Vettori complessi. A = A A * = A 2 x + A 2 y + A 2 z = A A A 2 3

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1 Vettor compless Nel caso d vettor compless (ossa vettor che hanno come component numer compless) prodott scalare e vettorale sono esegut con le regole consuete. In partcolare s rcord che dalla: A = B C segue sempre, anche per vettor compless: A B = 0 e A C = 0 Occorre nvece mutare n questo caso la defnzone d modulo. S pone: A = A A * = A x + A y + A z = A 1 + A + A 3 essendo A * l vettore conugato, che ha come component le conugate delle component d A. Con questa defnzone l modulo rsulta, come deve essere, reale e postvo. Inoltre, se c è una costante complessa, dalla A =c B segue A = c B, ossa l modulo del prodotto è l prodotto de modul. Dal momento che un vettore complesso non è pù dsegnable n uno spazo trdmensonale, la nozone d modulo nel caso complesso perde l sgnfcato geometrco d lunghezza del vettore, che aveva nel caso reale. In senso algebrco, tuttava, con l'ntroduzone del concetto d modulo dventa possble defnre la dstanza fra due vettor compless, come l modulo della loro dfferenza. S rcord po che se l prodotto scalare fra due vettor compless è nullo, non è affatto vero n generale che vettor parte reale e parte mmagnara sano separatamente ortogonal fra loro. S not che, da un punto d vsta d algebra astratta, se s mantene per l prodotto scalare la defnzone abtuale (come somma d prodott d component omonme), lo spazo vettorale de vettor compless sul campo 1

2 de numer compless non gode della propretà d essere untaro (o d Hlbert), poché tale propretà rchedeva la: v v 0 e v v = 0 v = 0 Tale condzone è nvece verfcata dal prodotto < v 1, v > = v 1 v *. Può essere comunque utle, anche nel caso d vettor compless, consderare la quanttà: A = A x +A y +A z (nel caso d vettor real essa è reale e concde con l modulo). Tale quanttà, tuttava, rsulterà ora n generale complessa, e potrà chamars ampezza complessa. S potrà allora scrvere, per un generco vettore complesso A, come per vettor real (tranne l caso n cu tale ampezza rsult nulla, caso che non mplca n generale, come s vedrà n seguto per vettor polarzzat crcolarmente, la nulltà del vettore, coè delle tre component): A =A a o, essendo a o = A /A un vettore d ampezza untara, ma non n generale d modulo untaro, che rsulta essere una sorta d "pseudo-versore". S tratta però n generale d un vettore complesso, e qund non ndca pù una drezone vsualzzable. Un tale vettore rsulta reale se e solo se A è polarzzato lnearmente. Infatt n questo caso A = A R +j A j, con A R // A j, per cu A R e A j avranno lo stesso versore reale a o, ossa A =(A R +ja j ) a o. E' noltre vero anche l vceversa, come s vedrà. Nel caso del prodotto A =c B, con c complesso, s ha per le ampezze: A=cB.

3 Tornando al prodotto vettorale fra due vettor compless A e B, s supponga che sa A B=0. In questo caso s può dmostrare che n generale A B A B, mentre per l caso de vettor real valeva l'uguaglanza. Se s mpone nvece A B * = 0, s ha effettvamente che A B = A B. S not che la condzone A B * = 0 è equvalente alla B A * = 0. Se s consderano n luogo de modul le ampezze complesse, è d nuovo la condzone A B= 0 che mplca l'uguaglanza. Le due condzon A B * = 0 e A B= 0 non sono n generale equvalent per vettor compless. Lo sono se uno de due vettor è reale, ma n realtà è suffcente che uno de due sa polarzzato lnearmente. Infatt n tal caso l versore è reale, ed è esso ad entrare nel prodotto scalare. Anche per vettor compless s parla per estensone d ortogonaltà e parallelsmo, n base a prodott scalare e vettorale. Anche a queste nozon non corrsponde tuttava qualcosa d dsegnable, d vsble. S notno le relazon fra vettor compless nel domno de fasor e corrspondent vettor nel domno del tempo (ndcat con la tlde): 1 Re A B* = A B t 1 Re A B* = A B t Come s vede, qund, la trasformazone che fa passare da vettor nel domno del tempo a fasor non è un somorfsmo (perché non conserva prodott scalar). Cò è legato al fatto che gl spaz vettoral non sono untar. S rcord che le relazon precedent valgono ovvamente per fasor, ma non per vettor trasformat secondo Fourer. Infatt ad esempo s è vsto che l teorema d Poyntng complesso, come formulazone matematca, vale sa per fasor, sa per vettor trasformat secondo 3

4 Fourer, poché è una conseguenza delle equazon d Maxwell, che hanno la stessa forma sa per fasor, sa per vettor trasformat. Invece l'nterpretazone del teorema n termn d valor med delle corrspondent grandezze nel domno del tempo vale solo nel caso de fasor (regme snusodale). S not nfne che mentre fasor hanno le stesse dmenson fsche de corrspondent vettor nel domno del tempo, vettor trasformat hanno le dmenson de vettor nel tempo dvse per una frequenza (coè moltplcate per un tempo). Ad esempo l vettore trasformato d un campo elettrco s msura n V/(mHz). 4

5 Polarzzazone de vettor Come s è detto, un vettore complesso non s può dsegnare come vettor real, neanche se è polarzzato lnearmente (se coè ha versore reale), perché ha component complesse, che non sono assocabl a punt d una retta. S è vsto che la condzone d polarzzazone lneare per un generco vettore complesso A = A R +j A j era: A R A j = 0, ovvero A R // A j. Tale condzone come s è dmostrato mplca porre l vettore A come prodotto d un vettore reale per uno scalare complesso. D'altra parte se vceversa A =(a+jb) B, con B reale, s ha: A R =a B, A j =b B A j=(b/a) A R, ossa A R // A j. Nel caso partcolare delle onde pane, s ha per l vettore complesso del campo elettrco: E = E o e -jk r ove la quanttà e -jk r è uno scalare (complesso). S potrà allora scrvere: E = E 0 (a+jb)=( E 0R +j E 0j )(a+jb). Ora, l fatto d moltplcare (o dvdere) un vettore complesso per uno scalare complesso non ne modfca l tpo d polarzzazone, che è legata alla parte vettorale. Ovvamente varerà l'ampezza d oscllazone nel domno del tempo. Ad esempo, se E 0 è polarzzato lnearmente s ha E 0R E 0j =0, per cu: E R E j = ( E 0R a- E 0j b) ( E 0R b+ E 0j a) = E 0R E 0j a - E 0j E 0R b = = E 0R E 0j (a +b ) = 0 Ovvamente è vero l vceversa (essendo a + b 0), potendos del resto scrvere E 0 = E /(a+jb)= E (c+jd). 5

6 In modo analogo, se E 0R E 0j = 0 e E 0R = E 0j, ossa polarzzazone crcolare per E 0, s ha: E R E j = (E 0R a - E 0j b) (E 0R b + E 0j a) = E 0R E 0R ab - E 0j E 0j ba = = (E 0R - E0j )ab = 0 e, d'altra parte: E R = E R E R = (E 0R a - E 0j b) (E 0R a - E 0j b) = E 0R a + E 0j b = = E 0R a +b Mentre: E j = E j E j = (E 0R b + E 0j a) (E 0R b + E 0j a) = E 0R b + E 0j a = = E 0R a +b = E R Ovvamente è vero anche l vceversa. Consderando ora un sstema d rfermento con l pano xy concdente con l pano d polarzzazone, coè con l pano ndvduato da A R e A j, s vedrà come le condzon per var tp d polarzzazone s traducono n termn delle component A x e A y. Nel caso d polarzzazone lneare, s è vsto che s può scrvere: A =(1+jb) A R, per cu: A x =(1+jb)A Rx A y =(1+jb)A Ry =(A Ry /A Rx )A x =ra x con r reale S ha allora che A x e Ay come numer compless sono n fase (se A Rx e A Ry hanno lo stesso segno), oppure n opposzone d fase (se hanno segno opposto). Vceversa, se A x e A y come numer compless sono n fase oppure n opposzone d fase, s può passare dall'uno all'altro moltplcando per un numero reale, coè A y =ra x, con r reale. Per cu A =A x x 0 +rax y 0 =A x ( x 0 +r y 0 ), e qund A è l prodotto del numero complesso A x per un vettore reale, ossa è polarzzato lnearmente. Per cu rsulta: 6

7 A polarzzato lnearmente A y =ra x, con r reale. Per quanto rguarda la polarzzazone crcolare, ossa: A R = A j A R A j = 0 Dalla prma segue: (A Rx ) + (A Ry ) = (A jx ) + (A jy ) Dalla seconda nvece: A Rx A jx +A Ry A jy =0 A RxAjx = ARyAjy A Rx = A Ry Ajy A jx Sosttuendo nella prma s trova: A RyAjy A jx + A Ry = A jx + Ajy A A Ry( jy + 1) = A jx + Ajy. Da cu: A jx A Ry = A jx + A jy A jy + A jx A jx A Ry = A jx A Ry = ±A jx Dalla seconda: A Ry A jy = -A Rx A jx segue A jy = -(±)A Rx. Ma allora: A y = A Ry +ja jy = ±Ajx-j(±A Rx ) = - ± j (ARx+jA jx ) = - ± j A x Vceversa se: A y = ±ja x segue: A Ry +ja jy =±j(a Rx +ja jx )=±ja Rx - ± A jx Uguaglando parte reale e parte mmagnara: A jy = ± A Rx ARy= - ± A jx 7

8 Per cu: A R A j = A Rx A jx + A Ry A jy = ± A jy A jx - ± A jx A jy = 0 A R = A Rx Per cu rsulta: + A Ry = A jy + A jx = A j A R = A j A polarzzato crcolarmente A y = ±ja x. In questo caso qund A x e A y, come numer compless, sono n quadratura (dfferenza d fase d π/, essendo e ± jπ/ = ±j). S not che le dmostrazon precedent non hanno convolto l domno del tempo, per cu sono valde per vettor compless generc nel pano xy. Nel caso pù generale nvece d polarzzazone ellttca s avrà A y =ca x, con c complesso, e qund c= M e jϕ, con M>0. Se 0<ϕ<π l verso d rotazone nel domno del tempo, sul pano xy, è oraro (guardando dalla punta dell'asse z). Altrment, se -π<ϕ<0, s ha l verso antoraro. In partcolare se M=1 e ϕ = ± π/ s ha polarzzazone crcolare: A y =ja x per l verso oraro; A y =-ja x per l verso antoraro. I vers s possono ndvduare passando nel domno del tempo. Ad esempo nel prmo caso s ha: A x (t)= A x cos(ωt+ϕ x ) A y (t)= A y cos(ωt+ϕ y )= A x cos(ωt+ϕ x +π/)= A x cos[ω(t+ϕ x /ω)+π/] La fase ϕ x è legata semplcemente alla scelta dell'orgne de temp, per cu s può elmnare senza perdta d generaltà. Sono sgnfcatve solo le dfferenze d fase. Per cu: A y (t)= A x cos(ωt+π/)=- A x sn(ωt) ove A x (t)= A x cos(ωt). 8

9 Qund A x (t) va come l cos(ωt), A y (t) come l -sn(ωt), da cu l verso oraro. I vers ovvamente s nvertono se s guarda nvece nella drezone dell'asse z. Il caso n cu ϕ = ± π/, ma M 1 corrsponde ad una polarzzazone ellttca, n cu gl ass prncpal dell'ellsse concdono con gl ass cartesan. Se nvece ϕ ± π/ (e ovvamente dversa da 0 e da π, altrment s torna alla polarzzazone lneare) s tratta d un'ellsse con gl ass prncpal ruotat d un certo angolo rspetto agl ass cartesan. 9

10 Scomposzone d una polarzzazone generca Il generco vettore complesso A, d polarzzazone n generale ellttca, può ovvamente decompors nella somma d due vettor, n generale compless, polarzzat lnearmente, ad esempo due vettor component secondo x ed y nel pano d polarzzazone: A =A x x 0 +A y y 0. Cò equvale ad assumere come base d rappresentazone, per uno stato d polarzzazone arbtraro, vettor real ortonormal x 0 ed y 0. Non s perde dunque n generaltà a consderare vettor polarzzat lnearmente, poché po è possble applcare la sovrapposzone degl effett. D'altra parte una generca polarzzazone ellttca s può esprmere anche come la sovrapposzone d due polarzzazon crcolar, d opposto verso d rotazone. Per dmostrarlo, dato un generco vettore complesso A, s ponga: A =A 1 c 1 +A c ove: c 1 = x 0 - jy 0 A 1 = A x + ja y c = x 0 + jy 0 A = A x - ja y Infatt: A 1 c 1 + A c = A x + ja y = A xx 0 + A xx 0 - j A xy 0 + j A xy 0 + j A yx 0 -j A yx 0 x 0 - jy 0 + A yy 0 + A yy A x - ja y = A x x 0 + A y y 0 Dalle defnzon d A 1 e A s ha, sommando: x 0 + jy 0 = 10

11 A 1 + A = A x = A x A x = A 1 + A Sottraendo s ha nvece: A 1 - A = j A y =j A y A y = A 1 - A j x 0 = c 1 + c Procedendo n modo analogo con versor, s ha: y 0 = c - c 1 j S not ntanto che vettor compless c 1 e c sono d modulo untaro. S ha nfatt: c 1 = c 1 c 1 * = x 0 -j y 0 x 0 +j y 0 = = 1 = c * c = c essendo c 1 = c *. Le ampezze complesse sono nvece nulle, essendo c 1 c 1 = c c = 0 (pur essendo c 1 e c 0). Inoltre c 1 e c sono anche ortogonal (n senso algebrco), secondo la defnzone: c 1 c * = x 0 -j y 0 x 0 -j y 0 = 1-1 = 0 = c c 1 * Mentre s ha nvece, come gà vsto, c 1 c =1 0. Dunque vettor compless c 1 e c costtuscono una base ortonormale. S not per ncso che mentre n una qualsas base ortonormale reale (ad esempo x 0 e y 0 ) s può scrvere per un vettore generco: A =A x x 0 +A y y 0 = A x 0 x 0 + A y 0 y 0 questa espressone va nvece modfcata se la base è complessa, e s ha: A =A 1 c 1 +A c = A c * 1 c 1 + A c * c (nuove defnzon algebrche per le component d un vettore). Infatt ad esempo: A c 1 * = A 1 c 1 + A c c 1 * =A 1 c 1 c 1 * + A c c 1 * = A 1 11

12 S not adesso che c 1 e c sono vettor polarzzat crcolarmente. S ha: c 1x = 1 c 1y = - j per cu c 1y =-jc 1x (verso d percorrenza antoraro guardando dal sempano z>0). Inoltre: c x = 1 c y = j = jc x (verso oraro) Ovvamente anche una generca polarzzazone lneare, come caso partcolare d una polarzzazone ellttca (con uno de semass nullo), può scompors n due polarzzazon crcolar. Del resto n questo caso s può sceglere l'asse x concdente con la drezone d polarzzazone, per cu A =A x x 0, e po porre: A 1 =(A x /) x 0 -j(a x /) y 0 A =(A x /) x 0 +j(a x /) y 0 ove A 1 + A = A, e A 1 è polarzzato crcolarmente n verso antoraro, mentre A lo è n verso oraro. S not che, dato un generco vettore complesso A funzone d punto (ad esempo un campo elettrco), non è sempre possble scomporre tale vettore nel prodotto d uno scalare funzone d punto e d un vettore che non dpenda dal punto. Per cu n generale l tpo d polarzzazone sarà dverso da punto a punto nello spazo, A R ed A j saranno delle funzon d punto, e s potranno consderare luogh de punt n cu s ha ad esempo polarzzazone lneare, o crcolare. Questo può avvenre ad esempo n una guda d'onda. Nel caso dell'onda pana, tuttava, vsta la sua dpendenza dalle coordnate ( E = E 0 e - j k r, con E 0 costante), s ha effettvamente che l tpo d polarzzazone è lo stesso n tutto lo spazo. 1

13 L'ellsse d polarzzazone L'angolo θ che l vettore nel domno del tempo A (t) forma n un certo stante con l'asse x del pano d polarzzazone è dato dalla: θ t = arctan A y t A x t = arctan A y cos ωt + ϕ A x cos ωt avendo posto ϕ = ϕ y - ϕ x, poché come s è vsto solo le dfferenze d fase sono sgnfcatve. stantanea: L'ellsse d polarzzazone sarà allora percorsa con veloctà angolare Ω t = dθ dt = 1 = 1 A t = ωa xa y A t 1+ A y t A x t A y ' t Ax t - A y t A x ' t A x t = A y ' t A x t - A y t A x ' t A x t +Ay t = -A y ω sn ωt + ϕ A x cos ωt + A y cos ωt + ϕ ω A x sn ωt = sn ωt cos ωt + ϕ - sn ωt + ϕ cos ωt = - ω A xa y snϕ A t Come s vede per 0< ϕ <π s ha Ω < 0 (ossa verso oraro d rotazone), come gà vsto, mentre per -π< ϕ < 0 l verso è antoraro (Ω > 0). S not comunque che la veloctà angolare non rsulta n generale costante nel tempo. Il vettore nel tempo compe però comunque una rotazone completa nel perodo T=π/ω. Se A x = A y e ϕ = ±π/ (polarzzazone crcolare) s ha A t = A x t + Ay t = Axcos ωt + A xcos ωt ± π =, = A x cos ωt + sn ωt = A x 13

14 per cu: Ω t = - ω A x A x ±1 = - ± ω = cost Scomponendo una generca polarzzazone ellttca n due polarzzazon crcolar è anche semplce ndvduare l'ellsse d polarzzazone. Ponendo nfatt A =A 1 c 1 +A c e scrvendo: A A 1 = M e jα s può dmostrare che α è l'angolo che gl ass prncpal dell'ellsse formano con gl ass cartesan. S ha: α = 1 arctan Im A A 1 ottene: Re A A 1 Tornando alle component cartesane sul pano d polarzzazone s A A 1 = A x - ja y 1 A x + ja y 1 = A x - ja y = A x - ja y A * * x - ja y A x + ja y A x + ja y = = A x - A y - j A x A y * + A y A x * A x + ja y = A x - A y - jre A x A y e -jϕ A x + ja y = A x - A y - jre A x A y * A x + ja y = A x - A y - ja x A y cosϕ A x + ja y = Per cu: α = 1 arctan -A x A y A x - Ay cosϕ 14

15 S verfca che se ϕ =± π/ gl ass prncpal concdono con gl ass cartesan. S dmostra noltre che l rapporto fra l semasse maggore a e l semasse mnore b è dato dalla: a b = 1 + M 1 - M = 1 + A A A A 1 Nel caso M=1 s rcade nella polarzzazone lneare (A e A 1 hanno lo stesso modulo) b=0, mentre la polarzzazone crcolare s ha per M=0 (A =0), con a/b=1 (semass ugual). 15

16 Costant secondare de mezz. Costant d fase e d attenuazone per onde pane unform. Perdte de mezz. Relazon d Kramers-Krong Per costant secondare d un mezzo s ntendono le quanttà k ed ζ, rspettvamente costante d propagazone e mpedenza caratterstca (o ntrnseca) del mezzo. Le costant prmare sono nvece ε, µ e g. Le costant secondare dpendono dalle costant prmare e dalla frequenza, secondo le note relazon: k = ω µε c = ω µ ε - j g ω = ω µε - jωµg = -jωµg + jωε = = k R - jk j ζ = = µ ε c = ω µε g + ω ε + µ ε - j g ω = jωµg g + ω ε jωµ g + jωε = = ζ R + jζ j jωµg - jωε g + ω ε = Del resto anche le costant prmare ε e µ ne mezz dspersv ( e tutt mezz a rgore lo sono) saranno n generale funzon complesse della varable ω (s pens ad esempo al modello d Lorentz per ε (ω) ). Per quanto rguarda g s può vedere che fno a frequenze al d sotto delle mcroonde (ω sec -1 ) le conducbltà de metall sono essenzalmente real (corrente d conduzone n fase con l campo elettrco) e ndpendent dalla frequenza. A frequenze pù elevate (nfrarosso e oltre) la conducbltà è complessa e vara con la frequenza (modello d Drude). S è vsto che n ambedue le defnzon delle costant secondare compare l fattore (g+jωε). Rcordando che la corrente d conduzone è data da J c =g E, e la corrente d spostamento da jωε E, s drà che un mezzo è buon conduttore se prevale l'effetto della corrente d conduzone, coè se g>> ωε, mentre è un buon delettrco se ωε >>g (è stato nserto l modulo 16

17 per ncludere l caso dspersvo per ε, con la parte mmagnara legata a dsspazon nel delettrco). Ovvamente tale dstnzone dpende dal campo d frequenze che nteressa. Alle alte frequenze, ad esempo frequenze ottche, anche metall, con g dell'ordne d 10 7 S/m, non sono pù degl ottm conduttor. Se un mezzo possede elettron lber, è un conduttore a basse frequenze, un solante negl altr cas. S not che le costant secondare sono qu defnte come caratterstche d un certo mezzo, ndpendentemente dal tpo d campo elettromagnetco che s propaga n quel mezzo (a parte la dpendenza dalla frequenza). E' stato posto k=k R -jk j poché, nell'potes d mezz non dspersv (oppure dspersv, ma non dsspatv, ε e µ real), la quanttà k gace nel quarto quadrante del pano complesso, e s scegle la determnazone della radce quadrata con parte reale postva (che gace coè anch'essa nel quarto quadrante, ed ha qund parte mmagnara negatva). In tal modo k R e k j rsultano entramb postv. Per quanto rguarda ζ s ha nvece che (nelle stesse potes su mezz) ζ gace nel prmo quadrante, e s scegle ζ anch'essa nel prmo quadrante, per cu ζ R ed ζ j sono >0. Separando ora la parte reale da quella mmagnara s ha: k = k R - jk j = k R - k j - jk R k j = ω µε - jωµg Per cu: k R - k j = ω µε k R k j = ωµg Nel caso dell'mpedenza s ha nvece: ζ = ζ R + jζ j = ζ R - ζ j + jζ R ζ j = ω µε + jωµg g + ω ε, per cu: 17

18 ζ R - ζ j = ω µε g + ω ε ζ R ζ j = ωµg g + ω ε Confrontando con l sstema precedente per k, s vede subto che s può porre: ζ R = k R g + ω ε ζ j = k j g + ω ε E' suffcente allora consderare e rsolvere solo l problema per k. Cò sarà fatto nzalmente nelle due stuazon d buon delettrco e d buon conduttore. Nel caso del buon delettrco (ωε>>g) s ha: ω µε >> ωµg, per cu: ω µε + k j >> ωµg Ma: ω µε + k j = k R e ωµg = k R k j, da cu: k R >> k R k j k R >> k R k j k R >> k j E' possble allora trascurare k j rspetto a k R nella prma equazone del sstema per k, e scrvere: k R ω µε k R ω µε Dalla seconda s ha: k j = ωµg k R µg µε = g µ ε g ωε k R Per quanto rguarda ζ, essendo n questo caso: g + ω ε ωε s avrà: 18

19 ζ R k R ωε ζ j k j ωε da cu: ζ R µ ε ζ j g ωε µ ε g ωε ζ R S not che k R e k j rsultano (come gà detto) determnat una volta note ε, µ, g e la frequenza. S consder ora un'onda pana, n cu s ntroducono come è noto l vettore d fase β e quello d attenuazone α. S hanno le note relazon: β - α = ω µε = k R - kj β α = ωµg = k R k j Da tal relazon segue per ncso che dev'essere β 0, noltre β>α, e l'angolo fra β ed α non ottuso. I valor d β e α dpendono dalle caratterstche dell'onda che s propaga n quel mezzo. Per esempo nel caso partcolare dell'onda pana unforme, essendo β e α parallel (e concord), s ha: k = β -j α =(β-jα) β 0 =k β 0, con k=β-jα, per cu k R =β e k j =α Rsulta dal sstema precedente β α = βα Un'altra soluzone del sstema sarebbe β=-k R, α=-k j, non accettable essendo β ed α suppost postv. Le altre due soluzon (l sstema è d quarto grado, qund ha quattro soluzon) sono mmagnare, qund non accettabl. Rcaptolando, per un buon delettrco, s ha per l'onda pana unforme β>>α. Passando ora al caso d buon conduttore (g >> ωε) s ha: 19

20 k = -jωµg +jωε -jωµg k -j ωµg = ωµg 1 - j = ωµg 1 - j Ne segue allora che: k R k j ωµg Ne derva subto: ζ R ζ j ωµ g Nel caso partcolare d un'onda pana unforme n un buon conduttore, ne segue che β e α hanno modulo quas uguale. S consder ora l caso d un mezzo generco. S ha: k j = ωµg k R - ωµg = ω µε k R k R 4k R 4-4k R ω µε - ω µ g = 0 S tratta d un'equazone bquadratca, per cu: k R = 1 8 4ω µε ± 16ω 4 µ ε + 16ω µ g = = 1 ω µε ± ω 4 µ ε 1 + g = ω µε ω ε 1 ± 1 + g ωε Scartando la determnazone con l meno, poché dà luogo a un valore negatvo per k R, s ha: k R = ω µε g ωε + 1 S rtrovano cas partcolar vst n precedenza (buon delettrco e buon conduttore). Per quanto rguarda k j s ha n modo analogo: 0

21 k R = ωµg k j ωµg k j - kj = ω µε 4k j 4 + 4k j ω µε - ω µ g = 0 Per cu: k j = ω µε g ωε avendo anche ora scartato la determnazone negatva; e nfne: k j = ω µε g ωε - 1 S rtrovano anche ora cas partcolar gà vst. Come gà detto, nel caso delle onde pane unform le espresson rcavate sono anche quelle per β e α rspettvamente. S not come β e α abbano entrambe le dmenson fsche d m-1. Tuttava, per rcordare che β s rfersce alla fase (esponenzale mmagnaro) s parla spesso d rad/m, mentre per sottolneare che α è legato al modulo (esponenzale reale) s parla d Neper/m, o Np/m. Per l'attenuazone s usa anche la notazone n decbel a metro (db/m), secondo la defnzone (supponendo z la drezone d propagazone dell'onda): db z = 0 log 10 e -αz = 0 -αz log 10 e 0 -αz = αz Per cu (per lunghezza untara): α db/m ( 8.68 α Np/m Infne dalle espresson per β ne var cas s rcavano la lunghezza d'onda λ=π/β e la veloctà d fase v p = ω/β. S defnsce noltre profondtà d pelle ("skn depth") δ la quanttà: δ=1/α, ossa la dstanza percorsa da un'onda pana unforme per rdurs n modulo d e -1 ( 0.368, ossa a crca l 36.8%. 1

22 Un modo per caratterzzare le perdte d un certo mezzo è l'ntroduzone della cosddetta tangente d perdta ("loss tangent") tanδ (non s confonda δ con la profondtà d pelle). S tratta d un parametro admensonale defnto dalla (rapporto fra parte mmagnara e parte reale): ε c = ε(1-jtanδ) = ε - jε tanδ per cu ε tanδ=g/ω tanδ g =g/ωε, ove l pedce g s rfersce alle perdte ohmche. Usualmente per un certo materale l costruttore assegna o la conducbltà (S/m) oppure la loss tangent. In modo analogo, tangent d perdta possono defnrs per le perdte delettrche e magnetche. In questo caso s porrà: ε(ω)=ε'(ω)-jε''(ω) µ(ω)=µ'(ω)-jµ''(ω) ove al solto una parte mmagnara negatva corrsponde effettvamente a potenza dsspata (come s vede a proposto del teorema d Poyntng). S avrà: tanδ ε = ε"/ε', oppure tanδ µ = µ"/µ' L'effetto d ε" può essere paragonato a quello d una conducbltà (del resto ωε" ha le stesse dmenson d g), e s può defnre una conducbltà equvalente g+ωε". Ad esempo nel rscaldamento a mcroonde de cb l'effetto prevalente è quello d ε". Inoltre l muscolo ha una pù elevata ε" della pelle e de grass, per cu cb vengono scaldat dal forno a mcroonde pù all'nterno che all'esterno. Per questo motvo anche non c s accorge subto d essere "scaldat" a mcroonde, perché sensor d temperatura s trovano all'esterno, sulla pelle. Inoltre ad esempo l vetro e la plastca posseggono bass valor d g (buon solant), ma possono presentare notevol perdte delettrche.

23 Nel caso d mezzo dspersvo (e dsspatvo) sstem d equazon per k ed η non sono pù vald, restano soltanto le defnzon. S not che nel caso d un'onda pana unforme che s propagh n un certo mezzo d costant secondare k ed ζ, è possble assocare ad essa una lnea d trasmssone equvalente, lungo la drezone d propagazone dell'onda. I parametr della lnea (costante d propagazone ed mpedenza caratterstca) vengono a concdere con quell del mezzo. Questa è una caratterstca delle onde TEM (come l'onda pana unforme). S not ancora che le funzon ε'(ω) e ε"(ω) non sono ndpendent fra loro, ossa nota una delle due è possble calcolare l'altra. Questo derva dal fatto che la funzone complessa ε(ω) è olomorfa nel sempano destro della varable complessa s=p+jω. Non c devono coè essere pol nel sempano destro (compreso l'asse mmagnaro). S potrebbe vedere che tale propretà è n generale conseguenza, n un sstema lneare (ε(ω) s può vedere come la funzone d trasfermento d un sstema lneare), delle potes d stabltà (uscta lmtata per ngress lmtat) e causaltà (l vettore D n un certo stante è determnato solo da valor del campo E per stant precedent). Valgono allora n tal potes le cosddette relazon d Kramers- Krong: ε' ω = ε 0 + π ω'ε''ω ' ω' - ω dω' ε''ω = - π 0 ω ε' ω ' - ε 0 ω' - ω dω' Relazon analoghe valgono anche per µ(ω). Esse sono noltre perfettamente analoghe alle relazon fra parte reale e mmagnara delle funzon mpedenza. 3

24 S not nfne che esste un legame fra le relazon d Kramers-Krong e la trasformata d Hlbert (rspetto alla pulsazone). S ha n partcolare che ε'(ω)- ε 0 = -H(ε"(ω)) e che ε"(ω) = H(ε'(ω)-ε 0 ). Rcordando po che ε'(ω) è una funzone par ed ε"(ω) una funzone dspar (essendo ε(ω) la trasformata d una funzone reale), dalle trasformate d Hlbert seguono le relazon d Kramers-Krong con semplc passagg. Concludendo, è possble, da esperment d assorbmento, rcavare emprcamente ε"(ω) e qund calcolare ε'(ω). S not nfne che non può esstere un mezzo (a parte l vuoto) che sa dspersvo e non dsspatvo per ogn ω, ossa avente la parte mmagnara dentcamente nulla. Questo porterebbe nfatt, dalla prma relazone d Kramers-Krong, ad avere la parte reale concdente con ε 0. 4

25 Onde pane unform Come è noto, s hanno onde pane unform n due cas: quando l vettore d attenuazone α è nullo, e quando esso è parallelo al vettore d fase β. Nel prmo caso l vettore d propagazone k è reale, nel secondo caso è complesso, ma polarzzato lnearmente (versore reale). S è vsto che n entramb cas s ha un'onda TEM (trasversa elettromagnetca) rspetto alla drezone d propagazone, ossa l pano d polarzzazone per vettor E ed H (n generale polarzzat ellttcamente) è ortogonale alla drezone d propagazone. Consderando le poszon: E o = E R +j E j H o = H R +j H j con E = E o e -jk r H = H o e -jk r non è detto n generale che, pres separatamente, vettor real E R e H R (ed vettor real E j e H j ) rappresentno un'onda pana, una volta moltplcat per l'esponenzale. Occorre come è noto verfcare che sa: 1) k k = k x + k y + k z = ωµε c, affnché s tratt d una soluzone dell'equazone d Helmholtz (condzone d separabltà). Ovvamente tale condzone n questo caso è verfcata, essendo per potes la coppa E, H un'onda pana. ) k E o = 0, affnché s tratt d una soluzone delle equazon d Maxwell (condzone agguntva E =0). Nel caso dell'onda pana unforme s ha: ( E R +j E j ) k = ( E R +j E j ) k β o = 0 ove k=β-jα. Da cu: E R β o =0 E j β o =0 e qund k E R =0 e k E j =0 5

26 3) resta a questo punto determnato H o = (1/ωµ) k E o, per cu occorre controllare che anche questa sa verfcata. Nel caso n cu α =0 s ha: H R +j H j =(1/ωµ) β ( E R +j E j ) Separando parte reale e parte mmagnara: H R =(1/ωµ) β E R =(1/ωµ) k E R H j =(1/ωµ) β E j =(1/ωµ) k E j per cu ho effettvamente scomposto n due onde pane, è possble applcare la sovrapposzone degl effett. Nel caso nvece n cu α // β le prme due condzon sono ancora verfcate, mentre dalla terza s ha: ( β -j α ) ( E R +j E j )=ωµ( H R +j H j ), e separando parte reale e parte mmagnara: β E R + α E j =ωµ H R - α E R + β E j =ωµ H j In questo caso le equazon non s separano, e non s può concludere che k E R =ωµ H R e k E j =ωµ H j. Non è possble scomporre n questo modo n due onde pane. Per ottenere la scomposzone d E o e H o n due vettor polarzzat lnearmente (anche se non pù real), s può prendere la drezone d propagazone come asse z, l pano d polarzzazone come pano xy, e porre: E o =E ox x o +E oy y o = E ox + E oy H o =H ox x o +H oy y o = H ox + H oy con E ox, E oy, H ox e H oy n generale compless, ma ovvamente polarzzat lnearmente. S consderno ora le coppe E ox, H oy e E oy, H ox e s controll che s tratt separatamente d onde pane. Essendo k dretto lungo z s ha (condzone ): k E ox =0 e k E oy =0 Per quanto rguarda la condzone 3) s ha, dalla: k E o =ωµ H o che: 6

27 k ( E ox + E oy )=ωµ( H ox + H oy ) k E ox + k E oy =ωµ H ox +ωµ H oy Il vettore k E ox è polarzzato lnearmente nella drezone y, mentre k E oy nella drezone x. Per cu uguaglando separatamente s ha: k E ox =ωµ H oy k E oy =ωµ H ox S è dunque vsto come sa sempre possble, nel caso dell'onda pana unforme, scomporre una generca polarzzazone ellttca n due (onde pane) polarzzate lnearmente. Per cu non s perde n generaltà a consderare onde pane unform polarzzate lnearmente. Sempre per un'onda pana unforme, dalla: H =(1/ωµ) k E segue: H =(k/ωµ) β o E = (ε c /µ) 1/ β o E = (1/ζ) β o E = (1/ζ) k o E essendo ζ l'mpedenza caratterstca del mezzo, n generale complessa (nel vuoto s ha ζ o 10π Ω 377 Ω). Le dmenson fsche sono quelle d un'mpedenza, n quanto H ha dmenson (nel caso de fasor) A/m, E ha dmenson V/m e l versore è admensonale. In termn d campo elettrco s ha nvece: E =(1/ωε c ) H k = (k/ωε c ) H β o = (µ/ε c ) 1/ H β o = ζ H β o = ζ H k o S not tuttava che queste relazon con l'mpedenza possono scrvers anche per un'onda pana generca (non unforme), n cu coè l vettore complesso k non sa polarzzato lnearmente. S può sempre porre, nfatt: k =k k o =ω µε c k o, ove però k o, defnto dalla k o = k /(ω µε c), sarà n generale complesso. Il vettore k scuramente non è polarzzato crcolarmente, perché k = β - j α, con β ed α d modulo dverso. Il vettore k o sarà d modulo n generale non untaro, ma d ampezza (complessa) untara. Sarà noltre sempre vero che: 7

28 k o E =0 e k o H =0 Anche per vettor E ed H, che non saranno n generale polarzzat lnearmente, s potrà però sempre scrvere (a parte l caso d polarzzazone crcolare): E =E e o H =H h o, con: k o e o =0 e k o h o =0 con E ed H ampezze complesse. Scrvendo allora la relazone per l campo elettrco: E e o =ζh h o k o s rcava, uguaglando la parte scalare e quella vettorale: E=ζH e o = h o k o Qund fra le ampezze complesse la relazone d mpedenza è valda n generale. Dalla relazone vettorale segue, moltplcando vettoralmente a snstra per k o : k o ( h o k o )=( k o k o ) h o -( k o h o ) k o = h o = k o e o S ha po: e o h o = e o ( k o e o )=( e o e o ) k o -( e o k o ) e o = k o Sostanzalmente 3 pseudoversor e o, h o, k o s comportano come x o, y o, z o rspettvamente ne prodott vettoral. Mentre la relazone d mpedenza fra le ampezze complesse è vera sempre, la relazone analoga fra modul vale se k o è reale ( k polarzzato lnearmente, ossa onda pana unforme). Infatt n questo caso, dalla: E =ζ H β o con H β o *= H β o =0 s può concludere che l modulo del prodotto vettorale è l prodotto de modul, e scrvere: E = ζ H β o = ζ H β o = ζ H ove ζ è complessa nel caso α 0, reale nel caso α =0. 8

29 Consderando ora corrspondent vettor nel domno del tempo, s possono fare alcune osservazon. S è vsto che per vettor compless s ha, per un'onda pana del tutto generale: E H =0 E o H o =0. Nel domno del tempo s ha nvece: E (t)=re[ E e jωt ]=Re[ E o e -jβ r e -α r e jωt ]=e-α rre[( E R +j E j )e -jβ r e jωt ]= =e - α r[ E R cos(ωt- β r )- E j sn(ωt- β r )] e analogamente: H =e -α r [ H R cos(ωt- β r )- H j sn(ωt- β r )] S ha allora: E (t) H (t)=e -α r [ E R H R cos (ωt- β r )- E R H j cos(ωt- β r )sn(ωt- β r )+ - E j H R sn(ωt- β r )cos(ωt- β r )+ E j H j sn (ωt- β r )] D'altra parte, dalla E o H o =0 segue: ( E R +j E j ) ( H R +j H j )=0 ossa: E R H R +j E R H j +j E j H R - E j H j =0 Separando parte reale e parte mmagnara s ha: E R H R = E j H j, E R H j =- E j H R Per cu rsulta: E (t) H (t)=e -α r E R H R =e -α r E j H j per un'onda pana del tutto generale. S not che tale prodotto scalare non dpende dal tempo. Nel caso generale non sarà vero che E R H R = E j H j =0, per cu vettor nel tempo non sono ortogonal. Neppure nel caso n cu l'onda pana sa unforme con α 0. Se nvece s ha α =0, dalle relazon vste n precedenza segue: β x E R =ωµ H R β x E j =ωµ H j E R H R =0= E j H j 9

30 per cu n questo caso vettor nel tempo sono ad ogn stante ortogonal fra loro. S consder ora la relazone d mpedenza per vettor nel domno del tempo. S è vsto che s può decomporre la generca onda pana unforme che s propagh nella drezone z n due onde pane polarzzate lnearmente, date da E ox, H oy e E oy, H ox. Valgono le relazon fra le ampezze complesse: E ox =ζh oy E oy =-ζh ox Nella seconda equazone s è usato l segno meno, l che corrsponde a prendere l versore (- x o ) per mantenere l carattere destro della terna e o, h o, k o. Consderando ora vettor nel domno del tempo, s ha per l caso prvo d perdte ( α =0): E (t)=e x (t) x o +E y (t) y o, con: E x (t)=re[e ox e -jβz e jωt ]=E oxr cos(ωt-βz)-e oxj sn(ωt-βz) E y (t)=re[e oy e -jβz e jωt ]=E oyr cos(ωt-βz)-e oyj sn(ωt-βz) ove, essendo ζ reale, s ha: E oxr =ζh oyr E oxj =ζh oyj E oyr =-ζh oxr E oyj =-ζh oxj Per l campo magnetco s ha: H (t)=h x (t) x o +H y (t) y o, con: H x (t)=re[h ox e -jβz e jωt ]=H oxr cos(ωt-βz)-h oxj sn(ωt-βz) H y (t)=re[h oy e -jβz e jωt ]=H oyr cos(ωt-βz)-h oyj sn(ωt-βz) Calcolando modul nel domno del tempo s ha: H (t) =H x +Hy =[HoxR cos(ωt-βz)-h oxj sn(ωt-βz)] + +[H oyr cos(ωt-βz)-h oyj sn(ωt-βz)] Per l campo elettrco nvece: E (t) =E x +Ey =[ζhoyr cos(ωt-βz)-ζh oyj sn(ωt-βz)] + 30

31 +[-ζh oxr cos(ωt-βz)+ζh oxj sn(ωt-βz)] =ζ H (t) E (t) =ζ H (t) Rassumendo, due vettor E (t) e H (t) sono ad ogn stante ortogonal, e modul dfferscono per un fattore costante ζ. La dmostrazone non è pù valda nel caso d α 0. Onde pane TE, TM e TEM E' noto che un'onda pana unforme è sempre un'onda TEM rspetto alla drezone d propagazone. D'altra parte rsulta vero anche l vceversa, nell'ambto delle onde pane. Ossa un'onda pana TEM rspetto alla drezone d propagazone (che è n generale la drezone del vettore β, per cu s potzza β E =0 e β H =0) rsulta unforme, ossa β // α. Infatt, dalle relazon general, sempre valde per onde pane: k E =0e k H =0, segue: ( β -j α ) E = β E -j α E =0 => α E =0 ( β -j α ) H = β H -j α H =0 => α H =0 Se per assurdo non fosse β // α, allora quest due vettor real ndvduerebbero un pano, e dovendo essere β E =0 e α E =0, l vettore E dovrebbe essere polarzzato lnearmente nella drezone ortogonale a tale pano. La stessa cosa varrebbe per H, che rsulterebbe polarzzato lnearmente nella stessa drezone d E. Ma allora non potrebbe essere verfcata l'altra relazone generale E H =0. E' noto anche che se s consdera un'onda pana n cu l campo elettrco sa polarzzato lnearmente, tale onda rsulta un'onda TE rspetto alla drezone d propagazone. S not che cò è vero sa se g=0 (e allora α β, altrment se fosse α =0 s rcadrebbe nel caso TEM), sa se g 0 (e α non parallelo a β ). Infatt, n ogn caso, se E è polarzzato lnearmente s può scrvere per E o : 31

32 E o = E R (1+jb) per cu dalla relazone generale k E o =0 segue: ( β -j α ) E R (1+jb)=0, da cu β E R =0 β E =0 (e anche α E =0) Per l campo magnetco è noto che esso rsulta polarzzato (n generale ellttcamente) nel pano ndvduato da β e α. S può vedere che vale anche l vceversa, ossa se un'onda pana è TE rspetto alla drezone d propagazone (ossa E β =0) allora l campo elettrco rsulta polarzzato lnearmente lungo la drezone ortogonale al pano ndvduato da β e α. Infatt ovvamente, dalla k E =0 segue: β E -j α E =0 => E α =0 Analogamente s può vedere che per l campo magnetco l'potes d essere polarzzato lnearmente è equvalente all'avere un'onda TM rspetto alla drezone d propagazone. S not noltre che le onde pane TE e TM hanno soltanto tre component d campo (delle se) dverse da zero, e coè la componente d E (o d H rspettvamente) ortogonale al pano ndvduato da β e α, e le due component d H (o d E ) sul pano ndvduato da β e α. Questo fatto non è vero, ad esempo, per mod TE e TM n una guda d'onda (tranne partcolar valor per gl ndc d modo). S not nfne che s possono defnre anche camp TE e TM (rspetto ad una arbtrara drezone) n modo ancor pù generale (che non sano necessaramente onde pane), e s può dmostrare che n generale un arbtraro campo elettromagnetco s può esprmere come somma d un campo TE e d uno TM. Cascuno d tal camp può noltre venr rcavato a partre da una funzone scalare che soddsfa l'equazone d Helmholtz omogenea. 3

33 Vettore d Poyntng per onde pane S consder ora l'espressone del vettore d Poyntng per una generca onda pana. S ha: P = (1/) E H *=(1/) E [1/(ωµ) k E ]*=(1/ωµ*) E ( k * E *) = =(1/ωµ*) E o e -jk r ( k * E o *e jk* r )=(1/ωµ*) e -jk r e jk* r E o ( k * E o *) = =(1/ωµ*) e -jβ r e -α r e jβ r e -α r E o ( k * E o *) = = (1/ωµ*) e -α r E o ( k * E o *) Dalla regola del doppo prodotto vettorale segue: P = (1/ωµ*) e -α r [( E o E o *) k *-( E o k *) E o *]=(1/ωµ*) e -α r [ E o ( β +j α )-( E o k *) E o *] In modo analogo s poteva calcolare P n funzone del solo campo magnetco, ottenendos: P = (1/ωε c ) e -α r [ H o ( β -j α ) -( H o * k ) H o ] Consderando d nuovo la prma espressone, s vede che P ha una parte reale (per mezz non dspersv, o comunque non dsspatv) dretta come β (drezone d propagazone), una parte mmagnara dretta come α, oltre a un termne complesso, dato da: (-1/ωµ*) e -α r ( E o k *) E o * A questo proposto s not ancora una volta che la condzone (sempre vera) k E o =0 non mplca n generale che sa E o k *=0. Questo però s verfca, come s è detto, se almeno uno de due vettor E o e k è polarzzato lnearmente (oppure n partcolare è reale). Il caso d E o polarzzato lnearmente s è vsto che concde con l caso dell'onda pana TE (rspetto alla drezone d β ), mentre k polarzzato lnearmente corrsponde all'onda TEM. In tal stuazon rmane: P = (1/ωµ*) E o ( β +j α ) e -α r 33

34 Analogamente dall'espressone d P n funzone d H s vede che nel caso TEM o nel caso TM ( H o polarzzato lnearmente) s ha: P = (1/ωε c ) H o ( β -j α )e -α r Nel caso partcolare d conducbltà g nulla, β e α rsultano ortogonal. Esamnando ancora l'espressone n funzone d E, s può dmostrare (per µ reale) che l termne complesso è tale che la sua parte reale è ortogonale ad α, mentre la sua parte mmagnara è ortogonale a β. Qund s può scrvere n generale: P = (1/ωµ) E o β e -α r +j (1/ωµ) E o α e -α r + ( Re +j Im ) con Re α =0, Im β =0 Dunque nel caso d mezz prv d perdte ( β α ), l'ntera parte reale d P non ha component lungo la drezone d α, e l'ntera parte mmagnara d P non ha component lungo la drezone d β. Questo però non sgnfca che n generale la parte reale d P sa dretta come β e che la parte mmagnara sa dretta come α : nfatt l termne Re non sarà n generale parallelo a β, e l termne Im non sarà parallelo ad α. Cò s verfca tuttava ne cas TE, TM e TEM, cas n cu l termne ( Re +j Im ) s annulla. E' comunque mpropro per ncso assocare senza precauzon la parte reale del vettore d Poyntng ad un flusso d potenza attva, la parte mmagnara alla potenza reattva. Tornando nfne all'espressone nzale d P, s not che per un'onda pana generca l vettore d Poyntng dpende dalle coordnate solo tramte l fattore esponenzale e -α r. Esso è qund costante sul generco pano equampezza ortogonale ad α. Allora se P ha una componente reale nella drezone d α, s ha per così dre un flusso nfnto d potenza attva attraverso l pano stesso. 34

35 Cò avvene n mezz con perdte, oppure quando α =0 (caso n cu tutto lo spazo è equampezza). Questo rsultato assurdo è una conseguenza de lmt d valdtà fsca della soluzone onda pana. La sngola onda pana nfatt (come l'onda monocromatca nel caso della dpendenza dal tempo) contraddce l prncpo d ndetermnazone d Hesenberg. Questo non togle che una opportuna sovrapposzone d onde pane (spettro d onde pane) possa dar luogo a soluzon fscamente realzzabl (così come una sovrapposzone d onde monocromatche può dar luogo ad una dpendenza dal tempo realstca). 35

36 Vettore d Poyntng per ncdenza normale d onde pane unform S consderno ora le espresson per l vettore d Poyntng nel caso d ncdenza normale d un'onda pana unforme (polarzzata lnearmente) sulla superfce pana d separazone fra due mezz dvers. S supponga l mezzo 1 (da cu provene l'onda) prvo d perdte (g 1 =0, k 1 = β 1 reale, ed ζ 1 reale). L'asse z è entrante nel mezzo. Nel caso d trasmssone totale, che però per ncdenza normale può avvenre solo se l mezzo è dentco al mezzo 1, s avrebbe come è noto (ndcando con gl apc camp ncdente e rflesso e supponendo l campo elettrco polarzzato lungo x): E 1 = E =E o x o e -jβz =E 1 (z) x o H 1 = H =H o y o e -jβz =(E o /ζ 1 ) y o e -jβz =H 1 (z) y o con β=β 1 =ω µ 1 ε 1 Il vettore d Poyntng avrebbe l'espressone: P 1 =(1/) E 1 H 1 *=(1/) z o (E o e -jβz )(E o */ζ 1 e jβz )=(1/) E o /ζ 1 z o = =(1/) E 1 H * 1 z o Esso rsulterebbe puramente reale (flusso d potenza attva nella drezone z) e ndpendente da z, potendos qund pensare (con le debte cautele) come la potenza meda (n regme snusodale) trasportata dall'onda per untà d superfce normale a β. Il fatto che P 1 sa reale è legato al fatto che E 1 e H 1 sono n fase (essendo E 1 =ζ 1 H 1, con ζ 1 reale, s ha E 1 H 1 *=ζ 1 H 1 H 1 *=ζ 1 H 1, reale). S tratta d un'onda puramente progressva. Nel caso nvece d rflessone totale (che per ncdenza normale può avvenre solo se l mezzo è un conduttore perfetto) s ha come è noto, nel mezzo 1: E 1 = E + E r = x o (E o e -jβ1z +Eo r e jβ1z )= x o E o (e -jβ1z - e jβ1z )= 36

37 =- x o E o jsn(β1 z)=e 1 (z) x o H 1 = H + H r = y o (H o e -jβ1z -Ho r e jβ1z )= y o H o (e -jβ1z + e jβ1z ) = y o H o cos(β1 z)= = y o E o /(ζ1 ) cos(β 1 z)=h 1 (z) y o essendo E r o =-Eo, Ho r =-Ho. S not che H1 E 1 /ζ 1, perché la relazone d mpedenza vale sngolarmente per camp ncdente e rflesso, ma non per l campo somma. S ha per l vettore d Poyntng: P 1 =-(1/) z o E o j sn(β1 z) (E o */ζ1 ) cos(β 1 z)= =- z o E o /(ζ1 ) jsn(β 1 z)cos(β 1 z)=-j E o /ζ1 sn(β 1 z) z o = (1/) E 1 H * 1 z o Esso rsulta dpendente da z e puramente mmagnaro (potenza reattva). Cò è legato al fatto che E 1 e H 1 sono n quadratura. Infatt se E 1 =±j rh 1, con r reale, s ha: E 1 H 1 *=±j rh 1 H 1 *=±j r H 1, quanttà puramente mmagnara. S tratta d un'onda puramente stazonara. Negl altr cas E 1 H 1 * rsulta dotato sa d parte reale che d parte mmagnara. S ha E 1 =ch 1 =Me jφ H 1, per cu: E 1 H 1 *=Me jφ H 1 Nel caso generale, n cu non c'è rflessone totale, ma c'è ovvamente rflessone, s ha per camp nel mezzo 1: E 1 =E o x o e -jβ 1z +Eo r x o e jβ 1z =E1 (z) x o H 1 =H o y o e -jβ 1z -Ho r y o e jβ 1z =Eo /(ζ1 ) y o e -jβ 1z -Eo r /(ζ1 ) y o e jβ 1z = H1 (z) y o Per cu s ha l vettore d Poyntng: P 1 = z o (1/)(E o e -jβ 1 z +Eo r e jβ 1 z )(Eo */(ζ1 )e jβ 1z -Eo r */(ζ1 ) e -jβ 1z ) = = z o (1/ζ 1 ) ( E o - Eo r )- (j/ζ1 ) z o Im[E o Eo r *e -jβ 1 z ] Qund la potenza reale (parte reale del vettore d Poyntng) è la somma algebrca delle potenze (real) assocate all'onda ncdente e all'onda rflessa. Inoltre v è una parte mmagnara, che costtusce l termne cosddetto d nterferenza, dovuto al fatto che l calcolo del vettore d 37

38 Poyntng non è ovvamente un'operazone lneare, qund non s possono semplcemente sommare vettor d Poyntng delle due onde progressve component (ncdente e rflessa). S tratta n questo caso d un'onda n parte progressva e n parte stazonara. La parte mmagnara è la sola a comparre se E o = Eo r, ovvero qe =1, rflessone totale. Dunque nel caso generale, n cu c'è rflessone, ma non totale, per cu E o > Eo r, c sarà un flusso d potenza reale nella drezone entrante nel mezzo (come è ovvo, vsto che bsogna almentare n qualche modo l'onda trasmessa). Per quanto rguarda nvece la potenza reattva, legata al termne: Im[E o Eo r *e -jβ 1 z ] s può vedere che tale quanttà è nulla per ogn z se e solo se E o r =0, ossa assenza d onda rflessa. Infatt s ha: Im[E o Eo r *e -jβ 1 z ]=Im{[Re(Eo Eo r *)+jim(eo Eo r *)][cos(β1 z)-jsn(β 1 z)]} =-Re(E o Eo r *)sn(β1 z)+im(e o Eo r *)cos(β1 z) Essendo l seno e l coseno lnearmente ndpendent, l'annullars dell'espressone precedente per ogn z mplca che sa: Re(E o Eo r *)=Im(Eo Eo r *)=0 E o Eo r *=0 Eo r =0, essendo per potes Eo 0. Rmane da osservare che la parte reale del vettore d Poyntng nel mezzo 1, ossa: z o (1/)( E o /ζ1 - E r o /ζ1 ) è uguale al vettore d Poyntng nel mezzo (che rsulta reale nell'potes d assenza d perdte e supponendo l mezzo ndefnto). S ha nfatt: P =(1/) E H *=(1/) E t H t *=(1/) E t o /(ζ ) z o D'altra parte, dalle condzon d contnutà all'nterfacca per le component tangenzal del campo elettromagnetco, s aveva: E o t =Eo +Eo r 38

39 H t o =Ho -Ho r Eo t /ζ =(E o -Eo r )/ζ1 S ha allora: E t o /ζ =E t o Eo t */ζ = (1/ζ 1 ) (E o -Eo r )(Eo *+Eo r *)= = (1/ζ 1 )( E o +Eo Eo r *-Eo r Eo *- Eo r ) S rcord ora che E r o =qe E o, ove qe è reale nelle nostre potes d assenza d perdte, essendo (mezzo ndefnto) q E =(ζ -ζ 1 )/(ζ +ζ 1 ), dunque E r o ed E o sono n fase. Per cu: E r o Eo *=qe E o, quanttà reale, e qund uguale al suo conugato E o Eo r *. S ha allora: E t o /ζ =(1/ζ 1 ) ( E o - Eo r ), e nfne: P =(1/) (1/ζ 1 ) ( E o - Eo r ) z o come volevas dmostrare, e n accordo con l prncpo d conservazone dell'energa. S consderano ora le grandezze elettromagnetche nel domno del tempo, nzando dal caso d polarzzazone lneare. Nel caso d onda puramente progressva (trasmssone totale), s ha n mezz prv d perdte (ζ reale) e supponendo per semplctà (ma senza perdta d generaltà) E o reale postvo e β=β 1 : E (z,t)=re[ E (z)e jωt ]=Re[E o x o e -jβz e jωt ]=E o x o cos(ωt-βz) Il caso d E o genercamente complesso (coè dotato d una fase dversa da zero e da π) può rcondurs semplcemente ad un cambamento d orgne nell'asse de temp. Per l campo magnetco s ha: H (z,t)=re[(e o /ζ) y o e -jβz e jωt ]=(E o /ζ) y o cos(ωt-βz) Da cu, per l vettore d Poyntng: P (z,t)= E (t) H (t)= z o E o cos(ωt-βz)(e o /ζ) cos(ωt-βz)= =(E o /ζ) z o cos (ωt-βz) (S rcord che nel domno della frequenza P =(1/) (E o /ζ) z o e che cos x=[1+cos(x)]/) 39

40 Ovvamente l vettore d Poyntng complesso non è l fasore del vettore d Poyntng nel domno del tempo, poché comporta un'operazone d prodotto vettorale, non lneare rspetto al campo elettromagnetco. Calcolando ora le denstà d energa elettrca e magnetca s ha: w E (z,t)=(1/) ε E (t) E (t)=(1/) ε E o cos (ωt-βz) w H (z,t)=(1/) µ H (t) H (t)=(1/) µ (E o /ζ ) cos (ωt-βz)= =(1/) ε E o cos (ωt-βz) =we Come s vede, le due denstà d energa sono ugual, per cu l'energa totale è rpartta equamente nelle due forme. S può anche defnre una veloctà dell'energa. Infatt, pensando la veloctà come lo spazo percorso dall'energa nell'untà d tempo, e consderando l flusso d energa attraverso una superfce d area untara, ortogonale alla drezone d propagazone, tale spazo percorso concde numercamente con l volume occupato dall'energa che attraversa tale area nell'untà d tempo, coè dalla potenza. Tale potenza non è altro che l modulo del vettore d Poyntng. Per ottenere allora l volume cercato, basta dvdere tale quanttà per la denstà d energa, ottenendo: v e =P(t)/[w E (t)+w H (t)]=[(e o /ζ)cos (ωt-βz)]/[εeo cos (ωt-βz)]=1/(ζε)= = 1/ µε =v Tale quanttà v (veloctà della luce nel mezzo) è anche, come è noto, la veloctà d fase. Tuttava n altr cas queste due veloctà non sono necessaramente ugual. S rcord che la veloctà dell'energa è vncolata ad essere al massmo uguale alla veloctà della luce nel mezzo v, a dfferenza della veloctà d fase, che può essere anche maggore. La confgurazone del campo elettromagnetco è ad un certo stante (t=0) del tpo n fgura seguente. Il perodo delle oscllazon lungo z è π/β=π/(π/λ)=λ. I camp rsultano n fase, ad un massmo d E corrsponde un massmo d H, e così per mnm. 40

41 Al varare del tempo, le sagome s spostano rgdamente nel verso delle z postve, alla veloctà d fase. x E 0 E E 0 η y H z S consder ora l caso d onda puramente stazonara (rflessone totale), sempre per polarzzazone lneare. S ha nel domno del tempo (supponendo E o =E o reale postvo): E (z,t)=re[- x o E o j sn(βz)e jωt ]= x o E o sn(βz)sn(ωt) H (z,t)=re[(e o /ζ) y o cos(βz)e jωt ]= (E o /ζ) y o cos(βz)cos(ωt) La confgurazone del campo elettromagnetco è ad un certo stante (ωt=π/4) del tpo: x E o E E o η y H z 41

42 In questo caso camp sono n quadratura, con E (t) che raggunge l suo valore d pcco quando H (t) vale zero, e vceversa. Inoltre, coerentemente con la natura stazonara dell'onda, non c'è spostamento delle sagome nella drezone z. In corrspondenza a nod dell'onda stazonara per E, ossa su pan βz=nπ, z=nπ/(π/λ)=nλ/ con n ntero, s ha per ogn t: E =0. Il fatto che l campo elettrco tangenzale sa nullo su un certo pano geometrco permetterebbe d sostture a tale pano un pano fsco perfettamente conduttore. Infatt tale sosttuzone non modfca le condzon al contorno, e qund non altera l campo elettromagnetco. Questo fa capre come nel caso dell'onda stazonara s abba una stuazone a compartment stagn, senza nfluenze fra queste regon d spessore λ/. Per l vettore d Poyntng s ha: P (z,t)= z o E o sn(βz) sn(ωt) (E o /ζ) cos(βz) cos(ωt)= =4 z o (E o /ζ) sn(βz) cos(βz) sn(ωt) cos(ωt)= z o (E o /ζ) sn(βz) sn(ωt) S trova conferma del fatto che l valor medo nel tempo è nullo (non c'è flusso d potenza n meda). Per le denstà d energa s ha: w E (z,t)=(1/) ε 4 E o sn (βz) sn (ωt)=ε Eo sn (βz) sn (ωt) w H (z,t)=(1/) µ (E o /ζ ) 4 cos (βz) cos (ωt)=ε Eo cos (βz) cos (ωt) Come s vede, negl stant n cu la denstà d energa elettrca è massma, la denstà d energa magnetca è zero, e vceversa. L'energa vene scambata tra le forme elettrca e magnetca. S consder ora l caso d polarzzazone crcolare, e d onda puramente progressva (trasmssone totale), ossa del tpo (fasore): E =( x o -j y o )E o e -jβz Il verso d polarzzazone è antoraro, se s guarda dal sempano z>0 (essendo E y =-je x ). 4

43 Il campo magnetco sarà dato dalla relazone: H =(1/ζ) z o E, ossa: H =(1/ζ) z o ( x o -j y o )E o e -jβz =(1/ζ) ( y o +j x o )E o e -jβz =j( x o -j y o ) (E o /ζ) e -jβz I camp E ed H sono n quadratura. Nel domno del tempo s ha (supponendo E o reale): E (z,t)=re[( x o -j y o )E o e -jβz e jωt ]=E o x o cos(ωt-βz)+e o y o sn(ωt-βz) (E o sarebbe l raggo della crconferenza) H (z,t)=re[(1/ζ) ( y o +j x o )E o e -jβz e jωt ]= = (E o /ζ) y o cos(ωt-βz)-(e o /ζ) x o sn(ω t-βz) Le sagome d E x e E y, H x e H y s spostano rgdamente nel tempo con la veloctà d fase. In questo caso una rappresentazone dnamca dell'onda rcorda un moto elcodale nella drezone z. S può verfcare (come doveva essere, trattandos d un'onda pana unforme n mezz prv d perdte) che s ha E (z,t) H (z,t)=0 per ogn t. Consderando ora l vettore d Poyntng s ha: P (z,t)=[e o x o cos(ωt-βz)+e o y o sn(ωt-βz)] [E o /(ζ) y o cos(ωt-βz)+ -E o /(ζ) x o sn(ωt-βz)]= = z o (E o /ζ) cos (ωt-βz)+ z o (E o /ζ) sn (ωt-βz)= z o (E o /ζ) Per le denstà d energa s ha: w E (z,t)=(1/) ε[e o cos (ωt-βz)+e o sn (ωt-βz)]=(1/) ε E o w H (z,t)=(1/) µ[(e o /ζ ) cos (ωt-βz) + (E o /ζ ) sn (ωt-βz)]= = (1/) (µ/ζ ) E o =(1/) ε Eo =we Come s vede, nel caso della polarzzazone crcolare non c'è varazone delle denstà d potenza e d energa nel tempo e nello spazo. S ha un flusso stazonaro d potenza. Per l vettore d Poyntng complesso s ha: P =(1/) E H *=(1/)( x o -j y o )E o e -jβz (-j)( x o +j y o ) (E o /ζ) e jβz = =-(1/) j(e o /ζ)( x o -j y o ) ( x o +j y o )=-(1/)j(E o /ζ)(j z o +j z o )=(E o /ζ) z o ) P (z,t) puramente reale, come doveva essere. 43