Spostamento virtuale

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1 Spostameto virtuae Dato u sistema comuque vicoato, si dice spostameto virtuae (e si idica co δ) uo spostameto ifiitesimo coforme ai vicoi fissati aʼistate t. I statica i vicoi soo fissi; i diamica possoo essere mobii. I vicoo si dice mobie quado a posizioe dei puti dipede o soo dae coordiate, ma ache da tempo. er cacoare o spostameto virtuae dobbiamo fissare i vicoo a u certo istate. Dato δ, se -δ è possibie (virtuae), o spostameto virtuae si dice reversibie; se -δ è impossibie (o virtuae), δ si dice irreversibie. ESEMI ) uto vicoato a iea fissa δ Questo spostameto virtuae (tagete aa iea), è reversibie. o esiste u soo spostameto virtuae, tutti gi spostameti ifiitesimi tageti aa iea soo virtuai. ) uto vicoato a ua superficie fissa Cosideriamo per sempicità u piao fisso. δ δ δt I puto è vicoato a stare sua superficie o a staccarsi e semispazio superiore. o può passare e semispazio iferiore. δt è reversibie. δ è irreversibie. δ che cotiee ua compoete ormae è irreversibie.

2 3) uto vicoato a iea mobie d δ t+dt t er cacoare o spostameto virtuae occorre fissare a iea a tempo t. Lo spostameto virtuae δ è tagete. Lo spostameto effettivo de puto durate i movimeto, risete de trasciameto dea iea, per cui ha ache ua compoete ormae. Lo idichiamo co d. Se i vicoi soo fissi tra gi ifiiti spostameti virtuai esiste queo effettivo. Se i vicoi soo mobii o spostameto effettivo o è virtuae. Si defiisce veocità virtuae v ʼ a gradezza: v ʼ = δ dove δt è u tempo campioe, che si assume uguae per tutti i puti de δt # # sistema. Chiariamo co esempi a differeza tra veocità virtuae ed effettiva. ESEMIO : aeio vicoato a uʼasta che gira attoro aa ceriera fissa O. # # Usiamo coordiate poari. i θ ρ ϑ i ρ v = ρ iρ + ρ ϑ iθ veocità effettiva er avere a veocità virtuae fisso ϑ. δ = δρ i ρ δρ v ʼ = δt i ρ

3 ESEMIO uto vicoato a ua circofereza di raggio variabie e tempo R = R(t). j i R(t) # (t) = R(t) cos ϑ i + R(t) se ϑ j # x(t) = R(t) cos ϑ # y(t) = R(t) se ϑ R(t+dt) # x = Rʼ(t) cos ϑ - R(t) se ϑ ϑ # y = Rʼ(t) se ϑ + R(t) cos ϑ ϑ v = x i + y j δ = - R( t ) se ϑ δ ϑ i + R( t ) cos ϑ δ ϑ j δ δϑ v ʼ = = (- R( t ) se ϑ i + R( t ) cos ϑ j ) δt δt _ Abbiamo fissato i raggio ad u istate t e così abbiamo cacoato spostameto virtuae e veocità virtuae v ʼ. 3

4 Rappresetazioe aaitica deo spostameto virtuae. Se ho dee coordiate geerai xk (k=,m) e posizioi dei puti soo date da i = i (x,..., xm, t) se i vicoo è mobie. Soo date da i = i (x,..., xm) se i vicoi soo fissi. _ er avere o spostameto virtuae devo fissare i tempo ad u istate t e ho: m δi δi = δxk k δxk Le coordiate possoo essere egate tra oro da vicoi. Se e reazioi tra e coordiate soo fiite (cioè o cotegoo derivate) i vicoi si dicoo ooomi. I caso diverso aooomi. e caso di vicoo ooomo si possoo itrodurre coordiate ibere qk i u umero =m-r, dove r è i umero dee reazioi di vicoo. Le coordiate ibere soo tate quati i gradi di ibertà de sistema. I vicoi fiiti soo espressi da reazioi agebriche. Facciamo u esempio sempice: uto vicoato a ua circofereza fissa R y x ϑ Reazioe di vicoo x² + y² = R² Differeziado abbiamo x δx + y δy = 0 Iotre y = ± R² - x² Abbiamo u soo grado di ibertà. Eʼ più comodo ricorrere aʼuica coordiata ibera ϑ. x = R cos ϑ, y = R se ϑ, (t) = x i + y j Se si hao tate coordiate ibere, aora e caso geerae di vicoi mobii abbiamo i = i (q₁,..., q t ) er avere o spostameto virtuae fissiamo t e abbiamo: δi δi = δqk k δqk Le δqk soo idipedeti tra di oro. La veocità virtuae è data da: δi δi δqk v iʼ = = δt k δqk δt La veocità effettiva è data da: di i v i = = qk + dt k qk t 4

5 Lo spostameto effettivo è dato da: i di = vi dt = dqk + dt k qk t DIAMICA DEI SISTEMI Cosideriamo u sistema di puti materiai ₁, ₂,...,, comuque vicoati. ) e cacoo de movimeto si trattao i puti come iberi, pur di aggiugere ae forze attive e reazioi vicoari esercitate dai vicoi. ) Se u sistema è soggetto a vicoi ideai, a poteza dee reazioi vicoari, per ogi atto di moto virtuae, o è mai egativa. Se ʼatto di moto è reversibie, a poteza dee reazioi vicoari è ua. Questi soo due postuati ESEMI ) uto vicoato a iea iscia (fissa o mobie) Si cosidera a iea fissata a queʼistate, per cui a veocità virtuae v ʼ è tagete aa iea. Φ v ʼ Φ (reazioe vicoare) è ormae aa iea per cui Φ v ʼ = 0 ) Cosideriamo u esempio di vicoo iscio uiatero: u puto che o può muoversi esteramete a ua sfera iscia. - Se i puto è itero, Φ = 0 e quidi a poteza virtuae π ʼ è ua. - Se i puto si trova sua superficie, Φ è ormae ad essa e rivota verso ʼitero. Aora si hao due casi: a) v ʼ tagete aa sfera (v ʼ reversibie) e aora Φ v ʼ = 0 b) v ʼ rivoto verso ʼitero dea sfera (v ʼ irreversibie) e aora Φ v ʼ > 0 v ʼ (a) Φ Φ (b) 5

6 RELAZIOE ED EQUAZIOE SIMBOLICA DELLA DIAMICA Se su puto i di massa m i ed acceerazioe a i, agiscoo F i, risutate dee forze attive, e Φ i, risutate dee reazioi vicoari, abbiamo: mi ai = Fi + Φi Fi - mi ai = - Φi (Fi - mi ai) vi ʼ = - Φi vi ʼ er i postuato, per vicoi ideai, abbiamo # # # i (Fi - mi ai) vi ʼ 0# () perché Φi vi ʼ 0 i Questa () si dice Reazioe simboica dea Diamica. Se ʼatto di moto è reversibie, essedo abbiamo i Φi vi ʼ = 0 i i (Fi - mi ai) vi ʼ = 0# () La () si dice Equazioe simboica dea Diamica. δi I termii di spostameto virtuae, scriviamo, poiché vi ʼ =, δt (Fi - mi ai) δi 0# i (Fi - mi ai) δi = 0# i e caso dea statica a i = 0 ed abbiamo: (ʼ) (ʼ) # # # # # δ*l = i Fi δi 0 (3) δ*l si dice avoro virtuae. La (3) si chiama reazioe simboica dea diamica ed esprime i ricipio dei avori virtuai. Codizioe ecessaria e sufficiete per ʼequiibrio di u sistema soggetto a vicoi ideai, è che i avoro dee forze attive, per ogi spostameto virtuae, o sia mai positivo. 6

7 TRATTAZIOE AALITICA DEL.LL.VV. EL CASO DI SISTEMI OLOOMI e caso di sistemi ooomi i vicoi soo reversibii. Aora: # # δ*l = i Fi δi = 0 ## () dove è i umero dei puti di appicazioe dee forze attive Fi δi è dato da: # # i # # δi = k δqk = 0# qk # () dove è i umero dee coordiate ibere (umero dei gradi di ibertà de sistema). Otteiamo i # # δ*l = i Fi k δqk = 0 qk Le sommatorie soo su umero fiito di termii (o soo serie), per cui posso scambiare ʼordie: ( ) i # # k i Fi δqk = 0 qk La sommatoria itera dà u risutato dipedete soo daʼidice K. oiamo i # # Qk = i Fi (k =,,...,) qk # # # # δ*l = k Qk δqk = 0 Le quatità Q k si dicoo forze geeraizzate secodo Lagrage, o compoeti Lagragiae dea soecitazioe attiva. oiché e δqk soo idipedeti, posso scegiere δq 0 δqk =... δq = 0 aora δ*l = Q δq = 0 da cui deduciamo Q = 0. Aaogamete per e atre Qk si ottiee # # Qk = 0## # (k =,,...,) che soo tate equazioi pure quati i gradi di ibertà de sistema. 7

8 ESEMIO k x A x ϑ G y p B F Lʼasta AB è omogeea di peso e ughezza, a forza orizzotae F è costate. er a moa# # Fx = - k x # # # δxa = δx er i peso # Fy = yg = se ϑ δyg = cos ϑ δϑ er a forza F # Fx = F xb = x + cos ϑ # δxb = δx - se ϑ δϑ er i sistema δ*l è dato da δ*l = - k x δx + cos ϑ δϑ + F (δx - se ϑ δϑ) = 0 δ*l = (- k x + F) δx + ( cos ϑ - F se ϑ) δϑ = 0 # Qx = - k x + F = 0 # Qϑ = cos ϑ - F se ϑ = 0 da cui si deduce F # x = ; tg ϑ = k F 8

9 TEOREMA DI STAZIOARIETAʼ DEL OTEZIALE e caso che e forze attive siao coservative, esiste i poteziae U = U(q k ) e abbiamo: δ*l = δu U δ*l = k Qk δqk = δu = k δqk qk U da cui Qk = # # # (k =,,...,) qk U i equiibrio# = 0# # (k =,,...,) qk δu = 0, cioè U è stazioario ea posizioe di equiibrio. I teorema si formua così: Le cofigurazioi di equiibrio di u sistema ooomo soo quee che auao e derivate parziai de poteziae rispetto a tutte e coordiate ibere. Esse coicidoo quidi co i puti di stazioarietà de poteziae. e caso deʼesempio precedete, i poteziae è dato da: # # U = - k x² + se ϑ + F (x + cos ϑ) da cui U # = - k x + F = 0 x U # = cos ϑ - F se ϑ = 0 ϑ F x = ; k p tg ϑ = F 9

10 osizioi di equiibrio i u caso coservativo: ESEMIO GRAFICO I q * abbiamo u massimo, i q* u miimo, i q* 3 u puto di fesso a tagete orizzotae. Lʼequiibrio può essere stabie o istabie, discuteremo questo puto i seguito. 0