BOZZA. Lezione n. 23. Stati limite nel cemento armato Stato limite delle tensioni in esercizio La verifica con il metodo delle tensioni ammissibili

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1 Lezioe. Stti limite el cemeto rmto Stto limite elle tesioi i eserzio L veriic co il metoo elle tesioi mmissiili Le coizioi i eserzio el C.. I ggiut lle veriiche rispetto lle coizioi i rottur, tipiche egli stti limiti ultimi, le ormtive impogoo il rispetto i ulteriori coizioi, che riguro o tto spetti legti ll resistez ultim ell elemeto i cemeto rmto, m lle coizioi i corretto uziometo ell struttur i situzioi i eserzio. I prticolre si cerc, meite tli veriiche, i preservre l itegrità ell struttur i moo evitre che posso isorgere situzioi tli iurre u limitzioe elle prestzioi ell struttur ( esempio per eccessiv eormzioe ell stess) oppure i gro i courre il mterile u ivecchimeto e u eteriormeto eccessivo (quii limitoe l urt el tempo, o come si ice i termii siteti, l urilità). L ttuli ormtive iiviuo quii tre tipi i veriiche, che preoo il ome i veriiche gli stti limite i eserzio:. veriic llo stto i limite elle tesioi i eserzio;. veriic llo stto limite per essurzioe;. veriic llo stto limite i eormzioe. Tli limitzioi voglioo preservre l eiez e l urilità ell struttur, cerco i evitre che, per i crichi ssoti lle coizioi i vit ormle ell struttur, ossi per le situzioi che l struttur ovrà rotre ell mggior prte ell su vit, si posso crere situzioi prticolrmete isiiose. Le veriiche vegoo cootte cosiero il clcestruzzo e l cio i se elstic, quii ricorreo u clcolo i se I (o essurt) o i se II (essurt); spesso si rà rierimeto ll sezioe ell coizioe i se II coveziole, ossi riteeo il clcestruzzo essurto (e quii icpce i orire u qulsisi resistez trzioe) già per vlori molto piccoli el crico. Le tre coizioi i crico che si lizzo corrispooo quii i vlori requeti, qusi permeti e rri elle comizioi i crico, eiiti lle relzioi segueti: comizioi qusi permeti: F G k Pk ( ψ i Qik ) i comizioi requeti: F G k Pk ψqk ( ψ i Qik ) comizioi rre: F G k Pk Qk ( ψ0i Qik ) i I se i vlori ei crichi iiviuti si clcolero le solletzioi i progetto ell struttur (S ); le corrispoeti grezze i coroto (ossi le resisteze i progetto, R ) soo clcolte i se lle resisteze i clcolo ei mterili, vlutte ttrverso i coeieti przili (o i poerzioe) posti uguli uo, ossi γ c γs. Così proceeo, il coroto è i tto tr i vlori crtteristi elle solletzioi e i vlori crtteristi elle resisteze, quii iiviuo u proilità i isuccesso ell orie i 0-5. i i i i Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

2 Lezioe. pg. XXIII. L urilità elle sezioi i C.. Per urilità si itee l cptà el clcestruzzo i mteere per tempi lughi le sue crtteristiche uzioli l livello richiesto. I geerle, il clcestruzzo può suire processi i egro che possoo essere istiti i: - Fisi: custi vrizioi termiche turli come il gelo/isgelo, o rtiili come icei; - ec: rsioe, erosioe, urto; - Chimi: ttcco o, soltico, cque pure, cque i mre, rezioi lcli ggregti. Nel cso i sezioi i clcestruzzo rmto, l ulteriore prolemtic che si può presetre è oert ll possiilità i corrosioe elle rmture. Uo ei ttori scteti l corrosioe è l crotzioe, che è u eomeo legto ll presez i irie croic e l suo trsporto ttrverso i pori el cemeto; l rezioe che vviee è l seguete: C(OH) CO CCO HO L trsormzioe ell irossio i clo i croto i clo, o provoc i per sé o el clcestruzzo m cre coizioi svorevoli per le rmture i quto si cre u riuzioe el ph che può portre ll istruzioe el ilm i pssività, che ricopre e isol il metllo, e ll propgzioe ell corrosioe (l stess zioe viee esertt che ll evetule presez i cloruri). I geerle, è comuque iile ttriuire il egro el clcestruzzo e elle rmture u sol cus, poiché spesso più processi possoo vveire cotemporemete. D u puto i vist costruttivo, si cerc i grtire l urilità elle sezioi i cemeto rmto cerco: - i evitre il cottto iretto co l cqu (lloto quii il più possiile l struttur ll cqu o l terreo, oppure iterpoeo uo strto rete); - i curre il mi esig el clcestruzzo, quii presto prticolre cur ell impsto el clcestruzzo, soprttutto per quto rigur il corretto rpporto cqu/cemeto; - i relizzre sezioi co opportue crtteristiche i protezioe elle rmture, ttrverso prescrizioi speiche sull posizioe elle rre ll itero ell sezioe (i prticolr moo, ttrverso regole speiche sui vlori el ricoprimeto i rmtur, ossi ell prte i clcestruzzo ester rispetto gli elemeti i cio). D u puto i vist progettule, ivece, si cerc i grtire l urilità elle sezioi i cemeto rmto cerco soprttutto i coteere l pertur elle essure: questo proposito si eettuo veriiche speiche, quli il coteimeto elle compressioi i eserzio el clcestruzzo e elle tesioi i trzioe ell cio, oché cotrollo i vlori i pertur elle essure. Nel prgro successivo occuperemo ell veriic elle compressioi i eserzio, metre el cpitolo seguete si trtterà ell veriic essurzioe. Le veriiche vegoo eettute co molità e limitzioi iverse i uzioe elle possiili situzioi i ggressività ell miete i cui si può trovre l struttur; l ormtiv iiviu tre tipologie i miete: - miete poco ggressivo, crtterizzto umiità reltiv o elevt o umiità reltiv e- levt per revi perioi; - miete moertmete ggressivo, crtterizzto u elevt umiità reltiv i ssez i vpori corrosivi; - miete molto ggressivo, crtterizzto presez i liquii o i eriormi prticolrmete corrosivi. Stto limite elle tesioi i eserzio Le veriic rigur il cotrollo elle tesioi si el clcestruzzo che ell cio, impoeo limitzioi iverse i uzioe ell ggressività ell miete i cui soo poste. I prticolre, per le strutture o prti i strutture esposte miete molto ggressivo, evoo essere rispettti i segueti limiti per le tesioi i compressioe el clcestruzzo: Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

3 Lezioe. pg. XXIII. - per comizioi i crico rr: 0.50 ck ; - per comizioi i crico qusi permete: 0.40 ck. Per le strutture o prti i strutture esposte miete moertmete o poco ggressivo, tli limitzioi si moiico elle segueti: - per comizioe i crico rr: 0.60 ck ; - per comizioe i crico qusi permete: 0.45 ck Per quto rigur l cio, iipeetemete l livello i ggressività ell miete, si richiee che l mssim tesioe i trzioe sotto l comizioe i crichi rr o eve superre 0.70 yk. miete molto ggressivo comizioe i crico rr qusi permete limite tesioe el cls limite tesioe ell cio 0.70 c 0.50ck s yk c poco o moertmete rr 0.70 ggressivo qusi permete c 0.45 ck --- ck c 0.60ck s yk Limitzioi i ormtiv elle tesioi i eserzio Il cotrollo ei vlori mssimi elle tesioi i coizioi i eserzio ssicur: - per il clcestruzzo, che o si sviluppio essure logituili i zo compress (simili quelle che si ormio ell prov rottur i u provio soggetto compressioe) e che le eormzioi ell struttur rimgo suietemete coteute el tempo (riurre l tesioe i eserzio sigiic itti operre u riuzioe elle eormzioi viscose); ioltre, per livelli mggiori ell compressioe el cls, il semplice moello i viscosità liere illustrto per escrivere il comportmeto lugo termie el clcestruzzo o è più pplile; - per l cio, che le evetuli essure che si possoo ormre el clcestruzzo o rggiugo vlori troppo elevti i pertur cus ello servmeto (e quii ell eormzioe plstic) ell cio. Nel clcolo elle tesioi è ecessrio cosierre, se el cso, oltre gli eetti ei crichi che quelli elle vrizioi termiche, ell viscosità, el ritiro, e elle eormzioi imposte veti ltre origii. D u puto i vist i clcolo, le tesioi eoo essere clcolte otto le proprietà geometriche ell sezioe corrispoete ll coizioe o essurt (stto I) oppure quell completmete essurt (stto II), seco ei csi. Deve, i regol, essere ssuto lo stto essurto se l mssim tesioe i trzioe el clcestruzzo clcolt i sezioe o essurt sotto l comizioe i crico rr super ctm. Quo si ott u sezioe o essurt, si cosier ttiv l iter sezioe i clcestruzzo, e si cosiero i cmpo elstico si trzioe che compressioe il clcestruzzo e l cio. Quo ivece si ott l sezioe essurt, il clcestruzzo può essere cosierto elstico i compressioe, m icpce i sosteere lcu trzioe: i vi sempliictiv si può ssumere il comportmeto elstico-liere e per le rmture il coeiete i omogeeizzzioe co il vlore coveziole 5. Clcolo elstico liere elle sezioi i c.. Nel clcolo elstico i sezioi i c.., si utilizz l tec el coeiete i omogeeizzzioe, già itrootto i preceez. I ltre prole, si cosier l sezioe omogeeizzt clcestruzzo, il che equivle cosierre le rmture preseti come equivleti ree i clcestruzzo i estesioe mggiort i volte (, coeiete i omogeeizzzioe). Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

4 Lezioe. pg. XXIII.4 Se si cosier u elemeto mooimesiole i c.. soggetto lessioe semplice, l risultte elle zioi itere h come uic compoete i solletzioe u mometo gete i u pio (ormle ll sezioe), coteete l sse ell elemeto. L itersezioe el pio el mometo co l sezioe iiviu l sse i solletzioe. Nel cso i lessioe semplice rett, ossi quo l sse i solletzioe coie co u sse priple i ierzi ell sezioe, si può proceere l clcolo elle tesioi el clcestruzzo e ell cio utilizzo l ormul i Beroulli-Nvier: y ove c co c mometo i ierzi el coglomerto compresso rispetto ll sse eutro e mometo i i- erzi ell cio rispetto llo stesso sse eutro; e y rppreseto rispettivmete l istz ell sse eutro l lemo compresso e l lemo teso ell sezioe. Come si etermire l posizioe ell sse eutro? L sse eutro è l sse ricetrico ell sezioe iele equivlete e si ricv impoeo che il mometo sttico ell sezioe iele omogeeizzt clcestruzzo rispetto esso si ullo: S y c iyi 0 0 i Sezioe rettgolre Si cosieri u sezioe rettgolre oppi rmtur, oè co le rre isposte si ell prte ieriore si i quell superiore ell sezioe, come rppresetto i igur. σ σ c Si vogli veriicre l sezioe t soggett lessioe semplice: si etermi il ricetro i tutte le rmture (rmtur ieriore e superiore) Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

5 Lezioe. pg. XXIII.5 Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05 0 ' ' ' Determizioe ell posizioe ell sse eutro si iichi co l istz ell sse eutro l lemo superiore, si clcoli il mometo sttico S ell sezioe iele rispetto ll sse eutro e lo si pog ugule 0: ( ) ( ) 0 ' S 0 posto ( ) ' l espressioe i S si sempliic ell seguete: ( ) risolveo l equzioe i gro si ottiee: ± ± ± sceglieo l soluzioe positiv, si h iie il vlore i che ietiic l posizioe ell sse eutro: 0 mometo i ierzi ell sezioe iele ( ) ( ) ' ' tesioi el clcestruzzo e ell cio c σ ( ) σ ( ) ' ' σ

6 Lezioe. pg. XXIII.6 Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05 ε ε σ ε Sezioe rettgolre semplice rmtur Nel cso i semplice rmtur si h: 0; 0 ; / ; 0 mometo i ierzi ell sezioe iele ( ) Dll ugugliz ei mometi stti, si h ( ) ( ) 0 S per cui si ottiee ( ) z ove si è posto il rco ell coppi iter pri z ltertivmete si h ( ) ( ) ( ) ( ) z tesioi el clcestruzzo e ell cio Utilizzo i risultti ppe ricvti si ottiee σ c ( ) σ

7 Lezioe. pg. XXIII.7 Veriiche co il metoo elle tesioi mmissiili Nel metoo elle tesioi mmissiili, si cotroll uicmete che i vlori mssimi ell tesioe ell cio e el clcestruzzo o superio egli opportui vlori i rierimeto che verro escritti el seguito. Il clcolo si esegue, i orm, i se II coveziole, ossi ipotizzo il clcestruzzo essurto che per vlori molto ssi el crico; i coseguez, el cso i lessioe semplice, si utilizzo le espressioi ppe trovte per l vlutzioe ello stto tesiole e si oper semplicemete ttrverso u cotrollo el vlore ell tesioe. Tesioi mmissiili el coglomerto Tesioi ormli i compressioe mmissiili Soo eiite co rierimeto ll resistez crtteristic R ck 8 giori: R ck 5 R σ c 6 N / mm 4 σ ck 50 c 60 kg / cm 4 Il vlore i σ c vri liermete co l resistez crtteristic u vlore miimo i 6 N/mm (per R ck 5 N/mm ) u mssimo i 6 N/mm (per R ck 55 N/mm ). Nei csi riportti ell seguete tell eve essere ssuto u vlore riotto ell tesioe ormle i compressioe mmissiile: vlore riotto i σ c solette i spessore ieriore 5 cm 0,7 σ c trvi T co solett collorte i spessore s < 5 cm 0,7 σ c trvi T co solett collorte i spessore s 5 cm 0,9 σ c pilstri compressioe semplice co s < 5 cm (s imesioe miim trsversle ell sezioe) 0,7 [-0,0 (5 s)] σ c pilstri compressioe semplice co s 5 cm (s imesioe miim trsversle ell sezioe) 0,7 σ c Tesioi tgezili mmissiili No è richiest l veriic elle rmture l tglio e ll torsioe se le tesioi tgezili mssime el coglomerto o supero il vlore seguete: R ck 5 R τ c0 0,4 N / mm 75 τ ck 50 c0 4 kg / cm 75 Love questo vlore si superto è ecessrio preisporre pposite rmture, io lle ste o meo el 40 % ello sorzo glole i scorrimeto. L mssim tesioe tgezile per solo tglio o eve comuque superre il seguete vlore: R ck 5 R τ c,4 N / mm 5 τ ck 50 c 4 kg / cm 5 Nel cso i cocomitz i tglio e torsioe il vlore preceete può essere umetto el 0 %. Tesioi tgezili i erez Le tesioi tgezili i erez elle rre, ell ipotesi che io u meto costte, o evoo superre i segueti limiti: rre toe lisce τ, 5 τc0 rre erez migliort τ, 0 τc0 Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

8 Lezioe. pg. XXIII.8 Tesioi mmissiili egli ci c.. Il seguete prospetto elec i vlori elle tesioi mmissiili σ per tutti e quttro i tipi i cio previsti ll ormtiv per le rre c.. Soo ioltre riportti i vlori ei rpporti tr l tesioe i servmeto y e l tesioe mmissiile σ. ci rre toe lisce rre erez migliort c.. Fe B k Fe B k Fe B 8 k Fe B 44 k σ 5 N/mm 55 N/mm 5 N/mm 55 N/mm (00 kg/cm ) (600 kg/cm ) (00 kg/cm ) (600 kg/cm ) y 5 N/mm 5 N/mm 75 N/mm 40 N/mm y / σ Coroto co il metoo gli stti limite Osservo l semplità el metoo lle tesioi mmissiili, se rpportto l umero e ll mggiore iicoltà elle veriiche richieste el metoo gli stti limite, risult poco eviete come si possiile rggiugere i u struttur u gro i sicurezz corotile opero co ue metoi così iversi. I ltre prole, i che mier il solo cotrollo ello stto tesiole i u sezioe può grtire l sicurezz ei coroti i situzioi i reltà molto iverse tr loro, quli quelli cotemplte elle veriiche gli stti limite (rottur, essurzioe, tesioi i eserzio, etc.)? I primo luogo occorre osservre che i tssi i lvoro che si ssumoo per i mterili ei ue metoi soo stz iversi tr loro. che limito l ttezioe l cotrollo ell tesioe i eserzio, ell comizioe i crico rr (che corrispoe più o meo ll coizioe i crico che si utilizz el metoo elle tesioi mmissiili) si ho i segueti vlori (rieriti u clcestruzzo i clsse R ck 0 e rmture FeB44k i miete o molto ggressivo): tesioe mssim clcestruzzo tesioe mssim cio () stto limite i tesioe i eserzio () tesioi mmissiili rpporto ()/() 0.60ck 8 P σ c 9.75 P.85 c 0.70 yk 0 P σ 55 P.8 s Ossi opero co il metoo elle tesioi mmissiili si ssumoo vlori tesioli mssimi e- stremmete più coteuti (spelmete el cso el clcestruzzo che preset il mggior gro i ispersioe ei vlori), e quii si coproo le icertezze legte lle sempliiczioi isite el metoo co u cogru riuzioe elle tesioi i lvoro (e quii co u corrispoete sovrimesiometo ell struttur). I secoo luogo, l limitzioe ell tesioe ell cio comport i tto u cotrollo iiretto ell coizioe i pertur elle essure (come risulterà più eviete el cpitolo successivo): i ltre prole, limitre l tesioe i eserzio elle rmture tese comport u coteimeto ei vlori i pertur elle essure, che se u clcolo più rispoete ll reltà isic el eomeo (come viee eettuto ell vlutzioe ello stto limite i essurzioe) comport evietemete u livello i sicurezz mggiore. I sitesi, opero co il metoo elle tesioi mmissiili si riu u cotrollo putule elle possiili cuse i crisi o mluziometo i u sezioe i c.. opero iirettmete ttrverso opportue riuzioe ei mssimi tssi i lvoro ei mterili: è chiro che, i questo moo, si rggiuge u livello i sicurezz che può essere prgoile quello che si ottiee co il metoo egli stti limite ricorreo spesso u sovrimesiometo egli elemeti strutturli. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

9 Lezioe. pg. XXIII.9 Prescrizioi co il metoo elle tesioi mmissiili lcue elle prescrizioi viste el metoo egli stti limite, ssumoo espressioi e vlori leggermete iversi se si utilizz il metoo elle tesioi mmissiili. Si riporto, el seguito, le prescrizioi putuli reltive l clcolo ei pilstri e elle trvi. Pilstri Nel clcolo ei pilstri, oltre ottre i vlori riotti ell tesioe mmissiile el clcestruzzo, occorre isporre u qutittivo miimo i rmtur pri : Normtiv L Normtiv iss ei qutittivi miimi per l re i cio i uzioe ell re i clcestruzzo: 0,008 c,mi, ove c,mi è l re i clcestruzzo strettmete ecessri per ssorire lo sorzo N [ossi, c,mi N/ σ c, m N/(0.7 σ c )] 0,00 c,e 0,06 c,e, ove c,e è l re eettiv i clcestruzzo; il limite ieriore (0,00 c,e ) è imposto per ssorire evetuli mometi letteti, metre quello superiore (0,06 c,e ) iché il clcestruzzo si i gro i cotrstre eiccemete l ilessioe elle rmture Le ltre prescrizioi (rmture miime i spigolo e sttur) soo le stesse ei ue metoi. Nel cso i veriic per solletzioi i presso-lessioe si prescrive ioltre che Normtiv Nelle solletzioi i pressolessioe l tesioe mei ell iter sezioe o eve superre l tesioe mmissiile per compressioe semplice. È ioltre mmess u metoologi sempliict i clcolo el cso eccetrità suietemete coteute: Normtiv Se N è estero l ocolo cetrle i ierzi, m l trzioe mssim clcolt i sezioe itermete regete o super /5 ell mssim tesioe i compressioe, ossi σc,m σ t,m, 5 si può cor usre l ormul che prevee l sovrpposizioe egli eetti purché l risultte elle trzioi veg ssorit u pposit rmtur, imesiot per sopportre l risultte elle trzioi u tesioe coveziole i: - 00 kg/cm per le rre toe lisce, kg/cm per le rre erez migliort. Trvi Nelle trvi le prescrizioi soo le stesse ei ue metoi, slvo che per l isposizioe elle rmture resisteti tglio. Utilizzo il metoo elle tesioi mmissiili occorre Normtiv lmeo il 40% ello sorzo i scorrimeto eve essere ssorito ste (è quii sempre oligtorio iserire u sttur). che i ssez i clcolo speico per le rmture tglio, occorre comuque isporre u rmtur tglio miim i re lmeo pri 0,0 β* cm /m, ove β* è l lrghezz corrispoete l rggiugimeto ell tesioe tgezile τ c0 Le ltre limitzioi (lmeo tre ste l metro, psso o superiore 0.8, limitzioi el psso i prossimità i crichi cocetrti o zoe i ppoggio) soo le stesse ei ue metoi. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

10 Lezioe. pg. XXIII.0 Esempi i clcolo co il metoo elle tesioi mmissiili Esempio i progetto i u pilstro soggetto sorzo ormle semplice Si progetti l sezioe i u pilstro i c.. per sopportre uo sorzo ormle i compressioe i kg. Si utilizzio mterili co le segueti crtteristiche: clcestruzzo i clsse R ck 00 kg/cm, cio FeB44k. 97,5. re i clcestruzzo strettmete ecessri Si può ricvre l re strettmete ecessri i clcestruzzo impoeo che o veg superto il vlore ell tesioe mmissiile per solletzioi i compressioe cetrt, e ipotizzo, come vlore i tettivo, u re i cio pri quell miim richiest per regolmeto, ossi pri llo 0.8% ell re i clcestruzzo. Così opero, si può porre c c c. c e quii ricvre c,mi 96 cm, 68,5 Si può quii ottre u sezioe i 45 cm 45 cm ( c cm ). Determizioe el qutittivo miimo i rmtur Il qutittivo rmtur el pilstro eve soisre le segueti isuguglize 0,008 c,mi 0, ,696 cm 0,00 c,e 0, ,075 cm 0,06 c,e 0,06 05,5 cm metteo isieme le ue isuguglize si h: 5,696 cm,5 cm si otto 4 φ 4 4 4,5 8,08 cm. Tesioi ormli el cls e ell cio c ,08 96, cm L tesioe ormle el clcestruzzo è pri : N σc 65, kg / cm 68,5 kg / cm ,08 96, metre quell ell cio vle: N σ c 5 65, 980 kg / cm 600 kg / cm quii le tesioi ormli mssime soo ieriori i vlori mmissiili. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

11 Lezioe. pg. XXIII. 4. Ste ll luce elle prescrizioi i ormtiv, occorre isporre ste i imetro o miore i φ6 (che corrispoe che /4 ei erri logituili), u psso o mggiore el miimo tr 5 cm e 6 cm (5,46, 5 volte il imetro ei erri logituili). Si otto pertto ste φ6/5 (l otzioe utilizzt si legge: ste imetro 6, psso 5 cm). Esempio i veriic i sezioe rettgolre i c.. soggett lessioe semplice Si veriichi u sezioe rettgolre i c.. soggett u mometo lettete i 7000 kgm. L sezioe h imesioi 0 cm 50 cm e è oppi rmtur, co l rmtur ieriore tes ormt 4 φ 6 e quell superiore φ 6. I mterili ho le segueti crtteristiche: clcestruzzo i clsse Rck 00 e cio FeB44k. ε ε ε. clcolo elle ree i rmtur e el ricetro i tutte le rmture cm cm ' ' 8,04 46,4 4,0,6 0, cm ' 8,04 4,0. etermizioe ell posizioe ell sse eutro ( ' ) 5 ( 8,04 4,0) 6,0 0, 6,0 4,56 cm 6,0 N.B. se o si ricor l ormul sopr, si può ricvre per vi irett, ripercorreo quto tto ell trttzioe geerle: S ( ) ' ( ' ) 0 S 0 58,04 ( 46,4 ) 5 4,0 (,6) ,6 60, , risolveo si ricv 4,56 cm. φ6 4φ6 Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

12 Lezioe. pg. XXIII.. clcolo el mometo i ierzi ' ( ' ) ( ) 0 4,56 5 4,0 4,56,6 58,04 ( ) ( 46,4 4,56) , 0, 0,6 0, cm 4. clcolo elle tesioi σ c 4,56 6,55 kg / cm 97,5 kg / cm σ 5 46,4 4, kg / cm 600 kg / cm ( ) ( ) Esempio i veriic i sezioe T soggett lessioe semplice Si cosieri u trve semplicemete ppoggit i luce 6,00 m, soggett u crico uiormemete istriuito costte i 4500 kg/m. L trve i u sezioe T, le cui imesioi e rmture soo iicte ell igur seguete: Α Β 4φ N.B. Nell esempio si immgi che l trve si semplice rmtur; ell reltà i tutte le trvi soo sempre preseti che rmture superiori, che ssolvoo tr l ltro che il compito i reggiste, oè i erri che sostegoo le rmture trsversli l tglio, i cui si irà più vti. Tli rmture vegoo usulmete igorte el clcolo i veriic ell trve. Il mometo mssimo si h i mezzeri e vle: m 050 kgm 8 L rmtur è costituit 4 rre i mm i imetro: 4,80 5, cm L veriic lessioe ell sezioe i mezzeri si esegue ipotizzo iizilmete che l sse eutro tgli l solett superiore. Se i clcoli quest ipotesi risult soistt, llor l soluzioe trovt è corrett, ltrimeti se l sse eutro tgli l im, occorre ripetere il clcolo. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

13 Lezioe. pg. XXIII.. sse eutro che tgli l solett il ricetro ell rmtur ist l lemo superiore: 0 ssume il seguete vlore: 5 5,,8 B ,8 7,6 cm > s ( 6 cm),8 esseo >s, l sse eutro tgli l im, per cui occorre proceere iversmete, cosiero u sezioe rettgolre lrg, co u rmtur ittizi superiore i re equivlete quell elle li ell sezioe T. omogeeizzzioe elle li cio L re elle li, omogeeizzt cio, è pri : * ( 60 0) 6 4,67 cm 5 * s 5, 57 4, ,87 cm * 5, 4,67 si ricv: 5 ( 5, 4,67) 4,40 0 0,87 4,40 7,9 cm 4,40 pssimo or l clcolo el mometo i ierzi ell sezioe iele equivlete: 0 7,9 ( ) ( ) ( 60 0) 6 5 5, 57 7,9 5 4,67 7, , ,7 5698,5 65, 46868,6 cm le tesioi el cls e ell cio risulto pri : σ c 7,87 76,07 kg / cm < 0,90 97,5 87,75 kg / cm 46868,6 (l tesioe i compressioe el clcestruzzo ell solett v corott co u vlore ell tesioe mmissiile riotto el 0 %, come prescritto ll ormtiv per sezioi T co solett i spessore superiore 5 cm) σ ( ) 5 ( 57 7,87) 599,5 kg / cm < 600 kg / cm 46868,6 L veriic è soistt. Tesioi mmissiili: progetto i u sezioe rettgolre i c.. lessioe semplice Si vogli progettre u sezioe rettgolre soggett lessioe semplice. I ti el prolem soo: - orm ell sezioe (rettgolre) - istz elle rmture l lemo compresso (, ) - mometo lettete i clcolo Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

14 Lezioe. pg. XXIII.4 - tesioi mmissiili ei mterili ( σ c, σ ) Le icogite el prolem soo 5: - imesioi ell sezioe (, h) - qutittivo i rmtur ieriore e superiore - posizioe ell sse eutro Le equzioi che si possoo scrivere soo tre: - equzioi i equilirio - equzioe i cogruez Si cosieri il cso i sezioe semplice rmtur ( 0, 0), le icogite el prolem i riucoo pertto quttro:, h,,, u i più elle equzioi ispoiili. Per riurre le icogite tre, qute soo le equzioi, è suiete issre u elle ue imesioi ell sezioe ( oppure h). Si issi llor il vlore ell lrghezz ell sezioe; si ssumo ioltre le tesioi mssime ei ue mterili uguli quelle mmissiili ( σ c σc, σ σ ), ove σ c è l tesioe l lemo superiore compresso. Equzioe i cogruez Iico cor co l ltezz utile ell sezioe (istz el ricetro ell rmtur l lemo superiore), ll ipotesi i coservzioe elle sezioi pie si ricv l seguete relzioe tr l eormzioe ε c el clcestruzzo l lemo superiore e quell ε e elle rre i rmtur: εc (ll similituie ei trigoli OD e BC) ε εc ε poeo εc K εc ε risult: σc εc Ec σc σc σc K εc ε σc σ Ec σ σc σ σ c σ σc Ec E E cui: K N.B. K ipee solo lle tesioi mmissiili el clcestruzzo e ell cio, pertto ote queste ultime è oto il legme tr l posizioe ell sse eutro e l istz elle rmture l lemo superiore compresso. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05 ε

15 Lezioe. pg. XXIII.5 Equzioi i equilirio equilirio ll trslzioe i irezioe ortogole l pio ell sezioe equilirio ll rotzioe Iicte co C e F le risultti elle compressioi el clcestruzzo e elle trzioi ell cio e co z l istz tr i loro ricetri (vei igur) elle rre i rmtur, le coizioi i equilirio soo espresse elle segueti equzioi: C F C z (oppure F z ) σ o equivletemete: C z F z L risultte C elle compressioi el clcestruzzo è pri : C σc che, utilizzo l relzioe K, si può riscrivere: C K σc. L risultte elle trzioi ell cio è ivece pri : F σ. Impoeo l equilirio ll rotzioe itoro l ricetro ell rmtur: C z () L qutità z (rco ell coppi iter) è t ll seguete espressioe: K z K η K veo posto η. Sostitueo ell equzioe i equilirio (C z ) l espressioe i z e quell i C, si ottiee: K σc η cui si ricv: r σc K η ove r. σc K η questo puto rime etermire l re i cio; questo scopo si utilizz l equzioe i e- quilirio ll rotzioe itoro l ricetro el clcestruzzo compresso: F z σ η cui si ricv: ση. Ioltre, to che r Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

16 Lezioe. pg. XXIII.6 l ormul preceete può che essere mess ell orm t σ η r ove si è posto t σ η r Il vlore i η ssume vlori compresi tr 0,84 e 0,96, per vlori i σ c vriili tr 0 e 50 kg/cm, pertto si può ottre i prim pprossimzioe u vlore pri 0,9. Il prolem i progetto lessioe semplice i u sezioe rettgolre i c.. è completmete risolto u volt etermite le tre grezze: K, r e t, che ipeoo solo lle tesioi mmissiili ei ue mterili. Riepilogo Si riepilog il proceimeto seguire per il progetto i u sezioe rettgolre i c.. semplice rmtur soggett lessioe semplice:. clcolo elle tesioi mmissiili el clcestruzzo e ell cio σ c e σ. clcolo i K, r, η e t: σc K K, r, η t σc σ σc K η σ η r. clcolo ell istz ell rmtur l lemo compresso r 4. clcolo ell posizioe ell sse eutro K 5. clcolo el qutittivo miimo i rmtur t. I testi sul cemeto rmto riporto elle telle ove soo electi i vlori ei coeieti K, r, η e t i uzioe elle tesioi mmissiili ell cio e el clcestruzzo. I vlori i K e η soo imesioli, r h le imesioi i u lughezz per u orz elevt ½, metre t h le imesioi i u lughezz ivis u orz elevt ½. Pertto el progetto i u sezioe iless i c.. occorre prestre ttezioe utilizzre telle elle quli r e t sio espresse elle stesse uità i misur elle quli si lvor!!!! Di seguito si riport l tell ei coeieti K, r, η e t per ue iversi vlori ell tesioe mmissiile ell cio, σ 00 kg/cm (FeB8k) e σ 600 kg/cm (FeB44k). Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

17 Lezioe. pg. XXIII.7 Le tesioi soo espresse i kg/cm. σ c Tell σ 00 kg/cm (FeB8k) σ 600 kg/cm (FeB44k) kg/cm r K η t r K η t Rck Rck Rck Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

18 Lezioe. pg. XXIII.8 Di seguito si riport l stess tell ei coeieti K, r, η e t utilizzre se le tesioi soo e- spresse i N/mm. σ c Tell σ 5 N/mm (FeB8k) σ 55 N/mm (FeB44k) N/mm r K η t r K η t Rck Rck Rck N.B. Per etermire i vlori i K, r, η e t corrispoeti vlori ell tesioe el cls o cotemplti elle preceeti telle si può utilizzre l iterpolzioe liere, sez commettere errori sigiictivi. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

19 Lezioe. pg. XXIII.9 Esempio i progetto lessioe semplice i sezioe rettgolre i c.. Si progetti u sezioe rettgolre i c.. soggett u mometo lettete i 000 kgm. Si utilizzi u clcestruzzo i clsse R ck 00 kg/cm e u cio tipo FeB44k. ε ε. Tesioi mmissiili ei mterili L tesioe mmissiile i compressioe el clcestruzzo è pri : R ck 50 σc 60 97,5 kg / cm 4 metre l tesioe mmissiile ell cio è pri : σ 600 kg / cm. Si iss 5 cm (i solito l lrghezz ell sezioe i u trve è impost esigeze i tur rchitettoic) lle telle preceeti per σ c 97,5 kg / cm e per σ 600 kg / cm si ricv: K 0,60 r 0,54 η 0,880 t0,0078 pertto si h: r 0,54 55,65 cm () 5 K 0,6 55,65 0 cm t 0, ,4 cm I ltertiv ll utilizzo el coeiete t, si può che utilizzre l ormul ,4 cm ση 600 0,88 55,65 che orisce risultti ( meo elle ievitili pprossimzioi ovute l trocmeto elle re emli) ieti. Se per clcolre si osse utilizzto il vlore i η pprossimto 0,9, si sree otteuto: , cm ση 6000,9 55,65 oè si sree commesso u errore sull re i cio i solo il %!!!. Scelt elle crtteristiche ell sezioe Si ott pertto u ltezz i 60 cm e 4 rre i 8 mm i imetro; così ceo si h: 60,8/ 57, cm > 55,65 cm () D otre che il vlore el mometo lettete è stto espresso i kgcm, esseo le imesioi geometriche espresse i cm. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05

20 Lezioe. pg. XXIII.0 4,54 0,6 cm > 9,4 cm. N.B.: Se si esprimoo i vlori elle tesioi i N/mm, occorre utilizzre l Tell, ll qule risult: K 0.60 r η t pertto si h: r , ,7 mm 55,77 cm 50.. t 0, mm () Il vlore o coie perettmete co quello ricvto sopr per l errore i trocmeto presete el vlore i r. Gii Brtoli/urizio Orlo pputi i Tec elle Costruzioi Bozz soggett revisioe 8/0/05