1. Particelle con spin semi-intero: distribuzione di Fermi-Dirac

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1 Lzo Maggo 2000 Statstca quatstca 1 Partcll co sp sm-tro: dstrbuzo d Frm-Drac Com accato l prcdt captolo, al cosptto d fom ch rchdoo ua trattazo quatstca, l procdur d cotggo d molt partcll dft l caso classco dvoo ssr rvst Cò è rchsto da du asptt pcular dl comportamto quatstco dlla matra: l partcll soo dstgubl (oltr ch dtch) possoo ssr soggtt a vcol dl prcpo d scluso d Paul Qusto va applcato al caso d partcll dtt frmo, ossa dotat d sp sm-tro, com lttro proto L partcll ch hao sp tro (com foto, ucl atomc par, ossa co umro par d uclo d tramb l spc) soo dtt vc boso No soo soggtt a lmt mpost dal prcpo d scluso s comportao modo sostazalmt dvrso da frmo, com dscutamo l paragrafo succssvo Atcpamo solo ch l statstch pr cas classc o quatstc (sa bosoc ch frmoc) covrgoo allo stsso rsultato quado l tmpratur soo lvat l dstà d partcll suffctmt bass S s cosdra ora u sm d frmo, partcll gual, dstgubl soggtt al prcpo d scluso d Paul (ssua partclla può avr lo stsso sm d umr quatc d u altra partclla), la tcca d cotggo pr ua partzo d N frmo su k stat d rg E è faclmt rprsa d adattata dal caso classco Nl caso quatstco, com gà accato, è sszal trattar la probabltà trsca (g ) d og stato com dgrazo dl lvllo, l sso puramt quatstco dl trm: l caso d lttro l campo d u uclo atomco, ad smpo, la dgrazo trsca (mma) è smpr g 2; l caso d u partclla campo ctral d forz co momto agolar quatzzato da l, la dgrazo trsca è data da g l(l+1), così va La procdura d partzo (cotggo dll partcll llo stato E ) è ora vcolata alla rchsta ch g, causa l prcpo d scluso: l lvllo assgato o possoo vr collocat pù partcll dlla dgrazo trsca dl lvllo stsso E duqu possbl collocar qusto lvllo l umro d partcll dato da g (g 1) (g 2) (g +1)g!/(g )! L partcll soo dstgubl, pr cu dobbamo dvdr qusto umro pr!, la cofgurazo complssva (tdo coto d k lvll) ha moltplctà data dal prodotto dll moltplctà d sgol lvll, pr cu W g! 1 )! k!( g A qusto puto s procd com gà fatto pr l caso classco, ossa s dtrma la massma probabltà d occupazo dl sstma, aullado la drvata dl logartmo atural d W soggtto a vcol d cosrvazo dl umro total d partcll dll rga Il rsultato è A+ be g, +1 lla qual l paramtro b ha lo stsso sgfcato dl corrspodt trm classco, b1/(k B T) mtr A s dtrma a partr dalla ormalzzazo sul umro total d partcll, Σ N S usa prò trodurr ua otazo spcal pr A, podo ε F Ak B T, dov ε F è dtta rga d Frm I bas a qusta dfzo, la dstrbuzo rsultat, dtta d Frm-Drac, è data da g ( E εf ) / kbt + 1 Statstca Quatstca - 1

2 L rga d Frm è ua gradzza pr lo pù postva dpd molto dbolmt dalla tmpratura L adamto d qusta dstrbuzo è molto partcolar cssta d qualch commto Sccom l trm spozal a domator ha dvrs lmt pr T 0 a scoda ch rsult E maggor o mor d ε F, c s asptta ch tal rga d Frm goch u ruolo dsttvo ll adamto dlla dstrbuzo Fscamt, l prcpo d scluso prclud og caso u sovraffollamto dgl stat a frmo: la dstrbuzo d Maxwll-Boltzma prvd ch pr bass tmpratur sa lo stato a mor rga ad ssr popolato smpr pù g proporzo a lvll cctat Nl caso d frmo, la massma popolazo sarà smpr comuqu data dalla dgrazo quatstca d lvll, g Duqu, l lmt d tmpratura tdt a zro, c aspttamo ch l partcll rmpao tutt lvll ad rga mma compatblmt co l prcpo d scluso ε F N cosgu u rmpmto d stat ad rga comuqu crsct (fo ad avr saurto l partcll a dsposzo) Cò avv corrspodza dll rga d Frm, com praltro è b vdzato dal grafco ch rporta la popolazo d Frm-Drac pr T0 Pr tmpratur o ull, s assstrà alla promozo d u crto umro d frmo a lvll cctat vc all rga d Frm: soo qust gl uc ch possoo ssr promoss sza causar rassstamt dspdos d rga d lvll pù bass, lota dall rga d Frm Com s può tur dal grafco, l rassstamto rgtco a tmpratur o ull è comuqu lmtato a pccol fftt s o s chamao causa tmpratur tpcamt molto lvat Nl dsgo è schmatzzata la stuazo pr lttro (g 2), s ossrva T0 T bassa T alta ε F com lvll (copp d lttro) possoo ssr cctat vco all rga d Frm Vdrmo sguto com applcar qusto rsultato ad ua stuazo d trss fsco cocrto 2 Partcll co sp tro: dstrbuzo d Bos-Est Cosdramo ora l problma dlla popolazo d lvll rgtc pr partcll dtch, dstgubl ma o soggtt al prcpo d scluso d Paul Il calcolo dlla moltplctà d macrostat è acora ua volta rcoducbl all tcch gà utlzzat cas classc dlla statstca d Frm-Drac I partcolar, la dgrazo d lvll, o probabltà trsca, o è pù tal da lmtar suprormt la popolazo d lvll stss (l scluso o s applca) V soo, pr og stato co rga E, partcll da collocar dstrbudol (soo dstgubl) su g stat dgr Ad smpo, co 1 g, la partclla può occupar uo qualuqu d tr stat dgr Co 2, l partcll a, b possoo ssr collocat scodo lo schma d occupazo [ab ], [ ab ], [ ab], [a b], [a b ], [ a b] No cludamo ovvamt l prmutazo fra a b prché l partcll soo dtch I gral, s hao ( +g 1)! mod assocat all prmutazo d partcll g 1 cofgurazo, ch vao rdott d! mod prché l partcll soo dtch d (g 1)! mod pr tr coto dlla dgrazo dl lvllo Rstao duqu ( +g 1)!/[!(g 1)!] mod d dsporr l partcll llo stato -smo La moltplctà total, acora ua volta, è dato dal prodotto dll moltplctà d sgol lvll, pr cu Statstca Quatstca - 2

3 W ( g + 1)! 1 1)! k!( g Applcado l tcch d massmzzazo vcolat gà dscuss prma s gug alla forma dlla dstrbuzo dlla popolazo d lvll bosoc, dtta dstrbuzo d Bos-Est data da A+ be g, 1 dov acora l paramtro b è collgato alla tmpratura assoluta dl sstma d A è lgato alla cosrvazo dl umro total dll partcll E cosutud assgar la dstrbuzo d Bos-Est lla forma g E / kbt A 1 Noostat la strtta somglaza co la dstrbuzo d Frm-Drac, l sgfcato fsco dlla lgg bosoca d occupazo statstca è totalmt dffrt, quato ora o sst ssu vcolo supror all occupazo d u qualuqu lvllo rgtco I partcolar, pr tmpratur tdt a valor smpr pù pccol, s assst ad u ammassamto d boso l lvllo pù basso d rga, fomo oto com codsazo d Bos-Est L adamto dlla dstrbuzo è smplcmt spozal: l paramtro A dpd poco dalla tmpratura (al cotraro dl trm corrspodt lla lgg d Frm-Drac, ch fatt assgava l rga d Frm dl sstma), pr pccol dstà l paramtro A è grad duqu la lgg approssma la dstrbuzo d Maxwll-Boltzma A dstà lvat la statstca dv vc puramt quatstca o è pù possbl utlzzar lo schma classco Rsptto la lgg classca, la dstrbuzo d Bos-Est a bass tmpratur prvlga l partcll ch codsao l fodamtal rgtco Applcazo dlla statstca d Bos-Est: gas d foto formula d Plack Cosdramo ora, com spcfca applcazo dlla dstrbuzo statstca pr partcll bosoch, lo studo d u gas d foto, ossa u volum d spazo l qual od lttromagtch soo qulbro trmco co l part dl cottor: s tratta d ua rapprstazo classca dl sstma fsco ch ha codotto alla catastrof ultravoltta pr l adamto dlla dstà d radazo mssa da u corpo ro rsolto dall pots d quatzzazo d Plack d Est I qusto smpo, cosdramo la radazo quatzzata, ossa dscrtta com u umro varabl d foto (varabl quato ss vgoo cotuamt crat/dstrutt pr trazo co gl atom dl cottor) Sccom foto soo co sp tro, applchamo la statstca d Bos-Est Il paramtro A o è rlvat qusto caso, quato sso è lgato alla dstà dl sstma ch, vst l crazo/dstruzo, d foto, o è costat Pù mportat è la dtrmazo dl trm d dstà d stat, g(e) I foto, trattat com partcll quatstch, rapprstao l od lttromagtch ch, pr soddsfar l codzo al cotoro co l part coduttrc dl cottor, dvoo vr assocat co od d matra ch s aullao a bord Cò coduc, com gà stablto prcdza, a dll rgol d quatzzazo prodch pr l umro d oda duqu la quattà d moto d foto Dall codzo d quatzzazo k a π a /L, ax,, z, ssdo p a ħk a, ax,, z, s ott ch h p px + p + pz! k x + k + k z x + + z, 2L Statstca Quatstca -

4 d, ssdo pr foto Epc, s ha ch hc E x + + z 2L C trssa ora ottr la dstà dgl stat, g(e) A tal scopo, cosdramo uo spazo trdmsoal co coordat cartsa x,, z >0, raggo x + + z, lmto d volum (sfrco) 4π 2 d C s dv lmtar ad u ottat d sfra, s cosdrao 2 mod d polarzzazo dstt, pr cu la dstà s scrv g()d2 (1/8) 4π 2 d Dalla Ehc/(2L), ossa de(hc/2l)d, s ha ch g(e)de8πl E 2 de/(h c ) La dstrbuzo (d Bos-Est, apputo) dv ssr scrtta lla forma g(e)f BE (E), ossa 2 ( 8πL E W E) / k T E B h c 1 E possbl covrtr qust sprsso lla lgg d Plack prcdtmt cosdrata scrvdo la dstà d rga pr utà d volum (radaza) Abbamo duqu ottuto ch l modllo d quatzzazo dlla radazo lttromagtca, ch è ccllt accordo co lo spttro d msso ossrvato pr u corpo ro qulbro trmco, è pamt gustfcato da ua trattazo statstca lla qual foto soo dscrtt trm d ua statstca quatstca d tpo bosoco 4 Applcazo dlla statstca d Bos-Est: capactà trmca d sold I u soldo ordaro, l proprtà lttrch coduttv gral soo rgolat da lttro d coduzo, coè dotat d mobltà rlatvamt lvata La propagazo d od mccach al suo tro, vc, soo spgat chamado causa l comportamto dl rtcolo atomco, ossa dllo schltro d atom attoro al qual gl lttro pù str, quas com u mar d carca lttrca, s muovoo co rlatva facltà I calor spcfc, ossa l capactà trmch pr utà d massa/volum vgoo dscrtt spgat gral chamado causa sa gl lttro d coduzo ch l mass atomch dl rtcolo Pr tmpratur o troppo bass l cotrbuto prdomat a qusto tpo d fom è qullo dovuto a mot dl rtcolo, mtr s trascura l ruolo gocato dagl lttro str S può psar ch, co l apporto rgtco al mzzo, l oscllazo atomch attoro all poszo d qulbro aumto d ampzza Cosdrado u smplc modllo d quatzzazo armoca, l cotrbuto all rga tra al soldo può ssr scrtto com EN A k B T, quato s cosdrao k B T/2 utà d rga pr og grado d lbrtà tro, pr l oscllazo armoca v soo du, co tr grad spazal d moto Il calor spcfco, dato da CdE/dT, s scrv duqu com C R, avdo trodotto la costat d gas, RN A k B Qusta è ota com lgg d Doulog-Ptt, d affrma ch l calor spcfco è dpdt sa dal matral cosdrato ch dalla sua tmpratura Sprmtalmt, s ossrvao fort dvazo da qusta lgg pr tmpratur molto bass I partcolar, quado T 0, ach la capactà trmca td a zro Samo uovamt al cosptto dl fallmto classco d ua tora pr ua stuazo ch cssta d ua dscrzo quatstca La soluzo dl problma v da Est, ch assum pr gl atom dl rtcolo ua quatzzazo armoca scodo ua popolazo statstca d tpo bosoco I mod d vbrazo dgl atom dl rtcolo vgoo chamat foo, soo l corrspodt vbrazoal mccaco d foto, quat d radazo lttromagtca Aztutto, Est propo ua vrso smplfcata dl modllo, pr la qual tutt foo hao la stssa frquza Og foo ha rga quatzzata scodo la cosuta ħω(+1/2) L rga pr mol s ott com prodotto d tr fattor: l rga pr og Statstca Quatstca - 4

5 foo l fodamtal, ħω, la dstà molar d foo, N A, la dstrbuzo d Bos-Est, pr cu: 1 / mol N A! ω ; ω / kbt 1 E! l calor spcfco s ott dalla CdE/dT, pr cu! ω C R k BT 2! ω / kbt! ω / k T ( 1) 2 B Scodo qust sprsso, quado la tmpratura td a valor pccol l calor spcfco ha u ω / k T adamto dato da! B 0, buo accordo co dat sprmtal E mportat aggugr ch l modllo qu prstato ha succsso solo qualtatvo, quato s ossrva ch l calor spcfco td a zro co la tmpratura scodo ua lgg d potza (T ) o spozal Il modllo corrtto, dovuto a Db, t coto splctamt d ua dstrbuzo d rga d foo dl rtcolo, mtr la tora smplfcata d Est assga a qust com gà dtto l stss frquz Altr, mportat cas d aals basata sulla statstca bosoca rguardao gl spsso sorprdt comportamt dll atomo d lo 4 (coè co massa atomca 4, du utro du proto l uclo), ch a tmpratur suffctmt bass prsta carattrstch suprflud, ossa co fludtà (attrto pr scorrmto) prssoché ulla E f cssaro ctar l fatto ch la statstca quatstca pr boso u crto sso prvlga la coctrazo d partcll a sp tro llo stato d pù bassa rga, fo a codurr a stat codsat macroscopc ch, a bassssm tmpratur, prstao carattrstch puramt quatstch 5 Applcazo dlla statstca d Frm-Drac: gas d lttro Cosdramo gl lttro d u mtallo (partcll a sp ½, frmo) com sszalmt lbr Possamo calcolar la dstrbuzo pr u gas d qust partcll sgudo la stssa procdura adottata pr l gas d foo, co la dffrza ch ora l rga (o rlatvstca) è data da p 2 /(2m) Il rsultato fal pr la dstà d stat lttroc è 8πL g( E) 2m E, h mtr l umro d lttro co rga ll trvallo [E, E+dE] è ( 8πL 1 W E) 2m E ( E εf ) / kbt h + 1 Qusta dstrbuzo, rportata l dsgo, spga prché gl lttro d coduzo o gocao u ruolo mportat lla dfzo dl calor spcfco d u soldo, pr cu solo mot dl rtcolo atomco soo rlvat: aggugdo rga (trmca) ad u mtallo, apportamo u cotrbuto dll ord d k B T, pr l qual solo gl lttro vc all rga d Frm vgoo cctat, d pccola proporzo, a lvll ad rga pù grad Gl altr lttro (la maggor part) o cotrbuscoo all cctazo dl sstma Possamo stmar l valor d ε F mpodo l umro total d lttro l soldo: Statstca Quatstca - 5

6 N W ( E) de 0 Pr tmpratur o troppo lvat utlzzamo la forma a grado dlla dstrbuzo d Frm- Drac, pr cu l tgral s rduc alla N 8πL h 2m ε F 0 EdE, dalla qual ε 2 2 h N F 2m 8πL Statstca Quatstca - 6 E f possbl calcolar, smpr co la stssa tcca, ch l rga mda dgl lttro è dllo stsso ord d qulla d Frm o, pù prcsamt, <E>ε F /5 Co qust dat è possbl stmar la frazo d lttro ch vgoo cctat quado l mtallo v rscaldato da T0 ad ua crta tmpratura Il rsultato è ch ua frazo dll ord mor dl 1% d lttro subsc qusta sort, quato xc /N k B T/ε F, mtr l rga trmca è dll ord d 10 mv, qulla d Frm è attoro a qualch V Bché sa ragovol aspttars ch a tmpratur suffctmt alt gl lttro cctat sao proporzo pù lvata, qusto accad solo pr valor d mglaa d grad, ossa pr tmpratur maggor dlla tmpratura d fuso: pratca l mtallo (s o s vuol ch foda) cotua ad mmagazzar calor graz al cotrbuto solo dll vbrazo dl rtcolo Dvrsa è la stuazo a tmpratur strmamt bass, pr l qual la capactà trmca dovuta al rtcolo scd a zro com T, mtr qulla lgata agl lttro cala mo rapdamt, larmt co T Va f agguto ch l modllo qu prstato o t coto dll trazo dgl lttro co ctr atomc dl rtcolo: ss raltà stoo u potzal (pr lo pù prodco) ch rd coto d mportat fftt dlla carattrzzazo spcfca d var tp d matral, coduttor, smcoduttor, solat, ch vrrao dscuss pù avat 6 Esrcz ε F lttro cctat (a) S cosdr ua mscla d du gas co mass molcolar m 1 d m 2 La mstura è all qulbro trmco co tmpratura T I qual modo l dstrbuzo d vloctà d rga d du gas dffrscoo? (b) S stm l rga ctca mda dgl lttro lbr u mtallo quad ss soddsfo ua statstca d Maxwll-Boltzma D quato prché tal stma dffrsc da qulla ottuta lla dstrbuzo d Frm-Drac? Lttura cosglata: D McLachla Jr: Statstcal Mchacal Aalogs (Eglwood Clffs, Prtc-Hall 1968)