Applicazioni a problemi piani di deformazione

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1 Appicazioi a probemi piai di deformazioe Probemi piai di deformazioe (Leoe Corradi III pag 59) I moti casi o è facie determiare ua souzioe sia staticamete che ciematicamete ammissibie Ci si accoteta di deimitazioi biaterai Si cosideri i caso di soidi ideamete pastici i stato di deformazioe piaa rispetto a asse z Si cosiderao i criteri di Huber Heck-vo Mises e Tresca Le veocità di deformazioe pastiche si sviuppao a voume costate

2 Appicazioi a probemi piai di deformazioe Essedo stato piao di deformazioe, i meccaismo pastico imporrà che a dissipazioe avviee e piao ε & pz γ& pz γ& pz La codizioe di icompressibiità impica che p & ε & p, p&, p& & + ε p Siao e deformazioi pastiche I s II III pricipai e e tesioi pricipai I, s II, s III z

3 Appicazioi a probemi piai di deformazioe I criterio di HHvM impica che 1 ( ) ( ) ( ) φ s s + s s + s s 3τ I II II III I III Poiché φ [ ] Si ha che E duque s III 1 s III ( s I + φ s II ) s I s τ II

4 probemi piao di deformazioe Esempio. 1: Scorrimeto di u bocco rigido Si cosideri o scorrimeto di due bocchi rigidi coegati da uo strato (sottie) di materiae rigido pastico, per cui è immediato otteere ua stima per eccesso µk de motipicatore di coasso. Dissipazioe

5 Probema piao di deformazioe: puzoe Soo ammesse souzioi co discotiuità e campo degi spostameti: esempio puzoe i figura U ciematismo possibie vede bocco cetrae scorrere co veocità u& metre a deformazioe pastica si cocetra ee strisce adiaceti di arghezza h Sia τ i vaore imite tesioae u& ε& γ& p p h

6 Probema piao di deformazioe: puzoe Dissipazioe pastica Oss: D o dipede da h Poteza estera D bh τ W et Situazioe imite h u& h Pu bτ & u& µ k 4 µ c u& ε& γ& p p h

7 Stato piao di deformazioe: Idetazioe di u semispazio Soido ovuque rigidamete vicoato trae su bordo rettiieo. Su ua porzioe piccoa di esso di ampiezza b agisce u puzoe, che trasmette ua forza per uità di spessore pari a Pb. I puzoe è iscio, trasmette soo forze ormai Si utiizza i criterio di Tresca per cui τ

8 Stato piao di deformazioe: Idetazioe di u semispazio Esempio. : Idetazioe di u semispazio(pradt 19) o fodazioe superficiae Vegoo prima cercate souzioi ciematicamete ammissibii. Quauque meccaismo comporta fuoriuscita di materiae daa superficie ibera de puzoe

9 Stato piao di deformazioe: fodazioe superficiae Esempio. : Idetazioe di u semispazio(pradt 19) o fodazioe superficiae I Meccaismo: circoi di Bishop i Geotecica Bocco deimitato da ua sup. circoare di raggio b ruota rigidamete co veocità ϕ& Poteza dissipata sua superficie di scivoameto Poteza dissipata da carico

10 Stato piao di deformazioe: fodazioe superficiae ϕ& Motipicatore ciematico Poteza dissipata sua superficie di scivoameto Poteza dissipata da carico

11 Stato piao di deformazioe : fodazioe superficiae II Meccaismo I figura è riportato u secodo meccaismo che preseta discotiuità dee veocità: cique bocchi rigidi a forma di triagoo isoscee che scorroo mutuamete La veocità i direzioe ormae ae iee di scivoameto è cotiua metre è discotiua a veocità i direzioe tageziae aa superficie di scivoameto

12 fodazioe superficiae Leoe Corradi III pag 67

13 Fodazioe superficiae Leoe Corradi III pag 67 È possibie ricodurre gi atti di moto tra i bocchi aa veocità de bocco cetrae, iotre i probema è simmetrico u&

14 Fodazioe superficiae Leoe Corradi III pag 67 La poteza dissipata per uità di spessore sue superfici di scorrimeto è La poteza dissipata da carico estero è I motipicatore di questo ciematismo è

15 Fodazioe superficiae La souzioe può essere migiorata cambiado a forma dei bocchi, per esempio prededo triagoi equiateri si ottiee u uovo ciematismo che comporta u motipicatore ciematico

16 Fodazioe superficiae Si vuoe ora determiare ua souzioe staticamete ammissibie Si assume che i carico sia sosteuto uicamete da ua cooa compressa sottostate i bocco come i figura È ua souzioe discotiua ma equiibrata La codizioe imite viee raggiuta co I motipicatore è ψ1 1

17 Fodazioe superficiae La souzioe può essere migiorata se si cosidera che i vicoi cosetoo compressioe i direzioe co < La codizioe di servameto φ 1 Impica che a codizioe imite si raggiuge per Y I motipicatore è ψ Che rispetto a prima è cresciuto

18 Fodazioe superficiae Si dimostra che a i figura cosete di massimizzare i motipicatore statico ψ3.5 Si è quidi determiato i seguete itervao di deimitazioe per i motipicatore di coasso Oss: L effettivo motipicatore di coasso è

19 Probema piao di tesioe Si cosideri a astra geerata per trasazioe ugo z de rettagoo di ati, e di spessore t z T τ τ t τ Si assume che sia u pb. piao di tesioe zτzτz E che i vettore di tesioe t appartega a piao medio z Iotre e tesioi soo uiformi eo spessore t

20 probema piao di tesioe Si itroducoo gi sforzi membraai [F/L] N t N t Nτ t z t Sia N t o sforzo di piea pasticizzazioe Aora itroduciamo e segueti compoeti di sforzo adimesioai N N N N N N τ

21 probema piao di tesioe t z Defiiamo a poteza estera (cosideriamo soo carichi accidetai, o permaeti; itegrae sua superficie media B W& µ et ( ) ( ) b u& + b v& da + q u& + q v& d B Dove µ motipicatore carichi accidetai Poteza dissipata itera è (se def. Pastiche uiformi spessore): B D it t t ( ε& + ε& + τ γ& ) dz N ε& + N ε& + N γ& p p p p p p

22 probema piao di tesioe Le equazioi idefiite di equiibrio si scrivoo,,,, b b τ τ,,,, b b Le equazioi di equiibrio a bordo si scrivoo q q + + α α τ α τ α α α α α q q + +

23 Probema piao di tesioe Codizioi di ammissibiità f ( ) Per materiai metaici si assume criterio di Huber-Heck Vo Mises τ + 3 Tresca (se 1, sforzi pricipai) ma 1 1 {,, } 1 1

24 Probema piao di tesioe p h/ h/ timpai Equazioi di equiibrio di campo,, + +,, Equazioi di equiibrio a bordo, ±,, p,, h/ h/

25 Probema piao di tesioe Cotiuità de vettore di tesioe su ua superficie di ormae (α,α) t t α α + + α α p h/ h/ timpai

26 Souzioe staticamete ammissibie Cerchiamo ua souzioe staticamete ammissibie, ovvero equiibrata e rispettosa dea coformità pastica Cosideriamo u eemeto fiito Costat Strai Triage (CST) (tesioe/ deformazioe costate) τ c e c 1 c e c e 3 Equazioi idefiite equiibrio soddisfatte Div +b Basta verificare ammissibiità i u puto quauque dato che a tesioe è costate

27 Probema piao di tesioe Cosideriamo a astra divisa i 4 eemeti fiiti CST p Criterio di Tresca h/ h/ z SI defiisce ua sequeza di motipicatori statici fuzioi di z Abbiamo 3 icogite (c e 1,c e,c e 3) per 4 eemeti 1 icogite Dispoiamo di 6 codizioi iearmete idip da eq. Bordo 4 codizioi daa cotiuità de vettore t attraverso i cofii eemetari Simmetria dà ua codizioe Rimae u uica icogita i z

28 Probema piao di tesioe p h/ h/ z La souzioe varia a variare di h/ Per <h/<.97 µsp(h/) / Per.97<h/<.58 µsp.486h/ Per.58 <h/< µsp1 (schiacciameto)

29 Teorema ciematico p h/ h/ 4 z -1 1 ϕ& Poteza dissipata Lavoro estero / / h d d D h h ϕ ϕ ϕ & & & e p ) ( p )d ( p L & & & ϕ ϕ ϕ PLV c e c h p p h L D µ µ

30 Meccaismo per traciameto dea coessioe ai timpai per sopraggiuta crisi i I particoare per i criterio di Tresca Si ha che 1/ Teorema ciematico δ& 1 timpai Poteza dissipata D Lavoro estero L e 1 δ & h p δ & δ& h PLV µ h h µ cp p c

31 Teorema ciematico µcp 1 Crisi tagio Crisi compressioe.5 Crisi fessioe 1 h/

32 Atre Souzioi ote Lastre forate Lastre co fori riforzati Tubi spessi Lamiere chiodate