Analisi di cointegrazione in presenza di cambiamenti strutturali Cointegration Analysis in the Presence of Structural Breaks

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1 Anals d conegrazone n presenza d cambamen sruural Conegraon Analyss n he Presence of Srucural Breaks Rocco Moscon parmeno d Economa e Produzone, Polecnco d Mlano Pazza L. da Vnc 3, 33 Mlano, rocco.moscon@polm. Absrac: When analysng macro economc daa s ofen of relevance o allow for srucural breaks n he sascal analyss. In parcular conegraon analyss n he presence of srucural breaks could be of neres. A conegraon model wh pecewse lnear rend and known breakpons s proposed. Whn hs model s possble o es conegraon rank: he asympoc dsrbuon of he es s derved and shown o be unaffeced by nusance parameers. The proposed approach s llusraed by analyzng he Uncovered Ineres Pary hypohess beween Ialy and Germany usng quarerly daa from 973 o 996: n hs perod, relevan breaks such as he creaon of he EMS, one ol shock, he unfcaon of Germany and he ex of Ialy from he EMS occurred. Keywords: Tme Seres Analyss, Vecor Auo Regressve Models, Conegraon, Srucural Breaks, Maxmum Lkelhood. Inroduzone Nell anals d sere sorche economche, è spesso necessaro nrodurre varabl dummy per rappresenare cambamen nella poszone o nella pendenza del rend a seguo d even che modfcano la sruura del ssema. Un esempo d cò può essere rappresenao dalla creazone del ssema monearo europeo (SME) nel 979 e dall usca dell Iala dallo SME nel 99: è ragonevole pensare che al even possano avere modfcao l comporameno dnamco d varabl qual asso d cambo, asso d neresse e asso d nflazone, n parcolare per quano rguarda la poszone e la pendenza del loro rend. alra pare, è un rsulao acquso nella leeraura economerca che v sa una fore nerazone ra la presenza d cambameno sruurale nella poszone e nella pendenza del rend e le caraersche d negrazone e conegrazone delle verabl analzzae (s veda, ad esempo Clemens e Hendry, 999). In un coneso unvarao, s può mosrare che una sere sorca sazonara aorno a un rend segmenao può avere un proflo dnamco molo pù smle, da un puno d vsa emprco, a quello d un processo negrao I() che a quello d un processo sazonaro. Perano, quando pù sere vengono modellae congunamene, l non ener cono de cambamen sruural può porare a rfuare l poes d conegrazone anche se le varabl sono conegrae ma l resduo d conegrazone è sazonaro norno a un rend segmenao. Come osservao n Clemens e Hendry (999), n al suazon le prevson oenue ulzzando un modello auoregressvo veorale (VAR) n dfferenze possono essere mglor d quelle d un modello a meccansmo d correzone

2 dell errore (ECM) che non enga cono del cambameno sruurale. Tuava, modellando appropraamene l cambameno sruurale la performance prevsva del modello ECM orna ad essere superore a quella del VAR n dfferenze. In queso lavoro vene presenao e llusrao con un esempo un modello recenemene proposo n Johansen-Moscon-Nelsen () per l anals d conegrazone n presenza d break sruuralche che avvengono n san no. Essenzalmene s assume che ue le combnazon lnear d un veore p-dmensonale I() Y, sa quelle sazonare sa quelle non sazonare, esbscano lo sesso po d comporameno deermnsco, ovvero quello desco nella Fgura. I pun d cambameno d poszone e d pendenza del rend sono assun no e comun a ue le combnazon lnear d Y. Nauralmene, nulla esclude che per alcune combnazon lnear l comporameno deermnsco non subsca modfcazon n corrspondenza de pun d cambameno d regme. E(γ Y ) T v T T v T T 3 v 3 T T Fgura : Comporameno deermnsco pozzao Come è nuvo, per quano rguarda le combnazon lnear sazonare sarà possble denfcare sa la poszone sa la pendenza de dvers segmen d rend, menre per le combnazon lnear non sazonare le pendenze saranno smabl, ma le poszon non lo saranno, n quano esse sono ndsngubl dalle condzon nzal del processo n ogn sooperodo. La meodologa dscussa n queso lavoro è nella lnea dell approcco d massma verosmglanza all anals d conegrazone llusrao n Johansen (996). a un puno d vsa modellsco non v sono grand varan conceual. La prncpale varane è che la dsrbuzone asnoca de es d conegrazone è dfferene da quella usuale, benchè apparenga alla classe generale de es d po ckey-fuller mulvara. In parcolare, la dsrbuzone dpende dalla collocazone de pun n cu avvengono cambamen sruural, ma non è affea da paramer d dsurbo, e può essere ben approssmaa medane una dsrbuzone Gamma (s veda oornk 998), evando n al modo d dover predsporre nuove avole ad hoc. Queso lavoro è arcolao come segue: la sezone presena l modello proposo; la sezone 3 descrve l'anals sasca del modello, nroduce l es per l rango d conegrazone e la

3 sua dsrbuzone asnoca; la sezone 4 presena una applcazone del modello allo sudo dell'poes d parà scopera de ass d neresse ra Iala e Germana; la sezone 5 conclude l lavoro.. Il modello proposo Come n Johansen-Moscon-Nelsen (), supponamo d poer dvdere l perodo d anals (,,T) n q sooperod (,,T ), (T +,, T ),, (T q +,,T), e defnamo T e T q T. All'nerno d cascun sooperodo, assumamo che l processo p- dmensonale Y sa d po auoregressvo veorale (VAR) gaussano d ordne k, con una cosane e un rend. Assumamo nolre che u paramer del VAR sano denc ne var sooperod, ad eccezone della cosane e del rend. Il modello d base consderao è qund del po: Y Y k ( Π π ) + µ + Γ Y + ε T, Κ q + k < T () dove Π, π, µ e Γ sono marc d paramer d dmensone p p, p, p e p p rspevamene, ed ε è dencamene e ndpendenemene dsrbuo secondo una normale mulvaraa d valore aeso nullo e marce d varanze e covaranze Ω. S no che, come usuale, l modello è formulao, n ogn sooperodo, condzonaamene alle prme k osservazon, che n praca qund non sono modellae. L poes che l rango d conegrazone sa par a r p può essere scra semplcemene come una resrzone sul rango della marce Π. Tuava, come llusrao n Johansen (996) se l rango della marce Π è mnore d p, l processo descro dalla () presenerà de rend quadrac, a meno che l veore π non sa esprmble come combnazone lneare delle colonne d Π. Inolre, Nelsen-Rahbek () mosrano che lo sesso vncolo su π garansce che la dsrbuzone de es sul rango d conegrazone non sa nfluenzaa da paramer d dsurbo. Perano, defnamo l'poes d conegrazone come segue: H l (): ( Π π π ) α( β γ Κ γ ) α( β γ ) r () Κ q q dove α e β sono marc d dmensone p r, menre γ,, γ q sono veor r. Una mglore comprensone delle propreà dnamche del processo () soo l'poes () s può avere consderando la sua rappresenazone a meda moble, oenble soo l'poes rank k α Γβ p r, con Γ I p Γ e α e β marc d dmensone p (pr) d rango peno al per cu α α β β. Soo ale poes, n base al eorema d rappresenazone d Granger (s veda Johansen, 996, Teorema 4. e Johansen-Moscon- Nelsen,, Teorema.), s dmosra che:

4 Y ε +, + τc, + τl, T + k + T + k < C X, Κ q T (3) α dove C β α Γβ τ l, è dao da:, X, è un processo sazonaro, l veore d pendenze del rend τ l, ( CΓ I p ) β( β β) γ C µ +, menre l veore d cosan τ c, dpende dalle condzon nzal d ogn sooperodo, n modo ale che solo le combnazon lnear β τ c, sono denfcae, essendo defne da: β τ c, ( α α) α ( Γ I p ) µ + ( α α) α ( ΓCΓ Γ) β( β β) γ γ C. Alla luce della (3), è facle mosrare che, soo l'poes (), le combnazon lnear β Y sono sazonare norno ad un rend segmenao la cu pendenza nel -esmo sooperodo è γ. Ogn alra combnazone lneare a Y l cu veore d pes a non sa esprmble come combnazone lneare delle colonne d β sarà I(), e presenerà un rend lneare segmenao con possbl cambamen d pendenza ne medesm san n cu camba la pendenza delle componen sazonare del processo. Il modello () soo l vncolo () può essere rscro n modo compao, per k+,,t, come segue: con k k q Y Y α ( β γ ) + µ + Γ +,, + ε E Y κ (4) E, per T alrmen, Κ,q, menre E è un veore q-dmensonale l cu -esmo elemeno è dao da: E, T T k +, per T + k + T alrmen. S no che,- ndca la -esma osservazone del -esmo perodo: l ruolo d al varabl nel modello (4) è quello d azzerare resdu corrsponden alle prme k osservazon d ogn perodo, d fao escludendo al osservazon dall'anals. La varable E, ndca nvece ue le osservazon apparenen al -esmo perodo, ad eccezone delle prme k.

5 3. Inferenza sul rango d conegrazone L anals sasca del modello può essere condoa medane l meodo della massma verosmglanza, n modo formalmene denco a quello llusrao n Johansen (996) per l modell senza cambameno sruurale. Essenzalmene, cò consse n una regressone d rango rdoo d Y su Y e E, correa per E, Y (,,k) e, (,,q;,,k). Il es del rapporo delle verosmglanze per verfcare l'poes che l rango d conegrazone sa mnore o uguale a r conro l'alernava che esso sa p può essere cosruo come segue (Anderson, 95). efnamo R, resdu d una regressone Y su E, Y (,,k) e, (,,q;,,k). efnamo po R, resdu d una regressone d [Y, E ] su medesm regressor. efnamo nfne ˆλ l quadrao della - esma correlazone canonca camponara ra R, e R,, con > ˆ λ > ˆ λ > Κ > ˆ λ p >. Il es sul rango d conegrazone, usualmene defno n leeraura race-es, è dao da: LR p ( r p) T log( ˆ ) r+ λ (5) La dsrbuzone asnoca per T del es (5) può essere dervaa manenendo fss pun d cambameno d regme relav, ovvero valor v T /T (s no che v <v < <v q ). Per dervare la dsrbuzone occorre fare le usual assunzon che escludono la presenza d componen esplosve o I() nel processo Y. Perano, defnendo A k ( z) ( z) I αβ z Γ ( z) z p assumamo che le soluzon dell' equazone A(z) sano eserne al crcolo d raggo unaro nel pano complesso oppure ugual a, e che valga la condzone rank α Γβ p r con α e β e Γ defn nella sezone precedene. Soo al assunzon, e soo l'poes H λ () r, con dmosrazone del uo smle a quella del eorema. n Johansen (996) (s veda Johansen-Moscon-Nelsen,, per deagl) s dmosra che la dsrbuzone asnoca del es (5) è uguale a quella della seguene funzone d mo Brownan: r dwf FF du FdW (6)

6 dove W è un moo Brownano sandard d dmensone (pr), menre F è un processo (pr+q) dmensonale l cu -esmo elemeno, per v <u<v, è dao da: F ( u) W v v v u sds v v v ( u) W () s ds per p r per p r + alrmen con v v v. Tale dsrbuzone, che ndchamo con F q (pr, v,, v q ) ha re mporan caraersche: la dsrbuzone dpende esclusvamene da (pr) e dalle durae relave v (,,q), e non da paramer del modello (4). Queso consene d fare nferenza sul rango d conegrazone n presenza d cambamen sruural ulzzando un es la cu dsrbuzone asnoca non è affea da paramer d dsurbo. la dsrbuzone dpende dal valore assuno dalle durae relave v, ma non dal loro ordnameno: perano, se ad esempo q, la dsrbuzone è denca se v T /T/4 oppure v T /T3/4 s può dmosrare che lm v F q+ ( p r, v, Κ, v ) F ( p r, v, Κ, v, v, Κ, v ) + χ q+ q dove la F q e la χ sono ndpenden. La componene χ della dsrbuzone pr orgna dal fao che, benchè la duraa del -esmo sooperodo enda a zero, la corrspondene varable ndcarce vene comunque nsera nel ermne E, cu coeffcen sono vncola dalla (), e perano l numero d vncol mpos rmane nvarao. Se la varable ndcarce vensse compleamene esclusa dal modello, la componene χ svanrebbe. pr Il prncpale svanaggo della dsrbuzone F q è che, n generale, è necessaro generare valor crc della dsrbuzone medane smulazone d una approssmazone a empo dscreo della (6) per ogn possble se (v,,v q ). In realà, Johansen-Moscon-Nelsen () mosrano che, n analoga a quano descro n oornk (998) per l modello senza cambamen sruural, la coda desra della dsrbuzone F q (pr, v,, v q ) è pracamene denca a quella d una Gamma con meda e varanza approssmabl, per q 3 e (pr), medane le seguen relazon, cu paramer sono sa oenu medane anals della superfce d rsposa d un gran numero d smulazon: + pr q+ pr

7 meda exp{ n +.47a +.993b.69n.363na.95nb 4.a.35b +.84n + 6.a 3.33a b +.4b 3.5n.34an +.6bn a n + 3.8abn +.b n.8a 3 n 7.5ab n 4.95b 3 n +.68n.88bn 5.53a n + 3.a 3 n +.5b 3 n } (q)n (7) varanza exp{ n +.79a +.56b.898n.688na 4.8a a 3 +.4b 3.47n +.6an + 3.3bn 4.5a n.abn 5.87b n b 3 n +.874n.865bn } (q)n Nella (7), n(pr), menre a e b rappresenano l pù pccolo e l secondo pù pccolo de re nervall (v, v v, v ), coscchè se q, a e bmn(v, v ), menre se q, ab. La dsrbuzone Gamma con ques paramer fornsce approssmazon del 95% percenle della F q con error nferor al per mlle, assoluamene rascurabl dal puno d vsa praco, soprauo se s consdera che s sa dscuendo della dsrbuzone asnoca del es, che è per sua naura una approssmazone quando la s ulzz n campon fn. 4. Esempo llusravo In quesa sezone, l approcco proposo è llusrao medane un applcazone su da economc rmesral, relava all anals dell'poes d parà scopera de ass d neresse (UIP) ra ala e Germana nel perodo L anals è saa condoa ulzzando l sofware MALCOLM.4 (Moscon, 998), che mplemena medane menù d facle ulzzo ue le procedure propose. Le varabl consderae sono le seguen: I I [ p, p, e,, ] Y (8) ovvero, rspevamene, ass d nflazone rmesrale de due paes (dfferenza prma de logarm degl ndc de prezz al consumo), le varazon rmesral logarmche del asso d cambo L/M, e ass d neresse su ol d sao a lunga scadenza de due paes (ass annual dvs per 4). I ass d nflazone sono d fone EUROSTAT, camb sono d fone Banca d'iala, menre ass d neresse sono d fone IMF; da sono dsponbl su rchesa. La Fgura mosra l proflo dnamco delle sere, che sono rmesral, dal 973. al 996. (T9).

8 Inflazone n Iala (raeggao) e n Germana Tass d neresse n Iala (raeggao) e n Germana dfferenza log. del asso d cambo LIT/M Fgura : I da L'poes d parà scopera de ass d neresse (UIP) con aspeave razonal mplca che la combnazone lneare I ( ) e (9) λ λ sa sazonara con valore aeso nullo per qualche approprao valore d λ. Un evenuale valore aeso ρ dverso da zero può essere nerpreao come un premo per l rscho, ed I ndca che gl nvesor rchedono ( λ λ) > ρ per sposare capale dalla Germana all'iala, requlbrando n al modo l asso d cambo. Il rango d conegrazone aeso è qund almeno, ma ovvamene non c sono mov eorc conrar ad un rango d conegrazone maggore d. Per modellare l veore Y s ulzza l modello (4) con due cambamen sruural. L'ulma osservazone del prmo perodo è l 979:4, menre l'ulma osservazone del secondo perodo è l 99: (T 7, T 77, v.9, v.84, a.6, b.9). Il prmo cambameno sruurale concde con la creazone dello SME, ma dovrebbe coglere anche lo shock perolfero e l cambameno della polca moneara amercana. Il secondo cambameno corrsponde all'usca dell'iala dallo SME, ma dovrebbe coglere anche l'unfcazone della Germana.

9 La Tabella rpora le usual sasche per la deermnazone del rardo massmo k nel VAR (s veda ad esempo Moscon, 998). I crer d nformazone suggerscono dvers valor d k: n al caso, è praca comune ne VAR non sazonar preferre l crero d Hannan e Qunn. S è scelo qund k, che olreuo è l prmo valore d k che da resdu approssmavamene whe nose veorale, n base al es d Godfrey. k Akake Hannan-Qunn Schwarz Godfrey χ ( 5) Tabella : Anals del rrardo massmo (p-value per l es d Godfrey) La Tabella rpora es d normalà d Jarque-Bera condo su resdu del modello con k, che evdenzano una cera asmmera ne resdu dell'equazone d e e un eccesso d curos ne resdu dell'equazone per, coscchè la normalà è rfuaa a lvello d ssema. Sarebbe opporuno n queso caso nrodurre opporune varabl che consenano d oenere un resduo normale, ma daa la naura llusrava d queso sudo, non s procede n al senso. S no uava che, pochè prm k resdu del secondo e erzo sooperodo sono dencamene ugual a zero a causa dell'nroduzone delle dummy, es d scorrea specfcazone basa su resdu dovrebbero essere adaa: queso porebbe n pare spegare problem d curos. Equazone Asmmera Curos Asmm. e Curos I p p e I Ssema Tabella : Tes d normalà d Jarque-Bera (p-value) La Tabella 3 rpora rsula dell'anals del rango d conegrazone, condoa ulzzando l es del rapporo delle verosmglanze n (5). Il p-value è calcolao ulzzando l'approssmazone della dsrbuzone (6) daa da una Gamma con meda e varanza calcolae n base alla (7). L'anals suggersce r3, che è conssene con le aspeave a pror. ar5

10 Ipoes Tes p-value r r r r r Tabella 3: Tes per l rango d conegrazone (r) Le re relazon d conegrazone sono sae rsmae mponendo seguen vncol d sovradenfcazone (s veda Johansen, 996, per l'denfcazone dello spazo d conegrazone): ( ) 3 B b B B b γ β : H, con B, B e B 3 marc d vncol dare da 3 B B B,, e b e b veor d paramer da smare. Il es del rapporo delle verosmglanze, dsrbuo secondo una χ con 3 grad d lberà, assume valore 4.34, con un p-value d.35: l'poes perano non può essere rfuaa. Tale poes mplca che le seguen re varabl: ( ) I, e z, ( ), p z, ( ) ( ) I I, z 3 sono sazonare, ed esclude la presenza d rend nel prmo e secondo perodo per ue e re le varabl, e anche nel erzo per z 3,. La prma d al varabl ndca la volazone della UIP, la seconda ndca l asso d neresse reale edesco, la erza ndca l dfferenzale de ass d neresse real. L'poes UIP sembra perano acceaa. La Fgura 3 mosra le componen sazonare denfcare z,, z, e z 3,, unamene alle loro componen deermnsche. S noa che nel perodo cenrale (979:, 99:) n cu l'iala apparene allo SME, z, e z 3, hanno approssmavamene meda zero. La meda d z,, ovvero la dsaza dalla UIP, è posva e puoso grande nel prmo perodo, cosa che ndca che l

11 "premo per l rscho" sull'iala prma dello SME era approssmavamene l 4% su base annua. Nel erzo perodo, z, è n meda ancora posvo, esremamene alo mmedaamene dopo l'usca dell'iala dallo SME, ma ha un rend negavo e s azzera norno al STATIONARY COMPONENT # STATIONARY COMPONENT # STATIONARY COMPONENT # Fgura 3: Le componen sazonare In esrema snes, l anals mosra una maggore sablà delle relazon d conegrazone nel perodo d apparenenza dell Iala allo SME: n ale perodo la pendenza del rend è nulla, come pure l nercea. Al d fuor d ale perodo, le relazon d conegrazone appaono sazonare solo ncludendo nel modello un rend, cosa che ndca che esse non sono sabl. 5. Concluson In queso lavoro vene presenao e llusrao medane un esempo un meodo per condurre anals d conegrazone n presenza d cambamen d regme ulzzando l'approcco d massma verosmglanza d Johansen. Il meodo proposo presena l vanaggo d consenre d fare nferenza sul rango d conegrazone n modo non affeo da paramer d

12 dsurbo. Il es proposo ha nolre una dsrbuzone asnoca ben approssmable medane una Gamma. L'anals rchede che pun n cu avvene l cambameno d regme sano no a pror, e queso può essere vso come un dfeo. Tuava, pochè un cambameno d regme è un fao macroscopco, non è mplausble che l rcercaore abba effevamene n mol cas delle nformazon, e possa qund svolgere la sua anals condzonaamene ad esse. Esemp d cò sono da nell'applcazone llusrava: le dae d creazone dello SME e d usca dall'iala dal ssema sono ben noe, ed è puoso naurale aspears che un ale eveno abba un effeo sulla dnamca de camb della lra con le alre value europee. verse drezon d rcerca fuura possono aprrs: una prncpale rguarda l'esensone dell'approcco qu presenao a suazon n cu alr paramer, e non solo quell delle componen deermnsche, varano da un sooperodo all'alro. S porebbe pensare ad esempo a varazon nel rango d conegrazone o ne veor d conegrazone. Rfermen bblografc Anderson T.W., 95, Esmang Lnear Resrcons on Regresson Coeffcens for Mulvarae Normal srbuons, Annals of Mahemacal Sascs, Clemens M.P., Hendry.F. (999) Forecasng non-saonary economc me seres, MIT press, Cambrdge MA. oornk J.A (998) Approxmaons o he asympoc dsrbuon of conegraon ess, Journal of Economc Surveys,, Johansen S. (996) Lkelhood-based nference n conegraed vecor auoregressve models, nd prnng, Oxford Unversy Press. Johansen S., Moscon R., Nelsen B. () Conegraon analyss n he presence of srucural breaks n he deermnsc rend, worng paper Moscon R. (998) MALCOLM: The heory of pracce of conegraon analyss n RATS, Ca' Foscarna, Veneza. Nelsen B., Rahbek A. () Smlary Issues n Conegraon Models, d prossma pubblcazone su Oxford Bullen of Economcs and Sascs.