Equazioni differenziali: Teoria e Esercizi

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1 Equazioni differenziali: Teoria e Esercizi Una equazione differenziale del primo ordine può esprimirsi sineicamene con la scriura (1) dove è una funzione assegnaa delle due variabili ed, avene per dominio un sooinsieme del piano. Una funzione, per brevià di noazione nel seguio, è dea soluzione della (1) od anche suo inegrale, se la soddisfa idenicamene, e cioè se per ogni nel dominio di risula Si può dimosrare, soo ipoesi puramene qualiaive per! che qui non siamo a specificare, che esise ed è unico un inegrale soddisfacene all assegnaa condizione iniziale #" "$ (2) Ovvero, con linguaggio geomerico: i grafici delle soluzioni non si inersecano mai ra loro, e uavia la loro unione nel piano caresiano esaurisce il dominio di!. Tale comporameno delle soluzioni è bene esemplificao dalle segueni due equazioni per la precisione: % '&( (3) con la condizione iniziale (2), essendo &) un assegnaa funzione coninua, che ha per soluzione unica * +", &) (4)

2 ed inolre l equazione, con : reale fissao: : (5) con la condizione iniziale (2), che ha per soluzione unica * ' "<>=@? BC 1D (6) Senza le condizione iniziale (2) roviamo per l equazione (3) la famiglia di soluzioni E F-&) G3H7683,.IH (4 ) dove l inegrale indefinio sa qui per una qualsiasi primiiva di &(, e per l equazione (5) la famiglia di soluzioni J IK = (6 ) Le formule risoluive (4 ) e (6 ) conengono una cosane reale arbiraria I che si può deerminare univocamene soo la condizione iniziale (2). Non è possibile esprimere in maniera alreano semplice la formula risoluiva per la generica equazione (1) qui di seguio ci limiiamo a considerare alre equazioni paricolari che si inegrano semplicemene. 1 L equazione lineare Incominciamo col considerare l equazione lineare LM NO,0P (7) che generalizza conemporaneamene la (3) e la (5) LM e P7 sono due funzioni assegnae, definie coninue in un inervallo apero. Mosriamo come l inegrazione della (7) possa sempre ridursi al calcolo di una funzione primiiva. ale scopo, consideriamo innanzi uo il caso in cui P7 è idenicamene nulla: QLM #R (8) 2

3 ^ V L inegrale generale della (8), che viene dea equazione omogenea associaa alla (7), è dao da E FITS U$?WV V D@X con IZY (9) come si verifica direamene. Infai, la (8) può essere scria nella forma equivalene 6 69O[]\O^ LM Le funzioni in (9) non sono cero soluzioni della (7) uavia, si riesce a soddisfare la (7) variando la cosane arbiraria I, ossia sosiuendo a quesa in (9) una funzione I_ da deerminarsi. Infai, ponendo calcolando e sosiuendo nella (7), oeniamo E FI_ TS U$?WV V D@X (10) % I NTS U$?`V V,.Ia LM NTS UT?WV D@X DNX I< b NTS U$?`V V,.Ia LM NTS U$?`V V Ia LR TS UT?WV V,0P DX D@X DX Semplificando e risolvendo rispeo a I abbiamo e quindi I< FP7 S U$?WV V D@X Ia c - P bdz S U$?WV D@X V76ed,0fg da cui, sosiuendo nella (10), si deduce infine E TS U$?WV D@X Vih - P7 din SHj UT?WV DX V 6CdQ,.fZkl (11) La (11), con fmy, rappresena l inegrale generale della (7) si vede subio infai che, assegnaa una qualsiasi condizione iniziale (2), si riesce a rovare f in modo 3

4 = X V D = che la funzione in (11) la soddisfi. Infai, la soluzione unica della (7) soo la condizione iniziale (2) è daa da * San n 1 U$?WV V D@X h - P7 di 1 iolo d esempio, consideriamo l equazione 7 o#p,q Incominciamo col calcolare TS V V che esprime un inegrale dell omogenea associaa. Sosiuendo v Ia rqwsu oeniamo dopo una semplificazione dell equazione I on C q su Quindi Ia * yxz C q su rqnsu SHj n 1,.fl {x}~,.fg La soluzione unica soo la condizione iniziale (2) è daa da * yxg~, b ", T? U$?WV V D@X 6Cd0, "kl (11 ) q su q C q 1 D su cioè f{ ",'H C q 1 su Un alro esempio è il problema ai valori iniziali (oppure: problema di Cauchy) % :, R #"* +"> Osserviamo dapprima che ƒ = è una soluzione dell omogenea associaa. Ponendo J FIa N =, roviamo I R I_ #" F "$ 1 Finalmene si rova la soluzione unica * =@? ", - =@? BC 1D B 1 per qualunque funzione coninua M. 4 R G3H7683

5 «2 L equazione a variabili separabili Consideriamo l equazione auonoma (con secondo membro indipendene da ) F M (12) dove supponiamo che R b abbia derivaa limiaa 1 ale ipoesi garanisce esisenza ed unicià dell inegrale soddisfacene ad una assegnaa condizione iniziale. Osserviamo innanzi uo che se +" è uno zero di R b, allora la funzione cosane y " soddisfa ovviamene la (12) abbiamo dunque gli inegrali paricolari E F "> per ogni " con R b "* % (13) Supponiamo, ano per fissare le idee, che M sia definia in uo e l insieme dei suoi zeri sia cosiuo da un numero finio di puni ( $ > $ ( con ( ˆŠ ˆ $ $ ˆŠ. L asse delle ne resa allora diviso in Œ, inervalli: * Ž #xz ( # Ž ( $ $ $ g _ T *,l o menre gli Œ inegrali paricolari ( $ $ > (ƒ delimiano nel piano caresiano le Œ, regioni ~Y Y } Y $ p {9$ $ > Œ, 9 Se ora è un inegrale diverso dai precedeni, il suo grafico non porà inersecare nessuna delle Œ ree Ž <$ $ $ (@ e risulerà quindi oalmene conenuo in una delle regioni predee. Nel corrispondene inervallo la funzione M risula o sempre sreamene posiiva, o sempre sreamene negaiva (alrimeni. Dunque anche il segno della derivaa 1 La condizione che š8 rœb abbia la derivaa limiaa, è essenziale per l esisenza di una soluzione unica della (12) con la condizione iniziale ž rœÿ@ R. Infai, l equazione auonoma ž_ 7 ' KžC b con la condizione iniziale (2) ha le soluzioni per ciascun ª!œŸ. ž rœb Q H 2œ ª 5 œ)!ª 'œ)!ª che

6 sarà o sempre posiivo, o sempre negaivo. Se ne conclude che è una funzione monoona, o sreamene crescene, o sreamene decrescene, a seconda del segno di M in. Può allora definirsi l inversa funzionale, che scriveremo con noazione abbreviaa K b anch essa risula sreamene crescene, o sreamene decrescene, coninua e derivabile nel puno con derivaa R b Per rovare K b baserà dunque inegrare l equazione w 7 M che è del ipo (3) con variabile indipendene si oiene perciò * - 6e R b,.ih (14) La (14), risola rispeo ad, esprime congiunamene alla (13) ui gli inegrali della (12). Segue dalla (13) e dalla (14) che se è una soluzione della (12), allora anche la funzione raslaa xfi> è soluzione, per ogni possibile scela della cosane I. Per meglio chiarire il significao della formula risoluiva oenua, supponiamo di voler deerminare la soluzione soddisfacene alla condizione iniziale #"<z +". Se " coincide con uno dei valori < $ $ $ ) allora la soluzione cercaa è semplicemene ". Se invece per un cero indice, incominciamo col ragionare sulla funzione inversa K b, per cui risula K b " y#" in base alla (14) ques ulima funzione può esprimirsi nell inervallo * e R b %,Q#"T (15) La (15), risola rispeo ad, fornisce la soluzione cercaa. Supponiamo in paricolare che il dao iniziale +" apparenga all inervallo <,! ±9²8$ $ $ Œ ale inervallo sarà anche il dominio di definizione di K ). Se inolre R b~³o in, allora si ha [] µ w¹_ºb» K b* mxz 6 [ ]µ ¹ K b,l (16)

7 ¼ x Tornando alla, se ne deduce che il suo dominio è l inero asse reale, con [ ]µ ¼ * [] µ ¼ Se invece nell inervallo limiao b risula R b.ˆ ragionameni mosrano che [ ]µ ¼ * [] µ ¼ *, gli sessi La formula (15) consene una facile analisi delle soluzioni anche al variare di negli inervalli * Ž #xz (, T * %,l o. Si osservi in paricolare che i valori di [] µ ¼ K e K b [ ]µ sono limiai, nel caso esise l inegrale generalizzao di K H½9 R b in un K inorno di,g e xz, rispeivamene il dominio di si riduce di conseguenza ad un inervallo limiao superiormene od inferiormene. Ciò è bene evidenziao dalla semplice equazione che ha per soluzioni v e * - 6C,.I¾ {x nelle regioni ³o ed. d esempio, l inegrale soddisfacene la condizione iniziale b e* "À³o si oiene dalla relazione che risola rispeo ad dà - 1 * 6C " " ¾xÁ# " Il dominio di ale soluzione è l inervallo #xz $T½a "<. Osserviamo in conclusione che ragionameni analoghi ai precedeni possono ripeersi per il caso in cui l insieme degli zeri di M conenga un numero infinio di puni, ed anche quando il dominio di R b si riduce ad un inervallo apero. Un equazione più generale della (12), che ancora si può ricondurre al calcolo di una primiiva, è l equazione a variabili separabili 7 R ) (17),.I 7

8 ? D - D D dove &( è una funzione coninua, menre M si suppone derivabile con derivaa limiaa. Scrivendo la derivaa 6C con noazione 6e, e moliplicando per 69 e dividendo per M i due membri della (17), si oiene l idenià formale 6C R b '&) 769 che inegraa dà l idenià effeiva 6C M - &( 769(,0I5 (18) Quesa è la formula risoluiva della (17), a pao di ener cono anche degli inegrali paricolari v ", per ogni +" con M " F, e di inendere la (18) risola rispeo ad negli inervalli in cui R beâ Ã. Per dedurre l unicià della soluzione della (17) con la condizione iniziale (2), si suppone che R ) abbia la derivaa limiaa nel suo dominio. 3 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficieni cosani Fino ad ora abbiamo raao esclusivamene equazioni del primo ordine possono considerarsi anche equazioni di ordine ², in cui la derivaa seconda compare espressa in funzione di, ed, e più in generale equazioni differenziali di ordine Œ, del ipo R $ > $ (? (19) Soo ipoesi qualiaive per, esise ed è unico un inegrale della (19) soddisfacene alle assegnae condizioni iniziali #" ' +"> #"Ä ' ( $ $ #" F < (20) Diciamo inegrale generale di un equazione di ordine Œ un espressione delle soluzioni del ipo v <IT <$ $ $ (I 9 8

9 D conenene Œ cosani arbirarie che, opporunamene paricolarizzae, permeono ha l inegrale di soddisfare le (20). Da esempio, l equazione differenziale? generale * I$,0I R,.IÅ@, $ >H,.I< a e le cosani I$ $ $ $ )<I si possono ricavare univocamene dalle (20). Ci limiiamo qui a considerare un caso paricolarissimo, ma assai imporane nelle applicazioni: le equazioni del secondo ordine lineari a coefficieni cosani,0æe,.çv (21) dove Æ e Ç sono cosani reali. Segue che se ( K e sono due soluzioni dell equazione (21), allora È IT N ( K,.I (22) ne è ancora soluzione, per ogni valore delle cosani I$ e I. Due suoi soluzioni si rovano facilmene provando a soddisfare l equazione con J $É dove ci riserviamo di fissare in seguio il valore di Ê. Dalla (23) segue % Ê $É Ê (23) e perciò, sosiuendo nell equazione (21) e dividendo dal faore non nullo É, avremo l equazione caraerisica $É Ê,.Æ Ê,0Ç (24) Se ne conclude che se Ê è scela in modo che la (24) sia soddisfaa, la funzione (23) è soluzione della (21). Supponiamo inizialmene Æ x ËeÇQ³Ì allora l equazione caraerisica ha due radici reali e disine, Ê wí NxÎÆgÏ Ð Æ xqëeç½9², e l inegrale generale può esprimersi v FI$ $É,.I º 9 $É q (25)

10 U xoëeçe Ñ, e quindi l equazione caraerisica ha una radice Se invece risula Æ reale doppia Ê {xzæ8½9², si verifica subio che l equazione differenziale (21), olre ad ammeere l inegrale paricolare * F É, ammee anche l alro 'N$É Infai, la sosiuzione v F F É, che ha la soluzione generale Ò FI$ %,ÓI esprimersi rasforma l equazione differenziale nell equazione. Quindi l inegrale generale può E IT $É (26) xôëeçzˆ, in cui le radici dell equazione caraeri- Occupiamoci infine del caso Æ sica sono complesse coniugae: Ê 0L Ï Õ4P, con Æ Lv yx Y ² Pl ²,.I N$É Ð ËeÇ xæ ³o (27) Sosiuendo v F 8 U arriviamo all equazione differenziale e a,p O (28) La soluzione generale della (28) è daa da Ò IT %Ö> _ØH bph,.i sen bph (29) Quindi l inegrale generale dell equazione differenziale originale può esprimersi Ò IT N U Ö> _ØH bph,.i 4 Equazioni differenziali: pplicazioni U sen bph (30) 1. Decadimeno radioaivo. Se indichiamo con Ù il numero di nuclei radioaivi preseni al empo e con Lz69 il numero dei nuclei disinegrai in un periodo piccolo 69, avremo dove la funzione Ù rovi Ù mxäl Ù ³ (31) dovrà essere deerminaa risolvendo l equazione (31). Si Ù Ù

11 Ú Ý dove Ù 4 e è il numero di nuclei radioaivi iniziale. 2. Dinamica delle popolazioni. Uno dei primi modelli della dinamica delle popolazioni si deve a Malhus [ n Essay on he Principle of Populaion, 1798]. Soo l ipoesi che la popolazione cresca da : 69 in ogni periodo piccolo 69, si ha l equazione differenziale % : ~³o % dove è il numero degli individui al empo. Si rova la soluzione * 4 en = dove 4 9 è il numero degli individui al empo iniziale. Purroppo la cosidea legge di Malhus vale solano per inervalli limiai di empo. Verhuls (1837) ha proposo una modifica al modello di Malhus, enendo cono della carenza progressiva delle risorse al crescere della popolazione. Supponiamo che esisa un valore massimo Ú, deo popolazione di equilibrio, superao il quale le risorse non siano più sufficieni per la sopravvivenza di ui, e la popolazione enda di conseguenza a diminuire. Se il asso di crescia è proporzionale alla quanià di risorse ancora disponibili, roviamo l equazione logisica ÛÓ ÀÜ)¾x dove 4 9~³o è la popolazione al empo iniziale e ÛÞ³Š. Si rova la soluzione Ú 4 9 b e>ß` x, %àbá Ú 8â@ e quindi ã Ú se ã,l. 3. Circuii elerici. Consideriamo un circuio elerico consiuio da una resisenza ä, un induanza å, e un condensaore di capacià f, a cui sia applicaa una forza eleromorice variabile æ. Se indichiamo con la carica del condensaore (e quindi da la correne nel circuio), si ha l equazione differenziale å, ä a, Cercando una soluzione dell equazione omogenea del ipo f * FçZ>èêé 11 * æ (32)

12 á roviamo l equazione caraerisica åë, äîë, f Se ì ä Se ì ä In paricolare se ä dove ç xqë å ½_f} ³Š, si rova la soluzione decrescene %í suwîa*ï cos ` N, 2ð suwî cos C2ð suwî8ñ xqë å ½_f} ˆŠ, si rova la soluzione oscillane * Fçz F, si ha %í suwîa Ö> Ð x ì ½9² å,.ò Ä 'ç Ö> Ð x ì ½9² å,.ò è l ampiezza e ò è la fase. Se ä xóë å ½_f}Ä, si rova la soluzione * ß %í suwî cos 2, cos 5 Esercizi Equazioni Separabili del ipo o&) N 1.,E F 2. xóë_e 3.,Q E 4. x' ½5* per ³ 5. Ž #¾xÁ su x0² 6. x0²5xõ per xz²pˆ ~ˆ Ë ²5,' 7. x0²5xo per ˆF 8. Ž # [ \ per ~³o 9.,.²aE, 4 e* 'Ë 10. Ž ½9²9, G²9* mxg 12

13 ^ 11.,Ë_xö, b e* m 12.,QK G²5Nv [ \, NT½9²9* F 13., Ð, ²58v, bëc mt 14. K #¾xÁ, NH½5ËC m. Equazioni Lineari del Primo Ordine 15.,.²aE o 16. xóv sen 4²5 17.,.²5#E 'Ë_ 18.,Q#p,'Z 19. # xóë_e (, 20.,F cog #E sen ÖK 9Ø7 21. #, E y per ³o [ \ 22. ÖK 9Ø7, M½5ËC* #H½ Ð ²_ 23., ^, b e FË 24.,E ²HR, ö, 4 e* 'Ë 25.,Ë9E ø sen G²5, b e mx ½9ö 26. x²5p,. u, b e ² 27. x²5e u, b e* ² 28. x²h# xó, 4 e m 29.,0 Ë sen, b e* F (Consiglio: Sia p F ) 30., H# x0²h#e ',, #H* ' 31. x' g NE F sen, Òˆ.~ˆ M½9², #H* 32.,.²5#E Crq, b e m 33. x²5e, b e* ² 34.,F G²a½5 bö> _Ø7@½5, R* F, ~³Š 13

14 x 35., E øa 36. xóv FËe u 37. x' 4²a½5* sen 38. x E y, 39. x' g NE y 40.,F b½5* ²¾,F NH½5 Equazioni separabili 41. Ž ½a 42. н7 N,Q 43. xó# 44., 45. # F, ² (, 46. ù, 47. N ½ G²a 48. mt½7 g ÖK 9Ø F!xŠ ÖK 9Ø 50. []\ sen ²a 51. Ž b e* mxg 52., b e* ² 53. m¾xó, b e* F 54. Ž,@½5, #H* yxg, ² 55. ² búxoh, b e* mxg 56. Ð ¾xó, M½9²_* F 57. x ÖK 9Ø+²av ² ², NT* M½aË. 14

15 ù Å s 58. # ù Ð,, #H* yxg 59. mx sen, R½9²9 Ž #H½_õe Ë9 60., xó, 4²9 û. Equazioni Lineari Omogenee del Secondo Ordine 61.,.öa, ø_ 62. x T _, ²9ö5E F 63.,.²a,Šöa 64. xq²a, öav 65., xot _v F 66.,0û_E. 67. xá x0²5e F 68. xáë9e 69. xq²a,0e F 70.,.öa,.Ë9 71. F 72.,.²a,Šöa 73.,Ë9E 74.,E 75., xóë9e F 76.,E 77. xá x0²5e F, b e* F, 4 e* y 78. xáë9e, 4 e* m, 4 9Ä F² 79. xq²a,0e F, 4 e* y, b e F 80.,.öa,.Ë9, b e m, 4 e { 81.,Ë9E, M*, M* m 82.,E, M½_ø9* F, M½_øe*. 83. xáj F 15

16 84.,0û_E 85. xqüa, H²av F 86. xáë9e 87.,Ë9E. 88. xáj F, b e* y, 4 e F² 89.,0û_E, 4 e*, b e* m. 90., ë E, 4 e* ' 4 9*. 91.,Ë9,F v 92.,,Š²a 93.,Ë9,Šöa 94. Ë_, H²a,0û_E F,,Ë9E F ,0I,E F, I¾ ²%< %W²% ê _ e² 97., H²a 98. Ë_, ø_ 99.,Q v 100.,E. 16