Vibrazioni nonlineari della piastra laminata in risonanza esterna ed interna: formulazione ed analisi di un modello con curvature nonlineari

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1 Vbrzon nonlner dell pstr lmnt n rsonnz estern ed ntern: formlzone ed nls d n modello con crtre nonlner Edrdo Sett Gseppe Reg Dprtmento d Ingegner Strttrle e Geotecnc Spenz Unerstà d Rom Itl E-ml: e.sett@rglo.t gseppe.reg@nrom.t Prole che: mterl compost dnmc nonlnere nterzon modl. SORIO. Il loro h per oggetto l formlzone e l nls dnmc nonlnere d n modello per l pstr n compost lmnt. ell fse d modellzone engono consderte espresson nonlner per le crtre contrrmente lle pù tlzzte teore ll on Krmn. Il modello ottento ene dscretzzto nel domno dello spzo trmte l procedr d Glerkn ed l consegente modello rdotto ene rsolto trmte l metodo pertrbto delle scle mltple. I rsltt nmerc rgrdno cs d brzon forzte n condzon d rsonnz estern ed ntern. Vengono effettt confront tr modell ed ndgn fenomenologche l rre d prmetr sgnfct. ITRODUZIOE I mterl compost lmnt relzzt trmte l mplmento d sngole lmne fbrornforzte sono ogg molto st per costrre element strttrl d tpo pstr grze lle loro ottme crtterstche meccnche ed ll loro flessbltà d progetto. ell mbto dell modellzone bdmensonle dell pstr lmnt engono soltmente tlzzte le note teore strttrl dell pstr omogene opportnmente generlzzte per l cso d mterle lmnto trmte l cosddett rdzone ES (eqlent sngle ler) []. mggor prte d qeste teore tene conto delle nonlnertà geometrche tlzzndo le deformzon ll on Krmn n ssoczone ll teor clssc dell pstr (Krchhoff) oppre teore con re potes d deformzone tglo (ndln Ressner Redd) [][]. Ttte qeste teore tlzzno qnd crtre lner n n contesto tlolt rzonlmente ncoerente e trscrno l cmbmento d confgrzone nel legme crtre-spostment. D ltro cnto feh e P [][] osserno che ttte le nonlnertà geometrche trscrte nelle teore ll on Krmn potrebbero essere sgnfcte nell nls nonlnere dell pstr compost e che qnd tl nonlnertà non hnno to l ttenzone che merterebbero nello stdo dell relt dnmc nonlnere. Sll bse d qeste osserzon P e feh slppno n teor generle dell pstr compost [] che consder n modo rgoroso ttte le nonlnertà geometrche n goco perenendo così d n modello sntotco con crtre nonlner pprossmto l terzo ordne. Detto modello rslt però troppo complesso per essere nlzzto trmte e prelentemente nltche né sono present n lettertr nls d modell semplfct che contemplno n qlche form d nonlnertà nelle espresson delle crtre. Dnqe l obetto d qesto loro è estrrre dll teor generle n sottomodello con crtre nonlner che rslt sffcentemente semplce d poter essere nlzzto n cmpo dnmco con tecnche prelentemente nltche e confrontto con gl sl modell crtre

2 lner []. Formlto tle modello l pprocco d nls preede n preent dscretzzzone nel domno dello spzo ed n sccesso trttmento del rsltnte modello rdotto trmte metod pertrbt e nmerc. I rsltt nmerc rgrdno cs d brzon forzte n condzon d rsonnz estern ed ntern. Vengono effettt confront tr modell ed ndgn fenomenologche l rre d prmetr sgnfct. ODEZIOE COTIUO. Premess ed potes nzl ell mbto delle teore bdmensonl l rzone d confgrzone dell pstr pò essere descrtt componendo de spett: - l deformzone del pno d rfermento; - l deformzone dell normle l pno d rfermento. prtre dlle possbl potes nzl che pprossmno l rzone d confgrzone l dedzone mtemtc degl spett d congrenz eqlbro dnmco e legme costtto condce modell dfferent n termn d spostmento (Fg.). I prncpl modell ES dell lettertr possono essere dert come cs prtcolr dll teor generle presentt d P e feh nel 99 []; l Tb. mostr le crtterstche cnemtche d lcn d tl modell nseme modell GCPT e ICPT slppt n qest sede. (Sgle esplctte n ppendce). Fg. : Schem logco delle teore bdmensonl Tb. : Crtterstche cnemtche d lcn modell

3 ell pstr clssc ll on Krmn (CPT) s ssmono per le deformzon estensonl nel pno medo le segent espresson nonlner fnzon degl spostment (Fg.): e e γ () mentre per le crtre d tle pno s ssmono le segent espresson lner: k k k k k k k5 () Dl confronto con le deformzon dell teor generle emerge che le () sono correttmente pprossmte l ordne solo se gl spostment nel pno medo e sono d ordne o sperore rspetto llo spostmento trsersle. Ttt sotto l stess potes le crtre lner () non sono coerent perchè dorebbero contenere lcn termn qdrtc e cbc che non sono trscrbl. llo scopo d conserre le deformzon estensonl () m d sperre l ncoerenz slle crtre () ponmo nell teor generle [] le segent potes nzl: ) S ssme come ordne d grndezz per gl spostment: ( ε ) ( ε ) ( ε ) b) S trscrno le crtre sprl k e k 5 ; c) S trscrno le deformzon trsersl tglo γ e γ 5.. odello GCPT Per l potes ) le deformzon nel pno medo s rdcono lle () d on Krmn mentre le espresson delle crtre consderndo nche l potes b) dentno: k () k (b) k (c) Per l potes c) l cmpo d deformzone ed consegent sforz generlzzt s rdcono : ε e zk ε e zk ε γ zk ε ε ε () h / h / h / h / ( ) ( σ σ ) dz ( ) z( σ σ σ ) σ dz (5) con le deformzon generlzzte espresse dlle () e (). pplcndo l prncpo d Hmlton s ottengono le segent eqzon d eqlbro dnmco rspettmente n drezone z:

4 & & () I & I I & I & (b) ( ) C ( ) D I & I && I && (c) doe le qnttà I sono termn nerzl e le qnttà C e D sono rportte n ppendce. (e ssocte condzon l contorno per bretà non s rportno [5]). Rspetto ll pstr clssc ll on Krmn (CPT) notmo che le eqzon () e (b) presentno de termn ggnt rppresentt dlle qnttà e. Tl termn dpendono dl ftto che l eqlbro lle trslzon nel pno medo è mposto nell confgrzone deformt dell pstr contrrmente l modello d on Krmn. Qnd le qnttà e rppresentno le component nplne de tgl che nello slppo del modello rsltno tomtcmente espress n fnzone de moment. eqzone d eqlbro trsersle (c) present nece sempre rspetto CPT de termn ggnt rppresentt dlle qnttà C e D. In qesto cso nche l nlog eqzone d CPT der d n eqlbro nell confgrzone deformt m l descrzone dell deformzone n GCPT è pù rcc e cò prodce de termn ggnt. Coerentemente con l cmpo d deformzone () l legme costtto dell ntero lmnto s rdce : e k e D k con h / k ( k ) ( k ) { D } Q { z z } dz Q { z z } h / k zk z dz ed (8) qnttà D sono rspettmente le rgdezze estensonl flessonl e d ccoppmento flesso-estensonle dell ntero lmnto; ( k ) (7) Q sono le rgdezze delle sngole lmne consderte d tpo fbro-rnforzto ndrezonle []. Inserendo le deformzon () e () nel legme costtto (7) nserendo qest ltmo nelle eqzon d eqlbro dnmco () e troncndo le eqzon ll ordne cbco ottenmo le tre eqzon d goerno n termn d spostmento rspettmente n drezone e z : D D I & I & ( ) (9) D D I & I & ( ) (9b) D D I & I && I & ( ) (9c) doe termn k k kd ( k ) contengono le fnzon ncognte e mostrno ccoppment elstc e geometrc tr tre mot dell pstr. (Per bretà tl termn non s rportno come non s rportno le condzon l contorno esplctte n termn d spostmento [5]).

5 5. Semplfczone ICPT e formlzone ll r Il modello GCPT pr essendo noteolmente rdotto rspetto ll teor generle non pò sfrttre ntgg d clcolo crtterstc de modell ll on Krmn che rsedono nell ssenz d ccoppment geometrc tr mot nelle eqzon nplne. Il modello GCPT è stto llor semplfcto trscrndo contrbt legt gl spostment e nell legge d trsformzone de rferment perenendo così l modello semplfcto ICPT. In tle modello le crtre () s rdcono : k () k (b) k (c) e le eqzon d eqlbro () dentno: & & () I & I I & I & (b) ( ) C ( ) D I & I && I && (c) (le qnttà C e D sono rportte n ppendce). Semplfczon nloghe s hnno per le ssocte condzon l contorno. otmo che le prme de eqzon () e (b) concdono con le corrspondent d CPT; mentre l terz (c) perde rspetto ll (c) termn con gl spostment e conserndo comnqe de termn ggnt rspetto ll corrspondente eqzone ll on Krmn. Tle semplfczone opert rende l modello ICPT sscettble d n formlzone ll r come d segto slppt. ssmendo che l pstr bb denstà costnte ( I ) trscrndo termn d nerz nplne (coerentemente con l potes ) [] e trscrndo le nerze rotzonl le () e (b) possono essere soddsftte esttmente ntrodcendo l fnzone d sforzo d r Φ ( t) tle che: Φ () Φ Φ Il legme costtto (7) effettndo n nersone przle d mtrc pò pors nell conenente form: e C con k D k k k C k k D D h hk k ed hk ()

6 Utlzzndo le () () e () e trscrndo sempre le nerze l eqzone d eqlbro trsersle (c) dent: Φ doe termn D Φ Φ D I & ( ) () D contengono le fnzon ncognte e Ф e per bretà non s rportno [5]. ll () dee essere ssoct n eqzone d comptbltà espress n termn d fnzon e Ф che pò rcrs elmnndo e nell () ed tlzzndo le () () e (): Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ( ) (5) doe termn Φ contengono l fnzon ncognte e Ф e per bretà non s rportno [5]. e () e (5) rppresentno dnqe le eqzon d goerno per l modello ICPT nelle fnzon ncognte e Ф. otmo che per lmnt n c le rgdezze d ccoppmento flessoestensonle sono nlle l eqzone d comptbltà (5) concde con l nlog d on Krmn. DISCRETIZZZIOE E SOUZIOE. Premess e condzon dnmche consderte Il modello ICPT ene prm dscretzzto nel domno dello spzo ssmendo come fnzon d form predefnte le tofnzon del problem lnerzzto e po rsolto per pertrbt. e condzon dnmche consderte sono: () rsonnz estern prmr del modo fondmentle () n ssenz d rsonnze nterne con ltr mod; () rsonnz ntern : tr l modo fondmentle () ed l modo () cso n c l ecctzone n rsonnz prmr del modo freqenz pù elet comport n rspost sgnfct del modo fondmentle che rslt to prmetrcmente ecctto n rsonnz sbrmonc. ssmendo che non c sno ltre rsonnze che conolgno lteror mod gl slpp s prtcolrzzno per l cso bmodle () (che contene come cso degenere nche l cso monomodle ()).. Dscretzzzone nel domno dello spzo con l procedr d Glerkn Consderndo n pstr rettngolre semplcemente ppoggt d lt e b pr d sforz nplne lngo bord le condzon l contorno possono essere scrtte come sege: Φ Φ b Φ d Φ d d d b () Per gl spostment trsersl s ssme l segente form espress come combnzone delle de tofnzon smmetrche () e () del problem dnmco lnerzzto []:

7 7 hw ( π π π π t)sn sn hw ( t)sn sn (7) b b doe h è lo spessore ed coeffcent W (t) sono mpezze d spostmento dmensonl che esprmono l contrbto del relto modo d brre llo spostmento trsersle. Per l fnzone d sforzo d r s ssme l segente form: p π q π Φ Rpq cos cos (8) b p q che soddsf le condzon l contorno (). ell (8) coeffcent R s possono rcre n fnzone degl spostment W nserendo le (7) e (8) nell eqzone d comptbltà (5) e confrontndo coeffcent de termn trgonometrc (prncpo d denttà de polnom). Il metodo d Glerkn mpone: m π n () sn sn dd b b π (9) Per c sosttendo le (7) e (8) nell eqzone d eqlbro trsersle () ed esegendo l ntegrzone s ottene l segente sstem d de eqzon dfferenzl ordnre nel tempo con nonlnertà qdrtche e cbche: W && µ W & ω W GW G G W W G G W W G W && µ W & ωw GW G W W G W W W G W W G W W F cos Ωt G F cosωt W W () (b) elle () s sono ntrodotte le segent qnttà dmensonl: coeffcente d smorzmento µ ; coeffcent de termn lner ω (qdrto delle freqenze ntrl) coeffcent de termn qdrtc G k coeffcent de termn cbc G kl mpezz F e freqenz Ω del crco dnmco esterno rble temporle t (s omettono gl pc dlle () n po). Tl qnttà sono rportte n ppendce trnne le qnttà ω G k G kl che s omettono per bretà [5]. Il modello dscreto d ICPT è dnqe rppresentto dlle eqzon dfferenzl ll Helmholtz- Dffng (). Esso present l stess strttr mtemtc del corrspondente modello dscreto ll on Krmn (CPT) mentre le dfferenze sono contente ne coeffcent de termn cbc delle eqzon. Inftt coeffcent G delle () rsltno esprmbl come: G kl CPT G G (s) () kl kl kl

8 8 doe CPT Gkl sono gl nlogh coeffcent d CPT mentre G kl (s) è n lqot ggnt relt solo ICPT fnzone del rpporto s h / tr spessore e lto. prte CPT Gkl è dot lle deformzon nplne del pno medo oero gl ccoppment geometrc tr l moto nplne ed l moto trsersle qnd è fnzone soltnto delle rgdezze e non delle rgdezze e D. prte G kl (s) è nece dot ll presenz d lcn contrbt nonlner ggnt present n ICPT ed è fnzone nche delle rgdezze e D. Reltmente lle nonlnertà qdrtche coeffcent de termn qdrtc relt ICPT sono gl stess d CPT e sono collegt esclsmente lle rgdezze. S è sto che non sono collegte stzon d non-ortogonltà (nell procedr d Glerkn) tl d prodrre termn qdrtc non nll [5]. Qnd l presenz nel legme costtto dell ttte le rgdezze mtrce [ ] d ccoppmento flesso-estensonle (cso de lmnt generc o ntsmmetrc) è n condzone necessr m non sffcente per fr nscere nonlnertà qdrtche (Tb. ).. Solzone pertrbt con l metodo delle scle mltple Poché coeffcent de termn qdrtc del modello ICPT concdono con qell d CPT (cfr..) n prm nls s consderno lmnt con sole nonlnertà cbche. llor l () s contre ed ssmendo che l ntenstà dell forznte estern s tle d ndrre mpezze d rspost sffcentemente pccole ess rslt così espress n fnzone del pccolo prmetro ε []: ( GX GX X GX X ) f Ωt ( G X G X X G X ) f Ωt X & εµ X & ω X ε ε cos () X & εµ X & ω X ε cos (b) ε doe: W ε / X µ C / ε ε / ε / f F () Utlzzndo l metodo delle scle mltple l solzone delle () ene espress n termn d dfferent scle temporl nell form: X Schem d lmnzone onlnertà qdrtche onlnertà cbche t; ε ) X ( T T ) ε X ( T T )... ( T t e T ε t ) () ( generco SI SI smmetrco cross-pl O SI smmetrco ngle-pl O SI ntsmmetrco cross-pl SI SI ntsmmetrco ngle-pl O SI sotrop O SI ortotrop O SI Tb.. Presenz delle nonlnertà qdrtche e cbche ne r tp d lmnt. e condzon d rsonnz ntern ω ω ed estern ω Ω engono descrtte ntrodcendo

9 9 segent prmetr desntonzznt σ eσ tl che: ω ω εσ ω Ω εσ (5) Solgendo ttt pssgg l condzone d solbltà fornsce l segente sstem d modlzone per le mpezze e per le fs β : ω ( µ ) G snγ 8 () ω β G G cosγ G 8 8 (b) ω( µ ) G snγ f snγ 8 (c) ωβ G cosγ G G f cosγ 8 8 (d) doe per rendere l sstem tonomo s è posto γ β β σt e γ β σ T. e solzon stzonre delle () sono pnt solzone del sstem lgebrco ottento dlle () nnllndo ttte le derte. Tl pnt sono trccbl l rre de prmetr estern freqenz ed ntenstà dell forznte tlzzndo tecnche d contnzone. ote le solzon stzonre del sstem () mot perodc dell pstr n regme flessonle sono descrtt d: π π π π W W ε cos ( Ωt β γ ) sn sn ε cos( Ωt γ )sn sn (7) h b b stbltà d tl mot pò essere esmnt controllndo gl tolor dell mtrce Jcobn ottent nlzzndo l comportmento del sstem () nell ntorno nfntesmo delle solzon stzonre. RISUTTI UERICI rspost dnmc del modello ICPT è stt confrontt con qell d CPT. Come esempo per l cso monomodle n rsonnz prmr estern sl modo fondmentle ( Ω ω ) tlzzmo n pstr qdrt ntsmmetrc ngle-pl (5 ) con 8 strt n boro-epossdc. Dlle cre mpezz-freqenz de de modell (Fg.) notmo che l coeffcente nonlnere d ICPT ndce n nonlnertà meno hrdenng rspetto CPT; poché come è noto l pcco n mpezz è ndpendente dl coeffcente d nonlnertà l sddle-node bfrcton s erfc per ICPT ll stess mpezz d CPT m d n nferore freqenz dell forznte. Fg.b mostr per de modell le relte eolzon temporl n corrspondenz del pnto d pcco d ICPT n Fg. ; pò notrs l dfferenz d mpezz e lo sfsmento. Fg. c confront le cre mpezz-forz n corrspondenz delle freqenze d pcco dell Fg. ; lo scrto d forz n corrspondenz del prmo pnto d slto è d crc %. Come esempo per l cso d nterzone bmodle dot ll rsonnz ntern : tlzzmo n pstr rettngolre ntsmmetrc ngle-pl ( ) con de strt n grfte-epossdc. Fg.d mostr le dfferenze tr de modell n termn d mpezz d rspost e d estensone delle zone stbl. otmo

10 nche dlle cre complete delle Fgg. e-f che CPT present de rm d solzone dstnt mentre ICPT mostr rm d solzone nc che eolono n n rnge d freqenz contno. Utlzzndo l modello ICPT s sono po compte lcne ndgn fenomenologche l rre de prmetr ntern dell pstr. e Fgg. g-h mostrno d esempo le rsposte n rsonnz prmr l rre del mterle per n lmnto d 8 strt. otmo che nel cso d schem ntsmmetrco ngle-pl (g) l nonlnertà h effett noteolmente ders s r mterl consdert mentre nel cso ntsmmetrco cross-pl (h) l effetto dell nonlnertà è smle per ttt mterl consdert m le dfferenze ne lor d pcco sono pù elete. (b) (d) (f) (g) (h) Fg.. (): s. r f 8; (b): s. r f 8 Ω.97; (c): s. r Ω (CPT).5 Ω (ICPT).97; (d)(e)(f): s. r.5 f 8; (g)(h): s. r.5 f

11 5 COCUSIOI Prtendo dll teor generle presentt n [] è stto slppto n modello crtre nonlner GCPT che è stto lterormente semplfcto prodcendo l modello ICPT. Qest ltmo è stto rsolto con S e confrontto con l modello CPT (on Krmn). Per l cso d rsposte monomodl n rsonnz estern le cre mpezz-freqenz del modello ICPT mostrno n nonlnertà meno hrdenng rspetto l modello CPT (on Krmn). el cso d rsposte bmodl n condzone d rsonnz ntern : le sddette cre mostrno sflsment d poszone ed estensone de trtt d solzone stble. Utlzzndo l modello ICPT s sono po effettte lcne ndgn fenomenologche. blogrf [] Redd J.. echncs of mnted Composte Pltes nd Shells CRC Press (). [] feh l H. nd P P. Frnk ner nd onlner Strctrl echncs Wle (). [] P P. Frnk nd feh l H. nonlner composte plte theor onlner Dnmcs 5-77 (99). [] be. Kobsh Y. nd Ymd G. To-mode response of smpl spported rectnglr lmnted pltes Interntonl Jornl of on-lner echncs () 75-9 (998). [5] Sett E. pstr n compost lmnt: modellzone e dnmc nonlnere n condzon d rsonnz Tes d Dottorto Dprtmento d Ingegner Strttrle e Geotecnc Spenz Unerstà d Rom (9). PPEDICE Sgnfcto delle sgle n Tb.: CPT clsscl lmnted plte theor; FSDT frst-order sher deformton lmnted plte theor; TSDT thrd-order sher deformton lmnted plte theor; G generl; modfed; I mproed. ( ) ( ) ( ) ( ) D C D C Qnttà nelle eqzon (): h E I I µ µ I h E t E h I Ω Ω b dd b n m h E r q F sn sn π π h s b r Qnttà nelle eqzon (): Qnttà nelle eqzon ():