Note sull esperienza Volano versione 3, Francesco, 30/04/2010

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1 ote sull esperenza Volano versone 3, Francesco, 30/0/010 L esperenza, basata sullo studo del moto angolare d un dsco d allumno ( volano, ha dvers scop e fnaltà, tra cu: a Determnare spermentalmente la legge orara della veloctà angolare ω(t nel caso d moto lbero (senza moment d forza estern, applcat ntenzonalmente e n presenza d attrto dnamco; b Determnare l valore numerco della accelerazone angolare α A dovuta alle forze d attrto; c Determnare spermentalmente la legge orara della veloctà angolare ω(t nel caso d moto dovuto alla presenza d un peso appoggato a un pattello (collegato a una pulegga soldale al volano da un flo nestensble d massa trascurable; d Determnare l valore numerco dell accelerazone angolare α nel moto d cu sopra, eseguendo la msura per dvers valor della massa del peso; e Determnare, sulla base de rsultat e della valutazone quanttatva d tutte le grandezze rlevant, l accelerazone d gravtà g. Lo stle della relazone è lbero. ella relazone vanno ndcate le msure effettuate, gl strument mpegat e la stma dell ncertezza assocata a ogn msura, sa dretta (fatta con uno strumento che dervata (fatta attraverso manpolazon matematche d grandezze msurate. Tutt passagg vanno, per quanto possble, spegat (rcordate d esprmere sempre le untà d msura e d charre le modaltà d operazone e d trattamento de dat. Alla relazone vanno aggunt gl eventual grafc, da fare o a mano su carta mllmetrata, o con computer. Personalmente, suddvdere la relazone n dverse sezon, ad esempo: 1. Introduzone, con breve descrzone delle fnaltà etc.;. Modello, con chara dscussone d tutte le legg mpegate e della matematca che serve per determnare le equazon, o formule, necessare; 3. Dscussone sugl strument d msura a dsposzone e della loro sensbltà (ncertezza;. Dscussone delle msure prelmnar, ad esempo masse, moment d nerza, dmenson, etc., con esplcta menzone all ncertezza che attrbute a ogn msura e breve descrzone delle modaltà d msura (uso l calbro, l metro, la blanca, m fdo d dat nomnal, trascuro qualcosa, etc.; 5. Descrzone della prma parte dell espermento, coè la decelerazone del volano dovuta all attrto, e calcolo della α A ; 6. Descrzone della seconda parte dell espermento, coè l accelerazone del volano per effetto del momento della forza trasferta dal flo sulla pulegga, e calcolo della α; 7. (solo se davvero ve la sentte, e spero che davvero ve la sentate Determnazone d g da dat dell espermento e dscussone sull ncertezza e sulla verdctà della msura. ota: per calcolare le accelerazon angolar d cu a punt 5, 6 e determnare l ncertezza assocata occorre usare metod d best ft, o regressone lneare, che abbamo trattato la settmana scorsa. Qualche suggermento per le vare sezon. 1. Spegate n modo charo cosa s vuole verfcare e ottenere.. Dscutete per bene l modello fsco rsolvendo le equazon convolte. V rcordo che le due legg orare della veloctà angolare che s ottengono ne due cas (punt 5 e 6 devono essere rspettvamente: ω(t = ω 0 + α A t, dove s ntende che l valore d α A è negatvo, e ω(t = (α+α A t. 1

2 Rspetto a var parametr del problema, che esprmo usando le notazon solte, a me vene: A + mtot gr / Itot α = α : rcontrollate attentamente che questa equazone sa valda e soprattutto nella 1+ mtot R / Itot relazone mostrate che questo è l rsultato a cu s arrva! 3. Gl strument che avete usato l conoscete. Può farv comodo rcordare che la sensbltà del calbro usato è 1/0 mm; noltre possamo assumere che l accuratezza della massa de pes usat fosse mglore d 1 g (come verfcato con la blanca, d sensbltà nomnale g. Per quanto rguarda l ncertezza sulla veloctà angolare stantanea, fornta dal computer, tenendo conto che l encoder usato ha 0 tacche per gro, propongo d usare un errore relatvo dell ordne d ± 1/0, coè un errore relatvo percentuale par a ± 5%.. In questa sezone dovreste dedcarv a fornre valor numerc d tutte le grandezze, dervate e non, che compaono nel problema, dscutendone l ncertezza. Ad esempo, se l equazone che determna l valore dell accelerazone angolare è davvero quella sopra, dovreste n questa sezone specfcare quanto valgono e quanta ncertezza (assoluta o relatva hanno R (raggo della pulegga, m tot (massa del peso e del pattello, I tot (momento d nerza del volano, che stmerete usando la relazone I = Mr / valda per un dsco peno omogeneo, rcordando che M = ρ M V con ρ M = (.70±0.0x10 3 kg/m 3, denstà d massa dell allumno, e V volume del dsco - nutle rcordarv che l volume s esprme come πr d, con d spessore del dsco. Rcordate che, ogn volta che una grandezza è dervata matematcamente da altre (ad esempo l volume o l momento d nerza o m tot occorre preoccupars della propagazone degl error e usarla n modo opportuno. Può essere che qualche volta, attraverso opportun ragonament, sa possble trascurare l ncertezza o stmarla n modo dverso rspetto all uso della propagazone degl error: questo è l caso, ad esempo, d I tot, dove la stma deve tenere conto del fatto che approssmate l volano a un dsco peno, e qund l ncertezza dovrebbe nascere dal approssmazone che fate. Potete po fare qualche affermazone fnalzzata a semplfcare la matematca, ad esempo ndvduare le ncertezze che sono pressoché rrlevant. Secondo me, l errore relatvo nella msura d R e d m tot è trascurable rspetto agl altr. 5 e 6. Qu dovete descrvere e dscutere due dvers esperment (rotazone lbera e dovuta al peso che avete svolto, nserendo grafc che consentono d determnare le accelerazon ne due cas. State attent a rcordare che l sstema d msura della veloctà angolare n funzone del tempo non regstra l segno, ovvero l verso d rotazone, per cu l grafco ottenuto al punto 6 dovrebbe avere una forma a dente d sega. Charamente per estrapolare l valore d α dovrete arrangarv, o utlzzando solo un tratto del dente d sega, oppure nventandov un modo che consenta d sfruttare pù da spermental (lasco l nventva a vo. Può essere smpatco paragonare valor d α che s ottengono usando dvers pes: quest valor, ovvamente, non devono essere ugual tra loro, dato che l rsultato dpende da m tot, e la relazone attesa tra var valor può essere determnata matematcamente, per cu dovrebbe essere possble fare un confronto. 7. La valutazone d g attraverso questo metodo rchede d nvertre l equazone scrtta sopra, ottenendo, n pratca, g n funzone delle altre grandezze msurate (drettamente o n modo I tot dervato. A me vene (ma anche qu rcontrollate bene!: g = ( α α A α AR (occho a mtot R segn, che sono stat corrett n questa versone!. Ovvamente anche per questa espressone dovete stmare l ncertezza, usando n modo corretto la propagazone degl error (rcordate che nel caso d somme o dfferenze s sommano gl error assolut, nel caso d prodott o rapport s sommano gl

3 error relatv; rcordate anche che, a rgore, quando le msure sono ndpendent tra loro, come n questo caso, alle somme s sosttuscono le somme n quadratura. ota sull operazone d best ft. A questo punto del corso dovreste essere n grado d usare metod d best ft (mnm quadrat che abbamo vsto a lezone. Anche se s potrebbe utlzzare una regola unca per due cas che s ncontrano nell espermento (retta che passa per l orgne e retta con termne costante, dstnguerò le due stuazon, che corrspondono ovvamente a due dvers esperment. a Retta che passa per l orgne (serve per valutare la pendenza α+α A nell espermento d caduta accelerata, coè quando usate pesn, coè per nterpretare dat d cu al punto 6 dscusso sopra. Per evtare confuson d smbol, chamerò qu la funzone f(x = mx, coè suppongo che la varable ndpendente s cham x (nell espermento è l tempo e che la pendenza s ndch con m (non è una massa e nell espermento è l accelerazone α+α A. Dett dunque x valor msurat della varable ndpendente ( temp, così come sono espress nella prma colonna del fle generato dal computer e y valor msurat della varable dpendente (le veloctà angolar, così come sono espress nella terza colonna del fle generato dal computer, s ha: essere espressa come: Δ ( Δy m x x y m =. L ncertezza su questo parametro d ft può b Retta che non passa per l orgne (serve per valutare la pendenza α A nell espermento d decelerazone per attrto dnamco, coè quando fate partre con una certa veloctà nzale ω 0 l volano e ne osservate la decelerazone, coè per nterpretare dat d cu al punto 5 dscusso sopra. Per evtare confuson d smbol, chamerò qu la funzone f(x = mx + q, dove rspetto a prma ho aggunto l termne costante q (che spermentalmente è ω 0, mentre l termne m stavolta s rfersce all accelerazone angolare dovuta all attrto, coè è n pratca α Α. Dett dunque x valor msurat della varable ndpendente ( temp, così come sono espress nella prma colonna del fle generato dal computer e y valor msurat della varable dpendente (le veloctà angolar, così come sono espress nella terza colonna del fle generato dal computer, ed l numero complessvo delle msure, coè de punt acqust dal computer (e consderat per l best ft, s ha: ( y x x y q = x espressa come: x x y y m =. L ncertezza su quest parametr d ft può essere ( Δy Δm ; Δq ( Δy Ho provato personalmente, per dvertmento, a esamnare dat d qualcuno d vo. I grafc, con rspettv best ft a una retta fatt con l metodo de mnm quadrat sono rportat nelle Fg. 1-3 (per ; 3

4 gl esperment d cu a punt 5 e 6, rspettvamente, e nel caso dell espermento d cu al punto 6 rporto rsultat per due scelte de pesett. ω [rad/s] Best ft to a straght lne wth α A =( ±0.008 rad/s ω 0 =(9.7±0.11 rad/s data excluded from the best ft Tme [s] Fg. 1. Andamento della veloctà angolare del volano n funzone del tempo nel caso d rotazone lbera (coè con la sola forza d attrto presente. I punt spermental sono rappresentat da crcoln ross: l ncertezza delle msure (valutata del ±5% per la sola msura della veloctà angolare, per la msura d tempo è trascurable è rappresentata con barre d errore. La lnea blu è l rsultato d un operazone d best ft a una lnea retta, d pendenza α A e valore costante ω 0 come ndcato n legenda. I due punt cerchat sono stat esclus dalla procedura d best ft, n quanto fortemente fuor dalla retta nterpolante (probablmente s tratta d error d msura dovut all elettronca d acquszone o a qualche altro motvo strumentale ω [rad/s] Best ft to a straght lne wth α+α A =(0.161± rad/s Weght (50±1 g Tme [s] Fg.. Andamento della veloctà angolare del volano n funzone del tempo nel caso d rotazone dovuta alla presenza del pattello, del flo avvolto sulla pulegga e della massa [per questa msura s aveva m = (50±1 g]. I punt spermental sono rappresentat da crcoln ross: l ncertezza delle msure (valutata del ±5% per la sola msura della veloctà angolare, per la msura d tempo è trascurable è rappresentata con barre d errore. La lnea blu è l rsultato d un operazone d best ft de dat corrspondent alla prma dscesa (l prmo tratto del dente d sega a una lnea retta, d pendenza α come ndcato n legenda

5 ω [rad/s] 8 6 Best ft to a straght lne wth α+α A =(0.096± rad/s Weght (100±1 g Tme [s] Fg. 3. Analogo della Fg., ma per un pesetto d massa m = (100±1 g. 300 Uso l valore R = (10.00±0.05 mm, che ho controllato essere corretto (era errato per dmentcanza nella precedente versone d questa nota!, pongo l momento d nerza I tot =.7x10 - kg m. on voglo neanche suggerrv come ndcare l ncertezza su questa grandezza, e uso un ncertezza relatva (percentuale del 10%, che credo sa una sovrastma d quanto s ha n realtà. Infne, rcordo a mente quanto vale l peso del pattno (3 g, con ncertezza trascurable vsta la sensbltà della blanca d laboratoro, e qund pongo m tot = (73±1 g oppure m tot = (100±1 g n corrspondenza de due cas esamnat spermentalmente n Fg. e 3, rspettvamente. Con questa scelta de parametr che, rpeto, potrebbe essere errata (per dmentcanza, controllate le vostre note!, usando dat per l pesetto da 100 g, che m sembrano mglor, ottengo g = 11. m/s. L ncertezza sulla valutazone d g m pare domnata (usando n modo opportuno la propagazone degl error, e voglo che vo lo faccate con charezza nella relazone da quella su I tot e da quella sulla determnazone delle accelerazon angolar, per cu l errore relatvo sulla valutazone d g esce dell ordne del 15%. Dunque l rsultato fnale sarebbe: g = (11.±1. m/s. Questo rsultato è quas accettable, dato che sappamo che g ~ 9.8 m/s. L accordo con le attese però non è propro perfetto. Se ne conclude che: ( C è qualche errore nella soluzone del modello (rcontrollate!; ( Ho sbaglato qualcuno de valor che rcordo a mente (rcontrollate!; ( Il modello è sbaglato, ad esempo perché la forza d attrto non produce un accelerazone angolare costante (non è semplce attrto dnamco o perché s è sottovalutato qualche aspetto mportante; (v C è qualche errore sstematco nella msura computerzzata delle veloctà; In ogn caso, tutto cò non v autorzza a non fare una valda relazone d laboratoro, e anche a farla a tempo debto (voglo che m consegnate tutte le relazon almeno una settmana prma dell orale. Buon dvertmento! 5