Cristalli e bande di energia

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1 Cristalli e bade di eergia egli atomi o elle molecole, cosiderate sigolarmete o i basse cocetrazioi, l eergia degli elettroi uò assumere solo livelli discreti. ei solidi, costituiti da u elevatissimo umero di atomi (dell ordie di 10 3 er cm 3 ), i livelli discreti si fodoo i bade di eergia. Atomo sigolo e solido cristallio el caso di u metallo (Litio) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica ei metalli le bade soo sovraoste e gli elettroi soo liberi di muoversi

2 Semicoduttori e bade di eergia ei semicoduttori esistoo due bade distite, bada di valeza (V) e bada di coduzioe (C), searate da u itervallo di eergia roibito E g (badga). L amiezza χ della C è detta affiità elettroica. Cristallo di silicio e corrisodete diagramma a bade allo zero assoluto Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

3 Luigi Zei DII-SU Otoelettroica Elettroi e lacue U elettroe (e - ) che si trova i bada di coduzioe si uò trattare come u elettroe libero urché gli vega assegata ua massa efficace (m e* ) che tiee coto dell iterazioe co il cristallo. Per ortare u elettroe dalla bada di valeza a quella di coduzioe occorre forire ua eergia almeo ari a E g. A temerature sueriori a 0K, u certo umero di elettroi si trova i bada di coduzioe (geerazioe termica). Il vuoto lasciato dall elettroe macate ella bada di valeza viee detto lacua (h + ) e uò essere raresetato come ua articella co carica ositiva (ari alla carica dell elettroe) che si uò trattare come ua articella libera urché le vega assegata ua massa efficace (m h* ) che tiee coto dell iterazioe co il cristallo. Lo sostameto di ua lacua avviee quado u elettroe, aarteete ad u legame covalete vicio, salta ella lacua lasciado ua uova lacua al suo osto.

4 Fotogeerazioe di coie e - - h + L eergia ecessaria a ortare u elettroe dalla bada di valeza a quella di coduzioe uò essere forita da u fotoe di eergia hν > E g Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

5 Ricombiazioe di coie e - - h + Quado u elettroe che si trova i bada di coduzioe icotra ua lacua i bada di valeza, trova di fatto uo stato ermesso di eergia iferiore e lo occua rilasciado l eergia i eccesso. Questo rocesso viee detto ricombiazioe delle coie e - - h +. L eergia i eccesso uò essere rilasciata sotto varie forme, a secodo del tio di semicoduttore: Ricombiazioe radiativa (Arseiuro di Gallio, Fosfuro di Idio,..) l eergia è rilasciata sotto forma di fotoi Ricombiazioe o radiativa (Silicio, Germaio,..) l eergia è rilasciata sotto forma di vibrazioi reticolari (calore) Etrambi i meccaismi, se cosetiti, ossoo essere reseti cotemoraeamete. All equilibrio termodiamico la velocità di geerazioe termica eguaglia quella di ricombiazioe. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

6 Desità degli stati ei semicoduttori Molte rorietà dei semicoduttori ossoo essere descritte cosiderado la distribuzioe statistica degli elettroi e delle lacue risettivamete i bada di coduzioe e bada di valeza. Si defiisce la fuzioe g(e) che rareseta la desità degli stati (DOS), cioè il umero di stati elettroici i ua bada er uità di eergia e er uità di volume. La desità degli stati, i accordo co la meccaica quatistica, cresce co la eergia e forisce iformazioi solo sugli stati disoibili, o sulla effettiva occuazioe degli stessi. g g C V (E) (E) E E v E c E I bada di coduzioe I bada di valeza La effettiva robabilità di occuazioe di uo stato è descritta mediate il modello statistico di Fermi-Dirac Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

7 Statistica di Fermi-Dirac La statistica di Fermi-Dirac, f(e), rareseta la robabilità di trovare u elettroe i uo stato quatistico di eergia E: f (E) 1+ ex 1 E E k T F E F : Eergia di Fermi k : Costate di oltzma T: Temeratura assoluta L eergia di Fermi è il livello cui comete ua robabilità di occuazioe ari a 0.5 e rareseta, allo zero assoluto (T0), il cofie tra gli stati occuati e quelli vuoti. Ioltre, ogi variazioe del livello di Fermi all itero di u materiale imlica l esisteza di ua differeza di oteziale V e rareseta, quidi, u lavoro er l elettroe: E F ev. La robabilità di trovare ua lacua i uo stato quatistico di eergia E è 1-f(E) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

8 Cocetrazioe dei ortatori La effettiva cocetrazioe degli elettroi e delle lacue i u semicoduttore er uità di eergia è: E g C (E)f (E); E g V (E)(1 f (E)) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

9 Cocetrazioe dei ortatori Il umero totale di elettroi i bada di coduzioe e di lacue i bada di valeza è calcolabile itegrado E e E sulle risettive bade: g C (E)f (E)dE; g V (E)[ 1 f (E)]dE Iotizzado che il livello di Fermi si trovi abbastaza lotao (alcui k T) dai bordi delle bade, si è i reseza di semicoduttori o degeeri e la statistica di Fermi- Dirac uò essere arossimata dalla statistica di oltzma: da cui si uò mostrare che: c ex f (E) ex [ ( E E )/ k T] [ ( E E )/ k T] ; ex[ ( E E )/ k T] c F F v F v dove: c * πmek h T 3 ; v * πm hk h T 3 Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

10 Legge di azioe di massa Il rodotto delle cocetrazioi dei ortatori segue la legge di azioe di massa, valida ogiqualvolta il camioe è al buio e all equilibrio termico Eg c v ex k T i Si oti che il rodotto delle cocetrazioi dei ortatori o diede dalla osizioe del livello di Fermi ma solo dalla temeratura e dalle rorietà del materiale. La osizioe del livello di Fermi diede dal tio di semicoduttore e dalla reseza di evetuali imurità el cristallo Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

11 Semicoduttori itriseci U semicoduttore si dice itriseco se si tratta di u cristallo uro. I tal caso la cocetrazioe di elettroi eguaglia quella delle lacue: c ex i [ ( E E )/ k T] ex[ ( E E )/ k T] c F i Da cui è ossibile ricavare E Fi,che idica il livello di Fermi itriseco: v F i v EF i E v + 1 E g 1 c ( k ) T l v Il livello di Fermi itriseco si trova quasi al cetro del bad-ga i quato c e v hao valori comarabili. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

12 Semicoduttori estriseci Itroducedo i u semicoduttore ua iccola quatità di atomi estraei (drogaggio), si ottiee u semicoduttore estriseco. Come drogate si usao atomi che rimiazzao quelli di semicoduttore ed hao u elettroe i iù (tio ) o i meo (tio ) Drogaggio co Arseico: tio (atomi doatori) L elettroe i iù si orta i bada di coduzioe co la sommiistrazioe di 0.05eV (è sufficiete l eergia termica a temeratura ambiete) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

13 Semicoduttori estriseci Drogaggio co oro: tio (atomi accettori) L atomo di boro reseta u elettroe i meo risetto al silicio er cui lascia u legame covalete o saturo el cristallo, cioè ua lacua. E come se accettasse u elettroe dalla bada di valeza creado ua lacua che è libera di svicolarsi dall atomo di boro mediate sommiistrazioe di 0.05eV (è sufficiete l eergia termica a temeratura ambiete) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

14 Semicoduttori estriseci a) Semicoduttore itriseco: i b) Semicoduttore di tio : > (il livello di Fermi si sosta verso la C) c) Semicoduttore di tio : > (il livello di Fermi si sosta verso la V) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

15 Coducibilità elettrica La coducibilità elettrica diede, i geerale, sia dagli elettroi sia dalle lacue: σ e µ + eµ e h dove µ e e µ h soo le mobilità degli elettroi e delle lacue metre eq è la carica dell elettroe. I u semicoduttore di tio, drogato co d atomi di drogate er cm 3, la cocetrazioe degli elettroi a temeratura ambiete è d e quella delle lacue si uò ricavare dalla legge di azioe di massa i / d, quidi: Luigi Zei DII-SU Otoelettroica i σ e dµ e + e µ h edµ d I u semicoduttore di tio, drogato co a atomi di drogate er cm 3, la cocetrazioe delle lacue a temeratura ambiete è a e quella degli elettroi si uò ricavare dalla legge di azioe di massa i / a, quidi: i σ e µ e + eaµ h eaµ a e h

16 Portatori maggioritari e mioritari I u semicoduttore di tio gli elettroi soo defiiti ortatori maggioritari e le lacue ortatori mioritari. Si utilizza la seguete otazioe: o o Cocetrazioe di elettroi all equilibrio Cocetrazioe di lacue all equilibrio I u semicoduttore di tio le lacue soo defiite ortatori maggioritari e gli elettroi ortatori mioritari. Si utilizza la seguete otazioe: o o Cocetrazioe di elettroi all equilibrio Cocetrazioe di lacue all equilibrio E ossibile trasformare u semicoduttore da tio a tio e viceversa aggiugedo oortuamete drogate (comesazioe) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

17 Semicoduttori degeeri ormalmete il livello di drogaggio dei semicoduttori ( cm -3 ) orta ad u umero di elettroi i bada di coduzioe o lacue i bada di valeza molto iù iccolo del umero degli stati disoibili. Ciò cosete di igorare il riciio di esclusioe di Pauli e utilizzare la statistica di oltzma ( << c e << v ). Se il drogaggio è dell ordie di cm -3 si ha c e v e bisoga utilizzare la statistica di Fermi-Dirac. Si arla allora di semicoduttori degeeri e il loro comortameto è molto vicio a quello dei metalli. Il livello di Fermi si trova i bada di coduzioe, er il tio (fig. a), e i bada di valeza, er il tio (fig. b).. o tutto il drogate è ioizzato e o vale la legge di azioe di massa Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

18 Diagramma a bade i reseza di camo Alicado u camo elettrico ad u semicoduttore il diagramma a bade risulta icliato a causa della differeza di oteziale che cresce da u estremo all altro. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica Il livello di Fermi varia di ua quatità ari a ev e scorre ua correte el cristallo. La cocetrazioe di elettroi resta costate e quidi E c - E F deve restare costate er cui C, CV ed E F restao aralleli.

19 Elettroe i ua buca di oteziale L eergia oteziale di u elettroe cofiato i ua buca di oteziale, di larghezza saziale L e altezza ifiita, è quatizzata ed esressa da: E ( hk ) m e ; co k π L 1,, La gradezza k è il umero d oda dell elettroe (m e v e hk/π è l imulso cioè il rodotto della massa er la velocità dell elettroe secodo la relazioe di de roglie). L eergia cresce quadraticamete co il umero d oda (adameto arabolico). Il modello dell elettroe ella buca è utilizzabile er i metalli dove si uò cosiderare l eergia oteziale costate i quato gli elettroi soo raticamete liberi di muoversi. el caso dei semicoduttori la relazioe tra eergia e umero d oda è iù comlessa e richiede la soluzioe dell equazioe di Schroediger i reseza di u oteziale eriodico. L imulso dell elettroe legato viee chiamato mometo del cristallo. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

20 Fuzioi d oda di loch La soluzioe dell equazioe di Schroediger forisce le fuzioi d oda dell elettroe el cristallo, eriodiche come il oteziale, dette fuzioi d oda di loch: Luigi Zei DII-SU Otoelettroica ψ k ( x) Uk (x)ex(jkx)

21 Diagramma E-k Ogi fuzioe d oda rareseta uo stato di eergia E k e umero d oda k. L adameto dell eergia i fuzioe del umero d oda diede dal materiale semicoduttore cosiderato (è u isieme discreto di uti molto vicii) Ogi uto del diagramma è ua ossibile fuzioe d oda er l elettroe el cristallo elle trasizioi tra bade si deve coservare l eergia e l imulso (mometo) Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

22 Semicoduttori a badga diretto e idiretto Si arla di semicoduttori a badga diretto se il miimo della bada di coduzioe è allieato co il massimo della bada di valeza. ei semicoduttori a badga diretto è ossibile avere ricombiazioe radiativa i quato il mometo si coserva automaticamete e l eergia uò essere ortata via da u fotoe che reseta mometo trascurabile. ei semicoduttori a badga idiretto la ricombiazioe richiede l iterazioe co u cetro di ricombiazioe e avviee co emissioe di u fooe. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

23 Giuzioe - Si arla di omogiuzioe - quado u semicoduttore drogato co atomi doatori viee osto i cotatto co uo (uguale) drogato co atomi accettori. Quado si utilizzao semicoduttori di secie diversa si arla ivece di eterogiuzioe. All equilibrio si istaura u camo elettrico, geerato dagli ioi di drogate, che cotrasta la diffusioe dei ortatori aullado la correte Luigi Zei DII-SU Otoelettroica W a d W

24 Giuzioe - L adameto del camo elettrico è determiabile mediate il teorema di Gauss e, el caso di giuzioe brusca, reseta u rofilo triagolare. La differeza di oteziale che si istaura ai cai della giuzioe è detta oteziale built-i E V o o W o eaw ε 1 EoW W + W o edw ε eadw ε ( + ) a o d Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

25 Giuzioe - L esressioe del oteziale built-i diede dalla cocetrazioe del drogate, dalla costate dielettrica del semicoduttore e dalla larghezza della zoa di svuotameto. Utilizzado la statistica di oltzma è ossibile trovare ua relazioe tra le cocetrazioi dei ortatori elle regioi e, ifatti esistedo tra i ortatori della stessa secie che si trovao ai due lati della giuzioe ua differeza di eergia, si uò scrivere: [ ( E E )/ k T] ; ex[ ( E E )/ k T] 1 ex o o o o ex ex ( ev k T) o ( ev k T) o V o k T l e o o k T l e o o ; o a o i d V o k T l a e i d Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

26 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta Alicado alla giuzioe - ua batteria co il olo ositivo coesso al lato e quello egativo al lato si arla di olarizzazioe diretta e si ha u flusso di correte el circuito La differeza di oteziale alicata cade raticamete tutta sulla regioe di carica saziale (SCL) oiché le regioi eutre soo ad elevata coducibilità, e abbassa la barriera di oteziale built-i V o, ortadola a V o -V. L abbassameto della barriera rovoca ua diffusioe di lacue dal lato a quello e, similmete, ua diffusioe di elettroi dal lato a quello. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

27 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta La diffusioe di elettroi e lacue, risettivamete elle regioi eutre e, rovoca u leggero icremeto della cocetrazioe dei ortatori maggioritari er coservare la eutralità. La cocetrazioe di lacue al bordo estero della regioe di carica saziale el lato diede dalla diffusioe causata dall abbassameto della barriera di oteziale: (0) o e ex k ( V V) o T o ex ev k T La cocetrazioe di elettroi al bordo estero della regioe di carica saziale el lato diede dalla diffusioe causata dall abbassameto della barriera di oteziale: (0) o e ex k ( V V) o T o ex ev k T Le esressioi recedeti soo ote come legge della giuzioe Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

28 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta L iiezioe di ortatori mioritari da u lato e dall altro della giuzioe roduce u eccesso di ortatori che diffodoo fiché o si ricombiao co i maggioritari e la cocetrazioe diveta quella di equilibrio ( o e o ). Co riferimeto alle lacue è: L (x ' ) D Luigi Zei DII-SU Otoelettroica τ ' (x ) o ' (x ) (0)ex L è la lughezza di diffusioe delle lacue, D e τ risettivamete la costate di diffusioe e il temo medio di ricombiazioe di lacue ed elettroi el lato Il gradiete di cocetrazioe dei mioritari roduce ua correte di diffusioe: J D,h ed ' d (x ) ' dx ed d [ ] ' (x ) dx ' ed L U discorso aalogo vale er la diffusioe degli elettroi x L ' x (0) ex L '

29 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta La correte di diffusioe tede ad aullarsi adado verso i cotatti esteri e si somma alla correte di trasorto dei maggioritari che è ivece massima i rossimità dei cotatti. La correte totale è costate i tutta la struttura. Adameto delle comoeti della desità di correte totale, suoedo trascurabile la ricombiazioe ella regioe di svuotameto Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

30 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta La desità di correte totale è esrimibile come somma delle correti di diffusioe di elettroi e lacue ai due lati della regioe di svuotameto, se si trascura la ricombiazioe i quest ultima regioe. Utilizzado la legge della giuzioe si ha quidi: J D,h edi ev edi ev ex 1 ; J D,e ex 1 Ld k T La k T J ed ed ev ev i + ex 1 Jso ex 1 Ld La k T k T L equazioe recedete è detta equazioe di Shockley metre la costate J so, che diede dai drogaggi a e d e dal materiale attraverso le costati e le lughezze di diffusioe, è detta desità di correte di saturazioe iversa i quato cotribuisce alla desità correte che scorre ella giuzioe quado è alicato u oteziale iverso, V-V r, maggiore della tesioe termica V T k T/e k T/q Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

31 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta La ricombiazioe ella regioe di svuotameto roduce ua variazioe della correte estera che serve a comesare le cariche erse er ricombiazioe. J J rec rec eac + τ e W τ M ecd τ W e + τ M Cioè, cosiderado fiiti i temi di ricombiazioe, la variazioe temorale di carica (correte) ei due lati della regioe di svuotameto è ari alla carica totale diviso il temo medio di ricombiazioe dei risettivi ortatori mioritari. Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

32 Giuzioe -: Polarizzazioe diretta Le cocetrazioi M e M ossoo essere facilmete determiate mediate la statistica di oltzma iotizzado che il oteziale si distribuisca i arti uguali sui due lati della regioe di svuotameto: M o M e ex i ex ( V V) o k ev k T T M M a J rec e i W τ + W τ ex ev k T J ro ex ev k T Più i geerale si dimostra che la desità correte di ua giuzioe (diodo) è esrimibile come: Luigi Zei DII-SU Otoelettroica ev J J o ex 1 ηk T η: fattore di idealità del diodo

33 Giuzioe -: Polarizzazioe iversa I codizioi di olarizzazioe iversa la correte che attraversa la giuzioe è molto iccola. La tesioe alicata dall estero cade quasi tutta sulla regioe di svuotameto, che diveta iù amia e l altezza della barriera di oteziale si icremeta di V r. J rev ed L d ed + L a Luigi Zei DII-SU Otoelettroica i ewi + τ g La desità di correte iversa J rev è diedete dalla temeratura e somma di due cotributi di cui il rimo è il termie J so della equazioe di Shockley ed il secodo diede dalla geerazioe termica di coie e-h ella regioe di svuotameto, regolata dal temo di geerazioe τ g

34 Caratteristica I-V del diodo - Luigi Zei DII-SU Otoelettroica Il fattore di idealità η vale 1 se domia la diffusioe, vale se domia la ricombiazioe ella regioe di svuotameto

35 Caacità della regioe di svuotameto La regioe di svuotameto della giuzioe - reseta cariche ositive e egative er ua estesioe saziale WW +W ed è simile ad u codesatore a facce iae e arallele. A differeza di u codesatore la carica accumulata O diede liearmete dalla tesioe alicata. Detta A la sezioe trasversa della giuzioe si ha er la carica Q: Q e d W A; Q e a W A Variado la tesioe alicata di dv, la quatità di carica varia di dq, quidi: C de dq dv Alicado ua tesioe estera V si ha, er la larghezza della zoa di svuotameto: W ε ( + )( V V) a e a d d o Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

36 Luigi Zei DII-SU Otoelettroica Caacità della regioe di svuotameto + + A e 1 A e 1 Q W W W d a Utilizzado l esressioe della carica ai due lati della regioe di svuotameto, si uò esrimere W i fuzioe di Q: La caacità ha la stessa esressioe di quella di u codesatore a facce iae e arallele ma diede, i maiera quadratica, dalla tesioe. Cresce all aumetare della olarizzazioe diretta (V > 0) e decresce all aumetare della olarizzazioe iversa (V < 0) ( )( ) ( )( ) d a o d a d a o d a d a d a V V e A e V V ea Q + ε + ε + ( ) ( ) W A e V V A dv dq C d a d a o de ε + ε

37 Caacità di diffusioe Quado la giuzioe è olarizzata direttamete, si ha u eccesso di lacue sul lato e di elettroi sul lao della regioe di svuotameto che diffodoo elle regioi eutre. La quatità di carica diede dalla tesioe diretta e varia co essa comortadosi come ua caacità, detta caacità di diffusioe C d, che si somma a quella della regioe di svuotameto C de Dette Q e Q le quatità di carica dovute alle lacue ed agli elettroi iiettati, si ottiee: Q ea (x)dx ea 0 0 (0)e x L dx eal o ( ev k T e 1) Q ea 0 (x)dx ea 0 (0)e x L dx eal o ( ev k T e 1) dq dq Ae C d + dv dv k T o + ev k T ( L L ) e o Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

38 Temo di ricombiazioe (badga diretto) Quado i u semicoduttore drogato c è u eccesso di lacue ed elettroi, la eutralità richiede el caso di drogaggio, e er drogaggio. Cosiderado, ad esemio, GaAs di tio, si ha: + Cocetrazioe istataea dei ortatori mioritari o o + Cocetrazioe istataea dei ortatori maggioritari La velocità di ricombiazioe sarà roorzioale alla cocetrazioe di etrambi i tii di ortatori avedo scelto u semicoduttore a badga diretto e quidi co elevata robabilità di ricombiazioe diretta: t β Luigi Zei DII-SU Otoelettroica + G th G th è la velocità di geerazioe termica β è il coefficiete di cattura er ricombiazioe diretta L esressioe della velocità di geerazioe termica si ricava cosiderado il sistema all equilibrio, er cui: 0; t G β th o o o ; o

39 Temo di ricombiazioe (badga diretto) Si ha, quidi, er l equazioe di bilacio: t β ( ) U o U è detta velocità etta di ricombiazioe i quato iclude la geerazioe termica. L equazioe recedete uò essere articolarizzata ai casi di bassa ed alta iiezioe assa iiezioe: << o t o β o τ τ 1/β o 1/β a è detto temo di vita medio dei ortatori mioritari ed è costate Alta iiezioe: o Luigi Zei DII-SU Otoelettroica >> t β β ( ) o è defiibile u temo di vita medio dei ortatori mioritari come ua costate

40 Temo di ricombiazioe (badga idiretto) I u semicoduttore a badga idiretto, ad esemio Silicio, i rocessi di ricombiazioe soo iù comlessi erché coivolgoo i cosiddetti cetri di ricombiazioe (o livelli di traola) ed imlicao l iterazioe co fooi. Si dimostra che la velocità etta di ricombiazioe, el caso di drogaggio, è: U σ [ ( ) ] Et Ei / k T ( Ei Et ) + e + σ + e i v th σ σ t ( [ ] / k T i ) i v th σ,σ Et, t 3k T m * e Velocità termica media degli elettroi el cristallo Sezioi di cattura della traola risettivamete er elettroi e lacue Livello eergetico della traola e sua cocetrazioe Luigi Zei DII-SU Otoelettroica

41 Diagramma a bade della giuzioe - Luigi Zei DII-SU Otoelettroica