UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI FISICA "GALILEO GALILEI"

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1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI FISICA "GALILEO GALILEI" ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA E DI ANALISI E RIDUZIONE DEI DATI SPERIMENTALI per l LABORATORIO DEI CORSI DI FISICA della Facoltà d Igegera Sommaro:. MISURA DELLE GRANDEZZE FISICHE Metodo d msura dretta Metodo d msura dretta. ERRORI DI MISURA Sesbltà degl strumet Classfcaoe degl error. Prcpo della meda artmetca. Scart dalla meda. 3. LEGGE DI DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI CASUALI. Legge ormale e dstrbuoe gaussaa. Scarto quadratco medo ed errore quadratco medo. 4. ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI Determaoe de parametr della curva gaussaa. Msure drette. Caso leare. Formula d propagaoe dell'errore quadratco medo. 5. ULTERIORI METODI DI ANALISI DEI DATI Meda pesata Aals multdmesoale: caso leare bdmesoale e metodo de mm quadrat.

2 MISURA DELLE GRANDEZZE FISICHE Og gradea fsca è rappresetata completamete da uo o pù umer (a secoda che s tratt d gradea scalare o vettorale segut dall'utà d msura, coè dal smbolo della gradea ad essa omogeea che s è scelta coveoalmete come gradea campoe, ad esempo l metro (m per la lughea, l chlogrammo (kg per la massa, l tesla (T per l'duoe magetca e così va. Il umero che rappreseta la msura della gradea fsca questoe può essere otteuto attraverso due metod dstt. a Metodo d msura dretta S esegue drettamete l cofroto, secodo u procedmeto operatvo che fa parte della defoe stessa della gradea, tra la gradea da msurare ed l campoe, ovvero u'altra gradea omogeea d msura ota. Ad esempo, la lughea d u foglo d carta può essere determata appoggado su d esso ua rga mllmetrata: la msura della lughea è la dfferea tra le graduao corrspodet alle estremtà del foglo. b Metodo d msura dretta S calcola l valore della gradea attraverso ua relaoe aaltca che e dà l'espressoe fuoe d altre gradee a loro volta msurate drettamete. Ad esempo, la veloctà d u corpo può essere calcolata come quoete tra lo spao percorso (msurato drettamete co u metro campoe ed l tempo mpegato a precorrerlo (msurato drettamete co u orologo.. ERRORI DI MISURA Sesbltà degl strumet Og msura mplca u gudo sull'eguaglaa tra la gradea cogta e la gradea campoe ( o evetualmete u suo multplo o sottomultplo. E' charo che tale gudo o può essere assoluto, ma dpede dalle codo cu la msura vee effettuata. Così ell'esempo ctato sopra, se la msura d lughea vee effettuata co ua rga mllmetrata, sarà possble effettuare l cofroto co u'certea d meo mllmetro pù o meo. Se ad esempo s osserva che, posto uo de bord del foglo corrspodea dello ero, l'altro s trova tra le graduao 57 e 573, s potrà scrvere: 0.57m l m o ache, pù comuemete: l ( ± m S dce questo caso che la msura d lughea è stata eseguta co ua "sesbltà" d 0.5 mm. E' charo che se la msura s esegue co ua stecca graduata cetmetr, la sesbltà rsulta d 0.5 cm. I geerale, s defsce sesbltà d uo strumeto (o del procedmeto spermetale cu vee usato la mma dfferea appreable tra l valore della gradea da msurare e quella campoe. No ha seso rportare l rsultato d ua msura dcado u umero d cfre decmal maggore d quello ecessaro per dcare la sesbltà della msura. S può pesare d mglorare la qualtà d ua msura usado strumet e procedmet d sesbltà maggore. Itervee allora u fatto uovo, che llustreremo facedo acora rcorso all'esempo precedete. S suppoga d voler msurare la lughea d u foglo vo ua sesbltà d u mllesmo d mllmetro (m. Rpetedo vare volte la msura s ottegoo ad esempo seguet valor: a msura: l m a msura: l m 3 a msura: l m 4 a msura: l m I rsultat delle msure dfferscoo tra loro quato soo preset error d msura superor alla sesbltà dello strumeto. Og msura è affetta da error, e se talvolta s parla d "valore vero" d ua gradea, s tede semplcemete l valore che s otterrebbe eseguedo la msura codo tal da rdurre gl error a valor molto mor degl attual. Classfcaoe degl error. Gl error d msura s possoo suddvdere "sstematc" e "casual". Alla prma categora appartegoo gl error che falsao la msura sempre ello stesso seso. Ad esempo, u "metro" campoe lugo 999 mm forrà sempre delle msure errate per eccesso; u voltmetro d resstea tera troppo bassa farà dmure sempre la dfferea d poteale da msurare (l'ettà dell'errore sstematco d seroe dpede questo caso dalla resstea del crcuto estero. Dagl error sstematc c s può lberare calbrado attetamete gl strumet, ovvero apportado u' opportua correoe a rsultat otteut.

3 La presea d error casual, a dfferea d quato accade per quell sstematc, rsulta evdete quado s rpeta pù volte la stessa msura codo omalmete egual co ua sesbltà suffcetemete spta. S osserva allora che rsultat dfferscoo l' uo dall' altro. Cò può essere mputato a vare cause: a codo spermetal (es. pressoe, temperatura fluttuat maera o cotrollable; b dsturb estrae alla msura (vbrao, camp elettrostatc, c grossolaa terpolaoe tra due dvso successve ella scala dello strumeto; d defoe vaga della gradea da msurare (cosa sgfca "lughea del foglo d carta" quado s preteda d msurarla co ua precsoe del m? Il foglo o è ma perfettamete rettagolare ed suo bord o soo esattamete rettle. La presea d error og msura, e partcolarmete degl error casual, mostra come la sesbltà sa u requsto ecessaro, ma o suffcete, per ua buoa msura. Vedremo e prossm paragraf come sa possbl defre la "precsoe" d ua msura ed evetualmete mglorarla, etro lmt cosett dalla sesbltà degl strumet. Prcpo della meda artmetca. Scart dalla meda. Suppoamo d aver msurato volte ua gradea fsca co lo stesso strumeto ed codo omal detche. Sao:, 3,. gl valor otteut, geeralmete dvers per la presea d error casual; supporremo oltre d aver elmato og errore sstematco. La pù semplce rappresetaoe grafca dell'seme delle msure cosste u dagramma cartesao, come quello rportato Fg. che corrspode ad u seme d 00 valor msurat d ua stessa gradea fsca. I u grafco d questo tpo, o "deogramma", s rporta ascssa l umero d'orde della msura, ordata l valore msurato. E' opportuo traccare come rfermeto ua retta orotale corrspodea del valore medo delle msure. Uo sguardo all'deogramma permette d fars subto u'dea qualtatva della dspersoe de dat e d accorgers se sao terveute el corso dell'esperea varao elle codo spermetal. Fg. 3

4 S preseta l problema d quale sa l valore da assegare alla gradea questoe. Il prcpo che geeralmete s adotta è quello della meda artmetca: s assume coè come u ragoevole "dcatore" del valor vero della gradea (valore che resta peraltro scooscuto la meda artmetca degl valor otteut spermetalmete: < > Tale scelta può essere gustfcata co vare cosderao. Iatutto el computo della meda artmetca tutt gl valor vegoo trattat alla stessa maera e l rsultato è dpedete dall'orde cu soo fatte le msure. Ioltre lo scarto tra l valor medo ed l "valore vero" è medamete more, valore assoluto, degl scart tra le sgole msure ed l valore vero. Cò può essere qualtatvamete compreso sulla base delle seguet cosderao: gl scart delle sgole msure rspetto al valore vero, quato casual, possoo essere sa postv che egatv; geerale le msure errate per eccesso e quelle per dfetto soo all'crca egualmete umerose. Quado s calcola la meda artmetca, gl scart dal valore vero s sommao algebrcamete: s ha qud ua parale cacellaoe degl error, coscchè la meda artmetca dà u valore pù vco al vero d quato medamete o sao le sgole msure. Sa fatt * l valore vero (cogto della gradea questoe e dchamo l valor medo, come sopra, col smbolo <>; chameremo "errore della -esma msura" la dfferea: ε * tra l valore msurato e l valore vero; chameremo vece "scarto dalla meda" della -esma msura la dfferea: < >. L'errore ε da attrbure a <> sarà: ε < > * * * ( ε Da questa formula appare evdete l'effetto d parale cacellaoe degl ε. Pù quattatvamete, s può faclmete dmostrare che l valor medo <> è quel valore della varable che mma la somma de modul delle 'dstae' (- dalle sgole msure; la quattà: S( ( è coè mma per <>. Determado fatt l mmo 0 della fuoe S( s ha: ds( d ( ( ( d d d d 0 0 < > S ot che la somma degl scart dalla meda è ulla per defoe (o così, ovvamete, la somma de quadrat degl scart: ( < > < > 0 U' altra propretà degl scart è che cascuo d ess dffersce dal corrspodete errore d ua quattà costate, che è l'errore del valore medo: * * ε + < >< > ε Se l umero delle msure è abbastaa grade ε 0, come dmostreremo, coscchè o v è grade dfferea tra gl scart e gl error. 4

5 3. LEGGE DI DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI CASUALI. Legge ormale e dstrbuoe gaussaa. Msurado rpetutamete ua stessa gradea fsca s ottegoo geerale de rsultat, 3,. dvers l'uo dall'altro. Possamo calcolare gl scart dalla meda. C chedamo quale sa la loro dstrbuoe. Per prma cosa, scelto u tervallo d cu precseremo tra poco l'estesoe, cotamo quat scart hao u valore compreso ell'tervallo [0, ], quat ell' tervallo [, ] e così va. Per ua rappresetaoe grafca della dstrbuoe così otteuta, possamo costrure u "stogramma", rportado su u asse orotale a destra e a sstra d u puto O scelto come orge, de segmet d lughea ; su cascu segmeto costruamo u rettagolo d base ed altea proporoale al umero d scart coteut ell' tervallo corrspodete. E' charo che affchè l'stogramma da ua rappresetaoe utle della dstrbuoe, l'ampea dell'tervallo deve essere scelta modo tale che almeo e 3 o 4 tervall pù prossm all' orge cada u umero sgfcatvo d scart. La scelta d u valore troppo grade (rspetto all'ettà degl error casual goco farebbe cadere tutt gl scart e sol due tervall cotgu all'orge; la scelta d u valore troppo pccolo vceversa determerebbe ua dstrbuoe eccessvamete 'dspersa', co molt tervall vuot ed alcu tervall popolat da poch scart (a meo che l umero d msure o sa molto grade. Vedremo d precsare meglo l crtero d scelta dell'ampea dell'tervallo dopo aver trodotto l cocetto d scarto quadratco medo. Rportamo Fg. l'stogramma della dstrbuoe degl scart per le 00 msure d cu abbamo mostrato l'deogramma Fg.. L'stogramma è stato dsegato raggruppado gl scart tervall d ampea 5 (elle stesse utà d msura co cu soo state msurate le. Fg. I geerale s osserva che gl scart grad valore assoluto soo meo frequet d quell pccol; oltre la dstrbuoe rsulta approssmatvamete smmetrca rspetto allo ero. E' possble prevedere teorcamete la forma della dstrbuoe el caso lmte cu l umero delle msure sa molto grade (, ell'potes, che qu assumamo, che le msure sao dpedet, ossa che l rsultato d ua msura o sa codoato da quello delle msure precedet. I tal caso possamo pesare d far tedere a ero l'ampea, modo che la dstrbuoe dscreta prma cosderata dvet ua fuoe cotua e l'stogramma vega sosttuto da ua curva. La fuoe prevsta dalla teora : 5

6 f ( Ae h s chama "fuoe gaussaa" e la legge d dstrbuoe degl scart s dce "legge ormale". Il suo sgfcato è l seguete: l umero d scart d l cu valore è compreso ell'tervallo ftesmo tra e +d è: h d f ( d Ae d Il parametro h s chama "modulo d precsoe". Esso rappreseta, come vedremo, l'accuratea della sere d msure. Il parametro A d ormalaoe dpede dal umero totale d msure. La rappresetaoe grafca della legge ormale, detta "curva gaussaa", è mostrata Fg.3. Essa ha u massmo per 0, è smmetrca rspetto allo ero e tede a ero per. E' charo che pratca la dstrbuoe degl scart rlevat spermetalmete ua sere ache abbastaa umerosa d msure segue solo approssmatvamete ua legge d tpo f(; quato pù grade è l umero d msure, tato mglore è l'approssmaoe, ossa tato mor soo le fluttuao de valor spermetalmete trovat d d rspetto alla prevsoe teorca df(d. Scarto quadratco medo ed errore quadratco medo. S suppoga d ever eseguto determao spermetal della gradea :, 3,. U parametro utle per caratterare la precsoe della sere d msure è l' "errore qudratco medo", che defremo prma per va astratta, rservadoc d vedere successvamete come sa possble rcavarlo da dat spermetal. Defamo come "errore quadratco medo" l'espressoe: ε * ( I pratca l valore vero * o è cooscuto. Possamo vece calcolare lo "scarto quadratco medo": ' ( < > che come vedremo costtusce ua buoa approssmaoe (per dfetto dell'errore quadratco medo, tato mglore quato maggore è l umero d msure. Notamo subto che vale l'dettà, che permette d calcolare pù rapdamete lo scarto quadratco medo: ' ( < > < > + < > < > essedo, per defoe d valor medo, < >. Pertato: ' < > < > < >, dove s è dcato co < > l valor medo della quattà. 4. ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI. Determaoe de parametr della curva gaussaa. Data ua sere d msure, d cu s sa costruto l'stogramma rportato Fg., s vuole determare la curva gaussaa che meglo rappreseta la dstrbuoe degl scart osservat. 6

7 La legge gaussaa è fuoe de due parametr A ed h. Per sceglere tra le fte curve possbl quella che meglo terpola dat dovremo qud mporre due codo. La prma codoe, detta "d ormalaoe", è che l'area sottesa dalla curva e l' stogramma della dstrbuoe spermetale rappreseto lo stesso umero d msure, ossa l'stogramma abba area uguale a quella sottesa dalla curva. Pochè, per come s è costruto l'stogramma d Fg. (poedo og tervallo u rettagolo d base e d altea uguale al umero d msure avet scarto compreso ell'tervallo cosderato, l'area d questo è: S dove la sommatora corre su tutt gl tervall e è la popolaoe dello -esmo tervallo; ovvamete la sommatora è uguale al umero totale d msure effettuate. Pertato deve essere: L'tegrale a destra vale + f ( d + Ae h d A π / h e pertato la prma codoe dà: A π / h da cu s può rcavare la costate d ormalaoe fuoe d h. Il modulo d precsoe h s determa mpoedo che l'stogramma e la dstrbuoe rappresetata dalla curva gaussaa abbao lo stesso scarto quadratco medo. Lo scarto quadratco medo della dstrbuoe gaussaa, che dcheremo co σ, è dato dal lmte cu tede, per l umero d msure, lo scarto quadratco medo d ua dstrbuoe dscreta : ossa: σ 7 + h Ae + lm + f ( d + h f ( d dove, come s è gà vsto, al tedere all'fto del umero d msure: d d(f(d ed l umero totale d msure Ae d d f ( d. S dmostra che l rapporto tra gl tegral a destra ell'equaoe vale /(h, pertato: σ h La codoe d eguaglaa tra lo scarto quadratco medo dell'stogramma delle msure e lo scarto quadratco medo della dstrbuoe gaussaa è qud: ' σ h ossa l modulo d precsoe della curva gaussaa che meglo terpola dat spermetal è legato allo scarto quadratco medo dalla relaoe: h ' che gustfca la deomaoe d "modulo d precsoe" del parametro h: tato maggore è l suo valore, more è lo scarto quadratco medo della dstrbuoe spermetale. Msure drette. Caso leare. Nella maggor parte delle rcerche spermetal c trovamo d frote al problema d msurare delle gradee fsche maera dretta. Questo problema s può presetare sa perchè msurare ua gradea maera dretta può essere estremamete dffcle, sa perchè la stessa defoe della gradea fsca questoe lo mpoe (s pes, ad esempo, alla veloctà, sa perchè s vuole verfcare la valdtà d ua data relaoe teorca tra due o pù gradee. Cosderamo dapprma l caso semplce d ua gradea F espressa come somma d due altre gradee e y. Sao e y gl scart quadratc med delle rspettve dstrbuo spermetal, <> e <y> loro valor med.

8 Voglamo determare lo scarto quadratco medo della gradea F. Per og sgolo valore msurato e y delle gradee e y, la gradea F assume valor: F + y ; l suo valore medo è: < F > F + + ( y y < > + < y > ed essedo <>+ e y <y>+ y (avedo dcato co e y gl scart dalla meda, s ottee mmedatamete: F + y < > + + < y > + y < F > + F ossa F + y Il quadrato dello scarto quadratco medo della dstrbuoe della gradea F è allora: F ( F ( + ( y + ( y Essedo le msure d ed y dpedet, per og possble valore d ell'ultmo terme dell'equaoe precedete s avrà co egual probabltà u fattore y d sego uguale o d sego opposto a, e la sommatora tederà ad avere u valore pccolo, al lmte ullo per u umero molto grade d msure. Pertato: F ( + ( y + y formula che rmae valda ache el caso della dfferea : F-y, e che può faclmete essere geeralata al caso della somma d N quattà dpedet: F N e della combaoe leare d N gradee fsche: Fa+by+c+. otteedo: a + b + c... F y U caso partcolarmete teressate d applcaoe d quato sopra vsto è la determaoe dello scarto quadratco medo della meda d ua gradea fsca; s cosder coè l caso F<> /+ /+.. / dove le soo msure d ua stessa gradea fsca, cascua computa co la medesma precsoe (ossa cascua msura, se rpetuta m volte, avrebbe dato ua dstrbuoe spermetale co lo stesso scarto quadratco medo. Per quato vsto sopra possamo allora scrvere: / ossa: F F / I deftva s ottee l'mportate rsultato che lega lo scarto quadratco medo della meda <> d msure (ossa la larghea della dstrbuoe che s otterrebbe per valor med facedo m sere d msure allo scarto quadratco medo delle sgole msure: 8 < > / Come s vede, lo scarto quadratco medo della meda è ferore allo scarto quadratco medo delle sgole msure, dmuedo co la radce quadrata del umero d msure: l valor medo d ua gradea è tato pu' vco al valor vero quato maggore è l umero d msure effettuate. Samo ora grado d calcolare l'errore quadratco medo a partre da dat spermetal. Rcordamo che abbamo defto gl scart rspetto alla meda <> e gl error rspetto al valore vero (cogto * come -<> e ε - * rspettvamete. La dfferea ε<>- * è l'errore della meda rspetto al valore vero, d cu voglamo calcolare la meda quadratca, mmagado d rpetere molte volte la sere d msure. Dalla relaoe ε +<>- * +ε, quadrado e sommado s ottee: ε ε ( + ε + + ε Pochè, come abbamo vsto, la somma degl scart dalla meda è ulla: 0,

9 s ha: + ε Possamo oltre cosderare lo scarto quadratco medo della meda < > come / ua buoa stma dell'errore della meda (tato mglore quato maggore è l umero delle msure: qud: + ε + < > / e ε ossa: espressoe che permette d calcolare l'errore quadratco medo a partre dagl scart dalla meda; tale relaoe mostra che lo scarto quadratco medo ' forsce, come gà detto, u' approssmaoe per dfetto dell'errore quadratco medo. Tuttava la dfferea tra e ' dveta trascurable o appea l umero d msure supera qualche deca. Formula d propagaoe dell'errore quadratco medo. Nel seguto parleremo d error o d scart quadratc med, sotttededo che per ess valgoo le stesse propretà. I precedea abbamo vsto la relaoe che esprme lo scarto quadratco medo d ua gradea F che sa combaoe leare d altre gradee fsche,y, fuoe degl scart quadratc med delle gradee stesse. Spesso accade che la relaoe fuoale F(,y, o sa leare; tuttava è possble geeralare la relaoe sopra trovata medate u processo d 'learaoe', svluppado sere la relaoe fuoale ell'toro de valor med <>,<y>,<>,, a patto che gl error casual sao suffcetemete pccol rspetto a valor msurat, così da redere accettable l'approssmaoe fatta ello svluppo sere. Ifatt, per varao ftesme delle varabl,y, rspetto al valore vero (o al valor medo vale l teorema del dffereale totale: df d + dy + d +... y Se gl scart -<>, y y -<y>, -<>,. soo suffcetemete pccol da poter essere cosderat ftesm, potremo scrvere per gl scart dalla meda <F> de valor F F(,y,, la relaoe: df + y y detca alla relaoe trovata per l caso leare: df a + b y + c +... se s poe: a, < >, y< y>... b, y < >, y< y>... c < >, y< y>... Pertato, applcado la stessa relaoe trovata el caso leare, s ottee la "formula d propagaoe dell'errore quadratco medo":.. F + y + y +... Esempo. 9

10 S vogla calcolare lo scarto quadratco medo sul valore della veloctà d u corpo quado s sao msurat gl spa percors co uo scarto quadratco medo ed temp t rspettvamete mpegat co uo scarto quadratco medo t. Dall' espressoe della veloctà el moto uforme: v / t v v calcolamo le dervate paral:,. t t t L' espressoe del dffereale totale è allora: dv d dt t t e quello dello scarto quadratco medo sul valore della veloctà è: v + t t t t S osserv che, quadrado, s può scrvere: v + t t t e dvdedo per v (/t s ottee: v t +. v t Le quattà admesoal / e aaloghe predoo l ome d "scart rdott". Ess, come rsulta dall'esempo rportato, s sommao quadratcamete. Cò c porta ad ua cosderaoe d orde pratco el progettare ua msura: covee osservare u certo equlbro ell' accuratea delle vare msure cu valor compaoo ella stessa formula. Sempre co rfermeto all' esempo, sarebbe utle msurare co accuratea dell'orde dello 0.0% temp, usado strumet costos e metod laboros, quado o sa possble msurare gl spostamet meglo dell' %. L'errore relatvo sulla veloctà sarebbe fatt questo caso completamete domato dall'errore sugl spostamet. 4. ULTERIORI METODI DI ANALISI DEI DATI. Meda pesata Abbamo fora supposto che le vare determao spermetal d ua stessa gradea fsca fossero esegute co la stessa precsoe. Cò può o essere vero alcu cas. S cosder geerale ua gradea che sa stata msurata volte otteedo valor, 3,. co rspettv error quadratc med σ σ, σ 3,. σ. No è lecto questo caso fare semplcemete la meda artmetca degl valor, perchè così facedo s darebbe lo stesso peso a msure co precsoe dversa. Ammettamo qud che la mglore stma del valore vero sa ua "meda pesata", ossa ua combaoe leare del tpo: <>a +a +a a co "pes" a da determare fuoe degl error σ. Per rcavare tale fuoe, cosderamo l caso cu cascua determaoe sa la meda <> d msure tutte co lo stesso errore. Gl error σ soo dvers perchè è dverso l umero d msure ; abbamo vsto precedea che σ /. La meda artmetca su tutte le N msure è: < > N N ( < > pochè, per defoe d meda, per og sere d msure s ha: Rcordado che /σ, possamo qud scrvere: 0 < >.

11 < > ( < > (( / σ < > ((/ σ < > / σ / σ la combaoe leare cercata : <>Σ a <> se s defscoo pes: / σ a / σ che cocde co I pes duque rsultao versamete proporoal al quadrato degl error delle sgole determao. Applcado la formula d propagaoe degl error s può olte dmostrare che l' errore della meda pesata è dato da: σ < > / σ Aals multdmesoale: caso leare bdmesoale e metodo de mm quadrat. Abbamo fora trattato quello che possamo chamare l "caso udmesoale" dell'aals de dat e del calcolo degl error, el seso che partedo da ua sere d determao d ua stessa gradea esegut elle stesse codo c samo post l problema d determare l pù attedble dcatore del "valore vero", dvduadolo ella meda artmetca (o ella meda pesata, el caso pù geerale d msure co dversa precsoe. Ache el trattare l problema della propagaoe degl error, abbamo supposto che d cascua gradea msurata dpedetemete vessero calcolat separatamete la meda e l'errore, salvo rure rsultat ella formula fale. Affrotamo adesso l caso cu sa teressate trattare u seme d dat relatv a gradee fsche dverse maera globale, attraverso u metodo che, per rago che apparrao subto evdet, vee detto "de mm quadrat". Pù precsamete, supporremo d aver msurato u umero d volte m gradee fsche, 3,. m le qual sao legate da ua o pù relao teorche espresse da equao del tpo: f k (, 3,. m 0 Affroteremo per semplctà l caso bdmesoale d m gradee fsche e y, che sao legate da ua relaoe d tpo leare: ya+b dove a, b soo due parametr cogt da determare modo tale che la relaoe tra y e da la mglore terpolaoe possble delle determao spermetal ed y (, delle gradee fsche e y. Questo caso partcolare è d otevole teresse applcatvo, e s presta ad ua semplce rappresetaoe grafca. Suppoamo duque d avere coppe d valor msurat (,y delle due gradee. A parte l caso baale, o esste geerale alcua coppa d valor de parametr a,b per cu la relaoe leare ya+b sa esattamete soddsfatta per tutte le coppe (,y. I altre parole, per qualsas retta traccata el pao (,y, put rappresetatv delle coppe d msure s dscostao pù o meo dalla retta, a causa degl error d msura. Chamamo δy gl scostamet tra valor msurat della gradea y e quell calcolat medate la relaoe leare, per u dato valore de parametr a,b : δ y y a + b ( Assumeremo che la mglor stma del "valore vero" de parametr a e b che determao la relaoe fuoale (leare f(,yy-a-b0 tra le gradee msurate e y sa quella coppa d valor (a,b che mma la somma de quadrat delle 'dstae' δy tra 'valore teorc' a+b e quell msurat y ; Tale crtero va sotto l om, apputo, d "metodo de mm quadrat". S tratta duque d redere mma la somma, pesata come fuoe delle varabl cogte a,b :

12 S( a, b δ y ( y a b dove per comodtà s soo omess gl dc su seg d sommatora. La codoe d mmo è data dalle due equao: S a ( y a b 0 S, ( y a b 0 b che porta al sstema d due equao lear elle cogte (a,b: a + ( b y ( a ( b + y Rsolvedo co la regola d Cramer, s ottegoo valor ottmal de parametr a, b : a b ( y y ( y y dove s è defto l determate del sstema: ( L' errore quadratco medo su parametr a,b può essere calcolato a partre dalle formule rsolutve sopra scrtte, applcado la legge d propagaoe degl error. Il calcolo è laboroso, ma l rsultato è semplce: a / y b y /