Dimostriamo innanzitutto una limitazione sull altezza degli alberi

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Vittorio Pini
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1 Alberi di ricerc Figur 6.20 Esempio di lbero Inodiinterniconduefiglimntengonoil mssimo del sottolbero sinistro ( ); i nodi interni con tre figli mntengono il mssimo del sottolbero sinistroediquellocentrle ( ed ). 6.4 Alberi 2-3 Nei Prgrfi 6.2 e 6.3 bbimo visto come usre rotzioni per implementre le operzioni su dizionri in tempo logritmico (nel cso peggiore o mmortizzto). In questo prgrfo studieremo un tecnic lterntiv lle rotzioni, bst sull ide di permettere un mggioreflessibilitànelgrdodeinodi. Seilgrdo non è vincolto d essere,ilbilncimentopuòinftti essere mntenuto trmite opportune seprzioni (split)efusioni(fuse)dinodi. Definizione 6.6 (Albero -) Un lbero - èunlberocheincuiogni nodo interno h o figli e tutti i cmmini rdice-fogli hnno l stess lunghezz. Dimostrimo innnzitutto un limitzione sull ltezz degli lberi Lemm 6.5 Si un lbero - con nodi, foglie ed ltezz. Leseguenti disuglinze sono soddisftte d, e : e. Dimostrzione. Mostrimo l limitzioni contempornementeusndo induzione su. Se,l lberoconsistediunsingolo nodo, che è nche fogli, e le disuguglinze sono bnlmente verificte. Supponimo or che l ipotesi induttiv si verifict sino d ltezz econsiderimounlbero - di ltezz.si ottenuto d eliminndo l ultimo livello e sino e il numero di nodi e di foglie di,rispettivmente.peripotesi induttiv, e.poichéognifoglidi h lmeno due d l più tre figli in, vremo,ovvero.poiché, è fcile completre l dimostrzione sfruttndo l ipotesi induttiv su. Usndo l limitzione sul numero di nodi dimostrt nellemm6.5,epssndo l logritmo, ottenimo che l ltezz di un lbero - è. Le chivi e gli elementi del dizionrio sono ssegnti lle foglie dell lbero, in modo che le chivi ppino in ordine crescente d sinistr verso destr. Ogni nodo interno mntiene invece due informzioni supplementri: e. è l m s s i m c h i v e n e l s ottolbero rdicto nel figlio sinistro di,e è

2 162 Cpitolo 6 lgoritmo serch - pple 1. if è un fogli then 2. if pple then return 3. else return null 4. -esimo figlio di 5. if pple then return serch pple 6. else if h due figli oppure pple then return serch pple 7. else return serch pple Figur 6.21 Implementzione dell operzione serch in un lbero l mssim chive nel sottolbero rdicto nel figlio centrle di.unesempioè mostrto in Figur Grzie lle informzioni ed,unricercpuòessere implementt in un mnier simile gli lberi binri di ricerc clssici. serch Confrontimo l chive cerct si con che con.se proseguimo nel sottolbero sinistro; se proseguimo nel sottolbero centrle; ltrimenti proseguimo nel sottolbero destro. Lo pseudocodice è mostrto in Figur Il tempo richiesto d serch è proporzionle ll ltezz dell lbero, che è per il Lemm Fusioni e seprzioni di nodi In questo prgrfo mostreremo come sfruttre le possibili vrizioni di grdoper ggiornre un lbero - frontediinserimentiecncellzioni di elementi. insert Creimo un nuovo nodo con elemento echive. Loclizzimolcorrett posizione per l inserimento di ricercndo l chive nell lbero. Identifichimo così un nodo,sulpenultimolivello,che dovrebbe diventre genitore di. Abbimo or due csi: h due figli: possimo ggiungere come nuovo figlio di,inserendolo opportunmente come figlio sinistro, centrle, o destro in modo d mntenere l ordinmento crescente delle chivi. Questo può comportre dover ggiornre ivlori ed del nodo edeisuointenti. h tre figli: non potendo ggiungere un ulteriore figlio, seprimoilno- do in due, con un operzione chimt split. Creimo un nuovo nodo e clcolimo l posizione corrett che dovrebbe vere rispetto i tre figli di. Rendimo le due foglie con chivi minime figlie di elerimnentiduefiglie di.attcchimopoi come figlio del pdre di immeditmente precedente. Seilpdredi vev due figli, possimo fermrci. Altrimenti, dobbimo

3 Alberi di ricerc Figur 6.22 Inserimento del nodo con chive in un lbero eseguire un nuovo split sul pdre di,procedendonell lberoverso l lto. Nel cso peggiore, qundo tuttiinodilungoilcmmino vevno già tre figli, ggiungeremo ll lbero un nuov rdice. I vlori e dei nodi incontrti lungo l rislit vnno nch essi ggiornti opportunmente. Un esempio di inserimento è illustrto in Figur Lo pseudocodice dell procedur split,richimtsuunnodo con figli, è inoltre mostrto in Figur 6. (lo pseudocodice non mostr come ggiornre i cmpi ed di ciscun nodo: ggiungere le opportune istruzioni può essere un utile esercizio). Poiché ciscuno split richiede tempo costnte e l ltezz dell lbero è, nelcso peggiore l inserimento richiede tempo.

4 164 Cpitolo 6 lgoritmo split 1. cre un nuovo nodo 2. si l -esimo figlio di in, 3. rendi e figli sinistro e destro di 4. if null then 5. cre un nuovo nodo 6. rendi e figli sinistro e destro di 7. else 8. ggiungi come figlio di immeditmente precedente 9. if h quttro figli then split Figur 6. Implementzione dell procedur usiliri split ust per implementre l inserimento in un lbero delete L operzione di cncellzione è simmetric quell diinserimento.si contenente l elemento d eliminre. Abbimo tre csi: il nodo è l r d i c e : b s t r i m u o v erl ottenendo un lbero vuoto. Il pdre di h tre figli: è possibile rimuovere,ggiornndoeventulmente i cmpi e di edeisuointenti(vedifigur 6.24). Il pdre di h due figli: se il pdre di è l r d i c e, b s t e l i m i n re esuopdre, lscindo l ltro figlio comerdice. Altrimenti, eseguimo un operzione simmetric llo split,chechimeremofuse. Si il pdre di ;ssumimo che bbi un frtello ll su sinistr (nessun nodo può inftti essere figlio unico, e il cso in cui bbi un unico frtello destr viene trttto in modo b b c b () c d d (b) b c d e c d e c c (c) b c d Figur 6.24 Cncellzione d un lbero c d -: vricsi.

5 Alberi di ricerc Figur 6.25 Cncellzione del nodo con chive d un lbero simile). Se h tre figli, spostimo il figlio destro di come figlio sinistro di e cncellimo (vedi Figur 6.24b). Altrimenti, dopo ver rimosso, ttcchimo l unico figlio rimnente di come figlio destro di erichimimo ricorsivmente l procedur per cncellre (vedi Figur 6.24c). Un esempio di cncellzione è mostrto in Figur Anche in questo cso, poiché ciscun fuse richiede tempo costnte e l ltezz dell lbero è, nel cso peggiore l cncellzione richiede tempo. Rissumimo i dettgli sull implementzione dell clsse Albero in Figur 6.26 e le prestzioni degli lberi - nel seguente teorem. Teorem 6.5 Un lbero - con nodi support operzioni serch, insert e delete in tempo nel cso peggiore. 6.5 B-lberi In questo prgrfo ffronteremo il problem di come relizzre un dizionrio in memori secondri. Come bbimo visto nel Prgrfo 2.8 del Cpitolo 2, l

6 166 Cpitolo 6 clsse Albero implement Dizionrio: dti: un lbero - con nodi: le foglie mntengono le chivi e gli elementi del dizionrio, mentre i nodi interni mntengono le informzioni supplementri e. operzioni: serch trcci un cmmino nell lbero usndo l proprietà d i r i c e r c e l e i n - formzioni e per decidere se proseguire nel sottolbero sinistro, centrle (se esiste) o destro. insert cre un nuovo nodo con elemento echive,eloggiungell lbero come fogli mntenendo l proprietà di ricerc. Se il pdre di vev già tre figli, sepr il nodo in due trmite uno split epropg le seprzioni verso l lto, fino l primo nodo con due figli o fino ll crezione di un nuov rdice. delete elimin il nodo con elemento.seilpdre di vev solo due figli, uniscilo l frtello trmite un operzione fuse e propg le fusioni verso l lto, fino l primo nodo con tre figli o fino ll cncellzione dell rdice. Figur 6.26 Dizionrio relizzto medinte lberi memori secondri è tipicmente molto più grnde di quell principle,m ccedervi è molto più costoso in termini di tempo.è quindi importnte minimizzre il numero di letture e scritture su memori estern (I/O). Per mmortizzre il tempo speso in ogni ccesso, idtisonogestitiinblocchi di dimensione : perpoter sfruttre questo ftto, è importnte che un lgoritmo o un struttur dti esibisc loclità nell ccesso i dti. Le implementzioni dei dizionri proposte nei prgrfi precedenti non esibiscono buon loclità: intuitivmente, non offrono nessun grnzi che i nodi su un certo cmmino di ricerc risiedno nello stesso blocco, e quindi si potrebbero vere I/O nel cso peggiore. Come vedremo, è possibile fre molto meglio. L ide è di umentre l informzione crico di ciscun nodo ed il grdo del nodo rendendoli proporzionli. In questo modo,potremo usre tutt l informzione contenut in ognibloccocheporteremoinmemori principle, e, poiché diminuiremo considerevolmente l ltezz dell lbero, vremo un numero minore di ccessi memori secondri. I B-lberi che presentimo in questo prgrfo sono dovuti Byer e McCreight [4] e sono un estensione nturle degli lberi - che bbimo descritto nel Prgrfo6.4.

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