Fondamenti di Astrofisica

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1 Fondamenti di Astofisica Lezione 6 AA 21/211 Alessando Maconi Dipatimento di Fisica e Astonomia

2 Il diagamma di Hetzspung-Russel Nelle lezioni pecedenti abbiamo visto come stimae L, T, R, M delle stelle. Adesso cecheemo di capie la stuttua fisica delle stelle a patie dalle elazioni ossevate ta queste quantità. Ejna Hetzspung (1911) e Heny Nois Russel (1913) ottengono indipendentemente una diagamma L-T ovveo luminosità (nella banda 51-59Å) - classificazione spettale (da cui la Tempeatua supeficiale) pe le stelle. Quello ipotato in figua è il diagamma HR (Hetzspung-Russel) pe le stelle nei dintoni del Sole: l asse Y è la magnitudine assoluta in banda, una gandezza legata al logaitmo della luminosità in banda [ M() = -2.5 log L +cost. ] l asse X è il coloe B- = M(B)-M() ovveo una gandezza popozionale al logaitmo del appoto ta le luminosità [ B- = 2.5 log (L/LB)+cost. ]; come sappiamo questa gandezza è a sua volta legata alla tempeatua pe motivi stoici, in figua T (tempeatua supeficiale, indicata anche come Teff o Te, tempeatua efficace o del copo neo equivalente) cesce veso desta. 2

3 Il diagamma HR Diagamma HR pe cica ~1 4 stelle vicine (distanze da paallasse con il satellite Hippacos)

4 Il diagamma HR

5 Il diagamma HR Le supefici delle stelle si possono appossimae come copi nei di tempeatua T alloa L =4π 2 σt 4 nel diagamma HR in figua si ha logl vs logt ovveo log L = [log(4πσ) + 2 log ] + 4 log T cioè le linee a aggio stellae costante sono delle ette con pendenza 4. Tutte le stelle sono in pati ben definite del diagamma: 8-9% delle stelle sono nella stiscia diagonale detta Sequenza Pincipale (Main Sequence, MS) che coisponde ad una elazione L T 8 e (Sequenza Pincipale) data la elazione di copo neo sulla MS ~ T 2 ovveo stelle più calde sono più gandi. Il Sole è una stella di MS. Stelle più fedde hanno T~.5 T ovveo ~ 1/4 ; Stelle più calde hanno T~ 5 T ovveo ~ 25. 5

6 Il diagamma HR Esistono alti luoghi occupati nel diagamma HR. In alto a desta ispetto alla MS esiste una concentazione di stelle fedde (più osse) dette Giganti Rosse; L alcuni odini di gandezza più gande ispetto alle stelle di MS con la stessa T; pe L = 4π 2 σt 4 queste stelle devono avee aggi più gandi fino a 1 ~ 1 AU. Nella pate bassa del diagamma c è una sequenza di punti coispondente alle stelle Nane Bianche; L alcuni odini di gandezza più piccola ispetto alle stelle di MS con la stessa queste stelle hanno aggi ~ 1-2 ~ 1 4 km. Inizialmente fu ipotizzato che la MS fosse una sequenza di affeddamento da cui il nome Ealy Types pe O-B e Late Types pe F-G-K-M. Quando le masse divenneo disponibili ci si ese conto che alte T coispondevano a alte M e vicevesa. Sulla MS si ha M ~.1-1 M e la elazione L-M è L ~ M α con α 3 pe M > M e α 5 pe stelle meno massicce; Le nane bianche hanno masse ~M ma sempe < 1.4 M. 6

7 Relazione Massa Luminosità

8 Il diagamma HR Come vedemo più in dettaglio una stella passa gan pate della sua vita sulla MS dove la sua collocazione dipende da M; in questa fase le stelle buciano H nei nuclei (ovveo sono alimentate da eazioni di fusione nucleae che convetono H in He). Quando H nel nucleo è teminato si passa ad una beve fase in cui si bucia He in stati esteni al nucleo (fase di gigante ossa). Stelle con M < 8 M duante la fase di gigante ossa iescono a espellee gan pate degli stati esteni e diventano infine nane bianche. Le nane bianche non sono alimentate da eazioni nucleai ma iaggiano l enegia esidua fino a spegnesi come nane nee. Stelle con M > 8 M dopo essee passate da fase di gigante (supe giganti dato L) vanno inconto a pocesso inaestabile di collasso del nucleo che le pota a esplodee come Supenovae. Le Supenovae lasciano come esto stelle di neutoni o buchi nei. Le Stelle di neutoni sono più calde e compatte delle nane bianche; hanno di alcuni km e M ~ M. Inolte sono ~1-2 volte meno luminose delle nane bianche e non compaiono nel diagamma HR. 8

9 Classi di Luminosità Ia Supegiganti billanti Ib Supegiganti II Giganti billanti III Giganti I Sub-giganti Sequenza pincipale A pate la classificazione spettale (es. G2) le stelle sono anche divise in classi di luminosità (I - ) in base alla loo collocazione nel diagamma HR. Il Sole è quindi una stella G2 ( sta pe nana).

10 La stuttua stellae Una stella è una sfea di gas tenuta insieme dall auto gavità ed il cui collasso è impedito dalla pesenza di gadienti di pessione. Con ottima appossimazione una stella è un sistema a simmetia sfeica, ovveo le gandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza dal cento della stella. Pima di pocedee vediamo alcuni cenni di teoia del campo gavitazionale. Il campo gavitazionale in P geneato da una massa puntifome in P è φ(x) = GM x x petanto il campo geneato da una distibuzione di massa è φ(x) = G ρ(x )d x x d = d 3 x dm = ρ(x )d 1

11 La stuttua stellae ediamo oa di ottenee l enegia gavitazionale. Data una distibuzione di massa l elemento di massa in i è soggetto al campo gavitazionale geneato dall elemento di massa in j ovveo l enegia gavitazionale associata saà W ij = m i φ j (x i )=ρ(x i ) φ j (x i ) i W = 1 2 ρ(x i ) φ j (x i ) i i=j dove ϕj(xi) è il potenziale gavitazionale geneato dalla massa j in i ed il fattoe 1/2 è necessaio pe non contae due volte l enegia gavitazionale dell inteazione ij ovveo ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono contibuie una sola volta a W. Infine, passando al limite pe elementi di volume infinitesimi W = 1 2 ρ(x)φ(x) d che espime l enegia potenziale di una distibuzione di massa. 11

12 La stuttua stellae sostituiamo oa l espessione del potenziale in W W = 1 2 = 1 2 G d 3 x ρ(x) 1 2 x x 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 d 3 x Gρ(x )d 3 x x x d 3 x ρ(x)ρ(x ) x x 3 x x 2 (x i x i)(x i x i) i i i x i (x i x i) 1 2 x i (x i x i)+ 1 2 j x j(x j x j) x j(x j x j ) j 12

13 La stuttua stellae ma siccome nell integale le vaiabili x e x sono pefettamente intescambiabili alloa posso scivee (sempe e solo ai fini dell integale) 1 2 x x 2 = i x i (x i x i)=x (x x ) ovveo W = G d 3 x W = d 3 x ρ(x)x d 3 x ρ(x)ρ(x ) x x 3 x (x x ) d 3 x Gρ(x ) x x 3 (x x ) ma l espessione ta le paentesi quade è quella del campo gavitazionale geneato dalla stessa distibuzione di massa g(x) = Gρ(x )d 3 x x x 3 (x x ) 13

14 Intoduzione alla stuttua stellae pe cui si ottiene un alta espessione pe l enegia potenziale gavitazionale W = ρ(x) x gd Pe calcolae W si può adesso utilizzae una popietà notevole della foza gavitazionale ovveo il teoema di Gauss secondo cui, data una supeficie chiusa S, si ha S g nds = 4πGM dove n è la nomale all elemento di supeficie ds, ed M è la massa contenuta all inteno di S. Questo teoema è l analogo di quello che saà visto nel coso di Fisica II pe il campo elettostatico. 14

15 Intoduzione alla stuttua stellae Con una distibuzione sfeica di massa M(), se S è supeficie sfeica di aggio si ha g = g()u n = u 4πGM() = g nds = g() ds = g() ovveo S S petanto g a distanza dal cento dipende soltanto nella massa contenuta all'inteno della sfea di aggio ed è la stessa che si avebbe se questa massa fosse concentata nel cento della sfea stessa. Alloa l enegia potenziale di una distibuzione sfeica di massa è W = W = g() = GM() 2 ρ(x)x gd = GM() ρ() d ρ() u S GM() 2 ds = g()4π 2 u d 15

16 Il tempo di fee fall edemo come questa elazione saà utile ta poco, ma pe adesso consideiamo solo la massa dm contenuta nell elemento di volume d a distanza dal cento (shell sfeica), la sua enegia potenziale gavitazionale è dw = GM( ) dm = ρ( )d dm Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta libea alloa dalla consevazione dell enegia meccanica, al aggio si avà 1 2 dm d dt 2 GM() dm = 1 2 dm d dt 2 GM( ) = Se tutta la massa è in caduta libea patendo da fema si ha M() = M() e d/dt = pe =. dm 16

17 Il tempo di fee fall Si ottiene 2 1 d = GM( ) GM( ) 2 dt d 1 dt = 2GM( ) 1 il segno - è stato scelto dal fatto che il gas deve cadee veso il cento ( = ) pe cui d/dt <. Sepaando le vaiabili ed integando membo a membo si ottiene il tempo che la distibuzione di massa impiega a collassae nel cento τff dt = 2GM( ) 1 1 1/2 d 17

18 Il tempo di fee fall Ponendo x = /, d = dx si ottiene infine τ ff = 1/2 2GM( ) 1 3 l integale definito ci calcola ponendo x 1 x 1/2 dx x =sin 2 θ dx =2sinθcos θdθ 1 1/2 x π/2 sin 2 1/2 θ dx = 1 x cos 2 2 sin θ cos θdθ θ = π/2 2 sin 2 θdθ = π 2 Definendo la densità media ρ = M( ) 4 3 π3 18

19 Il tempo di fee fall si può espimee M()/ 3 in funzione di ρ ottenendo alla fine τ ff = 1/2 3π 32G ρ nel caso del Sole τ ff = 3π cgs 1.4 g cm 3 1/2 = 18 s quindi, in assenza di suppoto, il Sole collasseebbe nell aco di mezz oa. Questo non avviene pechè il Sole è in equilibio idostatico. 19

20 L equilibio idostatico Nel caso di equilibio idostatico, si è visto nel coso di Fluidi che P = ρg dove P è la pessione del gas, ρ la densità e g l acceleazione di gavità (il campo gavitazionale). Nel caso semplificato di simmetia sfeica che si applica alle stelle, solo la componente adiale di quella equazione vettoiale non è identicamente nulla pe cui si ha dp () d = GM() 2 ρ() questa è l equazione dell equilibio idostatico ed è la pima equazione utilizzata pe deteminae la stuttua delle stelle. Si noti come il gadiente di pessione è negativo, poichè la pessione deve aumentae veso l inteno pe bilanciae la foza di gavità che tendeebbe a fa collassae gli stati esteni. 2

21 Il teoema del viiale Dall equazione dell equilibio idostatico è possibile impaae molte cose. Moltiplicando membo a membo pe 4π 3 d ed integando ta = e = 4π 3 dp d d = GM()ρ() 4π 2 d icodando che l elemento di volume è d = 4π 2 d e l espessione pe l enegia potenziale gavitazionale W, si nota come il secondo membo è popio pai a W. Integando il pimo membo pe pati si ottiene 4π 3 dp d d =3 4 3 π3 P ( ) P 4π 2 d ma P( )= poichè è la pessione alla supeficie della stelle, inolte definendo la pessione media P = P d d = P d 21

22 Il teoema del viiale si ottiene 4π 3 dp d d = 3 P quindi integando l equazione dell equilibio idostatico si è giunti alla elazione 3 P = W che appesenta una delle molte fome del Teoema del iiale che, in geneale, si applica ai sistemi legati gavitazionalmente. Supponiamo che il gas sia ideale, non elativistico (v c) e composto di paticelle uguali, alloa P = nrt dove Δ è un volume di gas, P pessione, T tempeatua e Δn il numeo di moli. Ricodando che n = N/NA (NA numeo Avogado) e R/NA = k (k costante di Boltzmann) si ha P = N kt 22

23 Il teoema del viiale L enegia cinetica pe paticella dovuta all agitazione temica è 3/2 kt (gas pefetto monoatomico) pe cui l enegia totale in Δ è ovveo E th =3/2 N kt P = 2 3 E th = 2 3 E th cioè pe un gas ideale non elativistico la pessione è 2/3 della densità di enegia temica. Questa elazione vale in ogni punto della stella, dove posso definie pessione e tempeatua (equilibio temodinamico locale). Moltiplicando membo a membo pe d = 4π 2 d e integando sul volume della stella otteniamo 4π 2 P ()d = 2 3 E th d 23

24 Il teoema del viiale ovveo nella notazione di pima P = 2 3 ETOT th dove Eth TOT è l enegia temica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teoema del viiale si ottiene infine E TOT th = 1 2 E gav foma altenativa del teoema del viiale. Ricodiamo che Egav < poichè il sistema è legato. Se una stella si contae, Egav diminuisce (ovveo diventa più negativa) e, di conseguenza, la sua enegia temica aumenta. In patica una stella ha una capacità temica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione stellae. 24

25 Il teoema del viiale Alte fome del teoema del viiale sono E TOT = E TOT th + E gav = E TOT th = 1 2 E gav Siccome tutte le stelle iaggiano (pedono) enegia sono destinate pima o poi a collassae (Egav diventa sempe più negativo). Consideiamo nuovamente P = 1 3 E TOT gav e supponiamo, in pima appossimazione, che ρ sia costante, alloa si ha E gav = GM() ρ4π 2 d = G 4 3 π3 ρ ρ4π 2 d = G 4 3 πρ2 4π 4 d 25

26 Il teoema del viiale ovveo E gav = 3 5 G 4 3 π3 ρ 4 3 π3 ρ = 3 5 GM 2 dove M è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decescesse con, Egav saebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5. In conclusione, a meno di una costante, il valoe caatteistico dell enegia gavitazionale di una stella è E gav = GM 2 1 ovveo P = 3 nel caso del Sole si avebbe E gav = GM 2 4π 4 P = GM 2 4π dyne cm 2 26

27 Il teoema del viiale icodiamo che 1 dyne cm -2 = 1 g cm s -2 cm -2 = 1-1 (kg m s -2 ) m -2 = 1-1 Pa. Poichè 1 5 Pa 1 atm isulta infine P = 1 14 Pa = 1 9 atm ovveo la pessione media del Sole è 1 9 volte quella dell atmosfea teeste! Pe stimae il valoe tipico della tempeatua E TOT th = 1 2 E gav 3 2 NkT vi 1 2 GM 2 kt vi GM 2 3N con N numeo totale di paticelle nella stella. M = m N dove m è la massa media delle paticelle. 27

28 Il teoema del viiale Se il gas è fatto di solo H, ad 1 potone coisponde un elettone ovveo m = m p + m e 2 = 1 2 m p 1+ m e m p 1 2 m p poiché me/mp ~ 1/2. Sostituendo pe N si ottiene infine Nel caso del Sole kt vi GM m p 6 kt vi eg =.34 ke con k = eg K -1 si ha T vi K si icoda che questa è una tempeatua media (viiale) della stuttua stellae ed è ovviamente divesa dalla tempeatue supeficiali stimate dagli spetti stellai e che si utilizzano pe ottenee la luminosità della stella con la fomula del copo neo. Come vedemo più avanti, a tempeatue di questo odine di gandezza possono ave luogo le eazioni di fusione temonucleae. 28