D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici

D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici D5.1 Definizione di ellisse come luogo di punti Definizione: un ellisse è formt dll insieme dei punti l cui somm delle distnze d due punti detti fuochi è costnte. In figur D5.1 l somm delle lunghezze d 1 e d è costnte per tutti i punti P fcenti prte dell ellisse. P d 1 d F 1 F Fig. D5.1 Definizione di ellisse. Per fcilità qundo si trtt questo rgomento lle scuole superiori i due fuochi vengono presi sull sse delle o sull sse delle. L equzione di un ellisse è rppresent l lunghezz del semisse sull sse. b rppresent l lunghezz del semisse sull sse. c = b rppresent l distnz dei fuochi dll origine. + = 1 b e = c è l eccentricità dell ellisse, e rppresent qunto l ellisse è llungt. L eccentricità è un vlore compreso tr 0 e 1. Per e che si vvicin 0 l ellisse divent sempre più simile un circonferenz. Per e che si vvicin 1 l ellisse divent strett e lung. + =1 b V 3 (0;b) b V 1 (-;0) F 1 (-c;0) F (c;0) V (;0) V 4 (0;-b) Fig. D5. Ellisse, fuochi e vertici. Osservzione: Se >b per c vle l formul dett sopr, ossi c = b, se =b si h un circonferenz con centro nell origine e rggio r==b, se <b llor c = b e i fuochi si trovno sull sse delle e non sull sse delle. Teori D5-1

L ellisse è un form presente in ntur: l terr ruot ttorno l sole seguendo un orbit form di ellisse. Il sole si trov in uno dei fuochi. Qundo l ellisse è stt studit (d Apollonio di Perg nel III secolo.c.) ncor ciò non si spev (fu Newton studire le triettorie dei corpi celesti nel XVII secolo d.c., ossi 000 nni dopo). Questo è uno dei tnti esempi nei quli l mtemtic h studito rgomenti molto prim che se ne trovssero ppliczioni prtiche. Il Colosseo e Pizz Sn Pietro sono stti costruiti form di ellisse. In ottic un rggio di luce che prte d un fuoco e si riflette internmente ll ellisse pss per l ltro fuoco. Anche l prbol è presente in ntur: gli oggetti in cdut liber seguono triettorie form di prbol. In ottic l proprietà dell prbol è che tutti i rggi di luce prlleli ll sse che si riflettono internmente ll prbol sono tutti riflessi verso il fuoco (e vicevers). E per questo che le stzioni per l trsmissione televisiv o rdiofonic utilizzno prbole. Ed è sempre per quest proprietà che per l ricezione stellitre si utilizzno strumenti di ricezione chimti prbole, che sono sempre più diffuse sui tetti delle cse. D5. L ellisse: rppresentzione grfic e ltri rgomenti RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Dt l equzione di un ellisse + = 1 per rppresentrl grficmente si devono trovre i semissi. Tutto ciò è b molto semplice, bst clcolre (che è l rdice del denomintore di ) e b (che è l rdice del denomintore di ). Esempio D5.1: Trovre i semissi e l eccentricità dell ellisse + = 1. 5 16 Dt l ellisse 1 5 16 crtesini i punti che delimitno l ellisse sui semissi, ossi (5;0), (-5;0), (0;4) e (0;-4) e unire tli punti. + = si ricv =5 e b =16, dunque =5 e b=4. Per trccire l ellisse si segnno sugli ssi Poiché c = 5 16 = 9 = 3 i fuochi sono (3;0) e(-3;0). L eccentricità è e=c /=3/5=0,6=60%. Quest ellisse è proprio quell rppresentt nell pgin precedente in figur D.. Esempio D5.: Trovre i semissi dell ellisse 9 +4 =36. Quest ellisse è dt in un form differente, quindi si deve trsformrl nell form usule. L equzione dell ellisse è dt con un 1 secondo membro. Per ottenere ciò prtendo dll equzione dt 9 +4 =36 si devono dividere mbo i membri per il termine noto: 9 4 36 9 + 4 = 36 + =, e semplificndo + = 1, 36 36 36 4 9 d cui = 4 = e b = 9 = 3. Esempio D5.3: Trovre i semissi dell ellisse 10 +18 =4. Anche in questo cso si deve trsformre nell form usule l ellisse dt. Si dividono mbo i membri per 4. 10 18 4 5 3 10 + 18 = 4 + = + = 1 + = 1 d cui = 1 e b 4 4 4 1 4 1 4 5 = 4 3 3 3 = 3 3 = 3. 5 3 INTERSEZIONI TRA ELLISSE E RETTA. Un ellisse e un rett si possono incontrre in due punti, in 1 punto o in nessun punto. punti di conttto (rett secnte) 1 punto di conttto (rett tngente) 0 punti di conttto (rett estern) Fig. D5.3 Intersezioni tr ellisse e rett. Per trovre i punti di conttto bst risolvere il sistem formto dlle equzioni di rette e ellisse. Con il sistem si trovno ovvimente nche i punti di intersezione con circonferenze, prbole e ogni ltr curv. TROVARE LE RETTE TANGENTI A UNA ELLISSE PASSANTI PER UN PUNTO. Dt un ellisse e un punto è possibile che ci sino due rette tngenti ll ellisse pssnti per il punto, 1 rett tngente o nessun. Ciò dipende dlle posizioni reciproche di ellisse e punto. Teori D5-

rette tngenti 1 rett tngente nessun rett tngente Fig. D5.4 Rette tngenti un ellisse. Il procedimento per determinre le rette tngenti è sempre lo stesso già visto per prbol e circonferenz. Si scrive il sistem tr l ellisse e il fscio di rette pssnti per il punto dto - 1=m(- 1). Risolvendo il sistem viene fuori un equzione di secondo grdo letterle che non v risolt. Si pone il =0 (dove =b -4c). Si risolve e si trovno i vlori di m. Si sostituiscono i vlori di m trovti in - 1=m(- 1) e si trovno così le rette tngenti. Se si trovno due vlori di m ci srnno due rette tngenti, se se ne trov uno ci srà un rett tngente. Se non se ne trovno non ci srnno rette tngenti. APPARTENENZA DI UN PUNTO. Un punto pprtiene ll ellisse se sostituendo le sue coordinte nell equzione dell ellisse si ottiene un identità (niente di nuovo, vle nche per tutti gli ltri grfici ) COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA ELLISSE. Nell equzione ci sono solo due prmetri e b. Per trovrli servono quindi due condizioni d mettere sistem. Si conosce il Fuoco (c;0). condizione: c = b Si conosce un Vertice (;0) o (0;b) condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conosce uno dei due semissi condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell ellisse + = 1. b Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell ellisse. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione richiest. Si conosce l eccentricità condizione: e = c. D5.3 Definizione di iperbole come luogo di punti Def. Un iperbole è formt dll insieme dei punti l cui differenz delle distnze d due punti detti fuochi è costnte. In figur quindi l differenz delle lunghezze d 1 e d è costnte per tutti i punti P fcenti prte dell iperbole. A differenze delle ltre curve viste finor è formt d due rmi. NON SONO DUE IPERBOLI, m sono DUE RAMI dell stess iperbole. P d d 1 F 1 F Fig. D5.5 Definizione di iperbole. Per fcilità qundo si trtt questo rgomento lle scuole superiori i due fuochi vengono presi sull sse delle o sull sse delle. L equzione di un iperbole è b = 1 rppresent l distnz del vertice sull sse. costruendo il rettngolo in figur b rppresent l lunghezz del semisse sull sse. Teori D5-3

c = + b rppresent l distnz dei fuochi dll origine. = ± b sono le equzioni delle due rette cui il grfico dell iperbole si vvicin sempre più senz toccrle mi. Sono dette ASINTOTI dell iperbole. e = c è l eccentricità. - =1 b b sintoti = ± (0;b) b F 1 (-c;0) V(-;0) V(;0) F (c;0) (0;-b) Fig. D5.6 Grfico di iperbole con vertici, fuochi e sintoti. Un iperbole è dett equilter se =b. E possibile trccire iperboli equiltere che bbino come sintoti rette prllele gli ssi. L equzione di un iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi è: = + b. (c 0) c + d Tle equzione è spesso dett funzione omogrfic. = è l sintoto orizzontle. c = d è l sintoto verticle. c Se =0 e d=0 llor gli sintoti sono proprio gli ssi. +b = c+d = c d =- c Fig. D5.7 Iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi. Osservzione: Teori D5-4

Se = 1 llor c = + b e i fuochi si trovno sull sse delle e non sull sse delle. In questo cso b l eccentricità non si clcol più con l formul e = c m con l formul e = c. b L eccentricità è un vlore sempre mggiore di 1. Per le iperboli equiltere l eccentricità h vlore. L iperbole è un form presente in ntur: le comete che entrno solo un volt nel sistem solre prim di llontnrsi per sempre dopo un unico pssggio in prossimità del sole descrivono triettorie form di iperbole. D5.4 l iperbole: rppresentzione grfic e ltri rgomenti RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Dt l equzione di un iperbole per rppresentrl grficmente si devono trovre i semissi. Tutto ciò è molto semplice, bst clcolre (che è l rdice del denomintore di ) e b (che è l rdice del denomintore di ). Esempio D5.4: Trovre i semissi e l eccentricità dell iperbole = 1. 9 16 Dt l iperbole = 1 si ricv che =9 e b =16, d cui =3 e b=4. Bst trccire i punti che delimitno l ellisse 9 16 sui semissi, ossi (3;0), (-3;0), (0;4) e (0;-4) e disegnre un rettngolo per ottenere gli sintoti. Per trccirne il grfico prtire di vertici (3;0), (-3;0) e vvicinrsi gli sintoti senz toccrli. Poiché c = 9+ 16 = 5 = 5 i fuochi sono (5;0) e(-5;0). L eccentricità è e=c /=5/3 1.6 166%. Quest iperbole è proprio quell rppresentt in figur D5.6. Esempio D5.5: Trovre i semissi dell iperbole 9-4 =36. Dt l iperbole 9-4 =36 per trovre e b occorre trsformrl nell form usule. Per questo si dividono mbo i membri per il termine noto: 9 4 36 9 4 = 36 =, e semplificndo = 1, d cui = 4 = e 36 36 36 4 9 b = 9 = 3. Si noti che l iperbole è del tipo Esempio D5.6: Trovre i semissi dell iperbole 10-18 =4. = 1 con i fuochi sull sse. b Come nell esempio precedente si dividono mbo i membri per 4. 10 18 4 5 3 10 18 = 4 = = 1 = 1 d cui 1 4 4 4 1 4 1 4 5 5 3 Teori D5-5 = 3 3 e b = 4 3 = 3 3 = 3. Per le iperboli equilteri con sintoti prlleli gli ssi si usno le formule viste per trccire gli sintoti e poi bst trovre qulche punto ssegnndo vlori lle e trovndo i corrispondenti vlori delle. INTERSEZIONI. Un iperbole e un rett si possono incontrre in due punti, in 1 punto o in nessun punto. Per trovre i punti di conttto bst risolvere il sistem formto dlle equzioni di rett e iperbole. Con il sistem si trovno ovvimente nche i punti di intersezione tr circonferenze, prbole e ogni ltr curv. TROVARE LE RETTE TANGENTI A UNA IPERBOLE PASSANTI PER UN PUNTO. Dt un iperbole e un punto è possibile che ci sino due rette tngenti ll iperbole pssnti per il punto, 1 rett tngente o nessun. Ciò dipende dlle posizioni reciproche di iperbole e punto. Il procedimento è sempre lo stesso già visto per prbol, ellisse e circonferenz. Si scrive il sistem tr l iperbole e il fscio di rette pssnti per il punto dto - 1=m(- 1). Risolvendo il sistem viene fuori un equzione di secondo grdo letterle che non v risolt. Si pone il =0 (dove =b -4c). Si risolve e si trovno i vlori di m. Si sostituiscono i vlori di m trovti in - 1=m(- 1) e si trovno così le rette tngenti. Se si trovno quindi due vlori di m ci srnno due rette tngenti, se se ne trov uno ci srà un rett tngente. Se non se ne trovno non ci srnno rette tngenti. APPARTENENZA DI UN PUNTO. Un punto pprtiene ll iperbole se sostituendo le sue coordinte nell equzione dell ellisse si ottiene un identità (niente di nuovo, vle nche per tutti gli ltri grfici). COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA IPERBOLE. Nell equzione ci sono solo due prmetri e b. Per trovrli servono quindi due condizioni d mettere sistem.

Si conosce il Fuoco (c;0) condizione: c = + b. Si conosce uno dei due semissi o dei vertici condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conoscono gli sintoti condizione: si conosce il vlore di b. Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell iperbole = 1. b Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q. In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell iperbole. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione richiest. Si conosce l eccentricità condizione: e = c. COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI. L formul di un iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi è = + b. c + d In reltà non serve trovre, b, c e d perché dividendo tutto per c si ottiene: + b = c c = h + k con h =, k c + d + = b, l = d e bst trovre h, k e l. l c c c c c Si conosce uno dei due sintoti condizione: si conosce il vlore di h = o di l = d. c c Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell iperbole = h + k. + l Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q. In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell iperbole. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione. D5.5 Le coniche Dopo l rett si sono studite le equzioni di prbol, circonferenz, ellisse e iperbole. Sono tutte equzioni di secondo grdo in due incognite. Apprtengono ll fmigli delle curve CONICHE, studite d Apollonio di Perg nel III sec..c. Ai tempi degli ntichi greci non esistev l lgebr come l conoscimo oggi, quindi tutti i risultti trovti d Apollonio rigurdno l form geometric di tli curve. L ide di Apollonio è l seguente: si prend un cono infinito (in mbo le direzioni) e lo si tgli con un pino. L sezione che ne risult è un conic. A second dell inclinzione del pino si vrà un cerchio, un ellisse, un prbol, un iperbole. Se il pino pss per l origine del cono llor si hnno delle coniche degeneri. Fig. D5.8 Coniche come intersezioni tr pino e cono. Le coniche si rppresentno lgebricmente (m questo è stto scoperto molto tempo dopo) per mezzo di equzioni di secondo grdo in due vribili, ossi: +b +c+d+e+f=0 Al vrire dei sei prmetri, b, c, d, e, f si ottengono tutte le coniche possibili del pino incluse le degeneri, m l trttzione di questo rgomento esul dll trttzione. Un ultim osservzione rigurd l posizione dei fuochi. Si cerchi di immginre come cmbi l conic spostndo uno dei due fuochi. Si prte d un circonferenz, quindi con i fuochi coincidenti nel centro. L figur D5.9 rppresent questo concetto in mnier intuitiv, non ne viene dt l dimostrzione. Teori D5-6

Circonferenz. Si spost verso destr un fuoco e si ottiene un ellisse. Spostndo ulteriormente il fuoco l ellisse si llung. Spostndo il fuoco ll infinito si ottiene un prbol. Il fuoco torn dll ltro lto e l curv divent un iperbole. Fig. D5.9 Coniche l vrire dei fuochi. D5.6 Luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del pino per cui vle un cert proprietà. Quindi sono luoghi geometrici l rett, l prbol, l ellisse, l circonferenz e l iperbole. Il problem che si vuole ffrontre è: come trovre l equzione di un luogo geometrico prtire dll proprietà. Ecco due esempi: Esempio D5.7 PARABOLA: L prbol è l insieme dei punti equidistnti dl fuoco e dll direttrice. Teori D5-7

Si un punto dell prbol generico P(, ), il fuoco il punto F( 0, 0) e l direttrice l rett r: =k (-k=0 in form esplicit con =0, b=1 e c=k). Equidistnte vuol dire che l distnz PF e l distnz Pr sono uguli. k PF = ( 0) + ( 0) Pr = = k. 1 Si pongono queste due distnze uguli tr loro. ( ) ( ) + = k ( 0) + ( 0) = ( k ) ( ) + ( ) = ( k) + + + = + k k ( 0) = 0 0 0 + k 0 0 0 + k + + + k + k = 0 k 0 = + e p 1 0 0 0 + k onendo = b = c = k k k k k k si ottiene = + b + c esttmente come ci si spettv. Non sempre le cose sono così semplici. Si vede qui un ltro esempio. 0 Esempio D5.8: Si il punto A(-1,0) e il punto C(O,k), con k numero rele. Trovre l'equzione del luogo dei punti M ed N comuni ll rett AC e ll circonferenz di centro C e pssnte per O. (Esme concorso ordinrio 90). Rett AC : 0 = + 1 = + 1 = k+ k k + 1 k 1 Circonferenz centro C pssnte per O ( 0) ( ) Il rggio dell circonferenz è l distnz tr C e O ossi k. + k = k I punti comuni si ottengono impostndo il sistem e fcendo sprire k. k k( 1) = = + + 1 ( 0) ( k) k + = ( 0) + = + 1 + 1 ( + 1) ( 1) + + + = + = + = + = 1 1 1 1 + + + + + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ( ) ( + 1) + + 1 + = + + + = 4 3 0 Tle curv è di qurto grdo e questo è il suo grfico. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fig. D5.10 Grfico dell curv pin 4 + 3 + + = 0 Tli curve sono dette curve pine e di solito non si studino lle scuole superiori. Teori D5-8

D5.7 Coordinte polri E possibile determinre univocmente un punto P(,) sul pino senz conoscere le sue coordinte crtesine m conoscendo invece: L su distnz ρ dll origine. L ngolo θ che form l rett OP con l sse. Un punto in coordinte polri è indicto con P(ρ,θ). ρ θ PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A COORDINATE CARTESIANE Conoscendo un punto P(ρ,θ) le sue coordinte crtesine, si ricvno dll trigonometri: =ρcos θ =ρ sin θ PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A COORDINATE POLARI Conoscendo un punto P(,) le sue coordinte polri sono: ρ = + cos θ = ρ sinθ = ρ Inftti ρ si trov con il teorem di Pitgor, mentre θ è espresso in funzione del suo seno e del suo coseno. Esempio D5.9 Trsformre d coordinte polri in coordinte crtesine il punto P, π 3. Il punto cercto è dunque P ( 1, 3). π 1 = cos = = 1 3 = sin π = 3 = 3 3 Esempio D5.10 Trsformre d coordinte crtesine in coordinte polri il punto P ( 1, 1) L ngolo con seno e coseno entrmbi uguli Teori D5-9. ρ = + = ( ) + ( ) = cos 1 1 θ = = = = ρ sin 1 1 θ = = = = ρ 1 1 è 5 π, per cui il punto cercto è P, 5π 4 4.

D5.8 Curve in form prmetric Un curv si dice espress in form prmetric qundo si l che l (o l ρ e l θ) dipendono d un prmetro t. = (t) ρ = ρ(t), = (t) θ = θ(t) EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA RETTA = 1 + lt Un rett h equzione prmetric, = 1 + mt in cui ( 1, 1) è un qulsisi punto dell rett e i prmetri l e m fnno le veci del coefficiente ngolre. Se l=0 e m 0 llor l rett rppresentt è verticle (= 1). Se l 0 e m=0 llor l rett rppresentt è orizzontle (= 1). Se l=m=0 llor non è rppresentt un rett m il punto P( 1, 1). Esempio D5.11 = 1 t Si esprim l rett in form implicit. = 3 + t Esempio D5.1 ( ) = 1 t = 1 t = 1 + 3 = 1 6 + + 5= 0. = 3+ t t = + 3 t = + 3 t = + 3 t = + 3 Si esprim l rett =3- in form prmetric. = t. = 3t EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA CIRCONFERENZA Un circonferenz di centro l origine h equzione prmetric: = rcost, t [0,π], = rsint ed è evidente che r e t fnno le veci di ρ e θ nell rppresentzione polre. Un circonferenz generic di centro ( 0, 0) h equzione prmetric: = 0 + rcost, t [0,π]. = 0 + rsint EQUAZIONE PARAMETRICA DELL ELLISSE Un ellisse di equzione + = 1 h equzione prmetric: b = cost, t [0,π]. = bsint EQUAZIONE PARAMETRICA DELL IPERBOLE Un iperbole di equzione = 1 h equzione prmetric: b = cost, t π, π. = b tgt EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA PARABOLA L prbol di equzione = +b+c h ovvimente equzione prmetric: = t. t = + bt + c Qundo l equzione di un curv non è espress in funzione di e m in funzione di ρ e θ si h l equzione in coordinte polri. Esempio D5.13 Si scriv l equzione dell circonferenz + +-4-15=0 in coordinte polri. = rcost =ρcos θ Spendo che si sostituiscono tli vlori nell equzione dell circonferenz, ottenendo: = rsint = ρ sin θ + + 4 15 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ρcos θ + ρsin θ + ρcos θ 4 ρsin θ 15= 0 ρ θ+ρ θ+ ρ θ ρ θ = cos sin cos 4 sin 15 0 ( ) ( ) ( cos 4sin ) 15 0 ρ θ+ θ +ρ θ θ = cos sin cos 4 sin 15 0 ρ +ρ θ θ = Teori D5-10

E nlogo il procedimento per le ltre curve. ALTRE CURVE Esempio D5.14 (Spirle di Archimede) Si indic con il termine di Spirle di Archimede l curv: ρ = θ, in cui R + è detto psso dell spirle. Qui lto in figur è rppresentt l spirle con =1. Esempio D5.15 (Crdioide) Si indic con il termine di Crdioide l curv: ( 1 cos ) Qui lto in figur è rppresentt l crdioide con =1. ρ = + θ, in cui R +. Esempio D5.15 (Cissoide di Diocle) Si chim cissoide di Diocle l curv che si ottiene con l seguente costruzione geometric: Dt un circonferenz di dimetro OA=, si conduc per O un rett qulsisi r e d A l tngente d ll circonferenz. L rett r incontr ulteriormente l circonferenz in un punto K e l tngente d in N. Preso su r un segmento OQ ugule in vlore e segno KN, il punto Q, l vrire dell rett r ttorno d O, descrive un curv che si chim Cissoide di Diocle. Ess h equzione =1. ρ = sin θ cos θ ed è qui lto rppresentt nel cso in cui Esempio D5.16 (Lemnisct di Bernoulli) Si chim lemnisct di Bernoulli il luogo geometrico dei punti del pino tli che il prodotto delle loro distnze d due punti fissi F e F, detti fuochi, è ugule l qudrto dell semidistnz focle. Indicndo con c=d(ff ) h equzione crtesin: ( c) ( ) + + c + = c. L equzione in coordinte polri è invece: ρ = ccos θ. ( ) L posizione del sole d un or fisst del giorno descrive nel corso dell nno un triettori che è un lemnisct. Le lemniscte sono per quest rgione utilizzte per l progettzione e l relizzzione delle meridine. Teori D5-11