Soluzioni semplici delle equazioni di Navier- Stokes per flussi viscosi incompressibili

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1 Capitolo 7 Soluioni semplici delle equaioni di Naie- Stokes pe flussi iscosi incompessibili Le equaioni di Naie-Stokes (NS) in foma ettoiale pe flussi incompessibili (ρ=cost.) di fluidi Newtoniani sono (eq.3.4 e 3.8): Du ρ = p μ Dt u = u ρg Il poblema pincipale nella isoluione delle equaioni di NS sta nella non lineaità dei temini conettii ( u ) u ce endono impossibile la deteminaione di soluioni analitice. In alcuni casi, i temini non lineai possono essee tascuati e isulta possibile deteminae delle soluioni analitice esatte. Tale appoccio è ifeito sempe al caso di flussi laminai in quanto la natua aleatoia delle fluttuaioni di elocità nel caso tubolento, ende in ogni caso impossibile la soluione analitica. 7. Flusso laminae ta laste piane paallele y x u g Si considei il flusso ta due laste paallele a distana. Scegliamo il sistema di ifeimento come in figua, cioè con l asse x ce passa pe l asse di simmetia del condotto. Il flusso si muoe paallelamente alle laste (da sinista eso desta) ed a la sola componente lungo x diesa da eo. 456

2 Pe la geometia della figua si a quindi: u = ( u; ; w ) = ( u; ; ) cioè l unica componente diesa da è quella paallela alle laste (asse x). Dalla equaione di continuità si a: u x = Essendo le laste infinite e consideando il flusso staionaio, si aà ce u dipende solo da y u = u( y). Peciò, essendo: =, =, =, =, =, =, w = t x x le equaioni di Naie-Stokes scitte pe componenti, in questo caso paticolae, si semplificano nel modo seguente: = μ P u x y P = gρ y P = (7.a) (7.b) (7.c) (7.) aendo consideato come unica foa di massa agente, la foa di gaità. Dalle elaioni (7.b) e (7.c) si può edee, integando, come la pessione P può essee espessa nel modo seguente: Pxy (, ) = ρ gy f ( x) (7.) doe f ( x)è una funione abiaia di x. Questo significa ce, fissato x, la pessione aia idostaticamente nella dieione y. Dalle elaioni (7.a e 7.), si a: d u P df = = d y μ x μ dx ce può essee facilmente integata nel modo seguente: du dy = P x y c u(y) = P x y c y c (7.3) μ μ 457

3 Da notae ce nell integaione in y, gaie alla elaione (7.) è stato possibile consideae il temine P come una costante. Le costanti c e c possono essee x deteminate dalle condiioni al contono ce sono: u= pe y= ± (le due laste sono fisse) Si ottiene quindi: P c =, c = - μ x da cui si ottiene finalmente la elaione finale: u(y) P = ( y ) (7.4) μ x Il pofilo di elocità è quindi paabolico in y. La elocità massima si a sull asse di simmetia ed è data dal aloe di u pe y= (pe come abbiamo scelto il sistema di ifeimento). Si a quindi: u - P max = μ x La potata in olume ta le due laste può essee ottenuta come: Q= udy = 3 P Q= 3μ x P ( y ) dy μ x da cui 458

4 Si noti ce la potata dipende fotemente dalla distana ta le laste ( 3 ). Si noti inolte ce il temine P è sicuamente negatio pecé, pe effetto delle pedite, la pessione x diminuisce lungo x. Supponendo ce P(x) abbia un andamento lineae, la caduta di pessione lungo un tatto di tubo di lungea ΔL può essee calcolata dalla elaione: ΔP ΔL = P e quindi la potata saà: x Q= 3 Δ P 3μ ΔL Applicando la conseaione della massa possiamo deteminae la elocità media come appoto ta la potata e la distana ta le laste : U= Δ P 3μ ΔL e dalla elaione ista sopa pe la elocità massima si ottiene: umax = 3 U E oio ce pe endee i isultati indipendenti dai paameti paticolai (gadienti di pessione, distana ta le laste, elocità media ecc.) è oppotuno sciee la elaione (7.4) in temini adimensionali. Nomaliando la elocità ispetto a u max si ottiene: u(y) u max = P μ x P μ x ( y ) y = (7.5) Questo isultato a alidità uniesale pe qualsiasi condiione di flusso, l impotante è ce le condiioni al contono e le ipotesi di patena siano sempe alide. E ciao ad esempio, ce quanto isto fin oa ale se il flusso consideato è laminae. Pe la geometia consideata, la condiione di laminaità può essee data in temini di numeo di Reynolds (Re) definito sulla base della distana ta le laste (). Da analisi speimentali si a ce la condiione di laminaità è ispettata cica pe Re<4. 459

5 7. Flusso di Couette Il flusso di Couette è molto simile al caso del paagafo pecedente. Abbiamo ancoa un flusso laminae ta due laste piane paallele ma l unica diffeena è ce oa une delle due laste si muoe paallelamente all alta con elocità elatia V. V y x u b g Staolta, pe semplificae i conti, ciamiamo con b la distana ta le laste e consideiamo l oigine degli assi in coispondena alla lasta infeioe ce supponiamo essee fema. Le equaioni di Naie-Stokes, si semplificano esattamente come nel caso pecedente (eq. 7. del paagafo 7.), ce ipotiamo di seguito pe comodità: = μ P u (7.a) x y P = gρ (7.b) (7.) y P = (7.c) Ciò ce cambia ispetto al caso pecedente sono le condiioni al contono. Nel caso del flusso di Couette si aà infatti: u = pe y = (7.6) u = V pe y = b Integando l equaione (7.a) tenendo conto delle consideaioni pecedentemente fatte sul gadiente di pessione e tenedo conto delle condiioni al contono (7.6) si ottiene l espessione finale della elocità: V uy b y P ( ) = μ x ( y by) (7.7) Ance in questo caso possiamo espimee la elocità in foma adimensionale come segue: 46

6 uy ( ) y b P = V b μv x y b y b (7.8) Come si ede la elocità adimensionale uy ( ) y dipende dalla distana adimensionale V b attaeso il paameto adimensionale: b P C = μv x ce, tenendo conto ancoa una olta ce il gadiente di pessione lungo x è negatio, è una costante maggioe di eo. A seconda dei aloi di C, potemo aee diesi pofili di elocità: Velocità negatie V C= C= C= C=3 y C=-3 x Il caso piu semplice è oiamente quello di C= ce coisponde a gadiente di pessione nullo. In questo caso semplice, la soluione (eq. 7.7 o 7.8) dienta: uy ( ) = V b y in cui, come è oio, la elocità aia lineamente con y pe effetto della sola iscosità. Si noti ce pe C< si possono aee delle condiioni in cui il moto del fluido è in dieione negatia (il gadiente di pessione positio con x iesce a incee l effetto di tascinamento douto alla iscosità). Un caso eale ce può essee appossimato con un flusso di Couette è quello del flusso ta due cilindi concentici o eccentici di aggio poco dieso ta loo ed in moto elatio l uno ispetto all alto. Questo è un caso patico ad esempio di lubificaione ta cuscinetti. Se il meato è molto piccolo ispetto ai aggi ed il fluido è molto iscoso (ad es. olio lubificante) si possono utiliae ancoa le equaioni del moto di Couette, ponendo V = ω e b= Maggioi dettagli su questo aspetto di noteole impotana patica eanno dati in seguito. 46

7 ω b=- V=ω 46

8 Flusso di Poiseuille Consideiamo il moto laminae, assialsimmetico e staionaio di un fluido attaeso un tubo di seione cicolae costante e di aggio R. Data la geometia del poblema, è coneniente utiliae le coodinate cilindice (,,). Assumiamo ce = = essendo solo la componente di elocità non nulla. Le equaioni di Naie-Stokes e l equaioni di continuità, anno scitte in coodinate cilindice. Pe quanto iguada la continuità, si ottiene ce: =. Inote, pe la assialsimmetia e la staionaietà, si a: t = =. Questo significa ce è solo funione di cioè: = (). Le equaioni di NS scitte in coodinate cilindice, sono le seguenti (indiciamo con g, g, g, le componenti del ettoe gaità nelle te dieioni di ifeimento): Lungo : ρ ρ μ t P g = Lungo : = μ ρ ρ g P t

9 Lungo : ρ P = ρ g t μ Tenendo conto delle ipotesi fatte, il sistema di equaioni finale (le equialenti delle 7. iste pecedentemente) isulta essee: P = μ P = gρ cos P = gρ sen Integando le equaioni (7.9b) e (7.9c) si ottiene: (7.9a) (7.9b) (7.9c) (7.9) P = ρ g sen f( ) oppue P = ρ gy f ( ) ce indica come, pe fissato, la pessione sia distibuita idostaticamente lungo y (dieione eticale) e ce P non dipende da e. Tenendo conto di tutto ciò, l equaione (7.9c) può essee integata nel modo seguente: P P = = C μ μ P () = C ln C 4μ Da isolee con le condiioni al contono ce sono le seguenti: - Pe = (sull asse ) si dee aee elocità finita. L unico modo pecé ciò sia possibile è ce C =. - Alla paete (=R) la elocità dee essee nulla, pe cui: C P = R 4 μ La elaione finale è quindi: P ()= 4μ ( R ) 464 (7.)

10 In ogni seione tasesale, il pofilo è quindi paabolico. Pe ottenee la potata in olume Q, occoe integae : R P Q= d ( () R π = π ) d 4μ da cui si ottiene: R 4 πr P Q= 8 μ (7.) Si noti ce, come al solito, la potata è positia pecé P <. Inolte è inteessante notae la fote dipendena di Q da R (R 4 ). Consideando le cadute di pessione lineai lungo x, possiamo espimee il gadiente di pessione lungo una distana ΔL nel modo seguente: ΔP ΔL = P e quindi ottenee quella ce genealmente si ciama legge di Hagen-Poiseuille: Q= R 4 π Δ P 8μ ΔL (7.) (7.3) La elocità media può essee deteminata semplicemente diidendo la potata pe l aea: U Q R = R = DP π 8 μ DL (7.4) La elocità massima si ottiene inece sull asse del tubo (=) e quindi saà: R DP max = = U 4μ DL (7.5) In foma adimensionale, possiamo nomaliae la elocità ispetto a max, ottenendo: () max = (7.6) R Da questa espessione sono scompasi quindi i temini di iscosità e gadiente di pessione. 465

11 Il gadiente di pessione dà una misua della esistena al moto del fluido. Una misua di tale esistena è data da un paameto adimensionale, detto coefficiente (o indice) di esistena ce iene definito nel modo seguente: λ = P U ρ R (7.7) ce, tenendo conto delle (7.4) e (7.) dà: λ = 64 Re (7.8) essendo Re definito sulla base della elocità media e del diameto. Il coefficiente λ iene ance detto coefficiente di Fanning e dà una stima adimensionale delle pedite di caico doute all attito. Come isto in pecedena, queste consideaioni algono se il flusso è laminae. Attaeso analisi speimentali, si ottiene ce il limite in temini di Re (lungea caatteistica il diameto) è di cica. Questo significa ce olte questo limite, dopo una fase di tansiione, la legge (7.8) non è piu alida. Sulla base di dati speimentali elatii a tubi lisci in condiioni tubolente, Blasius a ottenuto la seguente fomula (è un fit di dati speimentali e non una fomula icaata da modelli matematici): 5 λ =. 364 Re. (7.9) Questa fomula è stata icaata da Blasius agli inii del 9, e non c eano a disposiione molti dati a numei di Re eleati. Infatti la elaione (7.9) si ede ce è in buon accodo con i dati speimentali pe Re<. Successiamente, gli studi compiuti sullo stato limite tubolento, potaono alla fomulaione di teoie ce danno (ancoa oggi) delle pediioni molto accuate sul pofilo di elocità. In paticolae, si è osseato ce nella egione molto icino alla paete, la elocità (u) aia lineamente con la distana dalla paete (y) mente pe distane maggioi (ma sempe dento lo stato limite) tale elaione dienta di tipo logaitmico. La cosiddetta legge di paete pe stato limite tubolento, può essee data come segue: u = y molto icino alla paete u = A log y B piu lontano dalla paete (ma sempe dento lo stato limite) aendo indicato con l apice le quantità adimensionaliate ispetto alle aiabili di paete (elocità di paete uς = ( τw / ρ) /, lungea caatteistica l = ν / uτ ) ed essendo A e B due costanti da deteminae con dati speimentali. 466

12 Sulla base di questi isultati, è stato possibile ottenee una fomula analitica di alidità piu geneale ispetto alla (7.9), e cioè: = log ( Re λ ) 8. (7.) λ Questa è detta legge uniesale di Pandtl ce a bene pe qualsiasi numeo di Re sempe pe tubi lisci tubolenti. 467

13 Da notae ce la fomula (7.) a isolta con un metodo iteatio (tipo metodo di Newton). Tutto ciò isto fin oa ale, come abbiamo detto, pe tubi lisci. Nel caso di tubi ugosi intoduciamo un nuoo paameto, ε, ce da un indicaione della dimensione media della ugosità su una paete. Ad esempio: Mateiale ε (mm) Plastica, eto Acciaio commeciale.45 Legno.8-.9 Sulla base dei dati speimentali, è stato possibile ottenee un diagamma geneale ce dà λ(re) con ε/d a paameto (cosiddetta cata di Moody o Apa di Nikuadse): 468

14 Da notae ce pe flussi laminai, la ugosità non a effetto mente dienta impotante pe flussi tubolenti e sopattutto ad eleati Re. Questo è oiamente legato alle dimensioni dello stato limite tubolento ce, al cescee del Re, dienta sempe piu sottile fino a dientae dello stesso odine o piu piccolo della dimensione ε. Sulla base dei dati speimentali pe tubi lisci e ugosi, è stato possibile ottenee una fomula di alidità ancoa piu geneale della legge uniesale di Pandtl (7.), ce fonisce la elaione f(re,λ,ε/d) ed è detta fit di Colebook: ε /D 5 = log λ 3.7. Re λ (7.) Ance questa elaione può essee isolta utiliando un metodo iteatio. 469

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16 7.4 Teoia della lubificaione Il flusso di Couette, studiato nel pa. 7., può essee esteso al caso piu geneale di un meato con facce non paallele iempito di olio lubificante (ad esempio pe studiae e dimensionae dei cuscinetti). Come edemo infatti, nella ona ta il cuscinetto e l albeo otante si geneano delle pessioni molto eleate (ance 3 o 4 atmosfee) ce danno un effetto di potana ce impedisce alle pati metallice di enie a contatto. Questo effetto è possibile solo se il meato è a seione non costante. Consideiamo il caso di un blocco inclinato in moto elatio ispetto ad una supeficie piana: y x (x) l U δ La supeficie è in moto con elocità U paallela all asse x e la dimensione tasesale () la consideiamo infinitamente lunga cosi il poblema dienta D. L angolo di inclinaione δ è molto piccolo il ce significa ce : x ( ) x ( ) << l (7.) l Possiamo semplificae le equaioni di Naie-Stokes agionando sugli odini di gandea. Infatti si a: x l y u U /u w/u 47

17 Nel caso in esame, il temine non lineae ρ u u non è nullo. Tuttaia possiamo mostae x ce pe la maggio pate dei casi di inteesse patico, il temine iscoso piu gande μ u è ancoa dominante. Infatti, calcoliamo il appoto ta questi due temini tenendo y conto ce il numeo di Reynolds tipico è definito come Re = ρ Ul : μ u ρ u foe di ineia x ρu /l ρul * = = = Re Re = = foe iscose u μu/ μ l l μ y doe Re * appesenta il cosiddetto numeo di Reynolds idotto. Se Re * << possiamo tascuae il temine di ineia ispetto a quello iscoso ed ottenee un equaione diffeeniale integabile e quindi una soluione analitica esatta. Ad esempio usando dei aloi agioneolmente icini alla ealtà, consideiamo U=m/s, l=.m, = -4 m, ν olio =4x -5 si ottiene: Re * =.5 Consideiamo oa le equaioni di Naie-Stokes semplificate tenendo conto degli odini di gandea e della condiione Re * <<. Teniamo conto ance ce le condiioni pe la pessione sono p(x=)=p e p(x=l)=p. (7.3) L unica equaione ce esta ci dà: dp dx u = μ (7.4) y Notiamo ce il gadiente di pessione lungo x non è costante pecé il meato a seione non costante peò, sulla base degli odini di gandea e dalla seconda equaione di NS, otteniamo ancoa ce dp = F( x) cioè questo temine può essee consideato costante in dx y e quindi può essee tattatto come una costante nell integaione in y dell equaione diffeeniale (7.4). L equaione di continuità in foma diffeeniale, può essee impiaata in questo caso dalla condiione ce la potata in olume in ciascuna seione del meato sia costante, e cioè: ( x) Q = u ( y ) dy = cos t (7.5) 47

18 Possiamo oa integae l equaione (7.4) tenendo conto ce le condiioni al contono pe la elocità sono: uy ( = ) = U (7.6) uy ( = x ( )) = Il gadiente di pessione doà inece soddisfae l equaione di continuità (7.5) con le condiioni al contono (7.3). Integando la (7.4) con le condiioni al contono (7.6), si ottiene: y dp uy ( ) = U μ dx y y (7.7) Come detto il gadiente di pessione dee essee deteminato in modo tale da soddisfae l equaione (7.5). Sostituendo la (7.7) nella (7.5) si ottiene (isolendo l integale): 3 U dp Q = μ dx (7.8) da cui si icaa: dp dx U Q = μ (7.9) 3 Integando questa elaione ta ed il geneico x, si ottiene: x x 6μU μ Q px ( ) = p( ) dx dx 3 (7.3) px ( ) = p( ) 6μ Ub( x) μ Qb( x) (7.3) aendo posto x x b x dx b x dx ( ) =, e ( ) = 3 Integando la (7.3) ta e l, e tenendo conto ce p()=p(l), si può ottenee una nuoa espessione della potata Q: Q U dx = l dx 3 l (7.3) 473

19 oeo Q = U H aendo definito l dx H = l dx 3 (7.33) (7.34) il cosiddetto spessoe caatteistico il cui significato fisico è eidente dalla elaione (7.33). Questa è una quantità ce caatteia il meato ed è molto impotante pe caatteiae l andamento della pessione. Infatti sostituendo l espessione di Q data dalla (7.33) nella elaione (7.9) si ottiene: dp 6μU H = (7.35) dx Quindi pe =H si a ce dp = e quindi la pessione a un massimo o un minimo. dx In genee è positio aee un eccesso di pessione (cioè p-p o >). Pecé ciò succeda si deono aee le seguenti condiioni: Supponendo ce p-p o = in x= e ce lo spessoe caatteistico H coisponda ad (x) calcolata in x H, si dee aee: (x) H x U x H P -Po dp/dx> dp/dx< 474 x

20 dp pe < x < xh ( x) > H > dx (7.36) dp pe xh < x < l ( x) < H < dx Si a cioè una ona doe dp > ed in cui la pessione aggiunge un massimo ce isulta dx essee molto eleato (ance 3 o 4 atmosfee). In effetti come si ede dalla elaione (7.3) l intensità dell eccesso di pessione è popoionale al appoto l/ e quindi se <<l può aggiungee aloi eleatissimi ce si oppongono all aione del caico esteno. Infatti, la pessione cosi eleata impedisce alle due supefici di enie a contatto. E inteessante notae ce pe ottenee un gadiente di pessione positio è necessaio ce ci sia un tatto conegente nel meato. Questo è un compotamento opposto ispetto ai flussi subsonici (Euleiani Re ) studiati nei capitoli pecedenti nel caso delle lubificaioni l effetto è legato alle foe iscose ce sono dominanti (Re =). Da quanto detto emege ce, nel caso di cuscinetti, è necessaio ce ci sia un eccenticità in modo da ottenee uno spessoe del meato ((x)) aiabile con x e quindi una ona conegente in coispondena della quale saà posiionato lo spessoe caatteistico H e quindi il massimo della pessione. =3cm Caico Pessione Ad esempio pe il sistema peno-cuscinetto in figua, ce ammettiamo lungo l =. m, l odine di gandea del caico ce può essee sostenuto è: ( 3 atm 3x 5 Pa) Caico 3x 5 x. x. 3 x 3 N cioè cica 3 Kg peso 475

21 E impotante notae ce quanto detto fin oa è alido se il poblema può essee consideato D. La componente di elocità lungo (ce indiciamo con w) è impotante se la lasta in moto possiede una componente di elocità in (ce indiciamo con W). L equaione di continuità dienta: x udy wdy = e in foma diffeeniale: x P ( ) ( ) μ x P U W = 6 (7.37) x 3 3 Questa elaione è ciamata equaione della lubificaione di Reynolds. Un alta limitaione all applicaione della teoia pecedente è legata al fatto ce, popio pe l aione delle foa iscose, si a un noteole aumento della tempeatua. Poicé un aumento della tempeatua causa una diminuione di μ, si può aee un aumento eccessio di Re * e quindi potebbe non essee piu lecito tascuae i temini non lineai. In effetti, attaeso studi speimentali, si è toato ce pe Re * =5 la coeione douta alle foe di ineia non supea il %, e quindi Re * =5 appesenta il limite di applicabilità della teoia qui pesentata. 476