1 Intoduzione 4. 2 Interazione forte Nucleoni Sistema N-N Caratteristiche delle interazione forte... 8

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2 Indice 1 Intoduzione 4 2 Inteazione fote Nucleoni Sistema N-N Caatteistiche delle inteazione fote Teoia effettiva Costuzione della teoia effettiva Teoia effettiva pe l inteazione fote Intoduzione Costuzione del potenziale Popietà del potenziale Potenziale a pimo odine Potenziale al secondo odine Intepetazione fisica dei temini di inteazione Potenziale al secondo odine nello spazio delle coodinate 19 5 Il Deutone Lo stato fondamentale: tattazione pe foza centale Temini non centali della foza Equazione di Schödinge pe il deutone Ossevavabili di inteesse Il pincipio vaiazionale Intoduzione Applicazione al caso del Deutone Risultati Convegenza vaiazionale Convegenza pe il numeo di punti di Laguee Risultati al pimo odine Risultati pe l odine successivo dello sviluppo Deteminazione di c 0, d 1, d Risultati finali A Il poblema a due copi 41 2

3 INDICE 3 B Opeatoi del potenziale al secondo odine 43 C Tasfomata di Fouie 48 C.1 Potenziale senza cutoff C.2 Potenziale con cutoff D Cambio di appesentazione 51 E Funzioni di Spin-Angolo 57 F Opeatoe Tensoe S G Polinomi di Laguee 67 H Pogamma 68

4 Capitolo 1 Intoduzione L inteazione Fote è una delle quatto inteazioni fondamentali della natua, la teoia fisica che si occupa di studiala è chiamata comodinamica quantistica, in inglese abbeviata con QCD. Nel egime delle alte enegie la QCD si pesta bene nella descizione dell inteazione fote offendo la possibilità di un appoccio petubativo ai calcoli. D alto canto a basse enegie la costante di accoppiamento dell inteazione fote, come si deduce dai dati speimentali e da consideazioni teoiche, diventa molto più gande, di conseguenza bisogna abbandonae la possibilità di un appoccio semplice come quello delle petubazioni. Una possibile isoluzione a tale poblema viene suggeito dalle cosidette Teoie effettive. In questo lavoo di tesi ci popoemo di analizzae il sistema legato del deutone nel ange delle basse enegie utilizzando una Teoia effettiva pionless. 4

5 Capitolo 2 Inteazione fote 2.1 Nucleoni Nel coso del 1900 fuono numeose le evidenze speimentali a favoe dell esistenza del nucleo atomico, pe esempio l espeienza di Ruthefod dimostò che la caica positiva di un atomo +Ze (Z appesenta numeo atomico) è confinata in una egione centale, in cui paticamente è concentata quasi tutta la sua massa, attono alla quale è situata la nuvola di Z elettoni. Successivamente venne dimostato che nel nucleo esistevano alte paticelle olte ai potoni, queste paticelle aventi quasi la stessa massa dei potoni e caica nulla fuono denominate neutoni. Concludendo, a tutt oggi gazie alle vaie evidenze speimentali possiamo affemae che il nucleo atomico è fomato da potoni aventi caica +e e neutoni di caica nulla, queste paticelle vengono denominate nucleoni e le loo masse isultano ispettivamente: M p = ( ± MeV/c 2 ), (2.1) M n = ( ± MeV/c 2 ). (2.2) Sia i neutoni che i potoni sono femioni e posseggono momento angolae di spin uguale a 1 2 h. I nucleoni inteagiscono mediante l inteazione fote; questa foza isulta molto più intensa della foza elettomagnetica ma contaiamente a quest ultima è a coto aggio. Possiamo consideae la foza elettomagnetica tascuabile ispetto alle inteazioni foti. La foza nucleae, inolte è indipendente dalla caica, di conseguenza si può concludee vista la ben poca diffeenza fa le masse di potone e neutone che queste paticelle sono indistiguibili dal punto di vista dell inteazione fote e possono essee consideate come due stati quantici distinti di una stessa paticella. L ossevabile che si occupa di distinguee fa neutone e potone viene chiamato Isospin e viene indicato con il simbolo di vettoe t. Questo paticolae opeatoe possiede la stessa algeba dell opeatoe di spin e può quindi essee tattato come un comune momento angolae, infatti, il suo 5

6 6 CAPITOLO 2. INTERAZIONE FORTE modulo quado t 2 saà caatteizato dal numeo quantico 1 2 poiezioni t z caatteizzate dagli autovaloi ± 1 2. e dalle elative In quest ottica di analogia dello spin possiamo intodue anche gli opeatoi τ = 2 t e τ 3 = 2t z tali che: t z p = 1 2 p τ 3 p = p t z n = 1 2 n τ 3 n = n. Dove p e n appesentato ispettivamente lo stato di potone e neutone del nucleone. Analogo discoso si può fae pe le componenti t x e t y e pe gli opeatoi τ 1 e τ 2. Le componenti dell opeatoe vettoiale τ si possono appesentae mediante le ben note matci di Pauli σ x e σ y σ z : τ 1 = ( ), τ 2 = pe le quali vale la seguente popietà: 2.2 Sistema N-N ( 0 i i 0 [τ i, τ j ] = 2 i ɛ ijk τ k. ), τ 3 = ( ) In questa sezione costuiemo la funzione d onda che descive il sistema di due nucleoni, questo veà fatto consideando i isultati del poblema due copi descitto nell appendice A. L isospin obbedisce all algeba dei momenti angolai, di conseguenza, detto t 1 l opeatoe di isospin della pima paticella e t 2 quello della seconda, l isospin totale può essee scitto in questo modo: T = t 1 + t 2. Il numeo quantico di isospin T potà assumee soltanto due valoi che coispondeanno uno allo stato di tipletto (T = 1) ed uno allo stato di singoletto (T = 0), più sinteticamente: T = 1 tipletto di isospin +1 p p (potone -potone), p n + n p T z = 0 2 (potone -neutone), 1 n n (neutone -neutone) ; come si vede gli stati di tipletto sono simmetici nello scambio dei due nucleoni; T = 0 singoletto di isospin coisponde a un solo stato antisimmetico, con T z = 0 p n n p 2 (potone -neutone).

7 2.2. SISTEMA N-N 7 Concludendo, lo stato di un nucleone viene specificato utilizzando te vaiabili pe lo spazio, una pe lo spin ed una pe l isospin, di conseguenza il potenziale del sistema nucleone-nucleone saà del tipo: V = V ( 1, σ 1, τ 1, 2, σ 2, τ 2 ). (2.3) Si inizi supponendo che un nucleone sia descitto da una funzione d onda del tipo: Ψ α,tz,s z ( ) = ψ α ( )χ sz η tz, dove χ sz e η tz sono gli spinoi di spin e isospin mente α sta pe l insieme di numei quantici necessai a identificae lo stato spaziale del nucleone. Sappiamo che la funzione spaziale può essee scitta in questo modo: ψ α ( ) = R()Y l,m (θ, ϕ) e pe scambio di con si ha pe le coodinate sfeiche: e pe le amoniche sfeiche: θ π θ ϕ π + ϕ Y l,m (π θ, π + ϕ) = ( 1) l Y l,m (θ, ϕ). Le amoniche sfeiche infatti sono funzioni a paità definita, di consenguenza la funzione d onda del sistema N-N completamente antisimmetica può essee espessa nelle seguenti fome: { Ψ α,s,t (1, 2) = ψβ A S = 1, S z T = 1, T z ( ) (2.4a) S = 0 T = 0 oppue Ψ α,s,t (1, 2) = ψ S α( ) { S = 1, S z T = 0 S = 0 T = 1, T z (2.4b) dove S = s 1 + s 2 è lo spin totale dei due nucleoni, T = t 1 + t 2 è l isospin totale, α e appesenta i te numei quantici spaziali della paticella elativa, e gli indici S/A si ifeiscono alle popietà di simmetia/antisimetia della pate obitale della funzione d onda. Quindi non si possono avee tutti gli stati del sistema nucleone-nucleone: ad esempio il canale S(L = 0), simmetico nella pate spaziale, dovà essee uno stato di singoletto o di spin o isospin e non contempoaneamente. Questo fatto può essee schematizzato utilizzando la notazione spettoscopica 2s+1 L J, con l S J l +S, i possibili stati di singoletto di isospin, T = 0, sono: pe S = 1 pe S = 0 3 S 1, 3 D 1,2,3, 3 G 3,4,5,... 1 P 1, 1 F 3,...

8 8 CAPITOLO 2. INTERAZIONE FORTE e i possibili stati di tipletto di isospin, T = 1, sono: pe S = 1 pe S = 0 3 P 0,1,2, 3 F 2,3,4,... 1 S 0, 1 D 2, 1 G 4, Caatteistiche delle inteazione fote In natua i sistemi fomati da due nucleoni sono il sistema potone-potone, neutone-neutone, e potone-neutone. Il sistema potone-neutone, può esistee in uno stato legato stabile, il deutone, che esiste solo nel suo stato fondamentale, questo paticolae sistema saà oggetto di studio in questo lavoo. Olte al deutone, si può studiae il sistema neutone-potone anche in uno stato di enegia positiva, cioè nei cosiddetti stati di scatteing. Gli espeimenti pe studiae questa situazione sono nomalmente eseguiti lanciando un fascio di potoni in un cumulo nucleae. Neutoni e potoni sentono la pesenza di ciascun alto attaveso la foza nucleae che cambia la diezione e il valoe della loo velocità. Anche l angolo, con il quale un nucleone è diffuso, è deteminato dalla foza nucleae, o, al contaio, la deteminazione speimentale della distibuzione angolae del neutone e potone diffuso fonisce evidenza delle caatteistiche della foza nucleae. Il sistema legato di due potoni, come ad esempio 2 He non esiste in natua. Questo fatto succede pechè la foza nucleae ta i due potoni non `sufficientemente fote pe legae i potoni a fonte della epulsione di Coulomb, e 2 / 2. Non vi sono neanche evidenze speimentali del sistema legato neutone-neutone. Pe ogni sistema isolato vengono ispettate le leggi di invaianza e di consevazione. Più in dettaglio si può die che il compotamento fisico di un sistema isolato non è influenzato da una scelta abitaia del sistema di coodinate. Se l enegia è indipendente dalla scelta dell oigine (invaianza pe taslazioni), e quindi, se il sistema si compota identicamente ovunque è localizzato nello spazio, di conseguenza il momento totale del sistema è una costante del moto. Analogamente, se non c è fisicamente pefeenza diezionale o se l enegia è indipendente dall oientazione dell asse delle coodinate, alloa il momento angolae totale del sistema è consevato. Un alta popietà dei sistemi isolati in cui si analizza l inteazione fote isulta l invaianza pe paità, essa è connessa con l invaianza fisica sotto lo scambio dal lato desto al lato sinisto del sistema di coodinate o, allo stesso modo, sotto una iflessione degli assi. In questo caso esistono stati stazionai con funzione d onda pai o dispai quando le coodinate x, y, z sono sostituite con x, y, z. Nonostante esistano in natua pocessi (deboli) che distinguono desta e sinista, in tutte le eazioni che coinvolgono solo le foze nucleai o elettomagnetiche la paità totale del sistema è consevata. Risulta speimentalmente che la foza nucleae deve essee una foza a coto aggio, dell odine del femi, m. Una foma possibile dell enegia

9 2.3. CARATTERISTICHE DELLE INTERAZIONE FORTE 9 potenziale ta neutone e potone è stata postulata da Yukawa [6]: V () = V 0 e /n / n, (2.5) dove è la distanza ta i nucleoni, n è una cota distanza fissata e V 0 è un enegia positiva fissata. V 0 detemina l intensità della foza, di tipo attattivo, e n fissa il suo ange. Il potenziale (2.5) è centale, cioè dipende solo da, e le foze isultanti sono diette lungo la congiungente delle due paticelle. Ma i nucleoni hanno uno spin intinseco, e alloa potebbe isultae che la foza dipenda anche dall angolo ta la diezione dello spin e la congiungente. Infatti, si ha che essa dipende da tutti questi angoli. Questo tipo di potenziale è dovuto quindi all inteazione nucleae, duante la quale i due nucleoni si scambiano una paticella, detta pione π. Il ange dell inteazione è legato alla massa della paticella scambiata e possiamo iscivee la (2.5) come: e mπ c h V () V 0, da cui: n = h m π c m π c 2 = hc n. (2.6) Questo agionamento fu fatto da Yukawa, nel 1935, quando il pione non ea ancoa stato scopeto, ma basandosi sugli espeimenti sui nuclei, gazie ai quali si sapeva il ange della foza nucleae, n 1.4 fm, Yukawa postulò l esistenza di questa paticella di scambio, il pione, detta anche paticella di Yukawa, con massa m π c MeV ( hc 197 MeV fm).

10 Capitolo 3 Teoia effettiva In natua ogni fenomeno fisico consiste di pocessi che possono essee consideati avvenie a deteminate scale. Quindi in linea di pincipio, si potebbe descivee un fenomeno fisico in una scala ilevante pe esso, ignoando di fatto tutte le alte puchè le scale siano sufficentemente sepaate, i cui effetti vengono ignoati o al massimo valutati mediante espansione petubativa. Questo concetto è alla base di una teoia effettiva. Questa popietà dei fenomeni fisici è molto familiae, difatti, accenniamo pe esempio al fatto che pe velocità molto infeioi di quelle della luce è molto utile fomulae il poblema nell ottica della meccanica Newtoniana invece di ottenee un isultato come limite della meccanica elativistica. Pe lo stesso pincipio ignoiamo la stuttua cistallina intena di due palle da biliado se dobbiamo analizzae un ipotetico uto fa di loo. Le scale che utilizzeemo noi sono quelle di distanza o analogamente quelle dei momenti; quello che faemo è ossevae il sistema a distanze molto gandi ispetto alla sua estensione e descivee la sua stuttua intena come somma di vai contibuti locali, analogamente alla tattazione dello sviluppo in multipoli. In questo lavoo la teoia effettiva veà utilizzata pe descivee l appossimazione a basse enegie di una fisica valida ad alte enegie. Pe chiaie le idee consideiamo una paticella sonda di lunghezza d onda di De Boglie λ, essa non isente della stuttua di un paticolae sistema che appatiene a scale di lunghezza d << λ. Lo scopo della teoia effettiva saà quello di selezionae una deteminata scala di momenti, in questo caso quella dei bassi momenti ( basse enegie), ignoando le alte scale e costuendo una stuttua matematica semplice che imita l inteazione a coto aggio in analogia con quanto si ottiene con lo sviluppo a multipoli. Infatti se itoniamo alla nosta paticella sonda essa vedà la stessa fisica sia in un caso che nell alto come una caica posta a distanze dovute non si accogeà della sostituzione della distibuzione di caica con lo sviluppo a multipoli. Questo passaggio nel nosto caso veà eseguito in due fasi, infatti, inizialmente intoduemo un momento di cutoff Λ che fisseá la scala dei momenti, successivamente si aggiungono contibuti locali di inteazione che simulano l effetto della vea fisica sostituita dalla teoia effettiva. Il momento di cutoff è l oggetto matematico che suddivide in due scale la fisica del sistema, chiaamente questa opeazione è più teoica che coispondente 10

11 3.1. COSTRUZIONE DELLA TEORIA EFFETTIVA 11 alla ealtà delle cose, infatti, la natua non opea assolutamente tali divisioni. Questo oggetto matematico ci aiuteà a delimitae la fisica che veà studiata, dall alta fisica coispondente a scale che veanno ignoate. Nella patica peò non esiste un valoe del momento Λ che a pioi noi possiamo pendee pe decidee esattamente tale suddivisione, questo può essee fatto soltanto a posteioi, teando le conlusioni dai dati speimentali a nosta disposizione. 3.1 Costuzione della teoia effettiva In questa sezione faemo lago uso della efeenza [4] sulla inomalizzazione dell equazione di Schödinge. Pendiamo il caso specifico di due paticelle che inteagiscono mediande potenziale di Coulomb a cui viene aggiunto un potenziale a coto aggio: con H = p2 2m + V () V () = α + V s(), dove α è la costante di stuttua fine e V s il potenziale a coto aggio. L inteazione a coto aggio, tenendo conto del fatto che ci toviamo nel limite delle basse enegie, può essee appossimata con una funzione delta in questo modo: H app = p2 2m α + c δ3 () con c paameto da deteminae speimentalmente. Poviamo a studiae l inteazione a coto aggio mediante teoia delle petubazioni ponendoci nel caso in cui α = 1 e m = 1 e valutando lo shift che questa inteazone poduce nello spetto degli stati legati: E app n = E Coulomb n + c ψ Coulomb n (0) 2 = 1 2n 2 + c δ l,0 πn 3 esso isulteà non nullo solo pe gli stati S (pe questo la δ l,0 ). Pocediamo calcolando il secondo odine dello sviluppo petubativo ottenendo: m n < n cδ 3 () m >< m cδ 3 () n > E n E m, (3.1) ossevando che consideando anche lo spetto continuo la somma divege. Come abbiamo pecedentemente accennato, in analogia allo sviluppo in multipoli, posssiamo cecae di integae la stuttua del potenziale a coto aggio nella speanza di evitae gli infiniti. Valutando il potenziale nello spazio dei momenti consideiamo la sua tasfomata di Fouie v s (q 2 ), essa dipende debolmente dal momento tasfeito q e quindi può essee sviluppata in seie di Taylo, limitandoci ai pimi temini otteniamo: v s (q 2 ) = v s (0) + q 2 v s(0) (3.2)

12 12 CAPITOLO 3. TEORIA EFFETTIVA Consideae il potenziale al pimo odine, assumendo che la sua foma sia simile ad una δ, come abbiamo fatto pima, vuol die consideae il aggio di V s infinitesimo. Questa consideazione non può essee itenuta eale e deve essee coetta pocedendo olte nello sviluppo. Pocedee olte vuol die aggiungee le deivate della δ: V s () c δ 3 () + d 2 δ 3 (). (3.3) Come si vede facilmente, già dal pimo temine petubativo (< n d 2 δ 3 () n >) incominciano le divegenze. Questo poblema viene isolto mediante la tecnica della inomalizzazione, già usata nomalmente in teoia quantistica dei campi. La inomalizzazione consiste in patica nel egolaizzae le divegenze, di solito imponendo un momento di cutoff Λ che taglia lettealmente fuoi i contibuti di momento supeioi ad esso. Infatti le divegenze che abbiamo incontato pima possono essee smussate non consideando i contibuti degli impulsi supeioi al cutoff. Successivamente si potebbe indagae se queste diveenze possono essee assobite mediante la idefinizione di alcuni paameti della teoia. Se questo fosse possibile si dice che la teoia è inomalizzabile. Questo genealmente è il metodo usato in teoia quantistica dei campi. La inomalizzazione pemette quindi di tascuae alcuni dettagli dell inteazione a coto aggio pe capie quello che avviene negli espeimenti a bassa enegia. Questo può essee fatto icavando la teoia diettamente da un set di dati speimentali a bassa enegia, ignoando completamente i dettagli della dinamica dell inteazione fote a shot ange e modellizzando questi ultimi mediante temini di contatto.

13 Capitolo 4 Teoia effettiva pe l inteazione fote 4.1 Intoduzione In questo capitolo veanno applicati i isultati ottenuti nella sezione dedicata alle teoie effettive in modo tale da costuine una pe l inteazione fote nella scala delle basse enegie. Un appoccio di tipo petubativo basato sulla QCD potebbe isulta inadeguato tattandosi di inteazione fote, tuttavia, poichè il poblema veà tattato in appossimazione di basse enegie, l inteazione viene analizzata a gandi distanze in modo tale da tascuae la stuttua intena dei nucleoni. Pe questo motivo il poblema veà tattato in modo analogo a quello discusso dalla efeenza [4]. Quello che veà fatto è costuie un espessione che modellizzi il potenziale a coto aggio fa i due nucleoni e che contenga dei contibuti locali d inteazione che simulino l effetto della vea foza sulle distanze in esame. In alte paole veà applicato il pincipio su cui si basano le teoie effettive: date opptune ipotesi è possibile sostituie il sistema eale con un modello più semplice da appesentae ignoando le scale fisiche divese da quella che si sta analizzando. Tutto questo patendo dalle seguenti ipotesi: Si tascuano gli effetti elativistici Si tascua il contibuto dell inteazione elettomagnetica Veà selezionata la scala delle basse enegie, di conseguenza in nucleoni sono consideati paticelle puntifomi Si consideano solo inteazioni a due copi La foza fote si può deivae da un potenziale a coto aggio 13

14 14 CAPITOLO 4. TEORIA EFFETTIVA PER L INTERAZIONE FORTE 4.2 Costuzione del potenziale Popietà del potenziale Speimentalmente si tova che il potenziale di inteazione alle basse enegie dipende olte dalla posizione dei due nucleoni anche dal loo spin e isospin, sia in temini di configuazione ecipoca (stato di sigoletto o stato di tipletto), sia in temini di oientazione ispetto ai vettoi di posizione dei nucleoni. Di seguito, quindi, sciviamo la foma geneeale di questo potenziale: V (1, 2) = V ( 1, σ 1, τ 1, 2, σ 2, τ 2 ), (4.1) se il sistema è isolato esso gode delle seguenti popietà di simmetia, alcune solo appossimate, deivanti dalla natua dell inteazione fote: Invaianza pe taslazioni: La quantità di moto totale isulta una costante del moto e quindi l enegia è indipendente dalla scelta dell oigine del sistema di ifeimento. Invaianza pe otazioni: il momento angolae totale isulta una costante del moto, non esistono diezioni pivilegiate. Invaianzia di isospin: indipendenza della caica ispetto all inteazione fote. Invaianza pe iflessione spaziale: consevazione della paità. Invaianza pe scambio dei due nucleoni: V (1, 2) = V (1, 2). Hemiticità: V = V +. Invaianza pe time evesal: V ( 1, σ 1, τ 1, 2, σ 2 τ 2 ) = V ( 1, σ 1, τ 1, 2, σ 2, τ 2 ). (4.2) Dalle popietà sopacitate si deduce che il potenziale non puo dipendee diettamente dagli opeatoi vettoiali di spin ed isospin σ i e τ i con i = 1, 2, poichè deve essee invaiante pe otazioni; di conseguenza esso dovà dipendee da quantità scalai ed isoscalai. In alte paole nella sua espessione compaianno i podotti scalai: σ 1 σ 2 τ 1 τ 2. (4.3) Si tenga pesente, inolte, che se queste quantità vengono moltiplicate pe 2 o q 2 m1 p1 m2 p2, dove = 1 2 è la posizione elativa e q = m 1+m 2 è il momento elativo dei due nucleoni, la simmetia otazionale viene mantenuta.

15 4.2. COSTRUZIONE DEL POTENZIALE Potenziale a pimo odine Il sistema dei due nucleoni è descitto dalla seguente equazione di Schödinge: ] [ h2 1 h2 2 + V ( ) Ψ( 1, 2 ) = EΨ( 1, 2 ), (4.4) 2m 1 2m 2 dove m 1 ed m 2 sono le masse dei due nucleoni e 1 ed 2 le loo posizioni, si tascua pe il momento la dipendenza del potenziale dallo spin e dall isospin. Con ifeimento all appendice A, semplifichiamo la tattazzione matematica intoducendo la paticella elativa che inteagisce con un potenziale dipendente solo dalla posizione elativa: ] [ h2 2µ + V ( ) Ψ( ) = EΨ( ). (4.5) dove µ è la massa idotta ed la distanza elativa. Il potenziale V ( ) = V s ( ) è un potenziale a coto aggio, di conseguenza, data la debole dipendenza dal momento tasfeito in appossimazione di bassa enegia si puoò sviluppae, come fatto in pecedenza, in potenze dell impulso nella appesentazione dei momenti: v s (q 2 ) = v s (0) + q 2 v s(0) +..., (4.6) quindi al più basso odine il potenziale consiste solo di temini indipendenti dal momento, tenendo pesente le popietà di questo potenziale, esso deve contenee solo temini del tipo: 1, σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, σ 1 σ 2 τ 1 τ 2. (4.7) Di conseguenza il potenziale centale pe due nucleoni che appesenta il pimo temine dello sviluppo si può scivee in foma geneale in questo modo: v( q) = [c 1 + c 2 σ 1 σ 2 + c 3 τ 1 τ 2 + c 4 ( σ 1 σ 2 )( τ 1 τ 2 )] (4.8) dove q è stato definito pecedentemente. Con ifeimento alla efeenza [10] questa espessione può essee iscitta in questo modo: v( q) = c s 1 + c t σ 1 σ 2. (4.9) Sempe nella efeenza [10] viene eseguito il calcolo pe iscivee il potenziale nello spazio delle coodinate, nel pocedimento finale del calcolo viene tovato un temine del tipo δ 3 ( R R), dove R è la posizione del cento massa nello stato iniziale ed R nello stato finale, ed un temine del tipo δ 3 ( ), dove e sono ispettivamente codinate elative nella stato iniziale e finale ed infine un temine δ 3 (). Questi temini indicano che affinché il potenziale sia non nullo R deve coincidee con R (potenziale locale) ed inolte deve essee = 0, pe questo motivo questo tipo di potenziale viene detto potenziale di contatto. Putoppo, come abbiamo visto nel paagafo pecedente, questi temini di contatto pesentano dei poblemi di divegenza. Di conseguenza pe eliminae queste divegenze occoe inomalizzae, patendo dall intoduzione di poteziale di cutoff. Il tipo di cutoff che viene utilizzato in questo lavoo è gaussiano: ( q q ): F Λ ( q q ) = e ( q q ) 2 c 2 2Λ 2. (4.10)

16 16 CAPITOLO 4. TEORIA EFFETTIVA PER L INTERAZIONE FORTE Nello spazio delle coodinate con l intoduzione del suddetto cutoff si ottiene che il potenziale al pimo odine dello sviluppo è il seguente: V () = c s e 2 Λ 2 2 h 2 c 2 + c t e 2 Λ 2 2 h 2 c 2 σ 1 σ 2. (4.11) Sapendo che il podotto scalae σ 1 σ 2 può essee iscitto in questo modo: σ 1 σ 2 = 1 2 [( σ 1 + σ 2 ) 2 σ 1 2 σ 2] 2 = 1 [ ] 4 2 h 2 S2 61, e poichè questo lavoo di tesi si peoccupa di analizzae le popietà del deutone pe il quale sappiamo che S = 1, il potenziale può essee iscitto nella foma: V S=1 = (c s + c t )e 2 Λ 2 2 h 2 c 2. (4.12) Potenziale al secondo odine Pima di pocedee con il calcolo del potenziale al secondo odine, al fine di semplificae la tattazione matematica, intoduciamo i seguenti opeatoi: Q = q + q, k = q q. (4.13) 2 dove q e q appesentano ispettivamente l impulso elativo iniziale e finale della paticella elativa. Classifichiamo oa tutti i possibili temini quadatici nel momento che potebbeo compaie al secondo odine: Q 2, k 2, Q k, Q 2 σ 1 σ 2, k 2 σ 1 σ 2, Q k σ1 σ 2, Q σ 1 Q σ2, k σ1 k σ2, Q σ1 k σ2, Q 2 τ 1 τ 2, k 2 τ 1 τ 2, Q k τ1 τ 2, Q 2 σ 1 σ 2 τ 1 τ 2, k 2 σ 1 σ 2 τ 1 τ 2, Q k σ1 σ 2 τ 1 τ 2, Q σ 1 Q σ2 τ 1 τ 2, k σ1 k σ2 τ 1 τ 2, Q σ1 k σ2 τ 1 τ 2, σ 1 Q k, σ 1 Q k τ 1 τ 2. Notiamo che l assenza di temini lineai nel momento discende dalla popietà di invaianza pe paità del potenziale. Nella efeenza [3], viene mostato che ta tutti gli opetoi scitti solo sette di essi sono lineamente indipendenti ed i imanenti possono essee scitti come loo combinazione lineae, pe completezza i calcoli vengono ipotati nell appendice B. Segue, quindi, che il potenziale al secondo odine può essee scitto nello spazio dei momenti nel seguente modo: v( q) = c 1 k 2 + c 2 k 2 σ 1 σ 2 + c 3 k 2 τ 1 τ 2 + c 4 k 2 σ 1 σ 2 τ 1 τ 2 + c 5 k σ1 k σ2 + c 6 k σ1 k σ2 τ 1 τ 2 + c 7 σ 1 Q k (4.14)

17 4.2. COSTRUZIONE DEL POTENZIALE 17 Quello che veà fatto oa, analogamente a quanto fatto pe il potenziale al pimo odine, saà quello di iscivee il potenziale nello spazio delle coodinate. Infatti anche pe il secondo odine ci sono poblemi legati alle divegenze di alcuni temini di contatto, esse veanno eliminate egolaizzando l espessione del potenziale mediante l intoduzione del cutoff gaussiano, come viene fatto nella efeenza [3], i calcoli pe completezza sono ipotati nell appendice C.1. Qui di seguito sono ipotati i isultati finali: k 2 p f() = h 2 δ 3 (R R)δ 3 ( )(Z 0 () + 2 Z 0() ) (4.15a) k 2 σ 1 σ 2 k 2 τ 1 τ 2 p f() σ 1 σ 2 (4.15b) p f() τ 1 τ 2 (4.15c) k σ1 k σ2 k 2 σ 1 σ 2 τ 1 τ 2 p f() σ 1 σ 2 τ 1 τ 2 (4.15d) p h 2 δ 3 (R R)δ 3 ( )(Z 0 () Z 0() ) σ 1 ˆ σ 2 ˆ+ + Z 0() σ 1 σ 2 (4.15e) p k σ1 k σ2 τ 1 τ 2 h 2 δ 3 (R R)δ 3 ( )(Z 0 () Z 0() ) σ 1 ˆ σ 2 ˆ τ 1 τ 2 + σ 1 Q k p + Z 0() σ 1 σ 2 τ 1 τ 2 (4.15f) h i δ3 (R R)δ 3 ( ) Z 0() ( L S), (4.15g) dove Z 0 ( ) è la tasfomata di Fouie del cutoff ed è calcolata nell appendice C.1. Concludiamo ossevando che le δ che compaiono nei temini calcolati sono una caatteistica geneale dei potenziali locali e scompaiono nel momento in cui si calcola l equazione di Schödinge nella appesentazione delle coodinate Intepetazione fisica dei temini di inteazione In questa sezione veanno discusse le popietà fisiche dei temini che compongono il potenziale di inteazione. Temine f() Questo temine tiene conto della componente centale dell inteazione fa i due nucleoni. Temine f() σ 1 σ 2 L inteazione fa i due nucleoni dipende anche dalla configuazione ecipoca dei loo spin e quindi dal fatto che essi siano in uno stato di singoletto o di tipletto. Questo temine tiene conto popio di questa dipendenza.

18 18 CAPITOLO 4. TEORIA EFFETTIVA PER L INTERAZIONE FORTE Sapendo che σ 1 ed σ 2 sono le matici di Pauli vettoiali legate ai due nucleoni si può scivee: σ 1 σ 2 = 2 S 2 3, (4.16) ed il temine in esame può essee iscitto in questo modo: f()(2 S 2 3). (4.17) Temine f() τ 1 τ 2 Pe questo temine valgono le stesse consideazioni fatte pe lo spin, ma qui ifeite all isospin. Di conseguenza questo contibuto si può scivee in questo modo: f()(2 T 2 3). (4.18) Temine f() σ 1 σ 2 τ 1 τ 2 L inteazione può anche dipendee contempoaneamente dalla configuazione di spin ed isospin, cioè dal fatto che i nucleoni si tovino in uno stato di singoletto o di tipletto sia di spin che di isospin. Come detto in pecedenza, a causa del pincipio di Pauli non tutti gli stati sono peò possibili; nel pesente lavoo di tesi, il caso tattato saà quello del deutone, pe il quale si ha S = 1 ed T = 0 (numei quantici legati ispettivamente all opeatoe di spin e di isospin totali), i due nucleoni si tovano in uno stato di tipletto di spin ed in uno di singoletto di isospin. Si conclude iscivendo il temine in esame usando i isultati pecedenti: Temine Z () ( L S) f()(2 S 2 3)(2 T 2 3). (4.19) Questo contibuto tiene conto del temine L S dovuto all inteazione spinobita. ponendo: g() = Z () (4.20) Il temine di spin-obità può essee iscitto in questo modo: L S = 1 2 ( J 2 L 2 S 2 ) (4.21) Quindi il nosto temine può essee iscitto nel seguente modo: g() 1 2 ( J 2 L 2 S 2 ), (4.22) Pe compendee in modo appofondito la natua fisica dei imanenti temini del potenziale è necessaio conoscee le funzioni di spin-angolo pe una maggioe completezza esse vengono ipotate nell Appendice E. Temine (Z 0 () Z 0 () )( σ 1 ˆ σ 2 ˆ) + ( Z 0 () )( σ 1 σ 2 )

19 4.2. COSTRUZIONE DEL POTENZIALE 19 Nell appendice F vengono tattate le popietà dell opeatoe tensoe S 12, definito da: S 12 = 3( σ 1 ˆ σ 2 ˆ) σ 1 σ 2. (4.23) Con l aiuto dell opeatoe tensoe potemo iscivee il nosto temine in maniea tale da essee più utile ai fini della tattazione. Dalla definizione di S 12 si ottiene: Di conseguenza: σ 1 ˆ σ 2 ˆ = 1 3 (S 12 + σ 1 σ 2 ). (4.24) h()s 12 + k() σ 1 σ 2 = h()s 12 + k()(2 S 2 3), (4.25) con h() = 1 3 (Z 0 () Z 0 () ) e k() = 1 3 Z 0 () + 2 Z 0 () 3. A causa della pesenza del temine tensoiale l hamiltoniana del sistema non gode più di simmetia otazionale e cioè non commuta con l opeatoe L 2. Pe questo motivo può accadee che stati con lo stesso numeo quantico J ma diffeenti numei quantici L vengano accoppiati, questo daà luogo ad equazioni di Schödinge accoppiate, in questo lavoo vedemo un esempio conceto di questo fenomeno nella tattazione del deutone il cui stato legato isulta un accoppiamento fa il canale 3 S 1 e 3 D 1. Inolte, anche in pesenza del temine tensoiale, l inteazione fote conseva la paità dello stato iniziale, da ciò consegue che gli stati finali che possono essee mescolati sono quelli caatteizzati da numei quantici obitali che diffeiscono di due unità. Temine (Z 0 () Z 0 () )( σ 1 ˆ σ 2 ˆ)( τ 1 τ 2 ) + ( Z 0 () )( σ 1 σ 2 )( τ 1 τ 2 ) In analogia al pecedente esso può essee scitto in questo modo: h()s 12 (2 T 2 3) + k()(2 S 2 3)(2 T 2 3), (4.26) con h() = 1 3 (Z 0 () Z 0 () ) e k() = 1 3 Z 0 () + 2 Z 0 () 3. Le ossevazioni fatte pima valgono anche in questo caso in cui vi è la pesenza del temine di isospin Potenziale al secondo odine nello spazio delle coodinate Rioganizzando tutte le infomazioni accolte nelle sezioni pecedenti la foma del potenziale isulta la seguente: V = c 1 f() + c 2 f()(2 S 2 3) + c 3 f()(2 T 2 3) + c 4 f()(2 S 2 3)(2 T 2 3)+ +c g()( J 2 L 2 S 2 ) + c 6 h()s 12 + c 7 k()(2 S 2 3)+ + c 8 h()s 12 (2 T 2 3) + c 9 k()(2 S 2 3)(2 T 2 3), (4.27)

20 20 CAPITOLO 4. TEORIA EFFETTIVA PER L INTERAZIONE FORTE dove: f() = Z 0 () + 2 Z 0() g() = Z 0() h() = 1 3 Z 0 () 1 Z 0() 3 k() = 1 3 Z 0 () (4.28) (4.29) (4.30) Z 0(). (4.31) Riaangiando le costanti e notando la elazione fa k() e f() si iscive questa espessione in questo modo: V = c 1 f() + c 2 f()(2 S 2 3) + c 3 f()(2 T 2 3) + c 4 f()(2 S 2 3)(2 T 2 3)+ +c g()( J 2 L 2 S 2 ) + c 6 h()s c 7 h()s 12 (2 T 2 3), (4.32) Si conclude quest ultima pate elencando le funzioni f(), h(), g(): ( ) 3 Λ Z 0 () e 2 Λ 2 2 h 2 c 2 : (4.33) 2π hc ( ) 3 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 7 f() = Z 0 ()+2 Z 0() 1 = 3 e 2π Λ hc 2 Λ h 2 c 2 + 2π Λ hc 2 e 2 Λ 2 2 h 2 c 2 (4.34) g() = Z 0() ( ) 3 ( ) 5 1 = e 2π Λ hc 2 Λ 2 2 h 2 c 2 (4.35) h() = 1 3 Z 0 () 1 Z 0() = 1 ( ) 3 ( ) π Λ hc 2 e 2 Λ 2 2 h 2 c 2 (4.36)

21 Capitolo 5 Il Deutone 5.1 Lo stato fondamentale: tattazione pe foza centale Il deutone è un sistema di due paticelle: il potone ed il neutone, appossimativamente aventi la stessa massa M soggette ad una foza a coto aggio che agisce sulla congiungente delle due paticelle. Tuttavia questa definizione non è del tutto esatta poichè esistono dei temini tensoiali nel poteziale del sistema del deutone che endono la foza di fatto non centale. In questa sezione [6] cecheemo di ottenee qualche isultato assumendo centale la foza intenucleae, successivamente studieemo anche i temini tensoiali. In questo caso la foza puó essee deivata da un potenziale V () attattivo e che decesce come decesce, esso è diveso da zeo solo all inteno di un ceto ange di ampiezza pai a b = cm. Sciviamo l equazione che descive il sistema dei due copi: h2 2µ 2 ψ() + V ()ψ() = Eψ() (5.1) dove µ è la massa idotta ed E l enegia dello stato del sistema, mente è il vettoe posizione elativa delle due paticelle. Notiamo che V () dipende solo da poichè in questa tattazione la foza è assunta centale, vedemo in seguito quando inseiemo il temine tensoiale che questo non è veo in geneale. In questo lavoo saemo paticolamente inteessati allo stato fondamentale la cui enegia ossevata speimentalmente è pai a B = ± MeV. Nel caso di foza centale lo stato fondamentale possiede simmetia sfeica, di conseguenza ψ() dipende solo da = e possiamo poe ψ = u(). Pe cui l equazione che descive il sistema può essee scitta in questo modo: con le condizioni al contono h2 d 2 u M d 2 + V ()u() = Eu() dove µ = 1 2 M (5.2) u() = 0 pe = 0 e pe. 21

22 22 CAPITOLO 5. IL DEUTONE Se poniamo l equazione diventa: M(E V ()) k() = ±, (5.3) h d 2 u d 2 + k()2 u() = 0. (5.4) La funzione d onda u() ha il compotamento asintotico di e R dove R = 1 k = cm, questo valoe è molto piú gande ispetto al ange della foza nucleae b, di conseguenza esiste una pobabilità non nulla di tovae i due nucleoni nello stato fondamentale ad una distanza maggioe del ange d azione della foza che li tiene legati, questo isultato è dovuto al fatto che il deutone è uno stato debolmente legato. Si può stimae il valoe dell enegia potenziale media all inteno della buca del deutone, essa è all incica pai a 25 MeV. In letteatua sono stati utilizza alcuni potenziali pe appossimae la buca di potenziale del deutone di seguito ne ipotiamo alcuni: V () = { V 0 se < n Buca quadata (5.5a) 0 se > n V () = V 0 exp / n Esponenziale (5.5b) V () = V 0 exp 2 / 2 n Gaussiana (5.5c) V () = V 0 exp / n / n Yukawiana (5.5d) dove è la distanza ta i nucleoni, n una distanza che fissa il ange della foza, V 0 un enegia positiva che detemina l intensità della foza che si può icavae dal potenziale. 5.2 Temini non centali della foza Si è già accennato che la foza con cui inteagiscono due nucleoni non è totalmente centale, infatti, alcune evidenze speimentali mostano che il deutone possiede un momento di quadupolo pai a Q = (2.74 ± 0.02) cm 2. Il valoe di Q è molto piccolo pe cui nello stato fondamentale del deutone pedomina lo stato S a simmetia sfeica, tuttavia, esiste un paziale mescolamento di S con lo stato D con momento angolae L = 2, di conseguenza bisogneà coeggee il potenziale iniziale dipendente solo da con dei temini tensoiali. Anche se la foza nucleae non è centale può essee assunta consevativa e indipendente dalle velocità elative dei due nucleoni e quindi può essee deivata da un potenziale V. Il potenziale V da cui può essee deivata la foza fa i due nucleoni è stato oggetto di numeose iceche. Negli anni sono stati avanzati vai modelli pe questo potenziale che potesseo

23 5.2. TERMINI NON CENTRALI DELLA FORZA 23 pedie i isultati speimentali elativi al deutone (enegia di legame, momento di quadupolo ecc..); l Agonne v 14 indicato come AV14 è una delle fome più modene e citate, una sua evoluzione isulta l Agonne v 18 [8] indicato come AV18. AV14 consta di 14 temini e si può scivee come segue: AV 14 = [vπ() p + v p I () + vp s()]o p 12 con p=1,14 O p=1,14 12 = 1, σ 1 σ 2, S 12, L S, L 2, L 2 (σ 1 σ 2 ), (L S) 2 ] [1, τ 1 τ 2 ] S 12 3(σ 1 e)(σ 2 e) (σ 1 σ 2 ) AV18 è un evoluzione del potenziale v 14 esso infatti possiede te temini in più che sono: O p=1,14 12 = T 12, σ 1 σ 2, T 12, S12, S 12 T 12, (τ 1z + τ 2z ) (5.6) con T 12 = 3τ 1z τ 2z τ 1 τ 2 e σ i = (σ ix, σ iy, σ iz ) sono le matici di Pauli. La pate tensoiale del potenziale è un opeatoe scalae e di conseguenza il momento angolae totale J e la paità della funzione d onda sono costanti del moto. Essendo un potenziale non centale non imane invaiante sotto otazioni delle coodinate spaziali o di spin, pe cui sia L che S non si consevano; tuttavia esso commuta con l opeatoe scalae S 2, infatti, vediamo che l espessione V = V t ()S 12 imane invaiata sotto lo scambio di σ 1 con σ 2, motivo pe il quale gli stati del sistema devono essee simmetici o anti-simmetici ispetto allo scambio di paticelle consideate appunto identiche. Pe un sistema di due paticelle con s = 1 2 ci possono essee solo due stati di spin, lo stato simmetico di tipletto S = 1 e lo stato antisimmetico di singoletto S = 0. L opeatoe tensoiale possiede la popietà che la sua media su tutte le diezioni è zeo: nel caso dello stato di singoletto non é pesente una diezione pivilegiata pe l oientazione dello spin pe cui S 12 deve essee zeo. Il temine tensoiale è nullo nello stato di singoletto e quindi la foza nucleae è sostanzialmente di tipo centale e la teoia combacia con la tattazione fatta nelle pecedenti sezioni. Nello stato di tipletto il temine tensoiale non è nullo, difatti il momento di quadupolo isulta positivo e la funzione d onda del deutone non è a simmetia sfeica ma viene defomata dall azione del tensoe. Lo stato di tipletto di un dato momento angolae totale J (nel nosto caso J = 1 ) puó essee scitto come una combinazione lineae di stati di tipletto con L = J, J 1, J + 1. Gli stati con L = J ± 1 sono stati pai mente gli stati con L = J sono stati dispai, i pimi possiedono meno enegia dei secondi. Pe il deutone J = 1 di conseguenza lo stato fondamentale é una sovapposizione di stati 3 S 1 e 3 D 1 e la sua funzione d onda puó essee scitta, aiutandosi pe la dipendenza angolae con le funzioni di spin-angolo, nel seguente modo: Ψ d () = [ u 0() Υ 011Md (ˆ) + u 2() Υ 211Md (ˆ)]η 00. dove le (Υ lsd J d M d (ˆ) sono le amoniche sfeiche vettoiali definite come Υ lsd J d M d (ˆ) [Y llz (ˆ) χ Sd s d ] Jd M d = Y llz (ˆ) χ Sd s d < ll z, S d s d J d M d >.

24 24 CAPITOLO 5. IL DEUTONE Le Y llz (ˆ) sono le amoniche sfeiche, χ Sd s d e η Td t d appesentano lo stato di spin e isospin totale del sistema. 5.3 Equazione di Schödinge pe il deutone Nella pecedente sezione abbiamo analizzato la natua tensoiale dell inteazione nucleae iuscendo poi a icavae l espessione pe la funzione d onda del deutone la quale è composta da una pate che descive il puo stato 3 S 1 e una il puo stato 3 D 1. In questa sezione ci poniamo l obiettivo di scivee la seguente equazione di Schödinge: [ h 2µ 2 + V ()]ψ() = Eψ() dove µ è la massa idotta ed la distanza elativa. Dividendo la pate centale da quella tensoiale possiamo poe il potenziale in questo modo: V () = V c () + V t ()S 12. Applichiamo l opeatoe tensoiale sulle componenti del deutone secondo le egole icavate in appendice: L = J 1 S 12 J, M, J 1, 1 >= 6 J(J + 1) J, M, J + 1, 1 > + 2J + 1 L = J + 1 S 12 J, M, J + 1, 1 >= di conseguenza S 12 ψ() = S 12 S 12 u J 1 () 2(J 1) J, M, J 1, 1 > 2J + 1 2(J + 2) J(J + 1) J, M, J + 1, 1 > +6 J, M, J 1, 1 > 2J + 1 2J + 1 L=J 1,J+1 Mente pe l enegia cinetica abbiamo: pe L = J 1, u L () J, M, L, 1 >= u J+1 () J, M, J 1, 1 > +S 12 J, M, J + 1, 1 >. h2 2µ 2 u J 1() J, M, J 1, 1 >= [ h2 1 d 2 2µ d u J(J 1) h2 u J 1 () J 1() + 2µ 2 ] J, M, J 1, 1 >, pe L = J + 1, h2 2µ 2 u J+1() J, M, J + 1, 1 >= [ h2 1 2µ d u (J + 1)(J + 2) h2 u J+1 () J+1() + 2µ 2 ] J, M, J + 1, 1 >. d 2

25 5.4. OSSERVARVABILI DI INTERESSE 25 Ricomponendo l equazione e mettendo a fatto comune gli stati J, M, J 1, 1 > e J, M, J + 1, 1 > otteniamo: [ h2 1 2µ d u J 1() + d 2 J(J 1) h2 u J 1 () 2µ 2 [V t () u J 1 2(J 1) + V t () 6 J(J + 1) 2J + 1 2J + 1 [ h2 1 d 2 2µ d u (J + 1)(J + 2) h2 u J+1 () J+1() + 2µ 2 [V t () u J 1 6 J(J + 1) 2J V t () u J+1 + (V c () E) u J 1 ] J, M, J 1, 1 > + u J+1 ] J, M, J 1, 1 > + + (V c () E) u J+1 ] J, M, J + 1, 1 > + 2(J + 2) ] J, M, J + 1, 1 >= 0 2J + 1 Moltiplicando scalamente pe < J, M, J ± 1, 1 e tenendo conto del fatto che: < J, M, L, 1 J, M, L, 1 >= δ LL, otteniamo un sistema di due equazioni diffeenziali del secondo odine accoppiate: d 2 h2 2µ d u J 1() + V t ()u J 1 2(J 1) 2J + 1 d 2 h2 2µ d u J+1() + J(J 1) h2 2µ 2 u J 1 () + (V c () E)u J V t () 6 J(J + 1) u J+1 = 0, 2J + 1 (J + 1)(J + 2) h2 2µ 2 u J+1 () + (V c () E)u J J(J + 1) 2(J + 2) V t ()u J 1 + V t ()u J+1 = 0. 2J + 1 2J + 1 Inolte sapendo che pe il deutone J=1 nello stato fondamentale le due equazioni diventano: d 2 h2 2µ d u 0() + (V c () E)u V t ()u 2 = 0, h2 2µ [ d2 d u 2() + 6u 2 ()] + (V c () E)u V t ()u 0 2V t ()u 2 = 0. Quest ultimo sistema appesenta l equazione di Schödinge pe il deutone. 5.4 Ossevavabili di inteesse Olte all enegia di legame veanno calcolati numeicamente anche alti ossevabili legati al deutone, pimo fa tutti il momento il di quadupolo elettico Q d. L opeatoe momento di quadupolo è un tensoe definito come: Q ij = 3 i j δ ij 2, 4 dove è il modulo della coodinata elativa del sistema neutone-potone e i è la componente catesiana con i = x, y, z.

26 26 CAPITOLO 5. IL DEUTONE Il fatto che il momento di quadupolo elettico non è nullo è una ipova del fatto che il deutone non è uno stato puo in L = 0, infatti, se ció fosse veo la funzione d onda dovebbee essee a simmetia sfeica e Q d nullo. Appofondiamo questo aspetto definendo inizialmente l ossevabile Q d, pe fa questo utilizzeemo la componente Q zz = 3z2 2 4 del momento di quadupolo: Q d =< ψ d (M d = 1) Q zz ψ d (M d = 1) >. Sostituendo l espessione della funzione d onda del deutone scitta pecedentemente otteniamo: 2 Q d = d 2 u 0 ()u 2 () 10 1 d 2 u (), 0 0 da questa equazione possiamo notae che se u 2 () = 0 alloa Q d = 0 come detto in pecedenza. Inolte intoduciamo il momento magnetico di dipolo µ come: µ = µ n σ n + µ p σ p L, e h 2m p dove µ n = 1.91µ B, µ p = 2.79µ B dove µ B = è il magnetone di Boh. Nell ipotesi in cui il deutone sia un puo stato S il momento magnetico diventeebbe: µ = µ n σ n + µ p σ p, e quindi il momento magnetico del deutone µ d del deutone, definito come la componente z di µ quando la poiezione di J assume il valoe massimo (M d = 1), vaebbe: µ d < ψ d (M d = 1) µ z ψ d (M d = 1) >= µ n + µ p = µ B. Questo valoe si discosta dal valoe speimentale tovato che è pai a µ B, questo è dovuto al fatto che non viene consideato il contibuto dell onda L = 2 nel calcolo del momento. Ipotizzando che L non sia zeo, possiamo iscivee l equazione che definisce il momento magnetico in questo modo: Di coseguenza: µ = (µ n + µ p )S d (µ n µ p )(σ p σ n ) L. µ d = (µ n + µ p ) < ψ d (M d = 1) S dz ψ d (M d = 1) > < ψ d(m d = 1) L z ψ d (M d = 1) >, visto che 1 2 (µ n µ p ) < ψ d (M d = 1) (σ p σ n ) ψ(m d = 1) >= 0 essendo un elemento di matice fa due funzioni simmetiche di un opeatoe antisimmetico. Sostituendo la ψ d come fatto in pecedenza pe il quadupolo otteniamo: µ d = (µ n + µ p ) d u 2 2()(µ n + µ p 1 2 µ B),

27 5.4. OSSERVARVABILI DI INTERESSE 27 dove l integale di u 2 2() indica la pobabilitá di tovae il deutone nello stato d onda D. Da quest ultima equazione notiamo che se u 2 () = 0 alloa µ d = µ n + µ p come avevamo visto in pecedenza nel caso in cui L = 0. Teminiamo accennando ad un ultimo ossevabile di inteesse, il aggio quadatico medio d definito come: d = 1 2 { 1/2 d 2 [u 2 0() + u2()]} 2. 0 Concludendo basteá conoscee le funzioni u 0 () e u 2 () pe calcolae i paameti che descivono il sistema del deutone.

28 Capitolo 6 Il pincipio vaiazionale 6.1 Intoduzione In meccanica quantistica il pincipio vaiazionale [5] costituisce un mezzo di calcolo appossimato pe tattae sistemi che non si sanno isolvee esattamente e pe stimae lo stato fondamentale di tali sistemi. Pendiamo in consideazione un poblema agli autovaloi che descive un sitema fisico a cui é associata l Hamiltoniana H: H k = E k k ; Pendiamo in consideazione un ket di pova ( 0 ) che imita lo stato fondamentale 0 e consideiamo il valo medio in questo stato di H: H < 0 H 0 > < 0 0 > Dimostiamo oa la seguente disuguaglianza che ci pemetteá di valutae lo stato fondamentale E 0 utilizzando un set di ket ( 0 ): H E 0 Anche se non conosciamo gli autoket dell Hamiltoniana H, possiamo espimee il ( 0 ) come una loo combinazione lineae: 0 = k k 0 k=0 Sapendo che: H k = E k k Il teoema segue valutando H e ponendo E k =E k +E 0 -E 0 : k=0 H = < k 0 > 2 E k k=0 k=0 < k 0 = < k 0 > 2 (E k E 0 ) > 2 k=0 < k 0 + E > 2 0 E 0 La disuguaglianza ottenuta suggeisce un metodo pe la deteminazione dell enegia dello stato fondamentale; infatti, se consideiamo un set di ket di pova φ(ɛ) > dipendenti da alcuni paameti (ε) ispetto ai quali si puó minimizzae 28

29 6.2. APPLICAZIONE AL CASO DEL DEUTONE 29 la quantita H. Dal momento che E 0 è la minima enegia possibile, il valoe calcolato minimizzando costituià una buona appossimazione del valoe dell enegia fondamentale. La scelta dei ket di pova è in linea di pincipio abitaia, ma pe ottenee un appossimazione soddisfacente è oppotuno adopeae l intuizione fisica pe deteminae la funzione d onda cecata. 6.2 Applicazione al caso del Deutone Nel pecedente capitolo si è visto che la funzione d onda del deuteone puó essee scitta nel seguente modo: Ψ d (, M d ) = [ u() Υ 011M d (ˆ) + w() Υ 211Md (ˆ)]η 00, dove le (Υ lsd J d M d (ˆ) sono le amoniche sfeiche vettoiali definite come Υ lsd J d M d (ˆ) [Y llz (ˆ) χ Sd s d ] Jd M d = Y llz (ˆ) χ Sd s d < ll z, S d s d J d M d >. Le Y llz (ˆ) sono le amoniche sfeiche, χ Sd s d e η Td t d appesentano lo stato di spin e isospin totale del sistema. La u() e la w() sono le funzioni d onda idotte pe l = 0, stato 3 S 1, e l = 2, stato 3 D 1. Di seguito veà eseguito il calcolo vaiazionale che ci consentià di ottenee lo stato fondamentale del deutone. Iniziamo con lo scivee Ψ d in modo compatto: Ψ d (, M d ) = α ũ α ()Υ α (ˆ), dove α è un multi-indice che indica l insieme dei numei quantici (l, S d, J d, T d ) il quale è detto anche canale, pe il deutone sappiamo che i canali sono due (0, 1, 1, 0) e (2, 1, 1, 0), inolte abbiamo definito u() u() e Υ α (ˆ) Υ lsd J d M d (ˆ). Ricodiamo che le amoniche sfeiche vettoiali hanno questa popietá: Υ α(ˆ)υ β (ˆ) = δ αβ L equazione di Schödinge da dove isolvee utilizzando il calcolo vaiazionale è la ben nota elazione seguente: H Ψ d >= E Ψ d > con <, M d Ψ d > Ψ d (, M d ), che in modo equivalente puó essee scitta in questa foma: < Ψ d H E Ψ d >= 0. Immaginiamo oa di pendee in consideazione delle combinazioni lineai di funzioni secondo alcuni paameti c α,i di funzioni otogonali: ũ α () = M c α,i f α,i (), i=1

30 30 CAPITOLO 6. IL PRINCIPIO VARIAZIONALE di conseguenza la funzione d onda del deutone puó essee scitta in questo modo: Ψ d (, M d ) = M c α,i f α,i ()Υ α (ˆ). α i=1 Questa funzione costituisce quello che nella sezione pecedente avevamo chiamato ket di pova. Valutiamo oa la vaiazione ispetto ai paameti vaiazionali dell equazione secolae scitta in pecedenza: < δ c Ψ d H E Ψ d >= 0, che in foma estesa, sostiuendo la funzione di pova scitta pima, diventa: c α,i ( αβ c α,i c β,j < f α,i ()Υ α (ˆ) H E f β,j ()Υ β (ˆ)) = 0 ij Ponendo (α, i) n e (β, j) m l equazione diviene: c n ( n c n c m < f n ()Υ α (ˆ) H E f m ()Υ β (ˆ) >= 0 m Facendo la deivata otteniamo c m [< f n ()Υ α H f m ()Υ β (ˆ)+ < f m ()Υ β (ˆ) H f n ()Υ β (ˆ) >] = m E m c m [< f n ()Υ α f m ()Υ β (ˆ) > + < f m ()Υ β (ˆ) f n ()Υ α (ˆ) >. Definendo Ψ m > f m ()Υ β > (ˆ) e Ψ n > f n ()Υ α > (ˆ) otteniamo c m [< Ψ n H Ψ m > + < Ψ m H Ψ n >] = E c m [< Ψ n Ψ m > + < Ψ m Ψ n >] m m Inolte ponendo: H nm < Ψ n H Ψ m > N nm < Ψ n Ψ m > H mn = H mn N mn = N nm possiamo scivee l equazione in modo piú compatto: c m [H nm + H mn ] = E [N nm + N mn ] m m La isoluzione della pecedente equazione ci pemetteà di costuie la funzione d onda dello stato fondamentale; saà necessaio peò calcolae pima gli elementi di matice H nm e N nm. Iniziamo calcolando l elemento di matice N nm : N nm < Ψ n Ψ m > = 2 f α,i ()f β,i () d dˆυ α(ˆυ β (ˆ) 0 = δ αβ 2 f α,i ()f β,j () d 0

31 6.2. APPLICAZIONE AL CASO DEL DEUTONE 31 mente H nm é dato da H nm < Ψ n H Ψ m >=< Ψ n T + V Ψ m >= T nm + V nm Dove T nm puó essee scitto come: T nm < Ψ n T Ψ m > = 0 = h2 2µ δ αβ 2 f α,i ()[ h2 2µ ( l β(l β + 1) 2 )]f β,j d 0 2 f α,i ()[ l β (l β + 1) 2 )]f β,j d, dove µ e la massa idotta. Il potenziale essendo a coto aggio puó essee calclato in questo modo: Υ α(ˆ)υ β (ˆ) d V nm < Ψ n V Ψ m >= 0 2 df α,i ()V lαl β J d S d ()f β,j (), dove V lαl β J d S d () = V lαl β 11() e costituisce il potenziale che ci siamo calcolati nelle pecedenti sezioni. Le funzioni f α,i sono definite nel seguente modo: i!γ f α,i = 3 γ (i + 2)! e 2 (2) L i (γ), dove γ è un paameto il cui valoe saa discusso in seguito, mente (2) L i (γ ) è il polinomio di Laguee (appendiceg) di gado i e di odine 2; il fattoe iniziale è un fattoe di nomalizzazione che tiene conto del fatto che questi polinomi sono otogonali ma non otonomali, si puó calcolae imponendo: 0 2 f α,i ()f β,j () d = δ ij. La scelta di queste funzioni é stata fatta sapendo che lo stato fondamentale del deutone é uno stato legato pe cui deve compotasi asintoticamente come un esponenziale decescente. Di conseguenza possiamo calcolae definitivamente i pecedenti elementi di matice, pe l elemento N nm é sufficente sostiuie la elazione di otogonalitá pecedente ed ottenee N nm = δ α,β δ ij, mente pe l enegia cinetica otteniamo T nm = h2 2µ δ i!γ 3 j!γ 3 α,β (i + 2)! (j + 2)! l β(l β + 1) 2 (2) L j (γ )], 0 2 de γ L i (γ )[ (2) L j (γ) + 2 (2) L j(γ ) ed infine il la matice del potenziale: i!γ V nm = 3 j!γ 3 2 de γ (2) L i (γ )V lα l (i + 2)! (j + 2)! β 11() (2) L j (γ ), 0