UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL INSEGNAMENTO SECONDARIO

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL INSEGNAMENTO SECONDARIO INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO classe A049 matematica e fisica Relazioe di laboratorio RIFRAZIONE Dott. Matricola Ao Accademico 004/005

2 INDICE Pagia 3 Pagia 3 Pagia 4 Pagia 4 Pagia 5 Pagia 6 Pagia 7 Pagia 8 Pagia 11 Pagia 15 Scopo Materiali pricipali Richiami teorici I pricipi dell ottica geometrica Le leggi di Sell-Cartesio Pricipio di Fermat Raggi reali e raggi moocromatici Procedura Risultati Coclusioi Pagia

3 SCOPO Lo scopo di questa esperieza è quello di verificare la seguete relazioe di Sell-Cartesio: si i si r = 1 dove 1 si chiama idice di rifrazioe del mezzo rispetto al mezzo 1. MATERIALI PRINCIPALI Righello Goiometro Carta millimetrata Spilli U recipiete a forma di semicerchio coteete acqua U oggetto a forma di semicerchio iteramete di plexiglas Riquadro di polistirolo Pagia 3

4 RICHIAMI TEORICI I PRINCIPI DELL OTTICA GEOMETRICA Molti dei feomei ottici che si possoo icotrare e osservare si possoo spiegare partedo dalle segueti ipotesi: i u mezzo omogeeo la luce si propaga lugo raggi rettiliei; quado due raggi si icrociao i loro cammii o si ifluezao, ovvero le proprietà di ciascuo soo idetiche sia prima che dopo il puto d icotro; quado u raggio lumioso icotra la superficie di separazioe fra due mezzi traspareti 1 e si origiao due raggi distiti i cui uo, chiamato raggio riflesso, si propaga el primo mezzo, metre l altro, il raggio rifratto, peetra el secodo mezzo. A questo schema fa eccezioe il feomeo della riflessioe totale; il raggio riflesso giace el paio idividuato dal raggio icidete e dalla ormale e forma co questa u agolo di riflessioe i = i, agolo di icideza; il raggio rifratto giace acora el piao idividuato dalla ormale e dal raggio icidete, e forma co la ormale u agolo di rifrazioe r che è diverso da quello di icideza, trae el caso di icideza ormale, i cui soo etrambi ulli; i ogi feomeo di riflessioe e rifrazioe il cammio di u raggio lumioso è idipedete dal seso i cui viee percorso dalla luce. Questo è il pricipio dell ivertibilità del cammio lumioso. I feomei che si possoo spiegare a partire dalle precedeti ipotesi soo l oggetto di quella che viee comuemete chiamata Ottica Geometrica. Pagia 4

5 LE LEGGI DI SNELL-CARTESIO Le leggi ottiche fodametali della riflessioe e rifrazioe dei raggi lumiosi furoo euciate i maiera idipedete da Sell e Cartesio e possoo essere formulate el modo seguete: 1. il raggio icidete, il raggio riflesso, il raggio rifratto e la ormale al puto di icideza giaccioo i u medesimo piao;. il raggio riflesso è simmetrico al raggio icidete relativamete alla ormale al puto di icideza; 3. gli agoli di icideza i e di rifrazioe r soo legati tra loro dalla relazioe: si i si r = 1 dove 1 si chiama idice di rifrazioe del mezzo rispetto al mezzo 1 o idice di rifrazioe relativo. Tale idice si può esprimere come il rapporto tra le velocità della luce, v 1 e v, rispettivamete el mezzo 1 e el mezzo. Se i particolare il mezzo 1 è il vuoto, l'idice di rifrazioe si dice assoluto. Poiché la luce ha velocità massima el vuoto segue che l'idice di rifrazioe assoluto di ogi mezzo è sempre maggiore di 1; ioltre l'idice di rifrazioe relativo a due mezzi qualsiasi è uguale al rapporto dei loro idici di rifrazioe assoluti. 1 v = = v 1 1 c c dove 1 =, = e c è la velocità della luce el vuoto. v v 1 Se il primo mezzo è meo rifragete del secodo, cioè se 1 <, l'agolo di rifrazioe è sempre miore dell'agolo di icideza e cresce al crescere di i. Il valore che assume i quado r raggiuge il suo valore massimo, cioè 90º, è detto agolo limite l. 1 si l = U raggio di luce proveiete dal mezzo che icide sulla superficie di separazioe co u agolo di icideza superiore all'agolo limite viee riflesso totalmete dalla superficie. Pagia 5

6 PRINCIPIO DI FERMAT I pricipi di Sell-Cartesio possoo essere dimostrati rigorosamete utilizzado le equazioi di Maxwell, tuttavia, per facilitare la dimostrazioe, utilizzeremo il pricipio di Fermat, che afferma: u raggio di luce propagadosi da u puto all altro segue u percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo cofrotato co quello dei percorsi vicii è miimo o massimo o stazioario I questa aalisi o verrà dimostrata la prima legge, ma uicamete la secoda e la terza. Secoda legge ( ) l a x b d x = dl 1 = ( a + x ) x+ dx b + ( d x) ( d x)( 1) = 0 x d x = a + x b + d x ' si i = si i ' i = i ( ) Terza legge t l l l + l l v v c c = + = = = = 1 1 ( ) ( ) l = l + l = a + x + b + d x 1 dl 1 1 = 1 ( a + x ) x+ b + ( d x) ( d x)( 1) = 0 dx x d x 1 = a + x b + d x si i = si r si i si r 1 Pagia 6

7 RAGGI REALI E RAGGI MONOCROMATICI Se si fa icidere u raggio di luce biaca su di u prisma, quello che si rivela è la formazioe di ifiiti raggi rifratti secodo agoli diversi, caratterizzati da colori diversi. Ciascuo di questi raggi è detto moocromatico, cioè è caratterizzato da ua propria lughezza d oda caratteristica. Per ogi raggio moocromatico valgoo le leggi di Sell-Cartesio. Pagia 7

8 PROCEDURA Iizialmete è stato assemblato l apparato. È stato posizioato sul tavolo il riquadro di polistirolo. Su di esso è stata appoggiata la carta millimetrata. Successivamete è stato posizioato sul foglio l oggetto a forma di semicerchio di plexiglas. Tale oggetto è stato posto al cetro del foglio i posizioe simmetrica e e è stato disegato il bordo per poter riportare il tutto alla situazioe di parteza i caso di icoveieti. Su di esso, a metà del diametro, vi era ua liea lugo lo spessore che lo divideva i due parti simmetriche. L apparato così era proto per l uso. Posizioado a caso uo spillio sul piao delimitato dal foglio di carta millimetrata dalla parte piaa del semicerchio, lo scopo era quello di idividuare il raggio rifratto che passasse per l asse di simmetria sopra evideziato. Tale posizioe era idicata co u secodo spillio. Dopo alcui tetativi alquato laboriosi, il professore ci ha cosigliato di cambiare strategia. Ifatti, sfruttado il pricipio dell ivertibilità dei cammii lumiosi, siamo partiti a posizioare lo spillio che rappresetava il raggio rifratto, per poi ricavare da questo la posizioe origiaria della sorgete. Tale procedura si è rilevata estremamete efficace. Tale procedura è stata ripetuta per sette volte, variado di volta i volta la posizioe degli spilli. La posizioe di ogi spillo, sia quello che rappresetava la sorgete che l immagie rifratta, è stata evideziata co u umero e u puto sulla carta millimetrata. Ua volta completate le operazioi sopra mezioate, si è provveduto a elimiare dal foglio sia gli spilli che il blocco di plexiglas, così da utilizzare per l aalisi uicamete il foglio millimetrato. Partedo dal cetro dell oggetto, trovato come scritto precedetemete, soo state tracciate le cogiugeti co tutti i puti evideziati sul foglio. È stato ioltre tracciato l asse si simmetria passate per il cetro. Utilizzado il goiometro soo stati ricavati gli agoli formati dai vari raggi co l asse si simmetria, sia per i raggi icideti, che per quelli rifratti e il tutto è stato messo i tabella. I dati, origiariamete espressi i gradi, soo stati covertiti i radiati utilizzado la seguete formula e messi ach essi i tabella: θ π 180 ( rad ) = θ( ) Pagia 8

9 Dai dati così otteuti si è ricavato il seo e la sua idetermiazioe utilizzado la seguete espressioe: f σ ( θ) f ( θ ) = siθ = cosθ σ θ dove σ θ rappreseta l errore sull agolo espresso i radiati. I dati soo ach essi stati messi i tabella. È stato successivamete fatto il rapporto tra il seo dell agolo icidete co quello dell agolo rifratto per ogi coppia di umeri ricavado per oguo il valore dell idice relativo del mezzo, i quato si è cosiderato che l aria avesse come idice di rifrazioe assoluto u valore pari ad uo. La formula utilizzata è stata la seguete: si i = si r L errore sulla precedete espressioe è stato calcolato utilizzado la seguete formula che utilizza la propagazioe degli errori: σ cos i si cos ( i) i σ r ( σ r) = + si r si r dove σ i e σ r rappresetao gli errori sulla misura degli agoli. Soo stati otteuti sette valori per l idice di rifrazioe. Co essi è stato calcolato il valore medio e l errore sulla media attraverso le segueti espressioi: = N σ = ( ) N 1 dove N rappreseta il umero di misure. Pagia 9

10 Per ricavare il valore dell idice di rifrazioe del mezzo si è utilizzato u altro sistema. Per ogi puto che rappresetava uo spillio è stato misurata la distaza dall asse di simmetria precedetemete utilizzato per misurare gli agoli. Così facedo si è ricavato immediatamete il valore del seo da ua misura diretta. I dati soo stati messi i tabella. Per ogi coppia di valori è stato ricavato il l idice di rifrazioe e il suo errore utilizzado le formule: si i = si r 1 sii ( σsii) ( σ si r) σ = + si r si r dove σ sii e σ sir rappresetao gli errori sulla misura dei sei. Successivamete ache per tali valori è stato ricavato il valore medio e il suo errore co le formule già viste i precedeza: = N σ = ( ) N 1 Ifie i valori trovati coi due metodi soo stati cofrotati tra loro e co il valore tabulato utilizzado la compatibilità percetuale C % : x y C% = 100 medio = medio x + y dove x e y rappresetao di volta i volta due dei casi mezioati precedetemete. Tutta la seguete procedura è stata poi ripercorsa sostituedo all oggetto i plexiglas, il recipiete coteete acqua. Pagia 10

11 RISULTATI Plexiglas La tabella mostra i valori misurati degli agoli espressi i gradi i ( ) σ i ( ) σ i % (%) r ( ) σ r ( ) σ r % (%) 6 1 3, , , , , , , , , , , , , 1 1 4,8 La tabella seguete mostra ivece i valori degli agoli misurati i radiati. i (rad) σ i (rad) r (rad) σ r (rad) 0,45 0,0 0,9 0,0 0,35 0,0 0,1 0,0 0,33 0,0 0,3 0,0 0,14 0,0 0,07 0,0 0,45 0,0 0,31 0,0 0,47 0,0 0,9 0,0 0,54 0,0 0,37 0,0 La tabella sottostate ivece eleca i valori ricavati per il seo dei vari agoli si i σ si i si r σ si r 0,44 0,01 0,9 0,0 0,34 0,0 0,1 0,0 0,3 0,0 0, 0,0 0,14 0,0 0,07 0,0 0,44 0,01 0,31 0,0 0,45 0,01 0,9 0,0 0,51 0,01 0,36 0,0 Ifie l ultima tabella mostra i valori ricavati per l idice di rifrazioe da ogi coppia di misure. σ σ % (%) 1,5 0,1 6,7 1,6 0,1 9,5 1,4 0,1 9,1 1,9 0,5 7,9 1,4 0,09 6,4 1,5 0,1 6,6 1,44 0,08 5,4 Pagia 11

12 Da tali valori si ricava u valore medio pari a 1 = 1,6 ± 0, co u errore percetuale pari al 1,9 %. Utilizzado il secodo metodo si è otteuto la seguete tabella. si i (cm) σ si i (cm) σ si i % (%) si r (cm) σ si r (cm) σ si r (%) 4,0 0,1,5,6 0,1 3,8 3, 0,1 3,1 1,9 0,1 5,3 3,0 0,1 3,3,0 0,1 5,0 1,3 0,1 7,7 0,7 0,1 14,9 4,1 0,1,4,7 0,1 3,7 4,1 0,1,4,7 0,1 3,7 4,7 0,1,1 3, 0,1 3,1 È opportuo sottolieare che essedo stato misurato direttamete il seo di u agolo tramite ua riga millimetrata, questo ovviamete avrà le misure di ua lughezza. La tabella seguete illustra i valori ricavati per l idice di rifrazioe. σ σ % (%) 1,54 0,07 4,6 1,7 0,1 6,1 1,50 0,09 6,0 1,8 0,3 16, 1,5 0,07 4,4 1,5 0,07 4,4 1,47 0,05 3,8 Da tali valori si ricava u valore medio pari a = 1,6 ± 0,1 co u errore percetuale pari al 8,8 %. Il valore teorico è pari a teo = 1,6 Pagia 1

13 Acqua La tabella mostra i valori misurati degli agoli espressi i gradi i ( ) σ i ( ) σ i % (%) r ( ) σ r ( ) σ r % (%) ,9 37 1, , 3 1 4, ,5 43 1,3 37 1, , ,9 35 1, , , , ,9 La tabella seguete mostra ivece i valori degli agoli misurati i radiati. i (rad) σ i (rad) r (rad) σ r (rad) 0,9 0,0 0,64 0,0 0,54 0,0 0,40 0,0 1,13 0,0 0,75 0,0 0,64 0,0 0,51 0,0 0,91 0,0 0,61 0,0 0,56 0,0 0,37 0,0 0,40 0,0 0,9 0,0 La tabella sottostate ivece eleca i valori ricavati per il seo dei vari agoli si i σ si i si r σ si r 0,79 0,01 0,60 0,01 0,51 0,01 0,39 0,0 0,906 0,007 0,68 0,01 0,60 0,01 0,48 0,01 0,79 0,01 0,57 0,01 0,53 0,01 0,36 0,0 0,39 0,0 0,9 0,0 Ifie l ultima tabella mostra i valori ricavati per l idice di rifrazioe da ogi coppia di misure. σ σ % (%) 1,33 0,03,7 1,3 0,07 5,0 1,33 0,03,0 1,4 0,05 3,9 1,37 0,04,8 1,48 0,08 5,3 1,3 0,09 7,0 Pagia 13

14 Da tali valori si ricava u valore medio pari a 1 = 1,34 ± 0,07 co u errore percetuale pari al 5,3 %. Utilizzado il secodo metodo si è otteuto la seguete tabella. si i (cm) σ si i (cm) σ si i % (%) si r (cm) σ si r (cm) σ si r (%) 7, 0,1 1,4 5,5 0,1 1,8 4,7 0,1,1 3,5 0,1,8 8, 0,1 1, 6,1 0,1 1,6 5,4 0,1 1,8 4,4 0,1,3 7,1 0,1 1,4 5, 0,1 1,9 4,8 0,1,1 3, 0,1 3,1 3,6 0,1,8,6 0,1 3,8 È opportuo sottolieare che essedo stato misurato direttamete il seo di u agolo tramite ua riga millimetrata, questo ovviamete avrà le misure di ua lughezza. La tabella seguete illustra i valori ricavati per l idice di rifrazioe. σ σ % (%) 1,31 0,03,3 1,34 0,05 3,6 1,34 0,03,0 1,3 0,03,9 1,36 0,03,4 1,50 0,06 3,7 1,38 0,06 4,7 Da tali valori si ricava u valore medio pari a = 1,35 ± 0,08 co u errore percetuale pari al 6,1 %. Il valore teorico è pari a teo = 1,3 Pagia 14

15 CONCLUSIONI Iazitutto è opportuo aalizzare i risultati otteuti e da questi ricavare delle utili coclusioi. Dobbiamo ovviamete distiguere il caso del plexiglas da quello dell acqua. Nel primo caso i tre valori soo altamete compatibili. Ifatti i tre risultati soo all itero delle barre d errore l uo dell altro. Sfruttado, ache se i maiera impropria, gli altri decimali che o compaioo, la compatibilità è all itero dello 0,01 %, u valore estremamete basso. Tuttavia queste coclusioi o possoo certamete essere soddisfaceti, ifatti i risultati otteuti soo affetti da pesati errori, che si aggirao i percetuale itoro al 10 %. Coclusioi migliori si possoo trovare adado ad idagare i risultati otteuti co l idice di rifrazioe dell acqua. Ache i questa situazioe i valori trovati soo compatibili tra di loro, co ua percetuale dello 0,007 %, e compatibili co il valore tabulato, 0,04 % massimo. È altresì possibile affermare che ache questa secoda idagie ha cofermato le previsioi, oostate, come el caso del plexiglas, i vari risultati otteuti co i due metodi abbiao u errore percetuale che si aggira itoro al 6 %. Certamete è possibile affermare che lo scopo dell esperieza è stato verificato. Ifatti il trovare u valore simile per l idice di rifrazioe co quello tabulato è iequivocabilmete ua prova del fatto che la legge di Sell-Cartesio aalizzata è coforme all evideza sperimetale. Tuttavia ua affermazioe più forte ecessita di u idagie estremamete più approfodita e accurata i tutti i suoi aspetti. Tuttavia la precedete affermazioe o è soddisfacete. Ifatti gli errori i gioco soo estremamete elevati e potrebbero aver cotamiato l esperimeto. La causa pricipale d errore è sicuramete lo strumeto utilizzato. Sia il goiometro, errore 1, che la scala millimetrata, errore 1 mm, si soo rilevati strumeti troppo grossolai per questo tipo di ricerca. Ioltre vao aggiuti sicuramete i vari errori commessi dall operatore, primo tra tutti quello di parallasse. Comuque è possibile valutare qualitativamete il ruolo dello sperimetatore. Ifatti, da u esperimeto all altro, gli errori percetuali si soo dimezzati. Questo presuppoe di aver utilizzato i maiera più appropriata e scrupolosa le teciche di esecuzioe e di aalisi. A ulteriore prova di ciò, si è visto come, per ridurre gli errori sia ecessario utilizzare agoli o troppo piccoli, che comportao errori estremamete elevati, come i u caso i cui l errore relativo sulla misura era addirittura del 5 %. Come si vede dai valori umerici, questo accorgimeto è stato utilizzato i maiera appropriata solo el secodo esperimeto. L esperieza ha ioltre evideziato come tra le due tipologie di aalisi ua fosse ettamete più coveiete rispetto all altra. Ifatti la procedura di misurare direttamete il seo dell agolo è sembrata essere migliore per il semplice fatto che il valore fiale è scaturito da miori operazioi matematiche, riducedo i maiera sigificativa l icertezza, che si accumula ievitabilmete Pagia 15

16 quado si applicao le procedure di propagazioe dell errore. Tuttavia questa affermazioe scaturisce solo da cosiderazioi teoriche, i quato la metodologia utilizzata da sola o basta, è idispesabile utilizzare ua strumetazioe il più possibile accurata. Da u puto di vista didattico è emerso come sia possibile fare semplici esperimeti sull ottica geometrica, e i particolare sulle leggi della rifrazioe, utilizzado semplicissimi apparati e sfruttado i maiera o troppo ivasiva la teoria matematica. Ifatti, il metodo di misurare direttamete il seo dell agolo, se o accompagato dall utilizzo massiccio, come fatto i questa relazioe, delle teciche di aalisi, permette di far compiere questa esperieza sia ai ragazzi del bieio delle superiori, ma ache ai ragazzi delle scuole medie iferiori. Il tipo di idagie, ache se all appareza può sembrare estremamete semplice, permette di far emergere delle problematiche coesse co l attività di laboratorio. Pagia 16