IFORMATICA E STATISTICA PER OTTICA E OPTOMETRIA Dispese di probabilità e statistica * Daiele Motaio Uiversità degli Studi del Saleto e-mail: daiele.motaio@le.if.it web: http://www.le.if.it/~motai/ Questa dispesa può essere scaricata all idirizzo: http://www.le.if.it/~motai/dispese _lab/probabilita_e_statistica.pdf A) Esercizi di calcolo combiatoriale A1) Calcolare i quati modi è possibile aagrammare la parola PARCO (ache parole seza seso). Evidetemete si tratta di permutare 5 lettere diverse i 5 posizioi differeti. I geerale le permutazioe di elemeti è data da!= ( 1) 1 (per defiizioe 0!=1). el ostro caso specifico quidi il risultato è 5!=5 4 3 1=10 aagrammi diversi. el foglio di calcolo è possibile implemetare il calcolo tramite la fuzioe FATTORIALE() come mostrato el riquadro. A) Calcolare quate parole (ache seza seso) è possibile comporre prededo a caso 5 lettere dell alfabeto italiao (composto da 1 lettere), i modo però che le lettere ella parola o si ripetao. I questo caso si tratta di permutare 1 lettere i gruppi di 5, i cui però l ordie delle lettere è importate (per esempio la parola CATO è diversa dalla parola COTA). Si ricorda il umero di permutazioi di elemeti i gruppi di k è dato da! P(, k) = ( 1) ( ) ( k + 1) = ( k)! Il risultato è quidi 1 0 19 18 17=1!/(1-5)!=441880 possibili parole di 5 lettere (ache seza seso). el foglio di * Il testo di riferimeto del corso è il seguete: J. Taylor Itroduzioe all'aalisi degli errori. Lo studio delle icertezze elle misure fisiche, Zaichelli. I questa dispesa è stato utilizzato il pacchetto OpeOffice. Esso può essere scaricato gratuitamete all idirizzo http://www.opeoffice.org/ per le maggiori piattaforme.
calcolo è possibile implemetare questo calcolo direttamete per mezzo della fuzioe PERMUTAZIOE(;k) A3) Calcolare i quati modi è possibile sistemare 10 studeti avedo a disposizioe 15 postazioi. Poiché o ha importaza stabilire l ordie i cui gli studeti si siedoo a ciascua postazioe i questo caso il umero di possibili sistemazioi sarà la combiazioe di 15 elemeti (tutte le postazioi) a 10 alla volta (le postazioi occupate). Si ricorda che il umero di combiazioi (cioè quado l ordie o è importate) di elemeti i gruppi di k è dato da ' $ C(, k) % " = & k # P(, k) k! = ( 1) ( k + 1) k! =! k!( k)! el foglio di calcolo è possibile implemetare questo calcolo direttamete per mezzo della fuzioe COMBIAZIOE(;k). el ostro caso è possibile quidi combiare i 10 studeti i 3003 modi diversi. A4) Calcolare i coefficieti dello sviluppo del biomio (a+b) co =9 Si ricordi che i coefficieti dello sviluppo del biomio soo proprio i coefficieti combiatoriali C(, k): ( a ( % k k + b) = & # a b = k = 0 k k = 0 ' $ C(, k) a k b k el ostro caso si ha duque: ( a + b) 9 = a 9 + 9a 8 4 16a b 7 b + 36a b 5 3 + 84a b 6 6 + 84a b + 36a b 7 3 5 + 16a b + 9ab 8 4 + b 9 + B) Esercizi sulla probabilità distribuzioe biomiale e di Poisso B1* ) Simulare il lacio di due dadi per 1000 volte e calcolare volta per volta la somma delle due facce. Cofrotare la distribuzioe delle occorreze empiriche co quella teorica. Per simulare il risultato del lacio di u dado è possibile utilizzare la fuzioe IT(6*CASUALE()+1): i questo modo si avrà ua distribuzioe uiforme di umeri iteri tra 1 e 6. Su due coloe si ripete per 1000 volte il lacio di due dadi tramite la fuzioe precedete e se e calcola la somma. Tramite la fuzioe FREQUEZA si calcolao le Gli esercizi cotrassegati co l asterisco soo particolarmete complessi e soo mostrati solo a titolo illustrativo
volte che il risultato vale, 3,, 11, 1. La distribuzioe empirica di probabilità è la frequeza relativa delle occorreze e si calcola dividedo il umero delle volte per il umero totale di prove, ovvero 1000 La distribuzioe teorica di probabilità è deducibile dalla seguete tabella: Risultato Possibili combiazioi dei due dadi Casi favorevoli Probabilità= Casi favorevoli/36 1+1 1 0,08 3 1+ +1 0,056 4 1+3 + 3+1 3 0,083 5 1+4 +3 3+ 4+1 4 0,111 6 1+5 +4 3+3 +4 1+5 5 0,139 7 1+6 +5 3+4 4+3 5+ 6+1 6 0,167 8 +6 3+5 4+4 5+3 6+ 5 0,139 9 3+6 4+5 5+4 6+3 4 0,111 10 4+6 5+5 6+4 3 0,083 11 5+6 6+5 0,056 1 6+6 1 0,08 Il umero di casi possibili vale 36, corrispodeti alle combiazioi dei due dadi. B) I u ura soo coteute 0 pallie di cui 15 verdi e 5 rosse. Calcolare la probabilità che estraedo cosecutivamete 3 pallie, risultio verdi e 1 rossa. Calcolare come cambia la probabilità se ogi volta si rimette ell ura la pallia estratta.
el primo caso abbiamo tre possibili combiazioi, i cui ad ogi estrazioe ell ura rimae ua pallia i meo: 5/0 15/19 14/18 + 15/0 5/19 14/18 + 15/0 14/19 5/18 La probabilità complessiva vale quidi 3 (5 15 14)/(0 19 18) 0,46. el secodo caso, poiché le pallie vegoo reiserite ell ura la probabilità iiziale per ogi pallia viee ristabilita. e cosegue che la probabilità che avvega l eveto desiderato vale 3 5/0 (15/0) =3 0,5 (0,75) 0,4. Questa probabilità poteva essere calcolata mediate la distribuzioe biomiale. Si ricorda se E è u eveto la cui probabilità di occorreza su di ua sigola prova vale p, la probabilità che su prove idipedeti l eveto E occorre esattamete k volte (e che quidi k volte o occorra) è data da b( k,, p) ( % & # ' k $ k k = p (1 p) Tale distribuzioe è detta biomiale. el ostro caso per esempio poiché ogi volta la pallia viee reiserita ell ura gli eveti soo idipedeti (metre el caso precedete gli eveti o erao idipedeti i quato ad ogi estrazioe il umero delle pallie ell ura cambia). Detto E l eveto estrazioe della pallia rossa questo eveto ha probabilità p=5/0=0,5. e cosegue che la probabilità che su tre estrazioi idipedeti si abbia esattamete l uscita di ua pallia rossa vale ) 3& P = b( k = 1, = 3, p = 0,5) = ' $ ( 1% 1 ( 0,5)( 1 0,5) 0, 4 Si oti che, poiché C(, k) = C(, k) e quidi C(3, 1) = C(3, ), se aziché di cosiderare come eveto E l uscita della pallia rossa avessimo cosiderato l uscita della pallia verdi il risultato sarebbe stato lo stesso. el foglio di calcolo è possibile implemetare il calcolo della fuzioe biomiale tramite la fuzioe DISTRIB.BIOM(k,,p,cumulativo). La variabile cumulativo è ua variabile logica che deve assumere il valore FALSO quado si vuole calcolare semplicemete il valore della probabilità biomiale per u valore specifico di e k. Se ivece il valore della variabile cumulativo è impostato su VERO la fuzioe forisce il seguete valore B( k,, p) = k h= 0 b( h,, p)
ovvero che la variabile estratta sia miore di k. L utilità di tale distribuzioe sarà chiarita egli esercizi segueti. Si oti che B(,, p) = k = 0 b( k,, p) = k = 0 ) ' ( & $ k % p k (1 p) k = ( p + 1 p) = 1 B3) Ua moeta (che si suppoe o truccata) viee laciata 10 volte. Calcolare la probabilità che a) Esca esattamete 5 volte testa e 5 volte croce b) Esca 3 volte testa e 7 volte croce c) o esca mai testa (o croce) d) Esca testa o più di 5 volte e) Esca testa almeo 3 volte f) Esca testa da a 8 volte Evidetemete la probabilità segue ua distribuzioe biomiale i cui l eveto E esce testa ha probabilità di occorreza p=0,5 (si oti che ache l eveto complemetare o E esce croce ha la stessa probabilità) a) La probabilità è data da b) La probabilità è data da c) La probabilità è data da ) 10& P = b( k = 5, = 10, p = 0,5) = ' $ ( 5 % ) 10& P = b( k = 3, = 10, p = 0,5) = ' $ ( 3 % 5 ( 0,5) ( 1 0,5) 0, 46 3 7 ( 0,5) ( 1 0,5) 0, 117 ) 10& 0 10 P = b( k = 0, = 10, p = 0,5) = ' $ ( 0,5) ( 1 0,5) 0, 001 ( 0 % Questo eveto è quidi molto raro, com è facile ituire. Si oti che poiché C(,0)=1 si ha che la probabilità si poteva calcolare semplicemete come P=(0,5) corrispodete alla probabilità che 10 croce esca 10 volte su 10. Lo stesso risultato è valido ache el caso i cui si chiede che o esca mai croce (o equivaletemete, che testa esca 10 volte su 10. d) i questo caso la richiesta è che testa esca o più di 5 volte, il che sigifica che può uscire 0, 1,,
3, 4 o 5 volte. e cosegue che la probabilità è la somma delle probabilità che testa esca 0, 1, 5 volte. P = B( k = 5, = 10, p = 0,5) E possibile allora usare la distribuzioe cumulativa poedo il valore VERO el campo della variabile corrispodete. I questo caso la probabilità che esca testa o più di 5 volte vale 0,63. Alterativamete si sarebbe potuto eseguire direttamete le somme delle sigole probabilità biomiali. e) I questo caso si può procedere i due modi: il primo è cosiderare che la richiesta che esca testa almeo 3 volte è equivalete alla richiesta che esca croce o più di 7 volte. Il secodo modo è ivece cosiderare che la richiesta che testa esca almeo 3 volte è il complemetare dell eveto che testa esca o più di volte. I etrambi casi si ha quidi P = B( k = 1 B( k = 7, = 10, p = 0,5) =, = 10, p = 0,5) = 0,945 Alterativamete si poteva procedere alla somma diretta delle sigole probabilità biomiali da k=3 a k=10, come el caso precedete: f) I questo caso la probabilità è data da P = = 8 k = 8 k = 0 = B( k = 8, = 10, p = 0,5) B( k = 1, = 10, p = 0,5) = 0,979 b( k, = 10, p = 0,5) = b( k, = 10, p = 0,5) 1 k = 0 b( k, = 10, p = 0,5)
Alterativamete si poteva procedere alla somma diretta delle sigole probabilità biomiali da k=3 a k=8, come ei casi precedeti. B4*) Tramite u foglio di calcolo si simuli per 100 volte il lacio di 10 moete e si cofroti la distribuzioe empirica delle volte che è uscita testa co ua distribuzioe biomiale. Si cofroti la media e la deviazioe stadard della distribuzioe empirica co quella teorica. Per simulare il lacio di ua moeta el foglio di calcolo è possibile utilizzare il seguete trucco: si geera u umero casuale tra 0 e 1 tramite la fuzioe CASUALE e tramite la fuzioe SE si vede se queste umero è compreso tra 0,5 e 1, e i tal caso è possibile si assega T (testa), altrimeti si assega C (croce) SE(CASUALE()>0,5;"T";"C") I questa maiera si assegao quidi i due eveti T e C etrambi co probabilità ½. Ripetedo la procedura (tramite trasciameto) per 10 volte i orizzotale e 100 volte i verticale avremo la simulazioe cercata, come i figura (i questa figura ioltre, tramite ua formattazioe codizioale si soo assegati colori diversi a T e C i modo da poter distiguere meglio i due eveti). Tramite la fuzioe COTA.SE è quidi possibile cotare quate volte è uscita T i ogi riga: COTA.SE(A8:J8;"T") Stramite la fuzioe FREQUEZA è possibile cotare quate volte soo uscite 0 teste, 1 testa e così via, come ella tabella seguete: di T k Frequeza Freq. Rel. P(k) Biomiale b(k) Cumulativa Biom. Cumul. 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 1 0 0,00 0,01 0,00 0,01 4 0,04 0,04 0,04 0,05 3 1 0,1 0,1 0,16 0,17 4 0 0,0 0,1 0,36 0,38 5 4 0,4 0,5 0,60 0,6 6 1 0,1 0,1 0,81 0,83 7 1 0,1 0,1 0,93 0,95 8 5 0,05 0,04 0,98 0,99 9 0,0 0,01 1,00 1,00 10 0 0,00 0,00 1,00 1,00 ella terza coloa è stata calcolata la frequeza relativa (ovvero la frequeza divisa per il umero totale di prove, cioè 100) di volte i cui è uscito testa che rappreseta quidi la ostra distribuzioe empirica di probabilità. Questa distribuzioe la cofrotiamo ella
coloa seguete co la distribuzioe teorica di probabilità calcolata co la fuzioe DISTRIB.BIOM. Di seguito è mostrato il grafico delle due distribuzioi: 0,30 Cumulativa 0,5 1,0 0,0 0,15 0,10 Frequeza relativa Biomiale 1,00 0,80 0,60 Cumulativa Biom. Cumul. 0,05 0,40 0,00 01 1 3 34 54 65 67 87 98 10 9 10 umero di "Teste" 0,0 0,00 1 0 1 3 3 4 5 4 6 5 7 6 8 7 8 9 10 9 10 Calcoliamo ifie i valori della media e della variaza empirica della distribuzioe. Si ricorda che la media di ua distribuzioe è defiita come µ = k = 0 Metre la deviazioe stadard è defiita come k P k σ = k = 0 ( k µ ) P = k P µ k k = 0 k È possibile quidi costruire la seguete tabella P k k P k k 0 0 0 0 0,08 0,16 0,36 1,08 0,8 3, 1, 6 1,6 7,56 0,84 5,88 0,4 3, 0,18 1,6 0 0 Σ= 5,1 8,7 σ= 1,58
el ostro caso specifico avremo quidi µ=5,1 e σ=1,58. Si ricorda che per ua distribuzioe biomiale la media e la deviazioe stadard teorica valgoo µ = p e σ = p( 1 p) dove p è la probabilità a priori del sigolo eveto. el ostro caso (=10, p=0,5) si ha quidi µ=5 e σ=1,581. Come si vede quidi I valori empirici soo molto vicii a quelli teorici. Maggiori dettagli riguardo il calcolo precedete possoo essere trovati el file Probabilita_e_statistica.xls. B5*) U idustria produce lampadie cofezioate i scatole coteeti 8 pezzi ciascua. E oto che mediamete ua lampadia su 0 è difettosa. Tramite u foglio di calcolo si simuli il coteuto di 100 cofezioi e si cotio il umero di lampadie difettose i ogi scatola. Si costruisca quidi la distribuzioe empirica di lampadie difettose e la si cofroti co ua distribuzioe biomiale. Questo problema è simile al precedete trae per il fatto che la probabilità del sigolo eveto E lampadia difettosa vale 1/0=0,05 (si veda la figura). L esempio è trattato el foglio di calcolo Ok-difettoso del file Probabilita_e_statistica.xls. Si oti che la distribuzioe è i questo caso asimmetrica. Cumulativa Cumulativa 1,0 Biom. Cumul. 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 B6) Ua rara patologia colpisce mediamete ua persoa ogi 0.000. Qual è la probabilità che i ua città co 50.000 abitati: a) essua persoa e sia affetta b) Ua persoa e sia affetta c) Almeo ua persoa e sia affetta Il file Probabilita_e_statistica.xls può essere scaricato all idirizzo web: http://www.le.if.it/~motai/dispese _lab/probabilita_e_statistica.xls
d) Al più tre persoe e siao affette Si faccia ifie u grafico della distribuzioe sio a k=10, co k umero di persoe affette dalla patologia. Poiché la probabilità dell eveto è molto bassa coviee utilizzare la distribuzioe di Poisso. Si ricorda che la statistica di Poisso è il limite di ua distribuzioe biomiale i cui la probabilità p di u sigolo eveto è molto piccola, ma il campioe è molto grade, i modo che il valore medio µ= p sia u umero e troppo grade e troppo piccolo (dell ordie dell uità), ed è data da: p( k, µ ) = µ e k! k µ Si ricorda che il valore medio della distribuzioe vale proprio µ e la variaza vale σ = µ. el ostro caso p=1/0.000 e =50.000 per cui µ=,5. el foglio di calcolo la distribuzioe di Poisso può essere implemetato dalla fuzioe POISSO(k,µ,cumulativo) dove la variabile cumulativo è al solito ua variabile logica che se posta su VERO da come risultato la distribuzioe cumulativa di Poisso: P( k, µ ) = p( h, µ ) k h= 0 a) I questo caso si ha quidi (vedi figura) p ( k = 0, µ =,5) = 0,08 C è quidi ua probabilità del 8,% che essua persoa sia affetta dalla patologia i questioe. Allo stesso modo b) si vede che p ( k = 1, µ =,5) = 0,05 c) Evidetemete la probabilità che più di ua persoa e sia affetta è il complemetare della probabilità che essua e sia affetta, ovvero p=1 0,08=0,918. d) I questo caso coviee usare la distribuzioe cumulativa. Il calcolo forisce P ( k = 3, µ =,5) = 0,758
Il grafico della distribuzioe è ifie mostrato ella figura seguete. 0,3 0,5 0, Poisso 0,15 0,1 0,05 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 k C) Distribuzioi limite distribuzioe ormale C1*) Mostrare che ua distribuzioe uiforme tra 0 e 1 ha ua media µ=0,5 e ua variaza σ = 1/ 3 0,89. Tramite u foglio di calcolo geerare 1000 variabili casuali co distribuzioe uiforme tra 0 e 1 e mostrare che media e deviazioe stadard delle variabili soo molto vicii ai valori teorici. Ua distribuzioe uiforme i u dato itervallo [a,b] descrive delle variabili casuali che hao tutte la stessa probabilità di uscire ell itervallo dato. Per esempio ua distribuzioe uiforme ell itervallo [0,1] vale 1 se x [0,1] e 0 se x [0,1] come el grafico seguete: 1 f(x ) 0-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 x La media µ vale quidi = f ( x) xdx = xdx = 1 µ 0,5 come ci si aspetta e la variaza vale 1 ' 1 $ var = % x " dx = & x # 1 0 1 1 da cui si ricava σ = 1/ 3 0,89. el foglio di calcolo la fuzioe CASUALE() forisce proprio umeri casuali distribuiti uiformemete ell itervallo [0,1]. Si lascia per esercizio calcolare media e deviazioe stadard di 1000 umeri casuali calcolati co la fuzioe CASUALE() e mostrare che il risultato è molto vicio a quello atteso. dx 1 4 = 1 3 1 4 = 1 1
C*) Ua distribuzioe biomiale b(k,,p) per molto grade può essere approssimata da ua distribuzioe ormale co media µ = p e deviazioe stadard σ = p( 1 p). Fare u grafico delle distribuzioi biomiale e ormale per =0 e verificare che le due distribuzioi soo molto simili. Come oto ua distribuzioe ormale (o Gaussiaa ) di media µ e variaza σ è descritta dall equazioe g ( x µ ) 1 σ ( x, µ, σ ) = e πσ La distribuzioe ormale el foglio di calcolo può essere calcolata dalla fuzioe DISTR.ORM(x,µ,σ,cumulativo). Al solito la variabile cumulativo è ua variabile logica che vale FALSO se si vuole calcolare il valore della distribuzioe per il valore x, metre se viee posta uguale a VERO la fuzioe forisce la distribuzioe cumulativa defiita come l area al di sotto della curva descritta dalla fuzioe g da sio a x G(x,µ,σ) = x g(y,µ,σ)dy ovvero la probabilità che la variabile estratta sia miore di x. E possibile dimostrare che + lim G( x, µ, σ ) = g( y, µ, σ ) dy = 1 x come deve essere (la dimostrazioe di questa proprietà va oltre gli scopi del presete corso). 1,5 area Distribuzioe ormale Distribuzioe ormale cumulativa 1 g(x) 0,5 0 x G(x)=area colorata µ
Il grafico delle due distribuzioi è mostrato i figura e si può trovare el file Probabilita_e_statistica.xls. C3*) Ua distribuzioe di Poisso p(k,µ) per µ molto grade può essere approssimata da ua distribuzioe ormale co media µ e deviazioe stadard σ = µ. Fare u grafico delle distribuzioi biomiale e ormale per µ=0 e verificare che le due distribuzioi soo molto simili L esercizio è simile al precedete, si veda la figura.
C4*) Il teorema del limite cetrale asserisce che se x 1 x soo variabili idipedeti aveti la stessa distribuzioe di probabilità co media µ e variaza σ, el limite di molto grade la media degli x k µ = k=1 x k si distribuisce secodo ua distribuzioe ormale di media µ e variaza σ /. Calcolare per 10.000 volte la media di 5 umeri casuali e cofrotare la distribuzioe della media co ua distribuzioe ormale co media µ=0,5 e deviazioe stadard σ=0,89/ 5=0,0578 ell itervallo x [0,3, 0,7] co passo Δx=0,01. Geeriamo prima di tutto ua riga co 5 umeri casuali compresi tra 0 e 1 co la fuzioe CASUALE() e calcoliamoe la media poi trasciiamo la riga per 10.000 volte, come i figura. Creiamo la coloa delle classi da 0,30 a 0,70 co passo 0,1 e tramite la fuzioe FREQUEZA calcoliamo il umero delle occorreze i ciascua classe. La distribuzioe empirica si otterrà dividedo la frequeza per il umero totale di prove, cioè 10.000 e per
il passo Δx=0,01. Ifatti, detta F i la frequeza delle volte i cui il dato cade i ua classe compresa tra x e x+δx, la probabilità p i che il dato cada i quella classe sarà dato da F i (il umero di casi favorevoli) diviso (il umero di casi possibili). Ad esempio la probabilità che il dato cada tra 0,40 e 0,41 sarà 158/10.000. Ricordado che la distribuzioe di probabilità è defiita come quella fuzioe per cui f(x i )Δx=p i si ha proprio f(x i )= p i /Δx. ella coloa successiva soo ivece tabulati i valori della distribuzioe ormale co media µ=0,5 e deviazioe stadard σ=0,0578. Il risultato del cofroto tra le due distribuzioi è mostrato i figura: 8 7 Distr. Empirica Distr. ormale 6 5 4 3 1 0 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 media L esercizio è svolto el foglio di calcolo Teorema limite cetrale del file Probabilita_e_statistica.xls. C5) E oto che la distribuzioe delle altezze di u campioe di persoe è ua ormale co meda 170 cm e deviazioe stadard pari a 15 cm. Estraedo a caso 1.000 persoe, calcolare: a) Il umero atteso di persoe che hao u altezza iferiore a 150 cm. b) Il umero atteso di persoe che hao u altezza superiore a 00 cm. c) Il umero atteso di persoe co altezza compresa tra 160 e 180 cm. d) L altezza stimata per cui al di sotto della quale ci soo 300 persoe. e) L altezza stimata al di sopra della quale ci soo 300 persoe.
a) Evidetemete la probabilità che ua persoa sia più bassa di 150 cm è la cumulativa della distribuzioe ormale sio a 150. Tale probabilità (vedi figura) vale P(h<150 cm)=0,091, quidi il umero di persoe atteso sul campioe sarà 1000 0,091=91 b) La probabilità che ua persoa sia più alta di 00 cm sarà il complemetare della probabilità che ua persoa sia più alta di quell altezza. Procededo come el caso precedete troviamo P(h<00 cm)=0,977, quidi P(h>00 cm)=1 0,977=0,0.e cosegue che circa persoe sarao più alte di 00 cm. c) La probabilità sarà evidetemete P(h<180 cm) P(h<160 cm)=0,495. e cosegue che il umero atteso di persoe co altezza compresa tra le due altezze sarà 495. d) Evidetemete i 3/10 delle persoe sarao più basse dell altezza data h 0, ovvero la probabilità che queste persoe siao più basse di h 0 deve essere 0,3. Cerchiamo quidi il valore di h 0 per cui si ha G(h 0 )=0,3, dove G è la distribuzioe ormale cumulativa. Per fare ciò utilizziamo la fuzioe IV.ORM che forisce la fuzioe iversa della cumulativa della distribuzioe ormale. el ostro caso avremo h 0 =16,1cm (vedi figura). e) I questo caso evidetemete basta trovare il valore di h 0 per cui 700 persoe soo più basse di esso. Procededo come el caso precedete si trova h 0 =177,9cm. C6) Si verifichi che i ua distribuzioe ormale la probabilità che ua variabile distribuita i maiera ormale co media µ e deviazioe stadard σ cada ell itervallo x=µ±σ, x=µ±σ, x=µ±3σ, vale rispettivamete 0,683, 0,954 e 0,997 idipedetemete dai valori di µ e σ. Evidetemete ciò è equivalete a calcolare µ +kσ µ kσ g(y,µ,σ)dy = G(µ + kσ,µ,σ) G(µ kσ,µ,σ) per k=1,,3. Il calcolo è lasciato per esercizio allo studete per mezzo della fuzioe cumulativa. Si dice per esempio che la variabile x cadrà ell itervallo [µ-σ,µ+σ] co ua cofideza del 68,3%. D) Test del χ (o botà di adattameto) D1) I u campioe di 100 pazieti si è misurato il livello di glicemia el sague otteedo la seguete tabella
Livello glicemico Pazieti (E k) <80 9 80 90 1 90 100 18 100 110 7 110 10 19 10 130 9 >130 6 Verificare l ipotesi che almeo al 5% del livello di sigificatività la distribuzioe del livello glicemico segua ua legge ormale co media pari a µ=100 e deviazioe stadard pari a σ=3. I caso cotrario trovare i valori di µ e σ che miimizzao il χ e verificare che questa distribuzioe ha u livello di sigificatività maggiore del 5%. Si ricorda che se si vuole verificare che ua serie di dati è compatibile co ua data distribuzioe teorica, si calcola la variabile χ defiita come: χ 0 = k=1 (B k E k ) dove B k è il umero di eveti misurato (empirico) ella classe k-esima e E k è ivece il umero di eveti teorici ella stessa classe, metre è il umero di classi. Perché il test abbia seso è ecessario che E k o sia troppo piccole (E k 5) altrimeti occorre raggruppare le classi co i valori di E k più piccoli. Per poter verificare l ipotesi è ecessario costruire le probabilità cumulative ei vari itervalli. Costruiamo ache il umero atteso di pazieti attesi per ogi classe E k =P k dove P k è la probabilità per ogi paziete di trovarsi ella classe k-esima calcolata i questo caso co ua distribuzioe ormale (otare che questo umero o è ecessariamete u umero itero). A questo puto possiamo calcolare il χ 0 otteedo χ 0 =15,18. I pricipio più il valore di χ 0 è piccolo più i dati sperimetali si avviciao a quelli teorici (se B k =E k si avrebbe χ 0 =0). aturalmete ciò o sarà possibile a causa della atura casuale dei dati sperimetali. I geerale se χ 0 si ha u buo accordo tra dati e teoria. Ciò fa pesare che per esempio el caso precedete o si ha u buo accordo (cosa che i realtà si vede già occhio cofrotado i due istogrammi). E k
Per poter verificare l ipotesi che i dati empirici e quelli teorici siao compatibili ad u determiato livello di sigificatività è ecessario calcolare la probabilità che a causa di ua fluttuazioe statistica dei dati il valore di χ diveti più grade del valore di χ 0 calcolato. Ad esempio se vogliamo accettare l ipotesi al 5% del livello di sigificatività è ecessario che P(χ >χ 0 ) sia maggiore del 5%. Questa probabilità può essere calcolata tramite la fuzioe TEST.CHI. Il calcolo della P(χ >χ 0 ) ci forisce P(χ >χ 0 )=1,89%, il che ci porta a cocludere che la ostra ipotesi deve essere scartata. Per trovare i valori di µ e σ che meglio approssimao la distribuzioe sperimetale possiamo miimizzare il valore del χ per mezzo dello strumeto risolutore (otteiamo quello che si chiama il best fit dei dati). Il risultato ci porta a cocludere che la migliore approssimazioe si ha per µ=103,46 e σ=16,81. Il calcolo della probabilità P(χ >χ 0 ) ci da P(χ >χ 0 )=96,85% che abbodatemete sopra il valore del 5% richiesto. e cosegue che questa distribuzioe teorica può essere accettata (o sempre capita che al best fit la distribuzioe può essere accettata). Di seguito è riportata ua figura co il cofroto tra la distribuzioe teorica e quella sperimetale i quest ultimo caso.
30 5 Pazieti (Ek) atteso (Tk) 0 15 10 5 0 <80 80 90 90 100 100 110 110 10 10 130 >130 L esercizio è svolto el foglio di calcolo test del chi - Glicemia del file Probabilita_e_statistica.xls. D1) Uo studete di iformatica crea u programma per geerare umeri casuali co distribuzioe uiforme tra 0 e 1. Egli vuole verificare la botà di tale geeratore estraedo tramite il suo programma 100.000 umeri casuali da cui ricava seguete tabella di frequeze Itervallo Frequeza tra 0,0 e 0,1 9909 tra 0,1 e 0, 10091 tra 0, e 0,3 9881 tra 0,3 e 0,4 985 tra 0,4 e 0,5 9905 tra 0,5 e 0,6 9897 tra 0,6 e 0,7 10179 tra 0,7 e 0,8 10184 tra 0,8 e 0,9 9940 tra 0,9 e 1,0 10189 Tramite il test del χ cotrollare la botà del geeratore di umeri casuali verificado se al 5% del livello di sigificatività il programma geera umeri casuali co distribuzioe uiforme. I questo caso la distribuzioe teorica è quella uiforme, ovvero i ogi classe dovrebbero esserci i teoria 10000 coteggi. Vogliamo sapere se le differeze rispetto a 10000 i ogi classe soo dovute solo a fluttuazioi casuali o soo sigificative di u errore del programma (che o geera umeri casuali co distribuzioe uiforme. Il test del χ forisce u livello di sigificatività del,86% il che ci fa rigettare l ipotesi di uiformità al 5%.
E) Valutazioe e propagazioe di errori, cifre sigificative E1) I ua lete piao-covessa il raggio di curvatura è R=0,68±0,0m e l idice di rifrazioe della lete vale =1,54±0,01. Calcolare la lughezza focale della lete e il suo errore assoluto e relativo. Suppoedo l errore distribuito secodo ua distribuzioe ormale calcolare l itervallo di cofideza di f al 98%. Ricordiamo che la lughezza focale di ua lete è calcolato come f = R 1 = 0,68 0,54 =1,59 m Occorre stabilire l esatto umero di cifre sigificative. Gli errori relativi su R e 1 valgoo δr/r=0,0/0,68=3% e δ/( 1)=0,01/0,54=%. Poiché l errore relativo i ua divisioe è dato dalla somma i quadratura degli errori del dividedo e del divisore avremo δ f f =! # " δr R $ & %! + δ $ # & " 1% = 3% L errore assoluto su f vale duque δf=f (δf/f)=0,04 m, per cui la scrittura co le corrette cifre sigificative è f=1,6±0,04 m. Ricordiamo che l itervallo di cofideza per ua certa probabilità fissata β di ua variabile x avete ua distribuzioe ormale di media µ e deviazioe σ co dimesioe è quel umero X per cui x ha ua probabilità β di trovarsi ell itervallo [µ X,µ+X] (ovvero ha ua probabilità α=1 β di trovarsi fuori da quell itervallo µ + X µ X * g ( y, µ, ) σ ' % dy & = β = 1 α Tale itervallo è implemetato dal foglio di calcolo dalla fuzioe COFIDEZA: X=COFIDEZA(α;σ;). el caso i esame, assumedo che l errore sia distribuito i maiera ormale, il livello di cofideza al 98% vale 0,14 (si veda figura). I questo caso la dimesioe del campioe è uguale a 1. Ciò sigifica che il valore vero di f ha ua probabilità del 98% di trovarsi ell itervallo 1,1 f 1,40 (ovvero ha ua probabilità di trovarsi fuori da tale itervallo del %). Si oti che il risultato deve essere scritto co il corretto umero di cifre sigificative. Ciò sigifica che il risultato forito dal foglio di calcolo deve essere arrotodato opportuamete. Ciò può essere effettuato o semplicemete impostado il corretto umero di cifre decimali ella formattazioe delle celle dove verrà scritto il risultato (scelta scosigliata) o utilizzado la fuzioe ARROTODA(umero; umero_cifre).
E1) U aemometro forisce i 10 secodi per =8 ua misura della velocità del veto otteedo i segueti risultati (espressi i m/s): 0,7-1,5 -,1-0,9-19,9-0,1-0,0-0,9-1,9-1,0-0,5-19,8-19,7-1,5-19,7-1,0-19,9-1,7 -,0 -,1-1,1-1,9-0,7-0,3-1,6-0,4-19,8-19,3 Suppoedo che le fluttuazioi di velocità siao fluttuazioi casuali dello strumeto di misura itoro ad u valore medio, calcolare la velocità media del veto, l icertezza e l itervallo di cofideza al 99,9%. Il valore medio dei dati è V=1,5m/s. L errore può essere stimato a partire dalla deviazioe stadard σ (V ) = i=1 ( v i V ) 1 per mezzo della fuzioe DEV.ST. el ostro caso la deviazioe stadard σ=,480. A causa del teorema del limite cetrale l icertezza sulla velocità vale δ V = σ / = 0,469 0,5 m/s, quidi la misura può essere espressa come V=1,5±0,5 m/s. L itervallo di cofideza al 99% può essere quidi calcolato idifferetemete sia come oppure come COFIDEZA(0,01;,48;8) COFIDEZA(0,01;0,5;1) e il risultato i etrambi i casi vale 1,m/s, per cui al 99,9% la velocità vera del veto è compresa ell itervallo 0,3 V,7 m/s.
F) Correlazioe e regressioe lieare F1) Data la tabella qui di seguito che forisce la cocetrazioe di particolato atmosferico e di auto trasitate ei vari giori della settimaa ei pressi di ua cetralia di misura, dire se le due serie di dati soo i correlazioe tra di loro. Fare il grafico della liea di tedeza Cocetr. di pm10 umero di auto Luedì 15.1 115.0 Martedì 16. 130.0 Mercoledì 1.4 190.0 Giovedì 13.3 110.0 Veerdì 16. 15.0 Sabato 31.5 41.0 Domeica 10. 90.0 L idice di correlazioe tra due serie di dati {x i } i=1 e {y i } i=1 è defiito come R = i=1 i=1 ( x i X) y i Y ( x i X) ( ) i=1 ( y i Y ) ; 1 R 1 L idice di correlazioe è per costruzioe, u umero sempre compreso tra -1 e 1 e stima quato due serie di dati siao i relazioe lieare tra loro Tato più l idice di correlazioe è vicio all uità, tato più vi è correlazioe tra i dati (i particolare se R=±1 si ha che i dati soo i relazioe lieare tra di loro). Se R è vicio ad 1 si dice che le due serie di dati soo i correlazioe diretta (ovvero vi è ua buoa probabilità che all aumetare dell uo aumeta ache l altro), se è vicio a -1 si dice che soo i correlazioe iversa (o i aticorrelazioe). Se ivece R è zero o molto vicio a zero si dice che i due set di dati soo scorrelati tra di loro. Il calcolo del coefficiete di correlazioe può essere effettuato per mezzo della fuzioe CORRELAZIOE come i figura. I questo caso poiché R=0,98 possiamo cocludere che c è ua stretta correlazioe tra la cocetrazioe di CO e il umero di auto e quidi la causa
della preseza di CO è molto probabilmete legata al passaggio delle auto (e o per esempio al riscaldameto domestico i zoa). La liea di tedeza (o retta di regressioe o fit lieare ) è quella retta che meglio approssima i dati. Questa può essere trovata col metodo dei miimi quadrati. I pratica se dispoiamo di due serie di dati {x i } i=1 e {y i } i=1 è possibile supporre che esista ua relazioe lieare tra i dati X e i dati Y del tipo Y=a+b X. I coefficieti a e b possoo essere trovati miimizzado la somma degli scarti tra i valori sperimetali y i e quelli teorici a+b x i (metodo dei miimi quadrati) ovvero trovado il miimo della fuzioe F(a, b) = i=1 ( y i a b x i ) Questo metodo può essere applicato ache per altri tipi di dipedeza di X da Y. Il calcolo può essere effettuato aaliticamete e forisce b = R σ (Y ) σ (X) a = Y b X dove R è il coefficiete di correlazioe calcolato precedetemete. el foglio di calcolo i coefficieti di regressioe possoo essere calcolati attraverso le formule precedeti oppure per mezzo della fuzioe REGR.LI. Tuttavia il modo più semplice per mostrare la liea di tedeza è quello di fare u grafico a dispersioe dei dati e di selezioare l opzioe iserisci liea adameto :
Il risultato è quello mostrato i figura. E possibile ache iserire successivamete l equazioe della retta sul grafico stesso tramite l opzioe iserisci equazioe della liea di tedeza. el ostro caso ovviamete x rappreseta la cocetrazioe di CO e y=f(x) il umero di auto.
Formule più importati utilizzate el corso ome Formula Fuzioe foglio di calcolo Media (aritmetica) di ua serie {x i } i=1 di dati µ(x) = X = Deviazioe stadard ( corretta ) di ua serie {x i } i=1 di dati σ (X) = Deviazioe stadard ( di popolazioe ) di ua serie {x i } i=1 di dati σ P (X) = i=1 i=1 i=1 x i ( x i X) 1 ( x i X) Deviazioe stadard della media σ *(X) = σ (X) / Covariaza tra due serie di dati {x i } i=1 e {y i } i=1 cov(x,y ) = Correlazioe tra due serie di dati {x i } i=1 e {y i } i=1 Coefficieti di regressioe lieare tra due serie di dati {x i } i=1 e {y i } i=1 Y=a+bX Errore di ua combiazioe lieare di dati R(X,Y ) = i=1 i=1 i=1 ( x i X) y i Y ( ) ( x i X) y i Y ( x i X) = cov(x,y ) σ P (X)σ P (Y ) ( ) i=1 b = cov(x,y ) σ P (X) = R σ (Y ) σ (X) a = Y bx Y = α 1 X 1 +α X δy = ( α 1 δx 1 ) + ( α δx ) ( y i Y ) MEDIA(dati_X) DEV.ST(dati_X) DEV.ST.POP(dati_X) COVARIAZA(dati_X;dati_Y) CORRELAZIOE(dati_X;dati_Y) REGR.LI(dati_X; dati_y; tipo_retta; parametri) oppure liea di tedeza sul grafico Errore di u prodotto di poteze di dati Cofideza δx al percetile β=1 α Y = X 1 p 1 X p δy Y =! # p 1 " δx 1 X 1 $! δx & + p $ # & % " % X defiito da: P X # $ X δx, X +δx% & ( ) =1 α COFIDEZA(alpha;dev.st.X; umero_dati)
Formule più importati utilizzate el corso ome Formula Fuzioe foglio di calcolo Fattoriale di Permutazioi di elemeti i k volte Combiazioi di elemeti i k volte Distribuzioe biomiale (probabilità che u eveto co probabilità p accada k volte su prove) (*) Distribuzioe biomiale cumulativa (probabilità che u eveto co probabilità p accada al più k volte su prove) Media e deviazioe stadard di ua distribuzioe discreta Media e deviazioe stadard di ua distribuzioe biomiale Distribuzioe di Poisso (probabilità che u eveto raro i u campioe molto esteso b! = ( 1) 1 0! =1! P(, k) = ( k)! " %! C(, k) $ ' = # k & k!( k)! ( % & # ' k $ FATTORIALE() PERMUTAZIOE(;k) COMBIAZIOE(;k) k k ( k,, p) = p (1 p) DISTRIB.BIOM(k;;p;FALSO). B(k,, p) = b(i,, p) k DISTRIB.BIOM(k;;p;VERO). i=1 µ = k p k k k=1 σ = k k µ = p σ = p(1 p) p(k,µ) = µ k co media µ accada k volte) ** Distribuzioe di Poisso cumulativa (probabilità che u eveto raro i u campioe molto esteso co media µ accada al più k volte) Devizioe stadard di ua distribuzioe di Poisso Distribuzioe ormale (gaussiaa) di media µ e variaza σ Distribuzioe ormale Cumulativa di media µ e variaza σ Iversa della distribuzioe ormale cumulativa χ0 per il cofroto due serie sperimetale {B k } k=1 e teorica {E k } k=1 di dati k k! e µ POISSO(k;µ;FALSO) P(k,µ) = p(i,µ) POISSO(k;µ;VERO) i=1 σ = µ 1 ( x µ ) σ g ( x, µ, σ ) = e DISTR.ORM(x;µ;σ;FALSO). G(x,µ,σ) = x πσ g(y,µ,σ)dy DISTR.ORM(x;µ;σ;VERO). x = I(α,µ,σ ) (tale che G(x,µ,σ ) = α) χ 0 = i=1 ( B k E k ) E k IV.ORM(α;µ;σ) Test del χ P(χ χ 0 ) TEST.CHI(dati_B;dati_E) ** per >30 si ha che etrambe le distribuzioi possoo essere be approssimate da g(k,µ,σ). L ipotesi è accettata al livello β=1 α se P(χ χ 0 ) α.
Esercizi proposti 1) Provare per diversi valori di e k che valgoo le segueti relazioi o C(, k) = C(, k) o C(, k) + C(, k 1) = C(+1, k) o C(, k) = k = 0 ) Calcolare la probabilità di fare tero o quatera al gioco del lotto. 3) Come ell esercizio B, calcolare sia el caso che le pallie o vegao reiserite ell ura che el caso che vegao reiserite la probabilità che a) tutte e tre le pallie siao verdi; b)tutte e tre rosse; c) 1 verde e due rosse. 4) Si suppoga di avere u mazzo di carte da poker esclusi i Jolly (composto quidi da 5 carte). Si calcoli la probabilità che estraedo 5 carte a caso, sia el caso i cui per ogi estrazioe la carta o vega reiserita el mazzo oppure vega reiserita e si rimescoli: a. Due carte siao figure b. Tutte e cique le carte siao di cuori c. Tutte e cique le carte siao dello stesso seme d. Si abbia u tris (tre carte uguali) e. Si abbia almeo u tris (almeo tre carte uguali) f. Si abbia u poker (4 carte uguali) 5) U isieme di persoe è composto da 6 doe e 4 uomii. Calcolare la probabilità che estraedo a caso 6 persoe 1) 3 siao uomii; ) almeo 1 sia doa; 3) siao tutte doe 6) E oto che i u campioe di persoe estratto a caso, mediamete il 35% di essi preseti u grado di miopia maggiore di 4 diottrie. Calcolare la probabilità che prededo 10 persoe a caso esse abbiao tutte u grado di miopia maggiore a 4. Oppure che le persoe siao tutte ormovedeti. Oppure che ci sia almeo u miope. Oppure che ci sia u solo miope. 7) I u bosco, il 0% degli alberi è stato attaccato da u parassita. Assumedo che l attacco è avveuto i maiera completamete casuale (cioè o ha coivolto alberi vicii), calcolare la probabilità che preso u gruppo di 1 alberi: a. Siao tutti sai b. Siao tutti malati c. Che la metà di essi sia sao d. Che il umero di alberi malati o superi le due uità. e. Che il umero di alberi malati sia compreso tra 4 e 8 f. Che il umero di alberi malati sia maggiore di 3 8) Si verifichi tramite ua prova diretta che per ua distribuzioe biomiale si ha
µ = b(k,, p) k = p k= 0 σ = b(k,, p) k µ = p (1 p) k= 0 per diversi valori di e p a scelta dello studete. 9) U sito web riceve mediamete 10 cotatti ogi ora. Calcolare la probabilità che i 1 miuto: a. o ci siao cotatti b. Ci siao due cotatti c. Ci siao più di tre cotatti d. Ci siao meo di cique cotatti (sugg.: si utilizzi ua statistica poissoiaa) 10) E oto che vi è ua probabilità su quidici milioi che i u batterio vi sia ua determiata mutazioe. I ua coltura coteete circa quarata milioi di batteri calcolare a. o vi siao batteri mutati b. Vi sia u batterio mutato c. Vi sia almeo u batterio mutato 11) el caso dell esercizio precedete, suppoedo di aver preparato dieci colture tutte idetiche, calcolare la probabilità che i 5 di esse ci sia almeo u batterio mutato. (sugg: si usi ua statistica biomiale) 1) Ua compagia di assicurazioe stima che per ogi assicurato la probabilità di avere u icidete i u ao è 1/00. Su di u campioe di 1000 assicurati Calcolare la probabilità che i u ao a. essu assicurato abbia u icidete b. U assicurato abbia u icidete c. Più di cique assicurati abbiao u icidete d. Meo di dieci assicurati abbiao u icidete 13) (difficile) Si simuli il lacio di 10 dadi per 1000 volte e si faccia u istogramma della somme dei risultati. Si cofroti co ua distribuzioe ormale co media 35 e deviazioe stadard 5,4. 14) Ua moeta viee laciata 100 volte. Calcolare le probabilità che Testa esca più di 60 volte. (Sugg.: si ricordi che per grade la distribuzioe biomiale può essere approssimata co ua distribuzioe ormale). 15) La dimesioe dei leucociti i u paziete segue ua distribuzioe ormale co media 5micro e variaza 0,8micro. I u campioe di sague coteete 500.000 leucociti calcolare:
a. Quati leucociti hao ua dimesioe superiore ai 6 micro b. Quati leucociti hao ua dimesioe compresa tra 4 e 6 micro 16) el caso dell esercizio precedete, si suppoga di aver fatto passare il campioe di sague attraverso u filtro a micropori. Si osserva che 150.000 leucociti o siao riusciti ad attraversare il filtro. Si deduca da questo la dimesioe dei micropori.(sugg.: si usi la fuzioe IV.ORM) 17) (difficile) Si applichi il test del χ all esercizio B1 e si verifichi co quale probabilità la distribuzioe empirica è compatibile co quella teorica. 18) I u esperimeto si vuole determiare il tasso di decadimeto di ua sostaza radioattiva. Tramite u cotatore geiger si misura il umero di decadimeti i itervalli di 1 miuto. Si ottiee la tabella seguete: di decadimeti di itervalli < 5 10 3 14 4 19 5 16 6 15 7 1 8 7 >8 5 Suppoedo che il decadimeto radioattivo segua ua statistica di Poisso tramite il test del χ al 5% del livello di sigificatività. si verifichi l ipotesi che il tasso di decadimeto della sostaza sia di µ=6 decadimeti al miuto. I caso l ipotesi vega rigettata si calcoli il valore di µ che meglio approssima i dati e verificare i questo caso se la distribuzioe sperimetale è compatibile co quella attesa. 19) Si è misurata la dimesioe dei batteri i ua coloia e si è otteuta la seguete tabella: Dimesioe (micro) umero di batteri <30 1.500 30 40 3.000 40 50 10.00 50 60 3.44.000 60 70 3.570.000 70 80 16.000 80 90 18.000 >90 800 Si verifichi l ipotesi che la dimesioe dei batteri segua ua distribuzioe ormale co media 60 micro e deviazioe stadard 10 micro.
0) L eergia di u fotoe è data dalla formula E=h f dove h è la costate di Plack e vale h=(4,135667516±0,000000009) 10-15 evs (ev=eletttro Volt, uità di misura di eergia) e f=frequeza del fotoe i Hz=s -1. Se la misura della frequeza di emissioe di ua trasizioe atomica vale f=(1,036554880±0,000000008) 10-15 Hz calcolare l eergia di trasizioe co le corrette cifre sigificative e l itervallo di cofideza al 99,9%. 1) Uo strumeto misura per 0 volte il umero di globuli rossi i u cm 3 di sague. Simulare il risultato geerado per 0 volte u umero pari a 6500000 più u umero casuale itero compreso tra -300000 e 300000. Calcolare media e deviazioe stadard della media co le corrette cifre sigificative e l itervallo di cofideza al 99,9%. ) La misura del ph di ua stessa soluzioe è stata ripetuta per 10 volte foredo come risultato 7,91-7,57-7,74-7,98-7,80-7,7-7,44-7,47-8,01-7,99. Calcolare media e deviazioe stadard della media. Calcolare qual è la probabilità che il ph vero della soluzioe è maggiore di 8. 3) Sia data la fuzioe y=3x++δ per x compreso tra 0 e 0 co passo 1 e dove Δ è u umero casuale o itero (diverso per ogi valore di x) compreso tra -1 e 1. Disegare per puti il grafico della fuzioe e sovrapporre la retta di regressioe. Calcolare ioltre il coefficiete di correlazioe tra la tabella delle x e quella delle y. 4) Si vuole misurare il valore di ua resisteza elettrica applicado ua tesioe V ai suoi capi e misurado la correte I che circola ella resisteza stessa: la misura ha forito i segueti risultati: I(mA) V(volt) 1,1 0,1, 0,1 3,1 0,8 3,8 0,39 5,3 0,5 6,1 0,61 7, 0,67 8,0 0,8 9,1 0,93 10,0 0,98 Fare u grafico a dispersioe della tabella precedete e, teedo i coto della relazioe V=R I+V 0, dove V 0 è il bias dello strumeto (ovvero la tesioe misurata i asseza di circolazioe di correte) si forisca ua stima della resisteza R. (Sugg.: si utilizzi ua retta di regressioe).