UD 25: La corrente elettrica. Unità Didattica N 25. La corrente elettrica

Transcript

1 Untà Ddattca N 25 La corrente elettrca 01) Il problema dell elettrocnetca 02) La corrente elettrca ne conduttor metallc 03) Crcuto elettrco elementare 04) La prma legge d Ohm 05) La seconda legge d Ohm 06) Espressone vettorale delle due legg d Ohm 07) esstenze n sere 08) Il prmo prncpo d Krchhoff 09) esstenze n parallelo 10) Shunt 11) Forza elettromotrce 12) La prma legge d Ohm applcata ad un crcuto chuso 13) eostat 14) mperometr 15) Voltmetr 16) Effett prncpal della corrente elettrca 17) Energa e potenza d una corrente elettrca contnua 18) Effetto Joule e sua nterpretazone mscroscopca 19) Lavoro d estrazone d un elettrone da un metallo 20) Effetto Volta 21) Sere voltaca de conduttor metallc 22) Effetto Seebeck 23) Effetto Pelter 24) Effetto Thomson Pagna 1 d 90

2 Il problema dell elettrocnetca L elettrocnetca è quella parte dell elettrologa che s occupa de fenomen conness al movmento delle carche elettrche. Ne captol precedent abbamo studato fenomen che s manfestano quando le carche elettrche s trovano n quete su conduttor solat post nel vuoto o mmers n delettrc omogene e ndefnt. In partcolare abbamo evdenzato la fondamentale propretà che un conduttore carco (n equlbro elettrostatco), qualunque ne sano la forma, l estensone e le condzon dello spazo crcostante, è sempre equpotenzale, coè tra due suo punt qualsas la dfferenza d potenzale è nulla. Voglamo ora occuparc de fenomen che s manfestano quando due conduttor, che s trovano a dverso potenzale, vengono collegat tra loro medante un terzo conduttore (per esempo un flo d rame). ll stante del contatto, due conduttor ed l flo d rame vengono a costture un unco conduttore e pertanto s avrà una redstrbuzone d carche, n modo da soddsfare le condzon d equpotenzaltà. In ogn caso, essendo uno de due conduttor a potenzale pù basso dell altro, s orgnerà un moto d carche elettrca da un conduttore verso l altro lungo l flo che collega due corp. Sgnfcatva è a tale proposto la seguente esperenza. S dsponga d due conduttor che sono ad un potenzale dverso, per esempo le due armature d un condensatore carco. q -q S unscano tal armature con un flo conduttore. S nota che l condensatore s scarca attraverso l flo. S mmagna che le carche elettrche negatve dell armatura a potenzale pù basso attraverso l flo s sano trasferte sull altra armatura, Il flo è percorso da una corrente elettrca d brevssma durata. Il conduttore dces reoforo. Per convenzone dces verso o senso della corrente elettrca l verso delle carche postve, coè l verso de potenzal decrescent. Consdereremo conduttor flform, coè d sezone pccolssma rspetto alla loro lunghezza. Spesso s drà <<una corrente elettrca>> per sgnfcare <<un conduttore flforme percorso da corrente>>. Il flusso delle carche elettrche è prodotto dal campo elettrco presente all nterno del conduttore ed l cu modulo c vene fornto dalla relazone E dv =. dx Il campo E esste n quanto nel conduttore (omogeneo ed sotermo) sono present delle dfferenze d potenzale. Pagna 2 d 90

3 Se n un dato conduttore queste sono costant, l flusso delle carche elettrche è costante nel tempo e la corrente elettrca ha ntenstà costante; s dce brevemente che la corrente è costante o stazonara. Se le dfferenze d potenzale vengono a mancare, l flusso d carche elettrche cessa quas contemporaneamente per la resstenza che anche buon conduttor offrono al moto delle carche elettrche. La d.d.p. tra pol a crcuto aperto è msurable medante un elettrometro e dà la forza elettromotrce (f.e.m. ) del generatore d corrente. Un reoforo collegato a due pol d un generatore d corrente è percorso da corrente elettrca. In questo caso un elettrometro collegato a morsett della macchna non msura pù la f.e.m. del generatore ma msura la d.d.p. esstente tra morsett (che è la d.d.p. esstente agl estrem del reoforo) che è solo una parte della f.e.m. della macchna. S defnscono corrent d conduzone le corrent dovute al moto delle carche elettrche senza trasporto d matera elettrzzata. tal sono le corrent che s orgnano n un flo conduttore a cu estrem è applcata una d.d.p. S defnscono corrent d convezone le corrent dovute al moto d carche elettrche medante l trasporto d matera elettrzzata. S ha corrente d convezone nelle soluzon elettroltche. Le carche elettrche sono trasportate da on postv e negatv. La corrente elettrca può essere classfcata rspetto a dvers aspett. Istantanea Contnua spetto alla durata rspetto al verso Persstente Oscllatora rspetto al mezzo Contnua Oscllatora La corrente elettrca L elettrostatca tratta prncpalmente le forze che agscono sulle carche elettrche quando queste raggungono la loro poszone d equlbro ed l moto delle carche elettrche nello spazo vuoto o rempto d un delettrco. desso voglamo studare l moto ordnato delle carche elettrche n un conduttore quando all nterno d esso vene mantenuto un campo elettrco. Tale moto ordnato costtusce la corrente elettrca. Pagna 3 d 90

4 cordamo che un conduttore metallco è costtuto da atom regolarmente dstrbut n un retcolo perodco perfetto (retcolo crstallno). Un retcolo crstallno è una struttura regolare costtuta da on postv, coè da atom a qual sono stat tolt uno o pù elettron, che prendono l nome d elettron d conduzone. La denstà d elettron lber è costante n tutto l volume del conduttore, ma ogn volume elementare (volume nfntesmo) deve contenere tante carche postve quante sono quelle negatve, deve coè rmanere neutro. Gl elettron lber nel conduttore possono essere paragonat agl atom d un gas. Il conduttore è l recpente che l contene. Ess hanno una veloctà vettorale v non nulla, ma la meda delle loro veloctà vettoral è nulla: non costtuscono un flusso regolare ed ordnato d carche elettrche, ma s muovono dsordnatamente costtuendo la cosddetta nube elettronca. Le carche elettrche lbere n un conduttore sono elettron d conduzone, coè elettron dell ultma orbta. Le carche elettrche lbere n una sostanza elettroltca sono costtute da on, sa postv che negatv. Un gas, n partcolar condzon, è anch esso un conduttore le cu carche lbere sono costtute da on postv, on negatv ed elettron. Queste carche lbere costtuscono una corrente elettrca quando s muovono ordnatamente per effetto d forze eserctate su d esse e generate da un campo elettrco. Gl elettron lber (elettron d conduzone) n un conduttore s muovono caotcamente come le molecole d un gas racchuso n un recpente: non v è moto rsultante lungo la drezone del flo. Se consderamo una sezone d un pano qualsas col flo conduttore allora l numero d elettron che l attraversano da destra verso snstra è uguale al numero d elettron che passano da snstra verso destra. Se l estremo d un flo conduttore è mantenuto a potenzale maggore rspetto all estremo, gl elettron d conduzone s muovono da verso, mentre l verso convenzonale della corrente elettrca è l opposto, coè è quello che va dal punto al punto. Gl elettron d conduzone s muovono lungo potenzal crescent, mentre la corrente flusce lungo potenzal decrescent. Pagna 4 d 90

5 Defnzone d ntenstà d corrente: L ntenstà della corrente che flusce n un conduttore è l rapporto fra la quanttà d carca elettrca q che attraversa una qualsas sezone trasversale del conduttore nell ntervallo d tempo t e l ntervallo d tempo stesso: q = t L ntenstà d corrente n un flo conduttore è la quanttà d carca che gl elettron trasportano attraverso una qualsas sezone trasversale del flo nell untà d tempo. Nel sstema SI l untà d msura della corrente elettrca è l ampere (smbolo ) 1C 1 = 1s Dcamo che un conduttor è percorso dalla corrente d un ampere se attraverso una sua qualsas sezone passa un coulomb d carca elettrca ogn secondo. Una corrente elettrca che flusce sempre nello stesso verso con ntenstà costante nel tempo è chamata corrente contnua. Se colleghamo l flo metallco agl estrem d una battera allora n ogn punto del flo s crea un campo E l quale agrà sugl elettron d conduzone mprmendo loro un moto rsultante nella drezone d -E. (Gl elettron atomc, e così nucle, sono soggett all azone del campo elettrco, ma non vengono accelerat a causa delle forze d legame che vncolano gl elettron a nucle ed nucle fra d loro per formare l soldo consderato). ben presto gl urt con le partcelle fsse del metallo rallentano gl elettron lber o l fermano del tutto, dopo d che gl elettron d conduzone vengono nuovamente accelerato e così d seguto. Il loro moto rsulta una successone d accelerazon e decelerazon. Tuttava ess acqustano una certa veloctà meda (la cosddetta veloctà d derva) n drezone opposta a quella del campo elettrco e possamo supporre che ess s muovano unformemente con tale veloctà. Quando s verfca una stuazone del genere s dce che s è stablta una corrente elettrca e se attraverso qualunque sezone del conduttore nel tempo t passa una carca totale q, la corrente, supposta costante, è: q = t è detta ntenstà d corrente. Pagna 5 d 90

6 Se l flusso d carca non è costante nel tempo, la corrente vara nel tempo ed è data da: dq = dt In elettrocnetca no consdereremo soltanto corrent costant. La corrente è la stessa per tutte le sezon d un conduttore, anche se l area delle sezon può essere dfferente ne dvers punt. La costanza della corrente elettrca segue dalla conservazone della carca elettrca, che nelle condzon stazonare da no consderate, non s accumula né scompare n alcun punto del conduttore. Non v sono, coè, né sorgent né pozz d carca elettrca. Sebbene ne metall portator d carca sano elettron (d conduzone), negl elettrolt o ne conduttor gassos ess possono essere on postv o on negatv o entramb. E qund necessara una convenzone per defnre la drezone d una corrente elettrca dato che n un dato campo le carche d segno opposto s muovono n drezon opposte. llora, per semplctà, faccamo l potes che tutt portator d carca sano postv e per ndcare la corrente dsegnamo una frecca nella drezone e nel verso n cu s muoveranno queste carche. Se portator d carca sono negatv, ess s muovono semplcemente nella drezone opposta a quella della frecca che ndca la corrente. è grandezza prmtva ed ha come untà d msura l ampere; q è grandezza dervata ed ha come untà d msura l coulomb { } { } { } q = coulomb = C = t = ampere sec ondo 1C 1= 1C = 1 1s 1s Un conduttore è percorso dalla corrente d un ampere se attraverso una sua qualsas sezone passa la carca d un coulomb ogn secondo. Se l flusso d carca non è costante nel tempo, la corrente vara nel tempo ed è data da: dq = dt Pagna 6 d 90

7 L untà d msura della quanttà d elettrctà è l coulomb ( C ) defnto come la quanttà d elettrctà che attraversa n un secondo una qualsas sezone d un conduttore percorso dalla corrente d un ampere. [ q] = [ ] [ t] = [ T I] (a) Una spra d rame n equlbro elettrostatco. L ntera spra è ad un unco potenzale e l campo elettrco è nullo n tutt punt all nterno del rame. (b) ggungendo una battera s genera una dfferenza d potenzale tra gl estrem della spra che sono conness a morsett della battera. Questa dfferenza d potenzale produce un campo elettrco all nterno della spra, e l campo causa l moto delle carche all nterno della spra stessa. Questo movmento d carche è la corrente elettrca. La corrente elettrca è una caratterstca del partcolare conduttore consderato. E una grandezza macroscopca come la massa d un corpo, l volume d un oggetto, la lunghezza d una bacchetta. Una grandezza mcroscopca correlata alla corrente elettrca è la denstà d corrente J, che è una grandezza vettorale, ed è caratterstca d ogn punto all nterno del conduttore anzché del conduttore stesso preso nel suo complesso. sulta: =Φ J d = J ds d d S ( ) essendo S una qualsas superfce aperta che tagl l conduttore. Se la corrente è dstrbuta unformemente n un conduttore avente sezone S, l valore della denstà d corrente per tutt punt della sezone è: J= J S S S Se la corrente non è unformemente dstrbuta abbamo: d J= ds Il vettore J n un punto è orentato nella drezone n cu n quel punto s muoverebbe un portatore d carca postva. { J} { } { S} ampere = = = metro quadrato m [ ] [ ] J 2 = = [ ] [ L 2 I] S La frecca spesso assocata con la corrente n un flo non ndca che la corrente è una grandezza vettorale, ma semplcemente mostra l verso n cu flusce la carca elettrca. Lungo l flo portator d carca postva possono muovers n una drezone o n quella opposta, e queste due possbltà nelle equazon algebrche s rappresentano col segno o col segno. S not che: 1) la corrente n un flo non camba se l flo vene pegato, annodato o dstorto e Pagna 7 d 90

8 2) le frecce che rappresentano l verso delle corrent non obbedscono alle regole d addzone de vettor. Interpretazone mcroscopca della corrente elettrca Consderamo un flo conduttore d sezone costante S attraversato dalla corrente costante. Sa v d la veloctà d spostamento (d derva) degl elettron lber; essendo n regme stazonaro essa può rteners costante. Gl elettron, che all stante t 1 attraversano la sezone S, all stante t > t hanno percorso uno spazo s= v ( t t ) = v t= vt. Possamo dre che nel clndro retto 2 1 d 2 1 d d base S ed altezza s= vt sono contenut tutt gl elettron (N) d conduzone che nel tempo t hanno attraversato la sezone S. La carca totale che attraversa la sezone S nel tempo t è : q = N e. = q N e Ne v t = d t = s ponendo: n N = nv = n S s, N = = numero d elettron per untà d volume abbamo : V Nevd nssevd = s = s, = nse v, v = J d d nse = ne, J = = nev d S Un flo d rame l cu dametro è 0, 06cm = m é percorso da una corrente contnua d 1 Calcolare la denstà d corrente J e la veloctà d derva v d degl elettron d conduzone. L area della sezone normale S del flo è : S = r = 314, 9 10 = 2, m J = = S 1 2, m π = = 353, 8570 m cm Per calcolare n partamo dal fatto che nel rame c è un elettrone lbero per atomo. ma N n n N = = V N ρ m con ρ = m V = massa volumca (o denstà assoluta) N = = numero d vogadro, = massa atomca dell elemento consderato m N = ρ = numero d atom per untà d volume = numero d elettron lber per untà d volume gρ ρ = 9 = cm n = 3 kg 3 m, N =, elettron 8, , cm J vd = = en numero d atom chlomolecola 353, 9, ( 8, 4)( 10 )( 1, 6 10 ) kg = 64 Kmole = 2, cm s Pagna 8 d 90

9 s vd =, t t s =, s = 1 cm t 38 s Gl elettron d conduzone present nel flo d rame v d mpegano 38 second per muovers d 1 cm. (**) S tratta d una veloctà assa pccola. L esempo trattato esprme la veloctà con cu s muovono gl elettron lber ne fl che collegano una lampadna da 200watt ad una presa d 220volt. La veloctà degl elettron non deve essere confusa con la veloctà alla quale vaggano lungo l flo le varazon nella confgurazone del campo elettrco, veloctà che s avvcna alla veloctà della luce. Con la stessa veloctà s propaga la corrente elettrca : s potrà, n molt cas, assumere che l passaggo della corrente abba nzo smultaneamente e le sue varazon d ntenstà avvengono nello stesso stante attraverso tutte le sezon del conduttore. ( ) Spegazone mcroscopca dell effetto Joule Un conduttore metallco, percorso dalla corrente, s scalda perché gl on postv del retcolo crstallno assorbono, attraverso gl urt, l energa cnetca posseduta dagl elettron d conduzone che sono stat accelerat dal campo elettrco. Il verso della corrente elettrca Il verso della corrente elettrca è quello nel quale s muoverebbero le carche postve, anche se nella realtà sono gl elettron d conduzon che s muovono. Qund l verso reale della corrente elettrca concde col verso delle carche negatve, mentre l verso convenzonale delle carche elettrche concde col verso delle carche postve. Se l estremo d un flo conduttore è mantenuto a potenzale maggore rspetto al1 estremo, gl elettron d conduzone s muovono da ad, mentre l verso convenzonale della corrente è l opposto: da verso. Generatore elettrco Dces generatore elettrco o generatore d tensone qualsas dspostvo n grado d mantenere la d.d.p. tra due punt. Sono generator d corrente la pla, l accumulatore. (**) Vedere tabella Castagnol pag. 67 vol III ( ) Vedere Slva - Montalbett vol 3 pag. 119 Pagna 9 d 90

10 Una corrente elettrca è un movmento ordnato d carche elettrche causato dalla d.d.p. fornta dal generatore. Un generatore _ elettrco vene rappresentata col smbolo. Il segno <<>> ndca l termnale che normalmente s trova a potenzale pù elevato. Ogn generatore è caratterzzato da una grandezza denomnata forza elettromotrce (f.e.m. ) defnta come la dfferenza d potenzale ( d.d.p.) fra suo pol a crcuto aperto. Crcuto elettrco elementare Perché n un conduttore s abba passaggo d corrente contnua, esso deve essere nserto n un crcuto elettrco che è un dspostvo costtuto da: 1) un generatore d corrente che è un dspostvo che mantene fra due suo punt (dett pol o morsett) una d.d.p. (o tensone) costante, anche quando nel crcuto passa corrente. 2) da un utlzzatore che può essere un flo metallco, una stufa, una lampadna,... 3) da un nterruttore I per aprre o chudere l crcuto 4) da un amperometro (da nserre n sere) per msurare l'ntenstà della corrente 5) da un voltmetro (da nserre n parallelo) per msurare d.d.p.. 6) da eventual altre part Schema elementare d crcuto elettrco I V - ε Crcuto εlεttrco costtuto da una pla un conduttorε d rεsstεnza, un ntεrruttorε I, un voltmεtro V nsεrto n parallεlo, un ampεromεtro nsεrto sεrε. S supponε chε fl d collεgamεnto ndcat con sεgmεnt rεttlnε abbano rεsstεnza trascurablε. La corrente contnua è caratterzzata dal fatto che la sua ntenstà ha lo stesso valore n tutte le sezon del crcuto. Pagna 10 d 90

11 Quando gl estrem d un flo metallco sono conness a due punt mantenut a due potenzal dfferent ma fss, come sono quell de termnal d una pla o d una dnamo, l flo vene percorso da corrente, ma l potenzale d cascun punto del flo rmane costante nel tempo. Il flo conduttore ed l generatore a cu termnal esso è connesso formano un crcuto completo detto anche crcuto chuso. Nel crcuto della fgura una battera che mantene una dfferenza d potenzale d V = 4,5V è collegata ad un resstore d resstenza = 75Ω attraversato dalla corrente d ntenstà = 0,06. _ Crcuto εlεttrco chuso, costtuto ε da una pla ε da un flo mεtallco La fgura rappresenta un crcuto chuso e la lnea tratteggata e marcata con una frecca ndca l verso convenzonale della corrente. Gl elettron d conduzone crcolano n verso opposto a quello delle frecce; nella pla gl on postv s muovono nel verso convenzonale della corrente e gl on negatv nel verso opposto. Nella fgura sono ndcate, medante lnee tratteggate, alcune sezon trasversal del crcuto. L ntenstà della corrente è la stessa n tutte le sezon, compresa quella che attraversa la pla. S not bene che l verso convenzonale della corrente va <<dal pù al meno>>, ma soltanto nel crcuto esterno. nella pla l verso è quello che va dal meno al pù. Un generatore d corrente è un dspostvo che converte reversblmente n energa elettrca energa d altra natura. I generator elettrostatc e le dnamo convertono n energa elettrca l lavoro meccanco computo su d esse da forze d natura non elettrca. Le ple convertono l energa chmca delle reazon che n esse avvengono. Pagna 11 d 90

12 Nel crcuto esterno, l energa elettrca può essere utlzzata per ottenere nuovamente energa meccanca (medante un motore) o energa chmca (come nella carca d una battera d accumulator). In tutte queste trasformazon una certa frazone d energa vene sempre dsspata n modo non recuperable sotto forma d calore. Questa energa è fornta a spese dell energa nterna del generatore. S defnsce forza elettromotrce ( f.e.m. ) d un generatore (smbolo usato: E oppure ε) la d.d.p. che esste fra suo estrem (pol) quando non erogh corrente ) coè a crcuto aperto ). _ Crcuto εlεttrco chuso, costtuto ε da una pla ε da un flo mεtallco Un crcuto ottenuto collegando con fl d rame una pla, una lampadna ed un nterruttore: n a) l crcuto è chuso e l accensone della lampadna segnala l passaggo d corrente; n b) l crcuto è aperto e la lampadna è spenta. Pagna 12 d 90

13 La prma legge d Ohm ffnché gl elettron d conduzone s muovano entro un conduttore dando luogo al passaggo d corrente, è necessaro che entro l conduttore v sa un campo elettrco E non nullo. Cò equvale ad affermare che affnché un conduttore sa percorso da una corrente d ntenstà è necessaro mantenere tra due punt del conduttore una d.d.p. V V. Per fssare le dee consderamo un flo metallco: _ e mperometro voltmetro V <<l ntenstà d corrente che passa nel flo è funzone della d.d.p. applcata agl estrem del flo stesso>> V V La prma legge d Ohm fssa la dpendenza d queste due grandezze stablendo che n un conduttore metallco esse sono drettamente proporzonal, coè: V-V = V - V = <<In un reoforo che non sa sede d f.e.m. l ntenstà della corrente che l attraversa è drettamente proporzonale alla d.d.p. applcata a suo estrem>> La costante d proporzonaltà prende l nome d resstenza elettrca del conduttore e dpende esclusvamente dalla natura del materale con cu è fatto l reoforo, dalle sue dmenson geometrche, dalla sua temperatura, dalla pressone a cu è sottoposto. [ ] [ V ] = = = 2 [ ] [ L M T 3 I 1] [ I 1 2 ] [ L M T 3 I 2] { } { V} { } = ohm = Ω = = volt ampere Nel S.I. l'untà d msura della resstenza elettrca è l'ohm ( Ω ) che è la resstenza d un conduttore che è percorso dalla corrente d un ampere quando a suo estrem applchamo una d.d.p. d un volt. << l ohm è la resstenza d un conduttore che, soggetto alla d.d.p. d 1 volt, è attraversato dalla corrente d 1 ampere >> 1V 1Ω = 1 L nverso 1 della resstenza s dce conduttanza e vene ndcata col smbolo G: 1 G= [ G] [ ] = = [ ] [ L M T I ] V { G} = semens = S = Ω 1 Pagna 13 d 90

14 <<Il semens è la conduttanza elettrca d un conduttore la cu resstenza elettrca è d 1 ohm>> I resstor S chama resstore un componente elettrco che segue la prma legge d Ohm. Negl schem elettrc la presenza d un resstore è ndcata dal smbolo mostrato n fgura: Seconda legge d Ohm La seconda legge d Ohm c dce come vara la resstenza d un conduttore al varare della sua lunghezza e della sua sezone S, coè: =ρ S La resstenza d un conduttore è drettamente proporzonale alla sua lunghezza, ed nversamente proporzonale alla sua sezone S. ρ = resstenza specfca o resstvtà elettrca del materale { ρ } = Ω m, tuttava spesso s danno valor d ρ n Ω cm, coè n una untà non coerente. L nverso 1 della resstenza specfca s dce conduttanza specfca o conduttvtà del ρ materale e vene ndcata col smbolo σ.. ρ ( e qund anche ) è una funzone della temperatura ϑ del conduttore ρ = ρ α ϑ ( 1 ϑ) = ( 1 α ϑ ) o o dove α è detto coeffcente d temperatura della resstvtà ed è un coeffcente caratterstco del metallo consderato. ϑ ρ ( ) è la resstenza specfca (resstenza) a zero grad Celsus. o o ρ è costante per uno stesso materale ma vara da materale a materale. 1 1 G= =σ σ= S α I conduttor metallc obbedscono alle due legg d Ohm. Pagna 14 d 90

15 Espressone vettorale delle due legg d Ohm Le due legg d Ohm possono essere conglobate n una legge pù generale. gl estrem d un flo conduttore d lunghezza e sezone S applchamo una d.d.p. costante V V V = ( prma legge d Ohm ) V. = ρ ( seconda legge d Ohm ) = J S S V V S J S J = ρ = ρ, V V = S J, ma V V = E E=ρJ oppure J=σE In termn vettoral abbamo: E=ρJ J=σE qund : << Possamo qund dre che l passaggo della corrente stazonara n un conduttore vene descrtto a mezzo d due camp vettoral: l prmo, l campo elettrco E, è conservatvo, l secondo, la denstà d corrente J, è solenodale. La legge d Ohm, valda per conduttor metallc, stablsce che quest due vettor sono proporzonal fra d loro n ogn punto del conduttore>>. V V Il prmo prncpo d Krchhoff S defnsce nodo (o punto d dramazone) un punto d un crcuto elettrco comune a tre o pù conduttor. Per magla ntendamo un qualsas percorso chuso d un crcuto elettrco che gode della seguente propretà: <<partendo da un punto qualsas d questo percorso e percorrendo suo ram una sola volta s rtorna nello stesso punto.>> Qund per defnre una magla s pens d partre da un nodo e d muovers lungo conduttor del crcuto n modo da rtornare al punto d partenza senza percorrere ma pù d una volta ogn conduttore. Ogn percorso d questo genere prende l nome d magla. 1) prmo prncpo d Krchhoff o legge de nod o legge delle corrent << La somma algebrca delle corrent che confluscono n un nodo è nulla>>, coè la somma delle corrent che entrano n un nodo è uguale alla somma delle corrent che escono dal nodo. n k =0 k=1 Pagna 15 d 90

16 Questa legge è una mmedata conseguenza della legge d conservazone della carca elettrca. Nel caso della fgura abbamo: = 0 ed anche: = Illustrazone del prmo prncpo d Krchhoff ( o legge de nod 1 2 o legge delle corrent ). Poché non s può creare né accumulare carca elettrca nel punto, la corrente che entra nel punto deve essere uguale alla somma delle corrent che ne 1 2 escono esstenze n sere La maggor parte de crcut elettrc non è formata semplcemente da una sorgente d f.e.m. con n sere un sngolo resstore, bensì comprendono una sere d generator, resstor, motor,... collegat n modo pù o meno complesso. E sempre possble trovare un sngolo resstore che sosttusca una certa combnazone d resstor n un crcuto e lasc nalterata la d.d.p. a cap della combnazone e la corrente nel resto del crcuto. La resstenza d tale resstore è detta resstenza equvalente della combnazone. Due o pù resstenze s dcono collegate n sere quando sono attraversate dalla stessa corrente, coè quando sono nserte n un crcuto una d seguto all altra. La resstenza equvalente ad un collegamento n sere è quella che, sosttuta a tal resstenze, tra termnal e, lasca nvarata la corrente. S tratta d un conduttore d resstenza attraversato dalla corrente quando a suo estrem è applcata la d.d.p. V V. V V = C V V = C D V V = D ( ) V V = = V V = Pagna 16 d 90

17 << In una successone d conduttor collegat n sere l ntenstà della corrente è uguale n tutt punt e la resstenza totale, detta resstenza equvalente, è uguale alla somma delle resstenze de sngol tratt>>. V ε V ε D V D C V C V V 2) Secondo prncpo d Krchhoff o teorema delle magle o legge delle dfferenze d potenzale In una magla d conduttor la somma algebrca delle f.e.m. attve lungo successv ram è uguale alla somma algebrca de prodott delle ntenstà d corrente per le rspettve resstenze de sngol ram della magla, coè n una magla elettrca la somma algebrca delle f. e. m. uguagla la somma algebrca delle cadute d potenzale prodotte dalle corrent che crcolano ne ram della magla. Pagna 17 d 90

18 Dette k, k, ε k la resstenza, l ntenstà d corrente, la f.e.m. del ramo k-esmo, s ha: n n ε = [1] coè, la somma algebrca delle f.e.m. e delle d.d.p. lungo un k k k k=1 k=1 attraversamento completo della magla è sempre zero: n n ε =0 [2] k k k k=1 k=1 Il secondo prncpo d Krchhoff scatursce dalla semplce consderazone che n regme stazonaro la d.d.p. tra due punt qualsas del crcuto è costante. Quando c s sposta lungo un crcuto chuso come la magla l potenzale può dmnure o aumentare, se s passa attraverso un resstore o una pla, ma quando s è percorsa completamente la magla e s è tornat al punto d partenza, la varazone totale deve essere nulla. Questa legge può essere posta n relazone con la conservazone dell energa anz può essere consderata come una conseguenza del prncpo d conservazone dell energa. Infatt, se abbamo una carca q n un certo punto n cu l potenzale è V, la sua energa potenzale è qv. Quando la carca attraversa la magla nel crcuto, essa perde o acqusta energa passando attraverso resstor e ple, ma quando torna al suo punto d partenza la sua energa deve essere d nuovo qv. Se le resstenze nterne delle dverse ple present nella magla non sono trascurabl allora la n n n seconda legge d Krchhoff va scrtta nella seguente manera: ε = r k k k s s k=1 k=1 s=1 Entrambe queste sommatore vanno ntese come somme algebrche nel senso che, fssato un verso postvo d percorrenza della magla, (per esempo quello antoraro) vanno consderate come postve le corrent che crcolano n quel verso e come negatve le corrent che crcolano n verso opposto. Per le f.e.m. vale la convenzone d prenderle postve se tendono a fare crcolare la corrente nel verso postvo che è quello che va dal polo negatvo della pla al polo postvo della pla. Se, dopo avere rsolto l problema, una corrente rsulterà espressa da un numero negatvo, cò starà a sgnfcare che essa crcola n senso nverso a quello prescelto ed ndcato dalla frecca sul crcuto. Qund, se l verso prescelto per la corrente che crcola nel ramo consderato è quello reale otterremo un valore postvo. Se, al contraro, otterremo un valore negatvo allora l sgnfcato d questo rsultato è che la corrente crcolerà n senso nverso a quello ndcato dalla frecca. Pagna 18 d 90

19 1 2-1 ε 1 ε 2-2 C D ε pplco la seconda legge d Krchhoff alla magla della fgura. Ottenamo: ε = Consderazon pratche sulla rsoluzone d problem d crcut elettrc avent pù nod e pù magle 1) La corrente convenzonalmente flusce dal polo ( ) al polo ( - ) nel crcuto esterno e dal polo ( - ) al polo ( ) all nterno del generatore. 2) Il verso della f.e.m. ε d un generatore è quello n cu la sorgente farebbe muovere, nel crcuto esterno, un portatore d carca postva. Smbolcamente essa è rappresentata da una frecca orentata dal polo negatvo del generatore al suo polo postvo. Nel caso della fgura la f.e.m. ε e la corrente assumono valor postv. _ ε V V 3) ε va presa col segno () [ (-) ] se ha lo stesso verso ( verso opposto ) della corrente che crcola nel ramo dove s tra la f.e.m. _ ε ε > 0 _ ε ε < 0 4) Per scrvere correttamente co loro segn le equazon [1] s fssa arbtraramente un verso d percorrenza sulla magla. Esso può essere oraro oppure antoraro (nel caso della fgura è antoraro). Pagna 19 d 90

20 5) S fssano, arbtraramente, vers delle corrent ne sngol conduttor della magla senza ma cambarl fno alla soluzone del problema. Se, dopo avere fssato a pacere n ogn ramo della magla un verso d percorrenza della corrente ed avere rsolto l sstema lneare con le corrent ncognte, trovamo un valore postvo per la corrente allora l verso convenzone e quello reale della corrente consderata concdono. Se, nvece, trovamo un valore negatvo allora l verso convenzonale della corrente consderata non concde con quello reale. 6) S consderano postve le f.e.m. concord col verso d percorrenza della magla. Questo sgnfca che, percorrendo l permetro della magla secondo l verso fssato n precedenza sulla magla, se attraversamo la f.e.m. ε k dal morsetto ( - ) al morsetto ( ) essa va preso col segno postvo altrment va preso col segno negatvo. 7) prodott k k vanno pres col segno ( ) se l verso della corrente k (scelto nzalmente n manera arbtrara) concde col verso d percorrenza della magla, col segno ( - ) n caso contraro 8) soluzone ultmata se per k trovamo un valore postvo allora l verso arbtraramente assegnato a k è quello reale, se nvece trovamo un valore negatvo allora l verso reale è opposto a quelle arbtraramente fssato. Se alla fne trovamo 3 è opposto a quello prescelto arbtraramente all nzo. =, allora l verso reale della corrente 3 5 ε ε 2 _ Vεrso d pεrcorrεnza dεlla magla 4 2 _ ε 3 4 ε ε ε = Pagna 20 d 90

21 8 bs) Se applco l secondo prncpo d Krchhoff nella forma ε =0 allora la convenzone de segn è la seguente: n n k k k k=1 k=1 Supponamo d attraversare l permetro della magla nel verso della magla preventvamente fssato ε k va presa col segno ( ) [ col segno ( - )] se attraversamo ε k dal polo negatvo a quello postvo (dal polo postvo a quello negatvo) va preso col segno ( - ) [ col segno ( ) ] se la corrente s s s ha ( non ha ) lo stesso verso d quello preventvamente fssato sulla magla. 9) In un crcuto ad una sola magla c è un solo percorso lungo l quale s applca l teorema della magla e la corrente è la stessa n tutt punt d questo percorso. Ne crcut a pù magle v è pù d un percorso e la corrente, n generale, non sarà la stessa n tutt punt d ogn percorso. 10) In una rete comunque complessa n corrente contnua, le equazon tra loro ndpendent tra le grandezze k, k, ε k fornte da due prncp d Krchhoff, sono propro n numero uguale a quelle de ram della rete. Data una rete d conduttor, comunque complessa, le due legg d Krchhoff c permettono d scrvere una equazone lneare nelle ntenstà delle corrent per ogn nodo della rete ed una equazone lneare per ogn magla. In generale se s scrvono tutte le equazon che s possono ottenere n tal modo s ha un numero d equazon superore a quello delle ncognte n quanto esse non sono tutte ndpendent tra loro. Se le ncognte da determnare sono n quanto n sono le corrent da determnare, basterà sceglere fra tutte le equazon ottenute applcando due prncp d Krchhoff n equazon fra loro ndpendent. Le ncognte possono essere calcolate con la regola d Cramer una volta che sano note le resstenze de sngol conduttor e le f.e.m. nserte nella rete. Per scrvere tutte, e sole, tal equazon ndpendent servono le due norme seguent: a) Il prmo prncpo d Krchhoff deve essere applcato a tutt nod tranne uno, dà qund tante equazon ndpendent quant sono nod meno uno. b) Il secondo prncpo d Krchhoff s applca a tutte, e sole, le magle ndpendent e queste s determnano così: s applch l secondo prncpo d Krchhoff ad una prma magla, nd la s tagl dealmente n uno de suo ram s rpeta l operazone ad un altra magla della rete, ma l applcazone del secondo prncpo d Krchhoff ad magla che contenga sa pure un solo ramo gà precedentemente taglato, è nutle: ne rsulterebbe un equazone gà conseguenza delle altre. Pagna 21 d 90

22 D solto, nella rsoluzone de problem, applcheremo prmo prncpo d Krchhoff nella forma n k =0 ed l secondo prncpo d Krchhoff nella forma k=1 n n k k k k=1 k=1 ε =0 S mmagn d percorrere l ntera magla partendo da un punto qualsas della magla. Le grandezze ε k vanno prese col segno ( ) [ ( - ) ] se attraversamo l generatore dal polo negatvo al polo postvo (dal polo postvo al polo negatvo), l prodott k k va preso col segno ( - ) [( )] se l verso arbtraramente scelto n precedenza per la corrente k concde ( non concde ) col verso de percorrenza dell attraversamento completo dell ntera magla. In questo caso non occorre fssare un verso d percorrenza della magla, occorre solo fssare vers delle corrent k, n quanto percorrere l ntera magla è equvalente a sceglere un verso d percorrenza su d essa. M ε ε 2 1 D C N pplco l teorema alla magla CD e consdero come punto d partenza e d arrvo: ε ε = pplco l teorema alla magla NM e consdero come punto d partenza e d arrvo: ε = pplco l teorema alla magla MNCDM e consdero M come punto d partenza e d arrvo: ε = Pagna 22 d 90

23 Il secondo prncpo d Krchhoff utlzzando la relazone ε = k k k 1) La corrente convenzonalmente flusce dal polo ( ) al polo ( - ) nel crcuto esterno e dal polo ( - ) al polo ( ) all nterno del generatore. 2) Per scrvere correttamente co loro segn le equazon ε = s fssa arbtraramente k k k un verso d percorrenza sulla magla. Esso può essere oraro oppure antoraro (nel caso della fgura è antoraro). 3) S fssano, arbtraramente, vers delle corrent k ne sngol conduttor della magla senza ma cambarl fno alla soluzone del problema. Se, dopo avere fssato a pacere n ogn ramo della magla un verso d percorrenza della corrente ed avere rsolto l sstema lneare con le corrent ncognte, trovamo un valore postvo per la corrente allora l verso convenzonale e quello reale della corrente k consderata concdono. Se, nvece, trovamo un valore negatvo allora l verso convenzonale della corrente k consderata non concde con quello reale. 4) S consderano postve le f.e.m. concord col verso d percorrenza della magla. Questo sgnfca che, percorrendo l permetro della magla secondo l verso fssato n precedenza sulla magla, se attraversamo la f.e.m. ε k dal morsetto ( - ) al morsetto ( ) essa va preso col segno postvo altrment va preso col segno negatvo. 5) prodott k k vanno pres col segno ( ) se l verso della corrente k (scelto nzalmente n manera arbtrara) concde col verso d percorrenza della magla, col segno ( - ) n caso contraro 6) soluzone ultmata se per k trovamo un valore postvo allora l verso arbtraramente assegnato a k è quello reale, se nvece trovamo un valore negatvo allora l verso reale è opposto a quelle arbtraramente fssato. Se alla fne trovamo 3 è opposto a quello prescelto arbtraramente all nzo. =, allora l verso reale della corrente ε 1 ε C D ε pplco la seconda legge d Krchhoff alla magla della fgura. Ottenamo : ε = Pagna 23 d 90

24 ε ε 2 _ Vεrso d pεrcorrεnza dεlla magla 4 2 _ ε 3 4 ε ε ε = ) Se applco l secondo prncpo d Krchhoff nella forma ε =0 allora la convenzone de segn è la seguente : n n k k k k=1 k=1 Supponamo d attraversare l permetro della magla nel verso della magla preventvamente fssato ε k va presa col segno ( ) [col segno ( - ) ] se attraversamo ε k dal polo negatvo a quello postvo ( dal polo postvo a quello negatvo ) va preso col segno ( - ) [ col segno ( ) ] se la corrente s s s ha (non ha) lo stesso verso d quello preventvamente fssato sulla magla. 8) In un crcuto ad una sola magla c è un solo percorso lungo l quale s applca l teorema della magla e la corrente è la stessa n tutt punt d questo percorso. Ne crcut a pù magle v è pù d un percorso e la corrente, n generale, non sarà la stessa n tutt punt d ogn percorso. 9) In una rete comunque complessa n corrente contnua, le equazon tra loro ndpendent tra le grandezze k, k, ε k fornte da due prncp d Krchhoff, sono propro n numero uguale a quelle de ram della rete. Data una rete d conduttor, comunque complessa, le due legg d Krchhoff c permettono d scrvere una equazone lneare nelle ntenstà delle corrent per ogn nodo della rete ed una equazone lneare per ogn magla. In generale se s scrvono tutte le equazon che s possono ottenere n tal modo s ha un numero d equazon superore a quello delle ncognte n quanto esse non sono tutte ndpendent tra loro. Pagna 24 d 90

25 Se le ncognte da determnare sono n n quanto n sono le corrent da determnare, basterà sceglere fra tutte le equazon ottenute applcando due prncp d Krchhoff n equazon fra loro ndpendent. Le ncognte possono essere calcolate con la regola d Cramer una volta che sano note le resstenze de sngol conduttor e le f.e.m. nserte nella rete. Per scrvere tutte, e sole, tal equazon ndpendent servono le due norme seguent: a) Il prmo prncpo d Krchhoff deve essere applcato a tutt nod tranne uno, dà qund tante equazon ndpendent quant sono nod meno uno. b) Il secondo prncpo d Krchhoff s applca a tutte, e sole, le magle ndpendent e queste s determnano così: s applch l secondo prncpo d Krchhoff ad una prma magla, nd la s tagl dealmente n uno de suo ram s rpeta l operazone ad un altra magla della rete, ma l applcazone del secondo prncpo d Krchhoff ad magla che contenga sa pure un solo ramo gà precedentemente taglato, è nutle: ne rsulterebbe un equazone gà conseguenza delle altre. D solto, nella rsoluzone de problem, applcheremo l prmo prncpo d Krchhoff nella forma n k =0 k=1 ed l secondo prncpo d Krchhoff nella forma n n k k k k=1 k=1 ε =0 S mmagn d percorrere l ntera magla partendo da un punto qualsas della magla. Le grandezze ε k vanno prese col segno ( ) [( - )] se attraversamo l generatore dal polo negatvo al polo postvo (dal polo postvo al polo negatvo), l prodott k k va preso col segno ( - ) [( )] se l verso arbtraramente scelto n precedenza per la corrente k concde (non concde) col verso de percorrenza dell attraversamento completo dell ntera magla. In questo caso non occorre fssare un verso d percorrenza della magla, occorre solo fssare vers delle corrent k, n quanto percorrere l ntera magla è equvalente a sceglere un verso d percorrenza su d essa. Pagna 25 d 90

26 M ε ε 2 1 D N C pplco l teorema alla magla CD e consdero come punto d partenza e d arrvo: ε ε = pplco l teorema alla magla NM e consdero come punto d partenza e d arrvo: ε = pplco l teorema alla magla MNCDM e consdero M come punto d partenza e d arrvo: ε = La d.d.p. tra due punt d una magla 1) S fssa arbtraramente un verso postvo d crcolazone nella magla, ad esempo quello antoraro. 2) S fssa arbtraramente un verso postvo alle corrent k d ogn ramo della magla. Questa scelta non è necessara se n precedenza, applcando due prncp d Krchhoff, conoscamo segn delle corrent k e qund anche l loro verso reale. 3) ε k è postva (negatva) se la corrente k attraversa l generatore dal polo negatvo (postvo) al polo postvo (negatvo). 4) l prodotto k k va preso col segno negatvo (postvo) se la corrente k che attraversa k ha (non ha) lo stesso verso d percorrenza fssato n precedenza sulla magla. Pagna 26 d 90

27 5) Sommando algebrcamente l potenzale V nel punto del ramo d una magla le varazon d potenzale (comprese le f.e.m. ε k ) che s ncontrano fno ad un altro punto della magla, s ottene l potenzale V nel punto. 6) Consderamo la magla CD della fgura che comprende 3 f.e.m. ( ε 1, ε 2, ε 3 ), 4 resstenze ( 1, 2, 3, 4) e 4 corrent ( 1, 2, 3, 4 ). ε ε 2 _ Vεrso d pεrcorrεnza dεlla magla 4 2 _ ε 3 C D E 4 7) Per calcolare la d.d.p. V V lungo l percorso s procede come segue: S parte dal punto e s raggunge l punto. Ottenamo: V ε = V V-V =ε Ho scrtto -1 1n quanto la corrente ε 1 che crcola nel ramo della magla ha lo stesso verso d percorrenza sulla magla. Se, nvece, parto dal punto e raggungo l punto attraverso l percorso EDC debbo scrvere: V V 4 4 ε3 3 3 ε2= V-V =ε2-ε Pagna 27 d 90

28 8) Per calcolare la d.d.p. V VC lungo l percorso C s procede come segue: S parte dal punto e s raggunge l punto C passando per l punto. Ottenamo: V V V -V =ε -ε ε1 1 1 ε2= C C ) Per calcolare la d.d.p. V VD lungo l percorso CD s procede come segue: S parte dal punto e s raggunge l punto D attraverso l percorso CD debbo scrvere: V V V -V = ε -ε ε1 1 1 ε2 3 3= D D ) Per calcolare la d.d.p. V VE lungo l percorso CDE s procede come segue: S parte dal punto e s raggunge l punto E attraverso l percorso CDE debbo scrvere: V V ε1 1 1 ε2 3 3 ε3= E V-V E= ε1-ε 2ε Lungo l percorso E abbamo: V 4 4= VE V-V E=-4 4 esstenze n parallelo o n dervazone Due o pù resstenze s dcono collegate n parallelo (o n dervazone) quando a loro estrem è applcata la stessa d.d.p., coè quando sono nserte tra due medesm punt d un crcuto. In fgura sono mostrate tre resstenze collegate a morsett d uno stesso generatore d corrente. Qual è la resstenza equvalente a questo collegamento n parallelo? La resstenza equvalente è quella resstenza che collegata a morsett e n sosttuzone delle tre resstenze n parallelo s lasca attraversare dalla corrente. Dversamente possamo dre che un solo conduttore d resstenza è equvalente alle tre resstenze collegate n parallelo se, sotto la stessa d.d.p. V sulta : V V V, convogla anch esso l ntenstà totale d corrente. = pplcando l prmo prncpo d Krchhoff al nodo o al nodo, possamo scrvere : [1] = V V = = = = Per la prma legge d Ohm possamo scrvere : 1 = V [2] V, 2 = V 2 V, 3 = V 3 V Pagna 28 d 90

29 Sosttuendo nella [1] e semplfcando ottenamo: = << n pù conduttor collegat n parallelo, la somma delle ntenstà delle corrent ne dvers ram è uguale alla ntenstà della corrente nel ramo prncpale; e la conduttanza totale è uguale alla somma delle conduttanze de sngol ram >> << La resstenza equvalente d un collegamento n parallelo è mnore d ognuna delle resstenze che lo compongono>>. Supponamo che le tre resstenze collegate n parallelo sano ugual fra loro, coè supponamo che : 3 = 2 = 1, = = =, = 1 3 coè : < 1 Questo è vero anche quando le sngole resstenze non sono ugual fra loro. Dalla relazone [2] deducamo le seguent uguaglanze: 1 =, 1 2 =, 2 3 =, 11 =, 22 =, = ε ε V V V V 3 3 Pagna 29 d 90

30 Se reofor tra e sono due ottenamo: Shunt = 1, V V 2 = 1 1 =, 2 2 : = : E qund, applcando la propretà del componendo, ottenamo: ( ): = ( ):, = ( ) : : ε _ = = La corrente s dvde nel nodo n due part nversamente proporzonal alle resstenze 1 ed 2. 1 Od anche: nel ramo (2) passa la frazone 1 2 della corrente totale. Se 1 è molto mnore d 2 ( 1 << 2), 2 è una pccola parte d. Il ramo (1) rappresenta uno shunt (o dervatore o devatore d corrente). = 9 = 10 2 ( 2 = ) = 99 = ( 2 = ) = 999 = ( 2 = ) Pagna 30 d 90

31 L uso pù comune dello shunt s ha negl amperometr (anche d maggore precsone) per corrente contnua. Quest sono, per esempo, de mllamperometr, coè sulla scala ndcano drettamente n 10 3 l ntenstà della corrente che l attraversa. Cascuno d tal mllamperometr è fornto d un <<corredo d shunt>> da nserre tra serrafl e del mllamperometro, come è ndcato n fgura. S dce che l amperometro G è shuntato. Se 2 è la resstenza nterna del mllamperometro, le resstenze de var shunt sono, ad esempo: 2 2 1, 1 =, 1, 2 =, , 3 = Così l mllamperometro shuntato col prmo shunt msura la corrente n 10 2 shunt msura n 10 1, col terzo shunt msura n ampere., col secondo Come ogn galvanometro, l mllamperometro è ancora nserto n sere col crcuto dato dove deve msurare la corrente, ma solo una frazone nota d questa serve a farlo funzonare. _ G , , 1 1, , 1 = 1, 2 = 1, 3 = = = = Forza elettromotrce Esstono alcun apparecch, come battere e generator elettrc, capac d mantenere una d.d.p. fra due punt a qual sono collegat. S dce che tal apparecch sono sorgent d forza elettromotrce. Una forza elettromotrce ( f.e.m. ) è rappresentata con una frecca posta vcno alla sorgente e dretta nel verso n cu la sorgente farebbe muovere, nel crcuto esterno, un portatore d carca postva. Pagna 31 d 90

32 Una sorgente d f.e.m. deve esegure un lavoro su portator ε d carca che entrano n essa. d esempo nel crcuto della fgura, la sorgente sposta le carche postve da un punto a _ basso potenzale (l morsetto negatvo) ad un punto ad alto potenzale (l morsetto postvo) attraverso la sorgente stessa. Nella fgura, nel tempo t, una carca q passa attraverso ogn sezone trasversale del crcuto, n partcolare entra nella sorgente d f.e.m. ε all estremo a basso potenzale e ne esce all estremo ad alto potenzale. V V La sorgente deve esegure un lavoro L per costrngere portator d carca ( postva ) a portars al punto l cu potenzale è pù elevato. La f.e.m. della sorgente è defnta dalla seguente relazone : Una carca elettrca postva moble s sposta nel verso della corrente dal potenzale pù elevato verso l potenzale pù basso: l ruolo della f.e.m. è quello d fare rtornare tale carca dal potenzale pù basso a quello pù alto, fornendo al sstema l energa necessara per determnare l passaggo d corrente, quell energa dsspata per la legge d Joule. Il fatto che una sorgente d f.e.m. esegua un lavoro su portator d carca, mplca che, all nterno della sorgente, s abba una trasformazone dell energa; per esempo n una battera l energa chmca s è trasformata un energa elettrca. Così possamo descrvere una sorgente d f.e.m. come un appareccho nel quale energa chmca, meccanca o d altra natura vene trasformata (reversblmente) n energa elettrca. L energa chmca data dalla battera è mmagazznata ne camp elettrco e magnetco che crcondano l crcuto. Il concetto d f.e.m. è uno de pù delcat e qund è opportuno charrlo ulterormente. 1) bbamo detto n elettrostatca che tutt punt d un conduttore n equlbro debbono essere allo stesso potenzale. Una battera solata è un conduttore n equlbro, eppure tra suo pol esste una d.d.p. detta f.e.m.? Come la mettamo con questa apparente contraddzone? Il prncpo d equpotenzaltà d tutt punt d un conduttore vale soltanto per conduttor chmcamente e fscamente omogene. Nessuna battera soddsfa a queste condzon: una battera d auto, per esempo, contene pombo, acqua, acdo solforco. Nell nterno della battera esste un campo elettromotore E m. ε = L q Pagna 32 d 90

33 Esso agsce su una carca elettrca q con una forma F m = q E e qund ha m drtto d chamars <<elettro... >> ma non elettrostatco. Infatt esso non ha orgne da dstrbuzon statche d carche elettrche. La sua orgne dpende dal tpo d battera. Soltamente E m è d orgne chmca, ma potrebbe anche esser d orgne meccanca. llora E m sposterà gl elettron d conduzone verso un polo, detto appunto negatvo, ed l polo opposto rmane carco postvamente. Le carche a pol generano un campo elettrostatco E con verso opposto ad E m. Quando E = s raggunge la condzone d equlbro poché E m sugl elettron agscono forze a rsultante nullo e qund non s ha ulterore spostamento. _ E m E La d.d.p. dovuta all accumulo d carche a pol è la f.e.m., coè la f.e.m. d un generatore è l rapporto tra l lavoro (massmo) L che le forze del campo elettromotore (d orgne non elettrostatca) compono per trasportare una carca postva q sull elettrodo a potenzale mnore a quello a potenzale maggore, e la carca q stessa. L ε= q Il campo elettromotore agsce soltanto all nterno del generatore. 2) Quando l passaggo d corrente ha convoglato sul polo postvo della battera una quanttà d elettron tale da annullare la d.d.p. tra pol, la corrente dovrebbe annullars. Ch rprstna la d.d.p. orgnara? E m E _ E E E Quando colleghamo due pol con un conduttore, s rompe la condzone d equlbro E =-E m Pagna 33 d 90

34 Il campo elettrostatco E all nterno della battera ha modulo E < E m ed esste anche un campo elettrostatco E lungo l conduttore. Gl elettron d conduzone possono muovers da verso all nterno della battera (n quando sottopost all azone del campo E avente modulo non nullo) e da verso nel conduttore per effetto del campo E. S è stablta una corrente elettrca che dura fnché la battera non s scarca, coè fno a quando la battera non è pù n grado d portare elettron dal polo al polo. 3) Il crcuto s rscaldo per effetto Joule, qund la pla deve fornre lavoro. Ma qual è l campo che compe lavoro? Il crcuto è chuso ed essendo l campo elettrostatco conservatvo l lavoro computo dalle m E sue forze lungo tutto l crcuto è nullo. Pertanto sono le forze del campo elettromotore E m (che è nullo al d fuor del generatore che non è tenuto ad essere conservatvo ) a compere l lavoro L su una carca q quando questa percorre l ntero crcuto. Il rapporto tra l lavoro L e la carca q è la f.e.m. del generatore che concde anche (essendo E m nullo al d fuor del generatore ) col rapporto tra l lavoro L computo dalle forze del campo elettromotore per portare la carca postva dal polo negatvo a quello postvo e la carca q quando l crcuto è aperto ed l generatore n equlbro. La prma legge d Ohm applcata ad un crcuto chuso Quando n un crcuto chuso passa una corrente ( che n condzon stazonare è costante ) bsogna tenere conto del fatto che la corrente passa non solo entro l conduttore esterno d resstenza ma anche entro l generatore l quale presenta sempre una resstenza r dversa da zero, scché la r - ε resstenza totale dell ntero crcuto è r e qund la legge d Ohm va scrtta: ε =r coè : ε= ( r) [] La relazone [] può essere scrtta così: ε = r ε = I r Ma: = V V e qund: ε = V-V r [] V-V =ε-r [C] Pagna 34 d 90

35 Questa relazone mostra che la d.d.p. tra morsett del generatore a crcuto aperto è maggore d quella che s stablsce tra gl stess punt a crcuto chuso. La [] mostra pure che la resstenza nterna r d un generatore è valutable medante msure d d.d.p. e d ntenstà d corrente. Se r << non s commette un errore apprezzable nello scrvere la [] nella forma: ε = = V V In altr termn, quando la resstenza nterna è molto pccola rspetto al carco esterno, la f.e.m. s confonde con la d.d.p. a morsett del generatore a crcuto chuso. Teorema della magla egola della resstenza: Se s passa attraverso una resstenza nel verso della corrente, la varazone d potenzare è ; nel verso opposto. egola della f.e.m.: Se s passa attraverso un generatore d f.e.m. deale nella drezone postva della frecca che rappresenta la f.e.m., la varazone d potenzale è ε, nella drezone opposta è ε. ε _ r V V Consderamo un crcuto elementare costtuto da una pla avente f.e.m. ε, resstenza nterna r, resstenza esterna. Tale crcuto sa attraversato dalla corrente. Sommando algebrcamente al potenzale V n un punto del crcuto tutte le varazon d potenzale che s ncontrano n un gro completo lungo l crcuto ottenamo lo stesso potenzale. Con parole dverse possamo affermare che la somma algebrca delle d.d.p. ncontrate nel percorrere nteramente l crcuto deve essere nulla 1) Se attraversamo un resstore nello stesso verso della corrente n un qualsas ramo d un crcuto, la varazone d potenzale è poché v è una caduta (dmnuzone) d potenzale lungo l resstore nel verso della corrente. Pagna 35 d 90

36 Se un resstore è percorso n senso nverso a quello della corrente, la varazone d potenzale è. Infatt per la prma legge d Ohm possamo scrvere V V = e qund V V =. 2) Se una sede d f.e.m. è attraversata nel verso d questa (coè dal polo negatvo al polo postvo) la varazone d potenzale è ε, se è attraversata dal polo postvo al polo negatvo la varazone d potenzale è ε. Quando v è una corrente costante (corrente stazonara) che percorre un crcuto chuso v è un valore fsso n ogn suo punto per l potenzale elettrco, coè per l'energa potenzale elettrca per untà d carca. Se consderamo una carca nel punto e la seguamo nel suo cammno lungo tutto l crcuto fno a che essa non rtorna nel punto, la sua energa potenzale alla fne del percorso deve essere uguale a quella nzale. Pertanto la la somma algebrca delle varazon d potenzale alle qual la carca va ncontro nel percorrere completamente l crcuto deve essere zero, e questo è l teorema della magla. Consderamo l crcuto della fgura e supponamo d partre dal punto avente potenzale V e d percorrere l crcuto n senso oraro. Nell attraversare la resstenza esterna ncontramo una dmnuzone d potenzale, par a. (27) ttraversando l generatore d corrente ( pla ) nel verso della corrente ( coè dal polo negatvo al polo postvo ) ncontramo un aumento d potenzale ε par alla f.e.m. della pla (28) ed una dmnuzone d potenzale (caduta d tensone) r dovuta al fatto che l generatore ha una resstenza nterna. Sommando algebrcamente al potenzale d partenza V le d. d. p. ncontrate dobbamo ottenere lo stesso valore V, coè : V ε r = V ε = ( r) ε = r = ε r ε--r=0 La somma algebrca delle d. d. p.per un percorso completo del crcuto è nulla Dversamente possamo scrvere che la somma algebrca delle d. d. p. lungo le resstenze ed r è uguale a zero, coè: ( V V ) ( V V ) = 0. Ma : V V =, r V V = r ε e qund, la precedente relazone, dventa : ε--r=0 [ ] (27) Il segno meno sta a sgnfcare che l potenzale dell estremtà superore della resstenza è maggore del potenzale dell estremtà nferore perché portator d carca postva perdono energa potenzale spostandos da un potenzale maggore ad uno nferore (28) perché la pla esegue un lavoro postvo su portator d carca n quanto l sposta da un punto a potenzale mnore ad un punto a potenzale maggore Pagna 36 d 90

37 La relazone [ ] può essere commentata anche nella seguente manera : Supponamo d partre dal punto l cu potenzale è V e d percorrere l crcuto n senso oraro. Nell'attraversare la resstenza ncontramo una d.d.p.. Il segno meno sta a sgnfcare che l potenzale delle estremtà destra è maggore del potenzale della estremtà opposta, perché portator d carca postva perdono energa potenzale spostandos da un potenzale maggore ad uno mnore. ttraversando la battera da snstra verso destra, ncontramo un aumento d potenzale ε, perché la battera esegue un lavoro postvo su portator d carca, coè l sposta da un punto a potenzale pù basso ad un punto a potenzale maggore. Sommando algebrcamente al potenzale nzale V le dfferenze d potenzale ncontrate dobbamo ottenere lo stesso valore V, ovvero: V ε r = V Il teorema della magla è un modo partcolare d enuncare l prncpo d conservazone dell energa ne crcut elettrc. Due regole pratche 1) Se la resstenza è attraversata nel verso della corrente la caduta d potenzale è, altrment è 2) Se una sorgente d f. e. m. è attraversata nel verso della corrente (coè dal polo negatvo al polo postvo) la caduta d potenzale è ε, altrment è ε. Forza elettromotrce e dfferenza d potenzale Consderamo un qualsas crcuto percorso dalla corrente e sano e due suo qualsas punt. La d.d.p. fra quest due punt può avere un solo valore. Questo sgnfca che dobbamo ottenere lo stesso rsultato per tutt percors che collegano quest due punt. Consderamo l percorso ε. bbamo: V ε r = V V-V =ε-r Legge d Ohm generalzzata Consderamo l percorso. bbamo : V = V V-V = Prma legge d Ohm V V = V V ε r = ε = ( r ) ι gà trovata per altra va Pagna 37 d 90

38 eostat (1) Gl element attv d un crcuto sono l generatore d tensone e l generatore d corrente, mentre gl element passv d un crcuto elettrco sono: a) resstor (2) chamat anche resstenze b) capactor dett anche condensator c) gl nduttor chamat anche nduttanze. I reostat sono dspostv che, nsert n un crcuto elettrco, consentono d vararne la resstenza elettrca entro cert lmt. Per la costruzone de reostat s utlzzano fl conduttor capac d manteners a temperatura costante quando sono attraversat dalla corrente. D solto quest fl conduttor sono costtut da opportune leghe metallche (come la costantana, l argentana, la manganna, l nchelcromo) le qual presentando una resstenza specfca ρ puttosto elevata rsultano poco varabl con la temperatura. bbamo reostat a cursore, reostat a cassetta, reostat a tastera. I reostat a cursore sono costtut da un supporto clndrco solante ( ad esempo ceramca ) su cu è avvolto un flo metallco d elevata resstvtà avente gl estrem fssat a due morsett e. Un cursore metallco scorrevole lungo un asta metallca ( d sezone assa maggore d quella del flo e d lunghezza uguale a quella del supporto ) stablsce l contatto tra un terzo morsetto C ( generalmente d colore rosso ) e una qualsas spra. Collegato l reostato al crcuto n e C ( oppure n e C ), spostando l cursore è possble varare con contnutà la lunghezza del flo nserto e qund l valore della resstenza, da zero al valore massmo corrspondente alla resstenza d tutto l flo. Tale valore massmo è ndcato su una targhetta asseme alla corrente massma che l resstore può sopportare. I reostat a cursore s rappresentano convenzonalmente come ndcato n fgura. C I reostat a cursore s utlzzano ne laborator d fsca o come resstenze addzonal per regolare l ntenstà d corrente o come parttor d tensone (potenzometr) per prelevare d.d.p. varabl. (1) Caforo Ferll vol 3 pag. 84 (2) Un resstore è un conduttore usato n un crcuto per ntrodurre una resstenza elettrca. Nella pratca s usa l termne resstenza n luogo d resstore sapendo che la resstenza è una propretà fsca del resstore Pagna 38 d 90

39 Se s usa come resstenza addzonale l reostato deve essere nserto nel crcuto come ndcato n fgura. In tal caso la corrente entra nel reostato da ed esce attraverso l cursore C. Spostando C vara la resstenza nserta e qund vara l ntenstà della corrente nell utlzzatore U. Se l reostato a cursore vene usato come parttore d tensone (coè come esstenz ddzon le potenzometro), deve essere nserto come ndcato n fgura. Gl estrem e sono collegat a pol del generatore avente f.e.m. ε. Se è la resstenza d tutto l conduttore che realzza l reostato e V V la d.d.p. che s stablsce a suo estrem, la corrente che crcola n esso è, per la legge d Ohm V-V = U _ C Tra punt C e del reostato esste una caduta d tensone (d.d.p.) data da: C V V V V C = C = ( ) essendo C la resstenza del conduttore compreso tra C e. Spostando l cursore C tra e s possono ottenere tra punt e d.d.p. varabl dal valore zero quando ( C ) al valore massmo V V (quando C ). ε _ C U Potεnzomεtro Un reostato a cassetta è costtuto da un certo numero d resstenze d valore noto collegate n sere. Mentre con l reostato a cursore è possble varare con contnutà la resstenza fra un valore mnmo ed uno massmo, con un reostato a cassetta è possble varare la resstenza solo per quanttà defnte e costant. Nella cassetta sono contenute delle spralne d resstenza nota che collegano de gross blocch metallc d resstenza trascurable. I dvers blocchett sono separat tra d loro da un pccolo ntervallo. Su blocchett estrem sono fssat serrafl e. Inserendo una o pù spne metallche fra quest blocch, rsultano escluse le resstenze delle spralne corrspondent perché la corrente, che è nversamente proporzonale alla resstenza, attraversa n pratca soltanto blocch consecutv post a contatto delle spne. Pagna 39 d 90

40 Quando nella cassetta non è nserta nessuna spna, la corrente per andare da a dovrà attraversare tutte le spralne ed ncontrerà qund una resstenza uguale alla somma delle loro resstenze. Quando s nsersce la spna D s elmna la resstenza d 2Ω e qund la resstenza complessva è d 8Ω. Inserendo tra blocchett un dverso numero d spne, n modo da escludere dal crcuto alcun reofor, s possono ottenere dvers valor della resstenza. Su ogn cassetta è spesso ndcato l carco che essa può sopportare, coè l ntenstà della corrente che può venrv convoglata senza rscaldare eccessvamente reofor. Strument d msura: amperometr, voltmetr, ohmetr In questo paragrafo studeremo la msurazone delle prncpal grandezze elettrche che ntervengono ne crcut n corrente contnua. I dspostv che msurano l ntenstà d corrente, la dfferenza d potenzale e la resstenza sono chamat rspettvamente amperometr, voltmetr, ohmetr. I pù comun strument d msura sono ad ndce con devazone prodotta dall effetto magnetco della corrente. seconda della loro sensbltà quest strument vengono chamat amperometr, mllamperometr, mcroamperometr, galvanometr. Quest ultm sono n grado d msurare corrent elettrche dell ordne d Per msurare l ntenstà della corrente che passa n un ramo d un crcuto s usano gl amperometr destnat a msurare corrent anche molto ntense (da qualche ampere fno a decne e centnaa d ampere). L amperometro vene collegato n sere con l ramo stesso, n modo che tutta la corrente che flusce nel ramo lo attravers. Poché l amperometro ha una certa resstenza, l ntenstà della corrente nel crcuto camba quando vene nserto l amperometro. Idealmente l amperometro dovrebbe avere una resstenza molto pccola rspetto alla resstenza del crcuto ( << ) se non voglamo alterare l ntenstà della corrente da msurare con l nsermento dell amperometro. Per msurare la d.d.p. esstente tra due punt d un crcuto s possono adoperare gl elettrometr; ma essendo strument molto sensbl e delcat, s usano assa raramente. Pagna 40 d 90

41 Per msurare la corrente nel resstore s nsersce n sere col resstore un amperometro d resstenza <<. Solo così la corrente da msurare non r ε _ vara sensblmente. mperometro con shunt per msurare corrent maggor d quelle ndcate sul fondo scala dell amperometro. = 9 S = 10 = 99 S = 100 r ε _ a S S S S D solto per msurare la d.d.p. esstente tra due punt d un crcuto s usa l voltmetro che è un amperometro con una elevata resstenza addzonale n sere. Il voltmetro deve essere nserto n parallelo, coè con morsett post ne punt nteressat. pplcando la prma legge d Ohm V r V V = r = V V = abbamo: ( ) S vede che V è tanto pù pccola quanto pù grande è la resstenza V del voltmetro rspetto a ( r ) somma della resstenza del crcuto e d quella nterna dell amperometro. Possamo concludere affermando che un buon amperometro (voltmetro) deve avere bassa (alta) V resstenza << ( V >> ). Per msurare la d.d.p. agl estrem d un resstore s nsersce n parallelo con esso un voltmetro V d resstenza >> V. Il voltmetro rduce la resstenza tra punto a e b, aumentando così la corrente totale nel crcuto e modfcando la d.d.p. agl estrem della resstenza. ε _ = V r a b V V V V V V Pagna 41 d 90

42 Il prncpale componente d un amperometro o d un voltmetro è un galvanometro, coè un dspostvo che rvela una pccola corrente che lo attraversa. Il tpo pù comune, l galvanometro d Deprez-D rsonval, è costtuto da una bobna d flo lbera d ruotare attorno al suo asse, da un ndce e da una scala. Il galvanometro è progettato n modo che l ndcazone della scala sa drettamente proporzonale all ntenstà della corrente che attraversa lo strumento. Il funzonamento d un galvanometro s basa sul prncpo che una bobna percorsa da una corrente n un campo magnetco è soggetta ad una coppa d forze (coppa motrce) l cu momento è, n modulo, drettamente proporzonale all ntenstà della corrente. Questa coppa motrce fa ruotare la bobna fnché non è equlbrata dalla coppa d rchamo fornta dalla sospensone meccanca della bobna ì. Per costrure un amperometro partendo da un galvanometro, s nsersce un pccolo resstore S, chamato dervatore o shunt, n parallelo col galvanometro. Poché la resstenza dello shunt è d solto molto mnore della resstenza del galvanometro G, la maggor parte della corrente attraversa lo shunt e la resstenza equvalente dell amperometro è molto mnore della resstenza del galvanometro. G G G G S G S mperometro S S S Un amperometro è costtuto da un galvanometro G e da un pccolo resstore S n parallelo, chamato dervatore o shunt S Voltmetro G Un voltmetro è costtuto da un galvanometro G con un resstore n sere d grande resstenza S La fgura rappresenta un ohmetro costtuto da una pla d f.e.m. ε, da un galvanometro G d resstenza nterna G e da un resstore avente resstenza S ; esso può essere usato per msurare una resstenza ncognta x. La resstenza S è scelta n modo che l ndce del galvanometro dev a fondo scala quando morsett e sono corto crcutat, coè sono post a contatto tra loro. Percò l fondo scala sul galvanometro corrsponde alla resstenza zero ( x = 0 ). Questo sgnfca G che la corrente massma ( m = S ε G ) corrsponda allo zero della graduazone n ohm quando lo strumento è n <<corto crcuto>> ( resstenza esterna x = 0 ). Pagna 42 d 90

43 Quando morsett sono collegat a cap d un resstore d resstenza ncognta G, l ntenstà I della corrente è mnore d m e l ndce del galvanometro non deva a fondo scala. L ntenstà della corrente n questo caso è : I = ε S G x Poché questa ntenstà d corrente dpende da G, la scala deve essere tarata n funzone della resstenza msurata, dal valore zero n corrspondenza del fondo scala al valore nfnto n corrspondenza della devazone zero. Poché la taratura della scala è lung dall essere lneare e dpende dalla costanza della f.e.m. della pla, tale ohmetro non è uno strumento d alta precsone ; ma è abbastanza utle per esegure msurazon rapde, seppure grossolane, della resstenza. ε S _ G Ohmεtro G x Un ohmetro è costtuto da una pla d f.e.m. ε n sere con un galvanometro G d resstenza G e con un resstore S scelto n modo che l galvanometro da una devazone a fondo scala quando punt e sono cortocrcutat. Calcolo d ret elettrche S defnsce rete un sstema comprendente due o pù nod o magle. Una magla può contenere dvers nod e comprendere ram che collegano un nodo con un altro. Ogn ramo a sua volta può contenere vare resstenze o anche element d crcuto. Un nodo della rete collegato ad un corpo mantenuto ad un potenzale costante e noto ( coè messo a terra ) costtusce un nodo d rfermento, nel senso che potenzal d tutt gl altr punt della rete possono essere convenentemente rfert ad esso. ( ) In una rete dstnguamo: 1) nod che sono punt n cu confluscono almeno tre ram 2) ram che sono tratt d crcuto compres tra due nod 3) le magle che sono un nseme d pù ram costtuent un crcuto chuso 4) le corrent che sono tante quant sono ram della rete. Normalmente l calcolo d una rete elettrca consste nella determnazone delle corrent n cascun ramo, not valor delle f.e.m. e delle resstenze present nella rete. ( ) Se l crcuto è solato s può arbtraramente porre uguale a zero l potenzale del nodo a potenzale pù basso Pagna 43 d 90

44 Se r è l numero de ram della rete, per l calcolo delle r corrent occorre scrvere e rsolvere un sstema d r equazon fra loro ndpendent n r ncognte () Cò è possble applcando ambedue prncp d Krchhoff. Se N è l numero de nod, s può applcare l prmo prncpo d Krchhoff ad N 1 () Il sstema lneare costtuto da r equazon s ottene scrvendo altre r ( N 1 ) equazon lneare applcando l secondo prncpo d Krchhoff alle magle. nche queste equazon lnear debbono essere fra loro ndpendent, coè occorre evtare d consderare magle n cu ram sano percors pù volte. Una buona norma è quella d taglare un ramo dalla magla che s è consderata n modo da aprre l relatvo crcuto e procedere consderando altre magle fno a che non esstono pù crcut chus. In molt cas quando s studa un crcuto la drezone corretta della corrente può essere determnata solo procedendo per tentatv. Se calcol sono esatt l anals fornsce non solo l valore corretto della corrente ma anche l suo verso. Se s trova un valore negatvo per una determnata corrente cò sgnfca semplcemente che l verso della corrente nel ramo consderato è opposto a quello assunto nzalmente. nals per ram (Metodo de Nod) 01) In questo caso consderamo la corrente k che crcola n ogn ramo d cascuna magla del crcuto. Scelgo ad arbtro l verso della corrente k n ogn ramo. Se, dopo avere rsolto l problema, trovo un valore negatvo per k allora l verso reale d k è opposto a quello scelto nzalmente ad arbtraramente. 02) Se nod del crcuto sono N, applco l prmo prncpo d Krchhoff ad N-1 nod. 03) Se M è l numero delle magle ndpendent della rete, allora applco ad esse l secondo prncpo d Krchhoff nella forma ramo e non la corrente della magla ε = dove, questa volta, k è la corrente del k k k 04) Immagno d percorrere la magla nel verso prefssato. Se la corrente attraversa l generatore d tensone dal polo negatvo al polo postvo (dal polo postvo al polo negatvo) prendo ε col segno postvo (negatvo ). va preso col segno postvo (negatvo) se la corrente del ramo k k k ha (non ha ) lo stesso verso della magla. 05) Trovo tante equazon quante sono le corrent ncognte de ram del crcuto. () Tante quante sono le corrent () L applcazone del prmo prncpo d Krchhoff al nodo ennesmo darebbe luogo ad una equazone combnazone lneare che non sarebbe ndpendente Pagna 44 d 90

45 Come caso partcolare consderamo la rete della fgura che comprende 4 nod, se ram ne qual passano le corrent 1, 2, 3, 4, 5, 6 e due f. e. m. costant ε 1, ε 2. Per rsolvere l crcuto n funzone delle corrent ne ram occorre defnre un sstema d 6 equazon fra loro ndpendent. pplcando la prma legge d Krchhoff a nod,, C ottenamo : = 0 nodo ( γ ) = 0 nodo ( γ 1) [M] D è l nodo d rfermento = 0 nodo C ( γ 2) pplchamo la seconda legge d Krchhoff alle tre magle ndcate n fgura co relatv vers d percorrenza. ε 1 = pεr la magla N 1 ε 2 = pεr la magla N 2 ε 2 = pεr la magla N 3 La terza equazone del sstema lneare [ρ] può essere scrtta così: ε 2 = pεr la magla N 3 L equazone d ogn altra magla è una opportuna combnazone lneare delle tre precedent o d due d esse. bbamo ottenuto un sstema lneare d 6 equazon ndpendent nelle ncognte 1, 2, 3, 4, 5, che possamo rsolvere utlzzando l teorema d Cramer. Il potenzale d ogn punto del crcuto rspetto al nodo d rfermento (V D [ρ] = 0 ) può essere determnato sommando le cadute d potenzale lungo un percorso qualunque compreso tra l punto consderato ed l nodo d rfermento. M calcolo l potenzale V andando da a D passando attraverso l generatore. V = V ε quando s attraversa un conduttore avente resstenza s ha una dmnuzone d potenzale par ad e qund al potenzale d partenza bsogna aggungere quando s attraversa una f. e. m. dal ( ) al ( ) s ha un aumento d potenzale e qund al potenzale d partenza bsogna aggungere ε, n caso contraro s ha una dmnuzone d potenzale e qund al potenzale d partenza bsogna aggungere ε. Nel nostro caso è V D = 0 per cu possamo scrvere : V = 4 4 ε 2 ( ) M calcolo l potenzale V andando dal nodo al nodo D : V = V V = 6 6 D 6 6 ( ) M calcolo l potenzale V C andando dal nodo C al nodo D : VC 5 5 = VD V ( ) D C = 5 5 Pagna 45 d 90

46 nals per magle (Metodo delle magle) 01) S ndvduano le M magle ndpendent e s fssa arbtraramente l verso della corrente d magla I k d cascuna magla ( 43 ) 02) pplchamo a cascuna magla ndpendente l secondo prncpo d Krchhoff la cu struttura è del tpo ε = k k k 03) Immagnamo d percorrere l contorno d cascuna magla (ad esempo) nel verso (scelto arbtraramente) per la corrente I k della magla k. ε k va presa col segno postvo (negatvo) se la corrente d magla I k attraversa ε k dal polo negatvo a quello postvo (dal polo postvo a quello negatvo). k I k va preso col segno ( - ) se l verso d percorrenza del contorno della magla concde col verso della corrente d magla I k 04) La resstenza k può essere percorsa contemporaneamente dalla corrente I k della magla k e dalla corrente I s della magla s e non è detto che due vers debbano concdere 05) Qualche volta la corrente d un ramo può concdere con la corrente d una magla; altre volte è la somma algebrca d pù corrent d magla. pplchamo Questo metodo al crcuto ndcato n fgura. Il secondo metodo d anals è noto come anals per magle (o metodo delle magle). In questo procedmento s ntroducono le corrent I 1, I 2, I 3 nelle magle N 1, N 2, N 3. sulta: I = nella magla N 1 I = nella magla N 2 I = nella magla N 3 [U] = 0 I3 4 I2 = 0 = I I = 0 I2 6 I1 = 0 6 = I1 I2 [ σ ] = 0 I I = = I I Sosttuendo nel sstema lneare [ρ] ottenamo : I1 6 ( I1 I2) 5 ( I3 I1) = ε 1 2 I2 4 ( I2 I3) 6 ( I1 I2) = ε 1 3 I3 4 ( I2 I3) 5 ( I3 I1) = ε 2 [ H ] Ottenamo un sstema lneare d tre equazon nelle tre ncognte I 1, I 2, I 3. ( 43 ) ndchamo con I k la corrente d cascuna magla e con k la corrente d cascun ramo della magla o del crcuto Pagna 46 d 90

47 Utlzzando le [ σ ] possamo rcavare le corrent 1, 2, 3, 4, 5, 6 che crcolano ne ram della rete. Utlzzando le equazon ( ) ( ) ( ) possamo calcolare potenzal de nod. Pagna 47 d 90

48 Nell applcazone del metodo delle magle non mporta qual sano percors chus utlzzat come magle. L unca condzone che occorre rspettare è che ogn ramo deve rsultare ncluso n almeno una magla. Problema nalzzare l crcuto della fgura sapendo che 1 = 2 = 1Ω, 3 = 4 = 2Ω, 5 = 6 = 0, 5Ω, ε 1 = 2V, ε 2 = 1V ed applcando : a) l anals per ram b) l anals per magle c) l anals per nod. nals per ram (Metodo de Nod) Sosttuendo valor numerc ne sstem [M] e [ρ] ottenamo l seguente sstema: 1 0, 5 6 0, 5 5 = , 5 6 = , 5 5 = = = = = = = = = = = = 41 4 = = = = 41 Il verso reale d è opposto a quello arbtraramente assegnato. I potenzal de nod possono essere rcavat utlzzando le equazon ( ) ( ) ( ). V = = = ε 1 V V = 6 6 = = V VC = = = V Pagna 48 d 90

49 nals per magle (Metodo delle Magle) Sosttuendo valor numerc nel sstema lneare [H] ottenamo : 1 1 I1 ( I1 I2) ( I3 I1) = I2 2( I2 I3) ( I1 I2) = I3 2 I2 I3 I3 I1 = 1 ( ) ( ) 2 4I1 I2 I3 = 4 I1 7I2 4I3 = 2 I1 4I2 9I3 = 2 I I I = = = Utlzzando le equazon [U] e [ σ ] possamo rcavare valor d 1, 2, 3, 4, 5, = I1 = 2 = I2 = 3 = I3 = 4 = I2 I3 = = = I3 I1 = = 6 = I1 I2 = = Effett prncpal della corrente elettrca Il moto delle carche elettrche attraverso un conduttore è dovuto al campo elettrco E che agsce su d esse. Le forze d tale campo compono un lavoro che, nel caso d un conduttore d L = q V V = t resstenza, vale : ( ) 2 Questo lavoro spesso vene resttuto sotto forme dverse d energa: n altre parole, la corrente elettrca produce dvers effett. Gl effett prncpal della corrente elettrca sono tre : 1) effetto Joule o effetto termco 2) effetto chmco 3) effetto magnetco S ammette come ncondzonatamente valdo l prncpo d conservazone dell energa elettrca nell ambto delle trasformazon dell energa elettrca n energa d altra spece. Pagna 49 d 90

50 Energa e potenza d una corrente elettrca contnua Una macchna elettrca, n quanto genera una d.d.p. tra due suo pol, deve essere pensata come la causa del moto delle carche elettrche present all nterno del conduttore. La d.d.p. che la macchna può generare (a crcuto aperto) ha per questo l nome d f.e.m. e s ndca con uno de seguent smbol: ε, e, E, f. Se nel reoforo d resstenza passa la corrente da verso, attraverso una sezone qualunque del reoforo passa nel tempo t la quanttà d elettrctà : q = t r Nel tempo t una carca q è entrata nel reoforo n (ove l potenzale è V ) ed una uguale carca q è uscta da ( ove l potenzale è V < V ). lla resa de cont, è come se una carca q fosse passata dal punto ove l potenzale è V al punto ove l potenzale è V. Quando la carca q passa dal punto al punto le forze del campo compono un lavoro dato da : ) L ( F = U U = q ( V V ) = ( V V ) t Se la carca q passa attraverso un crcuto nel quale vale la legge d Ohm formula precedente dventa: L( F) = U U = q ( V V ) = ( V V ) La potenza W 1 svluppata o assorbta dal crcuto esterno vale: ( V V ) t = L W = = ( V V ) = = [**] t t = V V = ( V V ) La formula [**] è nota come legge d Joule e non è altro che un modo partcolare d scrvere l prncpo d conservazone dell energa nel caso n cu l energa elettrca sa trasformata n energa termca (calore). E opportuno, a questo punto, osservare che le relazon [**] da no trovate rappresentano la potenza che s svluppa nel solo crcuto esterno al generatore. 2 t, la 1 La potenza è l energa assorbta o svluppata nell untà d tempo o meglo è l energa rferta al tempo Pagna 50 d 90

51 Per calcolare l energa totale che per untà d tempo s svluppa n tutto l crcuto, basterà fare uso della relazone: ε =( r) avendos questa volta: ε = L q L = ε q W L ε q = = = t t ε ε W=ε= ( r ) = r= r In questa formula 2 è la potenza che s svluppa nella parte esterna del crcuto, mentre 2 r è la potenza che s svluppa all nterno del generatore. Effetto Joule e sua nterpretazone mcroscopca (*) Per semplctà no abbamo sempre parlato della corrente elettrca che flusce n un conduttore come d un flusso d elettron d conduzone che s muovono tutt con la stessa veloctà v d ; ma l moto degl elettron d conduzone può essere pù accuratamente descrtto come una sere d accelerazon che termnano ogn volta con una collsone con le partcelle fsse (on del retcolo) del conduttore. Nel cammno fra due collson successve gl elettron acqustano energa cnetca che po cedono nteramente alle partcelle fsse urtando contro d esse. L energa acqustata n tal modo dalle partcelle fsse (che sono fsse nel senso che la loro poszone meda non camba) aumenta l ampezza delle loro oscllazon. In altr termn essa è convertta n energa termca (coè n calore). L effetto Joule consste, pertanto, nella trasformazone dell energa elettrca n energa termca (l conduttore s rscalda) cosa questa che fa aumentare l energa cnetca degl on del retcolo aumentando la temperatura del conduttore. Vedamo adesso come è possble verfcare spermentalmente l effetto Joule. Voglamo msurare l calore q prodotto da una corrente che flusce n un conduttore ohmco d resstenza. Esamneremo qu l caso n cu la perdta d energa elettrca s rtrova tutta sotto forma d calore, come accade quando s pone n un calormetro sotermo (ossa a temperatura costante come avvene nel calormetro d unsen ) un conduttore d resstenza n cu flusce una corrente d ntenstà. Dal prmo prncpo della termodnamca (meglo dal prncpo d equvalenza), poché l conduttore è mantenuto sempre nelle stesse condzon (e qund non s hanno varazon d energa nterna) tutto l lavoro elettrco s rtrova sotto forma d calore che vene msurato dal calormetro. (*) Toraldo d Franca pag. 79 mald Unverstà pag. 159 Pagna 51 d 90

52 Il lavoro computo dalle forze del campo elettrco è: Il calore svluppato è: L= Jq 1 q= L=kL J 2 L= t q=k t= t J J = equvalente meccanco della calora cal J =0,24 joule cal k =0,24 joule = equvalente termco del lavoro Dal prmo prncpo della termodnamca (meglo dal prncpo d equvalenza), poché l conduttore è mantenuto sempre nelle stesse condzon (e qund non s hanno varazon d energa nterna) tutto l lavoro elettrco s rtrova sotto forma d calore che vene msurato dal calormetro. Il lavoro computo dalle forze del campo elettrco è: Il calore svluppato è : L= Jq 1 q= L= kl J joule J =4,186 = equvalente meccanco della calora cal cal k =0,24 = equvalente termco del lavoro joule 2 L= t q=k t= t J Osservazone N 1: Se msuramo q n joule rsulta k=1 (senza dmenson) n quanto abbamo 1 1cal = joule 0,24 e qund: 2 q= t (q n joule, n ampere, n ohm, t n second) Se q è la msura del calore n calore Jq è la msura del calore n joule. L avere trovato k=1 sgnfca che q e 2 t sono delle energe ugual da msurare con la stessa untà. 2 q =0,24 t (q n calore, n ampere, n ohm, t n second) 1 q=kwt= Wt J ( W potenza svluppata nel crcuto esterno) Pagna 52 d 90

53 Crcuto C Processo d carca d un condensatore Un crcuto elettrco che contene un resstore e un condensatore è chamato crcuto C. In tale crcuto la corrente non è costante, ma vara nel tempo. Quando s chude l nterruttore del crcuto comncano a flure delle carche (s stablsce così una corrente d ntenstà varable) tra le armature del condensatore e pol della battera. Questa corrente determna un aumento della carca accumulata sulle armature del condensatore e aumenta anche la sua dfferenza d potenzale q ΔV =. Quando questa d.d.p. uguagla la f.e.m. f del generatore la corrente s annulla. C C Su ogn armatura del condensatore s è depostata la carca Q : q= C ΔV C che all equlbro dventa: Q=C f Crcuto per la carca d un condensatore: un generatore d f.e.m. costante è collegato al condensatore d capactà C medante una resstenza. Voglamo esamnare l processo d carca del condensatore d capactà C. Voglamo sapere n partcolare come varano nel tempo la carca qt ( ) sulle armature del condensatore, la d.d.p. ΔVC ( t ) a suo estrem e la corrente ( t ) nel crcuto. pplco l secondo prncpo d Krchhoff al crcuto percorrendolo n senso oraro partendo dal generatore d f.e.m. f. Ottenamo: q f V VC= 0 f = 0 C q f-= C sulta pure: dq Δq = = dt Δt Consderamo n crcuto costtuto da un generatore d f.e.m. f, un resstore e un condensatore C. Inzalmente l nterruttore del crcuto è aperto, nel crcuto non crcola corrente e l condensatore è scarco. l tempo t=0 vene chuso l nterruttore ed nza la carca del condensatore d capactà C. Dopo avere collegato l condensatore scarco d capactà C attraverso la resstenza con un generatore d f.e.m. f s hanno seguent fenomen: Pagna 53 d 90