FRAZIONI CONTINUE DISCENDENTI E ASCENDENTI

Bollettio dei Doceti di Matematica (995), 85-9 FRAZIONI CONTINUE DISCENDENTI E ASCENDENTI GIORGIO T. BAGNI L ALGORITMO DI EUCLIDE U efficace pocedimeto pe detemiae il massimo comue divisoe di due atuali è asato su di u classico algoitmo isalete ad Euclide (III sec. a.c.), il metodo della divisioe euclidea (Elemeti, VII, -). Cosideati due atuali a e, co a>, dividedo a pe otteiamo come quoziete il atuale e come esto : a: = Dividedo poi acoa pe, otteiamo come quoziete e come esto : : = Iteado il pocedimeto, ovveo dividedo pe, otteiamo come quoziete e come esto : : = e così via. Riassumiamo quato sio ad oa otteuto: a: = = = = =... Se a e soo atuali, il pocedimeto ha temie [H]: ciò sigifica che si giuge (i u umeo fiito di passi) ad ua situazioe i cui la divisioe da

effettuae è esatta (ovveo co quoziete q e esto ullo). Ad esempio, potee accadee che, ella situazioe seguete, sia divisiile pe : a: = = = q Si dimosta alloa (Elemeti, VII, -) che il massimo comue divisoe dei atuali a, è l ultimo esto tovato: el caso esemplificato,. Il pocedimeto pecedete, itodotto pe due atuali, può essee ipetuto (co otevole iteesse) el caso i cui P e Q siao gadezze; i paticolae: se P e Q soo commesuaili il pocedimeto ha temie e si giuge al loo appoto (azioale); se P e Q soo icommesuaili il loo appoto (iazioale) è idicato dalla fazioe cotiua illimitata: P:Q =... LE FRAZIONI CONTINUE DISCENDENTI Defiizioe. Si dice fazioe cotiua discedete u espessioe del tipo: a a a a...... dove a, a, a, a,...,,,,...,,,,... soo eali o complessi ed il loo umeo è fiito o ifiito. Ua fazioe cotiua come quella scitta a desta si dice odiaia se,,,,... (i temii della fazioe cotiua) soo itei, o egativo il pimo e positivi tutti gli alti. Se i temii soo i umeo fiito, la fazioe cotiua viee detta limitata; se i temii soo i umeo ifiito, la fazioe cotiua viee detta illimitata.

Ci occupeemo esclusivamete di fazioi cotiue odiaie, che talvolta si scivoo idicado, pe evità, i soli deomiatoi: [,,,, 4,...] Pe quato iguada le fazioi cotiue limitate, aiamo costatato che esse soo stettamete collegate ai azioali (ovveo ai appoti di gadezze commesuaili); vale il seguete isultato [N]: Poposizioe. Ogi eale azioale positivo può essee espesso attaveso ua fazioe cotiua odiaia limitata. Pe quato ivece iguada le fazioi cotiue illimitate, ipediamo u esempio poposto da Olds (tatto da [O]): immagiiamo di vole isolvee l equazioe di secodo gado i x: x x = x = x (pe x ) e sostituedo ipetutamete tale espessioe alla x al deomiatoe: x = x = x x x = x Possiamo duque appossimae x mediate: =,5 =,4 =,466... e tali valoi soo... molto vicii a: x = =,44... che è ua adice dell equazioe cosideata. Ituitivamete, duque, siamo potati a scivee la fazioe cotiua:

=... L esempio poposto ichiede qualche pecisazioe. Itoduciamo le idotte di ua fazioe cotiua (discedete odiaia):... I azioali otteuti aestado lo sviluppo al temie i-esimo: a = a = a si dicoo idotte (i-esime) della fazioe. =... ai i... Defiizioe. Si dice che ua fazioe cotiua (discedete odiaia) covege ad u eale λ se la successioe delle sue idotte: a, a, a, a, a4,... 4 a è covegete al limite λ: lim = λ (detto valoe della fazioe cotiua). Poposizioe. Ua fazioe cotiua (discedete odiaia) covege ad u eale iazioale positivo. Pe ogi eale iazioale positivo λ, esiste ua ed ua sola fazioe cotiua (discedete odiaia) avete valoe λ [HW] [S] [Vi]. LE FRAZIONI CONTINUE ASCENDENTI Notiamo che la fazioe cotiua oa itodotta è detta discedete pe distiguela dalla fazioe cotiua ascedete, che si può icavae el modo seguete. Siao P e Q gadezze, co P<Q; sia m il miimo atuale pe cui:

m P > Q Sciveemo alloa: R Q m P = QR P:Q = m ed iteado il pocedimeto: m R = QR R R Q = Q m m R = QR R Q R Q = m e così via. Possiamo quidi scivee:... m m P:Q = m = m mm mm m... Aalogamete a quato affemato pe le fazioi cotiue discedeti, se le gadezze P e Q soo commesuaili il pocedimeto ha temie, mete se esse soo icommesuaili il loo appoto (iazioale) è idicato da ua fazioe cotiua ascedete illimitata. Defiizioe. Si dice fazioe cotiua ascedete odiaia l espessioe:... m m m = m mm mm m... dove m, m, m,... soo tutti itei positivi.

U celee esempio iguada il umeo di Nepeo e (,788...), ase atuale dei logaitmi, che può essee espesso mediate ua fazioe cotiua ascedete odiaia: e =... 5 4 = 4 4 5... LE ORIGINI STORICHE DELLE FRAZIONI CONTINUE Tacce di pocedimeti cocettualmete vicii alle fazioi cotiue soo peseti, ella stoia della matematica, el commeto di Teoe di Alessadia (tado IV secolo d. C.) all Almagesto di Claudio Tolomeo [F]. Ache egli scitti di Ayahata (476-55), autoe del più vasto ed impotate testo della matematica idiaa (l Ayahatiya, scitto el 499), toviamo ifeimeti alle fazioi cotiue: i paticolae, Ayahata accea alla isoluzioe geeale di u equazioe idetemiata attaveso ua tecica cocettualmete assai vicia alla fazioe cotiua. Teciche che acceao, sostazialmete, alle fazioi cotiue ascedeti si tovao el Lie Aaci (), il capolavoo di Leoado Pisao detto Fioacci (7 cica-5 cica): gli sputi di Fioacci soo poi ipesi dall aao Au l Hasa Alkalsadi, i u tattato di aitmetica pulicato el 46 e da Luca Pacioli (445-55 cica). Modeamete, l itoduzioe delle fazioi cotiue viee fatta isalie a Raffaele Bomelli (56-57) ed a Pieto Atoio Cataldi (548-66); quest ultimo, docete pesso l Ateeo ologese, ipededo i pate alcui pocedimeti dovuti a Bomelli (autoe dell Algea, Bologa 57 e 579), pulica u semplice metodo pe l estazioe della adice quadata asato su questo stumeto matematico. Nei lavoi di Bomelli (57) toviamo ifatti uo sviluppo equivalete a: 4 = 4 6 4 6 6... Bomelli tuttavia o appofodisce questa tecica [Bm]. Pochi ai dopo (6), Cataldi pulica Tattato del modo evissimo di tovae la adice

quadata delli umei; egli, pe estae la adice quadata del atuale, suggeisce di poe: = q (essedo q iteo e q il massimo quadato o maggioe di ) e di assumee quidi come appossimazioe di il valoe: = q q q q... Giustifichiamo i temii geeali questa fomula. Poiamo: q = q β = β Ricodado la pima uguagliaza: q q = q q β = q β = β q β Risulta: q = q q β e sostituedo i questa ipetutamete l uguagliaza: =, otteiamo: β q β q = q q q q...

Uo sviluppo di questo geee che toviamo i Cataldi è, i otazioe modea: 8= 4 8 8 8... Le appossimazioi di 8 icavaili mediate tale pocedimeto possoo essee valutate co l impiego di ua calcolatice tascaile: 8 4 che pota a: 8 4 che pota a: 8 8 4 8 8 che pota a: 8 4 8 8 8 che pota a: 8 4 8 8 8 8 che pota a:

L appossimazioe così otteuta (co u umeo di iteazioi assai limitato!) può essee cosideata valida; calcolado diettamete 8 co ua calcolatice tascaile toviamo ifatti: miglioe appossimazioe pe 8: Co l opea di Cataldi viee messo a puto u pocedimeto iteativo efficace, elegate e dallo spiito modeo; pe cui le fazioi cotiue possoo essee icodate da E. Botolotti come i pimi passi veso la geealizzazioe del cocetto di umeo (fio ad alloa istetto al solo campo dei azioali) e veso l avveto del metodo ifiitesimale [B]. Pe quato cocee la covegeza delle fazioi cotiue itodotte da Cataldi, otiamo che la covegeza di: 8 8 8... è gaatita dal teoema di Sleszyski-Pigsheim ([LW], pp. -), il quale K a / covege se pe ogi è: affema che la fazioe cotiua ( ) a Di sicuo iteesse, iolte, è la possiilità di idue la fazioe cotiua data i ua fazioe cotiua aitmetica attaveso la tasfomazioe [BP]: = 8 4 8 8 8... 4... otteuta dividedo pe il umeatoe ed il deomiatoe ogi due livelli della fazioe cotiua. E, com è oto, ogi fazioe cotiua aitmetica è covegete. Ua elemetae, ifomale veifica dell equivaleza delle fazioi cotiue

e 8 4 8 8 8... 4... può essee codotta cosideado le equazioi di secodo gado dalle quali possoo essee icavate tali fazioi cotiue; ad esempio: x = x 8x = 8 x x = 4x x 8 = x 8x = 4 8 x LE FRAZIONI CONTINUE DA BROUNCKER A LAGRANGE Molti, ei secoli segueti, soo gli studi codotti da pestigiosi matematici sulle fazioi cotiue; molti isultati e molti pocedimeti ad esse collegati vegoo ideati e pefezioati. Nel 65, Alet Giad (59-6) i u commeto ad u mauale di aitmetica di Simo Stevi (548-6) descive alcui sviluppi i fazioi cotiue di eali iazioali, ma seza ipotae ua loo completa giustificazioe. Joh Wallis (67-7) è il pimo autoe ad utilizzae il temie fazioe cotiua ; ell opea di Wallis Aithmetica ifiitoum (655) toviamo ua fomula che equivale a: 4 π = 9 5 49... attiuito a William Boucke (6-684) e che saà dimostato solo qualche deceio più tadi da Leohad Eule (77-78). Negli Opuscoli postumi, pulicati el 7, di Chistiaa Huyges (69-695) si tova u esempio di sviluppo i fazioe cotiua (limitata) di u eale azioale asato sull algoitmo della divisioe euclidea. Leohad Eule si occupa spesso di fazioi cotiue e pulica De factioius cotiuis, opea igoosa e pofoda. I Eule toviamo molti sviluppi iteessati, alcui dei quali iguadati e, ase dei logaitmi atuali.

Ta questi (77) icodiamo lo sviluppo che può scivesi compattamete (aotado solo i deomiatoi): e = [,,,,, 4,,, 6,,, 8,,,...] Nel 77, Joha Heiich Lamet (78-777) pulica Beytage zum Geauche de Mathematik ud dee Awedug, lavoo i cui viee data ua sistemazioe ogaica alle iceche sulle fazioi cotiue. Alcui elegati isultati iguadao ua classe paticolae di fazioi cotiue discedeti: le fazioi cotiue (odiaie) peiodiche. Defiizioe. Ua fazioe cotiua odiaia si dice peiodica se esiste u iteo positivo k ed u idice M tali che pe ogi i > M sia: ik = i. Ad esempio, la fazioe cotiua odiaia: = [,, 6,, 6,, 6,...] è peiodica; si sciveà alloa:,, 6. Si dià che {} è l atipeiodo e {, 6} il peiodo. Ua fazioe cotiua peiodica si dice peiodica pua se il suo atipeiodo è vuoto. Giuseppe Luigi Lagage (76-8) dimosta (77) che ua fazioe cotiua peiodica è la adice di u equazioe di secodo gado e, vicevesa, u iazioale quadatico (ovveo ua adice di u equazioe di secodo gado a coefficieti itei il cui discimiate o sia u quadato pefetto) è sviluppaile i ua fazioe cotiua peiodica. Euciamo il lemma seguete. Poposizioe. Sia α > adice (iazioale) di u equazioe di secodo gado co coefficieti itei, α = B (B, C itei, iteo positivo o C quadato); se l alta adice di tale equazioe α = B C è compesa ta e, alloa α può essee sviluppata i ua fazioe cotiua peiodica pua. Notiamo che se soo veificate le ipotesi del pecedete lemma, l iazioale quadatico α si dice idotto. Possiamo oa euciae il teoema di Lagage e descivee ua taccia della sua dimostazioe. Poposizioe. Teoema di Lagage. U iazioale quadatico può essee sviluppato i ua fazioe cotiua peiodica. È possiile dimostae che sviluppado i fazioe cotiua u iazioale quadatico qualsiasi si giuge a:

... α i co α (oppotuo) iazioale quadatico idotto; a quest ultimo è applicaile il pecedete lemma e, potedo α essee sviluppato i ua fazioe cotiua peiodica pua, il teoema di Lagage isulta dimostato. Sessata ai dopo Lagage, Evaiste Galois (8-8) poveà che sviluppado i fazioe cotiua le adici di u equazioe di secodo gado i peiodi soo composti dagli stessi umei odiati ivesamete [M]. Ache il pimo lavoo matematico di Galois è dedicato alle fazioi cotiue: Démostatio d u théoème su les factios cotiues péiodiques, pulicato ( apile 89) quado il suo diciassettee autoe è studete el College Louis- Le-Gad. Olte agli studiosi sio ad oa icodati, molti icecatoi si occupao di fazioi cotiue. Notevoli, pe quato iguada il loo studio ell età cotempoaea, appaioo le iceche di Kal Fiedich Gauss (777-855) [Vo], e di Cal Gustav Jaco Jacoi (84-85). Rifeimeti iliogafici [BP] G.T. Bagi - P. Plazzi, Le fazioi cotiue elle opee di Raffaele Bomelli e di Pieto Atoio Cataldi, i: La matematica e la sua didattica, i coso di stampa (995). [Bm] R. Bomelli, L Algea, a cua di U. Foti-E. Botolotti, Feltielli, Milao 966. [B] E. Botolotti, Le atiche egole empiiche del calcolo appossimato dei adicali quadatici e le pime seie ifiite, i: Bollettio Mathesis, XI (99), pp. 4-9, -, 57-88; XII (9), pp. 5-6. [F] A. Favao, Notizie stoiche sulle fazioi cotiue dal secolo decimotezo al decimosettimo, i: Bullettio di iliogafia e di stoia delle scieze matematiche e fisiche, di. da B. Bocompagi, A, VII, Foi, Bologa 874. [HW] G.H. Hady - E.M. Wight, A itoductio to the Theoy of Num-es, Claedo, Oxfod 96. [H] D. Hesley, The ume of Steps i the Euclidea Algoithm, i: Joual of Nume Theoy, v. 49,., /94, pp. 4-8.

[M] S. Maacchia, Da Cadao a Galois, Feltielli, Milao 979. [LW] L. Loetze - H. Waadelad, Cotiued Factios with Applica-tios, Noth-Hollad, Amstedam 99. [N] I. Nive, Numes: atioal ad iatioals, Radom House, New Yok 96 (Numei azioali e umei iazioali, Zaichelli, Bologa 965). Dello stesso A. si veda: I. Nive, Iatioal umes, Joh Wiley ad Sos, New Yok 956. [O] C.D. Olds, Cotiued Factios, Radom House, New Yok 96 (Fazioi cotiue, Zaichelli, Bologa 968). [S] M.R. Schoede, Nume theoy i Sciece ad Commuicatio, Spige- Velag, Beli Heideleg 984 (La teoia dei umei, Muzzio, Padova 986). [Vi] G. Vitali, Limiti, seie, fazioi cotiue, podotti ifiiti, i Eciclopedia delle matematiche elemetai e complemeti, vol. I, pate II, Hoepli, Milao 99 (istampa aastatica: Hoepli, Milao 979). [Vo] P. Vosselma de Hee, Specime iauguale de factioius cotiuis, Althee, Tajecti ad Rheum (Utecht) 8.