ERRORE. L'ORIGINE RIFERIMENTO NON È STATA TROVATA.

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1 ERRORE. L'ORIGINE RIFERIMENTO NON È STATA TROVATA. 1. INTRODUZIONE Inquaramento ella problematca. Le strutture realzzate con l sstema msto accao-calcestruzzo s affancano a quelle n accao e n cemento armato rappresentano, a secona e vers element struttural, un evoluzone elle prme o una vala alternatva alle secone. Gl element struttural che possono essere realzzat secono l sstema n questone sono essenzalmente: - solette composte a una lamera grecata su cu s effettua un getto calcestruzzo armato superormente con una rete metallca (Fgura 1.1a); - colonne composte a uno o pù proflat (tpcamente el tpo HE) completamente nsert n un getto calcestruzzo (ne esstono anche altr tp realzzat rempeno un proflato a sezone chusa con un getto calcestruzzo) (Fgura 1.1b); - trav composte a un proflato metallco e a una soletta n calcestruzzo armato (eventualmente realzzata utlzzano una lamera grecata con funzone cassaforma a perere) (Fgura 1.1c); a) b) c) Fgura 1.1: alcun element struttural tpo msto accao-calcestruzzo. L utlzzazone el sstema composto accao-calcestruzzo per le trav è senz altro pù ffusa rspetto a quella e ue element struttural brevemente escrtt sopra. Infatt, poché le trav sono element essenzalmente nfless, l rcorso al sstema msto consente utlzzare materal nel moo che pù s ace alla loro natura. Infatt, con partcolare rfermento alla conzone momento postvo, l accao è soggetto a sforz essenzalmente trazone e l calcestruzzo a sforz compressone: questa evenenza permette lmtare l manfestars ell nstabltà nel prmo e ella fessurazone nel secono. Inoltre, esstono ue ambt puttosto stnt applcazone elle trav composte: se a un lato è possble coprre luc ell orne e 10 m (tpche e fabbrcat), utlzzano proflat commercal tpo HE o sml, altro canto, utlzzano proflat ottenut salano patt accao, possono realzzars trav con campate 30 π 40 m a utlzzare per la realzzazone pont a travata. In ogn caso le trav mpegate non possono essere moellate con la teora elle trav n cemento armato; n partcolare è ffcle rtenere verfcata l potes omogenetà ella sezone e, soprattutto, non s possono trascurare gl scorrment che s orgnano tra soletta e 1

2 proflato. Pertanto rsultat che s otterrebbero (a esempo, nel calcolo elle frecce) trascurano quest ultmo aspetto e, qun, potzzano la completa connessone tra la parte n accao e quella n calcestruzzo, sarebbero certamente a svantaggo scurezza rspetto a quell real. A fferenza quanto avvene per le colonne e con molta pù mportanza quanto può rscontrars nelle solette, la connessone tra le part n accao e n calcestruzzo goca un ruolo etermnante nel comportamento eformatvo e tensonale ell elemento. Infatt, ne plastr le sollectazon sono essenzalmente normal e, qun, l aerenza tra l elemento n accao e l calcestruzzo è quas sempre suffcente a asscurare la connessone, mentre nelle solette bastano pccole ncrespature ella lamera grecata per evtare gl scorrment. Nelle trav, nvece, bsogna presporre opportun spostv connessone che, peraltro, evono essere progettat teneno conto e rapport rgezza e materal mpegat secono le relazon normatve (cfr. captolo ). La presenza tal element connessone causa, unque, una mofca el comportamento ella trave varanone anche l meccansmo resstente. a) b) c) Fgura 1.: alcun e tp pù comun connettor a taglo per trav mste. Nella Fgura 1. sono rportat var tp connettore, anche se la rcerca e la normale pratca realzzatva fanno rfermento essenzalmente a quello a polo salato (wele stu) (Fgura 1.b). La eformabltà quest ultm non mpesce lo scorrmento tra proflato e soletta e, n lnea prncpo, l comportamento ella trave è nfluenzato anche alla relazone che lega la forza trasmessa a connettor e l suetto scorrmento. Come s verà nel seguto tale relazone è tpo ecsamente non-lneare e, qun, una moellazone feele el comportamento elle trav non può fonars sulla semplce potes comportamento lneare ella connessone n base alla quale è possble pervenre a una equazone fferenzale ella trave composta. Moell analtc questo tpo non anno la possbltà tenere conto altr fenomen che caratterzzano l comportamento e materal che s utlzzano. In conzon servzo, a esempo, è necessaro poter conserare gl effett ella fessurazone el calcestruzzo n termn ruzone ella rgezza flessonale. Il fenomeno n questone ha avuto una sua moellazone orma puttosto consolata con rfermento agl element n C.A. tes o nfless, ma la applcazone tal moell alle trav mste con connessone eformable non è altrettanto consolata. Un'ultma questone è quella relatva al comportamento ella connessone nelle zone n cu la soletta è fessurata per effetto el momento negatvo. Per formulare potes n merto a

3 ERRORE. L'ORIGINE RIFERIMENTO NON È STATA TROVATA. questo aspetto el problema s eve fare rfermento a partcolar esperment [39] conott per smulare la stuazone n oggetto: rsultat che se ne traggono sono puttosto spers, ma mettono n evenza la possbltà che n certe stuazon le ruzon rgezza e connettor che s trovano n zona tesa possano essere anche rlevant. Un moello calcolo che vogla essere suffcentemente accurato eve, unque, tenere conto tutt quest fenomen. 1.. Breve anals bblografca. L'nquaramento generale elle verse problematche che contrastnguono le strutture mste accao-calcestruzzo può essere tratto a [36] n cu vengono fornte anche le lnee gua per la progettazone egl element struttural secono l'ec4 ([17]). Inoltre è possble trovarv anche un'ampa bblografa n merto a lavor carattere specfco e una panoramca ntrouttva alla flosofa progetto egl stat lmte aottata agl Eurococ, qual vengono conserat come prncpale rfermento normatvo, effettuano, tanto n tanto, qualche confronto con le norme nazonal brtannche (BS: Brtsh Stanars). Altr rferment carattere generale s possono trovare n una raccolta "artcol" et a Narayanan, alcun e qual esplctamente ctat anche nell'ntrouzone ([19], [8], [47]). Una panoramca su vers moell formulat per le trav composte a parzale nterazone è stata presentata ne numer preceent faceno rfermento a [37], n cu vengono rportate le potes su cu ess s fonano e rsultat cu conucono. Dalla complesstà che ne erva s evnce che meto calcolo a aottare per la soluzone el problema n oggetto evono essere senz'altro tpo numerco rconuceno la questone nell'ambto elle usual tecnche rsoluzone aottate nell'anals strutturale: s può far rfermento al metoo elle fferenze fnte (come n [4], [8], [9], [14], [15], [50], [51] sotto verse potes) e a quello egl element fnt (cu s fa rfermento n [1], [4]). Il punto centrale ella rcerca nell'ambto el sstema msto accao-calcestruzzo è costtuto allo stuo ella connessone, el suo comportamento e egl element che la realzzano. Anche l'attvtà spermentale è convolta nello stuo el comportamento e connettor: alcun rsultat relatv a prove push-test volte a rprourre l legame tra forza e scorrment tra le ue part ella trave sono rportat n [39]. Oltre alla moellazone macroscopca el comportamento ella connessone, n [35] sono stat conott anche stu sulle nterazon tra quest e l calcestruzzo che l crcona al fne nagarne meccansm rottura. La eformabltà ella connessone non comporta soltanto una varazone el comportamento elle trav n termn eformazon, ma s può rflettere anche sulle caratterstche ella sollectazone. Questo fatto, ovvamente, s verfca nelle strutture statcamente netermnate (s pens alle trav contnue) nelle qual le caratterstche ella sollectazone non sono npenent al comportamento flessonale e, qun, sono soggette a fenomen rstrbuzone [13]. Un altro tpo rstrbuzone è quella ovuta alla fessurazone el calcestruzzo nelle zone momento negatvo. Il punto partenza per lo stuo qualsas problematca relatva alla fessurazone è senza ubbo l manuale el CEB ecato a fessurazone e eformazon egl element struttural n cemento armato (CEB manual on Cracchng an Deformatons [6]) nel quale vengono espost var moell tenson stffenng sa per element tes che nfless oltre a un ampa scussone sulle verfche a effettuare per l controllo ella ampezza elle fessurazon. La complesstà elle nterazon tra le vare part che costtuscono una trave composta e la relatva novtà el sstema msto rchee un mpegno notevole carattere spermentale e, qun, n tutt lavor ecat all'esposzone un qualche metoo calcolo s trovano sempre at spermental confronto e, eventualmente, calbrazone. A volte capta che le 3

4 prove non sano molto ocumentate per questo s è fatto rfermento a ue lavor esclusvamente ecat alla llustrazone rsultat ottenut tramte prove spermental. Nel prmo ([3]) possono trovars le curve carco-spostamento relatve a se trav contnue su tre appogg carcate con forze concentrate nel punto meo una campata o entrambe: vengono rportate con un certo ettaglo anche le caratterstche e materal e alcune quanttà relatve alla conzone collasso. Nel secono ([31]), nvece, vengono trattate trav contnue su quattro appogg e l'nteresse per questo lavoro erva anche alle fotografe egl apparat spermental e elle trav portate a rottura. Il lavoro n questone è legato a [33] e ne rappresenta l completamento al momento che rsultat che v s trovano ntegrano con maggor ettaglo quell gà rportat n [33]. Un tpo prova spermentale el tutto sngolare el tutto sngolare è ocumentato n [0] n cu s elabora un metoo calcolo per trav mste n cu oltre allo scorrmento travesoletta s porta n conto anche quello che avvene tra armature e calcestruzzo. L'ntento è quello moellare l comportamento elle trav mste n zona tesa e all'uopo vengono allestte tre prove carco su altrettante trav semplcemente appoggate n cu la soletta è posta al sotto el proflato. In questo moo la soletta è tutta sollectata a tensoflessone e, qun, può essere, fessurata Obettv e contenut el presente lavoro. La breve rassegna elle prncpal problematche che caratterzzano l comportamento elle trav composte accao-calcestruzzo ha gà messo n luce qual possono essere gl aspett rlevant al punto vsta ella rcerca. Inoltre, l cenno che è stato fatto a una bblografa puttosto ampa rene possble la efnzone egl obettv a pors. In partcolare, come s verà nel seguto, è puttosto facle estenere l moello lneare esposto n [4], otteneno una proceura teratva che consenta tenere conto n prmo luogo ella non-lneartà el comportamento ella connessone e, qun, e fenomen relatv alla fessurazone el calcestruzzo nelle zone momento negatvo. In questo moo, però, contnuano a assumere legam lnear sa per l'accao che per l calcestruzzo, bsogna lmtare l campo nagne alle conzon 'eserczo, poché l'anals elle trav n conzon ultme rchee anche la moellazone e legam costtutv non lnear e materal component. Per la messa a punto ella proceura suetta bsogna anche fare alcune potes n merto alla fessurazone el calcestruzzo e, n partcolare, cercare aattare alla soletta moell tenson stffenng formulat per gl element n cemento armato. La consstenza tal potes e la conseguente affabltà ella proceura meesma s eve appurare con l'auslo alcun rsultat sponbl n letteratura e relatv all'applcazone altre proceure numerche o ottenut con prove spermental. Dopo questa valazone l programma calcolo automatco vene utlzzato per la conuzone estese anals parametrche. L'ambto applcazone tale proceura s può vere a secona che s analzzno trav sostatche (semplcemente appoggate) o perstatche (ncastrate-appoggate o oppamente ncastrate). Alla fferenza tra quest ue cas applcatv s è gà fatto cenno n merto a fenomen rstrbutv che s verfcano a causa ella flessbltà ella connessone e ella fessurazone el calcestruzzo. Per le trav sostatche l'attenzone s eve focalzzare sul solo aspetto eformatvo (con partcolare rfermento alla valutazone elle frecce) e sulle nfluenze che la non-lneartà ella connessone etermna su esso. Per quelle perstatche, nvece, bsogna cercare capre l'nfluenza ella eformabltà ella connessone anche sull'anamento elle caratterstche ella sollectazone. 4

5 ERRORE. L'ORIGINE RIFERIMENTO NON È STATA TROVATA. Quest'ultmo aspetto potrebbe sembrare meno mmeato rspetto a quello elle frecce la cu stma è nspensable per la verfca ello stato lmte eformazone. Tuttava, la valutazone elle tenson è necessara per una verfca resstenza n conzon 'eserczo, a esempo, per l calcolo ella tensone eserczo nelle armature che s trovano a rosso un appoggo nterno una trave contnua. 5

6 . QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO. Come avvene anche per altr sstem costruttv mpegate nella realzzazone elle strutture e, n generale, per tutte le attvtà, l quaro normatvo s stngue n ue lvell regole: a un lato c sono le norme nazonal e altra parte le rettve o sposzone ella comuntà europea. Anche nel caso el sstema msto accao-calcestruzzo questa stnzone s verfca, benché non essta un l apparato normatvo nazonale propramente etto: s eve far rfermento, nfatt, soltanto a una sposzone el CNR a cura ella Commssone per lo Stuo elle Norme sulle Costruzon n Accao. Vceversa, nell ambto egl Eurococ per la scplna e lavor ell ngegnera cvle è stato ecato un ntero numero alla tpologa n questone affermanone l mportanza e la specfctà elle sue problematche rspetto a quelle che caratterzzano n comportamento ell accao e el cemento armato. Poché la suetta struzone CNR 10016/85 [7] è n va revsone e al momento che la nuova versone rcalcherà n manera puttosto feele quanto stablto alla normatva europea c s lmta a esporre prncpal ettam quest'ultma. A lvello comuntaro la normatva rfermento per le strutture composte accao e calcestruzzo è l Eurococe 4 [17] che s artcola fonamentalmente n ue part: nella parte 1-1 sono ettate le Regole general e regole per gl efc, mentre nella parte vengono trattat gl aspett pecular ella costruzone e pont. Esste anche una parte 1- ecata alla resstenza al fuoco egl element struttural che, come s è etto, è uno e punt elcat elle strutture mste. Poché tutte le sezon elle trav oggetto stuo nel presente lavoro sono progettate n ottemperanza a quanto stablto all EC4, è opportuno rchamare con un certo ettaglo punt salent relatv sa alla flosofa progetto che al caso specfco elle trav mste..1. Verfche e combnazon carco. Gà n merto al metoo verfca s ha una prma fferenza rspetto alla norma nazonale, poché l Eurococe prevee l solo utlzzo el metoo semprobablstco agl stat lmte e prene n conserazone le seguent stuazon verfca: - stat lmte ultm: - perta ell equlbro ella struttura o una sua parte; - collasso per eccessva eformazone, rottura o perta stabltà qualsas parte essa; - stat lmte servzo: - stato lmte eformazone; - stato lmte vbrazone; - anneggamento el calcestruzzo per eccessva compressone (che può nflure sulla sua urabltà); - scorrment all nterfacca. Nella verfca allo stato lmte ultmo sa coeffcent parzal scurezza per le vare azon che quell relatv alle resstenze e materal sono ecs a lvello nazonale: valor tal coeffcent s cono ncasellat (boxe-values) poché vengono rportat all nterno un rettangolno. Nello sprto el metoo egl stat lmte, le relazon calcolo elle combnazon carco allo S.L.U. s possono ottenere con le seguent formule: - stuazon progetto persstent e transtore per verfche verse a quelle a fatca (combnazon fonamental): 6

7 n ( γ q,1ψ 0, jq j ), j= QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO. F = γ G + γ Q + ; (.1) j g, j, j - stuazone progetto accentale (se non versamente specfcata): q,1 1 n ( γ q,1ψ 0, jq j ), F = γ G + A + γ Q + ; (.) j ga, j, j q,1 1 nella quale A è l valore progetto ell azone accentale n questone. I fattor combnazone ψ 0, ψ 1, ψ fgurano nella Tabella.1 e sono tratt all Eurococe 1 che verte sulle Bas ella progettazone e azon sulla struttura. Tabella.1: coeffcent parzal scurezza per azon su strutture efc per stuazon progetto persstent e transtore.. Azon permanent Azon varabl (γ q ) (γ g ) Azone prncpale Azon assocate Effetto sfavorevole 1,35 1,5 1,5 Effetto favorevole 1,0 0 0 I fattor combnazone ψ 0, ψ 1, ψ fgurano nella Tabella. e sono tratt all Eurococe 1 che verte sulle Bas ella progettazone e azon sulla struttura. Bsogna specfcare valor e coeffcent parzal scurezza per le resstenze e materal che vengono rportate nella Tabella.3: tutt coeffcent, sa quell relatv alla resstenza che quell rguarant le azon, sono esemp valor ncasellat e, qun, vengono fssat a lvello nazonale. I valor rportat nelle vare tabelle sono quell rfermento. Tabella.: alcun valor e fattor combnazone ψ 0, ψ 1, ψ. Coeffcent ψ 0 ψ 1 ψ Carch per uffc, categora C 0,7 0,7 0,6 Vento 0,6 0,5 0 Tabella.3: coeffcent parzal scurezza per le resstenze e materal. Combnazone Accao Accao per Accao per Calcestruzzo (γ strutturale (γ a ) c ) armatura (γ s ) lamera grecata (γ ap ) Fonamentale 1,10 1,5 1,15 1,10 Accentale (eccetto ssma) 1,0 1,3 1,0 1,0 j=.. Caratterstche e materal e elle sezon. Per vers materal s vengono rportate le caratterstche essenzal sa n termn legame costtutvo che n merto a fenomen rguarant l calcestruzzo e l accao. Per l prmo s rportano le lnee gua per la moellazone e fenomen lent, per l secono s opera una valutazone n merto al problema ell nstabltà. In quest ottca vengono ettat crter per la classfcazone elle sezon e vers proflat n quattro class : solo per le sezon appartenent alle prme ue queste è possble utlzzare tutta la resstenza plastca ell accao senza che nsorgano fenomen nstabltà, mentre per quelle appartenent alla quarta classe bsogna mettere esplctamente n conto gl effett ell'nstabltà locale nel etermnare l momento resstente o la resstenza a compressone un elemento strutturale. Le sezon trasversal sono classfcate n funzone ella classe pù sfavorevole e suo element accao che rsultano compress nelle conzon carco conserate(anma e pattabane). Per questo motvo la classe ella sezone pene anche al segno el momento che la sollecta. 7

8 Le regole per la classfcazone elle sezon sono le stesse prevste all''ec3 per le sezon n accao e, vsta la notevole artcolazone che le caratterzza e la mportanza relatvamente lmtata che tale argomento può avere nell'economa el lavoro che s ntene svolgere, non s rtene over entrare maggormente nel merto..3. Resstenza elle sezon. L EC4 fornsce un omno resstenza per le trav sottoposte contemporaneamente a taglo e a flessone. La formulazone analtca tale omno può essere espressa con la seguente relazone: M R se VS Vpl,R M S ( ) VS +, 1 (.3) M f,r M R M f,r 1 se V > V S pl,r Vpl,R nella quale, oltre agl altr smbol evente sgnfcato, compare anche l la quanttà M f,r che rappresenta la resstenza flessonale plastca progetto una sezone trasversale costtuta alle sole pattabane, con la sezone effcace utlzzata nel calcolo M R (Fgura.1). V V pl,r 0,5 V pl,r Mf,R 1,0 M Fgura.1: omno resstenza allo S.L.U. secono l'ec4. Il valore el taglo plastco resstente V pl,r s può etermnare conserano le ue prescrzon seguent: - n luogo ell area A a,anma bsogna conserare un valore A v leggermente maggore concente con l area a taglo ell elemento strutturale n accao che nell EC3 (ecato alle strutture n accao) è efnta come segue: A = 1,04 ; (.4) v A a,anma - l coeffcente scurezza γ a eve essere sosttuto a quello consglato all EC4 che vale 1,10. Complessvamente, allora, l taglo plastco V pl,r è maggore el taglo ultmo Vu efnto alla normatva nazonale e, n partcolare, rsulta: 1,1 Vpl,R = 1,04 Vu 1,06 Vu. (.5) 1,10 8

9 QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO..4. I meto anals elle strutture. Il calcolo elle sollectazon per l progetto e la verfca elle trav può essere conotto sa tramte una anals plastca globale che con l'auslo a una anals elastca globale. L'anals plastca globale può essere effettuata utlzzano sa l metoo elasto-plastco che quello rgo-plastco. In quanto al prmo metoo, non sono ettate prescrzon partcolar se non quella conserare l reale legame carco-scorrmento e connettor. Per l'anals rgo-plastca, nvece, evono essere rspettate alcune prescrzon n corrsponenza elle sezon n cu s realzzano le cernere plastche al fne asscurarne una suffcente capactà rotazonale. Ne cas comun trav contnue, tal prescrzon possono essere faclmente asscurate faceno n moo che esstano assegnat rapport menonal tra le luc elle vare campate. In quanto all'anals elastca globale elle trav per efc, l'ec4 consente sceglere tra l'anals non fessurata ("uncrace analyss") e quella fessurata ("crace analyss"). Nel prmo caso s può assumere lungo l'ntera lunghezza ella trave la rgezza flessonale EI 1, ottenuta conserano la soletta nteramente reagente. Nel secono caso s eve utlzzare l valore fessurato EI per una lunghezza par al 15% ella luce ella campata a cascun lato ogn appoggo nterno e l valore EI 1 per l resto ella trave. L'anamento progetto el momento flettente ervato a un'anals elstca può essere rstrbuto n moo a sosfare l'equlbro e tener conto egl effett ella fessurazone el calcestruzzo, el comportamento anelastco e materal e ell'nstabltà locale ell'accao. A tale fne l'ec4 fornsce valor percentual elle massme ruzon consentte el valore e moment a secona ella classe cu appartengono le sezon ella trave e el tpo anals effettuata (Tabella.4). Tabella.4: coeffcent rstrbuzone allo S.L.U. per anals elastca globale. Classe Anals non fessurata Anals fessurata Poché la rstrbuzone è ovuta alla formazone cernere plastche n corrsponenza egl appogg ntern e alla fessurazone che s verfca nelle stesse zone, la fferenza tra valor elle ruzon e moment per l'anals fessurata e non fessurata consente fssare n una percentuale el 10-15% l contrbuto ovuto alla fessurazone..5. Progetto egl element connessone. Il punto n questone rappresenta la parte pù orgnale elle strutture n sstema msto rspetto a quell n accao o n cemento armato. In prmo luogo s precsa che l Eurococe consente sporre connettor a passo costante, benché l anamento elle sollectazon scorrmento, analogo a quello el taglo, lascerebbe ntenere che questa non sa una soluzone meccancamente vantaggosa (s pens alle staffe n una trave n C.A. per renersene conto): tuttava l passo costante è assa pù facle a realzzare, spece se s conserano cas soletta su lamera grecata con pegature non parallele alla trave. S è etto che la connessone eve essere legata al taglo l quale, a partà carco, pene alla luce L ella trave: a questo ragonamento scaturscono lmtazon el grao connessone rspetto a L. Infatt, affnché connettor possano conserars uttl, eve essere sosfatta la seguente relazone: 9

10 0,4 L 5 m N = 0,5 + 0,03 L 5 m L 5 m, (.6) N f 1,0 L > 5 m vala per una sezone l cu proflato abba al ugual. In partcolar conzon, po, (a esempo per ametr e connettor 19Ö0 mm, pattabane ugual, soletta costtuta a lamera grecata orta ortogonalmente alle trav) s hanno lmt pù amp quell ettat alla (.15): 0,4 L 10 m N = 0,04 L 10 m L 5 m, (.7) N f 1,0 L > 5 m La uttltà ella connessone è una caratterstca fonamentale per l funzonamento ella stessa, specalmente quano connettor sono spost a passo costante, nel qual caso tale propretà consente la mgrazone elle tenson tangenzal alle part pù carcate a quelle meno sollectate (a esempo agl estrem verso l centro elle trav semplcemente appoggate), scongurano anche rsch una rottura fragle. Il calcolo el grao connessone rchee la conoscenza el valore N f che, a sua volta, s ottene a valle ella valutazone ella forza F c che connettor evono trasmettere tra soletta e proflato. S stnguono ue comportament: - completo rprstno resstenza (pena connessone): n tal caso tale forza n oggetto s nca con F cf (la f sta per full ): A af y 0,85 A cf c A sef s F cf = mn, +, (.8) γ a γ c γ s con evente sgnfcato e smbol; - parzale rprstno resstenza (connessone parzale): uno e meto propost consste n una mnuzone ella forza F cf etermnata al punto preceente n manera proporzonale alla fferenza tra l valore calcolo el momento sollectante M S e quello el momento plastco resstente M R,apl el solo proflo accao, secono la seguente relazone: MS M apl,r Fc = Fcf, (.9) M M 10 pl,r apl,r vala nell potes connettor uttl. A questo punto, per l calcolo N f bsogna stablre quale sa l contrbuto un solo connettore; nell EC4 sono rportat vers tp connettore e per ognuno ess la relazone che consente rsalre al valore calcolo ella resstenza progetto P R untara. Poché nel presente stuo s fa rfermento a sol connettor a polo salato ( wele stus ) s cta seguto soltanto la relazone suetta relatva a questo tpo connettore: π 0,8 f u 0,9 α f ce cm P R = mn 4,, (.10) γ v γ v nella quale smbol hanno l seguente sgnfcato: è l ametro el gambo el polo; f u è la resstenza ultma a trazone el materale (comunque non maggore 500 N/mm ); f c è la resstenza clnrca caratterstca el cls; E cm è l valor meo el moulo secante el cls (l EC fornsce la seguente relazone: 1 ( f ) 3 E = + ; (.11) cm 8500 c 8

11 QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO. α è un coeffcente efnto come segue: h h 0, + 1 per 3 4 α =, (.1) h 1 per > 4 esseno h l altezza per polo; γ v è l coeffcente parzale scurezza par a 1,5. Per completezza s rtene opportuno rportare anche la relazone che consente l calcolo P R secono l'struzone el CNR al fne poterne esumere alcune fferenze rspetto alla (.10). La relazone n questone s presenta come segue: h' ( 3, + 0,11 f ) 0,7π f c y PR = mn, [ N], (.13) γ s 40γ a nella quale, oltre agl altr smbol charo sgnfcato, h è l altezza effcace e pol calcolable come segue: h se h 4 h' =. (.14) 4 se h > 4 Quanto a coeffcent γ s, γ a, bsogna assegnare valore untaro per le verfche allo S.L.S., mentre evono essere post par a 1,40 e 1,10, rspettvamente, per le verfche allo S.L.U. e 1,0 allo S.L.S PR [N] =15 mm CNR 10016/85 f u =450 N/mm EC 4 =16 mm CNR 10016/85 EC 4 =17 mm CNR 10016/85 EC 4 =19 mm CNR 10016/85 EC 4 = mm CNR 10016/85 EC fc [N/mm ] Fgura.: confronto ella resstenza caratterstca e connettor a polo etermnate n accoro a ue ocument normatv. 11

12 Nella Fgura. vengono rportat vers anament elle ue formule con rfermento a vers tp calcestruzzo e ametr e pol (la resstenza al lmte snervamento f y o f u ell'accao costtuente connettor è assunta costante e par a 450 N/mm ). Una volta efnta la (.10), è possble calcolare l numero N f pol necessar alla completa connessone Fcf N f =, (.15) PR o l numero mnmo N connettor necessar per l parzale rprstno ella resstenza: Fc N =. (.16) PR Ne collegament a parzale rprstno resstenza non s può rtenere che la resstenza ultma ella sezone sa la stessa quella che s ha nel caso pena connessone. In partcolare, con rfermento a moment, la sezone una trave con connessone parzale non può essere sollectata fno al valore M pl,r, ella resstenza plastca. Pertanto esste una relazone tra l momento sollectante massmo M S che la sezone sopporta e la forza F c trasmessa alla connessone (o, tramte la (.16), l numero connettor mpegat). Tale relazone s può etermnare con l'auslo ella teora plastca, ma l'ec4 propone alcune possbl semplfcazon. Lmtanoc, per semplctà, al caso e connettor uttl, l'ec4 propone l legame lneare espresso alla relazone seguente: MS M apl,r Fc = Fcf. (.17) M M pl,r apl,r nella quale M apl,r e M pl,r sono valor progetto elle resstenze plastche a momento postvo che caratterzzano, rspettvamente, la sola sezone accao strutturale e la sezone composta con collegamento completo. M S M pl,r 1,0 C B A 0 1,0 F c F cf 1 Fgura.3: legame tra momento sollectante M S forza F c trasmessa alla connessone. La (.17) è rportata nella Fgura.3 nseme al legame effettvo tpo non lneare rappresentato n manera qualtatva.

13 QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO..6. Verfche egl stat lmte servzo. Per l calcolo elle frecce f nelle verfche allo stato lmte servzo l EC4 fornsce la seguente formula semplfcata: f N f = + a 1 c 1 1. (.18) f c N f f c nella quale smbol hanno l seguente sgnfcato: f c è la frecca elastca ella trave nell potes completa connessone; f a è la frecca elastca ella trave nell potes connessone assente; N N f è l grao connessone, coè l rapporto tra l numero N connettor effettvamente mpegat e quello N f connettor che sarebbero necessar per la completa connessone; c è un coeffcente che vale 0,5 nel caso trav puntellate e 0,3 per trav non puntellate n fase costruzone. La (.18) assecona quano etto al captolo 1 n merto al valore ella frecca effettva f rspetto a valor enomnat f full e f ; l prmo conce con f c, mentre l secono è levemente verso a f a, anche tene a esso per trav puttosto alte e con soletta pccola. Anche nella (.18) ue valor suett rappresentano gl estrem varazone ella frecca δ che vara all uno altro a secona ella consstenza ella connessone. L'effetto ella fessurazone el calcestruzzo nelle regon momento negatvo sulla eformabltà ella struttura può essere tenuto n conserazone utlzzano uno e seguent meto anals: - n prmo luogo s può proceere analzzano apprma la trave con rfermento alla sua rgezza EI 1 e, qun, rcalcolanola conserano una rgezza EI per quelle part n cu la tensone trazone nella soletta supera l 15% f c ; 1,0 0,8 A B f 1 0,6 0,4 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 EI 1 /EI Fgura.4: anamento el coeffcente rstrbuzone n fase servzo n funzone el parametro EI full /EI. - per le trav con sezon classe 1, o3 s può proceere moltplcano l momento flettente per l coeffcente ruttvo f 1 n tutt gl appogg nterme n corrsponenza 13

14 e qual la tensone trazone supera l 15% f c. L'espressone tale coeffcente è la seguente 0,35 EI1 f1 = 0,6 EI, (.19) e nella Fgura.4 è rportato l'anamento f 1 stngueno la curva A che segue la (.19) e la curva B che è costante rspetto al rapporto tra le rgezze ella sezone ntegra e fessurata. La prma può essere utlzzata quano " carch per untà lunghezza su tutte le campate sono ugual e le lunghezze tutte le campate non fferscono tra loro per pù el 5%". In alternatva ovrebbe essere utlzzato l valore lmte nferore ettato alla "curva" B. Un altro aspetto rlevante elle verfche servzo è quello el controllo ella fessurazone. Per l calcolo elle tenson a utlzzare a tal fne s può ancora sceglere tra un'anals fessurata e una non fessurata come vsto nel paragrafo ecato al progetto elle sezon, ma, ovvamente, faceno rfermento a carch ervant alle combnazon efnte per gl stat lmte servzo. L'enttà ella rstrbuzone che s può ammettere n quest cas, però, è necessaramente nferore a quella vsta nell'anals con carch progetto al momento che con carch 'eserczo la rstrbuzone è ovuta solo alla fessurazone ella soletta. Non valgono, unque, valor rportat nella Tabella.4, ma, nel caso una anals non fessurata, s prevee una ruzone el momento par al 15% per sezon appartenent alle class 1 e e el 10% per le altre. Vceversa, se s fa rcorso all'anals fessurata non s può ammettere alcuna rstrbuzone. In prmo luogo bsogna precsare che la necesstà conserare un larghezza collaborante erva alla napplcabltà ella teora el De Sant Venant e, n partcolare, alla nconsstenza ell'potes conservazone elle sezon pane su cu s fona. Stu spermental e numerc hanno evenzato che nelle trav mste con soletta sgnfcatvamente larga rspetto alla luce s verfcano eformazon scorrmento nella stessa che s ngobba e, qun, le tenson normal non sono costant lungo una cora parallela all'asse neutro (Fgura.6) (s tratta quello che nella letteratura anglosassone vene ncato come shear lag). Il fenomeno potrebbe essere valutato n lnea teorca con procement numerc, ma la normatva s preoccupa fornre al progettsta un metoo veloce e pratco per evtare s sopravvalutare l contrbuto statco ella soletta. Sa quella talana che quella europea efnscono una larghezza effettva B eff che l lnea prncpo goe ella seguente propretà: B σ1b eff = σ zx (.0) B n cu σ 1 sono le tenson present sull'asse ella trave e al secono membro compare la rsultante elle tenson normal. Quest fatt, a ben veere, sono n perfetto accoro con coeffcent ella Tabella.4 al momento che le percentual cu sopra s possono ottenere propro come fferenza tra quelle rportate nelle ue rghe ella tabella n oggetto..7. Determnazone spermentale elle propretà ella connessone. L ultma sezone ella parte 1-1 ell EC4 è ecata alla Progettazone assstta alla spermentazone, aspetto che anche n ambto strutturale sta assumeno rlevanza crescente. In partcolare s ettano le rettve per lo Stanar Push-Out Test cu s è accennato anche nel captolo 1; vene fornta la escrzon el provno sa al punto vsta geometrco (Fgura.5) che n merto alla sua preparazone. 14

15 QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO. Il carco eve essere applcato meante ncrement fno al 40% quello per la rottura e, qun, applcato cclcamente 5 volte tra facenolo varare tra valor el 5 % e el 40%. Gl ncrement carco successv ovrebbero essere applcat n moo che la rottura non s verfch n meno 15 mnut. Se vengono effettuate tre prove su element nomnalmente entc e lo scarto ogn rsultato rspetto al valore meo è contenuto nel 10 % questo, s può assumere come resstenza caratterstca P R l mnmo carco rottura applcato a tre provn vso per l numero connettor e rotto el 10% (anche questo è un boxe value ). A questo punto è possble etermnare la resstenza progetto applcano la relazone seguente: f u PR PR PR =. (.1) f ut γ v γ v n cu f ut è la tensone ultma reale el materale e connettor mpegat nel provno, mentre gl altr smbol hanno lo stesso sgnfcato quell che compaono nella (.10). 15 P Fgura.5: schema ello Stanar Push-Test secono l'ec Larghezza collaborante: un confronto tra le prescrzon e ue ocument normatv. Da quanto s è etto sopra è possble trarre le prncpal nformazon contenute nella Istruzone CNR 10016/85 e nell'ec4 e alcune elle fgure propongono l confronto n merto alle verse relazon consglate. Non s è fatto cenno alla problematca ella larghezza collaborante che vene trattata n entramb ocument e che merta un scorso a parte per la sua mportanza anche teorca. In [40] vene trattato l'argomento n questone e vene proposto un confronto che vene brevemente rpercorso nel seguto. In prmo luogo bsogna precsare che la necesstà conserare un larghezza collaborante erva alla napplcabltà ella teora el De Sant Venant e, n partcolare, alla nconsstenza ell'potes conservazone elle sezon pane su cu s fona. 15

16 Stu spermental e numerc hanno evenzato che nelle trav mste con soletta sgnfcatvamente larga rspetto alla luce s verfcano eformazon scorrmento nella stessa che s ngobba e, qun, le tenson normal non sono costant lungo una cora parallela all'asse neutro (Fgura.6) (s tratta quello che nella letteratura anglosassone vene ncato come shear lag). Il fenomeno potrebbe essere valutato n lnea teorca con procement numerc, ma la normatva s preoccupa fornre al progettsta un metoo veloce e pratco per evtare s sopravvalutare l contrbuto statco ella soletta. Sa quella talana che quella europea efnscono una larghezza effettva B eff che l lnea prncpo goe ella seguente propretà: B σ1b eff = σ zx (.) B n cu σ 1 sono le tenson present sull'asse ella trave e al secono membro compare la rsultante elle tenson normal. σ1 σ σ x b b ef Fgura.6: strbuzone tpca elle tenson normal sulla sezone ella soletta ovuta allo shear lag. Le fferenze tra ue ocument normatv rseono nella efnzone B eff che nel caso ella normatva talana è ata alla seguente relazone: B eff = b eff,1 + b eff, + bc, (.3) n cu b c è la zona rettamente nteressata a connettor e b eff,1 e b eff, sono ottenute come frazon elle semlarghezze geometrche tramte un coeffcente η: b eff, = η b. (.4) I coeffcent h sono tabellat per vers tp schema strutturale e s stngue la fase anals (per la quale η è funzone el rapporto b/l e rmane costante per tutta la trave) a quella verfca elle sezon nel qual caso vengono trattat separatamente cas carco rpartto o concentrato. In quest'ultmo caso valor η tenono a aumentare per sezon pù vcne alla mezzera nelle qual l'effetto egl scorrment tene a unformars. Data la eccessva complesstà queste prescrzon v è una versone semplfcata ella norma l cu 16

17 QUADRO NORMATIVO DI RIFERIMENTO. utlzzo è consentto per strutture efc e per trav soggette a carch prncpalmente statc per la quale s ha un valore costante per la larghezza effettva: b eff, = 0,1 L b. (.5) La normatva europea segue una logca smle a quest'ultma prescrzone forneno, però un valore maggore el rapporto tra larghezza effettva e luce. La relazone, n generale è el tpo: B eff = a eff,1 + a eff,, (.6) e, qun, trascura la larghezza occupata a connettor. Detta L 0 la luce lbera 'nflessone (stanza tra ue punt momento nullo) rsulta: a eff, = L 0 / 8 a, (.7) esseno a la semlarghezza geometrca ella sezone. Pertanto, per sezon smmetrche e nelle pù frequent applcazon, le ue formulazon possono così rassumers: 0,1 L + b c con b eff = 0,1 L b Beff =. (.8) 0,15 L0 con a eff = 0,15 L0 a 17

18 3. TRAVI COMPOSTE CON CONNESSIONE A COMPORTAMENTO LINEARE. In questo captolo vengono esposte le lnee prncpal ella teora elle trav composte a connessone lneare. In partcolare, a partre all equazone Newmar, s calcolano coeffcent elastc ell asta composta semplcemente appoggata e, qun, vene formulato un elemento fnto per le trav composte. In chusura, po, vengono, llustrat alcun cas applcazone ell equazone Newmar per alcun schem trave La teora Newmar. Nonostante l legame costtutvo e connettor non sa ma lneare, l problema el verfcars egl scorrment e, qun, ella eformabltà ella connessone è stato affrontato per la prma volta negl ann 40 assumeno l potes fonamentale connessone lnearmente elastca. In partcolare, pressoché contemporaneamente e n manera npenentemente furono elaborat tre moell caratterzzat soltanto a alcune fferenze relatve alla nvualtà o contnutà e connettor [37]. q φ x F c u c G c T y F T M c M u c,nf u a,sup s φ x F a u a G a y M a Fgura 3.1: caratterstche ella sollectazone e ella eformazone ella trave composta a connessone parzale. Nel seguto s rportano nom egl autor cu s evono tal teore e le prncpal potes caratterstche e vers moell: - Stüss (Svzzera): l moello consta un equazone alle fferenze fnte per ogn connettore e può essere scrtta per trav composte a tre element ello stesso materale o a ue materale fferente; - Granholm (Sveza): s ottene un equazone fferenzale per trav composte a ue o tre element ello stesso materale conserano la connessone contnua; - Newmar (USA): euzone un equazone fferenzale per trav composte a ue element verso materale con una connessone contnua. 18

19 TRAVI COMPOSTE CON CONNESSIONE A COMPORTAMENTO LINEARE. Il moello pù confacente al caso elle trav composte a accao e calcestruzzo è senz altro quello Newmar: nel seguto vengono llustrate sntetcamente prncpal rsultat tale teora. In prmo luogo bsogna moellare la connessone per la quale s fanno ue assunzon fonamental rguarant la contnutà e l legame costtutvo. La prma potes s può realzzare conserano che rsult: F P F '(x) = (x) =, (3.1) x coè che la forza per untà lunghezza F (x) equvalga al rapporto tra la forza trasmessa a un connettore P e l'nterasse tra connettor. La secona potes, nvece, consste nella lneartà el legame tra la forza F e lo scorrmento e s esprme come segue: F F'(x) = (x) = s(x), (3.) x n cu s(x) è lo scorrmento all ascssa x e è la rgezza ella connessone, costante lungo la trave ( ha menson [F] [L] - ). Ipotzzano che le frecce ella soletta e el proflato sano ugual n tutt punt ella trave, è possble esprmere per congruenza la relazone tra lo scorrmento s e le granezze che efnscono la eformazone flessonale (Fgura 3.1), otteneno: s = u a,sup u c,nf = u a ϕ a (u c + ϕ c ), (3.3) nella quale u a e u c sono gl spostament assal accao e calcestruzzo, a e c sono le stanze che separano barcentr e ue element alla loro nterfacca e ϕ è la rotazone e ue element (assunta uguale per l'potes conservazone elle sezon pane). Per l equlbro evono valere le seguent uguaglanze: M = M + M + F F, a c a a F c = F (3.4) F a = F n cu le granezze con gl nc a e c s rferscono rspettvamente alla parte n accao e a quella n calcestruzzo. Sosttueno le (3.3) nella (3.4) s ottene: M = χ[ E c I c + E ai a ] + F = χei + F, (3.5) aveno rtrovato l parametro EI, che rappresenta la somma e ue fattor rgezza E a I a e E c I c relatv alle ue part ella sezone trasversale. Dalle (3.3)-(3.5) s ottengono le tre relazon seguent: M F Fa F Fc F χ =, ε a = = ε c = = EI E aa a E aa a E ca c E ca c (3.6) A questo punto è possble mostrare che rsulta: * EI full = EI + EA, (3.7) aveno posto: * E ca c E aa a EA = E ca c + E aa a. (3.8) Sulla base elle potes rchamate sopra e tramte alcun passagg semplfcazone è possble pervenre all equazone ella trave composta. In partcolare, tale equazone s può esprmere come segue n termn scorrmento o curvatura: s T α s =, x EI (3.9) c c 19

20 M q χ '' α χ = α. (3.10) EIfull EI In entrambe le equazone compare l parametro a che è efnto alla seguente relazone: EIfull α = * (3.11) EA EI Dalla (3.10) s può faclmente constatare che ne cas estrem comportamento ella connessone s rtorna alla consueta equazone ella lnea elastca. Infatt, per αl (connessone rga) s rtrova: 4 v, χ = = (3.1) M EI full z 4 q EI mentre per αl 0 s ottene: 4 q v q χ '' = = (3.13) EI 4 z EI che rappresenta l legame costtutvo nel caso connessone completamente neffcace, così come è stato fatto notare nell'esempo con la trave costtuta a una sezone formata a ue rettangol. La (3.10) può essere utlzzata per la soluzone sstem statcamente etermnat per qual è possble etermnare l momento flettente M corrsponente al carco q npenentemente alle eformazon e agl spostament che s ottengono. 3.. Proceure calcolo per l'anals trav composte con connessone lneare. Le equazon ella trave composta consentono rsalre alle espresson e coeffcent elastc nello sprto el metoo elle forze e efnre, qun, una matrce eformabltà. full q M Mj F j Fj s s j α α j 0 Fgura 3.: asta composta semplcemente appoggata. In questo moo è possble rsolvere schem struttural perstatc applcano l suetto metoo assumeno le ncognte perstatche con le stesse moaltà con le qual s affronta l'anals elle strutture formate a aste costtute un unco materale. D'altro canto, nverteno la matrce eformabltà s può ottenere la matrce rgezza ell'elemento "trave composta": n questo moo è possble rflure nell'alveo el

21 TRAVI COMPOSTE CON CONNESSIONE A COMPORTAMENTO LINEARE. metoo egl spostament o, se s vuole, el metoo egl element fnt con la partcolartà aver formulato un elemento "esatto" avenolo costruto a partre alle equazon Newmar per la trave composta. Nel seguto s esporranno con un certo ettaglo le fas ella costruzone elle matrc suette e sarà charto l sgnfcato meccanco quanto accennato brevemente nelle rghe preceent Costruzone ella matrce eformabltà. S è vsto che una elle forme nelle qual è possble esprmere la relazone tra la curvatura e le azon esterne gravant sulla trave composta è la seguente: q M εsh χ '' α χ = α. (3.14) EI EIfull EI con l consueto sgnfcato e smbol e aveno ntrootto anche la eformazone assale a rtro ε sh. Il calcolo elle espresson e coeffcent eformabltà s può effettuare a partre alla (3.14) che eve essere ntegrata mponeno, volta n volta, le opportune conzon al contorno. In forma matrcale l legame tra "forze" e "spostament" per un'asta semplcemente appoggata s può porre nella forma seguente: δ = D X + δ. (3.15) r r n cu l vettore δ raccogle gl "spostament" noal, δ 0 l valore egl stess ovut a carch sullo schema sostatco prncpale e X è l vettore elle azon noal; l pece "r", po, sottene l fatto che s tratta vettor rott poché n un secono momento s ovranno conserare anche l taglo e gl spostament a esso ual. La (3.16) s può scrvere n manera pù esplcta come segue: α α M 14 0, s 1 3 = F + s 4 0,. (3.16) α α j M 34 j 0, j s j Fj s 0, j aveno fatto rfermento all'asta semplcemente appoggata ella Fgura 3.. A questo punto bsogna rsalre alle espresson egl element ella matrce eformabltà che, propro a partre alla (3.16), possono essere entfcat come gl spostament (generalzzat) ovut a partcolar sstem forze agent sull'asta. In partcolare, la colonna j-esma ella matrce eformabltà raccogle gl spostament noal ovut a un vettore forze noal nel quale solo la componente j-esma ha valore non nullo e par all'untà. Pertanto l'elemento 11 conce con la rotazone ell'estremo elle trave per effetto una coppa untara v applcata: per questo motvo e con evente sgnfcato e smbol s può porre: 11 = α,m. (3.17) Allo stesso moo, l'elemento 1 è lo scorrmento che s regstra n corrsponenza ell'estremo per effetto una coppa untara v applcata: rsulta, pertanto 1 = s,m. (3.18) Alla stregua quanto appena etto e con lo stesso sgnfcato e smbol gl element ella matrce eformabltà D r s possono rappresentare sntetcamente n base alla loro valenza meccanca come segue: 0,r 1

22 α,m α α α,f,mj,fj s,m s,f s,m s j,fj D = r. (3.19) α α α α j,m j,f j,m J j,fj s j,m s j,f s j,m s J j,fj A questo punto s posseono tutt gl element per la costruzone ella matrce eformabltà ella trave msta semplcemente appoggata. Per quanto s'è etto s può proceere con l metoo elle colonne carcano la trave n manera a ottenere propro gl spostament che corrsponono a var element ella colonna n questone Element ella prma colonna. Per ottenere gl element ella prma colonna bsogna conserare un vettore X elle forze noal la cu prma componente abba valore untaro e le cu altre component sano nulle. Pertanto s eve assumere: M = 1, F = 0, M j = 0, F j = 0, (3.0) e calcolare gl spostament generalzzat che s ottengono n corrsponenza e ue no. La valutazone tal spostament s può conurre con l'auslo el metoo ella forza untara che può veers come una partcolare applcazone el prncpo e lavor vrtual. L L α,m = ψ1 + ( 1 ψ1 ), (3.1) 3EI 3EI full aveno posto: cosh( αl) 1 ( ) ( ) ψ1 = 3. (3.) αl snh αl αl Dalla (3.1) s può esumere che la rotazone s calcola nterpolano tra quelle che s otterrebbero n caso connessone rga o assente, esseno ψ 1 compreso tra 0 e 1. In manera analoga è possble valutare l terzo elemento ella prma colonna D r che, per quanto s è etto, corrspone alla rotazone che s regstra nell'estremo j per effetto una coppa untara applcata n. Rsulta: L L α,m = ψ + ( 1 ψ ), (3.3) 6EI 6EIfull aveno posto: 1 1 ( ) ( ) ψ = 6. (3.4) αl αl snh αl A questo punto, per completare la prma colonna s evono etermnare le espresson egl scorrment 'estremtà causat all'applcazone una coppa untara n corrsponenza ell'estremo. Applcano le solte proceure calcolo s può pervenre alle espresson rportate seguto: L 1 cosh( αl) L s,m = s(0) = = ψ1, (3.5) EI ( αl) αl snh( αl) 3EI L 1 1 L s j,m = s(l) = = ψ. (3.6) EI ( αl) αl snh( αl) 6EI Per concluere l'esposzone el procemento costruzone ella prma colonna ella matrce D r s rporta n Fgura 3.3 l'anamento elle funzon ψ 1 e ψ per le qual s nota uno

23 TRAVI COMPOSTE CON CONNESSIONE A COMPORTAMENTO LINEARE. svluppo qualtatvamente analogo che gustfca quanto etto sul fatto che la curvatura possa veers come nterpolazone quelle e ue cas estrem connessone rga o assente. La stessa fgura consente, noltre, anche accertars che gl scorrment sarebbero null se la connessone fosse rga. 1,0 0,9 0,8 ψ 1, ψ 0,7 0,6 0,5 0,4 ψ1 ψ 0,3 0, 0,1 0, αl Element ella secona colonna. Fgura 3.3: anamento elle funzon ψ 1 e ψ. Per la etermnazone egl element ella secona colonna c s eve rferre a una conzone carco caratterzzata a seguent valor elle forze noal: M = 0, F = 1, M j = 0, F j = 0. (3.7) A questo punto la etermnazone elle espresson e coeffcent elastc s potrebbe conurre come per quell ella prma colonna. D'altrone, però, l teorema Bett consente asserre che la matrce D r è smmetrca e, unque, α,f = 1 = 1 = s, M. (3.8) Inoltre, per la smmetra ello schema, non può che rsultare: s,m = s j, M j, (3.9) e, unque, ancora per l teorema Bett: α j,f = j 3 = 3 = s j,m = s j, M. (3.30) Restano, unque, a etermnare le espresson e ue scorrment 'estremtà ovut alla forza untara applcata n corrsponenza ell'estremo. Applcano l PLV con le solte moaltà e tramte alcun passagg semplfcazone è possble esprmere gl scorrment che s verfcano a ue estrem come segue: L 1 L 1 s,f = ψ 3 s j,f 4 EI EI = ψ, EI EI (3.31) 1 1 EIfull EIfull aveno posto: 3

24 ψ 3 cosh = αl snh ( αl) α( αl) 1 ψ 4 =. (3.3) αl snhα ( αl) 1,0 0,9 0,8 ψ3, ψ4 0,7 0,6 0,5 ψ3 ψ4 0,4 0,3 0, 0,1 0, αl 4 Fgura 3.4: anamento elle funzon ψ 3 e ψ 4. Nella Fgura 3.4 sono rappresentate le funzon ψ 3 e ψ 4 e s vee che esse vergono per αl 0: nfatt, se non c fosse la connessone non s potrebbe avere equlbro sotto la conzone carco conserata. Inoltre, emerge anche l'mportanza un altro parametro, coè el rapporto EI /EI full : per ovve ragon esso è sempre mnore ell'untà e, qun, l fattore 1, EI (3.33) 1 EIfull rappresenta un coeffcente amplfcatvo ello scorrmento legato alle caratterstche ella sezone e npenente al grao connessone. In partcolare, s può osservare che all'aumentare el rapporto EI /EI full aumenta lo scorrmento a partà valore el parametro αl. In realtà, però, lo scorrmento non rsente ella sola nfluenza retta el rapporto EI /EI full, ma pene a esso anche nrettamente poché anche lo stesso αl pene al rapporto n oggetto Completamento ella matrce D r. Aveno etermnato la espressone egl element elle prme ue colonne s può completare l'ntera matrce utlzzano le propretà smmetra ella stessa. Infatt, per l teorema Bett s può asserre che le prme ue rghe sono ugual alle prme ue colonne. In questo moo rmangono a etermnare solo gl element comun alle ultme ue rghe e colonne che costtuscono l blocco x sposto n basso a estra. In quanto a tal element, la smmetra ella trave consente uguaglarl a quell el blocco formato all'ntersezone tra le prme ue rghe e le prme ue colonne. Pertanto, efnte le ue matrc seguent:

25 TRAVI COMPOSTE CON CONNESSIONE A COMPORTAMENTO LINEARE. L L L ψ1 + ( 1 ψ1 ) ψ1 3EI 3EI full 3EI A = L L 1 ψ ψ, 1 3 3EI EI EI 1 EI full (3.34) L L L ψ ( 1 ψ ) ψ 6EI 6EIfull 6EI B = L L 1 ψ ψ, 4 6EI EI EI 1 EIfull (3.35) la matrce eformabltà D r s presenta nella seguente forma a blocch: A B Dr =. T B A (3.36) 3... Espressone el vettore δ r,0. Con crter analogh a quell segut per la costruzone ella matrce D r è possble costrure l vettore egl "spostament" ovut a "carch" che gravano sulla trave semplcemente appoggata. In partcolare s consereranno gl effett un carco unformemente rpartto q e una eformazone assale ε sh mposta al rtro sulla soletta. In generale s ha: δ = α, s, α, s, (3.37) r,0 [ ] T,0,0 j,0 con l consueto sgnfcato e smbol e, per la smmetra ello schema statco e e "carch", evono valere le seguent uguaglanze tra le vare component el vettore: α,0 = α j,0 s,0 = s j, 0. (3.38) Inoltre, oveno conserare le ue azon cu s è fatto cenno sopra, s convene porre: δ r,0 = δ r,q + δ r,sh, (3.39) rsolveno prma l problema relatvo al carco unformemente rpartto e, qun, analzzano gl effett eformatv ella eformazone a rtro Contrbuto δ r,q ovuto al carco rpartto. Rsolveno l equazone Newmar con rfermento allo schema semplcemente appoggato e per un carco unformemente rpartto q e applcano l PLV,s può porre: 4 1 cosh( αl) αl ψ 5 = + ( ) ( ), 3 (3.40) αl snh αl e esprmere la rotazone α,q tramte la seguente relazone: 3 3 ql ql α 0,q, = ψ 5 ( 1 ψ 5 ). (3.41) 4EI 4EIfull Quanto agl scorrment, valor che quest assumono alle estremtà ella trave s possono esprmere come segue: 3 ql s 0,q, = s( 0) = ψ 5, (3.4) 4EI j,0 5