ISTITUTO NAZIONALE DI FISICA NUCLEARE

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1 ISTITUTO NAZIONALE DI FISICA NUCLEARE Sezione di Padova INFN/TC-/8 Giugno CONTROLLO AD ISTERESI DI CONVERTITORI A COMMUTAZIONE MUTUAMENTE ACCOPPIATI Fabio Monecassiano INFN-Sezione di Padova Via Marzolo 8, I-353 Padova, Ialy Absrac Il crescene impiego di apparecchiaure eleroniche, sia nei laboraori di ricerca che a livello indusriale e domensico, ha evidenziao il problema dell inquinameno armonico prodoo dalle inerfacce di alimenazione pose ra le apparecchiaure e la ree di disribuzione dell energia elerica. Le inerfacce, nel converire l energia prelevaa dalla ree nella forma più adaa all applicazione, possono assorbire correni foremene impulsive in grado di produrre disorsioni della ensione di ree ed emissioni di disurbi eleromagneici capaci di compromeere il correo funzionameno di alri apparai elerici. La riduzione dell inquinameno armonico può essere oenua mediane ecniche di conversione dell energia ad elevao faore di poenza (power facor conroller PFC), ramie le quali l assorbimeno di correne diviene praicamene sinusoidale ed in fase con la ensione di ree, ovvero a basso conenuo armonico. Un ineressane sisema di conversione PFC prevede la connessione inerleaved di due celle swiching di ipo boos, funzionani in coninuous conducion mode con conrollo ad iseresi di correne e muuamene accoppiae. Tale sisema è in grado di compiere un aggiusameno auonomo degli isani di commuazione delle singole celle verso un regime vicino all opposizione di fase, oenendo un migliorameno del faore di poenza complessivo. Queso lavoro, dopo un aena analisi sul comporameno del sisema descrio, propone un modello di ipo Phase Locked Loop che permee previsioni sulla frequenza e sulla fase di regime dei converiori con conrollo ad iseresi componeni il sisema inerleaved; in queso senso, il modello proposo risula un valido srumeno nel progeo di nuovi sisemi PFC. Published by SIS Pubblicazioni Laboraori Nazionali di Frascai

2 La sruura del documeno e' la seguene: INTRODUZIONE Cenni sulla conversione dell'energia, la correzione del faore di poenza, la connessione inerleaved ed i Phase Locked Loop (PLL). CONVERTITORI BOOST IN CONNESSIONE INTERLEAVED MUTUAMENTE ACCOPPIATI Analisi qualiaiva. Equivalenza ra accoppiameno muuo e accoppiameno in correne. 3 MODELLO PHASE LOCKED LOOP PER IL CONTROLLO AD ISTERESI Sviluppo del modello. Confrono dei risulai eorici con quelli oenui dalle simulazioni. Analisi delle asimmerie. 4 APPLICAZIONE DEL MODELLO PLL ALLA CONNESSIONE INTERLEAVED DI CONVERTITORI CON CONTROLLO AD ISTERESI Connessione inerleaved di due converiori boos. 5 CONCLUSIONI APPENDICI BIBLIOGRAFIA

3 INTRODUZIONE Sono qui discusse le principali moivazioni che rendono conveniene la conversione swiching dell energia elerica rispeo al raddrizzameno non conrollao ed ai regolaori lineari. Per oenere un migliorameno sul faore di poenza del sisema di conversione formao da più celle swiching con conrollo ad iseresi, è proposa una variane della ecnica inerleaved che prevede il muuo accoppiameno delle celle. Infine, viene inrodoo il conceo di Phase Locked Loop, uilizzao nel capiolo 3 per fornire una spiegazione sull origine dell effeo di auo aggiusameno, che pora gli isani di commuazione delle celle swiching verso l opposizione di fase. L effeo è esaminao nel capiolo.. Cenni sulla conversione dell'energia elerica La maggior pare dei sisemi eleronici richiede un'alimenazione coninua e sabilizzaa oenua, generalmene, rasformando l'energia elerica messa a disposizione dalla ree di disribuzione. Un sisema di conversione ra i più semplici è il raddrizzaore monofase non conrollao con filro capaciivo [4], [5], [7], rappresenao in figura... Quesa configurazione, nella sua economicià, presena numerosi svanaggi: Z linea i in v AC v in v ou Ree elerica Carico Fig... Raddrizzaore a doppia semionda con filro capaciivo. - La ensione media d'uscia dipende foremene dal carico. - La ensione in uscia v ou, mosraa in figura.. coniene un ondulazione indesideraa, denominaa ripple, il cui conenuo armonico si esende in banda audio a parire dal doppio della pulsazione di ree. L ampiezza del ripple dipende dalla capacià del condensaore. Normalmene per raggiungere il grado di sabilià richieso è necessario un condensaore con elevaa capacià, dimensioni e coso. - È richieso un rasformaore alla frequenza di ree che, spesso, ha dimensioni e peso superiori a quelle dell'apparao da alimenare. - La disorsione della ensione e della correne assorbia impedisce il pieno sfruameno della ree elerica riducendo la poenza efficace prelevabile. - La correne assorbia dalla ree elerica i in ha l andameno impulsivo mosrao in figura... Essa genera, araverso l impedenza di linea Z linea, una disorsione della ensione di ree che si riflee negaivamene su ue le apparecchiaure collegae. 3

4 i in v ou v ripple π π ω Fig... Andameno eorico della correne assorbia dalla ree i in e della ensione v ou per il circuio di figura.. nel caso di carico resisivo e Z linea nulla. Una famiglia d'alimenaori molo diffusa nelle applicazioni di piccola poenza è quella noa con il nome di regolaori lineari [4], [6]. Le figure..3 (a) ed (b) mosrano il principio di funzionameno. Rispeo allo schema di figura.. è sao inrodoo un semiconduore polarizzao in zona aiva, generalmene un ransisor npn, in serie ra il raddrizzaore con filro capaciivo ed il carico. La cadua di poenziale v CE, conrollaa dal feedback, maniene sabile la ensione d'uscia al variare di quella in ingresso e delle condizioni di carico. Z linea n C E I o v AC v d Conr Ampli Errore V o V orif, B Ree elerica Carico (a) v d, RANGE v d,min V o (b) Fig...3 (a) Schema di principio del regolaore lineare. (b) Selezione del rapporo di rasformazione che minimizza la P dissipaa dal regolaore e soddisfa la v d, min V o v CE, min. 4

5 Il regolaore lineare, pur migliorando i primi due puni dell elenco precedene, inroduce nuovi inconvenieni. Il principale è la bassa efficienza raggiungibile, generalmene compresa ra il 3% e il 6%. Infai ogni sisema di conversione è caraerizzao, da un puno di visa energeico, dal rendimeno di conversione η, definio in figura..4. La differenza fra la poenza media enrane P i e quella effeivamene uilizzaa dal carico P o è rasformaa in calore. calore Po η = P i Sisema di P o Pi conversione carico P = P P dissipaa i o Fig...4 Il rendimeno di conversione η di un generico sisema di conversione dell energia. Per i regolaori lineari, considerando la sola dissipazione dell'elemeno aivo, si ha: P dissipaa () vce () ice () ( vd ) Vo ) Io V I V v = v i v v ( (..) o o o CE η (..) d CE d d Un opporuna scela del rapporo di rasformazione n può ridurre il ermine v d () V o che, in ogni caso, deve rimanere superiore alla ensione v CE,min necessaria a manenere il ransisor in zona aiva. Fissao n e quindi v d, una diminuzione di V o compora una diminuzione di η. Normalmene, il rendimeno globale di un regolaore di queso ipo è limiao ad η <.6 circa, di conseguenza esso rasforma in calore buona pare dell energia che riceve in ingresso. Al coso inrinseco dell'energia così dissipaa va aggiuno il coso dei disposiivi necessari allo smalimeno del calore prodoo. Quese considerazioni giusificano il limiao impiego dei regolaori lineari nelle applicazioni con poenze superiori al ceninaio di wa. In linea di principio, un sisema per la conversione dell'energia disponibile araverso la ree di disribuzione elerica, figura..5, in grado di rasformare la poenza ricevua in ingresso in una forma più adaa all'uilizzo, dovrebbe possedere i segueni requisii: - Rendimeno di conversione η uniario. - Tensione d'uscia v o priva di componeni indesiderae e dipendene esclusivamene dai riferimeni sceli in fase di progeo. - Correne assorbia in ingresso i i perfeamene sinusoidale ed in fase con la ensione v i. - Dimensioni, peso e cosi conenui. 5

6 vi, ii vo, i Modulo di poenza o uilizzaore Circuio di conrollo Riferimeni Fig...5 Schema di principio di un sisema di conversione dell energia elerica. Un elevao rendimeno η si può oenere impiegando solo elemeni che, almeno idealmene, non dissipano poenza, quali condensaori, induori, rasformaori e inerruori. Sisemi di conversione che si valgono di componeni non dissipaivi, dove i semiconduori uilizzai come inerruori commuano a frequenze molo superiori a quelle dei segnali in ingresso ed in uscia, sono noi come converiori swiching, figura..6. Con quesi converiori è possibile raggiungere rendimeni anche superiori al 95%, secondo la configurazione del sisema e la poenza in gioco. L elevaa frequenza di commuazione permee la rimozione dei residui indesiderai preseni sui segnali in uscia mediane normali ecniche di filraggio. Inolre, lo sudio del sisema è noevolmene semplificao poendo considerare le grandezze in ingresso ed in uscia cosani lungo numerosi cicli di commuazione. Quesa ecnica è noa come analisi quasi-saica. La qualià della ensione d'uscia di un converiore swiching è, generalmene, inferiore a quella oenibile con un regolaore lineare radizionale a causa della presenza di residui in ala frequenza. Per queso moivo quando le apparecchiaure da alimenare necessiano di una ensione molo 'pulia', ad esempio le srumenazioni di laboraorio, si preferisce usare alimenaori basai sul regolaore lineare. Filro EMI Filro Capaciivo DC (non regolaa) DC ( regolaa) V o Conrollo swich Ampli Errore V o, RIFERIMENTO Fig...6 Schema di principio del converiore swiching 6

7 La riduzione dell'inquinameno armonico prodoo dalle apparecchiaure connesse alla ree di disribuzione elerica è oggeo di diverse normaive. Si chiamano converiori ca/cc ad elevao faore di poenza (power facor conroller PFC) quei sisemi che assorbono dalla ree una correne praicamene sinusoidale ed in fase con la ensione [9]. Dal puno di visa della ree, i converiori PFC si comporano come resisenze pure e non inroducono disurbi che porebbero influire negaivamene sulle alre apparecchiaure connesse. Esisono numerose ecniche [] che permeono di realizzare singoli converiori con elevai faori di poenza. Una soluzione ineressane è la connessione inerleaved di due o più converiori PFC [] [] [3] [4].. Converiori swiching in modalià inerleaved La conversione inerleaved consise nell'inerconnessione di due o più celle swiching operani con la sessa frequenza ma con isani di commuazione degli elemeni di poenza riardai sequenzialmene di una frazione del periodo di commuazione. Quesi ipo di connessione presena numerosi vanaggi. Un sisema inerleaved assorbe dalla ree una correne con un ripple inferiore e frequenza maggiore rispeo ad una singola cella, senza incremenare le perdie di commuazione e lo sress sui disposiivi. Numerosi sudi a riguardo [] [] mosrano che la riduzione dell'ampiezza del ripple, nel caso di n sisemi sfasai di π/n, è proporzionale a n e che la frequenza della fondamenale aumena di n vole rispeo alla singola cella. La conversione inerleaved permee moleplici scele progeuali. E' possibile oenere un aumeno della densià di poenza manenendo cosane l'efficienza dei singoli soosisemi. Fissao il valore massimo ammesso per l'ampiezza del ripple si può ridurre la frequenza di commuazione con conseguene aumeno dell'efficienza del converiore o ridurre il filro d ingresso necessario a limiare le inerferenze con alre apparecchiure. Pur non esisendo limii eorici al numero di celle che è possibile conneere [4] [], le presazioni di un sisema inerleaved decadono velocemene all'aumenare del numero di soosisemi a causa delle ineviabili asimmerie dovue, principalmene, alla dispersione delle caraerisiche dei componeni. In paricolare risula difficoloso generare i segnali di conrollo necessari a manenere la differenza di fase oimale che, non sempre è pari a π/n []. Per quesi moivi, soliamene, la ecnica inerleaved è applicaa uilizzando solo due celle. La ricerca del miglior compromesso fra le esigenze da soddisfare ed i cosi derivani, caraerisica di ogni aivià progeuale, nel caso del calcolo di un sisema inerleaved si raduce, principalmene, nell'oimizzazione di ogni singola cella e nell'adozione di ecniche di conrollo robuse ma non roppo complesse o cosose. Quando possibile si preferisce far lavorare le singole celle in Coninuous Conducion Mode (CCM), in modo da sfruare al massimo la capacia di gesione della poenza del semiconduore operane da inerruore. La scela del conrollo rappresena un aspeo molo delicao. Il problema principale deriva dalla necessià di soddisfare numerose esigenze come la compaibilià con la ecnica inerleaved, la robusezza nei confroni dei disurbi, la simmerizzazione delle correni parziali, la proezione dei disposiivi di poenza, la velocià di risposa ed alre ancora. 7

8 Un ipo di conrollo che soddisfa a moli dei requisii elencai è il conrollo ad iseresi di correne ma, la sua uilizzazione nella connessione inerleaved non è direamene praicabile a causa della variabilià della frequenza di commuazione. Si può comunque oenere una sincronizzazione dei sisemi parziali verso un funzionameno vicino all'opposizione di fase accoppiando muuamene le celle []..3 Generalià sui Phase Locked Loop Nel capiolo, a seguio delle numerose simulazioni ed analisi qualiaive, si giunge alla conclusione che il sisema formao da due converiori boos muuamene accoppiai e conrollai ad iseresi di correne si compora come una coppia di Phase Locked Loop (PLL) chiusi uno sull alro. Per queso moivo premeiamo un paragrafo di inroduzione al conceo di PLL [] [3]. Il PLL è un sisema reazionao la cui sruura di base è schemaizzaa nella figura.3.. Esso si compone essenzialmene di un rivelaore di fase (PD), un filro ed un oscillaore conrollao (VCO). x i Phase Deecor Ampli Loop Filer VCO x o Fig..3. Sruura di un sisema PLL. I segnali x i e x o,ensioni o correni, sono i suppori che rasporano l informazione di fase e frequenza elaboraa dal sisema. I sisemi che si comporano come PLL elaborano l'informazione di fase e frequenza rasporaa dal segnale elerico in ingresso x i (ensione o correne) per produrre in uscia un segnale x o, la cui fase è agganciaa a quella di x i secondo una legge sabilia dalla naura dei vari elemeni. Lo schema di principio del PLL in figura.3. mosra le grandezze associae ai segnali x i e x o non evideni nello schema di figura.3.. ωi s φ i +_ φ Ampli Loop Filer VCO ωo φ o s Fig..3. Schema di principio del PLL 8

9 - ω i [rad/s] pulsazione del segnale x i, agisce come conrollo. - ω o [rad/s] pulsazione del segnale x o. - φ i = ω i d [rad] fase del segnale x i. - φ o = ω o d [rad] fase del segnale x o. - φ = φ i φ o [rad] differenza di fase ra i segnali x i e x o. Dal confrono dei due schemi precedeni è evidene il ruolo fondamenale del PD che deve esrarre le fasi dai segnali in ingresso e calcolarne la differenza. Il comporameno e le caraerisiche del PLL sono deerminae dalla naura degli elemeni componeni la maglia e dal ipo di segnali elaborai. La figura.3.3 mosra un esempio di PLL non lineare. La non linearià ha origine nel PD ed e' riassuna dal blocco a valle del sommaore. Gli alri blocchi rappresenano funzioni di rasferimeno lineari - F(s) funzione di rasferimeno del filro, soliamene passa basso - K VCO faore di guadagno del VCO. ω i s φ i PD nl φ +_ F(s) K VCO π π φ Caraerisica non lineare ω o φ o s Fig..3.3 Schema di un PLL con comparaore di fase non lineare. CONVERTITORI BOOST IN CONNESSIONE INTERLEAVED MUTUAMENTE ACCOPPIATI Queso capiolo coniene un analisi qualiaiva della opologia boos inerleaved con accoppiameno induivo e conrollo ad iseresi. L analisi è condoa isolando le principali regioni di funzionameno, denro le quali il comporameno del sisema non cambia, ed eseguendo numerose simulazioni numeriche in ognuna di esse. Viene discussa la possibilià di un comporameno di ipo Phase Locked Loop dipendene dal solo conrollo. Si assume che il leore sia a conoscenza dei principi di funzionameno del converiore boos, per il quale si rimanda alla bibliografia [5] [6] [9].. Descrizione della opologia Fra le diverse variani della opologia boos inerleaved, una ineressane per quano riguarda la correzione del faore di poenza (PFC) è proposa in []; l aricolo evidenzia come un appropriaa scela dell'induanza di leakage nel primario del rasformaore, uilizzao per 9

10 alimenare due converiori collegai ad avvolgimeni secondari separai, riduce il conenuo armonico della correne assorbia all'ingresso e, conseguenemene, aumena il faore di poenza. La opologia discussa in [] e schemaizzaa in figura.. è composa dal parallelo di due converiori boos aveni gli induori d'ingresso muuamene accoppiai e conrollai mediane iseresi variabile di correne. I due converiori, assuni idenici e fai funzionare in Coninuous Conducion Mode (CCM) [9], lavorano con la sessa frequenza di commuazione e ciclo uile δ. L'accoppiameno è rappresenao dal muuo induore ideale descrio in appendice A. Ai disposiivi di poenza T e T, funzionani come inerruori, è imposo un riardo di commuazione T rispeo ai segnali di conrollo prodoi dai comparaori ad iseresi. i L I Z linea i o i L I k u N Ree elerica u N K i * i * i i T s s T T u K h h T Fig... PFC boos inerleaved con conrollo ad iseresi variabile di correne, induori accoppiai e riardo sulla commuazione degli inerruori. Il riardo permee alle correni sugli induori i e i di uscire dalla banda delimiaa da h high =i * +h/ ed h low =i * h/. Il comporameno PFC è oenuo rendendo la i * e la h proporzionali ed in fase alla ensione u N. Normalmene, per eviare commuazioni roppo veloci causae dall annullameno della banda h alla fine di ogni semiperiodo di ree, si inroduce un empo moro che maniene apero l inerruore quando la ensione di ree è prossima allo zero [5]. In [] si illusra in che modo lo sbilanciameno inrodoo dal riardo, ineragendo con l'accoppiameno induivo k, pori ad un migliorameno nel comporameno PFC del sisema. Infai, il riardo di commuazione T, almeno per paricolari valori di k, dà origine ad un processo di sfasameno ra le correni i ed i degli induori che avviene in pochi cicli di commuazione. Il processo evolve verso un regime nel quale i segnali di conrollo s e s si rovano in parziale opposizione di fase, indipendenemene dal puno di lavoro deerminao dalla ensione d'alimenazione u N e da quella di uscia u. Con l'espressione parziale opposizione di fase si deve inendere la siuazione di regime, descria dalla figura.., nella quale - se δ<½ l'inervallo di accensione del disposiivo di poenza di ognuno dei due soosisemi risiede compleamene nell'inervallo di spegnimeno dell'alro disposiivo.

11 - se δ>½ l'inervallo di spegnimeno di ognuno dei due disposiivi si rova ineramene nell'inervallo di accensione dell'alro. - se δ=½ i soosisemi lavorano in opposizione di fase. s s s s s s (a) (b) (c) Fig... Regime di parziale opposizione di fase ra i due segnali s e s aveni sesso periodo e ciclo uile ma fase diversa. (a) δ <½, (b) δ=½, (c) δ>½. In regime di parziale opposizione di fase, la correne i o =i +i assorbia dalla ree ha un conenuo armonico inferiore a quello delle singole i e i. Come mosrao in [], araverso un aena analisi sugli andameni emporali dei segnali s s e i i, compiua lungo uo il processo di aggancio, si può calcolare l incremeno del riardo di fase che ha luogo ad ogni periodo di commuazione fino a raggiungere il regime. Di paricolare ineresse per queso lavoro sono le considerazioni riguardani la velocià del processo, che avviene in pochi cicli di commuazione (cf. figura 6 in []). i L I i o i L I k U N I * i T s T U i s T T H Fig...3 Topologia boos inerleaved DC-DC con conrollo ad iseresi, accoppiameno degli induori e riardo sulla commuazione degli inerruori. Per compiere l analisi del sisema in figura.. adoiamo il meodo quasi-saico, in virù del fao che la frequenza di commuazione degli inerruori è molo superiore alla frequenza di ree ed a quelle naurali del sisema. Quesa ipoesi, ben verificaa nella realà,

12 permee di considerare la ensione alernaa u N (), la ensione u () sul condensaore, la correne di riferimeno i * () e la banda d'iseresi h(), come cosani lungo numerosi cicli di commuazione. Ne consegue che per la nosra indagine è conveniene sudiare il comporameno del converiore DC-DC di figura..3, dove sono sae indicae con leere maiuscole ue le enià assune cosani.. Le regioni di funzionameno del boos inerleaved Analizziamo il circuio di figura..3 assumendo le segueni ipoesi: - Componeni ideali. - Sisemi boos simmerici, funzionani in CCM e muuamene accoppiai. - Lo sao degli elemeni aivi T e T funzionani da inerruori, e' associao, rispeivamene, ai segnali binari s, s {,}, secondo la mappa s = inerruore T chiuso s = inerruore T apero s = inerruore T chiuso s = inerruore T apero In quese condizioni, le diverse opologie che lo schema di figura..3 può assumere sono quaro, ognuna delle quali è associaa alla coppia di valori binari (s, s ). Per ogni opologia elemenare così individuaa si possono calcolare le derivae rispeo al empo delle correni negli induori. I risulai del calcolo, sviluppao in appendice A, sono riporai in abella.. e nelle equazioni... k k k k + U m = LI + k U m = LI + k U m ( k = LI k U m ( k = L I k ) ) + k (..) Considerando U /L I come paramero cosane, le derivae delle correni sono funzioni a due variabili f(k, m) con m=u N /U. Nella sessa appendice si mosra come la regione

13 s S di /d di /d k k k k k k k + k + Tab... Derivaa delle correni negli induori in funzione dello sao degli inerruori. La simmeria della opologia riduce a quaro le possibili pendenze. W {( k, m) R : < k <, < m < } (..) che rappresena ui i possibili puni di lavoro del circuio, possa essere suddivisa in quaro zone, illusrae in figura.., in ognuna delle quali il segno e le relazioni fra le derivae non cambiano. Si ha k+ in W ( k, m) W : m (..3) k k k k k k k k k+ in W ( k, m) W : m (..4) k k k+ in W 3 ( k, m) W : < m <, k < (..5) k k k k k k k k+ k in W 4 {( k, m) W : k } (..6) Le equazioni e la abella.., valida in ogni puno (k, m) W, permeono di effeuare un analisi qualiaiva dei cicli di commuazione in ciascuna regione. A al fine diamo le segueni definizioni. - H high =I * +H/ Soglia superiore di iseresi per le correni i e i. - H low =I * H/ Soglia inferiore di iseresi per le correni i e i. - ii( ) i( ) i( ) = i( ) i( ) Differenza fra le correni sugli induori. - ransizione Una ransizione di sao ha luogo quando uno, o enrambi gli inerruori cambiano di sao. - n Isane nel quale avviene la n-esima ransizione di sao. 3

14 W m W 3 W 4 W - k Fig... Regioni di funzionameno del Boos Inerleaved con accoppiameno induivo. In ognuna delle quaro zone, definie dalle equazioni..3..6, il segno e le relazioni ra le pendenze di i ed i non cambiano. Prima di analizzare ognuna delle quaro regioni è conveniene discuere alcune proprieà generali. Le pendenze della i e i nello sao (s, s )=(,) coincidono (vedi abella..) e sono negaive in ue le regioni (vedi equazione..3..6); consegue che i i () (,) è cosane. Analogamene, nello sao (s, s )=(,), le derivae sono posiive coincideni, anche i i () (,) rimane cosane in ue le regioni. La coppia di derivae negli sai (s, s )=(,) e (s, s )=(,) è simmerica. Il loro segno dipende dalla regione consideraa. In paricolare, nella regione W sono enrambe posiive menre nella regione W sono negaive. Per le i i () (,) e i i () (,) si ha d( i i ( ) d d( i i ( ) d (,) (,) ) U = L ) U = L I I k k < > (..7) (..8) Come direa conseguenza della simmeria del circuio, le equazioni..7 e..8 confermano che durane gli sai (,) e (,) la i i (), rispeivamene, diminuisce o aumena con la sessa velocià..3 Analisi del muuo accoppiameno in assenza dei riardi Dalla sola conoscenza del segno delle derivae di /d e di /d e dei vincoli imposi dal conrollo ad iseresi, in assenza dei riardi di commuazione, si possono dedurre le ransizioni di sao ammesse in ognuna delle quaro regioni. Nelle analisi segueni acceiamo la possibilià di commuazioni simulanee degli inerruori. Le simulazioni mosrae in queso paragrafo sono sae fae con i parameri L I =.33mH, U =38V, H=4, I * =8 A, T =. Il puno di lavoro di ogni figura è specificao in abella.3.. 4

15 a b c d k m k m k m k m fig fig fig fig Tab..3. Puni di lavoro sceli per le simulazioni..3. Regione W Nella regione W definia dall equazione..3, quando gli inerruori sono aperi, cioè nello sao (s, s )=(,), gli induori sono araversai da correni che diminuiscono con pendenza uguale e pari a k <. Ad un cero isane una delle correni, o anche enrambe, raggiuna la soglia di commuazione inferiore H low deermina la chiusura del corrispondene inerruore. In quesa siuazione ue le ransizioni sono possibili e dipendono dal segno di i i ( n ) dove n è l'isane di commuazione, figura.3... Una condizione analoga si ha nello sao (,), nel quale gli inerruori sono chiusi e le correni cresceni con pendenza k +. Il raggiungimeno della soglia superiore H high, possibile per enrambe le correni anche simulaneamene, deermina l'aperura degli inerruori ineressai. Come nel caso precedene, dallo sao (,) ue le ransizioni sono ammesse. Negli sai (,) e (,) la siuazione è diversa. In enrambi il conrollo non può chiudere l'inerruore apero; infai la correne che araversa il corrispondene induore cresce, invece che diminuire come nel caso di soosisemi non accoppiai, e non può raggiungere la soglia inferiore H low. > > = = < < Fig..3.. Diagramma degli sai di W. Le ransizioni dipendono dal segno di i i ( n ). 5

16 6 L'unica commuazione possibile è verso lo sao (,) ed avviene, indipendenemene dal valore di i i ( n ), quando la correne araverso l'inerruore chiuso raggiunge la soglia d'iseresi superiore H high. Le ransizioni di sao ammesse nella regione W sono raffigurae nel diagramma.3... Per cosruire le sequenze di commuazione ammesse nella regione W, è necessario calcolare la variazione di i i () inrodoa da ogni sao. Ogni passaggio per gli sai (,) e (,) non modifica i i (), essendo di /d=d i /d. Dalla figura.3.. si deduce che lo sao (,) può essere raggiuno solo se i i ()>; ad ogni passaggio per (,), in virù dell equazione..7, i i () diminuisce. Trascurando il caso in cui lo sao precedene è (,), possibile solo come sao iniziale della sequenza (figure.3.. e.3.. a ed b), rimane da considerare lo sao (,). Chiamando n e n+, rispeivamene, l'isane iniziale e finale dello sao (,), si ha high n n low n H i k k H i i H i = + + = + + ) ( ) ( ) ( (,) (.3..) e quindi = (,) (,) ) ( ) ( ) ( ) ( k k H i i i i i i n n n n (.3..) essendo H ( k /k )< in W. Analogamene, lo sao (,) può essere raggiuno solo con i i ()<; ad ogni passaggio i i () aumena in base all equazione..8. Se lo sao di provenienza è (,) si ha (,) ) ( ) ( ) ( k k H i i H i H i n low n high n + = = + + (.3..3) da cui + = (,) (,) ) ( ) ( ) ( ) ( k k H i i i i i i n n n n (.3..4) Da quese considerazioni si comprende come nella regione W il sisema enda a porare i i () nella banda < < ) ( k k H i i k k H (.3..5)

17 all'inerno della quale le possibili sequenze di equilibrio sono due, di cui una insabile e l'alra sabile. La sequenza insabile è formaa dall'alernanza degli sai (,) e (,) ed è raggiuna quando la i i () è mulipla di H ( k /k ). Infai, dopo un numero finio di ransizioni!! o!!, secondo il segno iniziale della i i (), il sisema giunge nello sao (,) con i i ()=. Quesa è l'unica sequenza conenene lo sao (,), raggiungibile solo dallo sao (,) quando i i ()=, figura.3.. Si raa di un equilibrio insabile in quano perurbando i i () si impone il passaggio allo sao (,) o (,). La sequenza sabile è formaa dagli sai (,) (,) (,) ed è raggiuna per ogni i i () che non è muliplo di H ( k /k ). Essa cosiuisce un regime di parziale opposizione di fase. [A] [A] [A] [s] e-5 4e-5 6e-5 8e-5.. (a) [A] [s] 5e (b) e-5 4e-5 6e-5 8e (c) [s] [s] e-5 e-5 3e-5 4e-5 5e-5 6e-5 7e-5 8e-5 9e-5. (d) Fig..3.. Simulazioni in quaro puni di W. Segnali s e i raeggiai, s e i coninui. In ui i casi il sisema raggiunge sequenze di commuazione sabili. I dai di simulazione sono nella abella.3.. Come esempio immaginiamo di parire dallo sao (,) con i i ()>. Dal diagramma di figura.3.. si deduce che lo sao successivo è (,), nel quale la i i () diminuisce secondo l'equazione.3.., per poi ornare nello sao (,). La ransizione!! viene ripeua fino a verificare la condizione k k ) H < i i ( ) (.3..5) ( < 7

18 che impone il passaggio allo sao (,) dove la i i (), rispeando l'equazione.3..4, orna posiiva. In queso modo si insaura un equilibrio nel quale ogni variazione di i i () nello sao (,) viene compensaa da una opposa nello sao (,). La figura.3.. rappresena alcune simulazioni nelle quali il sisema raggiunge la condizione di equilibrio sabile. Esse mosrano come il segno posiivo di k permea alle correni i e i di olrepassare la soglia superiore H high quando la i i () iniziale non soddisfa all'equazione Regione W Per la regione W valgono considerazioni analoghe a quelle fae per W. Negli sai (s, s )=(,) e (s, s )=(,) le derivae delle correni che araversano gli induori sono negaive, essendo k <k <. Il conrollo non è in grado di aprire l'inerruore araversao dalla correne in diminuzione. L'unica commuazione possibile è verso lo sao (,). La figura.3.. mosra le ransizioni di sao ammesse. Da essa si deduce che le sequenze di equilibrio sono due, una insabile cosiuia dall'alernanza degli sai (,) e (,), l'alra sabile formaa dai soli sai (,), (,) e (,). Alla minima perurbazione di i i (), si passa dalla prima alla seconda. > > = = < < Fig..3.. Diagramma degli sai di W. Le ransizioni dipendono dal segno di i i ( n ). Le figure.3.. conengono i risulai di alcune delle simulazioni effeuae secondo i parameri di abella.3.. In W, quando non è soddisfaa l eq..3.., il segno negaivo di k permee alle correni i ed i di superare la soglia H low. k k < < H ii ( ) H (.3..) k k La convergenza e la sabilià delle i ed i all'inerno della banda d'iseresi sono garanie dalle equazioni..7 e..8, che impongono a i i () di diminuire ad ogni commuazione fino a soddisfare la relazione.3... Si conclude che, anche nella regione W, il sisema insaura un regime di parziale opposizione di fase ra i segnali di conrollo s e s. 8

19 [A] [A] e-5 4e-5 6e-5 8e (a) [s] [s] 5e (b) [A] [A] e (c) [s] [s] e-5 e-5 3e-5 4e-5 5e-5 6e-5 7e-5 8e-5 9e-5. (d) Fig..3.. Simulazioni in quaro puni di W. Segnali s e i raeggiai, s e i coninui. Tui i casi mosrano siuazioni di equilibrio sabili. I dai di simulazione sono in Tab Regioni W3 e W4 Nelle regioni W 3 e W 4 gli inerruori sono araversai da correni cresceni quando chiusi, decresceni se aperi, abella.. ed equazioni..5 e..6. E una siuazione diversa da quella osservaa per W e W, che permee al circuio di conrollo di manenere le correni negli induori sempre all'inerno della banda d'iseresi. In enrambe le regioni sono possibili quaro diverse sequenze di commuazione, mosrae nelle figure.3.3. e.3.3., secondo il puno di lavoro specificao dalla coppia (k, m) e della fase iniziale. In assenza di perurbazioni ue le sequenze manengono la fase iniziale con la quale il sisema è pare. Come esempio consideriamo la sequenza di figura.3.3..b. Supponiamo che la differenza ra le correni nell'isane iniziale sia i i ( ) i ( ) i ( )>. Nell isane, alla fine dello sao (,) si ha ii ( ) i i( ) = k < (.3.3.) k 9

20 [A] [A] [s] [s] 5e-6 e-5.5e-5 e-5.5e-5 3e-5 3.5e-5 4e-5 4.5e-5 5e-5 (a) 5e (b) [A] [A] [s] [s] 5e (c) 5e Fig Simulazioni nella regione W 3. Segnali s e i raeggiai, s e i coninui. Le figure mosrano le quaro sequenze di commuazione possibili, ognuna cosiuene un equilibrio indifferene del sisema. (d) Nello sao (,) le correni crescono con la sessa velocià, quindi i i ( 3 )= i i ( ). Lo sao successivo è (,); esso ermina nell isane 4 dove ii ( 3) ii ( 4) = k = ii ( ) (.3.3.) k In sosanza, ognuna della sequenze delle figure.3.3. e.3.3. cosiuisce un equilibrio indifferene. Una qualsiasi perurbazione eserna è in grado di modificare permanenemene la fase ra i segnali s e s, porando il sisema in una nuova siuazione di equilibrio indifferene..4 Analisi qualiaiva in presenza dei riardi L inroduzione di un riardo sulla commuazione degli inerruori cambia radicalmene il comporameno del sisema nelle regioni W 3 e W 4. La figura.4. coniene i risulai di alcune simulazioni effeuae con accoppiameno induivo k > e riardo T non nullo.

21 [A] [A] [s] 5e (a) [s] (b) [A] [A] [s] 5e (c) [s] 5e Fig Simulazioni nella regione W 4. Segnali s e i raeggiai, s e i coninui. Le figure mosrano le quaro sequenze di commuazione possibili, ognuna cosiuene un equilibrio indifferene del sisema. (d) La presenza del riardo amplifica l'effeo di muua influenza ra i soosisemi e pora i segnali s e s in una siuazione sabile di parziale opposizione di fase, indipendenemene dal puno di lavoro (k, m) W 4. Una descrizione del processo di aggancio nella regione W 4 è daa in []. In sinesi, il funzionameno può esser descrio come segue. Il riardo di commuazione causa un allargameno della banda d iseresi, che è funzione della pendenza del segnale di correne che sa araversando la soglia. Le correni i e i araversano le soglie con pendenze diverse; in queso modo si ha una variazione della fase ra loro. La differenza di fase aumena ad ogni ciclo fino che l'inervallo di accensione di T risiede compleamene nell'inervallo di spegnimeno di T e, visa la simmeria del circuio, sino a che l'inervallo di accensione T risiede compleamene nell'inervallo di spegnimeno di T. Nel caso di accoppiameno k < i soosisemi evolvono verso una condizione sazionaria dove le funzioni di commuazione agiscono in fase, visibile in figura.4..

22 [A] [A] e [A] (a) [s] [A] 4 5e (b) [s] [s] [s] 5e e (c) (d) Fig..4. Simulazioni nella regione W 4 in presenza dei riardi. I parameri sono L I =.33mH, k =.48, U =38V, H=4, I * =8 A, T =6.5µs. (a) m=.34, (b) m=.5, (c) m= Il conrollo ad iseresi come conrollo PLL L analisi condoa nei paragrafi precedeni mosra che il boos inerleaved muuamene accoppiao e conrollao ad iseresi di correne opera una sincronizzazione delle funzioni di commuazione in ue le regioni analizzae. E naurale domandarsi se è possibile deerminare la legge che ne descrive il funzionameno. Una quesione successiva è se ale comporameno è rappresenabile mediane un modello di ipo Phase Locked Loop (PLL). Tenando di dare risposa a quese domande, nel capiolo 3 è proposo un modello PLL del sisema in osservazione. Anicipando alcune delle conclusioni, si può affermare che il riardo di commuazione T, l accoppiameno induivo dei soosisemi e la loro opologia, pur essendo complici del fenomeno, non ne sono la causa, che è da aribuire unicamene al conrollo ad iseresi. Una giusificazione inuiiva del comporameno di ipo PLL del sisema può essere oenua dal confrono ra lo schema di un boos con conrollo ad iseresi e lo schema di principio del PLL, figura.5.. Procedendo in queso modo si può pensare all induore come l inegraore ed al comparaore con iseresi come al phase deecor (PD). L individuazione del VCO è meno immediaa.

23 [A] [A] [A] [s] 5e (a) 5e [A] (b) [s] e [s] [s] 5e (c) (d) Fig..4. Simulazioni nella regione W 3 in presenza di riardi di commuazione. Parameri: L I =.33mH, k =.48, U=38V, H=4, I * =8 A, T =6.5µs. (a) m=.34, (c) m=.66, (d) m=.5. + i o L _ + + D _ + I * _ U + N + i i _ k U _ ωi s φ i +_ φ Ampli Loop Filer VCO ωo φ o s Fig..5. Ipoesi di comporameno PLL del converiore con conrollo a iseresi. 3

24 Tenendo cono che un converiore swiching è in ogni caso un oscillaore, si porebbe dimosrare che la frequenza di commuazione di un converiore con conrollo ad iseresi dipende dal valore isananeo della correne di riferimeno fornia al conrollo. Il comparaore ad iseresi, viso come PD, può essere schemaizzao in modo equivalene con un flip-flop di ipo se/rese e una coppia di comparaori senza iseresi, come mosrao dalla figura.5.. S F-F R Fig..5. Schema equivalene del comparaore ad iseresi. La scela di un modello che rappreseni adeguaamene il sisema reale è fondamenale per la sua analisi. È necessario raggiungere un compromesso fra la compleezza della rappresenazione e la complicazione che ne deriva, rascurando le cause ed i fenomeni meno influeni [4]. Nel nosro caso, come mosrao nel capiolo successivo, la scela più semplice è rappresenaa da un PLL del primo ordine senza filro d anello. Numerose simulazioni di verifica, hanno mosrao che il modello scelo, nonosane la sua semplicià, rispecchia con oima precisione il comporameno del sisema..6 Equivalenza fra accoppiameno muuo e accoppiameno in correne L accoppiameno muuo ra gli induori può essere sosiuio in modo equivalene da un accoppiameno in correne. L equivalenza si può dimosrare indipendenemene dalla opologia, parendo dalle equazioni del muuo induore descrio in appendice A. Per il muuo induore valgono le segueni i( ) = ΓI v d + ΓM i( ) = ΓM + Γ v d I v d v d (.6.) 4

25 Le equazioni.6. possono essere riscrie sosiuendo le espressioni delle ineranze A..6 e A..7. k i( ) = v d v d k LI k LI k i( ) = + v d v d k LI k LI (.6.) Definendo l induanza equivalene ' L = ( k ) L I (.6.3) e sosiuendo nelle.6., si oiene i ( ) = ' L i( ) = k v d k ' L ' L v d + ' L v d v d (.6.4) Le equazioni.6.4 ci dicono che il muuo induore può essere rappresenao con un accoppiameno ra le correni degli induori equivaleni L, non accoppiai ra loro, mosrao in figura.6.. i L I i L i L I k i L i i k i k i Fig..6. Equivalenza ra il muuo accoppiameno e l accoppiameno di correne. 5

26 3 MODELLO PHASE LOCKED LOOP PER IL CONTROLLO AD ISTERESI In queso capiolo viene proposo un modello di ipo Phase Locked Loop per l accoppiameno in correne ra converiori con conrollo ad iseresi. I calcoli, sviluppai con l ausilio del sofware Maple V, sono riporai in appendice B. 3. Modello CCM per i converiori con conrollo ad iseresi Queso paragrafo descrive il modello per i converiori funzionani in Coninuous Conducion Mode (CCM), uilizzao nell elaborazione del PLL equivalene. Esso è oenuo come generalizzazione dei modelli CCM per le opologie boos, buck e buckboos, qui presenai. Si assumono le segueni ipoesi: - Componeni ideali. - Lo sao dell elemeno aivo, funzionane da inerruore, è associao al segnale binario s crl {,} s crl = inerruore chiuso s crl = inerruore apero Il simbolo δ rappresena il ciclo uile del segnale s crl. Si ha sempre δ. - Il converiore lavora in CCM. In quese condizioni la correne sull'induore non si annulla mai e la coppia inerruore/diodo funziona in modo complemenare; quando uno è chiuso l'alro è apero. Ne consegue che, in un converiore operane in CCM, il segnale s crl conrolla sia l inerruore sia il diodo s crl = inerruore chiuso e diodo apero - La ensione di uscia U è cosane. s crl = inerruore apero e diodo chiuso. Inolre risula comodo normalizzare il valore della ensioni in ingresso U N definendo il rapporo adimensionale m = U N / U. 3.. Topologia boos La opologia boos è rappresenaa in figura 3...a. Per il modo di funzionameno CCM, con le convenzioni di segno fissae in figura, si ha v ) = s ( ) U d il( ) vl ( ) = L d + ( s ( ) ) ( U U ) L ( crl N crl N (3...) 6

27 Riscrivendo opporunamene le equazioni precedeni ( s ( ) + m ) vl( ) = U crl il( ) = vl d L ( ) (3...) si ricava modello di figura 3...b. L'insieme di definizione per m è deducibile dalla caraerisica saica di conrollo in CCM Si oiene U N U = (3...3) δ m (3...4) + i L + L _ D + m U N s crl U s crl + + U L d i L (a) (b) Fig Topologia boos. (a) Schema elerico. (b) Modello CCM. 3.. Topologia buck Per la opologia buck, riprodoa in figura 3...a, in CCM si ha v ) = s ( ) d il( ) vl( ) = L d ( U U ) ( s ( ) ) U L( crl N crl (3...) Dalle precedeni equazioni si oiene il modello di figura 3...b ( s ( ) m ) vl( ) = U crl il( ) = vl d L ( ) (3...) 7

28 Dalla caraerisica saica di conrollo in CCM si oiene l insieme di definizione per m U = δ U N (3...3) m (3...4) + U N s crl D + i L L _ + U s crl + + m m U L d i L (a) (b) Fig Topologia buck. (a) Schema elerico. (b) Modello CCM Topologia buckboos Per la opologia buckboos in CCM, figura a, si ha ( s ( ) ) vl( ) = scrl ( ) U N crl U d il( ) vl( ) = L d (3..3.) Le equazioni definiscono il modello di figura b. vl( ) = U crl il( ) = vl d L ( ) ( s ( ) ( m + ) ) (3..3.) L insieme di definizione per m m (3..3.3) è dedoo, come per gli alri converiori, dalla caraerisica saica in CCM δ U = U N (3..3.4) δ 8

29 + U N s crl L i L + D _ U s crl + + m + m+ U L d i L _ + (a) (b) Fig Topologia buckboos. (a) Schema elerico. (b) Modello CCM Modello CCM generalizzao con conrollo ad iseresi La figura mosra il modello CCM valido per le re opologie elemenari, la abella riassume i valori da assegnare ai parameri adimensionali C e C. Dalla abella si deduce che C è legaa al ciclo uile δ del segnale s crl dalla relazione C = δ. Si ha C C (3..4.) C s crl + + C U L d Fig Modello CCM unificao. i L Topologia C C boos m- m buck m -/m m buckboos m+ -/(m+) m Tab Parameri del modello CCM generalizzao. La generazione del segnale s crl è affidaa al conrollo con iseresi, mosrao in figura Le soglie d ingresso del comparaore ad iseresi sono normalizzae in modo che la sua banda sia uniaria. La banda reale del comparaore è espressa dalla cosane H. Il modello iene cono anche della presenza di riardi sulle commuazioni. La correne i L varia all inerno di una regione la cui ampiezza dipende, olre che dalla banda H del comparaore, anche dal riardo T. 9

30 I * + _ H ½ ½ T s crl i L Iseresi Riardo Fig Schema del conrollo ad iseresi con riardo di commuazione. Infai, il riardo di commuazione aumena l effeiva banda visa da i L e le consene di olrepassare le soglie impose dal comparaore. Inolre, anche il valore medio della correne non è sreamene fissao da I * e dipende da T. Per calcolare la banda effeiva H e ed il valore medio di i L si fa riferimeno alla figura 3..4., dalla quale si ricava l espressione per la pendenza della i L di d U = ( scrl + C ) C (3..4.) L L La pendenza varia a seconda dello sao dell inerruore. Definendo p + la pendenza ad inerruore chiuso e p - quella ad inerruore apero, si ha p p + di d di d L L scrl = scrl = = C = C ( + C ) C U L U L (3..4.3) Ad inerruore chiuso la correne i L cresce fino ad olrepassare la soglia superiore H high =I * +H/, sabilia dal comparaore, di un valore pari a p + T. Analogamene, ad inerruore apero, la correne i L diminuisce al di soo della soglia inferiore H low =I * H/ di una quanià pari a p - T. Le espressioni delle effeive soglie di commuazione vise dalla i L sono H H e, l = H = H low + T C e, h high ( + C ) U + T C C L U L (3..4.4) In conclusione, per un converiore con conrollo ad iseresi e riardo di commuazione, la banda enro la quale varia la i L ed il suo valore medio sono espressi dalle equazioni segueni. 3

31 H I * e e H H e, h e, h H + H e, l e, l U = H + C T L * U = I + C C + T L (3..4.5) Si osservi che, in enrambe le equazioni , gli addendi sono dello sesso ordine di grandezza, essendo, generalmene, U T /L [A]. La figura mosra il modello del converiore CCM compleo del conrollo. C I * s crl +_ + + C H ½ ½ T U L d i L Iseresi Riardo (a) I * Modello CCM con conrollo ad iseresi i L (b) Fig Modello CCM con conrollo ad iseresi. Schema deagliao (a) e generale (b). 3. Accoppiameno in correne di converiori operani in CCM L'accoppiameno in correne ra due converiori è rappresenao in figura 3... Nello schema i pedici ma e sl disinguono le grandezze associae al converiore maser da quelle relaive allo slave. La cosane adimensionale k rappresena il faore di accoppiameno. I soosisemi inerconnessi possono essere asimmerici o avere diversa opologia. Si assume che i riferimeni di correne I * ma, I * sl siano cosani (nella praica lenamene variabili rispeo la frequenza di commuazione) ed in grado di manenere il modo di funzionameno CCM. Numerose simulazioni hanno messo in evidenza il comporameno PLL dello schema di figura 3... In sosanza il converiore slave subisce l influenza del maser araverso il riferimeno di correne i * sl, reso variabile dalla i L,ma. Nei casi in cui i due converiori lavorano in condizioni non roppo diverse, lo slave modifica la propria frequenza di commuazione, agganciandola a quella del maser e manenendo con esso una ben precisa differenza di fase. L'analisi di queso modello, con lo scopo di idenificarne il comporameno PLL, non è conveniene. E possibile semplificare lo schema osservando che i segnali di conrollo s ma () e s sl (), aveni forma d'onda quadra e quindi di agevole elaborazione maemaica, forniscono la sessa informazione di fase e frequenza dei segnali i L,ma ed i L,sl. 3

32 * I ma Modello CCM con conrollo ad iseresi i L, ma k * i sl Modello CCM + + con conrollo ad iseresi i L, sl converiore maser * I sl converiore slave Fig. 3.. Schema di principio dell'accoppiameno in correne ra due converiori in CCM. Supponendo inolre che enrambi i converiori siano in grado di raggiungere le sesse condizioni di regime per la frequenza di commuazione ed il ciclo uile, si può rascurare la pare relaiva al conrollo del maser e enere cono del valore medio della i L,ma mediane la I * e,ma, definia dall equazione Da quese considerazioni risula conveniene rielaborare lo schema di principio come mosrao dalla figura 3... C,ma * I To s ma U + +, ma L ma C, ma d k L ma i, + + H ½ ½ s is, sl T s sl maser privo del conrollo Faore di accoppiameno i L, sl d U, sl C, sl sl L + + C,sl slave Fig. 3.. Schema per l analisi a regime dell'accoppiameno in correne di due converiori in CCM con conrollo ad iseresi. Si ha I * To = I * sl + k I * e,ma e i L,ma = i L,ma I * e,ma. Esso può essere uleriormene semplificao mediane l'algebra degli schemi a blocchi, facendo aenzione a non modificare i segnali visi all ingresso ed in uscia del comparaore; la figura 3..3 mosra i risulai della rasformazione. Le cosani preseni sono definie dalle segueni espressioni adimensionali A A A 3 ULC = ULC ULC, ma C = ULC ULC = H, ma, sl, sl k, ma, sl k C, sl (3..) con 3

33 ULC ULC, ma, sl U = L U = L, ma, sl sl ma C C, sl, ma (3..) I * To /H s ma A + + +_ A 3 d + + i s is,sl s sl A ½ Iseresi ½ T Riardo Fig Schema a blocchi equivalene a quello in figura 3... La cosane A rappresena il faore di accoppiameno al quale è sao aggiuno un ermine che iene cono di evenuali asimmerie ra i due converiori. Il segno di A coincide con il segno di k, essendo ULC >. Assumendo U, L -3 e enendo cono dell equazione 3..4., si ha ULC 5. La cosane A 3, che rappresena il guadagno di anello del converiore slave, è sempre posiiva ed assume valori prossimi a ULC,sl. Dalla presenza di simmerie ra il maser e lo slave possono discendere semplificazioni delle espressioni rappresenani i risulai <. Nel caso di simmeria ideale complea, cioè di accoppiameno ra due converiori aveni sessa opologia e caraerizzai dagli sessi idenici parameri, valgono le segueni uguaglianze ULC ULC, ma = ULC, sl, C C, ma = C, sl (3..3) Sosiuendo le equazioni 3..3 nelle 3.. si ha ULC A = k, A = C ( k), A3 = (3..4) H Dall ulima equazione è possibile ricavare il segno A enendo preseni le Modello PLL equivalene all accoppiameno in correne Nei paragrafi precedeni è sao ricavao uno schema a blocchi equivalene all'accoppiameno in correne ra due generici converiori con conrollo ad iseresi e funzionani in CCM, figura Queso paragrafo mosra come elaborare un modello PLL non lineare del primo ordine che giusifica il comporameno a regime dello schema 33

34 menzionao. Il modello che vogliamo meere in relazione con lo schema di figura 3..3, è rappresenao nella figura 3.3.; il significao dei simboli è il seguene - ω ma, φ ma pulsazione [rad/s] e fase [rad] del segnale in ingresso s ma - ω sl, φ sl pulsazione [rad/s] e fase [rad] del segnale in uscia s sl - φ differenza di fase ra i froni di salia dei segnali s ma () e s sl (). Il phase deecor, come risula dai calcoli in appendice B, ha caraerisica lineare a rai. Nello schema è rappresenao da un phase deecor ideale, con φ =φ ma φ sl, seguio da un amplificaore con caraerisica lineare a rai. Ques'ulimo, per comodià, coniene anche la cosane di proporzionalià K VCO espressa in [/s]; in queso modo l uscia dell amplificaore fornisce direamene la pulsazione ω sl del converiore slave. La sruura del modello è diversa da quella generale presenaa nel capiolo. Olre al faore di guadagno K VCO è assene anche il filro F(s). Il moivo è che il filro, supposo non conenga uleriori inegraori, non incide sulle condizioni di regime ma solo su come queso è raggiuno; a ransiori esaurii si può supporre rascurabile la sua influenza. Ovviamene il modello che oeniamo non è capace di rendere cono della dinamica di φ. Dalla figura 3.3. è evidene che l'idenificazione della caraerisica non lineare specifica compleamene il modello. ωma s φ ma +_ φ PD nl φ π π Caraerisica lineare a rai ωsl φ sl s Fig Modello PLL per l'accoppiameno ra due converiori con conrollo ad iseresi mosrao in figura Ipoesi per il calcolo Alle ipoesi riguardani la opologia, il modo di funzionameno CCM ed il conrollo dell inerruore espose nel paragrafo 3., aggiungiamo quelle consegueni la discussione faa nel corso del capiolo. - Il sisema è in condizioni di regime. I segnali binari s is,sl (), s sl (), s ma () hanno lo sesso periodo T e ciclo uile δ. Quesa ipoesi equivale a supporre che il PLL sia già agganciao con ω sl = ω ma. 34

35 - Valgono le segueni s ( ) = s φ φ = π τ = φ T s sl ma ( ) = s is, sl sl ( T ) ( τ ) (3.3..) La prima equazione esprime la presenza di un riardo cosane T ra l'uscia del comparaore ad iseresi e il segnale di conrollo sull inerruore. La seconda e la erza equazione definiscono, rispeivamene, la differenza di fase normalizzaa all unia φ ed il riardo τ, suo omologo nel empo. L inroduzione della fase normalizzaa produce risulai più compai. Con l ulima equazione ammeiamo che ra i segnali di conrollo del maser e dello slave ci sia, a regime, un riardo di fase cosane φ =φ ma φ sl. - Comparaore ad iseresi normalizzao con banda uniaria e soglie di commuazione simmeriche H in,h = H in,l = ½. La banda d'iseresi reale, espressa dal paramero H, è conenua nella cosane A 3 dello schema a blocchi di figura I calcoli sono riferii ad un isane iniziale coincidene con il frone di salia del segnale s is,sl (). L'obieivo è il calcolo della relazione T = f(φ) dalla quale si ricava immediaamene la caraerisica non lineare PD nl = π/t = f non lineare (φ) (3.3..) 3.3. Descrizione del procedimeno di calcolo Queso paragrafo inroduce il procedimeno uilizzao per il calcolo, lo svolgimeno, visa la voluminosià, è sao inserio in appendice B. I calcoli sono sai sviluppai con l ausilio dell analizzaore simbolico Maple V. Per derivare un modello PLL equivalene allo schema di figura 3..3 è necessario risolvere, nel dominio del empo, l'insieme di equazioni che descrivono la sua sruura. Il calcolo ha inizio scrivendo l equazione per i, figura 3..3, in un generico isane * I To i( ) = A3 A sma ( τ ) + A ssl ( τ ) dτ + (3.3..) H 35