UNITÀ DIDATTICA: LA PARABOLA DESTINATARI: Questo percorso didattico è rivolto ad una classe terza di un liceo scientifico sperimentale PNI dove le

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1 UNITÀ DIDATTICA: LA PARABOLA DESTINATARI: Questo percorso didttico è rivolto d un clsse terz di un liceo scientifico sperimentle PNI dove le ore settimnli di mtemtic previste sono 5 e comprendono nche il lortorio di informtic. Nei progrmmi ministerili PNI di mtemtic e fisic per il liceo scientifico, l rgomento delle coniche è inserito l terzo nno nel tem intitolto Geometri l punto.: Circonferenz, ellisse, prol, iperole nel pino crtesino. Si propone di introdurre le coniche prim come luoghi geometrici e successivmente di scrivere le equzioni con riferimento sistemi di ssi crtesini, svolti in modo opportuno. Le ilità richieste, in questo mito, rigurdno l risoluzione nlitic di prolemi sulle coniche, l loro rppresentzione nlitic e le proprietà geometric del luogo. Infine si richiede di cquisire l cpcità di relizzre costruzioni di luoghi geometrici medinte strumenti diversi. TEMPI DI SVOLGIMENTO: ore (4 di spiegzione, 3 di lortorio, di esercizi in clsse e 3 di verific) PREREQUISITI: Lo studente deve possedere le seguenti nozioni: Geometri sintetic; Elementi fondmentli del pino crtesino, rett e fsci di rette Simmetri ssile, simmetri centrle, trslzione, rotzione e rototrslzione; Concetto di funzione e di grfico di funzione; Equzioni e disequzioni di primo e di secondo grdo; equzioni prmetriche; Risoluzione di sistemi di primo e di secondo grdo; Conoscenze minime dei softwre didttici Crì-géomètre e Derive sufficiente per le ppliczioni in lortorio di informtic. ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI: Srà opportuno per mezzo di lezioni dilogiche richimre i concetti e i metodi risolutivi cquisiti nel iennio precedente nel momento in cui questi servirnno per introdurre e spiegre i nuovi rgomenti. Si provvederà svolgere in clsse esercizi di ripsso, pertnto gli studenti verrnno chimti ll lvgn per dimostrre le conoscenze su tli prerequisiti. Inoltre verrnno ssegnti esercizi per cs. OBIETTIVI GENERALI: Acquisire le conoscenze, le competenze e le cpcità previste dl percorso didttico. Acquisire conspevolezz dell utilità logic delle proprietà degli rgomenti trttti. Condurre ll uso del lessico e del formlismo grfico pproprito. Imprre d operre con l simologi opportun. Sviluppre l cpcità di utilizzre metodi, strumenti e modelli mtemtici in situzioni diverse. Contriuire rendere gli studenti in grdo di ffrontre situzioni prolemtiche di vri ntur vvlendosi dei modelli mtemtici più dtti ll loro rppresentzione. Sviluppre l interesse per gli spetti storico-epistemologici dell mtemtic. L uso di softwre, servirà d iture l llievo d operre conspevolmente ll interno di diversi sistemi, dotti di loro regole formli e limiti opertivi. OBIETTIVI TRASVERSALI : Sviluppre ttitudine ll comuniczione ed i rpporti interpersonli, fvorendo lo scmio di opinione tr il docente e llievo e tr gli llievi stessi. Proseguire ed mplire il processo di preprzione scientific e culturle degli studenti. Contriuire sviluppre lo spirito critico e l ttitudine riesminre criticmente ed sistemre logicmente le conoscenze cquisite. Contriuire sviluppre cpcità logiche e rgomenttive.

2 Imprre rispettre i tempi di consegn dei lvori d svolgere. OBIETTIVI SPECIFICI : Conoscenze: Iperole come luogo di punti Rppresentzione nlitic dell iperole in un en preciso sistem di riferimento crtesino (equzione cnonic, significto dei coefficienti) Elementi crtterizznti dell iperole (simmetri rispetto gli ssi crtesini, intersezione dell iperole con gli ssi crtesini, l iperole come curv illimitt, sintoti, eccentricità) Posizione di un rett rispetto un iperole Rette tngenti d un iperole iperole trslt Competenze: Sper utilizzre strumenti informtici per l costruzione dell prol come luoghi geometrici Sper rppresentre nliticmente l prol riconoscere dgli spetti formli dell equzione le proprietà geometriche del luogo e vicevers Sper risolvere nliticmente prolemi rigurdnti l prol Cpcità: sper utilizzre le conoscenze e le competenze cquisite per risolvere prolemi sper risolvere prolemi di geometri dndo un interpretzione nlitic sper utilizzre le conoscenze e le competenze cquisite in contesti diversi. METODOLOGIE DIDATTICHE Per l pprendimento dei contenuti e per perseguire gli oiettivi esposti si frà uso di lezioni si frontli che dilogte, con il sussidio del liro di testo e di fotocopie contenenti esercizi svolti e pprofondimenti. Verrnno ssegnti compiti per cs, cercndo di dedicre sempre un prte dell lezione ll correzione di questi ll lvgn si d prte del docente, che d prte dei rgzzi. (I compiti verrnno comunque controllti dl docente, per ssicurrsi che i rgzzi li svolgno). Verrnno discussi e confrontti in clsse gli esercizi e i prolemi che hnno creto più difficoltà negli llievi e prolemi. Infine si svolgernno ttività di lortorio informtico utilizzndo softwre didttici come Cri-géomètre e Derive. CONTROLLO DELL APPRENDIMENTO: L vlutzione formtiv si esegue trmite semplici verifiche orli, esercitzioni in clsse, correzione degli esercizi ssegnti per cs e vlutzione delle relzioni di lortorio. Le verifiche orli e gli esercizi ll lvgn permettono inoltre di vlutre l cquisizione di proprietà di linguggio degli lunni, e il loro criterio di scelt di un strtegi risolutiv. L verific sommtiv, nell qule vengono proposti esercizi simili quelli esminti in clsse, m non solo, permette di verificre il livello di ssimilzione degli rgomenti trttti e l utonomi nell risoluzione degli esercizi. STRUMENTI UTILIZZATI: Liro di testo Lvgn e gessi Clcoltrice scientific Fotocopie Softwre didttici come Cri-géomètre e Derive SVILUPPO DEI CONTENUTI:

3 . LE CONICHE COME SEZIONI DI UN CONO E importnte prim di trttre seprtmente le coniche come luoghi geometrici introdurle in modo unitrio. Trttre direttmente e in modo seprto circonferenz, ellisse, prol ed iperole potree dre l ide i rgzzi che queste quttro figure non ino un origine comune. Invece possono tutte essere considerte come intersezione di un cono con un pino. ) Si può rccontre o fre direttmente l esperienz di illuminre un muro con un torci elettric tenut perpendicolrmente ll prete: l prte illumint è ll'incirc circolre. Se si inclin sempre di più l torci verso l'lto il cerchio si deform e ssume un form llungt: è un'ellisse. Continundo inclinre l torci, l'ellisse si llung sempre di più. L figur così ottenut è un prol. Se poi si us un lmpd con prlume di form conic, perto d entrme le prti, l omr che proiett sull prete vicin è un iperole complet. ) Si può chiedere gli llievi quli conclusione si possono trrre: cioè che le figure sono stte ottenute come intersezione di un cono (il cono di luce dell torci) e un pino (pino del muro). c) questo punto si possono fre i riferimenti storici necessri: un degut introduzione storic ed epistemologic inftti potree rppresentre proprio un nello di congiunzione tr i diversi modi di ffrontre l rgomento: dlle sezioni coniche di Apollonio ottenute come intersezioni nello spzio di un cono con un pino ll geometri nlitic nel pino di Crtesio. Quindi nel corso dei secoli le coniche sono stte studite in modi differenti e il primo pproccio tle rgomento è stto di ntur purmente sintetic. Si può ccennre che sono stte scoperte d Menecmo e che il loro studio fu pprofondito e consolidto d Apollonio conosciuto come il Grnde Geometr, nell'oper Le Coniche formt d otto liri, nell qule espose l mggior prte delle proprietà tuttor note delle coniche e introdusse i nomi di ellipsis (mncnz), hperol (lncire l di là), prol (porre ccnto o confrontre). Apollonio fu il primo considerre un superficie conic due flde e dimostrre che er possiile ottenere tutte le coniche intersecndo un unic superficie conic con un pino e l vrire dell inclinzione di quest ultimo: per tle motivo vengono dette sezioni coniche ( o coniche). In prticolre se è l'ngolo cuto che il pino form con l'sse del cono e è l semipertur del cono second di come vri l ngolo ottenimo delle curve diverse.. L IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO Si riprenderà il concetto di luogo geometrico cui si è giunti dopo ver ftto l introduzione lle coniche. Ciò che si cerc è un proprietà crtterizznte. Si procederà fcendo relizzre gli studenti l costruzione dell iperole con il softwre Cri trendo le dovute considerzioni geometriche. (Si formlizzerà l definizione di luogo geometrico come l insieme dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d due punti fissi F e F detti fuochi, vle dire PF PF cos tnte ). E importnte per l prte costruttiv inizile un deguto utilizzo di softwre didttici che fccino cogliere l giust dinmicità del concetto di luogo geometrico, che dino un precis ide dell form geometric ottenut e delle proprietà elementri delle coniche. Solo prtendo d questo punto si potrà pssre d un nuov interpretzione che consentirà di cogliere nuove informzioni e proprietà: quell nlitic. 3.EQUAZIONE CANONICA DELL IPERBOLE CON I FUOCHI APPARTENENTI ALL ASSE x Si considererà un iperole si indicherà con: c con c, c 0 l distnz tr F e F, dett distnz focle e si sceglierà un opportuno sistem di ssi crtesini xo in modo tle che l sse delle scisse coincid con l rett pssnte per i punti F ed F, quello delle ordinte con l sse del segmento F F e l origine O nel punto medio del segmento F F. Si indicherà con: con, 0 l differenz costnte fr le distnze di ciscun punto dell iperole d ognuno dei due fuochi. 3

4 Poiché l distnz focle è stt indict con c, le coordinte dei fuochi srnno: F c,0) e F ( c,0) con c, 0 ( c Indicto con P ( x, ) un generico punto del pino, si possono clcolre le distnze del punto di fuochi: PF ( x c) e PF x c) ( P (x ; ) O F (- c ; 0) F (c ; 0) x L condizione ffinché un punto P( x, ) pprteng ll iperole è che si: dopo un serie di pssggi si vrà PF PF x con, 0, che prende il nome di equzione cnonic dell iperole vente i fuochi sull sse x. 4. PROPRIETÀ DELL IPERBOLE SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI Poiché nell equzione cnonic dell iperole le vriili x e compiono solo elevte l qudrto, se P x, ) è un punto dell iperole lo sono nche i punti P x, ) ; P x, ) ; ( 4 ( x, ( 3 ( P ). L iperole è quindi un curv simmetric rispetto ll sse x, ll sse e ll origine. Osservzione didttic. Si fr osservre gli llievi che l equzione cnonic dell iperole rppresent un iperole riferit l centro e i suoi ssi di simmetri perché gli ssi coordinti sono ssi di simmetri e l origine è il centro dell iperole. INTERSEZIONE DELL IPERBOLE CON GLI ASSI CARTESIANI Per determinre le intersezioni di un iperole con l sse x e con l sse, si metterà sistem l equzione dell iperole con l equzione degli ssi. Si otterrnno i punti A ; 0 e A ; 0 (vertici reli dell iperole) dll intersezione con l sse x, mentre risolvendo il secondo sistem gli llievi osservernno che l iperole non h intersezioni con l sse. Osservzione: il segmento A A prende il nome di sse trsverso (o principle o focle) che intersec quindi l iperole in due punti di scisse e ; questi due punti si dicono i vertici dell iperole; si dice lunghezz del semisse trsverso. Poiché l iperole non h intersezioni con l sse è detto sse non trverso (o secondrio) ed è l rett perpendicolre ll sse trsverso nel punto medio del segmento di estremi i due fuochi. L IPERBOLE E UNA CURVA ILLIMITATA Gli lunni osservernno, senz dover ricorrere ll figur m semplicemente nlizzndo l equzione, che tutti i punti dell iperole si trovno fuori dll strisci limitt dlle rette x = e x = -, quindi l iperole è costituit d due rmi distinti. 4

5 ASINTOTI x Dll intersezione di un iperole di equzione con un rett r di equzione vrnno i seguenti csi:. CASO m 0 cioè m In questo cso i vlori ottenuti sono reli, ossi l rett reli e distinti.. CASO m 0 cioè Le rette venti tli coefficienti ngolri: m x,. x mx mx, si intersec l iperole in due punti si dicono sintoti dell iperole. Tli rette non intersecno mi l iperole, m d ess si vvicinno indefinitmente mno mno che ci si llontn dll origine. Not didttic. Si frà osservre gli llievi che: - gli sintoti sono le digonli del rettngolo di vertici A (,0), A (-,0), B (0,) e B 4 (0,-) e si dice lunghezz del semisse non trsverso - ssegnndo m vlori molto vicini, si h che il rdicndo m divent un numero molto piccolo, vicino llo zero, e poiché i numertori sono costnti i vlori ssoluti di x e crescono indefinitmente - l relzione m ci dice che l iperole è contenut nell coppi di ngoli opposti l vertice determinti dgli sintoti e non contenenti l sse. E per questo motivo che si dice che l curv è costituit d due rmi. 3. CASO m 0 cioè m m. In questo cso, il sistem non h soluzioni reli, cioè l rett non intersec l iperole. ECCENTRICITA' Il rpporto fr l distnz focle e l lunghezz dell sse trsverso di un iperole è detto eccentricità ed è solitmente indicto con l letter e: e distnz focle lunghezz dell' sse trsverso Nell iperole con i fuochi sull sse x, l distnz focle è c mentre l lunghezz dell sse trsverso c è, quindi l eccentricità è dt dl rpporto, ossi: e = c. 5

6 Essendo c, cioè c d cui c Quindi le coordinte dei fuochi di un iperole di equzione not sono si vrà F (,0), F (,0) e Poiché c 0 si h: e. Osservzione: A eccentricità mggiore corrisponde mggiore pertur dei rmi dell iperole e lo si f notre gli llievi esminndo i grfici di tre iperoli con lo stesso vlore di e diversi vlori di. 5. IPERBOLE CON I FUOCHI SULL ASSE Y: Si frà cenno ll iperole con i fuochi sull sse, si metterà in evidenz qule si l equzione cnonic ottenut e qule si l relzione che in questo cso sussiste tr i coefficienti,, c. Gli ssi trsverso e non trsverso sono invertiti. 6. L IPERBOLE EQUILATERA IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI SIMMETRIA. Se nell equzione cnonic riferit l centro e gli ssi di simmetri, si h =, l iperole si dice equilter. L equzione in questo cso divent x. Nel cso in cui i fuochi sino sull sse divent invece x Essendo =, il rettngolo che h per lti l sse trverso e quello non trverso divent un qudrto. Le equzioni degli sintoti sono : = x e =-x gli sintoti coincidono con le isettrici dei qudrnti e l semidistnz focle divent c e l eccentricità è. IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI. Se si considerno gli sintoti come gli ssi di un nuovo sistem di riferimento per l iperole (possimo immginre di fr ruotre l iperole e gli ssi vecchi di 45 ffinché coincidno con gli sintoti) l equzione dell iperole in questo nuovo sistem di riferimento è x = k. Gli ssi di simmetri sono le isettrici dei qudrnti e quindi i fuochi e i vertici pprtengono tli rette. OSSERVAZIONE DIDATTICA: per determinre l equzione di un iperole riferit i suoi ssi di simmetri, cioè del tipo: x sono necessrie due condizioni, comprendo in ess due coefficienti e. Indichimo lcuni dei csi che si possono presentre:. Pssggio per due punti (non simmetrici rispetto gli ssi o rispetto ll origine);. conoscenz delle coordinte di un fuoco e dell equzione di un sintoto; 3. conoscenz delle coordinte di un vertice e di un fuoco. Per determinre l equzione di un iperole equilter, si ess del tipo: x = k, x è sufficiente un sol condizione, che non si l conoscenz degli sintoti o l eccentricità, costnti per 6

7 ogni iperole equilter, m che può essere per esempio dt dl pssggio per un dto punto o dll tngenz d un dt rett. Osservzione: si proporrà gli studenti il quesito: l iperole è il grfico di un funzione? l fine di non settorilizzre gli rgomenti disciplinri svolti, m l contrrio di cogliere collegmenti con concetti e proprietà studiti e visti in contesti e in temi diversi; in questo cso con il concetto di funzione. In generle l equzione dell iperole non è un funzione (d un vlore di x corrispondono due vlori di ) e solo l iperole equilter riferit i suoi sintoti è il grfico di un funzione. 7. IPERBOLE EQUILATERA TRASLATA Si dt l curv di equzione: x cx d dove i coefficienti,, c, d sono costnti ssegnti, con c e d non contempornemente nulli. Quest è un funzione = f(x). Si dimostr che second dei vlori ssunti di coefficienti, ess rppresent o un rett o un iperole equilter con sintoti prlleli gli ssi crtesini (iperole equilter trslt) 8. COLLEGAMENTI INTERDISCIPLINARI Si può porre l seguente domnd: Qule relzione c è fr le vriili x e nell equzione x=k? Le coordinte x e di un generico punto sono tli che il loro prodotto è sempre costnte: si trtt di proporzionlità invers. Si potrà llor richimre l legge di Bole (secondo l qule tempertur costnte, per un mss di gs idele, il prodotto del volume V per l pressione P cui è sottoposto è costnte) PV=k che rppresent un iperole equilter. Si può fr osservre che nche l iperole gode di un proprietà ottic. Se ponessimo un sorgente luminos in uno dei suoi due fuochi e considerssimo il rmo dell iperole come un prete riflettente internmente, l luce si rifletteree ndndo ll infinito, m sull stess rett su cui si trov l ltro fuoco. A conclusione dell trttzione delle coniche si può fr osservre gli llievi che: comunque si fissto il sistem di riferimento crtesino, un conic è un curv vente sempre equzione crtesin dell form x cx dx e f 0 dove lmeno uno dei coefficienti,, c è diverso d zero e vicevers ogni equzione di secondo grdo in due incognite rppresent un conic. In prticolre si verific che se: 4c 0, l conic è un ellisse 4c 0, l conic è un prol 4c 0, l conic è un iperole dove l espressione 4c viene dett discriminnte dell conic. 7

8 Verific sommtiv si possono proporre esercizi del tipo:. Scrivi, se è possiile, l equzione dell iperole con centro nell origine, che soddisf lle seguenti condizioni: ) h un vertice nel punto V(-;0) e pss per A(-3;) ) h i fuochi sull sse delle ordinte e pss per i punti A(3;3) e B(-;) c) h un vertice in V(0;7) e pss per P(;9) d) h un vertice in V(3/;0) ed eccentricità e=4/3. Dt l equzione dell iperole9x 6 44, determinre l misur del semisse trsverso, le coordinte dei vertici, dei fuochi, l eccentricità e l equzione degli sintoti poi rppresentre l curv grficmente. 3. Determinre l equzione dell iperole equilter riferit i suoi ssi di simmetri tngente ll rett =x+ 8

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