Omologia simpliciale e superficie reali

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1 Omologi simpliile e superfiie reli In queste note remo le efinizioni ei gruppi i omologi simpliile e luni esempi i lolo i tli gruppi per superfiie reli. Mostreremo inoltre le relzioni tr tli gruppi e l lssifizione elle superfiie reli omptte. Definizione. [simplessi] Nello spzio ffine A n (R), ti k + 1 punti, P 0,..., P k, in posizione generle (0 k n), si him k-simplesso (o simplesso i imensione k) l insieme { k (P 0,..., P k ) = λ i P i λ i [0, 1], i=0 } k λ i = 1, ovvero l inviluppo onvesso ei punti ti. Per 0 r k, si him fi r-imensionle el simplesso (P 0,..., P k ) ogni r-simplesso, (P i0,..., P ir ), ottenuto preneno r + 1 punti (istinti) P i0,..., P ir {P 0,..., P k }. In prtiolre, le fe 0-imensionli sono nhe ette i vertii el simplesso e le fe 1-imensionli sono nhe ette i lti el simplesso. I vertii i un k-simplesso possono essere orinti in (k + 1)! moi iversi, lsino invrito l insieme (P 0,..., P k ). Diremo he ue orinmenti ei vertii sono onori se si ottengono l uno ll ltro on un permutzione pri (i segntur 1) ei vertii. Si trtt i un relzione i equivlenz he ivie gli orinmenti ei vertii in ue lssi istinte, se k 1. Chimeremo simplesso orientto un simplesso su ui si stto selto un orinmento ei vertii, meno i equivlenz. In prtiolre, ti k+1 punti, P 0,..., P k, on k 1, si h he (P 0, P 1,..., P k ) e (P 1, P 0,..., P k ) sono uguli ome simplessi, m sono istinti ome simplessi orientti. Nel seguito sriveremo nhe [P 0 P 1... P k ] per inire il simplesso orientto i vertii P 0,..., P k, nell orine. Fissre un orinmento ei vertii i un simplesso, inue un orientmento su tutte le fe el simplesso preneno le fe [P i0 P ir ], ove j i j è un pplizione resente i {0,..., r} su {0,..., k} ( ). Non è però vero he orinmenti equivlenti sul simplesso inuno orinmenti equivlenti sulle fe. A esempio, [P 0 P 1 P 2 ] è onore on [P 1 P 2 P 0 ], m il primo h ome fi [P 0 P 2 ], mentre il seono h [P 2 P 0 ]. Aluni utori introuono nhe il simplesso i imensione 1, ovvero l insieme vuoto,. In tl so, non vi sono fe i imensione minore e, ome già e per il punto (simplesso i imensione 0), non vi sono orientmenti istinti. Definizione. [omplesso simpliile] Un omplesso simpliile è un insieme, K, i simplessi (nhe i imensione ivers) on l onizione he qulsisi oppi i simplessi, σ e τ, i K si intersehi o nell insieme vuoto o in un fi omune. Se un simplesso pprtiene K nhe le sue fe sono simplessi i K. L imensione el omplesso K è l mssim imensione (se esiste) i un simplesso i K. Si ini on K lo spzio topologio soggiente l omplesso K he, ome insieme, è l unione ei simplessi i K. Vi è miguità nell ultim prte ell efinizione se non preisimo qule si l topologi he si pone su K. Se i simplessi i K sono tutti ontenuti in uno stesso spzio ffine, è nturle porre l topologi inott quell i A n (R). Si prl invee i relizzzione ello spzio topologio K quno si pone l topologi per ui un sottoinsieme F è hiuso se, e solo se, F σ è hiuso in σ per ogni simplesso σ i K. Quest topologi h senso nhe se i simplessi non sono tutti ontenuti in uno stesso spzio ffine e oinie on l topologi inott se i simplessi sono tutti ontenuti in uno stesso spzio ffine e sono in numero finito. In generle, però, l topologi ell relizzzione è più fine ell topologi inott, ome si può veere l { [ seguente esempio. Si onsieri il omplesso K = { [n, n + 1] n Z {0} } i=0 1 n+1. 1 n ] n Z >0 }, l ui ( ) Se onsierimo il simplesso orientto [Pσ(0) P σ(k) ], ove σ è un permutzione su k oggetti, le sue fe srnno i simplessi [P σ(i0 ) P σ(ir)], ove j i j è un funzione resente. 1

2 unione è l rett rele A 1 (R), e si osservi he l insieme { 1 n n Z } >0 è un hiuso nell topologi ell relizzzione, m non lo è nell topologi ell rett rele. Nel seguito i ouperemo solo i omplessi finiti, per ui prleremo i spzio topologio soggiente senz pur i miguità. Definizione. [tringolzione] Un tringolzione i uno spzio topologio, X, è il to i un omplesso simpliile (finito) K e i un omeomorfismo K X. Animo or ssoire un omplesso egli oggetti lgerii. Definizione. [tene] Si K un omplesso e G un gruppo elino. Un r-ten i K oeffiienti in G è un funzione ll insieme egli r-simplessi orientti i K vlori in G, tle he, (σ) = (τ) se σ e τ sono ue iversi orientmenti ello stesso r-simplesso i K. Due r-tene, e, si possono sommre, poneno ( + )(σ) = (σ) + (σ) per ogni r-simplesso orientto i K. Quini l insieme C r (K, G) elle r-tene i K oeffiienti in G è nturlmente un gruppo elino. Porremo inoltre C r (K, G) = {0} se r < 0 oppure r > imk. In prtiolre, se il gruppo G è un moulo su un nello A, nhe C r (K, G) h un struttur nturle i A-moulo. Ci interesserà priniplmente il so in ui G = A e l nello A è ugule Z, Q, R o, più in generle, un mpo k, osihé i gruppi C r (K, A) sono A-mouli (A-spzi vettorili se A è un mpo). In questo so, per ogni r-simplesso orientto σ i K, è efinit l ten elementre σ C r (K, A) { 1 se τ = σ ome simplesso orientto σ (τ) = 1 se τ = σ ome simplesso, m on orientmento isore. 0 ltrimenti Le tene elementri formno un se i C r (K, A) ome A-moulo liero. Nel seguito, ientifiheremo il simplesso σ on l ten elementre orrisponente e sriveremo [P 0... P r ] per inire l r-ten elementre orrisponente ll omonimo simplesso orientto. Definizione. [opertore i oro] Si K un omplesso e A un nello. Si efinise l opertore i oro r : C r (K, A) C r 1 (K, A) poneno r [P 0... P r ] = r ( 1) i [P 0... P i... P r ] i=0 ove il ppuio ini he viene omesso il vertie sottostnte. L pplizione r è en efinit (ovvero ipene solo ll orientmento ei vertii e non l prtiolre orinmento in ui sono sritti) e si estene per linerità un omomorfismo i A-mouli. Si pone inoltre r ientimente ugule 0 se r 0, oppure r > imk. Proposizione. Si K un omplesso e A un nello e inihimo on r : C r (K, A) C r 1 (K, A) l opertore i oro per ogni intero r. Allor si h r 1 r = 0. im. L tesi è nlmente ver se r 1 o r > imk. Inoltre, è suffiiente verifire he l onizione vle sulle tene elementri, he formno un se i C r (K, A). In tl so, si h r 1 ( r [P 0... P r ]) = r ( 1) i r 1 [P 0... P i... P r ] = i=0 r = i=0( 1) i ( 1) j [P 0... P j... P r i... P r ] + j<i i=0( 1) i ( 1) j 1 [P 0... P i... P j... P r ] = 0 j>i In qunto i termini ell seon sommtori nellno quelli ell prim. CVD 2

3 Definizione. [ili, ori, omologi] Si K un omplesso e A un nello. Si himno r-ili ( oeffiienti in A) gli elementi Z r (K, A) = ker r. Si himno r-ori ( oeffiienti in A) gli elementi B r (K, A) = im r+1. In prtiolre si h B r (K, A) Z r (K, A) e si him r-esimo gruppo i omologi i K oeffiienti in A il quoziente H r (K, A) = Z r(k, A) B r (K, A). Quno A = Z il gruppo i omologi H r (K, Z) è quoziente i ue mouli lieri finitmente generti (riorimo he supponimo i lvorre on omplessi finiti), quini srà uno Z-moulo finitmente generto, ovvero somm irett i un moulo liero, Z k, e i un numero finito i mouli el tipo Z/n i Z, per opportuni interi positivi n i. L intero k è il rngo el gruppo elino H r (K, Z) e è etto l r-esimo numero i Betti el omplesso K. Gli interi n i sono etti i oeffiienti i r-torsione el omplesso K. Definizione. Si him rtteristi i Eulero Poinré el omplesso (finito) K l intero χ(k) = ( 1) n rkh n (K, Z) = n Z n Z( 1) n imh n (K, Q). Aimo quini visto ome, to un omplesso simpliile, K, e un nello A, si ostruisno gli A- mouli C r (K, A) e gli omomorfismi r : C r (K, A) C r 1 (K, A), tli he r 1 r = 0 per ogni intero r. D questi si ottengono i gruppi i omologi ome quoziente el nuleo i r sull immgine i r+1. In generle si him omplesso i A-mouli (C, ) un ollezione i A-mouli, C n (n Z), e i omomorfismi n : C n C n 1, tli he n n+1 = 0 per ogni inie n. Si efinise l omologi el omplesso C. ome l ollezione egli A-mouli H n (C ) = ker n im. n+1 Definizione. [omologi reltiv] Sino K un omplesso e A un nello e si fissto un sottoomplesso F i K. Allor, si h C r (F, A) C r (K, A) per ogni intero r, per ui h senso onsierre i quozienti C r = Cr(K,A) C. L opertore i oro reltivo K inue un omomorfismo r(f,a) r : C r C r 1 he rene l fmigli (C, ) un omplesso i A-mouli. L omologi i questo omplesso è nhe ett l omologi i K reltiv F, oeffiienti in A, e si ini on H r (K, F, A) l r-esimo gruppo i omologi el omplesso (C, ). Aimo tutte le efinizioni neessrie per poter re qulhe esempio i gruppi i omologi ssoiti tringolzioni i superfiie reli. Veimo pprim qulhe ftto generle. Proposizione. Si K un omplesso simpliile finito. Lo spzio topologio K è onnesso per rhi se, e solo se, presi omunque ue vertii, P e Q, esiste un sequenz i vertii P 0,..., P r i K tle he P 0 = P, P r = Q e, per ogni i = 1,..., r, [P i 1 P i ] è un lto (1-fi) i K. im. L onizione è hirmente suffiiente, perhé posso ongiungere on un segmento i rett ogni punto i un simplesso on uno ei vertii el simplesso stesso. Dunque, se vle l onizione in ipotesi, ti ue punti qulsisi i K posso ongiungerli on un sequenz i segmenti e quini on un urv ontinu. Vievers, se K è onnesso per rhi, ti ue vertii P e Q, esiste un urv he li ongiunge e è tutt ontenut in K. Se i ue vertii pprtengono llo stesso simplesso, 0, è un lto el simplesso he li ongiunge e imo finito. Altrimenti l urv usirà verso un ltro simplesso, 1, ttrversno l fi omune. Si quini P 0 = P e P 1 un vertie ell fi ttrverst. Se Q pprtiene 1, imo finito; ltrimenti l urv usirà l simplesso per nre verso un ltro simplesso, 2 / { 0, 1 }, ttrversno l fi omune. Si fiss un punto P 2 i quest fi e si prosegue nlogmente. Dopo un numero finito i pssi si rriv l simplesso he ontiene Q, perhé K è un omplesso finito. CVD Corollrio. Si K un omplesso simpliile finito. Lo spzio topologio K è onnesso per rhi se, e solo se, H 0 (K, Z) = Z. Più in generle, H 0 (K, Z) = Z r ove r è il numero i omponenti onnesse i K. im. Si K onnesso per rhi e onsierimo l pplizione 1 : C 1 (K, Z) C 0 (K, Z). Fissto un vertie P 0 i K, preso omunque un ltro vertie, Q, esiste un sequenz i vertii P 0,..., P r i K tle he P r = Q 3

4 e, per ogni i = 1,..., r, [P i 1 P i ] è in C 1 (K, Z). Allor [Q] [P 0 ] = 1 ([P 0 P 1 ] + [P 1 P 2 ] + + [P r 1 P r ])) B 0 = im 1. Dunque C 0 = [P 0 ] B 0 e quini H 0 (K, Z) = C 0 /B 0 = [P0 ]. Se K non è onnesso per rhi, si P 1 un suo vertie e si K 1 il sottoomplesso i K he h ome vertii i vertii i K rggiungiili prtire P 1, mminno lungo lti i K. Per l Proposizione preeente, K 1 è onnesso per rhi e, se prenimo un vertie, P 2, i K he non sti in K 1, nessuno ei simplessi he lo ontiene può vere intersezione non vuot on un simplesso i K 1 (ltrimenti potrei rggiungere P 2 prteno P 1 e mminno lungo lti i simplessi i K). Quini, onsiero il sottoomplesso K 2 he h ome vertii i vertii i K rggiungiili prtire P 2 mminno lungo lti i K. Dopo un numero finito i pssi, ho eomposto il omplesso K nell unione isgiunt i un numero finito i sottoomplessi, K 1,..., K r, onnessi per rhi e ue ue isgiunti he nno quini le omponenti onnesse i K. È r eviente he C i (K, Z) = C i (K j, Z) per ogni i e he gli opertori i oro sono l somm irett egli j=1 opertori i oro ei singoli sottoomplessi. In prtiolre si h H 0 (K, Z) = r H 0 (K j, Z) = Z r. j=1 CVD Eserizio. Si A un qulsisi nello (ommuttivo on unità), os sree mito nel orollrio preeente, onsierno H 0 (K, A) in luogo i H 0 (K, Z)? Osservimo quini he per ogni omplesso finito, K, B 0 (K, Z) è uno Z-moulo liero finitmente generto e, ll sequenz estt i Z-mouli 0 Z 1 (K, Z) C 1 (K, Z) B 0 (K, Z) 0, si onlue he Z 1 (K, Z) è eno iretto i C 1 (K, Z). Dunque, C 1 /B 1 = F Z1 /B 1 per un opportuno moulo liero F e iò signifi he le omponenti i torsione i H 1 (K, Z) = Z 1 /B 1 sono eterminte i fttori invrinti non nulli ell omomorfismo 2 : C 2 (K, Z) C 1 (K, Z). Più in generle, Z i (K, Z) è eno iretto i C i (K, Z), per ogni inie i. Ciò signifi he per un omplesso i imensione n, H n (K, Z) = Z n (K, Z) è uno Z-moulo liero. Fremo lune ulteriori ipotesi per rtterizzre i omplessi he i interessno nel seguito (non sono erto he quest nomenltur si universlmente ettt) Definizione. [imensione pur] Diremo he un omplesso K h purmente imensione n > 0 se ogni simplesso i K è fi i lmeno un simplesso i imensione n i K. Definizione. [omplesso polierle] Diremo he un omplesso K, purmente i imensione n > 0, è polierle se ogni simplesso n 1-imensionle i K è fi i l più ue simplessi i imensione n i K. Inoltre, se ue simplessi n-imensionli, E, F, hnno in omune un fi i imensione minore i n 1, esiste un sequenz finit i simplessi n-imensionli E = F 0,..., F r = F tli he per ogni i = 1,..., r F i e F i 1 ino in omune un fi (n 1)-imensionle (ontenente l fi omune E e F ). Chimeremo oro el omplesso polierle K il sottoomplesso formto lle fe n 1-imensionli he sono fi i un unio simplesso i imensione n. Definizione. [omplesso orientile] Si K un omplesso finito, polierle, purmente i imensione n e senz oro. Diremo he K è orientile se è possiile fissre un orientmento sui simplessi n-imensionli i K in moo he ogni simplesso i imensione n 1, he è fi i esttmente ue simplessi, riev orientmenti opposti ll opertore i oro. Come esempio, possimo onsierre l superfiie el tetrero, i vertii P 0, P 1, P 2, P 3, he è un omplesso polierle purmente i imensione 2. Possimo ientifire le sue fe 2-imensionli on i simplessi orientti [P 0 P 2 P 1 ], [P 0 P 1 P 3 ], [P 0 P 3 P 2 ], [P 1 P 2 P 3 ]. Si h, esempio, 2 ([P 0 P 2 P 1 ]) = [P 0 P 2 ] [P 0 P 1 ] + [P 2 P 1 ] e 2 ([P 0 P 1 P 3 ]) = [P 0 P 1 ] [P 0 P 3 ] + [P 1 P 3 ] e il simplesso i vertii P 0, P 1, he è l fi omune ei ue simplessi ti h segni opposti nei ue si. Si potree verifire he iò e per tutte le fe 1-imensionli e quini he si trtt i un omplesso orientile. 4

5 Proposizione. Si K un omplesso finito, polierle, purmente i imensione n, senz oro. Allor K è orientile se, e solo se, H n (K, Z) 0. im. Se σ 1,..., σ k sono i simplessi n-imensionli i K, llor n (σ σ k ) è l somm i termini m j τ j, ove τ j vri tr tutti i simplessi i imensione n 1 e i oeffiienti m j sono uguli 0, 2 o 2, seon he gli orientmenti inotti ll opertore i oro sulle fe n 1 imensionli sino tr loro opposti, oppure entrmi isori o entrmi onori on l orientmento fissto su tli simplessi. Il omplesso è orientile se, e solo se è possiile fissre un orientmento sui simplessi n-imensionli i K in moo he ogni simplesso i imensione n 1 riev orientmenti opposti ll opertore i oro, il he signifi esttmente he esiste un selt i segni h i {±1}, i = 1,..., k, tle he n (h 1 σ h k σ k ) = 0. CVD Eserizio. Nell Proposizione preeente, si potree onsierre l omologi oeffiienti in un nello A, l posto ell omologi inter? Definizione. [superfiie rele omptt] Chimeremo superfiie rele omptt ogni spzio topologio i Husorff, X, he si omeomorfo K, ove K è un omplesso finito, polierle, purmente i imensione 2. Si potree imostrre (m non è file) he sono superfiie reli omptte le vrietà ifferenziili reli omptte i imensione 2 o le urve lgerihe in P n (C) o le vrietà nlitihe omplesse i imensione 1 su C. Dt un superfiie rele omptt, X, l omologi ell superfiie ( oeffiienti in A) è l omologi i un tringolzione (polierle) ell superfiie e sriveremo H i (X, Z) per inire l omologi inter, trlsino i inire l tringolzione. Diremo he l superfiie è onness se H 0 (X, Z) = Z e per un superfiie senz oro, iremo he è orientile se H 2 (X, Z) 0 (e quini H 2 (X, Z) = Z, perhé?). Se un superfiie, X, h oro ( esempio, il iso, il ilinro,...), luni lti i simplessi i un tringolzione i X formno un tringolzione el oro, X. Diremo he l superfiie X è orientile se H 2 (X, X, Z) 0, ioè se è non null l oomologi reltiv (non imo un giustifizione geometri i tle efinizione; il lettore è invitto errne un). Sfer. Un tringolzione ell (superfiie i un) sfer, S, è t l tetrero (vo) e può quini essere rppresentt nel isegno qui fino, ove i lti omonimi, rppresentti on linee trtteggite, vnno ientifiti. Le tene sono quini generte lle tene elementri, ovvero C 2 = P [012], [013], [023], [123], C 1 = [01], [02], [03], [12], [13], [23], C 0 = [0], [1], [2], [3] (ove 0 srivimo [ij] in luogo i [P i P j ], e.). Gli opertori i oro, rispetto lle si te hnno mtrii P 3 P [ ] 2 = , = P 0 P 1 P 0 entrmo le mtrii hnno rngo 3 (e i fttori invrinti non nulli uguli 1); quini H 2 (S, Z) = Z, H 1 (S, Z) = 0 e H 0 (S, Z) = Z he i iono he l sfer è un superfiie, onness e orientile e he h rtteristi i Eulero 2. Diso. Un tringolzione el iso, D, è t un tringolo. Le tene sono generte lle tene elementri, ovvero C 2 = [012], C 1 = [01], [02], [12], C 0 = [0], [1], [2], e gli opertori P ] ] 2 i oro, rispetto lle si te hnno mtrii 2 =, e 1 =, he [ [ hnno rngo 1 e 2, rispettivmente (e i fttori invrinti non nulli uguli 1); quini H 2 (D, Z) = 0, H 1 (D, Z) = 0 e H 0 (D, Z) = Z he i iono he il iso è un superfiie, onness e h rtteristi i Eulero 1. Per veere se è orientile oimo onsierre l tringolzione el oro el iso, ovvero il sottoomplesso D 0 = C 0 = [0], [1], [2], P 0 P 1 D 1 = C 1 = [01], [02], [12] e, ovvimente, D 2 = 0. Si h periò C 2 /D 2 = C 2 = [012] e C 1 /D 1 = 0, per ui H 2 (D, D, Z) = Z e quini il iso è un superfiie orientile (ome en i si ovev spettre). 5

6 Cilinro. Possimo ottenere il ilinro ientifino ue lti opposti i un rettngolo. Quini un tringolzione el ilinro, C, è t nell figur fino, ove i lti trtteggiti vengono ientifiti e, ome nel so ell sfer, si è usto lo stesso nome per gli estremi he si ientifino. Le tene sono generte lle tene elementri, ovvero P 3 P 4 P 5 P 3 C 2 = [014], [023], [034], [125], [145], [235], C 1 = [01], [02], [03], [04], [12], [14], [15], [23], [25], [34], [35], [45], C 0 = [0], [1], [2], [3], [4], [5], e gli opertori i oro, rispetto lle si te hnno mtrii (i imensioni già onsierevoli) 2 = , 1 = P 0 P 1 P 2 P 0 he hnno rngo 6 e 5, rispettivmente (e i fttori invrinti non nulli uguli 1); quini H 2 (C, Z) = 0, H 1 (C, Z) = Z e H 0 (C, Z) = Z he i iono he il ilinro è un superfiie, onness e h rtteristi i Eulero 0. Per veere se è orientile oimo onsierre l tringolzione el oro el ilinro, ovvero il sottoomplesso D 0 = C 0 e D 1 = [01], [02], [12], [34], [35], [45]. Si h quini C 2 /D 2 = C 2 e C 1 /D 1 = [04], [12], [14], [15], [23], [25], per ui l opertore i oro : C 2 /D 2 C 1 /D 1 h mtrie = ui si eue he H 2 (C, C, Z) = Z, e nhe il ilinro è un superfiie orientile. Si può filmente osservre he il ilinro è omeomorfo ll oron irolre e quini possimo pplire i risultti nhe quest superfiie. Il lettore può filmente verifire he il omplesso i tene ssoito l oro el ilinro è proprio l somm irett i ue opie el omplesso ssoito l erhio (oro el iso), ome si può intuire l suo spetto geometrio. Nstro i Möius. Possimo ottenere nhe il nstro i Möius ientifino ue lti opposti i un rettngolo, m inverteno l orientmento ei lti he si ientifino. Quini un tringolzione el nstro i Möius, M, è t nell figur fino, ove i lti trtteggiti vengono ientifiti e si è usto lo stesso nome per gli estremi he si ientifino. Le tene sono generte lle tene elementri, ovvero P 4 P 1 P 3 P 0 C 2 = [012], [014], [034], [123], [234],, C 1 = [01], [02], [03], [04], [12], [13], [14], [23], [24], [34], C 0 = [0], [1], [2], [3], [4], e gli opertori i oro, rispetto lle si te hnno mtrii (i imensioni già onsierevoli) 2 = , 1 = ,, P 0 P 2 P 4

7 he hnno rngo 5 e 4, rispettivmente (e i fttori invrinti non nulli uguli 1); quini H 2 (M, Z) = 0, H 1 (M, Z) = Z e H 0 (M, Z) = Z he i iono he il nstro i Möius è un superfiie, onness e h rtteristi i Eulero 0. Per veere se è orientile oimo onsierre l tringolzione el oro, ovvero il sottoomplesso D 0 = C 0 e D 1 = [02], [03], [13], [14], [24]. Si h quini C 2 /D 2 = C 2 e C 1 /D 1 = [01], [04], [12], [23], [34], per ui l opertore i oro : C 2 /D 2 C 1 /D 1 h mtrie = i rngo 5, ui si eue he H 2 (M, M, Z) = 0, e il nstro i Möius non è orientile (ome en i si ovev spettre). Il lettore può filmente verifire he il omplesso i tene ssoito l oro el nstro i Möius h l stess omologi el omplesso ssoito l oro el iso e inftti il oro el nstro i Möius è omeomorfo un erhio. Pino proiettivo rele. Un tringolzione el Pino proiettivo rele, P, è t nell figur qui sotto, ove i lti trtteggiti vengono ientifiti e si è usto lo stesso nome per gli estremi he si ientifino (...si potree trovre un tringolzione on un numero minore i elementi?). Le tene P 4 sono generte lle tene elementri, ovvero, C 2 = [012], [015], [024], [034], [035], [123], [134], [145], [235], [245], C 1 = [01], [02], [03], [04], [05], [12], [13], [14], [15], [23], [24], [25], [34], [35], [45], C 0 = [0], [1], [2], [3], [4], [5], i rnghi 10, 15 e 6, rispettivmente; e gli opertori i oro hnno mtrii 2 = , 1 = he hnno rngo 10 e 5, rispettivmente ( ) (tutti i fttori invrinti non nulli i 1 uguli 1, mentre uno ei fttori invrinti i 2 è ugule 2); quini H 2 (P, Z) = 0, H 1 (P, Z) = Z/2Z e H 0 (P, Z) = Z he i iono he il pino proiettivo rele è un superfiie non-orientile, onness on rtteristi i Eulero 1. Toro. Si ottiene il toro ientifino ue ue i lti opposti i un rettngolo. Un tringolzione el toro, T, è t nell figur fino, ove i lti trtteggiti vengono ientifiti e si è usto lo stesso nome per gli estremi he si ientifino (...forse si potree trovre un tringolzione on un numero minore i elementi). Le tene sono generte lle tene elementri, ovvero P 0 P 6 P 1 P 7 P 2 P 8 P 0 P 6 ( ) C 2 = [014], [016], [023], [028], [034], [068], [125], [127], [145], [167], [235], [278], [347], [356], [367], [458], [478], [568], C 1 = [01], [02], [03], [04], [06], [08], [12], [14], [15], [16], [17], [23], [25], [27], [28], [34], [35], [36], [37], [45], [47], [48], [56], [58], [67], [68], [78], C 0 = [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], P 3 P 5 P 0 P 4 P 1 P 3 P 4 P 5 P 2 P 0 P 1 P 2 Per verifire il rngo i 2, si possono onsierre, nell orine, le righe r 1, r 9, r 11, r 13, r 14, r 7, r 8, r 15, r 12 e r 2 + r 1 r 9 r 11 r 15 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2). 7, P 3 P 5 P 3 P 0

8 i rnghi 18, 27 e 9, rispettivmente; e gli opertori i oro, rispetto lle si te, hnno mtrii e 1 = 2 = he hnno rngo 17 e 8, rispettivmente. (e i fttori invrinti non nulli uguli 1); quini H 2 (T, Z) = Z, H 1 (T, Z) = Z Z e H 0 (M, Z) = Z he i iono he il toro è un superfiie, onness, orientile e h rtteristi i Eulero 0. Gurno ll tringolzione el toro e smino tr loro i punti P 3 e P 6 nel lto estro, si è ostretti ientifire il lto i estr on il lto opposto inverteno l orine e quini si ottiene un tringolzione ell ottigli i Klein, K. Il lettore può provre frsi i onti e lolre i gruppi i omologi i quest superfiie. Si ovree ottenere H 0 (K, Z) = Z, H 1 (K, Z) = Z Z/2Z, H 2 (K, Z) = 0. Eserizio. Dti n + 1 punti ello spzio ffine in posizione generle, P 0,..., P n, si n = [P 0 P n] il simplesso n-imensionle i vertii P 0,..., P n e inihimo on lo stesso nome il omplesso simpliile formto n e lle sue fe. () Inito on C k ( n, Q) lo spzio elle tene ( oeffiienti in Q) i imensione k el simplesso n, si imostri he gli elementi [P I(0) P I(k) ], ove I vri tr tutte le funzioni {0,..., k} {0,..., n } strettmente resenti, è un se i C k ( n, Q) ( e l) si orini seono l orine lessiogrfio elle immgini egli elementi i {0,..., k}. Dunque, n+1 imc k ( n, Q) = k+1, per k = 0,..., n e si inihi on k (n) : C k ( n, Q) C k 1 ( n, Q) l opertore i oro el omplesso. () Si verifihi he C 2 ( 2, Q) = [P 0 P 1 P 2 ], C 1 ( 2, Q) = [P( 0 P 1 ], [P 0 P 2 ], [P 1 P 2 ], C 0 ( 2, Q) = [P 0 ], [P 1 ], [P 2 ], e he gli 1 ) ( ) opertori i oro, nelle si te, hnno mtrii 2 (2) = 1 e 1 (2) = e si onlu he H i ( 2, Q) = { Q se i = 0 0 ltrimenti. ) ( k 1 (n 1) 0 1 ( n ) k (n 1) k () Si n 1. Si verifihi he, nelle si te l punto (), si ottengono le mtrii lohi k (n) = ( ) ( ) n 1 (n 1) ( ) n se 1 < k < n, n(n) = e 1 1 (n) =. Si eu iò he rk 1 n 1 (n 1) k (n) = k per { ogni k = 1,..., n e si onlu he H i ( n, Q) = Q se i = 0 0 ltrimenti. 8

9 A questo punto, risultno evienti luni limiti i quest teni: tringolzioni i superfiie prouono mouli i tene i rngo elevto e quini mtrii non fili mnipolre (qunto meno fenolo mno ); non è eviente il motivo per ui tringolzioni iverse i un stess superfiie eno prourre gruppi i omologi uguli; non è ugulmente eviente ome si poss ssoire un morfismo tr superfiie egli omomorfismi tr i orrisponenti gruppi i omologi. All prim omn si può provre risponere osservno he, per qunto rigur le superfiie, le tenihe si possono semplifire. Se onsierimo solo superfiie onnesse (per rhi), si h H 0 (X, Z) = Z; inoltre, se si trtt i superfiie senz oro, si h H 2 (X, Z) = Z oppure H 2 (X, Z) = 0 seon he l superfiie si orientile oppure no. Quini l unio elemento istintivo è il rngo (e l eventule torsione) i H 1 (X, Z). D or in poi restringimo il nostro interesse lle superfiie reli omptte, onnesse e senz oro, e efinimo un invrinte ssoire queste superfiie. Definizione. [genere topologio] Si X un superfiie rele, omptt, onness e senz oro. Il genere i X è l intero g = g(x) efinito lle seguenti ientità χ(x) = 2 rkh 1 (X, Z) = 2 2g χ(x) = 1 rkh 1 (X, Z) = 2 g se X è orientile se X non è orientile ove χ(x) è l rtteristi i Eulero-Poinré ell superfiie (ovvero i un su tringolzione). Quini, tr le superfiie orientili, l sfer h genere 0 e il toro h genere 1; mentre, tr le non orientili, il pino proiettivo rele h genere 1 e l ottigli i Klein h genere 2 ( ). Il lolo ell rtteristi i Eulero-Poinré i un omplesso è molto più semplie el lolo ei vri gruppi i omologi, nhe grzie ll seguente osservzione Proposizione. Si C = 0 C r C 0 0 un omplesso finito i spzi vettorili. L rtteristi i Eulero-Poinré i C è ugule r i=0 ( 1)i imc i. im. In se ll efinizione e un en noto risultto i lger linere, si h χ(c ) = ( 1) r imker r + ( 1) r 1 im ker r 1 im r + + im C 0 im 1 = ( 1) r (imker r + imim r ) + ( 1) r 1 (imker r 1 + imim r 1 ) + + imc 0 = ( 1) r imc r + ( 1) r 1 imc r imc 0. CVD Quini l rtteristi i Eulero-Poinré i un superfiie si può ottenere onoseno solmente i rnghi ei mouli i tene, ovvero χ(x) = rkc 2 (X, Z) rkc 1 (X, Z) + rkc 0 (X, Z) = f e + v ove f è il numero i fe nell tringolzione i X, e è il numero i lti nell tringolzione i X e v è il numero i vertii nell tringolzione i X; he è l formul originri i Eulero. Il teorem fonmentle per l lssifizione elle superfiie è il seguente (f. Theorem 5.1, p.10 i Willim S. Mssey, Algeri Topology: n introution, GTM56, Springer 1984) Teorem. [lssifizione elle superfiie] Ogni superfiie rele omptt, onness e senz oro è omeomorf o un sfer o un somm onness i tori o un somm onness i pini proiettivi reli. Cominimo on il efinire l somm onness i ue superfiie e veere ome si poss lolrne l rtteristi i Eulero-Poinré. ( ) Si potree efinire il genere nhe per le superfiie on oro poneno ugule l genere ell superfiie he si ottiene inollno un iso su ogni omponente onness el oro. A esempio, ttno un iso su isuno ei ori el ilinro si ottiene un sfer, mentre ttno un iso sul oro el nstro i Möius si ottiene un pino proiettivo. 9

10 Definizione. [somm onness] L somm onness, K 1 #K 2, i ue omplessi polierli, K 1 e K 2, purmente i imensione 2, si f toglieno isun omplesso un fi tringolre e fissno un ientifizione ei lti e ei vertii ei ue ori tringolri elle fe eliminte. Il omplesso K 1 #K 2 h le fe (iimensionli) ei ue omplessi originri; i lti (ovvero simplessi 1-imensionli) ei ue omplessi originri, m on tre lti el primo omplesso ientifiti orintmente on tre el seono; lo stesso e per i vertii. Quini, initi on f i, l i e v i, per i = 1, 2, le fe, i lti e i vertii, rispettivmente, ei ue omplessi e on f, l e v, le fe, i lti e i vertii ell somm onness, K 1 #K 2, si h f = f 1 + f 2 2 l = l 1 + l 2 3 v = v 1 + v 2 3. Dunque l relzione tr le rtteristihe i Eulero-Poinré ei omplessi è χ(k 1 #K 2 ) = χ(k 1 ) + χ(k 2 ) 2. Risult eviente he, se i ue omplessi sono onnessi, lo stesso vle per l somm onness e si potree imostrre he se entrmi i omplessi sono orientili, lo stesso vle per l somm onness. Invee, se lmeno uno ei ue non è orientile, llor tle è l somm onness. Dunque, pssno ll rtteristi i Eulero-Poinré l genere, possimo ire he, te ue superfiie omptte e onnesse, X 1 e X 2, entrmo orientili oppure non orientili, si h g(x 1 #X 2 ) = g(x 1 ) + g(x 2 ). Tornimo or l prolem i un efinizione più generle ell omologi he ssoi i morfismi tr le vrietà ei morfismi tr i orrisponenti gruppi i omologi. L efinizione semr molto più generle ell omologi simpliile, m quno si possono pplire entrmo, i gruppi he si ottengono oiniono. Definizione. [omologi singolre] Si X uno spzio topologio. Un n-simplesso singolre in X è un pplizione ontinu σ : n X ove n = [P 0 P n ] è un simplesso n-imensionle orientto nello spzio ffine rele. Dto un nello A, si ini on C n (X, A) l A-moulo liero generto gli n-simplessi singolri i X e si himno n-tene singolri oeffiienti in A i suoi elementi. Si h un opertore i oro n : C n (X, A) C n 1 (X, A) efinito n (σ) = n ( 1) i σ [P0 P i P n] i=0 ove σ è n-simplesso singolre efinito sul simplesso [P 0 P n ]. Si può verifire he si h n n+1 = 0 per ogni n (eserizio!) e si efinisono i ili singolri Z n (X, A) = ker n e i ori singolri, B n (X, A) = im n+1. L n-esimo gruppo i omologi singolre i X oeffiienti in A è H n (X, A) = Z n(x, A) B n (X, A). È eviente ll efinizione he, t un pplizione ontinu f : X Y tr spzi topologii, ogni simplesso singolre, σ : X, si può ssoire il simplesso singolre f σ : Y e quini un omomorfismo i A-mouli n (f) : C n (X, A) C n (Y, A) he ommut on l opertore i oro, ovvero n Y n (f) = n 1 (f) n X. Rest quini inotto un omomorfismo i A-mouli H n (f) : H n (X, A) H n (Y, A). In prtiolre, se f è un omeomorfismo n (f) (e quini H n (f)) è un isomorfismo per ogni inie n. Si potree imostrre he spzi omotopimente equivlenti hnno gruppi i omologi isomorfi ( ) (f. es. il Teorem 2.10 in Allen Hther, Algeri Topology, Cmrige Univ Press). Non imostreremo l equivlenz tr l omologi singolre e l omologi simpliile, rimnno l testo i Hther lo stuente interessto. Ci limitimo lune fili onseguenze elle efinizioni. ( ) Due pplizioni ontinue f, g : X Y sono omotope se esiste un pplizione ontinu F : X [0, 1] Y tle he, per ogni x X, si i F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x). In tl so, sriveremo f g. Un pplizione ontinu f : X Y è un equivlenz omotopi se esiste un pplizione ontinu g : Y X tli he g f i Y e f g i X. In tl so, i ue spzi X e Y si irnno omotopimente equivlenti 10

11 Proposizione. Si X uno spzio topologio non vuoto. () Se X è onnesso per rhi llor H 0 (X, Z) = Z. () Se X = α A X α è l eomposizione i X ome unione elle sue omponenti onnesse per rhi, llor H n (X, A) = α A H n (X α, A) () Se X è un punto, llor H n (X, Z) = 0 per ogni n > 0 e H 0 (X, Z) = Z. im. () C 0 (X, Z) è il gruppo elino liero generto lle pplizioni σ : [P ] X e onsierimo l omomorfismo (suriettivo) ρ : C 0 Z efinito ρ( j n jσ j ) = j n j. Per ogni 1-simplesso τ : [P 0 P 1 ] X si h ρ( 1 (τ)) = ρ(τ(p 1 ) τ(p 0 )) = 1 1 = 0; quini im 1 kerρ. Per veere l inlusione invers, si σ = i n iσ i C 0, on i n i = 0. Fissto un ritrrio punto se X 0 in X, esseno X onnesso per rhi, esiste un mmino ontinuo τ i : [P 0 P 1 ] X on τ i (P 0 ) = X 0 e τ i (P 1 ) = σ i (P ) e quini, posto τ = i n iτ i, si h 1 (τ) = i n iσ i i n ix 0 = σ. () I simplessi ello spzio ffine sono onnessi per rhi e quini le loro immgini ontinue sono ontenute ll interno elle omponenti onnesse i X. Il omplesso i tene (e i reltivi opertori i oro) si spezz periò nell somm irett ei omplessi i tene reltivi lle singole omponenti onnesse. () Se X si riue un unio punto, per ogni intero n esiste un unio simplesso singolre σ n e quini C n (X, Z) = Z per ogni n 0 e n (σ n ) = n i=0 ( 1)i σ n 1, he è ugule σ n 1 se n è pri, mentre è ugule 0 se n è ispri. Il omplesso i tene è quini ugule Z i Z 0 Z i Z 0 Z, ove l ientità prte lle tene i gro pri e l omomorfismo nullo quelle i gro ispri. Dunque, tutti i gruppi i omologi sono trivili eetto l gro 0. CVD Il teorem i lssifizione elle superfiie reli omptte Riportimo qui un imostrzione el Teorem i lssifizione elle superfiie itto in preeenz, segueno il pitolo I el liro i W. Mssey itto. Nel testo itto, un superfiie (rele) è uno spzio topologio i Husorff, onnesso, in ui ogni punto h un intorno omeomorfo un iso i R 2 e quini sono esluse le superfiie on oro. Il teorem itto un lssifizione elle superfiie reli omptte. Si potree imostrre he ogni superfiie omptt è tringolile ( ) e l su tringolzione è un omplesso polierle finito i imensione pur 2. In quest sezione, quno prleremo i superfiie rele omptt (e onness), supporremo quini i vere uno spzio topologio i Husorff, omeomorfo un omplesso polierle finito, i imensione pur 2 e soisfente lle ue seguenti onizioni (i) ogni lto è fi i esttmente ue tringoli; (ii) Se P è un vertie ell tringolzione, i tringoli he hnno P ome vertie possono essere posti in orine F 0,..., F r = F 0 in moo he F i i un lto in omune (ontenente P ) on F i+1 per ogni i = 0,..., r. Il nostro oiettivo è quini l imostrzione el seguente Teorem. [lssifizione elle superfiie] Ogni superfiie rele omptt, onness e senz oro è omeomorf o un sfer o un somm onness i tori o un somm onness i pini proiettivi reli. Per prim os voglimo re un esrizione i ome si possno ostruire ei moelli stnr elle superfiie esritte nel Teorem e poi mostrre ome ogni tringolzione on le proprietà ette risulti essere omeomorf quluno ei moelli stnr. Un sfer si ottiene l iso ientifino i punti el oro o, l igono isegnto qui sotto, ientifino i ue lti seono l orientmento inito. Il pino proiettivo si ottiene ientifino i punti imetrlmente opposti nel oro i un iso e quini ientifino i ue lti el igono isegnto qui sotto seono l orientmento inito. Un toro si ottiene un rettngolo ientifino i lti opposti orientti ( ) Mssey non lo f e rimn un rtiolo i Tior Ró el 1925 (Uer en Begriff er Riemnnshen Flähe, At Univ. Szege, vol. 2 ( ) pp ). Dt l nostr efinizione i superfiie rele i sentimo esonerti l frlo. 11

12 ome nel isegno. moello ell sfer moello el toro moello el pino proiettivo Possimo inire revemente questi moelli inino l orine on ui si presentno i lti perorreno il oro. Quini sriveremo 1 per inire l sfer; 1 1 per inire il toro; e infine = 2 per inire il pino proiettivo. Provimo esrivere os suee feno l somm onness i ostruzioni el tipo esritto sopr, ominino ll somm onness i ue tori T T 1 T 2 T 1 T 2 1 T Tglimo un tringolo (o un iso) isuno ei tori T 1 e T 2 isegnti sopr e primone il oro, per ottenere i ue pentgoni isegnti he inollimo lungo il oro tglito. Quello he si ottiene in questo moo è un poligono he h l somm onness ei ue tori ome quoziente ottenuto ll ientifizione ei lti seono gli orientmenti initi nel isegno. Più in generle, l somm onness i n tori si otterrà ome quoziente i un poligono i 4n lti ientifirsi ue ue e he si presenternno nell orine ome n 1 n n n, ove l esponente 1 ini he si st perorreno il lto nel verso opposto rispetto quello fissto per l inollmento (ovvimente, sree equivlente un qulunque permutzione ili ei lti initi). In moo perfettmente nlogo, possimo fre l somm i ue pini proiettivi seono il isegno qui sotto Più in generle, l somm onness i n pini proiettivi si otterrà ome quoziente i un poligono i 2n lti ientifirsi ue ue e he si presenternno nell orine ome n (ovvimente, sree equivlente un qulunque permutzione ili ei lti initi). Aimo quini visto he l sfer, il toro, lo spzio proiettivo e le loro somme onnesse, si possono rppresentre ome spzi quozienti i poligoni pini i un numero pri i lti trmite opportune ientifizioni ei lti orrisponenti. Rest imostrre he ogni superfiie rele omptt, onness e senz oro è omeomorf uno ei moelli esritti. Ciò verrà ftto mostrno ome, prtire un tringolzione polierle i si poss riportre i moelli esritti. 12

13 Psso 0. Ogni superfiie rele omptt, onness e senz oro è omeomorf un poligono pino on i lti opportunmente ientifiti. Si quini K un omplesso polierle on le proprietà esritte sopr e osservimo he possimo numerre i suoi tringoli F 1,..., F k i moo he, per ogni i > 1, il tringolo F i i un lto in omune, l i, on lmeno uno tr i tringoli preeenti F 1,..., F i 1. Se osì non fosse, vremmo ue insiemi i tringoli {F 1,..., F r } e {F r+1,..., F k } tli he nessuno egli elementi el primo insieme i un lto in omune on un tringolo el seono insieme, ontro l ipotesi he l superfiie si onness. Si possono quini isporre i tringoli F 1,..., F k nel pino uneno isuno i preeenti per il lto inito e ostrueno osì un poligono i ui lti (he sono in numero pri, perhé?) evono essere ientifiti opportunmente ue ue. A esempio (oltre quelli già mostrti nelle pgine preeenti) veimo qui sotto l tringolzione ell superfiie i un uo e il poligono he se ne eue. F 1 f F 2 l 2 f f f e l 6 F 6 l 5 F 5 l 3 F 3 l 4 F 4 l 7 F 7 l 8 F 8 g e F 9 l F l 12 l 9 l 11 e F 10 F 12 g e g g Immginno l espressione ei lti onseutivi el poligono, 1 f 1 f 1 e 1 g 1 g 1 1 e, ome un espressione lgeri, verree spontneo semplifire le oppie i lti opposti onseutivi (el tipo 1 o 1 ) meno he non si trtti ell uni oppi presente (he i l sfer). Quest semplifizione h un senso l punto i vist geometrio e è il ontenuto el suessivo Psso 1. Eliminzione i lti isori ienti. Se in un poligono i n lti (n > 2) ue lti ienti vnno ientifiti e ompiono on verso isore, llor possono essere eliminti trsformno il vertie omune in un punto interno l nuovo poligono he h osì ue lti in meno (si ve il isegno qui sotto ove imo rppresentto on un ro i ironferenz trtteggito gli eventuli lti rimnenti el poligono). Nell esempio ell superfiie el uo, on quest operzione possimo eliminre tutte le oppie i lti fino ottenere un igono 1, ovvero l form noni ell sfer (he è hirmente omeomorf ll superfiie el uo). Diversmente, se non si ottiene l sfer, opo ver effettuto ripetutmente il psso 1 resterà un poligono (sempre on un numero pri i lti) privo i oppie i lti ienti isori ientifire. Questo poligono potree vere oppie i vertii he non si ientifino opo l inollmento ei 13

14 lti, mentre nei moelli stnr iversi ll sfer tutti i vertii el poligono si ientifino in un unio punto el quoziente. Psso 2. Trsformzione in un poligono in ui tutti i vertii evono ientifirsi in un singolo punto el quoziente. Supponimo quini i vere un poligono privo i oppie i lti ienti inentifire e isori e iimo equivlenti tr loro i vertii el poligono he Q hnno ugule immgine nel quoziente. Supponimo he vi si più R P i un lsse i equivlenz i vertii e vi srà un oppi i vertii onseutivi, P e Q, he non sono tr loro equivlenti; si poi R R P il vertie onseutivo e inihimo on il lto P Q, on il lto R Q Q QR e on il lto P R (he è tglito internmente l poligono). Possimo ire on ertezz he non può essere ugule né 1 né. Nel primo so vremmo eliminto l oppi trmite il R Q P psso 1, nel seono l estremo P verree ientifito on Q nel quoziente e questo lo imo esluso. Tglimo quini il tringolo i lti e nimo inollrlo lungo il lto nel oro orrisponente el poligono. In questo moo ottenimo un poligono he h lo stesso numero i lti el preeente, m h in più il vertie P nell stess lsse i P e h ientifito i vertii Q e Q he stvno in un lsse ivers quell i P. Nel nuovo poligono, potremmo essere nelle onizioni i pplire i nuovo il psso 1 (e eliminre il vertie Q, m non ltri; perhé?). Ciò ftto si può ontinure iterre i ue pssi fino ottenere un poligono in ui tutti i vertii sono tr loro equivlenti e non vi sono lti ienti isori ientifire. Il psso suessivo onsiste nel mostrre he si può moifire il poligono fino ottenerne uno in ui i lti ientifire si presentno oppie onseutive onori, o in quterne el tipo 1 1, ovvero un somm onness i eni uguli o tori o pini proiettivi. Se tutti gli eni sono el tipo pini proiettivi o tutti el tipo tori, imo finito; nel so ontrrio, il psso finle onsisterà nel mostrre he l somm onness i un toro on un pino proiettivo è omeomorf ll somm onness i tre pini proiettivi e quini i si può riportre fttori tutti ello stesso tipo. Proseguimo quini on i pssi mnnti. Psso 3. Riuzione somm onness i eni uguli spzi proiettivi o tori. Se, perorreno il oro, ue lti el poligono ientifire si presentno onori, m non onseutivi, possimo mire il poligono in uno equivlente, on ue lti onori onseutivi. Inihimo on, ome nel isegno, i lti in questione e tglimo il poligono lungo un segmento orientto,, he ongiunge il punto finle i un opi i on il punto finle ell ltr opi. Inollimo il poligono lungo e ottenimo un poligono on gli stessi vertii e he h ue lti onseutivi e onori, ovvero un eno i somm onness omeomorfo un pino proiettivo rele. Se tutte le oppie i lti ientifire sono onori, possimo in questo moo riuri un somm onness i pini proiettivi e imo finito. Supponimo quini he ue lti ientifire si presentino isori, m non onseutivi (ltrimenti possimo eliminrli pplino il psso 1). Inihimoli on e 1. Se iò e, esistono ltri ue lti isori e non onseutivi ientifirsi sino e 1 e i quttro lti ompiono nell orine ome 1 1. Inftti, se osì non fosse e tr e 1 non omprisse nessun lto he si ientifihi on un lto tr 1 e vremmo un ontrizione on il ftto he l estremo finle i eve ientifirsi on l estremo inizile veno messo tutti i vertii nell stess lsse i equivlenz l psso 2. 14

15 Il pssggio ll form 1 1 ll form 1 1 el oro el poligono è esritt nei isegni preeenti. Si tgli il poligono lungo un segmento,, he ongiunge gli estremi finli elle oppi i lti, e si inoll lungo il lto. Di nuovo, si tgli lungo un segmento,, he ongiunge gli estremi finli ell oppii lti e si inoll lungo. Il poligono osì ottenuto h l sequenz 1 1 nel oro, e sono stte eliminte le ue oppie i lti isori e non onseutivi. L imostrzione el Teorem è onlus se verifihimo l ultimo psso, ovvero Psso 4. l somm onness i un toro e i un pino proiettivo è omeomorf ll somm onness i tre pini proiettivi. Si trtt i pplire nor l teni i hirurgi elle superfiie he imo usto finor. Fimo veere pprim he l somm onness i ue pini proiettivi è omeomorf ll ottigli i Klein e poi he l somm onness i un toro on un pino proiettivo è omeomorf ll somm onness ell ottigli i Klein on un pino proiettivo. Come illustrto nel isegno fino, per verifire he l somm onness i ue pini proiettivi è omeomorf ll ottigli i Klein st tglire il qurto lungo e inollrlo lungo. Pssimo or ll verifi he l somm onness i un pino proiettivo on un toro è omeomorf ll somm onness i un ottigli i Klein on un pino proiettivo. Fimo il isegno qui sotto e e e L operzione onsiste prim nel tglire lungo e inollre lungo e poi nel tglire lungo e e inollre lungo. 15