STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi appunti di testo in bozza] 2) I principali indici per la scelta tra progetti alternativi.

Transcript

1 UNIVESITA DEGLI STUDI DI PAVIA Dipartimeto di Sciee Ecoomiche e Aiedali Via S. Felice, Pavia Tel. 382/ Fax 382/22486 STUMENTI MATEMATICI PE LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi apputi di teto i boa] 2) I pricipali idici per la celta tra progetti alterativi. 2.1) Itroduioe. U progetto ecoomico-fiaiario può eere decritto da ua ucceioe di pote C (poitive o egative, a ecoda che i faccia riferimeto ad etrate o ad ucite moetarie), ciacua ripettivamete riferita all epoca t, co: t < t +1 (per =, 1,..., -1) 1. U progetto ecoomico-fiaiario (caratteriato dalla preea di pote) può quidi, ad eempio, eere decritto el modo eguete:. epoche: t = t 1 t 2... t capitali: C C 1 C 2... C Idicati quidi co A, B, C,.. diveri progetti alterativi 2, i tratta di idividuare quello maggiormete coveiete cotruedo u ordiameto di preferea tra tutti i progetti coiderati e poiché i progetti prei i coideraioe oo decritti da vettori (il vettore delle pote C e il vettore delle cadea t ) coverrà covertire l iieme di tutti i dati rivelativi a ogi igolo progetto i u uico valore umerico (che rappreeterà il valore dell idice aociato al progetto). L idice i quetioe miurerà u particolare apetto del progetto e ulla bae dei valori auti da tale idice i effettuerà l ordiameto di preferibilità. 1 ) Tratteremo olamete dei progetti di tipo determiitico, ove riultao di valore certo ia gli importi C, ia le cadee t. 2 ) La idividuaioe del progetto maggiormete preferibile igifica, i pratica, che i itede (e coveiete) realiare uo e uo olo dei progetti oggetto di aalii, cartado di coeguea tutti gli altri. Tale problema è divero dai problemi di compoiioe ottimale ove i vuole idividuare il mix di progetti da realiare (e i quale miura). Eempio tipico di tale tipo di problema i ricotra ella coiddetta eleioe del portafoglio ove occorre idividuare quali titoli (ad eempio: aioari) acquitare, e i quale quatità. 1

2 Gli idici di celta che verrao coiderati el eguito farao tutti riferimeto (i u modo, o ell altro) al guadago (o alla perdita) che il progetto geera 3. Ioltre il guadago può a ua volta eere defiito i modi diveri (aoluto, relativo, auale, equivalete, eccetera) da cui l eitea di molti diveri idici (oguo dei quali utilierà uo pecifico algoritmo di calcolo) Sarà quidi il oggetto deciore che dovrà idividuare, di volta i volta, il tipo di idice più appropriato per le fialità che itede aaliare. Premeo allora che eite ua coitea differea tra gli idici di tipo aoluto (che miurao la quatità totale di euro guadagati, o peri), e gli idici di tipo relativi (che oo otaialmete dati da u rapporto tra gradee), i può fare riferimeto al eguete chema ove oo idicati alcui degli idici di celta più oti. Co riferimeto ad ogi idice preeteremo el eguito ia la defiiioe, ia u emplice eempio umerico. Pricipali idici di celta 4. - Idici di bilacio: - di tipo aoluto: B/a 1) - eddito operativo etto B/a 2) - eddito globale etto - di tipo relativo: B/r 1) - etur o ivetmet (OI) B/r 2) - etur o equity (OE) - Idici fiaiari: - di tipo aoluto: F/a 1) - edimeto ecoomico attualiato (EA) F/a 2) - Motate fiale - di tipo relativo: F/r 1) - Idice di profittabilità F/r 2) - Tao itero di redimeto 2.2) Idici di Bilacio. Fao riferimeto (almeo ecodo la defiiioe origiaria) a valutaioi baate ui valori riportati ei bilacio cotabili. Si tratta quidi di operaioi di durata auale decritte da ua ola pota iiiale e ua ola pota fiale ( progetti emplici ). B/a-1) - eddito operativo etto. Differea algebrica tra le compoeti poitive e egative direttamete riferibili al progetto teo. Coiderato, ad eempio, il eguete progetto P/1 (ove i è utiliato il imbolo C per evideiare ua pota egativa, e il imbolo per evideiare ua pota poitiva): 3 ) I realtà, oltre all apetto ecoomico, i potrebbero predere i coideraioe ache altri apetti che qui o vegoo però coiderati (il richio, la durata del progetto, gli apetti etici, eccetera). 4 ) La otaioe B ta ad idicare u idice di Bilacio, la otaioe F ta ad idicare u idice Fiaiario, la otaioe /a, oppure /r ta ad idicare u idice di tipo aoluto, piuttoto che di tipo relativo. 2

3 Progetto P/1) epoche: 1 capitali: -C = -1 + = +12 la differea (-C) forice l utile operativo: eddito operativo etto = - C = 12-1 = 2. Si tratta, i particolare, di u idice di tipo aoluto (miura quate lire i oo guadagate, o pere, i quell operaioe). B/a-2) - eddito globale etto. L idice di celta i quetioe è cotituito dal reddito operativo etto dimiuito degli oeri fiaiari derivati da u evetuale fiaiameto etero. Suppoiamo, ad eempio, che le riore totali C=1 ivetite el progetto iao i parte proprie, per l importo C P = 6, e i parte di teri, per l importo reiduo: C T = C-C P =1-6 = 4. Co riferimeto a quete ultime occorrerà pagare, a fie periodo, gli iterei I = f CT calcolati al tao periodale di coto f. Poto, ad eempio, f = 15%, occorrerà allora corripodere, a fie ao iterei per u ammotare pari a: 4,15 = 6, e i otterrà il eguete progetto P/2: Progetto P/2) epoche: 1 capitali: C = -1 = 12 C T = (fiaiameto al tao del 15%) C P = icao fiale etto ======== ==== eddito globale etto = C I = - C ( f C T ) = [12 1,15 4] = Si tratta ache i queto cao di u idice di tipo aoluto (il cui valore dipederà ache dal coto del fiaiameto). NOTA 1). Gli idici di bilacio (aoluti) opra epoti ( eddito operativo etto e eddito globale etto ) vegoo molto peo deomiati co locuioi aai divere. No iterea qui la deomiaioe utiliata, ma il uo cocetto. NOTA 2) Etrambi gli idici di bilacio (aoluti) opra epoti ( eddito operativo etto e eddito globale etto ) violao ua delle regole pricipali della matematica fiaiaria: o i pooo ommare (o ottrarre) capitali eigibili i epoche divere (occorrerebbe prioritariamete valutare fiaiariamete i capitali ad ua tea epoca). Poiché la durata temporale o è molto ampia (u ao), la violaioe di tale regola viee peo accettata (almeo per emplicità di calcolo). 5 ) Idetico riultato, fore più emplicemete, poteva eere otteuto dalla ottraioe: =

4 B/r-1) - etur o ivetmet (OI). L idice di celta deomiato etur o Ivetmet (OI) è dato dal rapporto tra il reddito operativo etto di u certo progetto e il capitale totale impiegato. Progetto P/3) i otterrà: Se coideriamo ad eempio u progetto P/3 caratteriato dalle egueti pote: epoche: 1 capitali: -C = -1 + = +12 reddito operativo etto C 12 1 OI = = = =,2 = 2% capitale totale impiegato C 1. Il OI è u idice di celta di tipo relativo (idica quato i guadaga, relativamete ad ogi euro di capitale impiegato, el periodo di tempo coiderato), ed è otteuto da u rapporto, cioè da u tao. Eedo baato ul reddito operativo etto, tale idice cotiua a mateere gli tei difetti attribuibili a quello (i veda la Nota 2), co qualcoa i meglio e qualcoa i peggio. I meglio è ad eempio la ua atura di idice relativo (ivece che aoluto) che facilita i cofroti tra diveri ivetimeti, i quato rede più omogeei i valori dell idice attribuito a diveri progetti 6 ; i peggio è la poibilità di male iterpretare il igificato del OI itededolo, empre e comuque, quale redimeto auale per ogi euro impiegato el progetto, metre coì o è. 7 IL OI riulta u idice emplice, che deve proprio alla ua emplicità buoa parte del ucceo e della fama che ricuote, ideale (fore) per ua prima valutaioe o troppo approfodita, ma iadatto ad aalii più raffiate. B/r-2) - etur o equity (OE).. L idice di celta deomiato etur o Equity (OE) è dato dal rapporto tra il reddito globale etto di u certo progetto (al etto, quidi, degli iterei pagati ui capitali prei a pretito) e il capitale proprio impiegato. iprededo i coideraioe i dati già precedetemete utiliati, i otterrebbe quidi: 6 ) Suppoiamo di dovere cegliere tra i progetti A e B per i quali appiamo che vale: eddito operativo etto (A) = 4 e eddito operativo etto (B) = 2. A prima vita potremmo eere tetati di affermare che A e meglio di B (rede il doppio!!), ma e il progetto A richiedee riore per 5, e il progetto B riore per 1, allora B arebbe più coveiete, ed ifatti: OI(A)=4/5=,8=8% < OI(B)=2/1=,2=2%. I geerale occorrerebbe procedere cofrotado tra loro alterative omogeee, caratteriate (almeo) da u uguale captale iiiale (C ) e da ua uguale durata (ieredo, quado eceario, opportue operaioi fiaiarie itegrative). 7 ) Il OI miura il redimeto percetuale relativo all itera durata del progetto, che potrebbe però ache o eere auale. Il capitale totale impiegato, i preea di più pote egative, o è eceariamete dato dalla omma delle ucite moetarie (cadeti, tra l altro, ad epoche divere). 4

5 Progetto P/4) epoche: 1 capitali: C = -1 = 12 C T = (fiaiameto al tao del 15%) i otterrà: C P = icao fiale etto ======== ==== reddito globale etto ( C I) OE = = = capitale proprio impiegato C P 14 6, ,33% Ache il OE è u idice di celta di tipo relativo, geerato da u rapporto, cioè da u tao, per il cui igificato di redimeto auale per ogi euro di capitale proprio impiegato el progetto valgoo le tee coideraioi (egative) già epree co riferimeto al OI. NOTA 3). Tra OI e OE pooo eere evideiate altre relaioi, tra le quali la eguete: C C T OE = OI + ( OI f ) La relaioe opra epota evideia che e riulta (OI-f) >, allora il valore del OE, dato il OI, potrà eere aumetato, fio a che i deidera, emplicemete operado ul valore della fraioe [C T /C P ]. A tale rapporto (tra il capitale di teri, e il capitale proprio, che oo gradee etrambe pote otto il diretto cotrollo dell operatore), pooo eere aegati valori ache etremamete elevati emplicemete icremetado empre più il valore di C T (capitale preo a pretito), co coeguete riduioe del corripodete valore di C P (capitale proprio). Tale riultato o dovrebbe i realtà orpredere più di tato. Se il OI rappreeta il tao di redimeto dell ivetimeto, e f rappreeta il tao di coto dei fiaiameti eteri, la codiioe (OI-f) > igifica che quato i prede a pretito cota meo di quato i riece ad otteere effettuado quell ivetimeto, e quidi il guadago etto, calcolato percetualmete ui oli capitali propri, deve eceariamete aumetare. Il bello (o meglio: il brutto, vito ciò che i ottiee alla fie) è che la relaioe opra epota motra chiaramete che e riulta (OI-f) >, allora il OE può eere reo grade quato i vuole, arrivado ache ad u valore ifiitamete elevato. Eedo ifatti: C P =C-C T, co C T C, i ottiee che icremetado il ricoro ai capitali eteri (C T ) i riduce eceariamete il valore del capitale proprio (C P ), e quidi. di coeguea: lim CT C OE = lim CT C P C T OI + C C T ( OI f ) = + Quella che può apparire come ua motruoità fiaiaria, o come ua eorme pacchia per l operatore ecoomico (che embra potere guadagare quello che vuole), o è i realtà é l ua, é l altra coa. Il OE, ifatti, è comuque u tao di iteree e il redimeto (aoluto) che forice dipede dall etità del capitale (proprio) al quale va applicato. Se riulta (OI-f) >, ma mao che i icremeta il valore di C T i avrà ia u aumeto del OE, ia ua riduioe del capitale proprio al quale applicare tale tao di redimeto (i guadagerà cioè di più per ogi euro, di.. 5

6 capitale proprio, ivetito, ma i ivetirà u miore umero di euro). Al limite i avrà u OE tedete a più ifiito, u u capitale (proprio) ivetito tedete a ero. I defiitiva i può quidi oervare che il OE, da olo, o embra particolarmete utile (come a volte viee fatto) per aaliare politiche di leverage (che tudiao il rapporto ottimale di idebitameto). Se i farà ricoro a capitali di teri i guadagerà (globalmete) di meo, dovedo pagare gli iterei ul fiaiameto (reddito globale etto < reddito operativo etto), metre il redimeto percetuale (OE) arà maggiore, uguale o miore, ripetto all aalogo redimeto i aea di fiaiameti eteri, a ecoda che riulti (OI-f ) poitivo, ullo o egativo. Le celte iereti il leverage (e, più i geerale, le trategie di fiaiameto) adrao ivece aaliate co trumeti più adeguati, che facciao riferimeto alle alterative di impiego eiteti e alla diamicità della attività ecoomica. 2.3) Idici fiaiari. Gi idici di celta di tipo fiaiario verificao (o cercao di verificare) le pricipali regole della matematica fiaiaria. Per queto motivo oo coiderati più attedibili degli idici di bilacio precedetemete epoti.. Pooo eere ia aoluti, ia relativi, e utiliao algoritmi di calcolo differeti a ecoda del particolare apetto del progetto che i itede aaliare. F/a-1) - edimeto ecoomico attualiato (EA) L idice del edimeto ecoomico attualiato (EA) 8 viee emplicemete otteuto ommado algebricamete i valori di tutte le pote C che caratteriao il progetto, avedole prima tutte fiaiariamete valutate all epoca iiiale t =.(operado i regime di capitaliaioe compota, coveioe epoeiale, al tao i) 9. Si ottiee quidi: 1 = = + t EA( i ) C C (1 i) = C v, co t (1 + i) = = = t v 1 = (1 + i ). Ad eempio, co riferimeto al otto decritto Progetto P/5 (co cadee auali): Progetto P/5) i ottiee, operado al tao auo i = 5%: EA ( 5% ) = ,67 3,84 +95,2 = 1,85 1,5 1 1,5 2 1, ) Il edimeto Ecoomico Attualiato (EA), viee peo chiamato co altre deomiaioi: Valore attuale etto (VAN), Dicouted preet value (DPV), Net preet value (NPV), Dicouted cah flow (DCF), Capital value (CV), Preet value (PV), eccetera. 9 ) Il motate M di u euro, dopo ai, al tao di iteree i, i capitaliaioe compota, coveioe epoeiale, è dato da: M = (1+i), ache co o itero. 6

7 Il valore EA(5%) = 1,85 idica quidi che il progetto i quetioe forice u guadago di 1,85 euro, valutato all itate t =, operado al tao auo del 5%.. Tra più progetti alterativi coverrà maggiormete quello aociato al più elevato valore del EA. Il EA può eere ache iteo ache come il preo equo da pagare per acquiire l operaioe fiaiaria aaliata. NOTA 4). L idice del EA è di tipo aoluto (miurata il guadago totale etto, valutato all itate iiiale) e per eo valgoo almeo due gradi coideraioi (etrambe favorevoli ) : - a) può eere empre calcolato (o lo teo accade per altri idici di celta); - b) opera idifferetemete ia per i progetti di ivetimeto, ia per i progetti di fiaiameto (ed ache per i progetti miti, che o oo é ivetimeti, é fiaiameti). I ogi cao viee evideiato il riultato etto (e poitivo, i guadaga; e egativo, i perde; e ullo, é i guadaga, é i perde). Eitoo però ache delle cotro idicaioi: - a) eedo u idice aoluto, male i preta per il cofroto tra progetti o omogeei: - b) il valore del EA è i fuioe del tao i, che va quidi opportuamete valutato 1 ; - c) al variare del tao auo i, modificadoi il valore del EA, i pooo otteere ordiameti di preferea differeti (il progetto riteuto il migliore, effettuado i calcoli ad u certo tao, può o più eerlo, e i opera co u divero tao); - d) vegoo attualiate allo teo tao ia le pote poitive, ia le pote egative. NOTA 5). Il EA gode di divere itereati proprietà (che e emplificao l utilio): - a) la fuioe EA(i) è cotiua al variare del tao i. Il valore umerico dell idice EA può quidi eere calcolato empre, per qualiai valore del tao i, idipedetemete che i tratti di u progetto di ivetimeto, di fiaiameto o di tipo mito; - b) il EA di u progetto compleo (formato dall iieme dei diveri progetti) è dato dalla omma dei EA dei igoli progetti (tutti valutati allo teo tao). I altre parole, ad eempio, il valore di EA (A+B+C), riferito al progetto compleo otteuto ommado i tre progetti A, B, C, è dato dalla omma dei tre diveri EA: EA (A+B+C) = EA A + EA B + EA C : - c) il EA di u progetto moltiplicato per uo calare (cioè eeguito λ volte, ache co λ di valore ullo, o egativo 11 ) è pari al EA del progetto origiario, moltiplicato per λ, qualuque tao di iteree i utilii: EA λ A= λ EA A F/a-2) edimeto ecoomico fiale (EF - TM) Ivece che calcolare il guadago (o la perdita) all epoca t (epoca di iiio del periodo temporale preo i coideraioe), come i fa utiliado l idice EA, i potrebbe valutare tutte le pote all epoca fiale t. (o ad altra epoca riteuta itereate). Operado i regime di 1 ) La celta del tao di attualiaioe da utiliare per il calcolo del EA è quidi oggettiva, el eo che arà l operatore che dovrà idividuare il valore del tao i che meglio i adatta alle ue eigee. Tale celta dovrà eere effettuata co buo eo, teedo a mete ciò che l idice EA vuole mettere i evidea (il riultato etto dell operaioe, valutato all itate iiiale). Il valore del tao i quetioe, a ecoda delle pecifiche eigee, potrà quidi fare riferimeto, ad eempio, al tao di iflaioe, al tao di coto del dearo, al tao operate per u ivetimeto alterativo, eccetera. 11 ) Co λ> (o eceariamete itero, ammeo che le codiioi del progetto lo permettao) i ta idicado che il progetto i quetioe viee realiato λ volte (ad eempio, co λ=3, ivece che acquitare ua ola obbligaioe, e e acquitao tre); co λ= i ottiee u progetto ullo (il progetto o viee eeguito); co λ < il progetto i realia λ volte, ma la poiioe dei oggetti che itervegoo el progetto viee ivertita (ad eempio, ivece che acquitare ua obbligaioe, la i vede). 7

8 capitaliaioe compota (coveioe epoeiale) o i ottiee eu particolare beeficio 12 i quato il progetto al quale riulta aociato il più elevato valore del EA, arà ifatti ache il progetto al quale riulta aociato il più elevato valore del redimeto ecoomico valutato all epoca t, utiliado lo teo tao i. Vale ifatti la relaioe: edimeto ecoomico all epoca t, valutato al tao i = EA(i) (1+i) t. Be altro riultato i ottiee ivece el cao i cui il proceo di capitaliaioe vega fatto utiliado due diveri tai (i, tao paivo, ed i N, tao attivo 13 ) e applicado tali tai o alle divere pote, ma ai aldi cotabili S (i,i N ) che il progetto geera i ucceioe (co =, 1, 2,, ), ecodo la eguete procedura: S ( i, i N ) = C S ( i, i N S ) = S 1 1 ( i ( i, i, i N N ) ) ( 1+ i ) ( 1+ i ) t 1 N t 1 +C +C,, per S per S 1 1 ( i ( i, i, i N N ) ),, = 1,2,..., = 1,2,..., U eempio umerico ervirà a meglio chiarire quato opra epoto. Co riferimeto al otto riportato progetto Progetto P/6) operado co i trai i = 1% e i N = 5% i ottiee: S (1%, 5%) = - 8 S 1 (1%, 5%) = - 8 (1+,1) + 18 = +2 S 2 (1%, 5%) = + 2 (1+,5) - 51 = -3 S 3 (1%, 5%) = - 3 (1+,1) + 43 = +1 [valore della prima pota] [i ua il tao del 1% i quato S è egativo] [i ua il tao del 5% i quato S 1 è poitivo] [i ua il tao del 1% i quato S 2 è egativo] Il aldo fiale S (i,i N ), oto come idice di celta T..M. (dai omi di D. Teichroew, A. obiche, M. Motalbao, che per primi lo propoero 14 ), ha caratteritiche imile all idice EA (è di tipo aoluto, calcolabile co poca fatica, applicabile a qualiai tipo di progetto, vale ia per progetti di ivetimeto, che di fiaiameto), ma ripetto al EA ha idubbi vataggi: a) opera utiliado due diveri tai (i, i N ); b) procede al coteggio degli iterei calcolado per ogi periodo il aldo cotabile S (i,i N ) ed utiliado, di volta i volta, il tao di iteree opportuo (a 12 ) Divero arebbe operado co u regime di capitaliaioe o cidibile come, ad eempio, la capitaliaioe emplice. 13 ) I tai i quetioe oo chiamati i, = tao oo (a debito) e i N = tao Nero (a credito) i quato le prime forme di cotabilità critte prevedevao di crivere co ichiotro roo gli importi a debito (o i coti). 14 ) Teichroew, D., A. A. obiche, M. Motalbao A aalyi of criteria for ivetmet ad fiacig deciio uder certaity. Maagemet Sci. 12 (3, November) [ ] 8

9 ecoda che i abbia ha che fare co u aldo egativo, a debito, o co u aldo poitivo, a credito). Eattamete come accadrebbe e i capitali eceari alla realiaioe del progetto veiero pretati da ua baca (co ua apertura di credito i coto correte) ove, i preea di aldo a debito, la baca coteggerà iterei a uo favore utiliado il tao i, metre i preea di u aldo a credito gli iterei, a favore dell operatore, verrebbero calcolati al tao i N (co i > i N ). L idice di celta T..M. miura quidi il riultato fiale del progetto (quato alla fie di tutto reterà a favore dell operatore), avedo già coteggiati ia gli iterei a debito, ia gli iterei a credito. Gli importi S (i,i N ) motrao il aldo della ituaioe cotabile (a debito, o a credito) maturata fio all itate t (compreo) e fiaiariamete valutata a quell itate. NOTA 6). Qualora i otteee: T..M. = S (i,i N ) <, vorrebbe dire che il oggetto operatore (colui che ha realiato il progetto) i ritrova, alla fie del progetto, co u riultato fiale egativo (ha quidi realiato u progetto i perdita). Il oggetto fiaiatore (colui che ha meo a dipoiioe i capitali eceari) ha ivece comuque icaato gli iterei (che oo tati regolarmete pagati). Nel cao i cui i due oggetti coicideero ella tea peroa (il oggetto operatore è ache colui che forice i capitali eceari) i avrebbe che tale peroa ci ha rimeo quale operatore, ma ha guadagato quale fiaiatore. Occorre quidi verificare e la perdita operativa è maggiore (o miore) ripetto al guadago i coto iterei. I altre parole: ache u progetto che riulta operativamete i perdita, potrebbe riultare globalmete coveiete (per il oggetto ia operatore, ia fiaiatore), qualora il guadago i coto iterei foe particolarmete coitete. F/r-1) Idice di profittabilità (IP) L idice di profittabilità (idice di tipo relativo) è dato dal rapporto tra la omma di tutte le etrate attualiate e la omma di tutte le ucite attualiate (operado i capitaliaioe compota, coveioe epoeiale, al tao di iteree i). Idicado allora co Z le pote poitive, e co C S quelle egative, i ottiee (approimado quado occorre, per gli ievitabili arrotodameti) : IP = Idice di profittabilità = C (1 + i) (1 + i) Operado allora co riferimeto al eguete progetto P/7, al tao del 5%, i ottiee: Progetto P/7) (1 + i) = ,67 +95,2 =121,69 1,5 1 1, 5 3 C (1 + i) = , ,84 = 11,84 (1 + i) 121,69 IP = Idice di profittabilità = 1, 9789 C (1 + i) 11,84 = 9

10 L idice di profittabilità può eere iteo come il fattore moltiplicativo che deve eere applicato alla omma delle pote egative (attualiate) ode otteere il valore della omma delle pote poitive (attualiate). Si ottiee ifatti (emplicemete ricrivedo i altro modo il rapporto che geera l idice IP): C (1 + i) IP = (1 + i) 11,84 1,9789 = 121,69 cioè a dire che il valore (attualiato) della omma delle pote poitive è dato dalla omma delle pote egative (attualiate) moltiplicato per l idice IP = No arebbe quidi bagliato affermare che il guadago etto (attualiato) geerato dal progetto P/7 arà pari al 9,789% del capitale ivetito (attualiato). I geerale i ottiee quidi che: - co IP<1 i ha u progetto i perdita (la perdita percetuale attualiata è miurata da: (1-IP) - co IP=1 i ha u progetto i pareggio (il valore attuale delle etrate eguaglia quello delle ucite) - co IP>1 i ha u progetto i utile (l utile percetuale attualiato è miurata da: (IP-1) dove occorre però ricordare l utile (o la perdita) percetuale o fa riferimeto all ao (o è quidi u tao di redimeto, o di perdita, auo), ma fa riferimeto all itera durata del progetto. L idice di profittabilità, operado el modo opra epoto (come u moltiplicatore ), è quidi u idice di tipo relativo (umericamete otteuto tramite u rapporto tra due gradee aolute) che permette di valutare facilmete il livello di coveiea di u progetto. NOTA 7). E tato preciato che, co IP>1 i ha u utile percetuale (attualiato) pari a (IP-1). Se quidi i avee, ad eempio, IP=1,3, i potrebbe affermare che il progetto coiderato forice, co riferimeto all itera durata del progetto, u redimeto del 3% (el eo opra preciato). No è comuque difficile calcolare l aalogo redimeto u bae aua operado ecodo la logica dei tai equivaleti. Se il progetto durae, empre ad eempio ai, i otterrebbe: IP(auale) = IP 1 = 5 1,3 1 =,5387 5,39 % F/r-2) - Tao itero di redimeto (TI). La pricipale limitaioe dell idice di profittabilità ha a che fare co la coideraioe che il valore percetuale di redimeto (o di perdita) di u determiato progetto fa temporalmete riferimeto all itera durata del progetto, di coeguea progetti o omogeei per durata o pooo eere cofrotati ulla bae di tale idice. 15 Molto meglio arebbe potere diporre di u idice di celta che miurae (che tetae di miurare) il redimeto percetuale (ui capitali impiegati) per oguo degli ai durate i quali i protrae l ivetimeto. 15 ) Se, ad eempio i otteee: IP A =1,3 e IP B =1,1 i potrebbe olo affermare che il progetto A (empre operado ui dati attualiati) codurrà ad u guadago pari al 3% dei capitali impiegati, metre il progetto B codurrà ad u aalogo guadago del 1%. Ma e il progetto A durae 5 ai e il progetto durae u olo ao, allora il progetto B riulterebbe eere il più coveiete (cotrariamete a quato embrerebbe idicare l idice IP). Tale evetualità o i preeterebbe e i due progetti foero omogeei per durata, oppure e, almeo, i utiliae, per etrambi i progetti, u idice di redimeto riferito alla tea cadea temporale. 1

11 Coideriamo uovamete u geerico progetto ecoomico-fiaiario: epoche: t = t 1 t 2... t capitali: C C 1 C 2... C fiato il tao i i può calcolare il valore del EA (come vito i precedea): 1 = = + t EA( i ) C C (1 i) = C v, co t (1 + i) = = = t v 1 = (1 + i ). Iveramete operado, fiato il valore del EA, i può calcolare il valore del tao i che verifica l equaioe impotata. Ad eempio, poedo EA=, i ottiee le otto idicata equaioe: = C 1 (1 + i) t = = C (1 + i) = Co la deomiaioe di Tao Itero (TI) 16 viee idicato il tao i che aulla l equaioe opra epota. Si tratta, quidi, del valore umerico da aegare al tao i affiché i aulli il valore del EA. Il valore del tao itero però, oltre ad aullare il EA: - aulla ache il redimeto ecoomico del progetto, valutato a qualiai epoca t; - determia che l idice di profittabilità ia pari ad uo; - eguaglia il valore attuale di tutte etrate al valore attuale di tutte le ucite. - forice u aldo fiale di caa ullo (S (i) = ) - permette di calcolare velocemete la omma di tutti i aldi di caa (S (i), =, 1,, ). Ad eempio, dato il otto idicato progetto P/8: ai Progetto P/8) pote i ottiee (operado al tao itero del 1%): - EA (1%) = ,182 42, ,793 = 1,1 1 1,1 2 1, edimeto ecoomico all epoca t, valutato al tao i EA(1%) (1+,1) t = (1,1) t = - (1 ) + i 98,182 24, ,975 IP = Idice di profittabilità + = = = 1 C (1 + i) , , ) Il Tao itero (TI) viee peo chiamato: Tao implicito (TI), oppure Iteral rate of retur (I), eccetera, per arrivare (co le dovute accortee) al Tao Auo Effettivo Globale (TAEG). 11

12 - aldi di caa (tutti valutati al tao del 1% auo): S (1%) = - 8 S 1 (1%) = - 8 (1+,1) + 18 = +2 S 2 (1%) = + 2 (1+,1) - 52 = -3 S 3 (1%) = - 3 (1+,1) + 33 = - omma di tutti i aldi di caa (ecluo l ultimo, che o geera iterei): S + S 1 + S 2 = = - 9. Tale valore (-9) poteva ubito eere otteuto dividedo la omma algebrica di tutte le pote C per il valore del tao itero (ivertedo il ego): C = = = = 9 TI,1,1. L iieme di tutte le coideraioi appea epote (che o approfodiamo ulteriormete, per o appeatire ecceivamete l epoiioe) permette di affermare che il progetto coiderato produce iterei al tao auo del 1% (eedo l ao l uità temporale che è tata prea a riferimeto). L idice del valore del Tao Itero (TI) è quidi u idice di tipo relativo (miura quati iterei vegoo geerati da ogi euro impiegato el progetto, per oguo degli ai prei i coideraioe) e riulta quidi accettabile ache i preea di cofroto tra progetti o omogeei (é per durata, é per capitale iiiale) i quato il riferimeto dell idice, lo ricordiamo uovamete, è relativo a ogi igolo euro e a ogi igolo ao 17. Nel cao i cui il progetto coiderato ia ad eempio u ivetimeto arà allora lecito affermare che quel progetto forice u redimeto auo percetuale pari al valore del Tao Itero 18 Le caratteritiche appea decritte del Tao Itero e hao determiato il ucceo quale idice di celta. Ache troppo. Nel eo che molte oervaioi (epote elle ote egueti) devoo eere teute preeti, igorado le quali i corre il richio di effettuare celte e valutaioi aolutamete ieate. NOTA 8). Il valore umerico del tao itero i ottiee riolvedo l equaioe: EA(i) =. Tale equaioe è però olitamete di grado elevato, ormalmete o riolvibile i modo eatto (ma olo utiliado procedure di calcolo approimato) e coduce (abbataa peo) ad idividuare molti diveri valori del tao che riolvoo l equaioe 19. Per utiliare il valore del Tao Itero quale 17 ) Ovviamete e il Tao Itero, ivece che uitario, foe epreo i forma percetuale, il riferimeto arebbe o a u euro, ma a ceto euro (empre per ogi ao). 18 ) Per maggiore preciioe occorrerebbe però ipotiare che ache gli evetuali aldi di caa attivi vegao reivetiti ad u tao di redimeto pari al Tao Itero. 19 ) Per il teorema fodametale dell algebra ua equaioe algebrica di grado ammette i totale oluioi, emplici o multiple, reali o complee. Il umero maimo di oluioi reali ditite arà quidi pari ad, ma potrebbero ache eere pari a ero (l equaioe o è riolvibile, e o el campo dei umeri o reali). La ricerca delle oluioi è facile per equaioi di primo o di ecodo grado, poi la facceda i complica empre più, riultado a volte di impoibile rioluioe. Per tale motivo ci i accoteta di oluioi umeriche approimate otteute utiliado procedure di calcolo ricorive (metodo degli eri, metodo ecati e tageti, eccetera). 12

13 idice di celta il uo valore deve però eere uico 2, da cui il uggerimeto (per molti Autori: la eceità) di utiliare il criterio di celta baato ul Tao Itero olo ei cai i cui ogi progetto coiderato poieda u olo tao Itero NOTA 9). Il valore umerico del tao itero miura l ammotare degli iterei che il progetto geera. Ma queti iterei verrao icaati (el quale cao, meglio u Tao Itero di valore elevato), o dovrao eere pagati (el quale cao, meglio u Tao Itero di valore bao). 21 Ovviamete dipede dal fatto che i abbia a che fare co u progetto di Ivetimeto, oppure di Fiaiameto. iulta quidi idipeabile apere e i progetti coiderati oo tutti progetti di Ivetimeto, oppure tutti progetti di Fiaiameto. Ma le defiiioi di Ivetimeto e di Fiaiameto oo molte e peo i progetti coiderati o oo é l uo, é l altro (progetti miti). Se o i riece a qualificare i progetti come tutti ivetimeti, oppure tutti fiaiameti, e tutti co u olo valore del tao itero, il criterio i quetioe o può eere utiliato. 22 NOTA 1). Già è tato egalato (i veda la Nota.6) che arebbe bee ditiguere il guadago otteuto dall operatore, dal guadago icaato dal fiaiatore. Il primo (operatore) guadagerà (alla fie del progetto) il valore forito dal aldo di caa fiale S (i), il ecodo (fiaiatore) icaerà tutti gli iterei geerati dal progetto (calcolati al tao i). iprededo allora i coideraioe il progetto P/7, che per comodità riportiamo: ai Progetto P/8) pote i ottiee: A) operado al tao auo del 1% (come già evideiato): - Guadago dell operatore. Saldo di caa S 3 (1%): S (1%) = - 8 S 1 (1%) = - 8 (1+,1) + 18 = +2 S 2 (1%) = + 2 (1+,1) - 52 = -3 S 3 (1%) = - 3 (1+,1) + 33 = Il guadago (fiale) dell operatore è quidi pari a: S 3 (1%) = 2 ) Eitoo diveri tipi di progetti che garaticoo la eitea e la uicità del tao itero, quale, ad eempio la clae degli ivetimeti i eo tretto (l ultima delle ucite precede temporalmete la prima delle etrate). Molti tudi oo tati fatti i propoito (o citiamo eache tutti i riultati che oo tati idividuati i materia). Oggi i preferice peo utiliare dei programmi automatici di calcolo umerico (itallabili u qualiai peroal computer) che permettoo di getire abbataa bee queta quetioe (abbataa,, igifica: o empre). 21 ) Più propriamete i parla di Tao Itero di edimeto (TI) quado i ha a che fare co u progetto di ivetimeto, e di Tao Itero di Coto (TIC) quado i tratta di u fiaiameto. 22 ) Aai peo i progetti di tipo fiaiario (acquito di obbligaioi, acceioe di u mutuo, piao di cotituioe di u capitale, eccetera) hao caratteritiche tali che garaticoo l uicità del Tao Itero. I progetti di tipo aiedale (ivetimeti pubblicitari, apertura di uove filiali, eccetera) pooo codurre alla eitea di più tai iteri. Ache i tali ituaioi è però poibile operare riolvedo ovete (almeo i parte) il problema i quetioe. 13

14 - Guadago del fiaiatore. Iterei geerati dal progetto (calcolati ui aldi di caa, ecluo l ultimo, che o geera iterei eedo impiegato per u periodo di tempo ullo): - (S + S 1 + S 2 ) 1% = - ( ) 1% = - (-9) 1% = 9. - Somma dei guadagi dei due operatori (uguale alla omma algebrica di tutte le pote): Guadago dell operatore + Guadago del fiaiatore = + 9 = 9 co: C = = 9 = Si ottiee quidi che operado al tao del 1% l operatore o guadagerà ulla (aldo fiale S 3 (1%) = ), metre tutto il guadago forito dal progetto (9) adrà al fiaiatore 23. Il valore del Tao Itero (1%) miura quidi l idice di redimeto per il fiaiatore. All operatore o ulla. Del reto, operado a u tao pari al Tao Itero il EA(TI) arà ullo, e quidi ullo arà ache il valore del aldo di caa fiale (S 3 (1%) = ). B) operado al tao auo del 5% (ad eempio): - Guadago dell operatore. Saldo di caa S 3 (5%): S (5%) = - 8 S 1 (5%) = - 8 (1+,5) + 18 = + 24 S 2 (5%) = + 24 (1+,5) - 52 = -26,8 S 3 (5%) = - 26,8 (1+,5) + 33 = + 4,86 Il guadago (fiale) dell operatore è quidi pari a: S 3 (5%) = + 4,86 - Guadago del fiaiatore. Iterei geerati dal progetto (calcolati ui aldi di caa, ecluo l ultimo, che o geera iterei eedo impiegato per u periodo di tempo ullo): -(S + S 1 + S 2 ) 1% = -( ,8) 5% = -(-82,8) 5% = + 4,14. - Somma dei guadagi dei due operatori (uguale alla omma algebrica di tutte le pote): Guadago dell operatore + Guadago del fiaiatore = 4,86 + 4,14 = 9 co: C = = 9 = Si ottiee quidi che operado al tao del 5% l itero guadago forito dal progetto (9) arà coì ripartito: l operatore guadagerà 4,86 (aldo fiale S 3 (5%)), il fiaiatore guadagerà 4, ) Il guadago per il fiaiatore arà quidi dato dagli iterei calcolati ui aldi di caa (ia di importo poitivo, ia di importo egativo). 14

15 Segaliamo ioltre che il guadago a favore dell operatore, S (i), e attualiato al tao i, forice il valore del EA(i), e vicevera. Ad eempio: EA ( 5% ) = ,857 47, ,57 = 4,198 1,5 1 1,5 2 1, 5 3 EA(5%) = S 3 (5%) (1,5) -3 4,86, ,198 S 3 (5%) = EA(5%) (1,5) 3 4,198 1, ,86 icordiamo ifie che la omma dei aldi di caa (ecluo l ultimo, ivertedo i egi) può eere otteuta dalla eguete relaioe: omma dei aldi di caa (ecluo l ultimo) = co (per verifica): = C i S (i) 9-4, 86 = = 82,8,5 -- [S (5%) + S 1 (5%) + S 2 (5%)] = - [ ,8] = - [ -82,8] = + 82,8. Tali ultime coideraioi permettoo di meglio aaliare il redimeto (o i coti), ache al variare del tao i, ia per l operatore, ia per il fiaiatore. NOTA 11). L idice del Tao itero riulta molto utiliato, peo a ragioe. Peccato che ia raioalmete utiliabile olo per particolari tipi di progetti. Il guaio è che ovete viee impiegato ache quado o arebbe opportuo. Meglio comuque, i ogi cao, arebbe operare co due diveri tai di iteree (igolarmete utiliati ui aldi di caa attivi o paivi). L aalii dettagliata e completa della redditività di u progetto preupporrebbe, i geerale, l impiego di diveri idici e della relativa aalii cogiuta. 2.4) Cocluioi. Quato riportato i quete brevi ote o eaurice aolutamete l iieme delle quetioi che dovrebbero eere affrotate per giugere ad ua eauriete aalii circa la maggiore (o miore) coveiea di progetti ecoomico-fiaiari. Bati peare, ad eempio, che: - la coveiea di u progetto o dipede olamete dalla ua redditività; - i progetti coiderati be difficilmete oo di tipo determiitico, ma cotegoo gradee aleatorie co riferimeto alle quali occorrerebbe coiderare i coei richi; - le codiioi all itero delle quali i opera pooo variare el tempo, modificado di coeguea le ipotei iiiali e le relative celte; - ua aalii di tipo tatico (quale quella trattata el teto) è be divera da ua aalii di tipo diamico; - molto peo o i deve idividuare il progetto più coveiete, ma il portafoglio ottimo (combiaioe di più progetti cotemporaeamete realiati). Di tutte tale quetioi (e di altre acora) i è a lugo dibattuto, e acora i dicuterà i futuro. Il modo diveta empre più compleo, e ugualmete più complee riultao eere le aalii coegueti. 15