Misure ed incertezze di misura
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- Vittorio Mancini
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1 Misure ed incertezze di misur Misurzione e Misur Misurre signific quntificre un grndezz fisic chimt misurndo trmite un processo (misurzione) il cui risultto è detto misur. L misur deve poter essere ripetut nche d ltri e quindi v comunict in modo inequivocbile. Pertnto, con l misur bisogn fornire lmeno il vlore, l incertezz e l unità di misur: 1
2 Vlore, Incertezz e Unità Il vlore che quntific il misurndo è il risultto del confronto tr il misurndo e un grndezz di riferimento (CAMPIONE). L incertezz dell misur è il grdo di dispersione dei vlori ttribuiti l misurndo in occsione di diverse misurzioni ed è, quindi, indictiv del pregio (e nche del costo) dell strumentzione di misur e nche dell metodologi dottt. L unità di misur che deve essere internzionlmente riconosciut i fini di un migliore comuniczione del risultto. Esempi di Misur Tensione vuoto di un btteri (9,6 ±,) V Resistenz di un resistore (1,5 ±,1) Si comunic il vlore, l incertezz, e l unità di misur.
3 Errori e incertezze (etti csuli) Nel processo di misur intervengono molti fttori (grndezze) di influenz: l tempertur, l umidità, vibrzioni o disturbi di tipo elettrico e elettromgnetico dell mbiente in cui si svolge l misur, etc. Tutti questi fttori (grndezze di influenz) intergiscono in vri modi nel processo di misur, per cui se questo è ripetuto si ottengono risultti diversi determinndo un dispersione dei vlori misurti. Questi fttori citti intervengono in modo csule nel processo di misur pertnto se si ripete N volte l misur (con N ) e si oper un medi il loro etto tende d nnullrsi (etti csuli). Errori e incertezze (etti sistemtici) L misur è nche influenzt di comportmenti non ideli dei vri elementi del sistem di misur (difetti nei modelli e nei cmpioni) che dnno luogo scrti sempre nell stess direzione (etti sistemtici) (non si possono rimuovere con un processo di medi). Con riferimento questi ultimi, in lcuni csi si è in grdo di stimre l entità e il segno dello scrto e pertnto si è in grdo di correggere l misur (trtur) in questo cso si prl di errori (errori sistemtici). Tuttvi, nche qundo è possibile etture un trtur permngono sempre degli errori residui dovuti lle non idelità degli stndrd di trtur usti. Infine, in ltri csi, gli scrti non si possono quntificre e quindi correggere (es. prmetri meccnici o mgnetici in un mperometro nlogico). 3
4 Espressione dell misur In conclusione, l misur srà sempre ffett d un cert incertezz che quindi crtterizz l dispersione dei vlori che possono essere rgionevolmente ttribuiti l misurndo. Per etto dell incertezz il risultto di un misur non è espresso d un vlore, m d un intervllo per cui l misur di un grndezz m srà espress come: M dove M, vlore centrle dell intervllo, è l stim migliore del misurndo ed è l semimpiezz dell fsci di incertezz. Vlore ssoluto e reltivo I = I o I I = I o I % 4
5 Scrittur del risultto di un misur Per scrivere correttmente il risultto di un misur bisogn fre lcune considerzioni: Cifre decimli di un numero sono le cifre dopo l virgol (es 7, > cifre decimli = 54364) Cifre significtive di un numero sono le cifre dopo gli zeri (es,54 cifre significtive = 54) Misur con incertezz ssolut Qundo si ettu un misur si riport inizilmente il vlore letto sullo strumento con tutte le sue cifre decimli (es 7,54364). In seguito si vlut l incertezz con tutte le sue cifre decimli (es,54). Si scrive l incertezz considerndo l mssimo due cifre significtive rrotondndo l vlore superiore (es,6). Si scrive il vlore con le stesse cifre decimli dell incertezz rrotondndo l più vicino (es 7,5436) Si scrive l misur: m = 7,5436,6 5
6 Vlutzioni di tipo A Se si suppone che l misur si ffett solo d incertezze di tipo csule, l incertezz può essere vlutt con metodi sttistici. Questi metodi di vlutzione dell incertezz si dicono di tipo A. Se si ripete l misur nelle stesse condizioni per molte volte e si trcci l istogrmm si vede che questo tende d un gussin (Teorem del limite centrle) p x 1 exp con x m vlore medio e vrinz. l probbilità che un vlore preso cso tr le misurzioni ettute cd nell intervllo x m è del 68.4%. x x m Stime L teori sttistic dimostr che, per qulunque p(x), l stim migliore del vlor medio (x m ) è dt dll medi sperimentle (o cmpionri) m N ottenut su N osservzioni indipendenti x k come: m 1 N N N x k k1 L stim migliore dell vrinz è dt dll vrinz del vlor medio delle misure definit come: N 1 M N( N 1) k 1 m m k N 6
7 Volendo quindi quntificre l incertezz si ssume M come stim sperimentle dell incertezz. M è dett scrto o incertezz stndrd di tipo A sperimentle ed è indict con l letter u. Come noto si h che l probbilità che un vlore preso cso cd nell intervllo è del 68.4%. Se non si ritiene sufficiente l probbilità del 68.4% si può umentre questo vlore introducendo l incertezz estes K u dove K è detto fttore di copertur. Con K = si h un probbilità del 95.4% (u). Con K = 3 si h un probbilità del 99.7% (3u). Quindi si può esprimere l misur come: x m N Ku Vlutzioni di tipo B In quest clsse, rientrno tutte le vlutzioni di incertezze che non vengono ricvte trmite l devizione stndrd di misure ripetute (come per quell di tipo A). 7
8 Procedur per vlutzioni di tipo B Nelle vlutzioni di tipo B in primo luogo si f un stim dei limiti delle vrizioni sull misur custe d un sorgente d incertezz, ovvero si vlut lo scrto mssimo. In seguito si ssume un cert distribuzione di probbilità tr questi limiti. Infine, si clcol un devizione stndrd equivlente che rppresent l incertezz stndrd di tipo B. Distribuzione rettngolre L distribuzione rettngolre si utilizz qundo si conoscono i limiti di vrizione e si può ssumere che tutti i vlori sino equiprobbili ovvero qundo non si hnno informzioni sull distribuzione tr questi limiti. - + In questo cso l relzione tr incertezz stndrd u e i limiti di vrizione (scrto mssimo ) è : 1 p(x)(x xm ) dx x dx u x 3 3 8
9 Altre distribuzioni distribuzione normle u distribuzione tringolre u distribuzione d U u Incertezz per misure dirette Le misure dirette si distinguono tr misure singole e misure ripetute. L prim strtegi di solito si dott qundo si utilizzno metodi e strumenti non troppo sensibili, cosicché ci si spett di ottenere sempre lo stesso risultto L second strtegi si dott con strumenti e metodi tnto sensibili d mettere in evidenz le vrizioni indotte sull misur dlle numerose grndezze di influenz. 9
10 misure singole Nelle misure singole l incertezz si ottiene, dopo ver corretto eventuli errori sistemtici, combinndo le incertezze di tipo B dovute ll strumentzione e d ltre cuse. Per l vlutzione dell incertezz occorre specificre se si è clcolto l errore mssimo o l incertezz stndrd. Per cui nel primo cso si vrà: δy i δy N i1 Mentre nel secondo cso si h: u y u i N i1 misure ripetute Nelle misure ripetute l stim migliore è dt dll medi delle vrie misure e l incertezz totle v clcolt combinndo le incertezze csuli e quelle sistemtiche. Anche in questo cso si deve specificre se si è clcolto l errore mssimo: δy tot δy o l incertezz stndrd A δy B u tot u A u B 1
11 11 Vlutzione di cso peggiore (pproccio deterministico) per l errore di misure indirette (propgzione dell errore) In lcuni csi, il misurndo y non è stimbile trmite un misur dirett m è un funzione di ltre N quntità x i correlte d esso ttrverso un relzione funzionle: Nel cso di tre grndezze di ingresso possimo scrivere: Per le grndezze di ingresso il vlore srà noto ll interno di un fsci di incertezz; quindi si vrà:,b,c f y m b b b m c c c m c,,b f y vlore dell misur sviluppo in serie di Tylor c c f b b f f,c,b f c b,c,b f y y,c,b,c,b,c,b c c f b b f f y c,,b,c,b,c,b
12 Scrto mssimo Nel cso di vlutzione pessimistic (deterministic) si prendono tutte le derivte in modulo, e l errore mssimo coincide con lo scrto mssimo su y, per cui si h: y f,b,c f b,b,c f b c,b, c c Formul di propgzione dell errore Vlutzione probbilistic dell incertezz per misure indirette (propgzione dell incertezz) Se è richiest un vlutzione di tipo probbilistico, in ssenz di correlzione tr le grndezze, l vrinz è clcolbile come: f f f y,b,c,b,c b,b,c c b c E il modello che deve essere utilizzto nell stim delle incertezze nell emissione di certificti ufficili; è nche il modello suggerito dll Guid ll espressione dell incertezz di misur (CEI UNI). Pssndo dlle vrinze lle incertezze si h: f f f u y,b,c u,b,c u b,b,c uc b c 1
13 Poiché sono coinvolte più grndezze, l distribuzione tende quell gussin e l y ssume il significto di incertezz tipo u y con un fiduci del 68.4%. Se si vogliono vere probbilità più elevte bisogn moltiplicre u y per un fttore di copertur. Misure di cmpo bnd lrg 13
14 Isotropi Questo errore è dovuto l ftto che il sensore, prità di cmpo incidente, vrà un rispost (V DC ) divers second dell direzione di incidenz del cmpo. Il sensore cioè non si comport come un ntenn isotrop. E evidente, viste le crtteristiche geometriche dei sensori, che l influenz delle componenti di cmpo normli ll st di sostegno del probe srà divers d quell delle componenti prllele ll st. Un tipico ndmento è mostrto in Figur () per il cso di cmpo perpendicolre ed in Figur (b) per il cso di cmpo prllelo. L figur evidenzi l vribilità dell errore con l ngolo m soprttutto il ftto che nel primo cso si ottengono degli errori più bssi. errore in db.5 errore in db ngolo E () ngolo E (b) Linerità e Rispost in frequenz Il comportmento di un rettifictore che utilizz diodi Schottky è ll incirc linere per potenze comprese tr l sensibilità ed il punto di compressione d 1 db. Tuttvi nche in questo intervllo l rispost non srà perfettmente linere. L errore di linerità è definito come l mssim devizione dei dti misurti dll rett che meglio pprossim i dti l vrire dell potenz in ingresso. L errore di rispost in frequenz, invece, è legto lle vrizioni con l frequenz dell rispost del sensore. 14
15 Clibrzione (Trtur) Questo errore è dovuto l ftto che nche dopo l clibrzione permne un incertezz residu dovut lle imperfezioni del sistem di clibrzione. Prim di pssre d un esempio si ricord il legme che intercorre tr l espressione dello scrto in db e quell dello scrto percentule. db log x db % x log x db % 1 x 1 1 x db % 11 1 x x % 1 1 x Esempio: sond ET3DV5R Ad esempio per l sond ET3DV5R dell ditt Schimd & Prtner il dtsheet fornisce per gli scrti reltivi in db i seguenti vlori con le reltive distribuzioni: I: devizione dll isotropi 1.5dB rettngolre L: devizione dll linerità.db rettngolre C: incertezz residule dell clibrzione 6.6% normle Quindi si vrnno i seguenti scrti percentuli: 1.5 I % L % C 6.6% 15
16 Incertezz estes Per clcolre le incertezze stndrd, gli scrti percentuli vnno divisi per i fttori di normlizzzione delle rispettive distribuzioni; quindi si h: u I I 1.88% 3 u L L 1.34% 3 C C 3.3% L incertezz totle ssocit ll misur del cmpo elettrico srà (con l vlutzione del vlore più probbile): u u I u L u C 11.5% u E Se si consider un fttore di copertur k = si ottiene un incertezz estes dt d : u = u(e) = 3% Misure di SAR 16
17 Definizioni Il SAR è vlutto misurndo il cmpo elettrico (E) ll interno del fntoccio, l conducibilità (), e l densità () e si h: SAR E E [W / kg] Ad esempio con riferimento ll esposizione di soggetti l cmpo emesso di telefoni cellulri il vlore, che in bse ll normtiv Europe (ICNIRP) non deve essere superto è W/kg medito su 1 grmmi. Poiché il SAR è determinto indirettmente misurndo E,, ogni singolo strumento per l misur di questi prmetri dovrà essere indipendentemente clibrto. Ad esempio, con riferimento i sensori di cmpo si dovrà stimre il coiciente K E. Tuttvi, in questo cso, l procedur di clibrzione è piuttosto compless in qunto il sensore v clibrto ll interno di un liquido. Vlutzione dell incertezz Per il clcolo dell incertezz si può osservre che in bse ll definizione di SAR si h: SAR E E SAR E SAR E 1 SAR SAR 1 E SAR 1 17
18 Quindi lo scrto è dto d: SAR (SAR) E E SAR E E SAR SAR e lo scrto percentule srà: SAR SAR SAR E SAR E Per il clcolo dell incertezz totle u(sar) si deve utilizzre l formul dell incertezz combint quindi nell ipotesi probbilistic si vrà: u E 1 u ( 1) u u SAR dove si è considerto un fttore di copertur pri che grntisce un livello di confidenz del 95% per l incertezz totle. 18
19 Incertezz sul cmpo elettrico Con riferimento ll misur di cmpo elettrico se si consider il sensore miniturizzto BT3DV5R dell ditt Smith & Prtners, poiché quest sond è stt progettt per etture misure di SAR in questo cso l incertezz sull isotropi e sull clibrzione è migliore rispetto l cso in ri. Inftti si h: I.4dB rettngolre L.dB rettngolre C.6% normle Procedendo come prim si trov: % u E 3 3 Incertezz sull conducibilità Per l misur di conducibilità si può utilizzre l sond dell Agilent 857B conness d un nlizztore di reti. Il sistem h un incertezz del 5% con distribuzione rettngolre sull misur di. Essendo = f risult per l incertezz stndrd : u 5 3% 3 19
20 Incertezz sull densità L misur di densità può essere ettut misurndo seprtmente il peso di 1ml di mterile con un bilnci elettronic ed il volume con un cilindro grduto e si h: V /P I costruttori dnno per il cilindro un precisione di.5% e per l bilnci un precisione di.1g che trsformt in percentule rispetto l vlore misurto divent (1 ml di cervello equivlente pesno 1.7 g).1g 1.7g.93.93% L incertezz stndrd totle (ssumendo un distribuzione rettngolre) dell misur di densità è ottenibile procedendo come ftto per il SAR. In questo cso i coicienti vlgono tutti uno e si ottiene: u % Incertezz estes L incertezz stndrd medi totle ssocit ll misur di SAR si clcol pplicndo l formul reltiv lle incertezze combinte in cui v inserito un ulteriore fttore correttivo del 6% dovuto l ftto che si st considerndo un mezzo diverso d quello utilizzto nei test di clibrzione di fbbric dell sond per cui si h: u E 1 u 1 u 1 6% u SAR % Si ottiene quindi un incertezz stndrd totle sull misur di SAR del.3% con un livello di confidenz del 95%
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