Limiti. Esercizi svolti. Federico Amici

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1 Limiti Esercizi svolti Federico Amici

2 Questa kermesse di esercizi svolti sui iti è ua carrellata che ha come uico criterio di suddivisioe la fote da cui ho attito. Alcui fra questi ascoo già come esercizi svolti ma soo riproposti co qualche spiegazioe aggiutiva perchè mi sembravao iteressati: l iteto o è certo quello di copiare. Professor Pricipato (esercitatore di Bellettii) Calcolare i segueti iti di successioe: 1) a + 1 a R I casi che vegoo esamiati derivao dall adameto della fuzioe espoeziale. I caso: a>0 Se a>0, a sarà u umero sempre più positivo, perciò: o a + 1 a (1+ 1 II caso: 0 a 1 a ) a a a Se 0 a 1, a tederà a 0 (immagiate ad esempio 1, compreso sicuramete tra 0 ed 1, dove il umeratore sarà diviso da u deomiatore che tede ad ifiito). Avremo: a a<1 a III caso: a<0 Se a<0 valgoo i ragioameti fatti per il caso i cui a>0 poichè l espoete a cui è elevato risulta pari, implicado così la perpetua positività di a. a + 1 -a + 1 -a (1+ 1 -a ) -a a a a IV caso: a 1 L uica eccezioe delle a miori di 0 è -1. Ifatti, riflettedo u attimo, ci accorgiamo di ritorare al caso i cui a1 (esamiato poco sopra), perciò avremo: a ) 1+ 1!! è il fattoriale di, ovvero il prodotto fra tutti i umeri compresi tra 1 ed, co u po di simbologia diveta: k1 k 1**3* *-1* Alla luce della defiizioe, possiamo riscrivere! come (-1)! o come (-1)(-)!, a secoda delle esigeze (utile ad esempio se si vuole semplificare umeratore e deomiatore i u rapporto). La cosa importate da teere be presete è il fatto che il fattoriale prevede il prodotto da fio ad 1. U esempio i cui questo aspetto viee sottolieato è questo.

3 1+ 1! 1+ 1 * 1+ 1 (-1)! 1+ 1 * * ! dove si vuol far otare lo sfilacciameto progressivo del fattoriale. Così cotiuado abbiamo: 1+ 1 * * * * * * 1+ 1 * * * 1+ 1 * 1+ 1 A questo puto otiamo che i termii al deomiatore tedoo tutti ad 1 i quato 1 tede ovviamete a 0. Allo stesso modo ache i umeratori tedoo ad 1, perciò a tede ad 1. 3) I questo caso abbiamo l occasioe di itrodurre il cocetto di o piccolo: Cosideriamo due fuzioi f(x) e g(x), defiite i u itoro di x 0. Si dice che f(x) è o piccolo di g(x) se il rapporto f(x) g(x) 0 per x x 0 e si scrive f(x)o(g(x)). Ad esempio, cosideriamo f(x) 1 e g(x) x (f(x)1 è ua fuzioe costate). Il rapporto tra queste due fuzioi, 1 x, per x (quidi x 0 ) tede a 0 e duque 1o(x ). U altro esempio lo facciamo cosiderado x 0 0. Se f(x)x e g(x)x f(x) g(x) x x 0 per x 0 x quidi x o(x) Fatta questa piccola premessa, procediamo el calcolo: (1+ 9 )- 4 (1-1 4) (1+ ) 3 (1+o())- 4 (1-o( 4 ) (1+o( ) raccogeto a fattor comue utilizzo le defiizioi di o piccolo 3-4 se aggiugiamo o togliamo ad 1 ua quatità che tede a 0, la somma di questi due termii tederà ad 1, di qui i semplici prodotti

4 3 4 - applichiamo la defiizioe di radice come elevameto a poteza razioale e separiamo gli addedi (è facile covicersi che ripetedo la somma dei due termii torerete al passaggio precedete) e procediamo co il calcolo teedo coto che il ite della somma è la somma dei iti A questo puto otiamo che 3 < ed all ifiito questo rapporto tederà a 0, metre ) a + a a R I caso: a > 0 Questo è il caso relativamete più ituitivo poichè, se a è u umero positivo e diverso da 0, etrambi gli addedi sarao umeri sempre più positivi, duque: a II caso: 0 a<1 I questo caso a tederà a 0 ed a sarà u umero elevato ad espoete razioale che tede parimeti ad ifiito: a III caso: a -1 Questo è il caso più particolare, se volete. Ifatti a -1 1 che tede a 0 metre a -1, cioè ua successioe oscillate che o ha ite. Quidi per a-1 a o ammette ite. IV caso: a < 0 I questa circostaza a -a 1 a che tede a 0, a -a che tederà all ifiito egativo, perciò a - 5) + cos Questo ite è l occasioe per itrodurre il teorema del cofroto (o dei due carabiieri) che spesso si rivela utile ella risoluzioe di iti i cui soo preseti fuzioi trigoometriche.

5 Cosideriamo due successioi a e b che covergao allo stesso ite l R. Cosideriamo ora ua terza successioe c che ha la caratteristica di essere compresa tra a e b, cioè a c b. c covergerà allora allo stesso ite l R. Ad esempio vogliamo calcolare il si. La fuzioe seo assume valori compresi tra -1 e 1 (estremi iclusi), perciò -1 si 1, e queste due successioi soo etrambe ifiitesime. si covergerà duque a 0, per + cos (1 + cos ) Applichiamo il teorema del cofroto alla successioe k cos e otiamo che - cos Ma le due successioi che compredoo k soo etrambe ifiitesime i quato l espoeziale è di ordie di ifiito maggiore rispetto alla fuzioe poteza. Perciò ache k tederà a 0. Richiamado la defiizioe di o piccolo si può dire che cos o( ). Cotiuado co i calcoli si ha quidi: (1 +o( )), 6) l I questo ite si sfruttao le ozioi sugli ordii di ifiito e sugli o piccolo, se volete. Idividuato l ordie di ifiito maggiore, raccogliamo a fattor comue dove questo fattore sarà proprio quel termie che tederà ad ifiito prima degli altri, che i questo caso è 3. l l (1+o 3 ) 3 3 a coverge duque a 3.

6 7) e 3! + si(!) + L iteto è quello di separare le difficoltà e qui ci viee icotro la separazioe della frazioe ella somma di due termii co lo stesso deomiatore. Di qui procediamo teedo presete che il ite della somma è la somma dei iti, ricapitolado: e 3! + si(!) e 3! si(!) e 3! si(!) + 3 Ora possiamo occuparci di u problema per volta. Comiciado dal secodo addedo, applichiamo il teorema del cofroto a questa successioe, perveedo alla coclusioe che tede a 0. 1 si(!) Per quato riguarda il primo addedo comiciamo co il otare che + va come. Se preferite: + 3 (1 + 3 ) (1 + o( )) Quidi, ricapitolado tutte le iformazioi, ci rimae da studiare il e 3! Visto che lo svolgimeto della fuzioe fattoriale o è molto illumiate ai fii della risoluzioe del calcolo, ci viee icotro u approssimazioe della stessa, ovvero la formula di Stirlig:! π e Il ite diveta e 3 π e e π + 8)! Servedoci acora ua volta della formula di Stirlig procediamo co il calcolo:

7 ! π e e π e π e π 1 È facile covicersi del fatto che sia u ordie di ifiito maggiore di, perciò 1 tederà a 0 più velocemete di quato teda ad ifiito, quidi il deomiatore tede ad 1 ed il ite di questa successioe è uguale ad e. 9) log(!) Questo è il particolare caso i cui il logaritmo risulta di ordie superiore ad u altra fuzioe, i questo caso. Serviamoci di Stirlig: log(!) log( π e ) Ora ci serviamo della proprietà del logaritmo secodo cui log(a/b) loga logb e separiamo la frazioe i due addedi come già fatto i precedeza: log( π ) log( π) 1 log( π) log e log( π) - loge log(a b ) b*loga che per tede a +.

8 Professor Berretti (apputi sui iti) I questi apputi ci serviremo ache degli sviluppi i serie di Taylor che potete trovare su Wikipedia a questo idirizzo. Esercizio Per risolvere questo ite seguiamo l ispirazioe di voler sfruttare il ite otevole di e, trovado ua via per farlo saltare fuori. È presto fatto: e ovvero abbiamo moltiplicato e diviso l espoete per 3 i modo da ricodurci al ite otevole. Per le proprietà delle poteze (poteza di poteza) arriviamo ad avere e elevato ad u espoete compreso tra 0 ed 1 che quidi tede a 0 se elevato ad. Si deduce allora che il ite è uguale ad 1. Esercizio e x3 -cos(six) x 0 log(1+tg3x ) I questo ite ci serviremo degli sviluppi i serie di Taylor, ache se i maiera molto ridotta poichè ci fermeremo al secodo ordie. Comiciamo duque co l approssimare il cos(six): cos(y) 1 - y per x 0 y si(x) x per x 0 e x3 ex3-1 - x -cos(six) x 0 log(1+tg3x ) log(1+tg3x ) I questo modo possiamo approssimare ache e x3-1 (o se preferite solamete e x3, perverrete allo stesso risultato). e y 1 + y per y 0 quidi, visto che la ostra y vale x 3 avremo che e x3 1+x 3 per x 0 e co u semplice passaggio algebrico abbiamo che e x3-1 x 3. x 0 x 3 - x log(1+tg3x ) Procediamo a spro battuto co l approssimazioe del deomiatore:

9 log(1+y) y per y 0 y 3tgx 3(x ) per x 0 Il ostro ite assumerà queste sembiaze: x 3 x x 0 x3 3x 3x - x 3x x 3 - x * 1 3x 1 6 Esercizio 3 (+1) -(tlog) +! si 1 Di questo ite di successioe possiamo subito dire che il al umeratore è ua quatità iifluete all ifiito, perciò co il raccogeto a fattor comue e gli o-piccoli possiamo fare a meo. (+1)!+3 +1 si 1 (tlog)!+3 +1 si 1 Come ormai be sappiamo, si(x) è approssimato a x per x 0, o meglio quado l argometo tede a 0 (ifatti i questo caso ma possiamo cotiuare co l approssimazioe). Quidi, facedo attezioe al fatto che abbiamo (+1)!+3 - (tlog)!+3 (+1) 3 (1+! 3 ) - (tlog) 3 (1+! 3 ) è di ordie di ifiito maggiore di! Dopo aver otato che +1 all ifiito è approssimabile ad, il ite è pressochè termiato: 3 - (tlog) Esercizio 4 x 0 e 1-cosx 1-1-x ( log 1+six ) Nella risoluzioe di questo ite ci serviremo delle approssimazioi di Taylor:

10 x 0 e 1-cosx x e1-cosx - ( log 1+six ) 1-x e1-cosx - ( log 1+x ) 1 1-x x e1-(1- x ) - x 1 1-x e1-(1- x ) x x x 1 e - 1-x 1+ x x x x 1+ x - 1-x +x 1-x 1+ x x x 1-x x x x - x 1-x x x

11 Professor Tauraso (dispese) Esercizio 1 log +5! - log(!+5) log( 6 + cos π ) log +5!!+5 log( 6 + cos π ) log(a-b) log(a/b) Richiamiado le defiizioi del fattoriale, vediamo che! (-1)! (-1)(-)! (-1)(-)... * 1 Nel ostro caso +5, quidi (+5)! (+5)(+4)(+3)(+)(+1) * ((-1)(-)...*1) (+5)(+4)(+3)(+)(+1)*! Notiamo i secoda battuta che il primo blocco di prodotti va come 5 i quato svolgedo i prodotti o ci soo termii di ordie di ifiito maggiore. Raccogliedo queste iformazioi abbiamo: log 5!!+5 log 5 + log! log( 6 + cos π )!+5 log( 6 + cos π ) Per le proprietà del logaritmo e approssimazioe di (!+5) a! il ite da calcolare diveta: 5log. log( 6 + cos π ) Ora, il cos(π) è pari a -1, il cos(π) sarà volte -1, quidi (-1). Quidi 5log log( 6 + cos π ) 5log log( 6 +( 1) ) 5log 5log 5log 6log(1+ log 6log ) 6log 5 6 log( 6 ( ) 5log log( 6 ) 5log log+6log

12 Limiti tratti da testi di esame (01) Esercizio 1 + arctg(!+) (+3) +arctg(!+) arctg(!) +arctg(!) arctg(!) + π arctg(!) π II metodo: Abudo docet Noostate questo procedimeto sia ragioevole, u ulteriore procedura utile per risolvere questo ite è servirsi acora ua volta dell approssimazioe di Taylor, i questo modo: 3 (1+ 3 ) +3 arctg(!+) 1+ (+3) +arctg(!+) arctg(!+3) e log(1+ ) π + arctg(!) e log(1+3 ) - π Nel primo passaggio è stato messo i evideza che, elevato a sua volta alla diveta. Ioltre arcta(!+3) per ifiito tede a π/, che è ua quatità costate, eiabile. Al deomiatore questo fatto ci tora utile: e log(1+ 3 ) π e log(1+3 ) - π 3 e log(1+ ) π e log(1+ 3 ) π e log(1+3 ) e log(1+3 ) Ora sfruttiamo ell ordie le proprietà dell espoeziale e l approssimazioe di Taylor del logaritmo: 3 e log(1+ 3 )-log(1+3 ) π e 3 3 π e 3 6 π π e 6