Travi Multimateriale. Travi realizzate utilizzando due o più materiali sono dette composte E.g. Sandwich Beams

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1 Travi ultimateriale Itero plastico Travi realiate utiliado due o più materiali soo dette composte E.g. Sadwic Beams Il riempitivo allotaa le pelli dall asse eutro, aumetado la rigidea ido d ape Si a ace u effetto stabiliate cotro l istabilità locale della pelle i compressioe Per il calcolo delle travi composte si parte dalla medesima ipotesi ce le seioi rimagao piae Corrugato x L adameto delle è sempre a farfalla (o dipede dal materiale) L adameto delle ivece risete del modulo di Youg di ciascu materiale - () maggiore di () ella figura E x E x sse eutro

2 La posiioe dell asse eutro è determiata dall equilibrio assiale (lugo x) 0 x d x d E d E d 0 E d E d 0 N.B. ell itegrale si usa : distaa dall asse eutro, ma la posiioe dell origie va determiata b E E Y Vediamo ad esempio il calcolo della posiioe asse eutro per ua trave rettagolare composta di due materiali distiti ES S b Y Y ES Y 0 Y S b Y Y Y Y Eb Eb 0 Y E E E E E Se E = E si ottiee la posiioe del baricetro della seioe omogeea

3 Nel caso geerale i cui siao preseti materiali L aullarsi del mometo statico ella posiioe eutra diviee b Y E Y E Y E Y E G G G3 3 3 G 0 G Risolvedo l icogita posiioe del baricetro E Y G4 E 4 Y E E E E EE E E G G G3 3 3 G 3 3 G3 E 3 mat mat Y ES E eutro i iy i i i i G E Valida per seioi qualsivoglia G E

4 RELZIONE CURVTUR OENTO ( materiali ovvia estesioe a più materiali) Si procede come per le travi omogeee uguagliado il mometo applicato a quello delle d x E d d E EI EI I questo caso EI EI rappreseta la rigidea flessioale equivalete x E EI x EI EI EI E b Top Top E x Bot E Y Bot x

5 Soluioi semplificate per travi sadwic Normalmete il core è costituito di u materiale molto leggero ce per caratteristice e per posiioameto o cotribuisce sigificativamete alla flessioe E E x x 0 I b I 3 3 c I relaioe allo sforo di taglio ivece, cosiderado ce t c si suppoe ce il taglio sia supportato itegralmete dal materiale frapposto core) V medio medio b c V Gb I questo caso l uso dei valori medi al posto di quelli massimi i qualce modo pareggia l aver trascurato la resistea a taglio delle pelli c c

6 Esempio calcolo o semplificato La trave i figura è composta da u itero i plastica cotorato da due fogli di allumiio. Calcolare i valori massimi di traioe e compressioe all itero dei due materiali 3.0 kn m E 7 GPa E 0.8 GPa Soluioe: La posiioe dell asse eutro è el piao di simmetria (asse ) b 00 I c mm b 00 I mm c E TopBot 6 6 EI EI Pa TopBot c E EI EI Pa Le pelli supportao sollecitaioi 00 volte maggiori!

7 TRVI IN CEENTO RTO Il cemeto armato è u particolare materiale composito. Il cemeto è i grado di resistere a sole sollecitaioi di compressioe I todii i acciaio fugoo da tirati Nelle sollecitaioi di flessioe pura, il primo problema è la determiaioe dell asse eutro della iflessioe Si ricava la uova seioe m di cemeto ce sia equivalete dal puto di vista elastico a quella dei todii Zoa iifluete m E acciaio eq macciaio E cemeto Se la geometria è fissata l asse eutro coicide co l asse baricetrico (struttura resa uimateriale), ove si aulla il mometo statico (valori opposti sopra e sotto) b macc d L icogita è, ce defiisce l asse eutro, la si ottiee risolvedo la precedete equaioe del II ordie: m acc db 0 b m acc b m acc m acc d

8 Zoa iifluete Riprededo la codiioe ce le due fore di traioe e di compressioe si equilibrio assialmete: Top _ Cemeto C T acc cciaio b Nell ottica di u uso ottimale si può imporre ce acciaio e il cemeto vadao i crisi cotemporaeamete, ossia i corrispodea del medesimo mometo flettete applicato: acc b macc d b mm _ Cemeto mm _ cciaio mm _ Cemeto m d mm _ cciaio Questa codiioe forisce u altra relaioe ce lega l area complessiva dei todii alla dimesioe trasversale del cemeto i compressioe m mm _ Cemeto m mm _ cciaio mm _ Cemeto d

9 questo puto il modo di procedere può essere il seguete fissati igombri d e b: Si ricava dalla: m mm _ Cemeto m mm _ cciaio mm _ Cemeto d Si ottiee dalla: acc mm _ Cemeto b mm _ cciaio Ua volta defiita completamete la geometria si può valutare il mometo critico o ammissibile per la struttura sommado i due cotributi sopra e sotto il piao eutro: amm b acc amm cciaio d 3 ammcemeto - Se il mometo ammissibile o fosse sufficiete si deve icremetare la geometria iiiale agedo su b o su d Si tega presete ce il precedete è solo uo scema orietativo di I accito per il dimesioameto, ce riciederebbe molte altre cosideraioi (aderea, presea di più todii diversamete orietati, travi o a seioe rettagolare, )

10 TRVI DOPPIENTE SIETRICHE CON CRICHI OBLIQUI Fiora si è cosiderato il caso di travi simmetrice (rispetto piao x) caricate el medesimo piao Si cosidera ora il caso di piao di carico o più applicato sul piao di simmetria, ma restrigedo per ora l aalisi alle seioi doppiamete simmetrice Il primo aspetto riguarda la defiiioe dei segi coveioali Per si adotta la regola della mao destra Lo stato di tesioe i u geerico puto (e.g. ) si calcola sovrappoedo gli effetti visto ce etrambi i mometi foriscoo ua tesioe x x I I Tes Comp

11 La posiioe dell asse eutro si può determiare aullado la tesioe somma I 0 I Esso è idetificato da u agolo ce o coicide co l asse di flessioe applicato ta I I La determiaioe dell asse eutro è fodametale per cooscere la posiioe dei puti ove la tesioe è massima (i più distati dall asse stesso) Vediamo come varia l asse eutro i fuioe dell icliaioe del mometo applicato Si applica su ua trave a sbalo u carico P, icliato di Psi L x Pcos L x ta parte casi particolari, il piao eutro o è perpedicolare al carico P applicato ta I I ta

12 La perpedicolarità si ottiee certamete per seioi circolari (ogi diametro è asse pricipale) o quadrate (i due mometi di ieria soo uguali) o quado è 0, 90, 80, -90 (ossia il piao di sollecitaioe è ace piao pricipale di ieria) Dal puto di vista costruttivo, irregolarità el posiioameto di travi co mometi di ieria molto differeti possoo produrre importati variaioi allo stato di tesioe Esempio La trave a sbalo a ua seioe del tipo S 4x80 (ot. americaa). Calcolare lo stato tesioale ei due casi di verticale perfetta o i presea di u disallieameto di. Nel caso ideale si a: Soluioe: PL N mm mm I mm Top _ Bot 4 4 Vediamo ora quado = : Pa 4 ic I I 00 ic 4. ic si si P L N mm N mm 6 cos cos P L N mm N mm

13 I 00 ta ta ta( ) I 4. Risulta quidi ce il semplice spostameto di iduce l asse eutro a ruotare di 4! I puti più sollecitati soo (e B), di coordiate ic ic Sovrappoedo ora gli effetti: I I Pa Quidi la sollecitaioe risulta maggiorata di circa il 5 %!!!

14 FLESSIONE DI TRVI NON SIETRICHE No si presume più l esistea di alcu asse di simmetria per le seioi delle travi È presete solo il mometo flettete (o fore trasversali) Si utilia u approccio idiretto: si assume l esistea di u asse eutro e si ricava il corrispodete mometo applicato Il puto C ove ao origie gli assi, è scelto arbitrariamete all itero della seioe, l asse x è ortogoale alle seioi Ipotiado, per ora, ce l asse sia asse eutro x E La fora risultate ella seioe si deve aullare d E d 0 d x 0 Il ce idica ce l asse è baricetrico Ripetedo l aalisi, co l ipotesi ce l asse sia ora quello eutro, si a d 0 Se e deduce ce l origie degli assi e, per avere pura flessioe, va posta al baricetro

15 Ora si possoo valutare i mometi risultati partedo acora dall ipotesi ce sia asse eutro E EI x d d E EI x d d I defiitiva, se è asse eutro, i due mometi risultati debboo essere el rapporto I I Oppure, semplicemete, si a ce il mometo cetrifugo si aulla e l asse è pricipale Si può ora trattare il caso geerale ( comuque orietato), essedo e assi pricipali si cos La procedura di calcolo è aaloga e comporta le medesime risultae del caso di travi doppiamete simmetrice: x si cos x, I I I I si cos 0 I I sse eutro I ta ta I

16 Il discorso si modifica quado o si a più flessioe pura e soo preseti fore trasversali CENTRO DI TGLIO Fore laterali iducoo ace sfori di taglio, oltre ce tesioe assiale Nel caso di seioi arbitrarie, ua fora trasversale o provoca torsioe assiale, solo se passa per il cetro di taglio Cosideriamo ua trave icastrata-libera su cui agisce u carico trasversale P Ipotiiamo ce la trave si ifletta secodo il suo piao pricipale x Sulla seioe, il carico si estriseca co u mometo flettete 0 ed ua risultate P il cui posiioameto è dato dalla risultate della soluioe elastica del taglio (Jourawsk) S = cetro di taglio

17 Nelle seioi doppiamete simmetrice, il cetro di taglio coicide col baricetro Se esiste u asse di simmetria, sia il cetro di taglio ce il baricetro soo su di esso Nel caso più geerale, la determiaioe del cetro di taglio può essere complessa I mauali di igegeria foriscoo la posiioe per le seioi più comui TENSIONE DI TGLIO IN SEZIONI PERTE SOTTILI CRICTE IN S La formula di Jourawsk ci forisce l adameto del taglio Taglio ullo L asse è asse eutro: VQ Ib x I Cosideriamo ora u elemeto abcd P è // a F > F co per cui ascerà ua su dc (e cb) tdx F F 0 s s F xd d 0 I 0 s s F xd d 0 I 0

18 Sostituedo le due precedeti all equilibrio: I t dx s 0 d Equivalete alle d s V s d dx I t 0 I t0 d L itegrale è il mometo del I ordie rispetto a, per cui: VQ I t aloga a Jourawsk co t al posto di b Il flusso del taglio, avedo t piccolo, risulta f VQ I Nel caso i cui il carico trasversale vega applicato sempre el cetro di taglio S ma i direioe o parallela a il calcolo si ripete ei due piai pricipali e si possoo sovrapporre gli effetti

19 TENSIONE DI TGLIO IN UN TRVE INFLESS E SEZIONE D I Comiciamo a cosiderare l ala superiore destra Pstf P s f s I t I La direioe dalle deriva dalla ecessità di riequilibrare le due F f Se si ripete la stessa procedura sull ala di siistra si ottiee I segi delle soo cotrari e la risultate oriotale è ulla Ora si può coteggiare il cotributo dell aima cetrale Nella coessioe superiore tra l aima e le ali: (taglio verticale) Per ua geerica seioe dd w r f 0 f 0 w P bt I t Pbtf r P rtw I t I t w w w w P bt I f

20 Sull aima la tesioe varia parabolicamete Complessivamete, il flusso delle tesioi di taglio coverge dall ala superiore al cetro e diverge da quella iferiore verso le ali Il flusso delle tesioi di taglio è sempre cotiuo i strutture sottili aperte come quella esamiata R La risultate delle fore di taglio è quidi solo verticale e si può otteere itegrado il taglio lugo l aima 0 R r t dr w w R bt t w f 6 I P tw I 3 tw b t f Se ora si sostituisce il valore di I ella R si perviee alla R P ce dimostra come la risultate delle aioi di taglio calcolate è proprio pari al carico applicato Si è quidi calcolato il taglio ce risulta diretto sempre parallelamete alla parete sottile - su tutta la seioe (e o solo ell aima come fatto i precedea) Vediamo ora come calcolare la posiioe del cetro di taglio i casi più geerali

21 DETERINZIONE DELL POSIZIONE DEL CENTRO DI TGLIO La procedura di calcolo prevede prima il calcolo delle tesioi di taglio risultati da ua flessioe su uo dei due assi pricipali di ieria e poi la determiaioe della risultate Seioe a C è u asse di simmetria, su di esso sarà ace S Si suppoe ua flessioe co asse eutro Si cerca la posiioe della risultate V parabolica Dai risultati precedeti sappiamo la variaioe di lugo lo spessore sottile della seioe R lieare bv I bt V f t I w max bt tw f V 4I Si possoo ora determiare le risultati F b t fv btf La fora F deve essere pari a quella estera V 4I Si può comuque verificare l uguagliaa itegrado la dell aima

22 Per calcolare ora il cetro di taglio, si determia la posiioe ce deve assumere la V afficé risulti ullo il mometo torcete risultate F Fe 0 e btf 4I Pertato, questa seioe sarà sollecitata a sola flessioe (e taglio) solo se la risultate dei carici applicati trasiterà per il puto S Seioe agolata di 90 Il cetro di taglio dovrà coicidere co l iterseioe delle ali (iterseioe delle due risultati) Q st b s F V b s Vs I Seioi composte da due rettagoli sottili ce si itersecao I cetri di taglio soo sempre all iterseioe

23 Esempio ce il mometo di ieria viee otteuto per itegraioe: Calcolare la posiioe del cetro di taglio per ua trave sottile,aperta, a seioe semicircolare. Soluioe: Ua delle due coordiate del cetro di taglio è immediatamete ota per simmetria giace sull asse Per ua seioe geerica b-b si può determiare il mometo statico bb Q d tr rcos d r tsi 3 cos rt I trr cos d trr d 0 0 V x si rt Il taglio così calcolato geera rv 4rV 0 d r x d si d u mometo torcete risultate Ve 0 e 4r.7 r aa 0 0

24 el riferimeto iiiale Cetro di taglio i ua seioe geerica composta di elemeti sottili sse risultate ) Scelta di u riferimeto iiiale di comodo G C x ) Determiaioe del baricetro el Rif. Ii. ) Nuovo Rif. Co origie i G x el riferimeto iiiale sse risultate 3) Calcolo dei ometi di Ieria di seioe I xx, I,I x 4) Determiaioe delle dir. pricipali I x ar ta Ixx I 4) pplicaioe della soluioe di Jourawsk rispetto asse pricipale e si ricava l asse risultate 5) pplicaioe della soluioe di Jourawsk rispetto asse pricipale e si ricava l asse risultate Icrocio assi risultati e forisce il cetro di taglio

25 Flessioe elasto-plastica Si cosidera ce lo stato tesioale sia tale da eccedere il comportameto elastico del materiale, i codiioe di elasto-plasticità perfetta olti acciai strutturali soo be rappresetati da tale comportameto, comuque a favore di sicurea Ua trave sollecitata a flessioe preseta lo stato di tesioe ormai oto, fice o si raggiuge, el puto più sollecitato, il valore I c c = massima distaa asse eutro dameto dello stato di tesioe al crescere del mometo applicato

26 Superato il mometo di prima plasticiaioe le seioi cotiuao a rimaere piae, le variao acora liearmete, ma le tesioi o possoo eccedere lo ervameto Le regioi più estere si plasticiao, metre il cetro rimae i regime elastico Se l asse o è di simmetria, si può ace avere uo spostameto dell asse eutro Si raggiuge ua codiioe ella quale tutta la seioe risulta plasticiata, a tal puto la trave raggiuge il massimo mometo applicabile p oltre al quale si a collasso immediato Cerciamo tale codiioe limite, iiiado dal posiioameto dell asse eutro Le due risultati C e T debboo essere uguali per o dare ua compoete assiale o equilibrata L asse eutro divide l area i due parti uguali questo puto, determiati i baricetri delle due seioi, si ricava il mometo di collasso p I geere, viee riportato Z = modulo plastico Z alogo al modulo della seioe S

27 Per ogi seioe è defiito uo sape factor f ce idica la riserva di carico, a partire dall iiiale irreversibilità f p Z S Le travi co maggior riserva soo quelle co più materiale attoro all asse eutro (al preo di valori più bassi del mometo di icipiete ervameto Seioe Rettagolare S b 6 b 6 4 Z b 4 4 Z b 4 p b 4 f p Z S 3 Vediamo ora come si estede la oa plastica se il mometo applicato è compreso tra la prima plasticiaioe ed il collasso C T b e C T be

28 4 C ec e 3 Cosiderado le posiioi dei baricetri, si a be 4 3 e e b e e e 3 e e 3 Il campo di validità è 0 e p Seioe Circolare d 3 3 f Z 6.70 S 3 d S 3 d 3 3 d 6 3 Z Quidi questa seioe può icremetare il carico di oltre il 70 % rispetto all icipiete ervameto

29 plastico elastico elastico plastico r 0. m Posiioe dei baricetri superiori al crescere di ree delle due parti al crescere di plastico elastico Il mometo cresce iiialmete i modo quasi lieare per poi saturare risultate Cotributi dei mometi al crescere di a ometo complessivo supportato

30 Tesioi residue dopo plasticiaioe (Se. Rettagolare) Valutiamo la rotaioe subita dalla trave, i fuioe dell estesioe della oa plasticiata (e) per ua lugea assiale uitaria: e max e allug max ma si a e 3 max max e e el,lim e e 3 Ha particolare iteresse determiare cosa succede alla rimoioe del carico partire dalla codiioe di stress-strai raggiuta, lo scarico si ottiee aggiugedo u mometo pari a quello massimo applicato (-), ma i regime di ritoro totalmete elastico. (icrudimeto isoetropico / icrudimeto ciematico) res scarico EJ EJ EJ 3 3

31 Per quato riguarda le tesioi ; carico scarico J l bordo estero: res carico scarico W W Si oti ce, essedo per defiiioe, >, la res a sempre sego opposto a carico e scarico res - + La massima tesioe residua si sviluppa ai bordi esteri 3 e 3 e 4e res W W res 4e Servameto icipiete e = / Servameto completo e= 0 res res 0

32 Carico a sbalo presea di flessioe e taglio x x 0 P I questo caso si a ua sollecitaioe di taglio massima al cetro max 3 P b ssociata ad u mometo flettete variabile x P x Esisterà u valore x 0 da cui si avrà plasticiaioe top/bottom. Da quel puto si a la variaioe di e x0 Plasticità da flessioe e x P P e Px 3 e preseta u adameto o lieare decrescete co x Plasticità da taglio x * x 0 x * si determia dalla codiioe: d u certo valore di x = x * può sopraggiugere ace la plasticiaioe dal cetro visto ce il taglio P è costate, ma l area effettivamete resistete è solamete quella elastica. 3 P 3 P b e b Px 3 *

33 Caso geerale di comportameto elasto-plastico (solo travi a seioe rettagolare) massimo baricetro Se il materiale a comportameto simmetrico tra-compr, l asse eutro è sempre baricetrico Dato ce la varia liearmete, l adameto della ella seioe rispeccia la Il mometo risultate è: 0 b d I segi o compaioo ma risultao ovvii Si può operare u cambio di variabile, oto ce sia Sostituedo i b d Questo è l mometo 0 statico della curva () f d Q d

34 Risulta quidi la seguete relaioe: U modo per procedere cosiste el geerare la seguete tabella ce collega tesioe mometo e ce cosete ace di calcolare la itera b Q Q d 0 Per verifica, si può applicare la soluioe al caso lieare elastico = S Q 3 3 b b 3 6 E baricetro Se ivece il materiale a comportameto differete i traioe - compressioe, l asse eutro o è più baricetrico e si può spostare al crescere del carico ce i questo caso, dato ce la varia liearmete, l adameto della ella seioe rispeccia le due curve

35 Per prima cosa si ricava la posiioe dell asse eutro cosiderado ulla la risultate delle fore C C 0 C b d T 0 T b d T d d d d C b d T 0 b 0 d I due itegrali rappresetao ull altro ce le due aree delle caratteristice del materiale i compressioe ed i traioe Pertato, l uguagliaa delle due risultati forisce L adameto lieare della deformaioe b b C C T T c T Quidi, fissato u valore per si può ricavare dalle aree il valore corrispodete di e poi ricavare le due altee desiderate (= + )

36 Per la determiaioe del mometo applicato occorre procedere separatamete, per la traioe e per la compressioe b d b d d C b = Q C C T b b Q Q C T b Q Q C T T C È da otare ce i geerale i due mometi risultati, elle oe di traioe e di compressioe, o soo uguali La tabella per la ricerca della soluioe si costruisce pertato el seguete modo: C T Q C Q T

37 E E C T Pa Pa 500Pa C 400 Pa T Esempio b 0. m 0.3 m.35e6 Nmm Ramsber Osgood tot E C T 0 0 m m C T m C T e e5.5e5.47e e e5 4.7e5 3.5e e e6.68e6 3.43e e e6 3.6e6 3.6e e e6 6.e6 3.73e e e6 9.3e6 3.84e6 QC QT

38 Variaioe dell altea ce defiisce la posiioe dell asse eutro al crescere della di compressioe Variaioe dei mometi di compressioe, traioe e totale al crescere della di compressioe

39 Flessioe semplice i Travi ad asse curvilieo (teoria di Grasof) Il puto ciave è ce si a lo spostameto del piao eutro rispetto a quello baricetrico parità di distaa dall asse eutro (e per seioe doppiamete simmetrica) le fibre itere risultao maggiormete sollecitate rispetto a quelle estere e quidi ace rispetto alla soluioe valida el caso di asse rettilieo Ipotesi: Piao di aioe mometo coicidete co piao di simmetria seioe Le seioi piae restao tali ella deformaioe Stesso comportameto a traioe e compressioe del materiale R R G R G R G sse baricetrico sse eutro N.B. I raggi di curvatura soo per la trattaioe compresivi di sego

40 L origie dell asse si prede sull asse eutro (di posiioe acora o ota) R r - Si utiliao le equaioi di equilibrio (fora, mometo) x F co x d 0 x L L r x E r x d Per ua geerica fibra - x L E x E L I codiioe equilibrio: E d0 d 0 r r r- R Ricordado ce = r - R r d 0 R d r Ce defiisce la posiioe dell asse eutro

41 La II codiioe equilibrio cosete di determiare x () x d E d E d r r r- R r rr R rr E d E d r r r a- b aabbab 0 r- R E rr dr d r Il valore assoluto compare percé il quadrato è sempre positivo (ace se b>a) Ricordado ace la defiiioe del baricetro, si svolge l itegrale E RG R Ee Si a così: Ee Co e si defiisce l eccetricità x E r e r Iteressate è otare ce o compare il mometo di ieria della seioe I

42 Si ota il differete valore assuto all itradosso all estra-dosso di x : it est e e r r it it est est Essedo it est ma r it < r est it est compressioe traioe Seioe più sollecitata Esempio Gacio a seioe rettagolare r r it est R G 3 5 R max P R x Il mometo viee coteggiato sull asse eutro della seioe b.4663 d b dr logrest rit r r b P

43 Le pricipali gradee geometrice risultao e R R it G it r R r R est est b x P Calcolo dello stato tesioale it est P P P e r it it P est P P.007 e r est Se ivece o si fosse cosiderata la curvatura el calcolo P P.5 P P it b P P.5 P P est b Sollecitaioe più favorevole Co u errore % sui valori trovati it.4 % 6.5 % est

44 Valore raggio eutro per altre seioi