TEOREMI DI EQUIVALENZA E SIMMETRIE

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1 Facoltà d Ingegnera Corso d laurea specalstca n Ingegnera Elettronca Dspense per l corso d Camp Elettromagnetc II Prof. Fabrzo Frezza TEOREMI DI EQUIVALENZA E IMMETRIE Gampero Lovat Unverstà Laapenza droma ROMA A.A

2 1 Introduzone In questa pccola dspensa c s propone d enuncare e dmostrare alcun mportant teorem della teora elettromagnetca. I fn che tal dmostrazon s pongono varano da caso a caso: ad esempo, l teorema d unctà llustra qual condzon sono necessare per ndvduare unvocamente una soluzone delle equazon d Maxwell. D altro canto, l teorema d equvalenza (nelle sue vare verson), sebbene conduca a relazon che d per sé sono esatte, serve soprattutto come suggermento per metod d rsoluzone approssmata. Infne, l utlzzo astuto delle smmetre può semplfcare notevolmente la formulazone del problema elettromagnetco. Teorema d unctà Come n qualsas problema d rsoluzone d equazon dfferenzal, prma d procedere alla determnazone d un campo elettromagnetco è opportuno ndvduare un nseme d condzon che garantscano, quando sono verfcate, l unctà della soluzone delle equazon d Maxwell. Da un lato, c s asscura così che l problema può essere affrontato senza temere l esstenza d altre soluzon. Da un altro lato, lo stesso teorema, ndvduando l nseme mnmo d dat che garantscono l unctà della soluzone, nduce alla cautela n quelle stuazon n cu le equazon d Maxwell sono rsolte partendo da un nseme d dat pù ampo d quello mnmo: n partcolare, vncol sovrabbondant non potranno essere ndpendent da quell necessar. Tuttava, s potrebbe pensare che determnando dat spermentalmente sa lecto assegnare condzon sovrabbondant, perché valor che s hanno nella realtà sonocertamente compatbl. Basta però pensare che rsultat dell espermento sono sempre affett da error per renders conto dell nutltà d questo ragonamento. Pertanto un problema è benposto solo se dat d partenza non sono sovrabbondant. rchama ora brevemente la formulazone del teorema d unctà nel domno della frequenza che sarà la base per la dmostrazone de rsultat successv. Teorema 1 (d unctà) Data una regone V dello spazo occupata da un mezzo lneare, stazonaro, non dspersvo e con conducbltà ovunque non nulla (sebbene arbtraramente pccola), delmtata da una superfce chusa su cu sa stata fssata una normale esterna,è unco n ogn punto d V l campo elettromagnetco che soddsfa le seguent condzon: 1) è soluzone delle equazon d Maxwell e delle relazon costtutve n ogn punto d V ;

3 2 2) è tale da soddsfare su ogn punto della superfce una assegnata condzone d mpedenza: E t = Z H t (1) oppure una condzone d ammettenza: H t = Y E t (2) essendo Z e Y delle quanttà scalar 1. rcorda che, n relazone a una superfce su cu sa stata fssata una normale esterna, un generco vettore A s può scomporre nella somma d due vettor A t e A n, che prendono l nome rspettvamente d componente tangenzale e componente normale. defnscono coè: A t = (A ) (3) A n =( A) = A n coscché: A = A t + A n = A t + A n (4) E mportante aggungere, per le consderazon successve, che l teorema d unctà contnua a valere anche nel caso n cu la regone V sa llmtata. In tal caso l potes da formulare per l comportamento al contorno è la condzone d radazone (o condzone d ommerfeld). Per un mezzo omogeneo e sotropo s rchede allora: ( ) 1 µ E = ζ H r 0 + o, ζ = r ε (5) e lm r E < + (6) r dove r = r r 0 è l vettore che unsce un orgne 0 (arbtraramente scelta) con un punto al fnto 2. 1 E tuttava bene precsare che l potes d mezzo a conducbltà σ nulla (ossa, mezzo prvo d perdte) è spesso molto utle e largamente mpegata nella rsoluzone matematca delle equazon d Maxwell. Essa non è n contrasto con l teorema d unctà n que cas n cu la soluzone del caso σ = 0 concde con l lmte, per σ 0 della soluzone con perdte; nfatt le potes del teorema d unctà mplcano solo l esstenza d perdte non nulle, ma non stablsce per esse un lmte nferore e, pertanto, tal perdte possono essere arbtraramente pccole. 2 rcorda che l smbolo o(1/r) ndca una quanttàcheè asntotcamente (coè perr + ) un nfntesmo d ordne superore rspetto a 1/r.

4 3 Teorem d equvalenza orgent equvalent Dalle espresson delle equazon d Maxwell (prve del termne d denstà d corrente magnetca mpressa) sembrerebbe che, per rsolvere l problema elettromagnetco, sa sempre necessaro ndvduare una ben precsa funzone d punto J corrspondente alle autentche sorgent fsche. In realtà, a fn della determnazone del campo n una assegnata regone dello spazo, esstono molteplc possbltà d sostture nsem d sorgent assegnate con altr nsem equvalent, ossa tal che, se le condzon al contorno sono lascate mmutate, ess danno luogo nella regone assegnata allo stesso campo cu danno luogo le sorgent orgnal. In questo quadro vanno ntese, per esempo, le denstà d corrente magnetca mpresse: esse sono nfatt un artfco matematco, prvo d rspondenza spermentale, che tuttava può rappresentare (come s vedrà anche nel seguto) l effetto d un qualche campo (o sorgente) esterno alla regone d nteresse dove s vuole rsolvere l problema elettromagnetco. Nel seguto s consdereranno mezz lnear, stazonar, non dspersv e con conducbltà non nulla, tal coè da consentre l applcazone del teorema d unctà. Teorema d Love consder dunque una regone V dello spazo n cu è defnto l campo elettromagnetco; s ndch po con C la superfce che delmta V. uc s suppongano assegnate condzon al contorno tal che, se sono specfcate n V le sorgent mpresse {J, M,lcampoè unco n tutto V. supponga noltre che l nseme d sorgent {J, M sa localzzato n una porzone nterna d V,coscchéè possble ndvduare nfnte superfc chuse, regolar, tutte nterne a V,talchersult{J, M = {0, 0 nella regone compresa tra una d esse, presa a caso e ndcata con (su cu è fssata una normale esterna ), e C. denot con V e la porzone d V esterna a econv la porzone nterna a, come ndcato n Fgura 1. Naturalmente V può anche essere l ntero spazo: n tal caso C è all nfnto e s ammette verfcata la condzone d radazone. e s vuole determnare l campo nella sola regone V e (che è prva d sorgent), allora, n base al teorema d unctà, qualsas nseme d sorgent poste n V osu che dano luogo al corretto valore del componente tangenzale d E (o d H) sulla facca esterna d, genera n V e un campo {E, H concdente con quello generato dalle vere sorgent {J, M.

5 4 EH, C V e V JM, Fgura 1: stema d sorgent {J, M e campo da esse generato {E, H. LaregoneV dello spazo, delmtata dalla superfce C, è dvsa dalla superfce che racchude le sorgent n due regon V e V e. Al fne d llustrare l teorema d equvalenza s consder dunque la stuazone d Fgura 2, dove, senza perdta d generaltà, s è assunto che la regone V e sa llmtata. consdera po l sstema d sorgent {J, M tutte nterne alla regone V lmtata dalla superfce su cu è stata fssata una normale esterna.a{e, H l campo elettromagnetco (soddsfacente la condzone d radazone) generato dalle denstà d corrente mpresse {J, M esa{e s, H s l valore assunto da tale campo su punt della superfce. EH, EH s, s V e JM, V Fgura 2: stema d sorgent {J, M e campo da esse generato {E, H. La regone llmtata V dello spazo è dvsa dalla superfce che racchude le sorgent n due regon V (lmtata e che contene le sorgent) e V e (llmtata). Con rfermento a questo problema elettromagnetco, s consder ora un altro campo {E 1, H 1 defnto n tutto lo spazo come: {0, 0 n V {E 1, H 1 = (7) {E, H n V e e un sstema d corrent superfcal mpresse {J s, M s defnte sulla superfce come: {J s, M s = { H s, E s (8) C s può chedere se l campo {E 1, H 1 defnto dalla (7) è soluzone delle equazon d Maxwell e se può rguardars come generato dalle denstà d corrente superfcale mpresse {J s, M s. La stuazone è llustrata n Fgura 3.

6 5 V e EH, V JM, s s 00, 00, Fgura 3: Problema equvalente al problema d Fgura 2. Il campo {E 1, H 1 è uguale al campo {E, H n V e e dentcamente nullo n V. Le sorgent equvalent sono le denstà d corrente superfcale {J s, M s defnte sulla superfce. In V e l campo {E 1, H 1 concde con l campo {E, H che è soluzone delle stesse equazon d Maxwell; n V, n questo caso, non v sono sorgent e l campo dentcamente nullo {0, 0 è ancora una possble soluzone delle equazon d Maxwell. Attraverso la superfce l campo {E 1, H 1 è dscontnuo, come d altra parte deve essere, essendo present dstrbuzon superfcal d corrente, e l valore della dscontnutà è n accordo con l fatto che: ( E + 1 E ) 1 n0 =(E s 0) = E s = M s ( H + 1 ) (9) H 1 = n0 (H s 0) = H s = J s avendo ndcato con { E + 1, { H+ 1 e E 1, H 1 l valore del campo rspettvamente sulla facca esterna e sulla facca nterna d. Percò lcampo{e 1, H 1 è una soluzone delle equazon d Maxwell n presenza delle sorgent {J s, M s : per l teorema d unctà, tale soluzone è anche l unca. può pertanto affermare quanto segue: Teorema 2 (d Love) Il campo elettromagnetco {E, H all esterno d una superfce chusa che racchuda le sue sorgent {J, M è esprmble n termn d sorgent equvalent {J s, M s, che possono essere determnate a partre dalla conoscenza delle component tangenzal del campo {E, H sulla superfce stessa. Questa è anche la formulazone elettromagnetca del noto prncpo d Huygens, che consdera cascun punto dello spazo nvestto dal campo come una nuova sorgente del campo stesso. Da quanto sopra esposto è evdente che le corrent superfcal equvalent, elettrche e magnetche, possono essere trattate alla stregua d termn not per la rsoluzone delle equazon d Maxwell n una parte della regone V nzalmente consderata (nel caso sopra esposto s tratta della regone llmtata V e ). Purtroppo, però, esse non sono de ver termn not: le loro

7 6 espresson (8) nfatt contengono valor del campo {E, H sulla superfce, quanttàche sono a loro volta ncognte. Tuttava, l uso delle corrent equvalent rchede la determnazone del campo {E, H nonntuttalaregonev, ma solo su una superfce chusa, peraltro largamente arbtrara (è nfatt suffcente che essa contenga le real sorgent del problema). Inoltre, l utltà pratca del teorema d equvalenza (qu esposto nella forma nota come teorema d Love) rsede nel fatto che n numeros problem è possble ndvduare una superfce su cu l andamento del campo {E, H può essere mposto come potes d lavoro che costtusce spesso un ottma approssmazone del campo ncognto su tale superfce. Prma forma alternatva del teorema d equvalenza Con rfermento al problema esposto nel paragrafo precedente, s consder n tutto lo spazo l campo {E, H prodotto dalle sorgent {J, M e soddsfacente la condzone d radazone. a una superfce chusa contenente le sorgent su cu è fssata una normale esterna es ndchno con V e e V rspettvamente la porzone d V esterna a e la porzone d V nterna a ; sa nfne {E s, H s l valore del campo {E, H n corrspondenza de punt della superfce. Lastuazoneè ancora quella llustrata n Fgura 2. consder ora un altro problema n cu la stessa regone V è rempta da un mezzo conduttore elettrco perfetto (PEC) e le sorgent del campo sono solamente corrent magnetche superfcal dsposte su eddenstà lneare: M s = E s (10) a nfne {E 2, H 2 l campo prodotto dalle sorgent M s che soddsfa la condzone d radazone. Questo problema è llustrato n Fgura 4. può allora affermare quanto segue: Proposzone 3 Il campo elettromagnetco {E, H generato dalle sorgent mpresse {J, M nella regone V e concde con l campo elettromagnetco {E 2, H 2 generato dalle corrent magnetche superfcal d denstà lnearem s data dalla (10) poste sulla superfce, frontera della regone V rempta da un mezzo conduttore elettrco perfetto. Dm. La dmostrazone è mmedata. Infatt sa l campo {E, H, sa l campo {E 2, H 2 soddsfano la condzone d radazone e noltre hanno dentca componente tangenzale del campo elettrco sulla superfce. Dal teorema d unctà applcato alla regone llmtata V e segue la tes.

8 7 E, H 2 2 V e M s V PEC Fgura 4: Problema equvalente al problema d Fgura 2. Il campo {E 2, H 2 è l campo prodotto dalle sorgent M s quando la regone V, delmtata dalla superfce, è rempta da un mezzo conduttore elettrco perfetto (PEC). not che, rspetto al problema equvalente d Fgura 3, n quest ultmo caso sono present solo corrent magnetche superfcal e non corrent elettrche superfcal: tuttava, mentre nel caso d Fgura 3 la radazone delle sorgent equvalent {J s, M s avvene nello spazo lbero, nel caso d Fgura 4 la radazone delle corrent M s avvene n presenza del corpo conduttore elettrco perfetto. E noltre ntuble perché n questa formulazone del teorema d equvalenza non sano present corrent elettrche superfcal: esse nfatt non rradano quando sono poste sulla superfce d un PEC. econda forma alternatva del teorema d equvalenza Con rfermento al problema elettromagnetco d Fgura 2 e con un ragonamento analogo a quello esposto per dmostrare la Proposzone 3, s può dmostrare anche la seguente: Proposzone 4 Il campo elettromagnetco {E, H generato dalle sorgent mpresse {J, M nella regone V e concde con l campo elettromagnetco {E 3, H 3 generato dalle corrent elettrche superfcal d denstà lneare: J s = H s (11) poste sulla superfce, frontera della regone V rempta da un mezzo conduttore magnetco perfetto (PMC) come n Fgura 5. not che, rspetto al problema equvalente d Fgura 3, n quest ultmo caso sono present solo corrent elettrche superfcal e non corrent magnetche superfcal: tuttava, mentre nel

9 8 E, H 3 3 V e J s V PMC Fgura 5: Problema equvalente al problema d Fgura 2. Il campo {E 3, H 3 è l campo prodotto dalle sorgent J s quando la regone V, delmtata dalla superfce, è rempta da un mezzo conduttore magnetco perfetto (PMC). caso d Fgura 3 la radazone delle sorgent equvalent {J s, M s avvene nello spazo lbero, nelcasodfgura5laradazonedellecorrentj s avvene n presenza del corpo conduttore magnetco perfetto. E noltre ntuble perché n questa seconda formulazone alternatva del teorema d equvalenza non sano present corrent magnetche superfcal: esse nfatt non rradano quando sono poste sulla superfce d un PMC. Le approssmazon d Krchhoff e d Bethe Un tpco esempo d applcazone del teorema d equvalenza è l calcolo del campo rradato attraverso un foro n uno schermo metallco (l foro costtusce allora un antenna ad apertura). consder dunque una superfce chusa metallzzata, tranne che per la presenza d un foro d superfce a, e una dstrbuzone d sorgent {J, M poste al suo nterno: tal sorgent producono sulla facca esterna d una dstrbuzone d campo {E s, H s, come mostrato n Fg. 6(a). All esterno d, per l teorema d unctà, l campo {E, H è quella soluzone delle equazon d Maxwell che soddsfa la condzone d radazone all nfnto ed è noltre tale che E = E s su a (12) E = 0 su \ a Per l teorema d equvalenza, l campo all esterno d può essere calcolato a partre dalle denstà d corrente equvalent J s = H s e M s = E s. pone dunque l problema della conoscenza del campo {E s, H s. Come gà accennato, sebbene l pù delle volte questo campo non è noto, se ne può talvolta ottenere una ragonevole rappresentazone approssmata. Tra le vare approssmazon, le pù usate sono quelle d Krchhoff e d Bethe.

10 9 {E,H {E 1,H 1 a {E s,h s a a {E s,h s {E 2,H 2 {J,M {J,M {J,M (a) (b) (c) Fgura 6: (a) Campo {E, H rradato da una dstrbuzone d sorgent {J, M poste all nterno d una superfce chus metallzzata, n presenza d un foro d superfce a. (b) Approssmazone d Krchhoff per l calcolo del campo tangente sull apertura a. (c) Approssmazone d Bethe per l calcolo del campo tangente sull apertura a. Nell approssmazone d Krchhoff s suppone che l campo tangente sull apertura a sa quello mperturbato, coè l campo che essterebbe su a se non v fosse lo schermo e le sorgent rradassero nello spazo lbero, come mostrato n Fg. 6(b). suppone noltre che sullo schermo \ a l campo tangente sa nullo (s not che cò ènrealtà esatto solo per l campo elettrco). L approssmazone d Krchhoff equvale qund a trascurare l effetto de bord sulla dstrbuzone del campo d apertura e le corrent superfcal (elettrche) ndotte sulla facca esterno dello schermo: essa è valda per aperture d dmenson grand rspetto alla lunghezza d onda. L approssmazone d Bethe è duale d quella d Krchhoff: s assume coè come campo mperturbato quello che s avrebbe se l foro non esstesse e la superfce fosse tutta metallzzata, come mostrato n Fg. 6(c). Poché s trascura la perturbazone prodotta dalla presenza del foro nello schermo, tale approssmazone è valda solo per for d dmenson pccole rspetto alla lunghezza d onda. Teorema d nduzone llustrerà ora unteorema legato a teorem d equvalenza sopraespost. consder unproblema elettromagnetco n cu un certo nseme d sorgent rrada l campo {E, H n presenza d un ostacolo, come llustrato n Fgura 7(a). defnsce campo ncdente { E, H l campo elettromagnetco che le sorgent rraderebbero n assenza dell ostacolo V. defnsce campo scatterato {E s, H s l campo elettromagnetco dfferenza tra l campo esstente n presenza

11 10 EH, J H n s= 0 EH s, s sorgent ostacolo V ostacolo Ms= E V EH, (a) (b) Fgura 7: Problema elettromagnetco d una dstrbuzone d corrent che rradano n presenza dell ostacolo V. dell ostacolo {E, H e l campo ncdente, ossa: E s = E E H s = H H (13) Questo campo scatterato può essere pensato come l campo prodotto dalle corrent (d conduzone e d polarzzazone) sull ostacolo. Esternamente all ostacolo, l campo {E, H el campo { E, H hanno le stesse sorgent. Pertanto l campo scatterato {E s, H s è soluzone delle equazon d Maxwell n assenza d sorgent all esterno dell ostacolo V. costrusca ora un secondo problema come segue: supponamo che nternamente all ostacolo sa presente l campo {E, H ed esternamente l campo {E s, H s. Entramb quest camp sono soluzon delle equazon d Maxwell n assenza d sorgent nelle rspettve regon d defnzone. Pertanto, affnché quest camp possano essere effettvamente present, devono esstere corrent superfcal {J s, M s sulla superfce che delmta l ostacolo V tal che: J s = (H s H) M s =(E s E) (14) Allora, per la defnzone (13): J s = H M s = E (15) Dal teorema d unctà segue che queste corrent superfcal, rradando n presenza dell ostacolo, generano l campo {E, H all nterno dell ostacolo e l campo {E s, H s all esterno. Questo è l teorema d nduzone, llustrato nella Fgura 7(b). Una volta calcolato {E s, H s all esterno d V, {E, H s ottene come {E, H = {E s, H s + { E, H. Dversamente da quanto accade nel teorema d equvalenza, nel caso del teorema d nduzone, le corrent {J s, M s sono note tramte la (15): l prezzo da pagare è che ora, per calcolare l campo n tutto lo spazo, tal corrent devono essere fatte rradare n presenza dell ostacolo e questo può essere un problema d valor al contorno molto dffcle da rsolvere.

12 11 Prncpo d Babnet Il problema della trasmssone attraverso un apertura pratcata n un pano perfettamente conduttore nfntamente sottle è ntmamente legato con l problema d scatterng da un ostacolo pano. La relazone tra due problem è precsata dal prncpo d Babnet. consderno tre cas d Fg. 8 n cu una stessa dstrbuzone d sorgent {J, M rrada nello spazo lbero (Fg. 8(a)), n presenza d uno schermo conduttore elettrco perfetto (Fg. 8(b)) e n presenza d uno schermo conduttore magnetco perfetto (Fg. 8(c)) e sa x = 0lpano su cu gaccono entramb gl scherm. Gl scherm elettrc e magnetc sono dett complementar se due scherm, una volta sovrappost, rcoprono l ntero pano senza sovrapposzon (coè l apertura d un problema è l ostacolo dell altro). denotno con = s a {E,H s {E e,h e s {E m,h m {J,M a {J,M {J,M PMC PEC a x =0 (a) x x =0 (b) s x x =0 (c) s x Fgura 8: (a) Problema elettromagnetco d una dstrbuzone d corrent che rradano, nello spazo lbero, l campo { E, H nel semspazo x>0. (b) Radazone, n presenza d uno schermo conduttore elettrco perfetto, del campo {E e, H e nel semspazo x>0. (c) Radazone, n presenza d uno schermo conduttore magnetco perfetto (complementare dello schermo elettrco d (b)), del campo {E m, H m nel semspazo x>0. { E, H, {E e, H e e {E m, H m campperx>0, rspettvamente, ne tre cas (a), (b) e (c). Allora l prncpo d Babnet per scherm complementar assersce che nel semspazo x>0: E e + E m = E H e + H m = H (16) Infatt,sdenotcon s la superfce dello schermo e con a la superfce dell apertura d Fg. 8(b). Il campo totale n entramb cas d Fg. 8(b) e Fg. 8(c) èparalcamponcdente { E, H pù l campo scatterato {E s, H s prodotto dalle corrent sullo schermo. D altra parte, un elemento d corrente elettrca produce un campo magnetco con componente tangenzale a ogn pano che contene l elemento dentcamente nulla (a meno che non s scelga come punto d osservazone la poszone dell elemento d corrente stesso): pertanto le corrent ndotte sullo

13 12 schermo non producono alcun campo magnetco tangenzale al pano x = 0 n corrspondenza dell apertura a. Allora: H e = H su a (17) mentre sullo schermo elettrco s ha la condzone al contorno: E e = 0 su s (18) s ha: Nel caso dello schermo magnetco complementare d Fg. 8(c), ragonando allo stesso modo, E m = E su s (19) H m = 0 su a (20) ommando le (18) e (19) e le (17) e (20) s ha rspettvamente: (E e + E m )= E su s (21) (H e + H m )= H su a Percò lcampo{e e + E m, H e + H m ha lo stesso componente tangenzale del campo elettrco del campo { E, H su parte della superfce e lo stesso componente tangenzale del campo magnetco sulla parte complementare. Pertanto, per l teorema d unctà, camp {E e + E m, H e + H m e { E, H sono ugual nel semspazo x>0 e l prncpo d Babnet è così dmostrato.

14 13 mmetre La determnazone d un campo elettromagnetco n una regone dello spazo che presenta smmetre geometrche può essere semplfcata da un opportuno sfruttamento delle smmetre stesse; quando s fa rcorso a metod numerc, cò può comportare una forte rduzone de temp d calcolo. Il caso pù semplce e pù sfruttato nella pratca è costtuto dalla presenza d un pano d smmetra, sebbene notevole nteresse hanno anche le smmetre rspetto a un asse e rspetto a un punto. consderno dunque le equazon d Maxwell per un campo {E, H generato da un sstema d corrent mpresse d denstà {J, M n un mezzo che, per semplctà, s supporrà sotropo: utlzz una notazone del tpo: E = jωµh M H = jωε c E + J (22) E = E 1 x 01 + E 2 x 02 + E 3 x 03 (23) con rfermento a un sstema d rfermento cartesano ortogonale (x 1,x 2,x 3 ). Le equazon d Maxwell (22) s scrvono per component: E 3 E 2 = jωµh 1 M 1 x 2 x 3 E 1 E 3 = jωµh 2 M 2 x 3 x 1 E 2 E 1 = jωµh 3 M 3 x 1 x 2 H 3 H 2 = jωε c E 1 + J 1 x 2 x 3 H 1 H 3 = jωε c E 2 + J 2 x 3 x 1 H 2 H 1 = jωε c E 3 + J 3 x 1 x 2 esegua ora la trasformazone d coordnate: (24) x 1 = x 1 x 2 = x 2 x 3 = x 3 (25) che corrsponde a effettuare una rflessone rspetto al pano x 3 = 0. consder po l operatore R 3 defnto come: R 3 {A, B = R 3 {(A 1,A 2,A 3 ), (B 1,B 2,B 3 ) = {(A 1,A 2, A 3 ), ( B 1, B 2,B 3 ) = { A, B (26)

15 14 Allora s può verfcare mmedatamente attraverso le (24) che l campo: { E, H = R 3 {E, H (27) prodotto dalle sorgent: { J, M = R3 {J, M (28) è soluzone delle equazon d Maxwell nel nuovo sstema d coordnate (x 1,x 2,x 3 ). Questo sgnfca ad esempo che, se la soluzone {E, H è rappresentable come n Fgura 9(a), la nuova soluzone {E, H ha la forma ndcata nella Fgura 9(b), conformemente alle (27) e (28). e la x 3 ' M J E M H x 1 J H E x 1 ' (a) x 3 ' (b) Fgura 9: Illustrazone delle propretà del campo { E, H ottenuto dal campo {E, H medante l applcazone dell operatore R 3. regone V n cu s vuole rsolvere l problema elettromagnetco è smmetrca rspetto al pano x 3 = 0 e se anche le condzon al contorno sono smmetrche rspetto a tale pano, le (27) e (28) ndvduano una nuova soluzone del problema elettromagnetco (ottenuta per rflessone rspetto al pano x 3 =0). E po ovvo che, se la regone V e le condzon al contorno soddsfano le opportune condzon d smmetra, anche le quanttà: { E, H = R 3 {E, H, { J, M = R3 {J, M (29) che dfferscono dalle (27) e (28) solo per l cambamento d segno d tutte le component, costtuscono una soluzone delle equazon d Maxwell nella regone V. Defnzone 1 Un campo elettromagnetco {E, H nvarante rspetto all operatore R 3 s dce par rspetto al pano x 3 =0. Tenendo conto della (27), per un campo par rspetto al pano

16 15 x 3 =0rsulta pertanto: E 1 (x 1,x 2,x 3 )=E 1 (x 1,x 2, x 3 ) E 2 (x 1,x 2,x 3 )=E 2 (x 1,x 2, x 3 ) E 3 (x 1,x 2,x 3 )= E 3 (x 1,x 2, x 3 ) H 1 (x 1,x 2,x 3 )= H 1 (x 1,x 2, x 3 ) H 2 (x 1,x 2,x 3 )= H 2 (x 1,x 2, x 3 ) H 3 (x 1,x 2,x 3 )=H 3 (x 1,x 2, x 3 ) (30) not che affermando che un campo {E, H è par rspetto al pano d smmetra x 3 =0,s ntende che le component del campo elettrco E tangenzal a quel pano sono funzon par della varable x 3,mentrelacomponentenormaleè una funzone dspar della varable x 3. Al contraro, le component tangenzal al pano d smmetra del campo magnetco H sono funzon dspar della varable x 3,mentrelacomponentenormaleè una funzone par della varable x 3. e s pone x 3 = 0 nelle (30) s ottene: E 3 =0 H 1 = H 2 =0 sux 3 = 0 (31) ossa: E n =0 H = 0 su = {x 3 =0 (32) Pertanto un campo par rmane nalterato se sul pano d smmetra s ntroduce una parete conduttrce magnetca perfetta. Defnzone 2 Un campo elettromagnetco {E, H nvarante rspetto all operatore R 3 s dce dspar rspetto al pano x 3 =0. Tenendo conto della prma delle (29), peruncampo dspar rspetto al pano x 3 =0rsulta pertanto: E 1 (x 1,x 2,x 3 )= E 1 (x 1,x 2, x 3 ) E 2 (x 1,x 2,x 3 )= E 2 (x 1,x 2, x 3 ) E 3 (x 1,x 2,x 3 )=E 3 (x 1,x 2, x 3 ) H 1 (x 1,x 2,x 3 )=H 1 (x 1,x 2, x 3 ) H 2 (x 1,x 2,x 3 )=H 2 (x 1,x 2, x 3 ) H 3 (x 1,x 2,x 3 )= H 3 (x 1,x 2, x 3 ) (33) not che affermando che un campo {E, H è dspar rspetto al pano d smmetra x 3 =0, s ntende che le component del campo elettrco E tangenzal a quel pano sono funzon

17 16 dspar della varable x 3, mentre la componente normale è una funzone par della varable x 3. Al contraro, le component tangenzal al pano d smmetra del campo magnetco H sono funzon par della varable x 3,mentrelacomponentenormaleè una funzone dspar della varable x 3. e s pone x 3 = 0 nelle (33) s ottene: E 1 = E 2 =0 H 3 =0 sux 3 = 0 (34) ossa: E = 0 H n =0 su = {x 3 =0 (35) Pertanto un campo dspar rmane nalterato se sul pano d smmetra s ntroduce una parete conduttrce elettrca perfetta. Naturalmente per poter avere un campo a smmetra par, occorrono sorgent par, ossa nvarant rspetto all operatore R 3 : {J, M = R 3 {J, M (36) mentre per avere camp a smmetra dspar occorrono sorgent dspar, coè nvarant rspetto all operatore R 3 : {J, M = R 3 {J, M (37) not che, analogamente a quanto precsato per camp, affermando che un sstema d sorgent {J, M è par rspetto al pano d smmetra x 3 = 0, s ntende che le component della denstà d corrente elettrca J tangenzal rspetto a quel pano sono funzon par della varable x 3, mentre la componente normale è una funzone dspar della varable x 3. Al contraro, le component tangenzal al pano d smmetra della denstà d corrente magnetca M sono funzon dspar della varable x 3,mentrelacomponentenormaleè una funzone par della varable x 3. Rassumendo, s può affermare: Proposzone 5 ul pano d smmetra, l campo generato da sorgent a smmetra par soddsfa la condzone d parete magnetca H = 0, mentre l campo generato da sorgent a smmetra dspar soddsfa la condzone d parete elettrca E = 0. I camp elettrc a smmetra par attraversano tangenzalmente l pano d smmetra (poché l loro componente normale è nullo sul pano d smmetra), mentre camp elettrc a smmetra dspar lo attraversano perpendcolarmente (poché l loro componente tangenzale ènullosulpanod smmetra).

18 17 E ben noto che una funzone scalare d una sola varable, defnta su un ntervallo smmetrco rspetto all orgne, può essere espressa come somma della sua parte par e della sua parte dspar. Analogamente, l campo elettromagnetco {E, Hdefnto n una regone smmetrca rspetto al pano x 3 = 0 può scnders n parte par : {E p, H p = 1 2 [{E, H + R 3 {E, H] (38) e parte dspar : {E d, H d = 1 2 [{E, H R 3 {E, H] (39) ed è ovvo che s ha: {E, H = {E p, H p + {E d, H d (40) Un semplce esempo dell utlzzo delle smmetre Il fatto che corrent a smmetra dspar creno una condzone d parete elettrca sul pano d smmetra può essere sfruttato per semplfcare l calcolo del campo generato da una dstrbuzone d corrent mpresse agent n un semspazo occupato da un mezzo omogeneo e sotropo e delmtato da una superfce pana conduttrce elettrca perfetta. llustrato n Fgura 10(a). Il problema è La condzone al contorno dervante dalla presenza della parete conduttrce elettrca perfetta è la stessa che s ha sul pano z = 0 nella stuazone d Fgura 10(b). In questa seconda stuazone, l mezzo è uguale n tutto lo spazo e s hanno le corrent {J, M che, nseme alle {J, M costtuscono un campo a smmetra dspar. I camp nel semspazo z>0sono dentc nelle due stuazon poché l mezzo, le sorgent e le condzon al contorno sono dentche. Le corrent {J, M s dcono le mmagn delle corrent effettvamente agent nel semspazo z>0. Possamo pertanto enuncare l seguente: Teorema 6 (delle mmagn) Il campo elettromagnetco generato da un sstema d sorgent agent n un semspazo occupato da un mezzo omogeneo e sotropo, delmtato da una parete pana conduttrce elettrca perfetta, è dentco a quello che verrebbe generato nello stesso semspazo dal sstema d sorgent e dalla loro mmagne, agent n un mezzo llmtato d caratterstche ugual a quelle del mezzo esstente nel semspazo d nteresse. Le sorgent effettve e le loro mmagn costtuscono un campo a smmetra dspar. Pertanto, l teorema delle mmagn permette d rdurre lo studo del campo n presenza d un pano conduttore elettrco perfetto a quello del campo generato dal sstema d sorgent

19 18 z z { EH, { EH, J J M z0 E = 0 M z0 E = 0 x x PEC '' J '' M (a) (b) Fgura 10: (a) stema d corrent mpresse {J, M agent n un semspazo delmtato da una parete pana conduttrce elettrca perfetta. (b) Problema equvalente a quello raffgurato n (a), n presenza delle corrent mmagne { J, M. effettvo e dalle loro mmagn n tutto lo spazo. Le sorgent mmagne costtuscono un ulterore esempo d sorgent equvalent. Come ulterore applcazone del teorema delle mmagn, s può mostrare faclmente che denstà d corrente elettrca superfcale a rdosso d un pano conduttore elettrco perfetto non generano alcun campo. Infatt, osservando la Fgura 11, s può notare che l mmagne della corrente elettrca superfcale è opposta a quella effettvamente esstente e ne annulla l campo, poché la dstanza tra le due sorgent (quella reale e quella mmagne) è nfntesma. Pertanto, la corrente superfcale elettrca a rdosso d un pano conduttore elettrco perfetto non genera alcun campo. Al contraro, l mmagne della corrente magnetca è dentca a quella effettva: z z z J M x J M x 2M x PEC Fgura 11: Applcazone del teorema delle mmagn a corrent superfcal poste a rdosso d un pano conduttore elettrco perfetto. qund l campo che s ha nel semspazo sopra l conduttore èugualeaquellocheverrebbe generato nello spazo lbero da una corrente magnetca d ntenstà doppa.