Fisica Generale B. 1. Elettrostatica. Lampi, Tuoni e Fulmini. Lampi, Tuoni e Fulmini (II) Triboelettricità

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1 isica Geneale B Lampi, Tuoni e ulmini Alcuni fenomeni elettici e magnetici sono noti dai tempi antichi. Lampi, tuoni e fulmini eano attibuiti alla mano del dio Zeus Gioe). 1. lettostatica Apil, 11 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica Lampi, Tuoni e ulmini II) Tiboeletticità Oggi sappiamo che uesti fenomeni sono douti all accumulo di caiche elettiche all inteno delle nuole. Già ai tempi di Talete I secolo a.c.) ea noto che alcuni mateiali, come l amba in geco $&', electon), una olta stofinati con seta o con lana, attiano copi sufficientemente leggei tiboeletticità). Tuttaia le pime iceche scientifiche sull eletticità iniiaono alla fine del XI secolo, uando Wiliam Gilbet studiò la elaione ta eletticità statica e magnetismo e Benjamin anklin poò la natua elettica dei fulmini con il famoso espeimento dell auilone. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 3 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 4

2 Tiboeletticità II) Tiboeletticità III) tofinando una bacchetta di amba, ebanite o eto con un panno di lana o seta, essa acuista la popietà di attae copi leggei, come peetti di cata. Pe osseae meglio tale attaione si può utiliae un pendolo costituito di un fammento di midollo di sambuco, appeso a un filo di seta. Lo stato di elettiaione si comunica da un copo a un alto pe contatto: toccando con una bacchetta elettiata un peo di amba o di ebanite, uesto si elettia a sua olta. e si tocca con la bacchetta elettiata il pendolino, successiamente uesto è espinto dalla bacchetta. Una olta elettiato il pendolino con l amba o l ebanite, si può osseae che bacchette di amba o di ebanite elettiate espingono il pendolino, mente bacchette di eto elettiato attaggono il pendolino. Questo mosta l esistena di due diesi stati di elettiaione: l elettiaione esinosa o negatia e l elettiaione etosa o positia. Il panno con cui si stofina la bacchetta isulta caico con segno opposto ispetto alla bacchetta. Lo stato di elettiaione può essee attibuito alla caica elettica. Lo stofinamento causa un accumulo di caica positia da una pate p. es. bacchetta) e un accumulo di caica negatia dall alta p. es. panno). Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 5 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 6 Tiboeletticità I) La oa lettomagnetica nella isica Modena Quando si icee una scaica elettica scendendo dall auto con la suola di gomma alle scape, si speimenta la tiboeletticità. Lo stofinamento dei estiti sul sedile cea un accumulo di caiche di un ceto segno sui estiti e di segno opposto sul sedile. Le suole di gomma impediscono che la caica enga ceduta pe contatto. Quando accidentalmente si tocca la caoeia con la mano, la caica in eccesso iene ceduta pe contatto, geneando una coente elettica di alta tensione ~3 /cm) che si pecepisce con fastidio. Oggi sappiamo che la foa elettomagnetica è una delle 4 foe fondamentali della natua: 1. oa gaitaionale;. oa nucleae debole; 3. oa elettomagnetica; 4. oa nucleae fote. Ogni alta foa conosciuta con ecceione delle foe di ineia) ha oigine, a liello micoscopico, in una di ueste 4 foe. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 7 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 8

3 La oa lettomagnetica nella isica Modena II) La foa elettomagnetica è la foa dominante nel mondo fisico che conosciamo: Tiene uniti gli elettoni al nucleo negli atomi. Tiene uniti gli atomi nelle molecole; È all oigine delle foe elastiche; È all oigine delle foe di tensione delle funi; È all oigine delle foe di attito; È all oigine delle foe di esistena; La oa lettomagnetica nella isica Modena III) Non hanno oigine elettomagnetica poche foe comunemente note, ta cui: La foa peso foa gaitaionale); La foa che mantiene i pianeti sulle loo obite foa gaitaionale); La foa che tiene uniti i uak nei nuclei degli atomi foa nucleae fote). È all oigine delle foe di tensione supeficiale dei liuidi; È all oigine delle foe di uto; È all oigine delle eaioni incolai. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 9 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 1 La Composiione della Mateia molecola I Costituenti della Mateia: le Paticelle lementai emioni) Q = e Q = e Q = 1 e cm nucleo 8 1 cm atomo elettone e m = neutino elettonico e m =.5 Me/c u m = 8 Me/c d m = 15 Me/c elettone up down Mateia odinaia sistite subito dopo il Big Bang. Oa pesenti nei aggi cosmici e negli acceleatoi µ m = neutino muonico µ m = 16 Me/c muone c m = 16 Me/c s m = 3 Me/c cham stange 13 1 cm potone uak 18 <1 cm) 13 1 cm neutone Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 11 m = neutino tauonico leptoni 1 e = C m = 18 Me/c tauone t m = 17 Me/c b m = 45 Me/c top uak bottom 1 Me/c Domenico = Galli isica Geneale 1 3 B 1. kg lettostatica 1

4 L Inteaione Bosoni, Mediatoi delle oe Le foe fondamentali sono attibuite allo scambio di paticelle mediatici bosoni). Intensità della foa a piccola distana 113 cm) oa e aggio d'aione 138 oa Nucleae ote 113 Lo scambio di gluoni g) tiene uniti i 3 uak u, u, d) nei potoni, nonostante i uak u abbiano entambi caica positia la foa elettomagnetica li allontaneebbe). gaità infinito gaitone Pe esempio la epulsione ta due caiche elettiche positie è attibuita allo scambio di paticelle mediatici, dette fotoni. esponsabile del peso dei copi inteaione debole 16 1 cm bosoni intemedi esponsabili di alcune fome di adioattiità elettomagnetica infinito 1 fotone potatoe della foa elettomagnetica, costituisce luce, onde adio, aggi X, ecc. Paticella caica p.es. elettone) inteaione fote 113 cm gluone Paticella mediatice p.es. fotone) Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica tiene uniti i uak nei potoni, neutoni, ecc. libea enegia nelle eaioni nucleai 13 Dagli Atomi Taola Peiodica degli lementi Dimiti Mendelee, 1869): Tabella iassuntia delle 4 foe fondamentali:./11 ),/=K Gaitone G Bosoni ettoi intemedi W+, W, Z otone 14 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica oe ondamentali e Bosoni Mediatoi Paticella scambiata bosone) 1 Gluoni g Raggio d aione 1$16 cm 1$13 cm Intensità a piccola distana 113 cm) 1$38 1$13 1$ 1 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica ? $ & 6 +, 3 + A < 5 G? H $ <, 4 <* 6 QO 4 9T = 3 ) AT 5 9/? U 6$ A* 6 P 66 := 64 R 6 A/ 63 QL 6H, 6 A 65 <= 6? A 4$ ML 4.* 46., 44 9' 4, 43 +/ 4U/ / 4? $ M/ < 6 Q 4 :P 3 )K 9O 5 AK? IL 3$ L 3 36 :, 34 I 3 N, - 33 A' 3+* 6 &; 4 :* W 3, G' I/ 5 )J? 9 5$ &O 5 :T 56 ) 54 += 5 ) 53 9J 5L 5 H/ 55 * $ ; $3 7 $O $ + $5 &' $? QJ $ 7' O 6 AL 4 CJ CD 3 C1 C C' A, 3? )/ -$ <K - )B -6 B -4 > -.K -3 : & -5 >/ -? :B 9JJ=L=K= 5? 9P?$ :? )*?6 C?4 <1? )?3 9B?AB? +?5 A;?? >' $$ HB $ QK $6 < 6 &, Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 16

5 alle Paticelle lementai L Inteaione lettomagnetica Paticelle del Modello tandad 197): Quak Leptoni Bosoni foe); Il otone è il bosone che taspota la foa elettomagnetica. ')) $&' +,$.&' +,+$.&'$ $ )*$ & &' $4 1), 4 )*+, $&' +,-.$&$ /$,1$,3'$&$4, -$&' +)$&' 6 6 ' -.& 3)&' $.&' 6 +, $&' )+,$&' +**$&'$ * * * $ $ $ &'$8& ''&8 &'$8&,$&8 &'$8& )$&8 )*++$&' +)*,$&' +,,,$.&' 6/ 6/ 6/ ) ''&',$&' )$&' *5 * / 7&' $ * * / $&' /+$.&' * / 7:) -'+' * - -)$.&' +, 9/ / 7:) -'+' -.&'/1+3 I Diagammi di enman appesentano gaficamente le inteaioni micoscopiche elementai ta paticelle e indica il pocedimento di calcolo pe deteminane le caatteistiche fisiche ampiea di tansiione, seione d uto). Nell inteaione elettomagnetica, due elettoni e ) si scambiano un fotone ). e e $ e $ Taiettoie e Diagamma di enman e e Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 17 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 18 Legge di Coulomb Legge di Coulomb II) i può utiliae una bilancia di tosione, analoga a uella di Caendish, pe misuae l intensità della foa elettica ta due paticelle puntifomi caiche. i toa che: 1 = ˆ = , = P P 1 con: 1 = 1 7 c kgmc = 8.99 $ 1 9 Nm 4 C $ kg m 3 s C doe c è la elocità della luce nel uoto e C è l unità di misua della caica elettica nel istema Intenaionale, chiamata Coulomb. P 1 P P 1 1 P1 P û P Peciò costante dielettica del uoto) ale: = 17 kg 1 m 1 C = 8.85 $ 1 1 N 1 m C 4c $ = 8.85 $ 11 m kg 1 m 3 s C Nel istema Intenaionale, pe agioni patiche, l unità di base non è uella di caica ma uella di intensità di coente Ampèe, A) a cui il Coulomb è legato dalla semplice elaione: 1A = 1C 1s Q $ = TI $ Le dimensioni di sono peciò essendo I la coente): $ = M &1 L &3 T 4 I $ aad, edi possimo capitolo Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 19 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica

6 Legge di Coulomb III) Legge di Coulomb I) Confontando la legge di Coulomb: e) 1 = 1 1 ˆ 4 Con la legge di gaitaione di Newton: g ) 1 = m m 1 ˆ si può osseae che esse hanno la stessa foma, ma la costante della foa elettica è molto maggioe di uella della foa gaitaionale & = kg 1 m 3 s ' 1 = kgm 3 s C ) 4$ L alta diffeena ta la legge di Coulomb e la legge di Newton consiste nel fatto che: la foa gaitaionale è sempe attattia, essendo la massa sempe positia la foa elettica può essee sia attattia sia epulsia, in uanto la caica elettica può essee sia positia sia negatia. Caiche dello stesso segno si espingono, mente caiche di segno opposto si attaggono. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 1 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica Pincipio di oapposiione Distibuioni Continue di Caica e inece di caiche puntifomi abbiamo 3 caiche puntifomi 1, e 3, situate nei punti P 1, P e P 3, ual è la foa che agisce su ciascuna caica? i toa speimentalmente che la foa totale che agisce sulla caica 1 è la somma ettoiale della foa che la caica eseciteebbe su 1 se 3 fosse assente e della foa che la caica 3 eseciteebbe su 1 se fosse assente. La foa con cui due caiche inteagiscono non iene alteata dalla pesena di una tea caica pincipio di soapposiione). 1 3 pesso la caica elettica non è puntifome, ma è distibuita su un ceto olume dello spaio o su di una supeficie o ancoa su di una linea. e la caica è distibuita lungo una linea coniene desciee la distibuione della caica utiliando la densità lineae di caica misuata in C/m): = lim l l = d d l e la caica è distibuita lungo una supeficie coniene desciee la distibuione della caica utiliando la densità supeficiale di caica misuata in C/m ): = lim = d d Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 3 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 4

7 Distibuioni Continue di Caica II) Distibuioni Continue di Caica III) Infine se la caica è distibuita in un olume coniene desciee la distibuione della caica utiliando la densità olumetica di caica misuata in C/m 3 ): = lim = d d ogliamo oa calcolae la foa esecitata da una distibuione di caica descitta dalla densità olumetica & su di una caica puntifome posta a una ceta distana. Un olumetto elementae d situato nel punto P) di ettoe posiionale conteà la caica elettica: d = d d Il olumetto d può essee consideato come una caica puntifome e dunue possiamo applicae a esso la legge di Coulomb: d $ $ d = 1 $ )d 4 $ ) $ 3 1 = Pe il pincipio di soapposiione, la foa totale podotta su dalla caica contenuta nel olume saà la somma dei contibuiti di d tutti i olumetti infinitesimi d: = 1 & $ ) 4 $ )d ' $ 3 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 5 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 6 Campo lettico 1 = 1 1 ˆ 4 Campo lettico II) La foa di Coulomb può essee ifomulata utiliando il concetto di campo di foa. Possiamo alloa definie campo elettico di una caica puntifome Q il campo ettoiale: Possiamo pensae che la pesena di una caica elettica 1 posta nel punto P 1 altei le popietà dello spaio, intoducendo in esso un campo elettico. ) = 1 Q 4 ˆ Poniamo una caica puntifome Q nell oigine di una tena catesiana di ifeimento e una seconda caica puntifome a una ceta distana. La foa agente su si può sciee: e sciee la foa agente su di una caica situata nel punto di aggio ettoe come: = ) = 1 Q 4 1 Q ˆ = 4 ˆ & $ $ $ ' ) = ) Q Q Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 7 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 8

8 Campo lettico III) Campo lettico I) In uesto modo l aione della caica Q sulla caica iene sepaata in due fasi distinte: La ceaione, da pate della caica Q, di un campo elettico in ogni punto dello spaio; L accoppiamento nel punto del campo elettico ) con la caica. La foa osseata sulla caica si stabilisce pe effetto dell accoppiamento locale caica-campo elettico. Nel istema Intenaionale il campo elettico si misua in N/C Newton/Coulomb) o /m olt/meto) e le sue dimensioni sono: $ = $ = MLT 3 I 1 Q $ $ Q Il campo elettico è un campo ettoiale: A ogni punto dello spaio è associato un ettoe, il ettoe campo elettico: P 3 P. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 9 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 3 Integale di upeficie di una unione ettoiale ia data una funione ettoiale definita in R 3 e sia data una supeficie R 3 ; uddiidiamo la supeficie in un ceto numeo n di supefici infinitesime &, pendiamo su di esse i punti: P 1 x 1, 1, 1 ), P x,, ),, P n x n, n, n ) e consideiamo la somma: n P i i=1 i P i ) Integale di upeficie di una unione ettoiale II) La supeficie R 3, può essee definita utiliando i paameti $ e : = { P 3 ; P = P,$), & 1, ', $ & $,$ ' 1 } L integale di supeficie si calcola uindi come: $ P)i d = d ' P P,$)) i) & P *, d$ $ + 1 $ 1 Nel limite in cui le supefici & dientano infinitesime, la somma dienta l integale di supeficie: n n$ P i &&& $ I = $ i=1 i P i ) '' i d P Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 31 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 3

9 Integale di upeficie di una unione ettoiale: sempio Integale di upeficie di una unione ettoiale: sempio II) Consideiamo, pe esempio, la supeficie di una semisfea: + - = P x,,) 3 ; x = sin cos, = sin sin, = cos, &,$ ', ), $ '/-, *.- & 1- e la funione ettoiale: P ˆk i ha: P P $ = det î ˆ ˆk x x $ $ $ = det î ˆ ˆk cos cos$ cos sin$ sin sin sin$ sin cos$ ˆk = = sin cos$ î + sin sin$ ˆ + sin cos cos $ + sin cos sin $ = sin cos$ î + sin sin$ ˆ + sin cos ˆk = Dunue: ˆk P P ' * = ˆk sin cos$ î + sin sin$ ˆ + sin cos ˆk & $ ) = = sin cos = sin - - P)i d = ˆk i d = d ˆk ' $P i) $ & $P *, d = $ = d sin ) d = - d sin ) d = - / cos d. 1 4 = 1 34 =. - - d / cos ) 4 3 =. - d cos-. cos 4 = - d = - - Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 33 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 34 lusso di un Campo ettoiale lusso di un Campo ettoiale II) Consideiamo un tubo cilindico di aggio costante in cui scoa, con moto laminae unifome, un fluido incompessibile: Pe esempio, con buona appossimaione, acua. Definiamo seione tasesale o seione nomale) & del tubo l aea del cechio ottenuto dall inteseione del cilindo con un piano pependicolae all asse del cilindo: = Definiamo seione obliua del tubo l aea dell ellisse ottenuta dall inteseione del cilindo con un piano la cui nomale foma un angolo *, non nullo, con l asse del cilindo: = cos Definiamo la potata del tubo, oeo il flusso ' ) della elocità del fluido attaeso una seione del tubo, come il olume di acua che attaesa nell unità di tempo una ualunue seione & o ) del tubo. upponiamo oa che la elocità del fluido sia costante e unifome su tutta la seione del tubo e cechiamo di toae la elaione ta la elocità e il flusso ' ). Ogni paticella di fluido, nell inteallo di tempo &t, aana di una lunghea t. t t = t t = t + t Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 35 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 36

10 lusso di un Campo ettoiale III) lusso di un Campo ettoiale I) La uantità di fluido che ha attaesato nel tempo t la seione & del tubo è pai al olume di un cilindo aente la stessa base del tubo e un altea pai a &t, cioè: = t Il flusso del fluido saà petanto: ) = t = t t = Possiamo anche espimee il flusso ' ) utiliando una seione obliua inece che una seione tasesale &. i ha: = cos i = cos = cos 1 = = cos = i t t t = t t = t + t Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 37 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 38 lusso di un Campo ettoiale ) lusso di un Campo ettoiale I) Consideiamo oa il caso in cui la elocità del fluido non è unifome sulla seione del tubo. È il caso, pe esempio, di un flusso laminae di un fluido iscoso, pe il uale la elocità al cento del tubo è maggioe della elocità in possimità delle paeti. In tal caso scomponiamo il tubo in tanti tubicini di seione tasesale infinitesima d = d cos. Il flusso attaeso una ualunue seione di un tubicino infinitesimo ale: La supeficie potebbe anche non essee piana, ma l espessione: i d = olume di fluido che attaesa nell unità di tempo la supeficie ) è ugualmente alida, in uanto le supefici infinitesime d possono essee consideate piane e il podotto scalae i tiene conto della loo inclinaione ispetto alla elocità. d d = d = d cos = i d Il flusso totale si ottiene sommando il flusso attaeso un insieme di tubicini che copono completamente la seione del tubo: i d = olume di fluido che attaesa nell unità di tempo la supeficie ) d d d d d d Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 39 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 4

11 Linee di lusso di un Campo ettoiale Linee di lusso di un Campo ettoiale II) Consideiamo oa la taiettoia di una paticella di fluido: ssa è in ogni suo punto tangente alla elocità ettoiale della paticella. Definiamo uindi linea di flusso una linea che è sempe tangente al ettoe elocità delle paticelle di fluido che si toano nei punti della linea. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 41 Possiamo tacciae le linee di flusso tanto più fitte uanto maggioe è la elocità del fluido. Più pecisamente possiamo tacciae le linee in modo che il numeo di linee di flusso che attaesa l unità di supeficie di una seione tasesale sia popoionale alla elocità del fluido. 1 > 1 1 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 4 upefici Chiuse e Oientabili di R 3 upefici Chiuse e Oientabili di R 3 II) Una supeficie è chiusa se è compatta e pia di bodo. Una supeficie è oientabile se ha due facce; è non-oientabile se ha una faccia sola. Nelle supefici chiuse e oientabili si può distinguee la nomale estena dalla nomale intena in ogni punto della supeficie. Pe conenione, pe calcolae i flussi attaeso una supeficie chiusa, si utilia la nomale estena : Apeta e Oientabile Chiusa e Oientabile sfea) Apeta e Non-oientabile nasto di Möbius) Chiusa e Non-oientabile bottiglia di Klein) Chiusa e Oientabile too) Questo euiale a consideae positio il flusso uscente dal olume delimitato dalla supeficie chiusa e negatio il flusso entante nel olume delimitato dalla supeficie chiusa. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 43 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 44

12 upefici Apete di R 3 lusso di un Campo ettoiale attaeso una upeficie Chiusa e Oientabile Nelle supefici apete non si può distinguee la nomale estena dalla nomale intena in un punto della supeficie. Pe conenione, pe calcolae i flussi attaeso una supeficie chiusa, si utilia l oientamento indicato dalla egola della mano desta sulla base dell oientamento della linea di bodo: Consideiamo oa il flusso della elocità di un fluido attaeso una supeficie chiusa. Pe semplicità consideiamo la supeficie totale di un cubo. Consideiamo positio il flusso uscente dal cubo e negatio il flusso entante nel cubo. e il fluido è incompessibile e non si sono al suo inteno sogenti in cui si poduce fluido) o poi scaichi, in cui il fluido scompae), alloa tanto fluido enta nel cubo uanto ne esce: Il flusso attaeso la supeficie totale è nullo. tot = i d = tot 6 = 1 + ) + 3 ) + 4 ) + 5 ) + 6 ) = Il cechietto attono al simbolo di integale indica che la supeficie di integaione è chiusa Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 45 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 46 lusso di un Campo ettoiale attaeso una upeficie Chiusa e Oientabile II) L Opeatoe Diegena = î x + ˆ + ˆk e il flusso attaeso la supeficie totale è positio: i d tot ) = = tot 3 + ) + 3 ) + 4 ) + 5 ) + 6 ) > 5 = 1 alloa dento il cubo è pesente una sogente che poduce fluido. e il flusso attaeso la supeficie totale è negatio: i d tot ) = = tot + ) + 3 ) + 4 ) + 5 ) + 6 ) < = 1 alloa dento il cubo è pesente un poo cioè uno scaico) in cui il fluido scompae Consideiamo una funione ettoiale della posiione P: = P) = x,, ) = x x,, )î + x,, ) ˆ + x,, ) ˆk i definisce l opeatoe diegena come: i = î x + ˆ + ˆk & $ ' i xî + ˆ + ˆk ) i = di = x x + + L opeatoe diegena si applica a una funione ettoiale; il isultato è uno scalae: ' P 3 & P ' 3 P $ i $i P) sempio : x,,) = x + )î + x + i ˆ + ˆk x,,) = x + 1 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 47 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 48

13 Diegena di un Campo ettoiale Diegena di un Campo ettoiale II) Consideiamo oa il flusso della elocità di un fluido attaeso una supeficie chiusa infinitesima. Consideiamo un paallelepipedo infinitesimo, di lati &x, & e &. Consideiamo innanitutto il flusso attaeso le facce ABCD e GH. x + x x + H N G A M B D C x + I etici della faccia ABCD e il suo baicento M hanno coodinate: A x,, ) B x, +, ) M x D x + x,, ) C x + x, +, ) + x, +, ) Utiliando la omula di Talo, la componente della elocità nel punto M si può sciee come: M ) = A) + x x + ) = i + O x + ) Il flusso della elocità attaeso la faccia + ABCD si può sciee come: H N G ABCD ) = M )i M ) = M )x A M B D A) + x $ C $x + $ ' * x $ & ) x + = ˆk x + x x Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 49 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 5 Diegena di un Campo ettoiale III) Diegena di un Campo ettoiale I) I etici della faccia GH e il suo baicento N hanno coodinate: x,, + ) x, +, + ) N x H x + x,, + ) G x + x, +, + ) + x, +, + ) Utiliando la omula di Talo, la componente della elocità nel punto N si può sciee come: N ) = A) + x x + + ) = i + O x + + ) Il flusso della elocità attaeso la faccia + GH si può sciee come: H N G GH ) = N )i N ) = + N )x A $ M B + A) + x D C x + + ' & ) x x + = + ˆk x + x x Dalle due espessioni: + - ABCD ) ' A - &, - - GH ) + ' A. & + x + x $ $x + $ $ toiamo che la somma dei flussi attaeso le facce ABCD e GH ale: ABCD ) + GH ) x * x ) $ $x + $ $ + $ $ * x ) + H A M B D C x + x + x x N G Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 51 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 5

14 Diegena di un Campo ettoiale ) Diegena di un Campo ettoiale I) Ripetendo lo stesso calcolo pe le facce AHD e BGC si ottiene: AHD ) + BGC ) x Ripetendo lo stesso calcolo pe le facce AB e DCGH si ottiene: AB ) + DCGH ) x x x x + x x + H N G A M B D C x + Riassumendo: $ & ABCD & & AHD & & & AB ' + GH ) + BGC ) + DCGH ) x x x x x Il flusso totale attaeso le 6 facce del paallelepipedo infinitesimo saà petanto: tot x + x x + H N G A M B D C x + = ABCD ) + GH ) + AHD ) + BGC ) + AB ) + DCGH ) = = x x + + & x)) = *i ) $ ' & ) $$$ $$$ diegena diegena Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 53 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 54 Diegena di un Campo ettoiale II) Teoema della Diegena Compendiamo uindi il significato di diegena di un campo ettoiale: i = tot ) Più in geneale, pe un olume di foma abitaia delimitato dalla supeficie ) possiamo sciee: i P La diegena è il appoto ta il flusso del campo ettoiale attaeso la supeficie totale del paallelepipedo infinitesimo e il olume del paallelepipedo. i d ) = lim { P} d + La diegena di un campo ettoiale è il appoto A ta il flusso del campo attaeso una supeficie M B D chiusa e oientabile infinitesima e il olume C delimitato da tale supeficie. x + x + x x H N G Consideando un olume, delimitato dalla supeficie chiusa : Il flusso di un campo ettoiale attaeso la supeficie è pai all integale sul olume della diegena di tale campo ettoiale Teoema della Diegena o Teoema di Gauss): i d i d = Nota Bene: L integale al I membo è un integale di supeficie esteso alla supeficie chiusa. L integale a II membo è un integale di olume esteso al olume acchiuso dalla supeficie chiusa. Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 55 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 56

15 Teoema della Diegena II) Teoema della Diegena III) Pe compendee il significato del Teoema della Diegena: i d i d = immaginiamo di suddiidee il olume in tanti cubetti infinitesimi, di olume: 1,, 3, Pe ogni cubetto si ha, pe uanto abbiamo isto: i d i ) ) P)= lim = $ tot ) { P} d pe cui si ha, pe ogni cubetto che ha 6 facce): i 6 P i i i = tot i = $ k k = Distinguiamo oa, ta le facce dei cubetti, le facce intene e le facce estene: Le facce intene sepaano un cubetto da un cubetto adiacente; Le facce estene fanno pate della fontiea del olume totale. ommando le diegene dei cubetti, i contibuti dei flussi delle facce intene si cancellano ta loo: Il flusso uscente dal cubetto i eso il cubetto j adiacente è opposto al flusso dal cubetto j al cubetto i. i ha petanto: N i N 6 i) i = $ k i) ) = $ k ) = i=1 P i i d = i=1 k =1 i d facce estene facce estene i Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 57 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 58 Linee di lusso del Campo lettico Angolo olido Come tutti i campi ettoiali, anche il campo elettico si può appesentae gaficamente con le linee di flusso o linee di campo), oeo con linee: Tangenti in ogni punto al ettoe campo elettico ) ; Oientate col eso del campo elettico ; In numeo, pe unità di supeficie tasesale, popoionale al modulo del campo elettico. Come è noto, l angolo piano in adianti) è definito come il appoto ta un aco di ciconfeena l centata nel etice e il aggio : = l $, $ L angolo solido si definisce in maniea analoga come il appoto ta la pate di supeficie sfeica centata nel etice), intecettata dal cono centato nel etice e il uadato del aggio della sfea: = $,4 & ' l L angolo solido si misua in steadianti s). Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 59 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 6

16 lusso del Campo lettico lusso del Campo lettico II) Abbiamo isto che il flusso di un campo ettoiale attaeso una supeficie infinitesima d e attaeso una supeficie finita si scie come: d d ) = d = d cos = i d ) = $$ i d Petanto il flusso del campo elettico attaeso una supeficie infinitesima d e attaeso una supeficie finita si scie come: = d = d cos = i d = i d d d $$ d = d cos Consideiamo oa una supeficie chiusa contenente una caica puntifome. Il flusso del campo elettico attaeso la supeficie infinitesima d ale: d ) = d cos = d = = 1 & 1 1 ) + ' 4$ * d, d, 4$ Il flusso attaeso l intea supeficie chiusa si ottiene integando su tutta la supeficie chiusa coispondente all angolo solido ' = 4): ) = i d = 1 d d Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 61 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 6 lusso del Campo lettico III) Legge di Gauss e inece consideiamo una caica puntifome estena a una supeficie chiusa : Alloa il numeo di linee di campo che entano nella supeficie è uguale al numeo di linee di campo che escono dalla supeficie, pe cui, integando su tutta la supeficie: ) = i d = e la supeficie chiusa contiene più caiche: Pe il pincipio di soapposiione, il flusso totale del campo elettico attaeso la supeficie saà la somma dei flussi geneati dalle singole caiche: n i ) = i d = $ = Q i= Q In conclusione, il flusso del campo elettico attaeso una supeficie chiusa è pai alla caica totale Q contenuta nella supeficie diisa pe la costante Legge di Gauss, foma integale). ) = i d = Q = 1 i Definiione di flusso n i=1 Legge di Gauss $ = 1 d Q Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 63 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 64

17 Johann Cal iedich Gauß ) oma Locale della Legge di Gauss La Legge di Gauss: Q ) = i n d = può essee scitta in foma locale utiliando il Teoema della Diegena o Teoema di Gauss): Legge di Gauss Q 1 i n d = = d '' 1 & ) $i d = d i n d = $i d '' Teoema della Diegena Poiché l uguagliana dee ale pe un olume abitaio, si ha: Legge di Gauss, foma locale) i = Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 65 Poteniale lettostatico Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 66 Poteniale lettostatico II) Il campo elettostatico anche se non, come edemo, il campo elettico nel caso più geneale), come il campo gaitaionale, è un campo conseatio. sso gode peciò di tutte le popietà di cui godono i campi conseatii. Nel istema Intenaionale il poteniale elettico si misua in olt ): 1 = = idp = 1N 1m 1C e ha le dimensioni: l $ = $ L $ = $ L $ = MLT 3 I 1 $ Q $ Inolte esiste una funione scalae, detta Poteniale lettostatico, tale che: = L negia Poteniale di una caica situata nel punto P in pesena di un campo elettico è data da: P = P Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 67 Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 68

18 Poteniale elettostatico III) Nel caso paticolae di una caica puntifome, il campo elettico è dato dalla legge di Coulomb: ) = 1 Q 4 ˆ Il poteniale si ottiene integando lungo un pecoso adiale e isulta: & 1 Q ) = 4 d = 1 & Q d = 1 Q 1 ), ' 4 ' +. = 4 * - $,) = 1 / Q = 1 Q 4 ) = 1 Q 4 + cost Q +, Domenico Galli Dipatimento di isica domenico.galli@unibo.it Domenico Galli isica Geneale B 1. lettostatica 69