Esercitazioni di Fisica (2013) Dr.ssa Alessia Fantini

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1 Esercitzioni di Fisic (013) Dr.ss Alessi Fntini Corso di Lure in Scienze Biologiche-cnle(M-Z) A.A. : 01/013 Docente del corso di Fisic: Dott.ss Alessi Fntini Dott.ss Alessi Fntini: Tel. Ufficio: Tel l. :

2 Grndezze fondmentli ed unità di misur del SI Grndezze (simolo) Unità di misur simolo tempo (t) secondo s lunghezz (l) metro m mss (m) chilogrmmo kg tempertur (T) kelvin K quntità di mteri (n) mole mole corrente elettric (I,i) mpere A intensità luminos (I v ) cndel (c,d) Tell di lcune grndezze derivte, con l corrispondente unità di misur nel sistem SI

3 Stesse grndezze dell tell precedente con le corrispondenti dimensioni, espresse in funzione delle 4 grndezze fondmentli: L, T, M, A Grndezze supplementri: Angolo: Rdinte(simolo rd): l'mpiezz, in rdinti, di un ngolo l centro di un circonferenz, è il rpporto fr l'rco sotteso dll'ngolo e il rggio dell circonferenz. π = π (rd) π (rd) π/ (rd) π/3 (rd) π/4 (rd) π/6 (rd) Angolo solido. Sterdinte (simolo sr): l'mpiezz, in sterdinti, di un ngolo solido l centro di un sfer, è dto dl rpporto fr l're dell regione dell superficie sferic sottes dll'ngolo solido e l're del qudrto costruito sul rggio dell sfer.

4 Esempi di Grndezze derivte: re (A) m volume (V) m 3 velocità (v) m s -1 L mggior prte delle grndezze derivte sono un moltipliczione o un divisione di grndezze di se. Alcune di esse hnno nomi prticolri. In questo modo, non solo si vede immeditmente l relzione che intercorre tr due grndezze, m, con un controllo dimensionle, è fcile verificre l possiile correttezz del proprio lvoro. Esempio: Equzione dimensionle: [G] = [L] [T] [M] c [I] d... Forz= m = mss ccelerzione Eq. dimensionle: [F] = [M] 1 [L] 1 [T] - N = kg m s - 1 N 1 kg s m

5 Esercizi nlisi dimensionle Esercizio 1: Supponimo di scrivere l posizione di un prticell che si muove con ccelerzione costnte l tempo t con l espressione: k m t n dove k è un costnte dimensionle )Mostrre con l nlisi dimensionle che tle espressione è corrett se m=1e n=. ) Può tle nlisi dre il vlore di k? ) L grndezz (cioè l posizione dell prticell ) h le dimensioni di un lunghezz => L Il termine (ccelerzione) h le dimensioni di un lunghezz per un tempo ll - => [LT - ] Il termine t che rppresent il tempo h nturlmente l dimensione di un tempo => [T] Il termine k è dimensionle ( non compre nell equzione dimensionle) Dimensionlmente si h quindi che l espressione divent: k m t n L = [LT - ] m [T] n che può nche essere riscritt come : L 1 T 0 = L n T n-m Le potenze di L e T devono essere le stesse per entrmi i lti dell espressione: 1) L 1 = L m => m = 1 ) T 0 = T n-m => n- m = n- = 0 => n = Quindi imo dimostrto che l espressione k m t n con m =1 ed n= è corrett. ) L nlisi dimensionle dell espressione in studio non può dre informzioni sul vlore numerico dell costnte dimensionle. Esercizio Considert l espressione m = rv dove m h le dimensioni di un mss, V le dimensioni di un volume, determinre le dimensioni di r e l unit di misur nel sistem SI. r, simolo che rppresent l densità di volume, h le seguenti dimensioni: r m / V=> [r]=[m] [L] -3 Quindi nel sistem internzionle SI l unità di misur dell densità di volume è : Kg/m 3.

6 Esercizio 3: Dto un tronco di cono di rggi R 1 ed R, ed ltezz h, ssocite le seguenti espressioni i) 1/3 πh (R 1 + R + R 1 R ) ii) π (R 1 + R ) iii) π (R 1 + R ) [h +( R 1 - R ) ] 1/ potem lle corrispondenti grndezze misurte: ) l circonferenz delle fcce pine di se ) il volume c) l re delle superficie curv Ricordimo che: Circonferenz => h le dimensioni di un lunghezz L Are => h le dimensioni di un lunghezz l qudrto L Volume => h le dimensioni di un lunghezz l cuo L 3 Anlizzimo or le dimensioni delle 3 espressioni, tenendo presente che R 1, R ed h hnno le dimensioni di un lunghezz e che π è un costnte dimensionle: i) Quest espressione h le dimensioni di un volume inftti: (R 1 + R + R 1 R ) => [L] => h (R 1 + R + R 1 R ) => [L] [L] = [L] 3 ii) Quest espressione h le dimensioni di un lunghezz => L inftti: (R 1 +R ) => [L] iii) Quest espressione h le dimensioni di un re inftti: (R 1 +R ) => [L] (R 1 -R ) => [L] h => [L] h +( R 1 - R ) => [L] => h R 1 R => [L] quindi π R R h R R L L 1 1 L In conclusione, effettundo l nlisi dimensionle delle tre espressioni possimo dire che l espressione i) è ssocit ll rispost ) l espressione ii) è ssocit ll rispost ) l espressione iii) è ssocit ll rispost c)

7 Conversioni delle unità di misur Principli unità di misur che non pprtengono l SI Il modo più semplice per convertire un vlore d un'unità di misur d un'ltr è quello di moltiplicrlo per il fttore di conversione espresso con le corrette unità di misur Notzione scientific Nell notzione scientific un numero viene espresso in potenze di 10 Per convertire un numero in un potenz di 10 (l se) il sistem è molto semplice. Esempio: il numero (ventisei milioni) può essere pensto come pri , ( essendo inftti pri ll'unità l potenz di zero di un qulsisi numero => 10 0 = 1). Se si spost l "virgol" verso sinistr, ogni spostmento di un cifr corrisponde ll'incremento di un'unità dell'esponente dell potenz di 10: , = , = 60000,0 10 =...= L conversione è in genere complet qundo il numero originrio risult espresso come un intero seguito d un certo numero di cifre dopo l virgol ( es: ). Qundo invece si vuole convertire un numero molto piccolo, cioè pri zero seguito d molti zeri dopo l virgol prim delle cifre significtive, lo spostmento dell virgol vviene invece verso destr e ciò si trmut in un decremento di un'unità dell'esponente dell potenz di 10. Si vrnno quindi esponenti negtivi. Esempio: 0, = 1, A volte può essere utile esprimere i numeri come potenze di 10 seguendo incrementi di multipli di 10 3 (cioè multipli di 1000). E' questo in genere il cso di risultti seguiti d un'unità di misur. In questo modo è più semplice l'espressione del risultto con suffissi opportuni dell'unità di misur di se. Un esempio chirirà qunto ppen ffermto. Esempio: Doimo esprimere in potenze 560 milioni di wtt ( W). Tle potenz si esprime come 5, W, tuttvi è nche vero che il wtt W mmette multipli: chilowtt (kw), pri 1000 W, megwtt (MW), pri 1000 kw ovvero W Si può quindi riscrivere 5, W come W, cioè 560 MW, sfruttndo il multiplo megwtt dell'unità di misur wtt.

8 Esercizio 1: Verific l correttezz dei fttori di conversione riportti di seguito e nel cso in cui sino sgliti, riportre finco i fttori di conversione estti: 1Mm = 10 6 m =====> (1Mm) = (10 6 m) = 10 1 m 1 Mm = 10 1 m 1 m = 10-1 Mm 1 km = 10 6 m 1 m = 10-6 km 1 cm = 10-4 m 1 m = 10 4 cm 1 mm = 10-6 m 1 m = 10 6 mm 1 μm = 10-1 m 1 m = 10 1 μm Esercizio 3: 1m = 10-6 Mm =====> 1m = (10-6 Mm) = 10-1 Mm 1km = 10 3 m =====> 1km = (10 3 m) = 10 6 m 1m = 10-3 km =====> 1m = (10-3 km) = 10-6 km Esercizio : Verific l correttezz dei fttori di conversione riportti di seguito: 1 Mm 3 = m 3 1 m 3 = Mm 3 1 km 3 = 10 9 m 3 1 m 3 = 10-9 km 3 1 cm 3 = 10-6 m 1 m 3 = 10 6 cm 3 1 mm 3 = 10-9 m 3 1 m 3 = 10 9 mm 3 1 μm 3 = m 3 1 m 3 = μm 3 Un nno luce (l) e l distnz che percorre un rggio luminoso (velocit c=310 8 m/s) in un nno (365 giorni). Qunto equivle un nno luce in metri? 1l c nno m s 365 giorni nno 4 ore giorno 60 min ore 60 s min m m Esercizio 4: Un turist itlino st guidndo l su utomoile ll velocità di 90 Km/h lungo un utostrd mericn, dove il limite di velocità imposto è di 50 migli orrie. L utomoile incontr un pttugli di polizi, cos succederà? E se l mcchin ndsse 43 m/s??? Ricordimo che 1miglio = 1609 metri => 1 m= 1/1609 mi 1) Cso in cui il turist h un velocità di 90 Km/h Convertimo i Km in migli: 90 Km = m =90000 * 1/1609 mi = 56 mi (55.93 in reltà) L utomoile st quindi viggindo 56 mi/h => ell mult! ) Se l mcchin ndsse 43 m/s: 43 m/s = 43/1609 mi/s = 43/(1609* 1/3600) mi/h = 43*3600/1609 mi/h = 96 mi/h L utomoile st ndndo 96 mi/h => forse il turist verrà rrestto! Per risolvere più velocemnet e il prolem potevmo vedere qunti km/h corrisponde il limite di velocità: In questo cso si convertono le migli in km => 50 mi/h = 50 * 1609/1000 km/h = 80.5 Km/h e si vede suito che il turist st superndo, con i suoi 90 Km/h il limite di velocità. Per l second domnd isogn convertire i secondi in ore ed i metri in km : 43/1000 Km/s= *3600 Km/s= 155 km/h L utomoilist sree stto multto nche su un utostrd itlin! (limite di 130Km/h)

9 Esercizio 5: Dl sito NBA risult che l'ltezz del gioctore Yo Ming è 7 piedi [ft] e 5 pollici, Esprimere ltezz del cestist nel sistem SI. Indichimo le unità di misur tr prentesi qudre. L'ltezz h è: h=7 [ft]+ 5[in] Le telle di conversione indicno che: 1 pollice = 1 [in] = m 1piede = 1 [ft] = m h = m m =.1336 m+0.17 m =.6 m Esercizio 6: Per il collegmento stellitre d Internet intendete dotrvi di un ntenn prolic. L legislzione itlin impone che l potenz emess per unità di superficie non superi i 0.10 W/m se l'ntenn è instllt in un miente chiuso. L vostr ntenn prolic h un dimetro D di 10 cm ed emette un potenz P pri 10 mw. L potete tenere in cs o l dovete instllre sul tetto? Clcolimo l potenz emess per unità di superficie dll nostr prol. L're A dell "prol" è: A= p(d/) = 78.5 cm L potenz P per unità di superficie è quindi: P/A=10/78.5mW/cm =0.174 mw/cm - Per confrontrl con il vlore mssimo consentito dll legge doi trsformre il vlore in W/m : 1 mw = 10-3 W, 1 cm - =(1 cm) =(10 - m) = 10-4 m ==> P/A=0.174 mw/cm - = W/ 10-4 m = W/m = 1.74 W/m > 0.10 W/m L ntenn quindi non potrà essere montt in un miente chiuso Esercizio 7: L Terr ruot su se stess compiendo un giro in 4 ore. Di qunti grdi si spost in un minuto? Esprimi il risultto in grdi, poi in minuti d rco e infine in secondi d rco. L Terr ruot di 360 in 4 ore. Ricordndo che 1min è un frzione pri 1/(4 60) di giorno ===> 1min=1/1440 giorni = giorni L terr dopo un minuto srà quindi ruott di 1/ =0.5 e, poiché 1 = 60 (minuti di rco) e 1 = 60 (secondi di rco), si vrà che l rotzione dell Terr dopo 1 minuto è pri 0,5 ( = ) o, espress in minuti d rco, 15 (=15 60 ) o in secondi d rco ,5 = 15 = 900.

10 Oridini di grndezz L ordine di grndezz è l potenz di 10 più vicin l vlore rele dell misur. Esercizio 1: Determinre l rdine di grndezz dei seguenti numeri: 1)143 ) ) ) )0.9 6) ) (centinio) ) (decine) 3) (millesimi) 1) (decine di miglii) ) (unità) 3) (centini di milirdi) Esercizio : Le msse dell terr e dell lun, rispettivmente, Kg e Kg. Qul è l'ordine di grndezz del loro rpporto? L mss dell Terr è di due ordini di grndezz mggiore dell mss dell lun Esercizio 3: Se un cuore umno tte 70 volte l minuto, qul e l migliore stim del numero di ttiti in 80 nni? c nni 365 d/nno 4 h/d 60 min/h 70 ttiti/min = ttidi di cuore d e L stim migliore è quindi 10 9, cioè l rispost e. Esercizio 4: Stimre qunto spzio si vree disposizione se le terre emerse venissero suddivise equmente tr tutti gli itnti dell Terr. Rggio terrestre ~ 6000 km Superficie terrestre = 4p (6000km) ~ km Aitnti dell Terr ~ 5 milirdi=10 9 Le terre emerse sono ~ 1/3 superficie terrestre ~ 1/ km ~ 10 8 km ; Quindi lo spzio per person è: 10 8 km / itnti ~ 0000 m per itnte (cioè circ ettri)

11 Cifre significtive Un cifr significtiv nel vlore numerico che rppresent un grndezz è un cifr che non si uno zero inizile o finle, gli zeri finli contno se seguono il punto decimle h 4 cifre significtiv h 4 cifre significtive 3,14 h 3 cifre significtive h 4 cifre significtive L cifr più destr dott di significto è dett cifr meno significtiv (negli esempi precedenti le cifre meno significtive sono: 7,6,4,8 rispettivmente) Il numero di cifre con il qule si esprime un misur dipende dll precisione dell misur stess ed è un indiczione indirett dell entità dell errore. Misurndo l lunghezz di un tvolo con un rig millimetrt, non si potrà ottenere un vlore del tipo: 1803,3 mm (non si può misurre l lunghezz con un precisione del decimo di millimetro) nell moltipliczione e nell divisione di due numeri il risultto h un numero di cifre significtive pri quello dell meno precis tr le grndezze in gioco. ( in prole povere il numero di cifre significtive del risultto è ugule l numero di cifre significtive dell grndezz che ne h di meno) (0,456s)(7.8m)/9.013=0.39s nell somm e nell sottrzione di due numeri il risultto è dto dl numero di cifre decimli del numero che ne h di meno 8,5675kg kg=0.011 kg 0.03s+11.6s=11.6s

12 Are di un pitto: Esercizio : Un iologo st riempiendo un pitto rettngolre con un coltur in crescit ed h isogno di conoscere l re del pitto. L lunghezz del pitto misur 1.71 cm e l lrghezz misur 7.46 cm. Si trovi l re del pitto. Are= l 1 l = A (qunte cifre significtive?) Se per clcolre l re usimo l clcoltrice il risultto che ottenimo è => = (6 cifre significtive!!!!) M questo numero così preciso nell reltà dell misur non h molto senso. Noi conoscimo le due lunghezze con un precisione di l mssimo 0.01 cm non è quindi possiile ottenere d queste due misure un misur dell re con un precisione di cm. L regol che isogn pplicre è quell di considerre nel risultto di un moltipliczione un numero di cifre significtive pri l più piccolo numero di cifre significtive dei fttori. Quindi: 1.71 => 4 cifre significtive 7.46 => 3 cifre significtive => questo srà il numero di cifre significtive del prodotto A=94.8 cm ( 3 cifre significtive) Esercizio: Un st di legno viene costruit incollndo ssieme tre pezzi, il primo di lunghezz l 1 =0,6 cm, il secondo l = 1,4 cm e il terzo l 3 = 6,164 cm. Qul è l lunghezz dell st? L= l 1 +l +l 3 l clcoltrice dà: L =38.84, m in numero di cifre decimli del totle non può essere superiore quello dell lunghezz misurt con meno precisione (l ). Quindi il numero di cifre decimli del risultto non può essere mggiore di 1. L=38.8 e le cifre significtive sono 3

13 Operzioni con i vettori 1) Somm r = + Proprietà commuttiv r=+=+ r Proprietà ssocitiv r=(+)+c=+(+c) c c c r r r r r = (+)+c =r +c = +(+c) = +r L somm di due o più vettori è ncor un vettore. Durnte l operzione di somm tr vettori non è importnte l ordine degli ddendi (proprietà commuttiv) nè il modo in cui gli ddendi vengono rggruppti (proprietà ssocitiv).

14 1) Differenz r= -= +(-) r r r Coordinte crtesine Vengono utilizzte per descrivere l posizione di un punto su un pino ( dimensioni) o nello spzio (3 dimensioni) Versori crtesini: Vettori unitri (moduli i=j=k=1) diretti rispettivmente lungo gli ssi crtesini,,z Ogni vettore può essere descritto medinte le sue componenti crtesine. C = C cos q C = C sin q C = C î + C ĵ Modulo: C C C C ĵ C q Direzione: tn θ C C C î Un vettore C in un pino che form un ngolo q ritrrio con l sse delle può essere espresso in termini delle sue componenti ortogonli C ed C. L componente C rppresent l proiezione di C lungo l sse delle mentre l componente C rppresent l proiezione di C lungo l sse delle. Le componenti del vettore che sono grndezze sclri possono essere si negtive che positive. Il modulo del vettore è dto dll rdice qudrt dell somm dei qudrti delle due componenti.

15 Esercizio 1: Un piccolo ereoplno decoll d un ereoporto in un giornt nuvolos e viene vvistto più trdi 15 km, in un direzione che form un ngolo di verso est rispetto l nord. A che distnze verso nord e verso est si trov l ereo qundo viene vvistto? Per trovre le componenti di d considero l ngolo θ = 90 - =68 d cui si ottiene: d d d cos θ d sin θ 15Km cos 68 15Km sin 68 81Km 199Km L ereo è quindi loclizzto 199 km verso nord e 81 km verso est, rispetto ll ereoporto. Esercizio : Dti i seguenti vettori: A di modulo 1 m in direzione ovest B di modulo 18 m inclinto di 60 rispetto ll sse positivo delle C di modulo 15 m inclinto di 330 rispetto ll sse positivo delle Clcolre il vettore somm S=A+B+C - Il vettore A h solo componente lungo e tle componente è negtiv in qunto rivolto verso ovest (e quindi lungo le negtive) A A 0m - Il vettore B h componenti: 1m B B B cos 60 B sin 60 18m 0.5 9m 18m m - Il vettore C h componenti: C C C cos 330 C sin m m m 7.5m NB : cos330 =cos (p-30 )=cos30 sin330 =sin (p-30 )=-sin30 L somm dei tre vettori è dt d: S i S S z j S S A A B B C C 1m 9m 13m 10m 0m m 8.1m L direzione del vettore somm è definit dll ngolo che tle vettore form con l sse delle e tle ngolo è dto d: S 10m θ rctg rctg 51 S 8. 1m

16 r Operzioni con i vettori 1) Prodotto di uno sclre per un vettore r c È un vettore,che h : modulo pri l prodotto del vlore ssoluto di c per il modulo di direzione pri quell di verso pri quello di se c>0 o opposto quello di se c<0 vettore Numero rele ) Prodotto sclre tr due vettori s cos θ sclre È uno sclre s, il cui vlore è definito dll espressione cosq dove q è l ngolo formto di due vettori e Proprietà commuttiv: Proprietà distriutiv: c c In prticolre: 0 Tr due vettori ORTOGONALI (q=90 ) Tr due vettori PARALLELI (q=0 ) 3) Prodotto vettorile tr due vettori r r È un vettore,che h : modulo r sin θ dove q è l ngolo minore compreso tr e direzione ortogonle l pino definito di due vettori verso definito dll regol dell mno destr (vite destrors) Con le dit dell mno destr si f girre il vettore verso il vettore. Il pollice indic l direzione del vettore r. e vettore In prticolre: Tr due vettori ORTOGONALI (q=90 ) 0 Tr due vettori PARALLELI (q=0 ) 0

17 Esercizio 1: Qul è l ngolo compreso tr i vettori: 3î 4ĵ î 3kˆ Sppimo che: cos θ cos θ Dove q è l ngolo compreso tr i due vettori e z ĵ kˆ q î Clcolimo i moduli dei due vettori : z 3 ( 4) z ( ) Poichè sppimo che il prodotto sclre di due vettori è dto dll somm del prodotto delle componenti dei due vettori: zz Possimo scrivere: z z cos θ θ cos 110

18 Esercizio : Dimostrre l equivlenz tr le due formule reltive l prodotto sclre: z z cos θ dove θ è l' ngolo tr e Per semplicità considerimo i due vettori entrmi gicenti sul pino (cioè z = z =0) φ θ φ cos sin φ cos φ φ sin φ cos φ cos φ cos φ cos φ sin φ sin φ sin φ sin φ M per un not proprietà trigonometric: cos φ cos φ sin φ sin φ cosφ φ Quindi: cos φ φ Poichè nell formul cos θ q è l ngolo tr i due vettori cioè q=f -f Ritrovimo l formul: cos θ Aimo quindi dimostrto l equivlenz: z z cos θ

19 Esercizio 3: Dti 3 vettori coplnri 1) c 0 ) c 0 3) // c 4) c Andimo d nlizzre le possiili risposte un d un:,, c, quli delle seguenti ffermzioni è ver: 1) Non è necessrimente ver, fccimo un esempio nle Prendimo Quindi l 1) non è ver ) NB: tre vettori si dicono coplnri se gicciono tutti e tre su uno stesso pino, c 3 c È un prodotto vettorile, è quindi un vettore che è perpendicolre l pino determinto di due vettori e Sppimo che c gice sullo stesso pino di e, quindi è nch esso perpendicolre l vettore Poichè però il prodotto sclre tr due vettori ortogonli è nullo si vrà che c 0 Quindi l ) non è ver ed ho risolto nche l esercizio in qunto ho ppen dimostrto che c corrispondente ll rispost 4) => l rispost giust è l 4) Esercizio 4: Sino dti i vettori,, c, come rppresentti in figur, con moduli: =4, =3, c=5. Si clcolino i seguenti prodotti sclri, c, c. Il risultto estto e: 1) 0, -16, -9 c ) 0, 16, 9 3) 0, 1, -15 4) 0, 1, 15 c - c 0 c c 16 9 L rispost giust è l 1)