1 FORZE, VINCOLI E REAZIONI VINCOLARI

Transcript

1 INTRODUZIONE Premessa La Scenza dee ostruzon è a dscpna d base de ngegnera strutturae. Essa ha come scopo prncpae queo d fornre g strument per vautare a scurezza e a funzonatà dee strutture resstent dee costruzon e dee macchne, dove con termne strutture s ntendono de sod mono, b o trdmensona avent a funzone d resstere ae azon cu sono sottopost e d trasmettere a terreno d fondazone o, n generae, a vnco. Verfcare a scurezza sgnfca controare che e strutture d una costruzone sano n grado d sopportare carch che graveranno su d oro, senza provocarne croo totae o parzae. Per effettuare tae verfca occorre conoscere o stato d sforzo cu è soggetto materae per effetto de carch e confrontaro con a resstenza deo stesso materae. Verfcare a funzonatà sgnfca controare che a rsposta dee strutture resstent a carch sa compatbe con un corretto eserczo. Tae verfca s effettua controando che a deformazone deg eement struttura sa compatbe con e funzon che ess sono chamat a svogere durante 'eserczo. Per vautare a scurezza e a funzonatà d una struttura occorre conoscere a geometra dea struttura carch a cu è sottoposta vnco present materae con cu è reazzata per poter rappresentare attraverso de mode adeguat q P Δ / modeo reae Δ/

2 TRVI ISOSTTIHE ORZE, VINOLI E REZIONI VINOLRI.. orze e operazon sue forze Una forza è un azone capace d modfcare o stato d quete o d moto rettneo unforme d un corpo. In base aa dmensone dea zona su cu agscono, e forze s possono suddvdere n forze concentrate, se agscono su una zona tamente mtata da poters consderare puntforme, ed n forze dstrbute, se agscono su una zona d dmenson fnte. Le prme vengono msurate n N (Newton) ne sstema nternazonae ed n kg ne sstema deg ngegner, scambando a massa con peso corrspondente. Infatt, aa massa m d kg corrsponde una forza peso P = m g N ne sstema nternazonae ed una forza P d kg ne sstema deg ngegner. Vae, pertanto, a seguente reazone d equvaenza tra due sstem: kg N. Le seconde s possono suddvdere n forze dstrbute per untà d unghezza, msurate n N/m oppure n kg/m, ed n forze dstrbute per untà d superfce o presson, msurate n Pa (Pasca) dove Pa = N/m. Poché Pa è un untà d msura moto pccoa per vaor dee presson caratterstc de ngegnera strutturae, s prefersce far rfermento a MPa, dove MPa = 6 Pa = N/mm, ovvero MPa =. kn/cm. Se s msurano e forze n kn e e aree n cm aora come untà d msura dee presson è mmedato utzzare kn/cm. Ne veccho sstema deg ngegner venvano spesso utzzat kg/cm come untà d msura dee presson. Tra due dvers sstem vagono e seguent reazon d equvaenza: MPa = kg/cm kn/cm = MPa = kg/cm Inzamente, studeremo e comun operazon che s possono effettuare con sstem d forze concentrate, con partcoare attenzone rvota verso sstem pan d forze. G eement caratterstc d una forza concentrata sono que d un vettore appcato, ovvero moduo, verso, a drezone ndvduata daa retta d azone ed punto d appcazone. S defnsce, notre, momento d una forza rspetto a punto Q, detto poo, a seguente quanttà: M Q = (P Q) dove P ndca un punto quasas dea retta d azone d ed smboo prodotto vettorae. Pertanto vettore Q b α P

3 TRVI ISOSTTIHE 3 M Q è ortogonae a pano de vettor e P Q ed ha moduo: M Q = P Q sn α = b dove ndca moduo d e α angoo compreso tra e drezon de vettor e QP, come ndcato n fgura. I momento dea forza s può qund cacoare come prodotto tra suo moduo ed bracco b, par aa dstanza tra a retta d azone dea forza ed poo Q consderato. In base aa regoa dea mano destra, segno de momento è postvo se a forza produce una rotazone n senso antoraro attorno a poo Q (come ne caso n fgura), negatvo se oraro. S osserv, notre, che momento dea forza non camba spostando punto d appcazone P ungo a retta d azone, poché non vara bracco b.... Equazon cardna dea statca Un corpo rgdo è n equbro statco se e soo se a rsutante ed momento rsutante d tutte e forze ad esso appcate, sa forze attve che reazon vncoar, sono nu, ovvero se vagono e seguent condzon: Q P P P n P n R = = n M Q = (P Q) = (.) 3 n dove a sceta de poo Q è arbtrara. In ta caso, n base ae equazon cardna dea dnamca, a quanttà d moto e momento dea quanttà d moto de corpo s mantengono costant, per cu se corpo è nzamente n quete contnua ad essero anche sotto azone d un sstema d forze equbrato. Se e condzon d equbro (.) rsutano soddsfatte per poo Q, aora o sono anche per quasas atro poo Q, n ta caso s ha nfatt: n M Q = (P Q ) = n [( P Q) + (Q Q )] = n = M Q + (Q Q ) = (.) Se sono verfcate e condzon d equbro (.) anche sstema d forze s defnsce n equbro.

4 TRVI ISOSTTIHE 4 Ne caso trdmensonae e condzon d equbro (.) corrspondono a se equazon scaar per e component d R e M Q, mentre per un sstema pano d forze ta condzon s rducono ae tre seguent equazon scaar: n n = n = M Q = (.3) dove k è a componente dea forza nea drezone de asse k e M Q è momento dea forza rspetto ad un generco punto Q de pano sceto come poo. S not che vettore M ha drezone ortogonae a pano dee forze e Q qund paraea a asse 3. In partcoare, due forze sono n equbro se e soo se hanno o stesso moduo, a stessa retta d azone e vers oppost (). Inotre, tre forze companar sono n equbro se e rette d azone passano per uno stesso punto () e dsponendoe una d seguto a atra formano un trangoo chuso, con vers che s rncorrono (). ) ) ) Sstem equvaent d forze Due sstem d forze { } =,.., n e { j } j =,.., m s dcono equvaent se hanno stessa rsutante e stesso momento rsutante rspetto ad uno stesso poo, ad esempo punto Q, coè se: R = R M Q = M Q (.4) Se e condzon d equvaenza (.4) sono verfcate per generco poo Q, aora devono verfcars anche rspetto a quaunque atro poo. Infatt, se vagono e (.3) è face mostrare che rsuta anche M Q = M Q, comunque sceto punto Q. Infatt, procedendo come per a (.) s ottene M Q = M Q + (Q Q ) R = M Q + (Q Q ) R = M Q. Un generco sstema d forze è equvaente ad un sstema formato daa sua rsutante R, appcata n un generco punto P, e da momento rsutante M P vautato rspetto ao stesso punto.

5 TRVI ISOSTTIHE 5 Per un generco sstema pano d forze con R esste una retta, detta asse centrae, tae che momento rsutante vautato rspetto a suo punt rsuta nuo. Pertanto, sstema d forze rsuta equvaente ad un sstema formato daa soa rsutante R, appcata n un punto de asse centrae, rspetto a quae s ha M =. La drezone d R ed punto defnscono a retta d azone dea rsutante, che concde con asse centrae. Se R = s possono presentare due cas: se momento rsutante M è dverso da zero aora sstema è equvaente ad una coppa M; se anche M = aora sstema è n equbro. La rsutante R dee forze che compongono sstema s può rcavare grafcamente dsponendo tutte e forze una d seguto a atra, n ta caso R è ato che chude pogono dee forze. La retta d azone dea rsutante R d un sstema pano d forze s può determnare daa condzone che momento rsutante d tutte e forze che compongono sstema sa nuo rspetto ad un punto che appartene a tae retta, coè M =. Tae condzone permette d rcavare un punto appartenente aa retta cercata, a cu drezone è a stessa d R. ppcando a rsutante R n un quasas punto d tae retta s ottene un sstema equvaente a queo d partenza formato da una soa forza, a rsutante R...3. Rsutante d o pù forze concorrent La rsutante R d un sstema pano formato da n forze e cu rette d azone sano concorrent n uno stesso punto () è fornta da ato d chusura de pogono dee forze (). La retta d azone d R passa per o stesso punto, poché momento rsutante dee n forze rspetto a tae punto s annua. Ne caso pu frequente n cu e rette d azone dee n forze non convergono n uno stesso punto ma s ntersecano a due a due, a rsutante s può rcavare sommando a due a due e forze e sosttuendo ad esse a oro rsutante, fno a rdurs ad un'unca forza rsutante. ) ) 3 R R Rsutante d due forze paraee La rsutante R d due forze ed paraee e concord ha stessa drezone e verso dee forze e moduo R = +. La retta d azone d R è nterna ae due forze, a dstanza d da e d da, n modo che s annu momento

6 TRVI ISOSTTIHE 6 rsutante dee due forze rspetto ad un quasas punto d tae retta, coè: d d = dove d + d = d da cu: d = + d d = + d R d d d Se e forze ed sano paraee e dscord, con >, a rsutante R ha stessa drezone dee due forze, verso dea maggore ( ) e moduo par aa dfferenza R =. La retta d azone d R è esterna ae due forze daa parte dea maggore, a dstanza d da e d da, n modo che s annu momento rsutante dee due forze vautato rspetto ad un quasas punto d tae retta, coè: d d = dove d d = d Pertanto: d = d d = d R d d d Due forze paraee a dstanza d che hanno o stesso moduo e vers oppost formano una coppa, ovvero un sstema a rsutante nua (R = ) e momento rsutante costante rspetto a quasas punto de pano e par a prodotto d. Infatt, momento rsutante rspetto ad un generco punto P preso a dstanza da una dee due forze vae: P M P = (d + ) = d dove d = d d d per cu M P non dpende daa dstanza, ovvero da poo P sceto, ma è costante per tutt punt de pano...5. Rsutante d una forza ed una coppa Un sstema formato da una forza ed una coppa ha rsutante R =. La retta d azone d R è stuata a dstanza d da, tae che s annu momento rsutante dea forza e dea coppa rspetto ad un quasas suo punto, coè: d = da cu d = / d R=

7 . arch dstrbut per untà d unghezza TRVI ISOSTTIHE 7 S consder un carco dstrbuto ungo un tratto d unghezza, a cu ntenstà (varabe) sa defnta daa funzone q() per, dove Δ d q( ) = m Q Δ Δ q() e q s msura n kn/m. La rsutante de carch dstrbut ungo un tratto d O unghezza nfntesma d rsuta d dq = q() d Pertanto, a rsutante Q de carco dstrbuto ungo tratto d unghezza è Q = dq = q( ) d. Per trovare a retta d appcazone d Q s eguaga momento dea rsutante Q, appcata a dstanza d ncognta da O, a momento rsutante de carco dstrbuto q() rspetto a orgne O de asse Q d = q ( ) d da cu d = q( ) d Q d esempo, per un carco unformemente dstrbuto q() = q = cost, come nea prma fgura sottostante, s ha: Q = q d = / mentre per una dstrbuzone neare d carco q() = q /, come nea seonda fgura, s ha: Q = q d = 3 d = / Q = q d = /3 Q = q / q q q() = q q() = q /

8 .3 Eement d cnematca de corp rgd TRVI ISOSTTIHE 8 Durante moto d un corpo rgdo due punt quasas de corpo devono mantenere nvarata a oro dstanza. S consderno ad esempo punt P e P d un corpo rgdo dstant uno da atro. In seguto ad un moto rgdo ne pano -, ta punt s spostano nea poszone ndvduata da punt P e P sempre a dstanza tra oro. P ϕ P P u Indcando con u = P P e u = P P s ha P u u = (P P ) + (P P ) + (P P) = u + (Q I)(P P ) poché P P = Q (P P ) = Q (P P ) dove Q è a matrce d rotazone d un angoo ϕ, postvo se antoraro, attorno a asse 3. cosϕ sn ϕ ϕ Q = sn ϕ cosϕ ϕ Per rotazon ϕ nfntesme s ha cos ϕ e sn ϕ ϕ. Indcando po con W a matrce antsmmetrca W = Q I ϕ ϕ s ottene a seguente reazone tra g spostament nfntesm u ed u d due generc punt P e P d un corpo rgdo durante un moto rgdo d ampezza nfntesma u = u + W (P P ) Utzzando prodotto vettorae con vettore ϕ = (,, ϕ) tae reazone può anche scrvers u = u + ϕ (P P ) poché a reazone Wa = ϕ a rsuta verfcata per quasas vettore a. P

9 TRVI ISOSTTIHE 9 Pertanto, un generco moto rgdo d ampezza nfntesma d un corpo può suddvders nea somma d una trasazone par ao spostamento d un generco punto P pù a rotazone nfntesma de corpo attorno a punto P. Se s consderano anche e rotazon attorno ag atr ass, raccote ne vettore ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ 3 ), a precedente reazone vae anche ne caso d un moto rgdo neo spazo 3D. La precedente reazone segue anche da equazone d Posson, studata n meccanca razonae, che ega e veoctà v e v d due generc punt P e P d un corpo rgdo durante un atto d moto d rototrasazone v = v + ω (P P ) dove ω è vettore che raccoge e veoctà angoar de corpo attorno ag ass de sstema d rfermento cartesano. Indcando con u e u g spostament de punt P e P e con ϕ vettore che raccoge e rotazon de corpo attorno ag ass, a reazone d Posson può anche scrvers du u = dt dt d dϕ + (P P ) dt Motpcando tae reazone per dt e consderando spostament e rotazon nfntesm s ottene a reazone tra g spostament nfntesm u ed u d due generc punt P e P d un corpo rgdo durante un atto d moto rgdo: u = u + ϕ (P P ) = u + W (P P ) dove W è a matrce antsmmetrca assocata a vettore ϕ, ovvero: ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ 3 ) W = ϕ 3 ϕ ϕ ϕ 3 ϕ ϕ u Q Q u P P P u P P P u P P 3 P u u u u R P u R P u P = u P ϕ u P = ϕ (P P )

10 Grad d bertà TRVI ISOSTTIHE I grad d bertà g d un sstema meccanco sono numero d parametr necessar e suffcent per descrverne a confgurazone. In partcoare, un corpo rgdo neo spazo trdmensonae ha g = 6 grad d bertà, par a numero dee equazon d equbro. Note, nfatt, e 3 component de vettore spostamento u d un generco punto P, defnto poo, e e rotazon attorno a 3 ass raccote ne vettore ϕ, a formua d Posson fornsce o spostamento d quasas atro punto P de corpo durante un moto rgdo d ampezza nfntesma, coè tae per cu g spostament e e rotazon possano consderars nfntesm..3.. Mot pan I grad d bertà g d un corpo rgdo vncoato a muovers ne pano - s rducono a 3: e component u e u de vettore spostamento u e a rotazone ϕ = ϕ 3 de corpo attorno a asse 3. In ta caso, vettore rotazone dventa ϕ = (,, ϕ). nche n questo caso g è par a numero dee equazon d equbro. Un sstema pano formato da n corp rgd ha g = 3 n grad d bertà e per esso s possono scrvere 3 n equazon d equbro, ovvero 3 per cascun corpo. entro d stantanea rotazone Durante un moto rgdo pano d ampezza nfntesma esste un punto de pano attorno a quae avvene movmento d rotazone de corpo. Tae punto, defnto centro d stantanea rotazone (c..r.), è unco punto de pano che non subsce spostament. Esso non appartene necessaramente a corpo. La sua poszone è ndvduata daa condzone u = u + ϕ ( P ) = ha Premotpcando vettoramente tae reazone per vettore rotazone ϕ s ϕ u ϕ ( P ) = da cu s ottene a poszone de centro d stantanea rotazone: P = ϕ u ϕ S osserv che è ortogonae a vettor ϕ e u, per cu è stuato ne pano de moto sua retta passante per P ed ortogonae a vettore veoctà de punto P. Se s scege come poo (P = ) s ha u = u = e qund u = ϕ (P ) per cu u = ϕ P

11 TRVI ISOSTTIHE poché vettor ϕ e P rsutano ortogona. I vettore P appartene nfatt a pano de moto e de corpo, mentre vettore rotazone ϕ rsuta ortogonae a tae pano. Un generco punto P de corpo subsce qund uno spostamento ne pano n drezone ortogonae aa congungente punto stesso con c..r. e d ampezza proporzonae aa dstanza tra punto ed c..r. Pertanto, se è nota a drezone deo spostamento d un punto de corpo aora c..r. deve trovars necessaramente sua retta ortogonae a tae drezone, passante per punto stesso. Se s conoscono e drezon deg spostament d due punt de corpo aora s può ndvduare c..r. da ntersezone dee due rette corrspondent.

12 TRVI ISOSTTIHE. LE TRVI G eement che compongono una struttura vengono defnt trav, pastre (o astre) e vote (o gusc), secondo a geometra ed, n partcoare, rapporto tra e dmenson. Le ezon che seguono s concentreranno essenzamente su un unco tpo d strutture, quee formate da trav. Lo studo dea trave sarà tuttava preceduto da fondament dea meccanca de sod trdmensona. Tae mpostazone generae costtusce anche presupposto per affrontare o studo d atre tpooge struttura, qua e pastre, e astre, gusc, e cupoe e, n generae, sod trdmensona. G La trave è un sodo d forma aungata avente una dmensone prevaente sue atre due. La trave s può pensare generata da movmento d una fgura pana d area, cu barcentro G percorra una nea ortogonae a pano dea stessa fgura. La fgura pana rappresenta a sezone trasversae dea trave, mentre a nea descrtta da barcentro G s defnsce asse geometrco dea trave e s assume d unghezza prevaente rspetto ae dmenson dea sezone. Da questa defnzone nascono pù cassfcazon per a trave a seconda che a sezone s mantenga costante (trave prsmatca) oppure var a sua forma (trave a sezone varabe) n genere con contnutà. S para d trave pana se a nea d asse è una curva pana, d asta se asse è rettneo. S possono notre avere trav spaza, trav curve (arch, trav ad aneo, trav ecoda, ecc). on termne teao s ndca a composzone d pù aste n una struttura pana. Neg schem struttura, a trave vene rappresentata dsegnando sempcemente a sua nea d asse ed a parte, quando occorre, a sezone, che può assumere forme dverse n base a materae con cu è reazzata a trave ed a mpego a cu vene destnata. D seguto vengono rportat acun tp d sezon comunemente mpegate ne ngegnera strutturae

13 TRVI ISOSTTIHE 3 sezon compatte sezon aperte d spessore sotte sezon chuse o tuboar (accao, egno, ecc..) (profat metac) I profat metac a doppo T (o ad I) ad a strette (IPE) o ad a arghe (HE) trovano argo mpego nee costruzon cv e meccanche. I numero che segue a sga ndca atezza H dea sezone n mm (8,,,, 6). De prof HE vengono reazzate e sere aeggerta (), normae () e rnforzata (M), caratterzzate da spessor crescent. b=h/ = H H IPE HE (,,M) Ne ngegnera strutturae vengono utzzat anche acun tp d prof sott format a freddo. S tratta d eement ottenut formando a freddo una amera d accao, attraverso procedment d stampaggo o d amnazone

14 TRVI ISOSTTIHE 4.. Vnco e reazon vncoar I vnco condzonano numero d grad d bertà de corpo a cu sono appcat o, pù n generae, d un sstema meccanco. In base a numero d grad d bertà che sottraggono, s possono cassfcare n vnco sempc, dopp o trp. S possono notre suddvdere n estern od ntern a sstema, se sottraggono de grad d bertà ad un soo corpo o mettono n reazone grad d bertà d due o pù corp; puntform o contnu se appcat n un soo punto de corpo oppure ungo una nea o una superfce contnua batera o monoatera se mpedscono movmento n un soo verso o n entramb vers; sc o con attrto, se movment consentt da vncoo avvengono beramente o subscono un mpedmento parzae; fss o cedevo se mpedscono movmento o o mtano ad un vaore assegnato; I vnco che consdereremo sono puntform, batera e prv d attrto. cascuna componente d movmento (spostamento o rotazone) mpedta da vncoo corrsponde un azone (forza o coppa) eserctata da vncoo su corpo, denomnata reazone vncoare... Vnco sempc I carreo è un vncoo sempce n grado d mpedre a trasazone de punto P n cu vene appcato nea drezone ortogonae a suo pano d scorrmento (g. ), sottraendo qund un soo grado d bertà ad un corpo rgdo. Tae vncoo consente, nvece, a trasazone nea drezone d scorrmento e a rotazone de corpo attorno a P. Pertanto, se pano d scorrmento è ncnato d un angoo α rspetto aa drezone de asse, a condzone d vncoo mposta da carreo è: u = u tg α In partcoare, per α = s ha u =, mentre per α = 9 s ha u =. S osserv che corpo può soo subre una rotazone attorno ad un quasas punto de asse de carreo, che rappresenta centro d stantanea rotazone (c..r.).

15 TRVI ISOSTTIHE 5 Per mpedre a componente d spostamento carreo è n grado d reagre con un forza R a cu retta d azone passa per punto P n cu è appcato ed ha a stessa drezone deo spostamento mpedto. L ntenstà ed verso dea reazone vncoare R dpendono dae forze attve appcate a corpo. La bea o pendoo è un vncoo sempce costtuto da un asta ncernerata ae estremtà (g. ). Tae vncoo è equvaente a carreo ne ambto d spostament nfntesm, ta coè da poter confondere un arco d cercho con a tangente. R R u u P α P c..r. g. g. c..r... Vnco dopp La cernera è un vncoo doppo che mpedsce o spostamento de punto P n cu vene appcata (g. 3), ovvero: u = u = Tae vncoo sottrae due grad d bertà a corpo rgdo cu vene appcato, consentendo sotanto a rotazone ne pano attorno a punto P, che rappresenta qund centro d stantanea rotazone. Per mpedre o spostamento de punto P a cernera è n grado d reagre con un forza R, d component R ed R secondo un sstema d ass ortogona, a cu retta d azone passa per P. L ntenstà, a drezone ed verso dea reazone vncoare R dpendono dae forze attve appcate a corpo. nche ncastro scorrevoe, o doppo pendoo, è un vncoo doppo che mpedsce a rotazone e a trasazone nea drezone deg ass de pendo de punto P (g. 4), ovvero u = u tg α ϕ =

16 TRVI ISOSTTIHE 6 Tae vncoo, appcato ad un corpo rgdo, consente soo a trasazone deo stesso nea drezone ortogonae ag ass dee bee. Pertanto, centro d stantanea rotazone è punto mpropro (a nfnto) nea drezone deg ass dee bee. Per mpedre a rotazone e o spostamento de punto P nea drezone deg ass de pendo, doppo pendoo reagsce con un coppa ed una forza R che ha a stessa drezone deo spostamento mpedto. La retta d azone dea rsutante d ed R n generae non passa per P, ma ad una dstanza d = /R da P. Le ntenstà ed vers d ed R dpendono dae forze attve appcate a corpo. R u c..r. c..r. P P R α g. 3 g. 4 R..3 Vncoo trpo Infne, ncastro è un vncoo trpo che non consente acun movmento de punto P n cu vene appcato, sottraendo qund 3 grad d bertà de corpo rgdo ne pano (g. 5), per cu: u = u = ϕ = Pertanto, non esste acun centro d stantanea rotazone per corpo. Per mpedre quasas movmento de punto P ncastro è n grado d reagre con un coppa ed una forza R d component R ed R. Le ntenstà ed vers d, R ed R dpendono dae forze appcate a corpo. R R P g. 5

17 TRVI ISOSTTIHE 7..4 Motepctà d vncoamento e grad d bertà soppress on m s ndca a motepctà d vncoamento, par aa somma de numero d vnco sempc appcat a corpo e qund anche a numero dee component d reazone vncoare. I numero d grad d bertà soppress da vnco s può essere dverso daa motepctà m se vnco vengono ma dspost, come ne caso n cu due vnco sopprmono g stess grad d bertà de corpo. Due bee appcate ad un corpo rgdo, con ass non concdent, equvagono ad una cernera deae appcata ne punto d ntersezone de oro ass (g. 6a). Ne caso n cu e bee sano paraee (g. 6b), sodo può trasare nea drezone ortogonae ag ass dee bee, ovvero può ruotare attorno a punto mpropro nea drzone deg ass dee bee. In ta caso, e due bee sono equvaent ad un doppo pendoo. Infne, due bee o due carre dspost suo stesso asse (g. 6c) sottraggono un soo grado d berta a corpo, che è n grado d ruotare attorno ad un punto quasas de asse comune e qund anche d trasare nea drezone ortogonae a tae asse. Tre bee (o tre carre) appcate ad un corpo rgdo, con ass non concorrent n uno stesso punto sottraggono tre grad d berta d un corpo rgdo (g. 7a). Ne caso n cu tre ass sano concorrent n uno stesso punto, corpo può ancora ruotare attorno a tae punto (g. 7b). Se punto è mpropro corpo può trasare nea drezone ortogonae ag ass (g. 7c). c..r m = s = c..r. m = s = g. 6a g. 6b g. 6c c..r c..r m = s = m = 3 s = 3 m = 3 s = c..r. m = 3 s = g. 7a g. 7b g. 7c

18 ..5 Vnco ntern per sstem format da pù corp TRVI ISOSTTIHE 8 Per un sstema meccanco formato da n corp rgd, numero gobae d grad d bertà è g = 3 n. In questo caso è possbe dstnguere tra vnco estern e vnco ntern. Quest utm coegano tra oro due o pù corp e ne mpedscono acun movment reatv, eserctando tra corp coegat dee reazon vncoar mutue, coè ugua ed opposte. Per un vncoo nterno che coega due corp, s defnsce centro d rotazone reatvo (c.r.r.) punto attorno a quae può ruotare uno de due corp quando atro rmane mmobe e s consdera a presenza de soo vncoo nterno. Una bea nterna ntroduce un grado d vncoamento (m = ), mpedendo o spostamento reatvo nea drezone de suo asse de punt che coega. d esempo, per punt e coegat da una bea orzzontae (g. 8a), s ha: u = u Per mpedre tae spostamento reatvo, due corp s trasmettono attraverso a bea una forza mutua R a cu retta d azone concde con asse dea bea. I c.r.r. può essere un punto quasas su tae asse. Una cernera nterna ntroduce due grad d vncoamento (m = ), mpedendo o spostamento reatvo de punt e che coega (g. 8b), coè: u = u u = u Per mpedre tae spostamento reatvo, due corp s trasmettono attraverso a cernera una forza mutua R, d component R ed R, a cu retta d azone passa per punto n cu è dsposta a cernera ( ), che concde con c.r.r. nche un doppo pendoo nterno ntroduce due grad d vncoamento (m = ), mpedendo sa o spostamento reatvo nea drezone deg ass de pendo de punt che coega che a rotazone reatva (g. 8c), coè: u = u ϕ = ϕ Per mpedre ta movment reatv, due corp s trasmettono attraverso doppo pendoo una forza R avente a stessa drezone deo spostamento mpedto ed una coppa mutue. La retta d azone dea rsutante n generae non passa per punto n cu è appcato, ma ad una dstanza d = /R da esso. I c.r.r. è punto mpropro (a nfnto) nea drezone deg ass dee bee. R R c.r.r. R R R R c.r.r. c.r.r. g. 8a g. 8b g. 8c

19 .3.6 ernere che coegano pù d due corp TRVI ISOSTTIHE 9 Una cernera nterna che coega punt, e d 3 corp (g. 9) ntroduce e seguent condzon sug spostament de punt coegat: u = u u = u a cu corrsponde una motepctà d vncoamento m = 4. Da punto d vsta statco, cascun corpo scamba con a cernera una forza mutua a cu retta d azone passa per a cernera. ffnché a cernera rsut n equbro, a somma vettorae d tutte e forze che a cernera trasmette a corp deve annuars. In generae, una cernera nterna che coega punt,,, N d n corp ntroduce e seguent m = (n ) condzon d vncoamento: u = u u = u u = N u Se un vncoo è a tempo stesso sa nterno che esterno, a corrspondente motepctà d vncoamento va cacoata tenendo conto d entramb g effett espcat (g. ). m = 4 m e = m = m = m e + m = 4 g. 9 g. I numero mnmo d vnco necessaro per mpedre att d moto rgdo ad un sstema meccanco formato da n corp rsuta par a numero de suo grad d bertà, coè m = g = 3n come ne sstema n g.. Tuttava anche ne caso d sstem format da pù corp, vnco possono essere ma dspost. In ta caso, anche se è verfcata a condzone m = g = 3n s ha s < g, coè sstema conserva ancora a possbtà d effettuare deg att d moto rgdo, come per sstem nee g. a, b. g = m = s = 9 g = 6 m = 6 s = 5 g = 6 m = 6 s = 5 g. g. a g. b

20 TRVI ISOSTTIHE Per controare se sstema d vncoamento è effcace s può far rfermento a seguent teorem dee catene cnematche I teorema: NS affnché sa possbe un atto d moto rgdo per un sstema meccanco formato da due corp è che due c..r. ed c.r.r. sano aneat. II teorema: NS affnché sa possbe un atto d moto rgdo per un sstema meccanco formato da tre o pù corp è che per ameno una terna d corp che compongono sstema tre c.r.r. sano aneat. S osserv che a condzone de I teorema rsuta verfcata per sstem nee g. a, b. Infatt, ne caso d g. a e due cernere esterne (c..r.) e quea nterna (c.r.r.) rsutano aneate, mentre ne caso d g. b e due cernere esterne (c..r.) rsutano aneate con c.r.r. de vncoo nterno, che concde con punto mpropro nea drezone orzzontae, a stessa ndvduata dae due cernere. In ta caso sstema s defnsce abe. Lo studo de sstem ab (catene cnematche) vene approfondto ne ambto de corso d Meccanca appcata ae macchne, mentre a Scenza dee costruzon s nteressa d sstem meccanc n condzon d equbro..6 anco de vnco Un sodo o, pù n generae, un sstema meccanco s defnsce: abe se s < g, coè se vnco non sopprmono tutt grad d bertà de sstema. on = g s s ndca grado d abtà de sstema. In ta caso, esste ameno un sstema d forze attve che vnco non rescono ad equbrare (g.3a). Per tae sstema d forze equbro è mpossbe ed corpo s metterà n movmento. Per que partcoar sstem d forze attve per qua equbro rsuta possbe, probema s defnsce statcamente determnato (g. 3b), n quanto bastano e soe equazon d equbro per determnare e reazon vncoar. g = 3 m = s = R= g. 3a g. 3b sostatco se m = g = s, coè se vnco sono n numero strettamente necessaro per sopprmere tutt grad d bertà de sstema (m = g) e sono anche ben dspost (m = s). In ta caso, e component d reazone vncoare

21 TRVI ISOSTTIHE ncognte corrspondent ae condzon d vncoo sono par a numero dee equazon d equbro e possono percò essere determnate n modo unvoco, ovvero, vnco sono n grado d svuppare uno ed un so sstema d reazon vncoar capace d fare equbro ae forze attve (g.4). Pertanto, quaunque sa sstema d forze attve, probema rsuta sempre statcamente determnato. g = m = s = 3 g. 4 perstatco se m > g = s, coè se che e component d reazone vncoare sono n numero (m) superore a queo dee equazon d equbro (g). In ta caso, vnco sono n grado d svuppare nfnt sstem d reazon vncoar tutt att ad equbrare sstema d forze attve (g.5). Se con = m g s ndca grado d perstatctà de sstema, s può pensare nfatt d fssare ad arbtro un numero d component d reazone vncoare ncognte e rcavare e rmanent g ncognte dae equazon d equbro. In ta caso, probema rsuta statcamente ndetermnato ed grado d ndetermnazone è msurato da numero d reazon vncoar eccedent queo dee equazon dsponb, che ammettono qund souzon. g = s = 3 m = g = 3 m = 4 s = g. 5 g. 6 S osserv che sodo n g 6 rsuta abe (s < g) e, nfatt, per sstema d forze attve costtuto daa soa equbro è mpossbe, poché vnco non possono fornre acuna componente d reazone vncoare n drezone orzzontae. Tuttava, vnco sono n grado d svuppare sstem d reazon vncoar tutt att ad equbrare sstema d forze attve costtuto daa soa. In ta caso, probema rsuta statcamente ndetermnato.

22 TRVI ISOSTTIHE Le reazon vncoar d un sstema meccanco soggetto ad assegnate forze attve sono n genere ncognte. Per probem statcamente determnat e reazon vncoar s possono determnare mponendo equbro d tutte e forze, sa forze attve che reazon vncoar. Prma d procedere a cacoo dee reazon vncoar occorre stabre se probema è n effett statcamente determnato, controando che non s tratt nvece d una struttura perstatca. In ta caso, potes d corpo rgdo rende ndetermnato probema, che può rsovers soo tenendo conto dea deformabtà de corp. Per questo motvo o studo dea Scenza dee ostruzon è basato sua meccanca de sod deformab. La conoscenza dee deformazon po è ute a fn dea verfca dea funzonatà dea struttura e consente que rscontr spermenta che s effettuano n sede d coaudo..7 acoo dee reazon vncoar per va anatca. Per effettuare cacoo dee reazon vncoar s sosttuscono a vnco, sa ntern che estern, e corrspondent m component d reazone vncoare ncognte, con vers d tentatvo. corp coegat da vnco ntern s appcano dee reazon vncoar mutue, coè ugua ma con verso opposto. S scrvono qund g equazon d equbro, due aa trasazone ed una aa rotazone attorno ad un poo, sceto arbtraramente, per cascun corpo n cu vene suddvsa a struttura. Poché per strutture sostatche s ha m = g, sstema formato dae equazon d equbro fornsce vaor d tutte e reazon vncoar ncognte con verso corretto, contraro a queo potzzato se segno è negatvo. h h H V V h/ h/ H + = V + V = V h = da cu s ottengono e reazon vncoar V = h/ H = V = h/

23 TRVI ISOSTTIHE 3 S osserv che sotto azone de carch, a trave non s comporta esattamente come un corpo rgdo, ma tende a deformars e equbro s reazza nea confgurazone deformata (). Poché e component d movmento dpendono da carch e sono ncognte a pror, e condzon d equbro costturebbero un probema non-neare d dffce souzone (s osserv che s modfcano bracc dee forze). Tuttava, poché o studo de sstem d trav vene effettuato ne ambto de potes d spostament e deformazon nfntesme, rsuta possbe vautare e condzon d equbro drettamente sua confgurazone ndeformata (), come per corp rgd, e rcavare e reazon vncoar attraverso a souzone d un sstema agebrco neare. ) P ) H V / / P α H P cos α = V + V P sn α = V (P sn α) / = V In ta caso, per cacoo dee reazon vncoar nee strutture sostatche vae prncpo d sovrapposzone deg effett. D atra parte, a determnazone dee reazon vncoar nee strutture perstatche dpende anche da comportamento meccanco de materae. Ne caso n cu tae comportamento sa d tpo non-neare s perde a possbtà d sovrapporre g effett ndott da carch dvers. Ne presente corso, tuttava, s farà rfermento escusvamente ad un comportamento de materae d tpo eastco neare... acoo dee reazon vncoar n sempc trav sostatche a) V P V H = V + V P = H a b V Pa = (poo ) dove = a + b. Qund: V = Pb/ V = Pa/ Se P agsce a metà dea trave (a = b = /) aora V = V = P/. Se P agsce su (a =, b = ) aora V = P e V =.

24 TRVI ISOSTTIHE 4 b) H q H = V + V q = V q / = (poo ) V V qund: V = V = q/ fn de cacoo dee reazon vncoar nee strutture sostatche, ae forze che agscono su cascun corpo è possbe sostture a oro rsutante. Ne caso n fg. b), è possbe sostture a carco dstrbuto q ungo tratto d unghezza a rsutante Q = q appcata ad /. Le reazon vncoar s possono pertanto rcavare utzzando a souzone de caso a). c) M V P H = V P = H M P = (poo ) qund: V = P M = P d) M H V q H = V q = M q / = (poo ) qund: V = q M = q /

25 TRVI ISOSTTIHE 5 e) H V R 3 3 / P H R sn 3 = V R cos 3 + P = V P/ = (poo ) qund: V = P/ H = 3 P/ R = 3 P f) R 3 P 6 R Q P cos 6 = R + R P sn 6 = R /cos 3 P/ = qund: () Q / / Q = P/ R = R = 3 P/4 g) / / H [ q ] H = V + V q/ = V q /8 = (poo ) V V qund: V = 3q/8 =.375 q V = q/8 =.5 q

26 .. zon nterne TRVI ISOSTTIHE 6 S consder una trave n equbro sotto carch { },, n e e reazon vncoar = R e n+ = R. 3 = R 4 = R In condzon d equbro, sstema d forze agent sua trave verfca e equazon cardna dea statca 4 = 4 M = () dove M è momento dea forza rspetto a barcentro dea sezone, sceto come poo per vautare moment d tutte e forze. S pens d suddvdere a trave attraverso un tago effettuato secondo una generca sezone ndvduata da'ascssa corrente ungo a trave da verso. In questa stuazone è evdente che sstem d forze appcat a cascuna dee due part non rsutano pù n equbro. Per rprstnare equbro d cascuna parte è necessaro appcare ae due superfc ottenute sezonando a trave e azon mutue che e due part s trasmettevano attraverso a sezone quando erano unte. Ta azon, costtute daa forza R appcata ne barcentro dea sezone e da momento M vautato rspetto a barcentro, mantengono n equbro cascuna dee due part e vengono defnte azon nterne, R M R M 3 In condzon d equbro, sstema d forze agent su tratto deve verfcare e condzon + R = 4 M + M = () anaogamente per sstema d forze agent su tratto deve avers 4 + R = 4 M + M = (3)

27 TRVI ISOSTTIHE 7 Sommando e equazon () e (3) ed utzzando e condzon d equbro per tutta a trave s ottene R + R = M + M = Pertanto, e azon nterne scambate tra e due part d trave attraverso a generca sezone sono mutue, coè ugua ed opposte, rsutando R = R e M = M n accordo con prncpo d azone e reazone. S ha notre 4 R = R = M = M = M Per cu e azon nterne R ed M agent sua sezone de tratto (che precede a sezone ) non sono atro che a rsutante de sstema d forze esterne e reazon vncoar che agscono su tratto (che segue a sezone ) ed oro momento rsutante vautato rspetto a barcentro dea sezone. naogamente, e azon nterne R ed M agent sua sezone de tratto sono a rsutante ed momento rsutante d tutte e forze che agscono su tratto che precede a sezone consderata, ovvero R = R = 4 M = M = M Per trav pane carcate ne oro pano, a forza R s può decomporre n una componente N dretta secondo a normae aa sezone ed una componente T ortogonae a asse dea trave, defnte rspettvamente sforzo normae e sforzo d tago. I momento M vautato rspetto a barcentro dea sezone vene defnto momento fettente. Le component N, T ed M de azone nterna vengono anche defnte caratterstche dea soectazone. Per segn dee caratterstche dea soectazone, s assume: N > se uscente da materae (trazone), ovvero N < se entrante ne materae (compressone); T > se fa ruotare n senso oraro materae a cu è appcato; M > se tende e fbre a destra de ascssa corrente ungo a trave (ovvero quee nferor per che va da verso ). M N T T N M

28 ... acoo dee caratterstche dea soectazone TRVI ISOSTTIHE 8 Per una struttura aperta, note e reazon vncoar, e qund tutte e forze ad essa appcate, è possbe cacoare e caratterstche dea soectazone nea generca sezone, ndvduata daa ascssa, attraverso due procedment equvaent. S osserv che o sforzo normae N e o sforzo d tago T nea sezone, agent sua matera che precede a sezone, corrspondono ae component n drezone normae e tangente aa sezone dea rsutante d tutte e forze che agscono ne tratto che segue a sezone. Smmente, momento fettente M concde con momento rsutante dee stesse forze, cacoato rspetto a barcentro dea sezone, ovvero con rfermento aa fgura sottostante: 4 N = N 4 T = T 4 M = M R = M N R = 4 T 3 dove s sono consderat vers postv dee caratterstche dea soectazone N, T ed M appcate aa matera che precede a sezone. Le stesse azon nterne, pensate agent sua matera che segue a sezone, s possono cacoare con e forze che agscono prma dea sezone consderata, ovvero ne tratto (pù convenente se n mnor numero). Occorre però tener presente che n questo caso s nvertono vers postv dee caratterstche dea soectazone appcate aa matera che segue a sezone: N = N T = T T 3 M = M R = R = 4 N M dove s sono consderat vers postv dee caratterstche dea soectazone appcate aa matera che segue a sezone.

29 TRVI ISOSTTIHE 9... Esemp d cacoo dee azon nterne n sempc trav sostatche a) ( < < a): a b N() = T() = Pb/ M() = Pb/ Pb/ [ P ] Pa/ (a < < ): N() = T() = Pa/ a M() = P ( ) T) M) Pab/ + Pb/ Pa/ b) ( < < ): N() = q T() = q q q M() = q q q T) M) + [ q 8 q q c) P P ( < < ): N() = P ] T() = P T) P + M() = P( ) M) P

30 TRVI ISOSTTIHE 3 d) ( < < ): N() = q q ] q T() = q ( ) T) q + M() = q ( ) M) q f) / / P 3 4 P 3 6 P/ 3 4 P 3 4 P P/ N) + T) P/4 M) ( < < / 3 ): ( < < / 3 ): N() = P N() = T() = 4 3 P T() = 4 3 P M() = 4 3 P M() = 4 3 P

31 TRVI ISOSTTIHE 3 f) ( < < ): N() = 3 P / T() = P/ M() = P / ( < < /): N() = T() = P M() = P (/ ) 3 P T) P/ M) P/ [ 3 P ] 3 / N) 3 P/ + P/ P P g) ( < < /): N() = T() =.375 q q M() =.375 q q / (/ < < ): N() = T() =.5 q M() =.5 q ( ).375 q T) M) [.375 q + / / q ].5 q.63 q.7 q.5 q

32 TRVI ISOSTTIHE 3.3 Equazon ndefnte d equbro per e trav rettnee In condzon d equbro, cascuna parte dea trave deve rsutare n equbro sotto azone dee forze esterne e dee azon nterne trasmesse attraverso e sezon che demtano a parte consderata. In partcoare, se s vautano e condzon d equbro per un eemento nfntesmo d trave rettnea d unghezza d s ottengono dee reazon dfferenza tra e component de azone nterna ed carch dstrbut agent ungo a trave. [ ] d q() N M T q d M+dM N+dN d T+dT ovvero N + dn N = T + dt T + q d = M + dm M T d = N = cost dt = q d dm = T d Ta reazon prendono nome d equazon ndefnte d equbro per e trav ad asse rettneo. Dae utme due equazon s rcava d d M = q La dervata de momento fettente concde qund con tago, mentre a dervata de tago concde, a meno de segno, con carco dstrbuto q(), che a sua vota è a dervata seconda de momento fettente, cambata d segno. D conseguenza, momento fettente ha un massmo o un mnmo n corrspondenza dea sezone n cu s annua tago. Inotre, se carco è dretto verso basso a concavtà de dagramma de momento fettente è sempre rvota verso ato, e vceversa. Vagono qund e reazon rportate nea seguente tabea. q T M nuo costante neare costante neare paraboco neare paraboco cubco

33 TRVI ISOSTTIHE 33 Nee sezon n cu sono appcate dee forze o dee coppe concentrate s ha una dscontnutà dee azon nterne. Infatt, da equbro d un eemento nfntesmo d trave su cu agsce un azone concentrata s ha P Q M M N N T T N N = Q T T = P M M = Lo studo dee azon nterne va qund eseguto separatamente per cascun tratto n cu queste varano con contnutà, compreso qund tra due sezon n cu agscono forze o coppe concentrate (sa reazon vncoar che forze assegnate) o s ha una dscontnuta de carco dstrbuto..3. cune propretà de dagramm de tago e de momento fettente Per factare traccamento (e controo) de dagramm d tago e momento fettente, s può far uso dee seguent propretà: ne tratt n cu non agscono carch trasversa dagramma de tago è costante e queo de momento è neare; ne tratt n cu agscono carch trasversa unformemente dstrbut dagramma de tago è neare e queo de momento è paraboco; n corrspondenza d una forza trasversae concentrata dagramma de tago presenta una dscontnutà (par aa forza stessa) e queo de momento camba pendenza, ma rmane contnuo; n corrspondenza d una coppa concentrata dagramma de tago non vara e queo de momento presenta una dscontnutà (par aa coppa stessa); n corrspondenza deg appogg d estremtà e dee cernere dagramma de momento s annua (a meno che non sano appcate coppe concentrate).

34 TRVI ISOSTTIHE 34.4 acoo dee reazon vncoar nee strutture con vnco ntern I numero dee component dee reazon vncoar sa nterne che esterne nee strutture sostatche, par aa motepctà d vncoamento m = m e + m, eguaga queo dee equazon d equbro, par a g. I oro cacoo s può effettuare secondo uno de seguent procedment: ) anas statca S suddvde a struttura nee sue n part rmuovendo tutt vnco, sa ntern che estern, e sosttuendo ad ess e corrspondent reazon vncoar ncognte, prese nzamente con vers arbtrar. In base a prncpo d azone e reazone, e reazon de vnco ntern vanno consderate con vers mutu. Per cascuna parte d struttura s scrvono e 3 equazon d equbro n modo da ottenere un sstema d m = g = 3n equazon near nee ncognte cercate. I segno ottenuto n souzone determna verso dee reazon vncoar. q g = 6 m e = 4 m = M q H H q H V V V V Le equazon d equbro per due tratt fornscono: H + H = H = V V q = V + V q = ) M V + q / = ) V q / = da cu s rcavano e m reazon vncoar sa esterne che nterne H = H = V = V =.5 q V =.5 q M = q

35 TRVI ISOSTTIHE 35 Ne caso sa presente un doppo pendoo nterno n s ha: M H q g = 6 m e = 4 m = V V M q H H q H V M M V Le equazon d equbro per due tratt fornscono: H + H = H = V q = V q = ) M + M V + q / = ) V q / M = da cu s rcavano e m reazon vncoar sa esterne che nterne H = H = V = V = q M = M = q / Per determnare e component de azone nterna nee strutture sostatche aperte è, tuttava, suffcente conoscere e soe reazon vncoar esterne, rducendo qund numero dee ncognte da m ad m e. ta fne è convenente mpegare metodo presentato ne paragrafo seguente.

36 TRVI ISOSTTIHE 36 ) metodo dee equazon d equbro ausare (e.e.a) S sosttuscono soo a vnco estern e corrspondent m e component d reazone vncoare, con vers d tentatvo. Per determnare ta ncognte s scrvono 3 equazon d equbro gobae (e.e.g.) per ntera struttura e s cercano m e 3 equazon d equbro ausare (e.e.a.) attraverso e qua s rchede rspetto dee condzon statche mposte da vnco ntern. In partcoare, cascuna equazone ausara corrsponde aa condzone d equbro per una dee due part n cu vncoo nterno suddvde a struttura, rspetto aa azone (forza o momento) non trasmessa da vncoo nterno. S ottene così un sstema d m e equazon near nee m e component ncognte dee soe reazon vncoar esterne H H H H H H V m e = 4 V V m e = 4 V V M m e = 5 V 3 e.e.g. + e.e.a. 3 e.e.g. + e.e.a. 3 e.e.g. + e.e.a. M = (o M = ) V = (o V = ) M = (o M = ) V = (o V = ) dove M ndca momento d tutte e forze che agscono ungo tratto vautato rspetto a barcentro dea sezone e V ndca a componente vertcae dea rsutante d tutte e forze che agscono ungo tratto S not che è sempre possbe scrvere due dverse e.e.a., una per cascuna parte n cu a struttura vene suddvsa da vncoo nterno. Tuttava, una dee due e.e.a. rsuta sovrabbondante, poché nearmente dpendente da atra e dae e.e.g. È qund suffcente scrvere asseme ae e.e.g. una soa dee due e.e.a. possb o, n atenatva, sostture a posto d una dee e.e.g. atra e.e.a. La possbtà d scrvere due e.e.a. per cascun vncoo nterno fornsce una prezosa possbtà ute per a verfca ed controo de rsutat ottenut daa souzone dee equazon d equbro.

37 TRVI ISOSTTIHE 37 Ne caso dea prma struttura studata a punto ) s ha g = 6, m e = 4, m = : M H.5 q T q V + V - q.5 q e.e.g.(3): H = V + V q = M + V q = e.e.a. (m e 3 = ): M = V q / = M q /8 da cu s rcavano e reazon vncoar esterne H = V =.5 q V =.5 q M = q suffcent per determnare e component de azone nterna ungo a struttura. Ne caso sa presente un doppo pendoo nterno n s ha g = 6, m e = 4, m = : M H T M q V + q / - V q q e.e.g.(3): H = V + V q = M + V q = e.e.a. (m e 3 = ): V = V q = da cu s rcavano e reazon vncoar esterne H = V = q V = q M =.

38 TRVI ISOSTTIHE 38 D / [ / E q La struttura n fgura è smmetrca ed è carcata smmetrcamente, per cu anche e reazon vncoar e e azon nterne rspetteranno e condzon d smmetra. Pertanto, s può assumere Ä H V H V Ä H = H = H V = V = V L e.e.g. n drezone vertcae fornsce V = q/ mentre e atre due e.e.g. sono dentcamente verfcate per quasas vaore d H. Per determnare H è necessaro scrvere una e.e.a., fornta daa cernera nterna n : M = H + V/ q /8 = da cu H = q/8 Note e reazon vncoar è possbe rcavare e azon nterne D ( ): N = q/ T = q/8 M = q /8 DE ( ): N = q/8 T = q/ q M = q/ q / q /8 E ( ): N = q/ T = q/8 M = q /8 a cu corrspondono seguent dagramm q/8 q/ + q /8 q /8 N T + M + q/ q/ q/8 q/8 S osserv che per una struttura smmetrca carcata smmetrcamente dagramm d N ed M rsutano smmetrc, mentre dagramma d T è antsmmetrco. Inotre, e azon nterne sono contnue ne tratto DE poché su tae tratto non agscono forze o coppe concentrate. La presenza dea cernera n fa s che momento s annu n, come rchesto daa e.e.a. e non ntroduce una dscontnuta dee azon nterne.

39 TRVI ISOSTTIHE 39 ondzon d equbro de nod ome gà consderato, n condzon d equbro, e azon che agscono su cascuna parte dea struttura devono verfcare e equazon d equbro. Ta condzon devono essere verfcate, n partcoare, per nod. ò consente d controare se dagramm dee caratterstche dea soectazone sono stat traccat correttamente. È possbe, nfatt, controare equbro d cascun nodo soggetto sa ae azon nterne trasmesse a nodo dae aste che ae forze esterne eventuamente agent su nodo. Indcando, ad esempo, e azon nterne che agscono su nodo D dea struttura, su quae non agscono forze esterne, come rsuta da dagramm dee caratterstche dea soectazone, s ha D q/8 q/ q/8 D q /8 q/ q /8 Da prmo schema è possbe verfcare equbro dee forze agent su nodo D, soggetto ae soectazon d sforzo normae e d sforzo d tago trasmesse dae aste a nodo. Da secondo schema è nvece possbe controare a condzone d equbro aa rotazone deo stesso nodo, soggetto a moment fettent trasmess dae aste a nodo. È possbe effettuare una verfca sme anche per nodo E.

40 TRVI ISOSTTIHE 4.5 Strutture chuse La struttura aperta n g. è sostatca (m = g = s = 3). Se e sezon e vengono sadate come n g., a struttura chusa così reazzata rsuterà tre vote perstatca, poché sono state ntrodotte tre condzon d vncoo a partrte da una struttura sostatca. Infatt, unendo nseme e sezon e s fanno concdere e due component d spostamento e a rotazone dee due sezon, che prma rsutavano ndpendent. Pertanto, una quasas maga chusa prva d sconnesson presenta tre condzon d vncoo sovrabbondant g. g. Da punto d vsta statco, una maga chusa ntroduce 3 grad d ndetermnazone statca, ad esempo vaor d N, T ed M n una generca sezone. Not quest 3 vaor, s possono rcavare e caratterstche dea soectazone n quasas atra sezone, cacoando a rsutante ed momento rsutante dee forze che agscono sua struttura a partre daa sezone n cu agscono N, T ed M, sno aa sezone consderata. M N M N T T ] ] g. 3 Pertanto, a struttura chusa n g. rsuta 3 vote perstatca per vnco ntern (o nternamente sostatca), pur essendo possbe determnare e reazon de vnco estern (per cu a struttura s defnsce esternamente sostatca). ome vedremo, per studare una struttura perstatca è dapprma necessaro rendera sostatca rmuovendo de vnco, estern o ntern. Per rendere

41 TRVI ISOSTTIHE 4 sostatca una maga chusa occorre qund rmuovere 3 condzon d vncoo nterno, ad esempo effettuando un tago n corrspondenza d una generca sezone, come n g. 3, oppure ntroducendo de vnco ntern. In partcoare, ntroducendo una cernera nterna s rmuove condzone d vncoo consentendo a rotazone reatva tra e due sezon da essa coegata; anche ntroducendo un doppo pendoo nterno s rmuove condzone d vncoo consentendo a trasazone reatva nea drezone ortogonae a pendo, mentre ntroducendo una bea s rmuovono condzon d vncoo consentendo sa a rotazone reatva che a trasazone reatva nea drezone ortogonae a suo asse. Da punto d vsta statco, nea sezone n cu è presente una cernera nterna s annua momento fettente, n corrspondenza d un doppo pendoo nterno s annua a componente de azone nterna nea drezone ortogonae a pendo, mentre n corrspondenza d una bea nterna s annua sa momento fettente che a componente de azone nterna nea drezone ortogonae a suo asse. 3 cernere doppo pendoo cernera (non aneate) + bea + bea g = 3 3 = 9 g = 3 = 6 g = 3 = 6 m = = 9 m = = 6 m = = 6 Una struttura con n mage chuse senza vnco ntern rsuta 3n vote nternamente perstatca, per rendera sostatca occorre rmuovere 3 condzon d vncoo per cascuna maga, come ne seguent esemp

42 TRVI ISOSTTIHE 4 Esempo n. G H G H D E D E H V V H H V V La struttura è sostatca sa nternamente che esternamente, notre e 3 e.e.g. fornscono e seguent reazon de vnco n e : H = V = V = Per trovare e caratterstche dea soectazone è necessaro aprre a struttura n corrspondenza d un vncoo nterno, ad esempo a cernera n, mettendo n evdenza e reazon vncoar nterne trasmesse attraverso d esso, ndcate con H e V. Per rcavare ta reazon s possono scrvere due e.e.a. rspetto a vnco ntern rmast (cernere n D ed E), ovvero: M D = H + V = M E = H + V = da cu H = / V = / questo punto è possbe nzare cacoo dee caratterstche dea soectazone a partre daa sezone essendo note tutte e forze (sa forze attve che reazon vncoar) che agscono sua struttura, ora aperta. In aternatva, è possbe svncoare competamente a struttura sosttuendo a vnco, sa ntern che estern, e corrspondent reazon vncoar. In partcoare, e reazon vncoar nterne trasmesse attraverso vnco ntern n, D ed E agscono con vers mutu. Le equazon d equbro per cascuna dee 3 part n cu vene suddvsa a struttura fornscono po vaor d tutte e reazon vncoar.

43 TRVI ISOSTTIHE 43 / + / - / + N / / + T + / + / / / / M / / Esempo n. q D = q /4 E R q D = q /4 E R R R H V V q 3 8 q 3 8 q La struttura è sostatca sa nternamente che esternamente, notre e e.e.g. fornscono e seguent reazon de vnco n e : H = q V = V = 8 3 q

44 TRVI ISOSTTIHE 44 Per trovare e caratterstche dea soectazone è necessaro aprre a struttura, ad esempo n corrspondenza dea bea, mettendo n evdenza a reazone vncoare nterna R trasmessa attraverso d essa. Per trovare vaor d tae reazone s può scrvere un e.e.a. rspetto aa cernera nterna n, ovvero: da cu M E = 8 3 q 4 q R = R = 8 q questo punto è possbe nzare cacoo dee caratterstche dea soectazone a partre da o da essendo note tutte e forze (sa forze attve che reazon vncoar) che agscono sua struttura, ora aperta. D seguto sono rportat dagramm dee corrspondent azon nterne. + 3/8 - /8 /8 + N/q 3/8 + 7/8 /8-3/8 - T/q 3/8 3/8 - /4.383 M/q /8 In aternatva, è possbe svncoare competamente a struttura sosttuendo anche aa cernera n e corrspondent reazon vncoar nterne, n modo da suddvdere a struttura nee due part che a compongono. Le 3 equazon d equbro per cascuna parte fornscono po vaor d tutte e reazon vncoar sa nterne che esterne.