Corso di Gasdinamica II

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1 Corso i Gsinmi II Tommso Astrit strit@unin.it Comlementi i Gsinmi T Astrit Moulo 6 el 0//009 Equioni i bilnio in form lole: D 0 Dt D τ Dt DE Dt t ( λ T ) τ In form onservtiv iventno: t 0 ( ) ( ) τ t ( Et ) ( Et ) ( λ T τ ) t D Dt t τ ( ) s k( )U µ 0 E t u t t Comlementi i Gsinmi T Astrit

2 Comlementi i Gsinmi T Astrit 3 Bilnio ell entroi: T T T Dt Ds φ λ s 0 : τ φ φ λ λ T T T T T Dt Ds Comlementi i Gsinmi T Astrit 4 Trsurno i flussi issitivi e in oorinte rtesine le equioni ossono essere messe nell form: E t w v u Q 0 G F E t Q u ue uw uv u u E t v ve vw v uv v F t w we w vw uw w G t

3 Nell iotesi ggiuntiv i moto stionrio er il teorem i Croo, rte er si rtiolri (moto ll Beltrmi), il moto è nhe irrotionle. j w v u w v u ε ijk σ k î ĵ kˆ i w v 0 u w v u L equione i bilnio ell quntità i moto ivent: 0 ( uu vu wu ) 0 ( uu vv ww ) 0 ( uv vv wv ) 0 ( uu vv ww ) 0 ( uw vw ww ) 0 ( uu vv ww ) 0 Comlementi i Gsinmi T Astrit 5 Luigi Croo Eugenio Beltrmi Plermo Cremon Comlementi i Gsinmi T Astrit 6

4 Comlementi i Gsinmi T Astrit 7 Moltilino l rim er l seon er e l ter er e sommno si h: w v u ww vw uw w v u wv vv uv w v u ww vv uu Comlementi i Gsinmi T Astrit 8 Lo stesso risultto si uò ottenere un termini vettorili ll ientità: 0

5 M: j j j ( ) ε ijk σ k l σ l ε ijkε klm l σ m ε kijε klm l σ m ε kij ε klm δ δ il jm i δ im δ jl Suonimo k il rimo membro è iverso 0 solo se i j, l m e i, j, l, m. Quini: i i i l i m j m j l δ δ il δ im jm δ jl ( ermutione) ( ) ε ijk i j σ σ ε k l l ε j j j ( δ ) ( ) ilδ jm δ imδ jl lσ m iσ j jσ i i i i ijk ε klm i j σ l m kij ε klm i j σ l m Comlementi i Gsinmi T Astrit 9 Il otenile è tle he: u v w Se è ossibile efinire un funione he soisf queste oniioni il moto si ie otenile. Per flussi inomressibili si h: 0 0 Equione i Lle. Dl teorem i Shwrt: ( ) 0 u u w v w v 0 Comlementi i Gsinmi T Astrit 0

6 Pierre-Simon, Mrhese i Lle (Beumont-en-Auge, Normni, 3 mro Prigi, 5 mro 87) Comlementi i Gsinmi T Astrit In generle si uò lire l eomosiione i Helmholt: Hermnn Luwig Ferinn von Helmholt (August 3, 8 Setember 8, 894) Comlementi i Gsinmi T Astrit

7 Comlementi i Gsinmi T Astrit 3 Dll equione ell ontinuità si h: 0 0 w v u 0 0 Comlementi i Gsinmi T Astrit 4 Nelle stesse iotesi si h: Che sostituite nell () nno: 0 0

8 Comlementi i Gsinmi T Astrit 5 Rggruno: Per si rie nelle iotesi i moto inomressibile e l equione si riue quell i Lle. 0 0 o o o RT T R RT γ γ γ γ γ Comlementi i Gsinmi T Astrit 6 L () ivent: Quest esressione è un equione ifferenile lle erivte rili linere i non file soluione. H senso risrivere quest equione in termini vettorili: 0 o γ 0 3 o γ 0

9 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) γ ( ) ( ) γ o o γ ( ) ( ) 4 o Che esseno generle uò essere lit in qulunque sistem i riferimento. Comlementi i Gsinmi T Astrit 7 Comlementi i Gsinmi T Astrit 8

10 Comlementi i Gsinmi T Astrit 9 Comlementi i Gsinmi T Astrit 0

11 Teori elle rtteristihe L (3) e, in generle l (4), er moto biimensionle ossono essere messe nell form: ( 5) 3 4 Che è un equione ifferenile qusi linere (le ostnti ossono ienere nhe lle erivte rime i ) lle erivte rili el seono orine. Comlementi i Gsinmi T Astrit Teori elle rtteristihe L teori elle rtteristihe uò essere utilit er l soluione i equioni lle erivte rili i tio ierbolio. Come si verà in seguite nell gsinmi l equione el otenile ivent ierboli quno il moto è suersonio. In questo so è ossibile efinire elle rorietà elle urve rtteristihe: Lungo un urv rtteristi si rogno i ioli isturbi ll veloità el suono lole. Dovrebbe essere noto he in moto subsonio i ioli isturbi ossono rggiungere tutti i unti el ominio interesse. Mentre in regime suersonio i ioli isturbi non esseno in gro i rislire l orrente ossono rggiungere solo luni unti el ominio interesse. Comlementi i Gsinmi T Astrit

12 Teori elle rtteristihe Attrverso un urv rtteristi le rorietà el flusso sono ontinue, nhe se le erivte ossono essere isontinue, mentre lungo un urv rtteristi le erivte sono ineterminte. L rim rtteristi è eviente in un esnsione ll Prntl e Meer inftti, in questo so le urve rtteristihe sono le rette he rtono llo sigolo e ttrverso queste urve l funione è ontinu m le sue erivte no. Inftti rim o oo l urv l funione è ostnte e, quini l erivt è null, mentre sull urv rtteristi eve essere ivers ero er onsentire l vriione infinitesim. Comlementi i Gsinmi T Astrit 3 Teori elle rtteristihe L seon rtteristi uò essere verifit on un esemio: u bu Il ifferenile i u uò essere esresso ome: u u u Queste ue equioni ossono essere viste ome ue equioni nelle ue inognite u e u : b u u u Che risolt on l regol i Crmer : u u b b bu b b b u Comlementi i Gsinmi T Astrit 4

13 b u u u u u u b Quno b Teori elle rtteristihe u b b le erivte u e u risultno ineterminte. Le urve i questo tio sono evientemente rtiolri e vengono himte urve rtteristihe. Se imonimo he nhe il numertore si nullo il sistem è ineterminto. Per risolvere il roblem si evono risolvere ue equioni ifferenili orinrie: b u Comlementi i Gsinmi T Astrit 5 Teori elle rtteristihe Lungo un urv rtteristi l equione ifferenile lle erivte rili uò essere trsformt in un equione ifferenile orinri. b u bu u u Che onfrontt on l erivt totle lungo un urv rtteristi: u b b u u u u u Comlementi i Gsinmi T Astrit 6

14 Teori elle rtteristihe Si suong i vere l seguente equione ifferenile orinri: 0 L soluione generle è: sin os Inftti erivno si h: os sin ( ) sin( ) ( ) os( ) Con un roblem i vlori iniili (roblem i Cuh) è file trovre il vlore elle ostnti e l soluione è uni. A esemio se suonimo he il unto iniile si er 0 si h: 0 ( 0) Comlementi i Gsinmi T Astrit 7 Teori elle rtteristihe Fissno i vlori elle ue ostnti l soluione è uni. sin( ) os( ) ( 0) ( 0) Comlementi i Gsinmi T Astrit 8

15 Teori elle rtteristihe Suoneno he: ( 0) 0 sin( ) os( ) ( 0) Comlementi i Gsinmi T Astrit 9 Teori elle rtteristihe Suoneno he: ( 0) sin( ) os( ) ( 0) 0 Comlementi i Gsinmi T Astrit 30

16 Teori elle rtteristihe Per un roblem i limiti invee l situione è iù omless inftti se le oniioni sono imoste er 0 e er ξ: ( 0) ( ξ ) sin os sin( ξ ) os( ξ ) È file ire he er erti vlori i ξ non è grntit l esisten ell soluione. A esemio er. ξπ Non è ossibile ssegnre il vlore ell funione iere. M er l esisten ell soluione è neessrio he: 0 ξ E in questo so esistono infinite soluioni ossibili. Comlementi i Gsinmi T Astrit 3 Teori elle rtteristihe ( 0) ( π ) ( ) os( ) sin Comlementi i Gsinmi T Astrit 3

17 ( 5) 3 4 Teori elle rtteristihe Nel so generle i un equione el seono orine tio quell el otenile si ossono utilire vri metoi er l eterminione elle equioni elle urve rtteristihe e elle oniioni i omtibilità. Metoo Metoo elle erivte ineterminte. È l generliione el metoo già visto: ( ) ( ) Le tre equioni messe in form mtriile iventno: 0 Ovvero in form mtriile: 0 3 ( ) ( ) 4 A b A Comlementi i Gsinmi T Astrit 33 b ( ) ( ) 4 A b Teori elle rtteristihe A Questo sistem i equioni è ineterminto quno il eterminnte ell mtrie A è nullo: b ( ) ( ) 4 A ( ) ( 0 ) Divieno er si h: 3 0 Che risolt le equioni elle ue fmiglie i urve rtteristihe: ± 3 Se il isriminnte 3 fosse negtivo le equioni elle urve rtteristihe srebbero omlesse. Comlementi i Gsinmi T Astrit 34

18 Teori elle rtteristihe 3 > 0 0 < 0 Equione ierboli Equione rboli Equione ellitti Comlementi i Gsinmi T Astrit 35 Equioni ierbolihe Equione elle one; tt ± 0 0 ± Moto suersonio; t 3 Moto non stionrio invisio. ± 3 ( 5) 3 4 Comlementi i Gsinmi T Astrit 36

19 Equioni ierbolihe Comlementi i Gsinmi T Astrit 37 Equioni ierbolihe Comlementi i Gsinmi T Astrit 38

20 Equioni rbolihe Equione el lore; Equioni ello strto limite. t α 3 α 0 0 t 0 0 α ± 3 ( 5) 3 4 Comlementi i Gsinmi T Astrit 39 Equioni rbolihe Comlementi i Gsinmi T Astrit 40

21 Equioni rbolihe Comlementi i Gsinmi T Astrit 4 Equioni ellittihe Equione i Lle; Moto otenile subsonio. 0 Comlementi i Gsinmi T Astrit 4

22 Equioni ellittihe Comlementi i Gsinmi T Astrit 43