probabilità Normale (GPN) otteuto co i dati del file massa.mtw.

5 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 59 Osservado i risultati riportati ella fiestra sessioe ci si accorge che, oltre ai valori relativi ai frattili, soo riportati altri idici statistici, quali, ad esempio, la media e la deviazioe stadard Moda La moda è quel valore, o ecessariamete uico, che si maifesta co la massima frequeza. Per calcolarlo è ecessario calcolare il vettore delle frequeze assolute, idividuare il massimo e la relativa posizioe (o ecessariamete uica) ed ifie estrarre gli elemeti associati a tali posizioi. Cosiderado i valori del file massa.mtw, co MINITAB è possibile calcolare la moda co i segueti passaggi: ) Scegliere Stat Tables Tally. ) Selezioare la variabile C (massa). 3) Selezioare la voce Couts. Nella fiestra sessioe comparirà ua coloa co i valori ed ua coloa co le relative frequeze (la stessa operazioe può essere effettuata scegliedo Stat Tables Cross Tabulatio e operado i maiera aaloga, come descritto el capitolo riguardate i metodi grafici o i quello riguardate i metodi di aalisi dei dati). 5) Copiare le due coloe rispettivamete elle coloe C6 e C7. 6) Scegliere Calc Calculator. 7) Alla voce Store result i variable, scegliere C8. 8) Alla voce Expressio, digitare: MAX(C7). 9) Cliccare su OK. Nella coloa C8 compare il valore della massima frequeza assoluta: 7. 0) Evideziare la coloa C7. ) Scegliere Editor Fid. ) Alla voce Fid what, digitare 7. 3) Cliccare sul bottoe Fid Next. I questo modo MINITAB troverà tutti i valori pari a 7 ella coloa C7, il corrispodete valore (o valori) ella coloa C6 ci permetterà di idividuare la posizioe del massimo (o dei massimi). Si ottiee il risultato: 0,4 kg. Questo può essere riportato ella prima cella della coloa C9. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome moda. 3.3 Misure di dispersioe Di seguito, tramite l utilizzo di alcui esempi applicativi, soo descritte le procedure per il calcolo dei pricipali idici di dispersioe co l utilizzo di MINITAB Valor medio delle deviazioi dalla media Il valor medio delle deviazioi dei sigoli elemeti del campioe dalla loro media è dato da: i= ( x i x) Cosiderado i valori del file massa.mtw, co MINITAB è ecessario compiere i segueti passi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C0. 3) Alla voce Expressio, digitare: (SUM('massa'-MEAN('massa'))) / COUNT('massa').

6 60 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB Il risultato (4, kg) viee riportato ella prima cella della coloa C0. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome media delle deviazioi. Il valore otteuto o è esattamete ullo, come ci si sarebbe aspettato, a causa delle approssimazioi effettuate Valor medio dei valori assoluti delle deviazioi dalla media La media dei valori assoluti delle deviazioi dei sigoli elemeti del campioe dalla loro media (o, semplicemete, la deviazioe media ) è data da: i= x i x Cosiderado i valori del file massa.mtw, co MINITAB è ecessario compiere i segueti passi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C. 3) Alla voce Expressio, digitare: (SUM(ABSO('massa'-MEAN('massa')))) / COUNT('massa'). Il risultato (0,00 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome deviazioe media Media dei quadrati delle deviazioi dalla media Altra misura di dispersioe è la media dei quadrati delle deviazioi dei sigoli elemeti del campioe dalla loro media, defiita come variaza del campioe s c, data da: s = c i= ( x x) i I alterativa si può usare la radice quadrata del valore precedete, idicata co s c e detta scarto quadratico medio del campioe: s c = i= ( x x) i Per otteere questi valori relativamete ai dati del file massa.mtw, co MINITAB è ecessario eseguire le segueti operazioi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C. 3) Alla voce Expressio, digitare: (SUM(('massa'-MEAN('massa'))**)) / COUNT('massa'). e, per lo scarto quadratico medio: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C3. 3) Alla voce Expressio, digitare: SQRT((SUM(('massa'-MEAN('massa'))**)) / COUNT('massa')).

7 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 6 I due risultati (, kg e 0,0058 kg) vegoo rispettivamete riportati ella prima cella della coloa C e ella prima cella della coloa C3. Voledo, è possibile omiare queste coloe rispettivamete co i omi variaza del campioe e scarto quadratico medio del campioe Variaza e deviazioe stadard (o scarto tipo) Gli idicatori di dispersioe usati per fare delle ifereze sulla dispersioe della popolazioe di proveieza del campioe soo lo stimatore della variaza s e dello scarto tipo s, defiiti come: s = i= ( x i x) s = i= ( x i x). Facedo riferimeto ai valori del file massa.mtw, co MINITAB è possibile calcolare automaticamete la stima dello scarto tipo: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C4. 3) Alla voce Expressio, digitare: STDEV('massa'). Il risultato (0,0085 kg) viee riportato ella prima cella della coloa C4, voledo, è possibile omiare questa coloa col ome scarto tipo. Co MINITAB la stima della variaza può essere calcolata i due modi: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C5. 3) Alla voce Expressio, digitare: (SUM(('massa'-MEAN('massa'))**)) / (COUNT('massa')-). oppure ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C5. 3) Alla voce Expressio, digitare: STDEV('massa')**. Il risultato (,650-6 kg ) viee riportato ella prima cella della coloa C5. Voledo, è possibile omiare questa coloa col ome variaza Coefficiete di variazioe del campioe Il coefficiete di variazioe del campioe è dato dal rapporto tra lo scarto quadratico medio del campioe e la media aritmetica. Facedo riferimeto ai valori del file massa.mtw, co MINITAB: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C6. 3) Alla voce Expressio, digitare: 'scarto quadratico medio del campioe' / 'media'. Si ottiee il valore 0,0003.

8 6 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB Escursioe o rage L escursioe (o rage) è data dalla differeza tra il valore massimo ed il valore miimo dei dati del campioe. Facedo riferimeto ai valori del file massa.mtw, co MINITAB: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C7. 3) Alla voce Expressio, digitare: MAX('massa')-MIN('massa'). Si ottiee il valore 0, Uso del boxplot per defiire gli idici di posizioe e di dispersioe Alcui dei parametri descritti soo riassuti ella rappresetazioe grafica chiamata boxplot (Fig. ), che (facedo riferimeto ai dati del file massa.mtw ) può essere eseguita co MINITAB el modo seguete: ) Scegliere Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics. ) Iserire la variabile C (massa). 3) Cliccare sul bottoe Graphs. 4) Selezioare la voce Boxplot of data. 5) Cliccare su OK. 6) Cliccare su OK. Fig. Boxplot otteuto co i dati del file massa.mtw.

9 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 63 I valori riportati el boxplot soo gli estremi ed i tre quatili del campioe (vegoo, ioltre, evideziati evetuali outliers). Nell esempio esamiato o compaioo outliers. Se si aalizzao, ivece, i valori riportati ella coloa C del file massa-bis.mtw, coteete i dati relativi alla massa (i kg) di 4 pacchi di zucchero di u lotto di produzioe diverso da quello dell esempio precedete: si ottiee il boxplot riportato i Fig. 3. E possibile otare due outliers (evideziati co degli asterischi), uo corrispodete al valore.35 kg e l altro al valore.45 kg. Fig. 3 Boxplot otteuto co i dati del file massa-bis.mtw.

10 64 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 3.5 Media e variaza di u miscuglio Le misure di tedeza cetrale e di dispersioe possoo essere calcolate ache per dati raccolti i classi o gruppi (quidi si ottegoo la media e la variaza totale o di u miscuglio). Si utilizzi il file piselli.mtw che cotiee i segueti dati, relativi alle rese di ua coltivazioe di piselli otteute usado quattro fertilizzati diversi: Campo Fertil. Fertil. Fertil.3 Fertil.4 Totale Totale I fertilizzati soo stati affidati ad u coltivatore co la richiesta di trattare co essi il terreo dei suoi 5 campi; oguo di questi viee diviso i 4 appezzameti, e trattato co uo dei 4 fertilizzati. Semiati i piselli, al mometo del raccolto viee pesato il quatitativo raccolto, espresso i kg/m, per ciascuo degli appezzameti e per ciascu fertilizzate utilizzato. Si idichi co x ij l'osservazioe i-esima del gruppo (fertilizzate) j-esimo, co j il umero di elemeti del gruppo j-esimo, co x j la media del gruppo j-esimo, co k il umero dei gruppi e co il umero totale di osservazioi, allora è possibile calcolare la media aritmetica e la variaza del miscuglio. Come prima cosa, è ecessario aprire il file piselli.mtw che preseta il seguete foglio di lavoro: Quidi, utilizzado i dati riportati el foglio di lavoro, è possibile calcolare: le medie x j e le umerosità dei gruppi j : Co MINITAB: ) Scegliere Maip Traspose Colums.

11 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 65 ) Alla voce Traspose the followig colums:, selezioare le coloe C, C3, C4 e C5. 3) Cliccare su OK. Comparirà il seguete foglio di lavoro: 4) Scegliere Calc Calculator. 5) Alla voce Store result i variable, scegliere C7. 6) Alla voce Expressio, digitare: RMEAN(C;C3;C4;C5;C6). 7) Cliccare su OK. Nella coloa C7 comparirao le medie x = 6.40, x 3= 6.0, x 4 = x j relative ad ogi gruppo (fertilizzate): x = 6.00, 8) Scegliere Calc Calculator. 9) Alla voce Store result i variable, scegliere C8. 0) Alla voce Expressio, digitare: RCOUNT(C;C3;C4;C5;C6). ) Cliccare su OK. Nella coloa C8 comparirao i umeri di elemeti j di ogi gruppo (fertilizzate): el caso specifico si ha 5 per ogi gruppo. la media aritmetica del miscuglio: x = k j= j x j Co MINITAB: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C9. 3) Alla voce Expressio, digitare: SUM(C7*C8) / SUM(C8). Il risultato (6,) viee riportato ella prima cella della coloa C9. la variaza del miscuglio s : s = s W + s B

12 66 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB ossia s k = j s j j= + k j= j x j x dove s W è la variaza itera ai gruppi e s B è la variaza tra i gruppi. Co MINITAB: ) Scegliere Calc Calculator. ) Alla voce Store result i variable, scegliere C0. 3) Alla voce Expressio, digitare: ((RSTDEV(C;C3;C4;C5;C6))**)*(C8-)/C8. Nella coloa C0 comparirao le variaze campioarie s j relative ad ogi gruppo (fertilizzate): s =.80, s = 3.05, s 3 =.684, s 4 =.74. 5) Scegliere Calc Calculator. 6) Alla voce Store result i variable, scegliere C. 7) Alla voce Expressio, digitare: SUM(C8*C0)/SUM(C8). 8) Cliccare su OK. Il risultato (.658) viee riportato ella prima cella della coloa C e rappreseta la variaza itera ai gruppi s W. 9) Scegliere Calc Calculator. 0) Alla voce Store result i variable, scegliere C. ) Alla voce Expressio, digitare: SUM(C8*(C7-6,)**)/SUM(C8). ) Cliccare su OK. Il risultato (0.073) viee riportato ella prima cella della coloa C e rappreseta la variaza tra i gruppi s B. 3) Scegliere Calc Calculator. 4) Alla voce Store result i variable, scegliere C3. 5) Alla voce Expressio, digitare: C+C. 6) Cliccare su OK. Il risultato (.685) viee riportato ella prima cella della coloa C3 e rappreseta la variaza del miscuglio s. Si oti che i due termii s W e s B rappresetao rispettivamete la variabilità aturale e la variaza delle medie dei sigoli gruppi rispetto alla media geerale. Ifatti il modo di procedere appea descritto è aalogo a quello che si adotta ell'aalisi della Variaza (ANOVA), che permette di gestire i forma globale, secodo u rigoroso schema logico, l'isieme delle iformazioi coteute i u campioe strutturato, i termii sia di tedeze cetrali sia di dispersioi.

13 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 67 Co MINITAB l'anova può essere automaticamete effettuata tramite il comado Stat Aova, per u uso approfodito del quale si rimada alle guide i liea del software. 3.6 Cosiderazioi coclusive Tutte le operazioi precedetemete elecate rappresetao u esempio dei possibili modi che MINITAB offre per effettuare l aalisi statistica dei dati sperimetali. Di seguito, i aggiuta a tutto ciò che è stato già descritto ei capitoli precedeti, soo riportate alcue operazioi di statistica descrittiva, che cosetoo di estrarre i maiera automatica le pricipali iformazioi relative ad u determiato set di dati. Si cosideri il file tempo.mtw, che cotiee i dati relativi al tempo impiegato (i miuti) i u Cetro di Assisteza e Mautezioe per l acquisizioe i u ordie: Parametri statistici di u set di dati riportati i ua coloa ) Scegliere Calc Colum Statistics. ) Alla voce Iput variable, scegliere la coloa da aalizzare, el caso i esame, C (tempo). 3) La voce (opzioale) Store result i (optioal) permette di salvare il risultato i ua costate del foglio di lavoro. 4) Selezioare le voce relativa al parametro che si vuole calcolare [somma, media, deviazioe stadard, miimo, massimo, rage, mediaa, somma dei quadrati, umero totale di dati, umero di dati macati caselle vuote, umero di dati escluse le caselle vuote] (è possibile selezioare ua sola alla volta). 5) Cliccare su OK. MINITAB forisce il risultato ella fiestra sessioe. Co i valori del file tempo.mtw si ottegoo i segueti risultati: Sum of Tempo Sum of Tempo = Mea of Tempo Mea of Tempo = Stadard Deviatio of Tempo Stadard deviatio of Tempo =.753

14 68 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB Miimum of Tempo Miimum of Tempo = Maximum of Tempo Maximum of Tempo = 5.99 Rage of Tempo Rage of Tempo =.790 Media of Tempo Media of Tempo = 9.78 Sum of Squares of Tempo Sum of squares (ucorrected) of Tempo = 0304 Number of Rows i Tempo Total umber of observatios i Tempo = 00 Number of Nomissigs i Tempo Number of omissig i Tempo = 00 Number of Missigs i Tempo Number of missig i Tempo = 0 Statistica descrittiva di uo o più set di dati (i forma grafica) ) Scegliere Stat Basic Statistics Disply Descriptive Statistics. ) Alla voce Variables, scegliere le coloe da aalizzare, el caso i esame, C (tempo). 3) Selezioare la voce By variable, se si voglioo aalizzare dei sub-set della variabile scelta (o delle variabili scelte) i base a valori assuti da ua variabile driver. 4) Cliccare sul bottoe Graphs. 5) Scegliere il tipo di aalisi che si desidera (è possibile selezioare tutte le aalisi cotemporaeamete). Particolarmete iteressate può essere l ultima voce, che forisce u riassuto geerale dei pricipali parametri della distribuzioe dei dati, tra i quali: media, deviazioe stadard, umero di dati, valore miimo, valore massimo, quartile, 3 quartile, mediaa, il box-plot e l istogramma cofrotato co ua distribuzioe gaussiaa teorica. 6) Evetualmete, defiire il livello di fiducia alla voce Cofidece level. 7) Cliccare su OK. 8) Cliccare su OK. Co i valori del file tempo.mtw selezioado la voce Graphical summary co u livello di fiducia del 95%, si ottiee il grafico i Fig. 4:

15 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB 69 Fig. 4 Grafico riassutivo otteuto co l aalisi statistica dei dati del file tempo.mtw. Statistica descrittiva di uo o più set di dati (sotto forma di dati che possoo essere copiati) ) Scegliere Stat Basic Statistics Store Descriptive Statistics. ) Alla voce Variables, scegliere le coloe da aalizzare, el caso i esame, C (tempo). 3) Selezioare la voce By variables, se si voglioo aalizzare dei sub-set della variabile scelta (o delle variabili scelte) i base a valori assuti da ua variabile (o più variabili) driver. 4) Cliccare sul bottoe Statistics. 5) Scegliere il tipo di aalisi che si desidera (è possibile selezioare tutte le aalisi cotemporaeamete). I risultati sarao riportati oguo ella prima casella di ua coloa, a partire dalla prima coloa libera el foglio di lavoro. 6) Cliccare su OK. 7) Cliccare su OK. Co i valori del file tempo.mtw selezioado tutte le opzioi alla voce Statistics si ottiee il risultato i Fig. 5:

16 70 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB Fig. 5 Risultati otteuti co l aalisi statistica dei dati del file tempo.mtw co il comado Store Descriptive Statistics. Calcolo delle frequeze ) Scegliere Stat Tables Tally. ) Alla voce Variables, scegliere le coloe da aalizzare, el caso i esame, C (tempo). 3) Sotto la voce Display selezioare la voce relativa al tipo di aalisi che si vuole. Il risultato sarà riportato ella fiestra sessioe. Co i valori del file tempo.mtw selezioado le opzioi Couts, Percets, Cumulative couts e Cumulative percets alla voce Display, si ottegoo i segueti risultati: Tally for Discrete Variables: Tempo Tempo Cout CumCt Percet CumPct

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18 7 Misure di tedeza cetrale e di dispersioe i MINITAB N= 00