Insiemi disgiunti. Classificazione

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1 Insiemi isgiunti Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 1/7 Clssifizione "gli nimli si iviono in: ) pprtenenti ll impertore, b)imblsmti, )omestiti, )lttonzoli, e)sirene, f) fvolosi, g)ni rngi, h)inlusi in quest lssifizione, i) he s gitno ome pzzi, j)innumerevoli, k) isegnti on un pennello finissimo i pelo i mmello, l)eeter, m)he hnno rotto il vso, n) he lontno sembrno moshe. Emporio Celeste i Conosimenti Benevoli (J.L. Borges) Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 2/7 1

2 Clssifizione "Clssifition is the ognitive proess in whih ies n objets re reognise, ifferentite n unerstoo. Clssifition implies tht objets re groupe into tegories, usully for some speifi purpose. Ctegoriztion is funmentl in eision mking n in ll kins of intertion with the environment. " Wikipei Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 3 Clssifizione Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 4 2

3 L ADS per insiemi isgiunti Utilizzt priniplmente per rppresentre: relzioni i equivlenz riflessive, simmetrihe, trnsitive inuono prtizionmenti i insiemi. Algoritmi molto semplii, nlisi i omplessità molto iffiile. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 5 Relzioni i equivlenz Esempi? Insieme egli bitnti ell'itli e relzione "bit nello stesso omune i"? Numeri nturli e relzione "è mggiore i"? Un fmigli e relzione "è frtello i"? Un fmigli e relzione "è pre i"? Un rete i omputer e relzione "è onnesso on"?... Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 6 3

4 Clssi i equivlenz e prtizioni Relzione i equivlenz S efinit sull insieme S={ 1, 2,, n }. Le lssi i equivlenz sono sottinsiemi isgiunti i S. Possibile ientifire in Θ(1) se ue elementi i e j sono nell stess lsse, utilizzno un mtrie espliit i imensioni n 2. Relzione impliit, usno meno memori? Algoritmi on-line? Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 7 Strutture ti per insiemi isgiunti E to un insieme S somposto in insiemi isgiunti S 1,, S k. Ogni insieme è ientifito un suo membro rppresentnte. Si vogliono relizzre le seguenti operzioni: Mke-Set(x): inizilizz un nuovo insieme ontenente il solo elemento x Fin-Set(x): trov l insieme ui pprtiene l elemento x Union(x,y): unise gli elementi egli insiemi he ontengono x e y, S e T rispettivmente, nell unio insieme S T Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 8 4

5 Strutture ti per insiemi isgiunti Gli insiemi possono essere rppresentti lberi riti (uptree), in ui ogni noo ontiene un elemento e ogni lbero rppresent un insieme. Ogni elemento h un punttore solo l pre. L rie ontiene il rppresentnte, he è pre i se stesso. e b f g Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 9 Up Tree b e k f j h g i Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 10 5

6 Up tree, mke set e fin set Mke-set(x) Inizilizz un nuovo up-treeontenente il solo noo x. Θ(1). x Fin-set(x) Perorre l ten ei punttori fino trovre il rppresentnte i x. O(h). Fin-Set(x) while x p[x] x = p[x] return x z y x Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 11 Up Tree: unione L unione è sempliissim: si f sì he l rie ell lbero he h meno noi punti (ome pre) ll rie ell lbero on più noi. Il numero ei noi viene pprossimto l rngo (limite superiore ll'ltezz) ssoito ogni noo. b e f g Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 12 6

7 Up Tree: Unione s e t u z h g Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 13 Up Tree: Unione e s h t u z g Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 14 7

8 Compressione i mmini Serve nel orso ell Fin-Set, f puntre irettmente ll rie ogni noo el mmino esso l noo to. Miglior l omplessità sintoti se si eseguono più fin he union. T 1 b T 2 T 3 T 1 b T 2 T 3 T 4 T 4 Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 15 Algoritmi per up tree Si ssoi ogni noo x un intero rnk[x], limite superiore ll ltezz i x (num. rhi el mmino più lungo fr x e un fogli isenente). Mke-Set(x) p[x] = x rnk[x]=0 Fin-Set(x) if x p[x] then p[x] = Fin-Set(p[x]) return p[x] Union(x,y) Link(Fin-Set(x), Fin-Set(y)) Link(x,y) if rnk[x] > rnk[y] then p[y] = x else p[x] = y if rnk[x] == rnk[y] then rnk[y]++ Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 16 8

9 Up Tree sommrio MkeSet Fin Union Θ(1) Θ(h) Θ(1) M qunto vle h? Gli lberi hnno ltezz logritmi nel numero i noi ontenuti? Neessri un premess. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 17 Esponenzili i esponenzili F(i) = 2 F(i 1) per ognii> 0 F(0) = 1 F(1) = 2 1 = 2 F(2) = 2 2 = 4 F(3) = 2 22 = 16 F(4) = = F(5) = = Tutti i numeri inontrti normlmente sono più pioli i F(5) Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 18 9

10 log* log n = il più piolo i tle hef(i) n = = il più piolo i tle helog log logn 1. i volte log n 5per ogni numeroninontrto in prti Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 19 L funzione i Akermn A(1, j) = 2 j per j 1 A(i, 1) = A(i 1, 2) per i>1 A(i, j) = A(i 1, A(i,j 1)) per i,j>1 Invers ell funzione i Akermn (per m n): α(m,n) = il più piolo i 1 tle he A(i, m/n ) > log n α(m,n) 4 per ogni vlore omune i m e n Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 20 10

11 Up Tree, omplessità Lemm 1 Per tutte le rii x i lberi, size[x] 2 rnk[x] Dimostrzione Per inuzione. Bse, rnk[x] = 0, ovvi. T: lbero rngo r, rie x, si er il minimo size[x]. T erivto unione i T 1 e T 2, x er rie i T 1. Ipotesi inuttiv: size[t 1 ] 2 rnk[t 1 ], size[t 2 ] 2 rnk[t 2 ] Rngo i T 1 = r 1(se fosse r, size[t] >size[t 1 ] 2 rnk[t 1 ] = 2 rnk[t], per ipotesi inuttiv). Rngo i T 2 rngo i T 1, quini rngo i T 2 = r 1. size[t] 2 rnk[t 1 ] + 2 rnk[t 2 ] = 2 r r-1 = 2 2 r-1 = 2 r Per l ipotesi inuttiv, lemm imostrto. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 21 Up Tree: omplessità Lemm 2 Per ogni intero r 0i sono l più n/2 r noi i rngo r. Dimostrzione Senz pthompressionogni noo i rngo rè rie i un sottolbero i lmeno 2 r noi. Nessun noo el sottolbero può vere rngo r. Quini tutti i sottolberi i noi i rngo rsono isgiunti. Quini i sono l più n/2 r sottolberi, e quini noi i rngo r. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 22 11

12 Up Tree: omplessità Teorem Un sequenz i m operzioni Mke-Set, Link e Fin-Set, i ui n sono operzioni Mke-Set, può essere eseguit su un forest i up-tree on unione per rngo e ompressione i mmini in tempo O(mlog n). Corollrio Un sequenz i m operzioni Mke-Set, Union e Fin-Set, i ui n sono operzioni Mke-Set, può essere eseguit su un forest i up-tree on unione per rngo e ompressione i mmini in tempo O(mlog n). NOTA: entrmbi i boun sono in reltà migliorbili O(mα(m,n)), m l imostrzione è ompless. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 23 Un pplizione Rete i loltori, on un rete i onnessioni punto punto biirezionli. E possibile ollegrsi un qulsisi loltore qulsisi ltro? E possibile onsierre le onnessioni un ll volt e vere in ogni momento gli insiemi i loltori fr loro onnessi (risoluzione on-line)? Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 24 12

13 Eserizio A B C D E F G H I L M N O E H D I M F G O B M A H C C N L A E B M G B D I G C Inserire i noi el grfo in orine lfbetio e eterminre l struttur egli up-tree he si ostruisono seguito elle orrisponenti himte mkeset e union. Vittorio Mniezzo - Università i Bologn 25 13