Cap. 5 - Dinamica reticolare.

Transcript

1 Cap. 5 - Dinamica eticolae. Sinoa abbiamo consideato le paticelle eticolai come feme; in ealtà, esse si muovono intono a posizioni di equilibio pe cui l'enegia potenziale può essee sviluppata in seie. Quando lo sviluppo è aestato al secondo temine si pala di appossimazione amonica. Tale appossimazione pemette di spiegae le popietà elastiche dei cistalli, ma non quelle temiche che pe essee spiegate hanno bisogno di temini di odine supeioe (temini anamonici). Sia U() l'enegia potenziale delle paticelle del cistallo. Se è la posizione di equilibio, la U() può essee sviluppata in temini degli spostamenti - : du d U U() = U( ) + ( ) + ( ) +... d d = = Il pimo temine è costante e fissa lo zeo dell'enegia pe cui può essee posto uguale a zeo, il secondo temine è anche nullo pechè esso appesenta la foza che in condizioni di equilibio è nulla; se tascuiamo i temini successivi al secondo paliamo di appossimazione amonica. () Vibazioni eticolai. Catena lineae. Consideiamo una catena biatomica con paticelle di massa M altenate a paticelle di massa M e distanza d. M M -d d d d Catena lineae biatomica La costante eticolae è a=d. Supponiamo che la natua delle foze agenti ta tutte le paticelle sia la stessa e che solo l'inteazione ta pimi vicini sia impotante. Nell'appossimazione amonica, la foza è popozionale allo spostamento come se fosse esecitata da una molla di costante elastica C. Poiché è impotante la diffeenza degli spostamenti di due paticelle vicine, le equazioni del moto pe ciascun tipo di paticella sono: M U & ν = C[ ( U ν U ν + ) + ( U ν U ν )] = C( U ν U ν + U ν ) M U & ν + = C( U ν + U ν + U ν ) () V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

2 con ν=,±,±,... Assumiamo soluzioni del tipo onda piana: i(q νd ωt) U ν = A e U ν+ = A e i( q( ν+)d ωt ) () Sostituendo nelle () si ha: ω A = C(A A e iqd A e iqd ) = C(A A cos(qd )) M ω A = C(A A cos(qd )) (4) Tale sistema ha soluzione se il deteminante dei coefficienti è zeo: ω C C cos(qd ) C cos(qd ) M ω C = = M ω 4 C( + M )ω + 4C ( cos (qd)) = C da cui: ω ± = + M ± M + M + M cos(qa) M [ ] (5) Abbiamo ottenuto due fequenze pe uno stesso q poichè abbiamo un eticolo con una base di due paticelle; in te dimensioni si hanno te fequenze pe paticella della base e pe ciascun valoe di q, nel caso unidimensionale si ha una fequenza pe paticella coispondente ad un gado di libetà. Dalla (5), ω + >ω pe ogni q e, essendo le funzioni pai, basta consideae la egione idotta qa π, invece di π qa π. ω(q) ω + ω π Ο +π qa V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

3 qa π ω + C( + M ) M C M ω C valoi limiti di ω + e ω con > M Come si può vedee dalla figua lo spetto delle fequenze mosta una stuttua a bande; la banca ω è detta acustica e quella ω +, ottica. Pe compendee tale nomenclatua, consideiamo il appoto ta le ampiezze di due paticelle adiacenti (usando la pima delle (4) e la (5)): A A = Ccos(qd ) ω C = M ± qa M cos M + M + M cos(qa) (6) Nel caso di onde lunghe (λ,q ): A A = (sempe positivo) pe ω e A A = M (sempe negativo) pe ω + ; ciò significa che nel pimo caso paticelle adiacenti vibano nella stessa diezione (tipico di vibazioni acustiche) mente nel secondo vibano in diezioni opposte. Se sviluppiamo in seie pima il coseno e poi la adice nella (5), otteniamo: essendo ω = C(M + M ) M M (qa) +... M ( + M ) = = C(M + M ) + M M ( + M ) (qa) +... C qd +...= v s q+...; v s = d + M ω (q) = v s C + M (7) la velocità del suono; questa isulta costante nel caso di gandi lunghezze d'onda, altimenti dipende da q. Catena monoatomica. Se in una delle elazioni (4) si pone = M e A = A, si ha: ω(q) = C cos(qd) = C M sin qd (8) V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

4 il valoe assoluto è necessaio pechè ω(q) è una funzione pai di q. La cuva di ω(q) ha oa solo il amo acustico con fequenza limite pe = π, ω lim = C M. ω qd d ω π/ d Calcoliamo la densità di fequenze, cioè il numeo di fequenze compese ta ω e ω +dω. q può assumee i valoi: q = πh /Nd, essendo h inteo, N, numeo di q Il vettoe d'onda è definito a meno di un vettoe e i( q +π h ) n dq π Nd π/ d g = π h del eticolo h n = h n + h n + h n = ecipoco; infatti è invaiato essendo p=inteo e quindi e πip =. Ciò pemette di limitae ad una egione idotta i valoi del vettoe d'onda; questi valoi devono essee definiti in modo che le poiezioni di q sui vettoi base a l del eticolo devono essee le più piccole possibili, cioè: π < ( q a l ) π; al più tali poiezioni possono valee π poichè il possibile temine addizionale di è peiodico con π. In un cistallo infinito il vettoe d'onda può pendee πp tutti i valoi continui nella egione idotta. La natua finita dei cistalli ende disceta la vaiabile. Infatti, se si considea il cistallo come costituito da una q ipetizione egolae di cistalli identici, l'inteo cistallo può essee appossimato da un dominio base costituito dalla cella elementae ingandita. Possiamo consideae il paallelepipedo di lati G a, G a, G con G inteo gande; tale paallelepipedo contiene G =N celle. Pe un solido finito sono necessaie le condizioni al contono; tali condizioni sono sostituite da quelle peiodiche necessaie se il cistallo s'immagina come costituito dalla peiodica ipetizione del paallelepipedo. Petanto deve essee: (a) a q V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 4

5 celle di peiodo d; valoi consecutivi di q distano π /Nd pe cui la densità di vettoi d'onda è: g(q)dq=nd /π dq (9) Dalla (8), pe ogni q si ha un valoe di fequenza; se consideiamo q e -q si hanno due valoi uguali di fequenza, ω(q)= ω( q), pe cui, se consideiamo solo valoi positivi di q, possiamo scivee: g(ω)dω=g(q)dq = Nd dq dω () π dω Usando la (8) si ha: dω dq = C M d cos qd = d 4C M sin qd = d g(ω)dω= N dω π ω lim ω lim ω ω () In figua è appesentato lo spostamento delle paticelle eticolai nel caso di onde tasvese pe un eticolo biatomico. Nel caso acustico entambe le paticelle vibano nello stesso senso, mente nel caso ottico vibano in senso opposto. ϕ( + p G a + p Ga + p G a ) = ϕ( ) con p,p,p exp i q ( intei. Se usiamo il teoema di Bloch, otteniamo: [( + p Ga + p Ga + p Ga )]u ( + p Ga + p Ga + p G a ) = exp i q = [( )]u () ; consideiamo l'asse a l, pe cui p l =, p k =, k l exp i q ( [( + p l Ga l )]u ( + p l Ga l )= exp[ i( q )]u ( ) u + p l G, ( a l ) = u ma () pe cui e i q Ga l = a l G( q e quindi pe ogni a l ) = πp con p inteo; questo si veifica se ecipoco, a pate il fattoe π /G, cioè: π = h = π G G h q ( b + h b + h b ) (b) q q diezione l saà q l = π G h l e in accodo alla (a) si avà: q a l = π ( h a l )= π G G h l π< π G h l π (c) G < h l G e quindi. Si avanno quindi N divesi valoi di q : deve avesi q è un vettoe del eticolo e petanto non assume valoi continui, ma disceti. La componente di nella V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 5

6 Nel caso di onde lunghe, le fequenze delle vibazioni acustiche sono polaizzate una longitudinalmente e due tasvesalmente; le velocità con cui la vibazione si popaga saanno divese pe le due polaizzazioni: v l e v t ; la velocità media del suono in questo caso saà: v = v + l v t () Nel caso di vibazioni acustiche, la (7) può consideasi come la fequenza acustica limite: ω lim = v s q m () essendo q m il valoe massimo di q. Il volume della zona idotta in cui q vaia si pone uguale a essendo Ω o il volume della cella elementae del eticolo 8π / Ω o dietto. E' comodo idefinie tale volume tamite una sfea, detta di Debye, tale che i volumi siano uguali: 4π q m = 8π Ω o V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 6

7 da cui q m = 6π (4) Ω o 6π e ω lim = v s Essendo Ω o (5) Ω o a 8 cm e v s 5 cm / s, si ha: ω lim 5 s. La densità di fequenza delle vibazioni acustiche eticolai è, pe ciascuna delle te banche, data da: g j (ω)dω = Ω 8π d q (6) essendo l'integale esteso al volume acchiuso da due supeficie vicine di fequenza costante nello spazio q. Infatti, pe la (c, nota ), q può assumee N valoi nella egione idotta di volume 8π / Ω o, pe cui la densità di vettoi q, g( q ), nello spazio q, saà N / 8π / Ω o, ovveo Ω /8π e quindi si ottiene la (6). Nell'appossimazione di supeficie sfeiche: g j (ω)dω = Ω 8π 4πq dq = Ω π ω dω v j e poichè, in geneale, le velocità del suono sono divese in banche divese, avemo: Se definiamo una velocità media abbiamo g(ω)dω= Ω π v + v + ω dω v v = v + v + v g(ω)dω= Ω ω dω π v (7) La densità degli stati (7) fu usata da Debye pe il calcolo del caloe specifico dei solidi; essa si fonda sull'ipotesi di dipendenza lineae della fequenza dal numeo d'onda (eq. 7) e sull'ave sostituito il volume della pima zona di Billouin con quello di una sfea. Il numeo complessivo di fequenze deve essee uguale a N (numeo di gadi di libetà del cistallo), se N è il numeo di paticelle del cistallo, pe cui si ha: N = da cui ω lim = v ω lim g(ω)dω = Ω π v 6π N = v Ω ω lim ω dω = Ω ω lim π v (8) 6π e la (7) può scivesi come: Ω o V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 7

8 g(ω)dω=9n ω dω ω lim (9) Caloe specifico dei solidi cistallini. Nell'appossimazione amonica, l'enegia intena di un solido è la somma delle enegie dei singoli atomi che vibano intono a posizioni di equilibio (oscillatoi). Pe ogni oscillatoe H = m ( p x + p y + p z ) + mω ( q x + q y + q Z ) e assegnando ad ogni temine quadatico, pe il pincipio di equipatizione dell'enegia, una enegia media di / kt, avemo una enegia media pe un sistema di N atomi di N x 6 x / kt=nkt e quindi un caloe specifico c v =Nk, ovveo, essendo kn=knn A =nr, pe mole si ha c v =R=5.96 cal/mole, indipendente dalla tempeatua (legge di Dulong - Petit) e dal tipo di solido. Tale legge è ben veificata pe tempeatue possime a quella ambiente, ma a basse T, c v vaia come T pe gli isolanti e come T pe i metalli. Equivalentemente, l'enegia media di un oscillatoe amonico di un solido alla tempeatua T è: ε = ε exp[ ε / kt ]dε exp[ ε / kt ]dε = kt e assegnando tale valoe a ciascun gado di libetà dell'atomo () si ha E=NkT=nN A kt=rt, pe una mole e quindi c v =R. Usando le idee di Planculla quantizzazione dell'enegia, Einstein costuì un modello che spiegava il compotamento del caloe specifico a bassa tempeatua. Egli consideò il cistallo come costituito da un insieme di N oscillatoi amonici identici, non inteagenti e aventi tutti la stessa fequenza di oscillazione. L'enegia di un oscillatoe amonico quantistico è: ε n = n + hω. L'enegia media saà: ε = hν + nhν exp[ nhν / kt] exp[ nhν / kt ] = hν + hν hν kt e = hν hν coth kt che pe T, tende a kt. Mente classicamente l'enegia non dipende dalla fequenza, quantisticamente l'enegia media dipende dalla fequenza e da un numeo medio n dipendente da T secondo la statistica di Bose-Einstein, V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 8

9 Pe T=, ε T = = hν n = (e hν kt ) (), coispondente a n=, mente classicamente essa è nulla. Ciò equivale ad associae, in analogia con la adiazione elettomagnetica, ai modi vibazionali del solido un quanto di enegia h (fonone). Il caloe specifico vale: c v = E = R hν T v kt e hν e kt hν kt Definendo la tempeatua di Einstein: θ E = hν / k, si può scivee: c v R = F θ E E T dove F E (x) = x e x /(e x ). Questa elazione è in buon accodo con i dati speimentali finchè T θ E = hν k. Pe T << θ E o pe T : c v R hν kt e θ E T cioè è pevista una decescita esponenziale mente, speimentalmente si osseva una decescita popozionale a T. La discepanza è dovuta al fatto che Einstein consideò oscillatoi amonici non inteagenti, mente, in ealtà, le vibazioni atomiche in un cistallo sono fotemente accoppiate. Di ciò Debye tenne conto consideando il cistallo come un continuo elastico quando la lunghezza d'onda dell'onda elastica è molto maggioe delle distanze inteatomiche. L'equazione (5) evidenzia uno spetto continuo con una dipendenza da ω di g( ω). Come detto in pecedenza, Debye assunse che lo spetto delle fequenze ammettesse un limite massimo finito e che il numeo totale dei modi di vibazione fosse uguale a N (vedi eq. (8). L'enegia totale vibazionale è definita come: E = dωg(ω) n(ω,t) hω essendo n(ω,t) il numeo occupazione dato dalla (). Petanto: ω hω E = lim g(ω) e hω/kt dω= 9N kt x x kt max dx hω lim e x con x = hω kt. Definendo la tempeatua di Debye θ D = hω lim k OO- K), il caloe specifico molae è: (è dell'odine di V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 9

10 c v = R T θ e x x 4 D / T T dx θ D (e x ) = R F D θ D dove F D è la funzione di Debye. Pe tempeatue T >> θ D, c v = R, mente pe T << θ D, l'integale è paticamente indipendente da T e c è popozionale a T ; infatti, si ha: E = 5 π 4 RT essendo pe x max, T e c v = 5 π 4 R T x dx = π 4 e x 5 θ D θ D v. La dipendenza di c da T ossevata speimentalmente confemava definitivamente il concetto di fonone di enegia h associato allo spetto vibazionale del solido. v V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

11 Se si assume N/l = cm - e v= 5 cm/s, si ha una ν max = s - che coisponde ad una lunghezza d'onda dell'odine delle dimensioni atomiche pe cui l'assunzione del mezzo continuo elestico, nella egione delle alte fequenze non è applicabile. Misua delle elazioni di dispesione. La quantizzazione dell'enegia di un'onda elastica che si popaga in un solido, dà luogo al concetto di fonone, quanto dell'enegia vibazionale dei solidi. Tale concetto è fondamentale pe spiegae l'andamento speimentale del caloe specifico dei solidi in funzione della tempeatua o pe spiegae la diffusione anelastica da pate dei cistalli, di aggi X o neutoni. A tale scopo è necessaio pensae al fonone come ad una paticella con cui aggi X o neutoni inteagiscono. In questo paagafo indicheemo con k il numeo d'onda del fonone e con q quello del neutone. Pe deteminae la elazione di dispesione del modo s (i modi sono p, pe ogni valoe di k, se p è il numeo di atomi della base, sono le banche acustiche e p- quelle ottiche) si deve misuae l'enegia pesa o guadagnata dai neutoni o aggi X e l'angolo di emegenza (con i aggi X l'infomazione che si estae è più limitata). Un neutone inteagisce fotemente solo con i nuclei pe cui esso passa senza difficoltà attaveso il cistallo (eccezione è l'elio i cui nuclei hanno una elevatissima sezione di cattua pe V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

12 neutoni). L'infomazione che si ottiene con i neutoni è più semplice e più dietta da estae che non con aggi X o luce visibile. Scatteing di neutoni. Siano p e p M n l'impulso e l'enegia del neutone incidente e p ' e M n le analoghe quantità del neutone diffuso. Supponiamo che il numeo p' occupazione dei fononi della banca s e vettoe d'onda diffusione, n'. Pe la consevazione dell'enegia: E' E = hω n, n = n' n ia n e dopo la cioè la vaiazione di enegia del neutone è uguale all'enegia dei fononi assobiti meno quella dei fononi emessi e quindi il neutone eca infomazioni sulle fequenze fononiche. Un'alta legge di consevazione è quella dell'impulso del cistallo. Si può dimostae che, da un punto di vista patico, il fonone si compota come se avesse un impulso h k, detto impulso del cistallo e che vale la seguente legge di consevazione: con G p ' p = hk n + h G vettoe del eticolo ecipoco. L'impulso cistallo del fonone (o quasi impulso) non è legato ad alcun impulso eale del sistema pe cui gioca il uolo di un impulso; inolte, la consevazione dell'impulso è a meno di un vettoe additivo del eticolo ecipoco. Nel caso di scatteing elastico o zeo-phonon scatteing, lo stato iniziale del cistallo è lo stesso di quello finale e quindi: e p = h q, p ' = hq ' con q' = q ovveo, se si tatta di fotoni: q ' = q + K k ' = k + K Queste sono le condizioni di Laue già tovate pe cui, nel caso in cui non si ceano o distuggono fononi, i neutoni scatteati elasticamente si tovano solo nelle diezioni pe cui la legge di Bagg è soddisfatta. Nel caso di assobimento (segno +) o emissione (segno -) di un fonone, le leggi di consevazione si scivono: E' = E ± hω s ( k ) p ' = p ± h k + hk ω s ( k ) è peiodica nel eticolo ecipoco: ω s ( k ± K ) = ω s ( k ) pe cui si può p' scivee: = p p ' p ± hω s ±. Misuando, dei neutoni emegenti M n M n h hk V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

13 in una data diezione, le quantità E'-E e p ' p, misuiamo un punto dello spetto fononico. Vaiando la diezione di ivelazione, enegia incidente e oientazione del cistallo, è possibile ottenee una mappa dello spetto. Questo se si possono distinguee neutoni scatteati da un solo fonone da alti. 6 ω ( ad/s ) Al K [] Al K [] L L T T T bodo zona Γ X Γ K X X K X Γ Zona di Billouin Nel caso di scatteing da due fononi, le leggi di consevazione nel caso di fononi assobiti, si scivono: E' = E + hω s ( k ) + hω s' ( k ') p ' = p + h k + hk ' +hk da cui: E' = E + hω s ( k p ' p ) + hω s' ( k ). Poichè h Billouin, fissato k k vaia nella I zona di e la diezione di ivelazione otteemo una distibuzione V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae

14 continua di enegie (un punto misuando E'-E e p ' p pe ogni valoe di Questo pechè il numeo di gadi di libetà è maggioe del numeo di leggi di consevazione. Sulla base della stuttua statistica della distibuzione in enegia dei neutoni scatteati in una data diezione saà possibile distinguee ta pocesso ad un fonone e pocesso multifonone: il pimo avà picchi stetti ad enegie isolate e il secondo uno spetto continuo. La laghezza dei picchi ovveo la cicostanza pe cui lo scatteing da un fonone non dà un picco molto stetto, è dovuta al fatto che il cistallo non è amonico. k ). conteggi E'-E Scatteing di aggi X o di luce visibile. Pe un fissato k, un fotone ha una enegia più gande del neutone di anche odini di gandezza pe cui misuae il E del fotone è più difficile se si tiene conto che l'enegia del fonone è al più decimi di ev. Ciò che è possibile misuae è la adiazione scatteata totale di tutte le fequenze in funzione dell'angolo di scatteing. Il pocesso ad un fonone non può più essee distinto da quello a più fononi. Inolte, c'è anche un fondo di γ Compton pechè i aggi X inteagiscono con gli elettoni. Petanto, come mezzo d'indagine, è più potente quello che usa neutoni da quello che usa aggi X. Se i fotoni sono di luce visibile il E può essee misuato con tecniche intefeometiche e il contibuto del pocesso ad un fonone può essee distinto. Poichè i fotoni visibili hanno k 5 cm e la zona di Billouin è 8 cm le infomazioni iguadano la zona vicina a k=. Il pocesso è noto come scatteing Billouin se il fonone è di tipo acustico e scatteing Raman se è di tipo ottico. Nel cistallo i vettoi d'onda del fotone V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 4

15 diffeiscono da quelli nel vuoto pe una quantità pai all'indice di ifazione, n, pe cui si ha: hω' = hω ± hω s ( k ) hnq ' = hnq ± hk + hk segno +: fonone assobito (componente anti-stokes della adiazione scatteata); segno -: fonone emesso (componente Stokes) nq' n q θ nq' n q θ k k anti-stokes Stokes Stokes Essendo l'enegia del fotone ( ev) molto maggioe dell'enegia del fonone ( - ev), il modulo di q vaia poco, pe cui si può calcolae dalla figua il k del fonone: k=nqsinθ/, dove θ è l'angolo di scatteing. anti-stoke s k nq' θ nq Il pocesso in cui la paticella incidente acquista o pede l'impulso h K in aggiunta all'impulso del fonone, si chiama Umklapp o pocesso U. Se la vaiazione è il solo impulso del fonone il pocesso è detto nomale o N. V.AUGELLI, Fisica degli Stati Condensati, Cap.5 Dinamica eticolae 5