Modello Lagrangiano a Particelle

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1 Modelli di Disersione degli Inquinani in Aria Pare 5 Modello Lagrangiano a Paricelle do. Robero Soi do. Andrea Bolignano

2 Consideraione Preliminare Visione macroscoica fluido coninuo il cui sao resena siccae caraerisiche seudocasuali (urbolena) evideni nelle irregolarià delle misure delle rinciali variabili che lo descrivono. Tali irregolarià sono ben descrie adoando un uno di visa saisico. Aria del PBL Visione microscoica insieme di molecole di varie secie chimiche in coninuo movimeno caoico (seudo-casuale) nello saio e nel emo. Il loro movimeno non uò essere seguio nel deaglio molecola er molecola ma il risulao colleivo del loro evolvere nello saio e nel emo uò essere caurao in un uno P(x) e ad un isane da una misura (euleriana) faa in quel uno.

3 E ovvia la correea della visione microscoica del PBL ma er scoi raici è iù semlice e oeraiva una Descriione Macroscoica Fluidodinamica. Emissione di una sosana inquinane in P(x ; ): Visione microscoica: in P(x ; ) vengono a rovarsi un cero numero (enorme comunque) di molecole della sosana inquinane doae ciascuna di rorie rorieà dinamiche (velocià). Tali molecole negli isani successivi a si muovono con le alre molecole dell aria e le caraerisiche del loro moo dienderà delle condiioni dinamiche iniiali e dalla ineraione con le molecole d aria circosani Visione macroscoica: nel uno P(x ; ) viene immessa una quanià di un fluido coninuo avene rorie caraerisiche iniiali (velocià emeraura densià) che negli isani successivi a si miscelerà con l aria circosane.

4 Tui i modelli di disersione visi finora adoano un aroccio macroscoico In essi l effeo della urbolena deve essere in qualche modo arameriao mediane arameri ad hoc (es. arameri di disersione nei modelli gaussiani e ibridi ensore di diffusione urbolena nei modelli euleriani) Modello Lagrangiano a Paricelle Adoa una versione semlificaa dell aroccio microscoico. Modello di io oalmene saisico non nel senso di una descriione saisica dell inero fenomeno ma di una descriione saisica del movimeno delle differeni aricelle di inquinane enro l aria.

5 Elemeni di base di un Modello Lagrangiano a Paricelle (LPM) Paricelle l emissione di molecole in P(x ; ) è simulaa con l inroduione in P di un numero rilevane di enià asrae (aricelle) cioè di orioni iccole ed elemenare di sosana inquinane. Si ha che: - ogni aricella ha un volume irrilevane - ad ogni aricella emessa viene aribuia una massa Q di sosana inquinane - conserva la roria massa (nessuna reaione chimica o imoverimeno er deosiione) - ossiede in P(x ; ) una roria velocià iniiale - coninua il rorio moo negli isani successivi a descrivendo una raieoria nello saio e nel emo - le aricelle non ineragiscono ra loro - le aricelle ineragiscono in qualche modo con l ambiene circosane variando la roria raieoria isane doo isane

6 Aria del PBL viene ancora descria come un fluido coninuo in moo urboleno. La sue caraerisiche sono quelle descrie dalla Micromeeorologia e ale descriione è di io sreamene euleriano cioè in ogni uno P(x;) il fluido ossiede: - un veore velocià media e un valore medio er le alre grandee macroscoiche che ne definiscono lo sao medio - i momeni di vario ordine relaivi alle variabili di ineresse (variane delle comoneni della velocià covariane ra comoneni della velocià e ra quese e la emeraura) - in qualche modo influena la raieoria di ogni singola aricella

7 Obieivo del modello Descriione ad ogni isane > della raieoria di ogni singola aricella Le caraerisiche macroscoiche del fluido in cui sono immesse le aricelle sono quelle di un fenomeno socasico Ioesi Princie di un LPM Il movimeno di ogni singola aricella è la realiaione di un rocesso socasico coninuo visa l ineraione con l aria circosane che resena caraerisiche socasiche

8 Processo socasico Un rocesso fisico (es. il movimeno di un uno) che evolve nello saio e nel emo a arire da un uno iniiale P(x ; ) in modo casuale con ben recise caraerisiche saisiche. Se lo sesso rocesso (es. il movimeno della sessa aricella) oesse rieersi un infinià di alre vole nelle sesse condiioni (e er la Saisica ciò è ossibile) la sua evoluione avrebbe infinie realiaioni a riori diverse. Ogni singola aricella evolve nello saio-emo seguendo le leggi di un rocesso socasico. La non ineraione ioiaa er le aricelle comora che i vari rocessi socasici siano ra loro indiendeni.

9 Logica del LPM Le aricelle vengono emesse insieme da P(x ; ) Ogni aricella segue nel emo una realiaione di raieoria La raieoria di ogni aricella è a riori diversa LPM segue ogni singola raieoria Veno P(x ; )

10 LPM segue la raieoria di ogni singola aricella Ad un isane considera un uno P(x;) Individua cenrao su P un iccolo volume di saio (es. un cubo) volume di camionameno V Individua quali aricelle si rovano all isane enro il volume di camionameno Siano N le aricelle reseni ognuna conenene una quanià Q i di sosana inquinane Si definisce concenraione nel uno P all isane C ( x ; ) N i V Q i

11 Volume camionameno Cubo lao m 3 4 Paricella Q 5 mg/m 3 Paricella Q mg/m 3 Paricella Q 3 7 mg/m 3 Paricella Q 4 mg/m 3 Q + Q + Q3 + Q mg C ( x ; ) 4µ g / m 3 V m 3

12 Essena di un LPM Ricosruione simulaa della raieoria di ogni singola aricella Sia daa una generica aricella in un sisema di riferimeno caresiano orogonale: Traieoria di Velocià di ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x x x x x x x x o o o ; ; ; ; ; ; ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] v u d d x v u v d d x v v u u d dx x u o o o ; ; ; ; ; ;

13 LPM considera come rocesso socasico non la osiione nel emo di una singola aricella ma la sua osiione e la sua velocià nel emo. Traieoria nello Saio delle Fasi (xu v ;) Ogni singola comonene della velocià è un rocesso socasico NB. Per semlicià si ioii che non ci siano inerdiendene ra le varie comoneni della velocià della aricella che considereremo rocessi socasici disini e indiendeni.

14 Modelliaione di una generica comonene (es. u ) della velocià di una aricella u Processo socasico u ' ( x ; ) u ( x ; ) + u ( x ) ; Ioesi A La aricella si rova immersa nell aria e in media viene rascinaa dal moo medio dell amosfera Comonene Deerminisica Ioesi B La fluuaione è roria della aricella e diende: - dalla sua soria assaa - dal livello di urbolena roria dell aria circosane u u u velocià media eureliana dell'aria Comonene Socasica

15 Sudio della are socasica di una comonene della velocià di una aricella Modello Semlificao la aricella viene rasoraa orionalmene dal moo medio delle masse d aria (Trasoro deerminisico) La aricella resena una raslaione nulla in vericale e fluua socasicamene in vericale ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; ; ; ' ' x v x v x v x v x u x u x u x u ( ) ( ) ; ; ' x x

16 Processo socasico Diende dalla soria della aricella Ioesi C Processo Socasico di io Markoviano Il fuuro è deerminao solo dal resene ed è indiendene dal assao (rocesso sena memoria) Al rocesso socasico si alica direamene la Teoria dei Processi Socasici Markoviani

17 Al emo una aricella ossiede una fluuaione di velocià vericale () Secondo la Teoria dei Processi Markoviani al emo +d (d inervallo di emo iccolo) è daa dall Equaione di Langevin d ( + d) ( ) a ( ) d + b ( ) dξ Coefficiene di Drif Coefficiene di diffusione Processo Incremenale di Wiener Processo socasico gaussiano a media nulla e variana d. a () d b () dξ ermine deerminisico diendene solo da d ermine socasico diendene dalla variabile socasica dξ che a sua vola diende da d

18 Generaione Numerica di realiaioni di un rocesso incremenale di Wiener dξ variabile socasica che segue una disribuione gaussiana N(d) con: - Media nulla - Variana d Nell equaione di Langevin ogni vola che comare dξ significa che ale variabile assume un valore esrao a caso da una disribuione N(d) Teorema della Saisica Se: X N(ms ) e Y N() X m + s Y

19 Procedura di generaione numerica di due realiaioni dξ e dξ ) Esraione di numeri u e u realiaioni di una variabile socasica disribuia uniformemene ra e ; ) Calcolo di V V W u V u V + + ln W W Y 3) Si oengono due realiaioni X e X di una variabile N() V Y X V Y X 4) dξ e dξ (disribuii come N(d)) sono dai da X d d X d d ξ ξ

20 Eserciio Vediamo se queso modello ariale ora a risulai uili anche se non si è in grado er ora di dare un valore ai coefficieni a e b. Si consideri un emissione conemoranea di Paricelle: - ogni aricella si rova all isane iniiale in P( ) - all isane iniiale la aricella è ferma ed in aricolare - d secondo - a () a () b () b.3 - la simulaione viene condoa er secondi - la aricella è soggea ad un rasoro rasversale nullo e ad un rasoro longiudinale dovuo ad un veno medio ari a m/s ( + d) ( ) + a d + b dξ Si esegue una simulaione Mone Carlo

21 K; Numero Paricelle Generae Generaione Nuova Paricella K K+ N ; Numero ime-se simulai W( ) Z( ) Simulaione Traieoria Paricella K N N+ +N d W() Valore reviso da Equa. Langevin () (-d) + W() d No T sec Si Simulaione Comlea Traieoria Paricella K Fine Simulaione No Si K

22 Risulai della Simulaione Mone Carlo Velocià vericale (m/s) Temo (s) Andameno nel emo della velocià vericale della aricella Disribuione delle aricelle nello saio bidimensionale (x) Commeno Il modello descrive effeivamene un rocesso di diffusione. Se si riuscisse a orre in relaione a e b alla urbolena del PBL sarebbe ossibile oenere un modello di disersione uiliabile

23 Il modello risula romeene ma er usarlo è indisensabile individuare un modo er deerminare i ermini a () e b () Tale modo dovrebbe oer consenire di sfruare al meglio la conoscena saisica del moo dell aria del PBL Dall equaione di Langevin non si uò oenere er ora nulla di iù. E necessario acquisire maggiori informaioni su un Processo Socasico Markoviano.

24 Descriione alernaiva di un Processo Socasico Markoviano Ad ogni aricella è associabile una Funione di Densià di Probabilià P() P() robabilià che al emo una aricella si venga a rovare ad una quoa nell inervallo +d con una velocià vericale comresa ra e +d Modo alernaivo di descrivere l evoluione di una aricella

25 Equaione di Langevin seguo la aricella in ogni isane dal suo rilascio (isane iniiale ) ed in ogni uno e ne regisro la raieoria. In sosana seguo una realiaione del rocesso socasico con cui è descria. Uilio di P() mi ongo in un uno dello saio-emo (o meglio in un uno dello Saio delle Fasi) e mi domando quale sia la robabilià di rovare rorio in quel uno quella aricella o meglio una aricella qualunque avene la daa velocià La Teoria dei Processi Socasici Markoviani individua un modo er descrivere P() Equaione di Fokker-Plank

26 Equaione di Fokker-Planck Equaione differeniale alle derivae ariali che descrive l evoluione riseo a e della Funione Densià di Probabilià P() P( ) + P( ) [ ] [ ] [ a P( ) ] + b P( ) Quesa equaione di fao coniene le sesse informaioni conenue nell equaione di Langevin anche se la forma maemaica e saisica è noevolmene differene. Un osservaione di fondamenale imorana è che in quesa equaione sono reseni gli sessi arameri a e b dell equaione di Langevin. Non si noa erò alcun collegameno ra le caraerisiche saisiche delle aricelle P() e quelle saisiche dell aria P a ()

27 P() robabilià che al emo una aricella di sosana inquinane ossieda una quoa +d e una velocià vericale +d P a () robabilià che al emo un aricella d aria del PBL ossieda una quoa +d e una velocià vericale +d La Micromeeorologia consene di descrivere con oimo deaglio le caraerisiche saisiche dell aria del PBL e quindi in qualche modo anche P a () Per come è saa oenua e formulaa l equaione di Fokker-Planck a rigore si riferisce a P() e non a P a ()

28 Well Mixed Condiion (Thomson 987) Se erò si accea la consaaione serimenale che l evoluione di aricelle comleamene rimescolae nel PBL resa ale nel emo e si descrive ciò mediane l equaione di Fokker-Planck si oiene che P a () P() Queso non è un risulao cosmeico ma è esseniale erché la saisica dell aria del PBL uò essere ben conosciua e caraeriaa con la Micromeeorologia. A queso uno si ha che: - l equaione di Langevin descrive la raieoria di una aricella nel PBL e richiede la conoscena di a e b - l equaione di Fokker-Planck descrive in modo differeniale P() che è equivalene a meno di una cosane a P a () - a e b sanno in enrambe le equaioni

29 Deerminaione di b Un aramero sasisico imorane in Micromeeorologia Teorica è la Funione di Sruura Lagrangiana definia come: D [ ] ( d) ( + d) ( ) E uno dei modi con cui esrimere l auocorrelaione della velocià vericale di una aricella E lagrangiana erché si riferisce alla raieoria di una aricella d aria resa singolarmene

30 Micromeeorologia Relaione di Similarià D ( d) C ε d Cosane Universale ( 3) ε asso di dissiaione di Energia Cineica Turbolena La Funione di Sruura è direamene roorionale ad asso di dissiaione dell Energia Cineica Turbolena e all inervallo di d. Quesa Relaione di Similarià è vera quando d è maggiore del Temo Caraerisico di Kolmogorov e inferiore al emo di scala Lagrangiano Calcoliamo La Funione di Sruura imiegando direamene l Equaione di Langevin

31 Si oiene: [ ] [ ad + bdξ ] [ a d + b dξ + a b d dξ ] ( ) ( + d) ( d) D d L inervallo d è molo iccolo vengono rascurai ui i ermini in cui d è resene con oena maggiore di Analisi dei singoli ermini: a d a d rascurao erché dell ordine di d b dξ b dξ b d a b d dξ a b d dξ enuo (il rocesso socasico dξ è il rocesso incremenale di Wiener che ha media nulla e variana d) D ( d) b d

32 Quindi si ha che: D ( d) C ε d b d b C ε E sao quindi ossibile individuare un esressione del uo generale er il Coefficiene di Diffusione b. Diendene solo da ε aramero fondamenale della urbolena del PBL Resa da individuare un modo er deerminare il coefficiene di drif a

33 Dall equaione di Langevin non è ossibile oenere a Si consideri l equaione di Fokker-Planck P Consideraioni a ( ) + [ P ( ) ] [ ] [ a P ( ) ] + b P ( ) a a. Per la ell-mixed condiion è esressa in ermini di P a (x;) cioè di una funione di disribuione saisica relaiva alla urbolena del PBL che uò essere noa mediane la Micromeeorologia. Il coefficiene di diffusione b è sao deerminao 3. L unica incognia è il coefficiene di drif a a Se si uilia una P a (;) Si oiene a

34 . Turbolena Gaussiana Omogenea e Saionaria In un PBL reale non si ha mai una Turbolena Gaussiana Omogenea se si considera la velocià vericale menre è una buona arossimaione er le fluuaioni delle comoneni orionali della velocià. Visa la iccolea di d la saionarieà è semre una buona arossimaione. Prendendo comunque come riferimeno l esressione di P a (;) diende quindi solo da e vale: P a ( ; ) πσ ex σ σ è un aramero ben sudiao nel PBL uò essere rodoo da modelli numerici di PBL e olre a uo è esrimibile mediane oorune Funione di Similarià

35 Esemio Comonene rasversale u σ * u.33 *.( m / s) Probabilià u (m/s)

36 Inroducendo nell equaione di Fokker-Planck quesa esressione er P a (;) e l esressione oenua er b si oiene er il coefficiene di drif a la relaione seguene: a C ε σ Noe le esressioni di a e b l equaione di Langevin uò essere imiegaa veramene er la deerminaione (numerica) della raieoria di ogni singola aricella emessa. ( + d) ( ) C ε σ dξ ( + d) d ( ) + C ε dξ + a d + b

37 Alcune Consideraioni T L σ C ε Ha le dimensioni di un emo E il Temo Lagrangiano di scala T L o meglio il emo di decorrelaione di una aricella. T L iccolo la aricella dimenica molo raidamene la roria T L grande la aricella ricorda a lungo la roria Limie Logico e Alicaivo d T L << d << T L Per oer seguire l evoluione del rocesso socasico bisogna che durane l incremeno emorale d la aricella non risuli comleamene decorrea con sé sessa quindi d non uò essere sueriore a T L

38 Nelle alicaioni raiche il asso emorale d (infiniesimo) viene sosiuio da un asso finio ma iccolo che deve riseare la limiaione seguene: << T L σ C ε Una buona scela raica è scegliere <.T L Forma discrea dell Equaione Langevin C ε σ ( ) ( ) + C ε dξ +

39 Noa Dao che d è un infiniesimo si ha che C σ ε d d T L ex ( d T ) L Funione di Auocorrelaione Da quesa consideraione l Equaione di Langevin Discrea uò essere esressa come T ( + ) ex( T ) ( ) + σ dξ L L urché risei la condiione indicaa.

40 . Turbolena Gaussiana Non Omogenea e Saionaria In un PBL reale non si ha mai una Turbolena Gaussiana Omogenea sorauo se si considera la velocià vericale. σ è funione della quoa Visa la iccolea di d la saionarieà è semre una buona arossimaione. Prendendo come riferimeno l esressione di P a (;) vale: P a ( ; ) πσ ex ( ) ( ) σ La Micromeeorologia ha individuao varie Relaioni di Similarià che ben riroducono i valori serimenali. I modelli numerici di PBL sono in grado di fornire σ anche in casi orograficamene comlessi

41 σ.3*.8 m * i 3.( m / s) i Esemio P a () Z m Z 5 m 8.5 Quoa (m) Probabilià σ (m/s) (m/s)

42 ( ) ( ) ( ) ( ) C a + + σ σ σ ε Inroducendo nell equaione di Fokker-Planck quesa esressione er P a (;) e l esressione oenua er b si oiene er il coefficiene di drif a la relaione seguene: Noe le esressioni di a e b l equaione di Langevin della raieoria di ogni singola aricella emessa divena ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ε σ σ σ ε ξ d C d d C d d b d a d Termine aggiunivo (riseo al caso di urbolena gaussiana omogenea) che iene cono della variaione di σ con.

43 3. Turbolena Non Gaussiana Omogenea e Saionaria In un PBL conveivo la disribuione della comonene vericale della velocià dell aria uò essere visa come: Omogenea in senso vericale enro uo il PBL (si rascura ciò che accade nel SL) Saionaria Non gaussiana ma descria da una disribuione asimmerica Modello di disribuione La disribuione di non è simmerica er la resena degli udraf e dondraf. somma di due disribuioni gaussiane. la rima (udraf) resena un valor medio di osiivo 3. la seconda (dondraf) un valor medio di negaivo

44 flusso ascendene (u-draf) flusso discendene (don-draf)

45 ( ) + ex ex σ πσ σ πσ m A m A P Udraf Velocià media m Sandard deviaion σ Dondraf Velocià media m Sandard deviaion σ ( ) ( ).43 + m m σ σ σ σ Una ossibile formulaione

46 Esemio Dondraf A.57 Valore medio -.44 m/s Devia. Sd..44 m/s Probabilià Probabilià di Udraf A.43 Valore medio.586 m/s Devia. Sd..586 m/s. W *. m/s (m/s)

47 Inserendo quesa esressione di P() nell equaione di Fokker-Planck si oiene la seguene esressione er a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ ε m N A m N A m m N A m m N A C a + + ( ) ex σ πσ σ m m N dove Anche in queso caso il coefficiene di diffusione vale: C ε b

48 Primo Modello Uiliabile Modello Monodimensionale di Disersione Vericale delle aricelle Meodo di simulaione di io Mone Carlo Basao sull alicaione discrea dell equaione di Langevin relaiva alla comonene vericale della velocià delle aricelle N.B. Il risulao che si oiene da una Simulaione Monodimensionale è la disribuione in vericale della concenraione di un inquinane inegraa nella direione rasversale riseo alla direione di roveniena del veno

49 8 Alura (m) Disancia de la chimenea (m) Un esemio di Simulaione Monodimensionale

50 Modello Tridimensionale Nella realà movimeno di aricelle nello saio 3D Teoria 3D Molo comlessa In raica il movimeno di ogni aricella è descrio: Dal valore delle 3 comoneni medie della velocià della aricella (è il moo raslaionale della aricella dovuo al camo medio del veno) Dalle 3 equaioni socasiche che ne definiscono le fluuaioni (è la conseguena combinaa della soria regressa della aricella e dell aione della urbolena dell aria inconraa nel suo cammino) Dalle 3 equaioni cinemaiche che definiscono lo sosameno della aricella nell inervallo emorale d.

51 Nel deaglio una aricella con un moo di raslaione dovuo alla velocià avrà fluuaioni di velocià dae dalle equaioni di Langevin u ( + d) u( ) + aud + bu dξ ( + d) v( ) + avd + bvdξ ( + d) ( ) + a d + b dξ v e la sua osiione al emo +d sarà daa da ( + d) x( ) + u( + d) + u( + d) ( + d) ( ) + v( + d) + v( + d) ( + d) ( ) + ( + d) + ( + d) x ( u v ) [ ] d [ ] d [ ] d

52 Le esressioni dei vari coefficieni reseni nelle equaioni di Langevin sono molo comlesse. Semlificaione Arossimaione Quasi-Tridimensionale Le fluuaioni u v della velocià della aricella sono ra loro indiendeni; Le comoneni orionali u e v avranno coefficieni a uv e b uv congrueni con una urbolena gaussiana omogenea e saionaria; La comonene vericale avrà coefficieni a e b congrueni o con una urbolena gaussiana non omogenea o con una urbolena non gaussiana a seconda del grado di conveivià

53 Fin qui sono sai resenai gli elemeni esseniali di LPM Perché ossa essere oeraivo è necessario che nel LPM vengano inserii alri meccanismi modellisici: Ineraione delle aricelle con le froniere Traameno delle differeni sorgeni di emissione Traameno delle emissioni con buoanc Traameno dei fenomeni di deosiione (secca e umida) Traameno delle reaioni chimiche degli inquinani con gli alri cosiueni l amosfera

54 . Condiioni di froniera Ineraione col suolo Paricella che giunge al suolo viene da esso riflessa verso l alo. Se una aricella viene sosaa dall equaione di Langevin ad una quoa < con velocià la riflessione col suolo comora che: - - Ineraione col o del PBL Paricella che raggiunge la sommià i di un PBL conveivo viene riflessa verso il basso menre non vi è ineraione quando si è in siuaioni sabili. Se una aricella viene sosaa dall equaione di Langevin in una siuaione conveiva ad una quoa > i con velocià la riflessione con la sommià del PBL comora che: i - -

55 . Traameno delle diverse sorgeni di emissione Sorgeni Puno Una sorgene uno schemaia l emissione di inquinani da una ciminiera elevaa osa in osiione (x c c ) ed ala c. Se:. la ciminiera resena un raggio inerno r. se si inendono emeere in ogni ime-se M aricelle 3. se σ u σ v σ sono le deviaioni sandard delle 3 comoneni del veno a quoa camino ogni aricella verrà emessa nella osiione: x o o x c c c + α r cos sin ( πβ ) ( πβ ) α β sono numeri casuali (-) da una disribuione uniforme con velocià: ' u σ x g v ' ' σ g u g v g numeri casuali da disribuioni gaussiana con deviaioni sandard σ u σ v σ. + α r u v σ ( o o o ) u ( xo o o ) gv ( xo o o ) g

56 Sorgeni Linea Schemaia l emissione da srade. Modello geomerico della sorgene ( x ) + x x x x x x Se vengono emesse N aricelle esrao er ciascuna un numero casuale r a da una disribuione uniforme (-) ogni aricella avrà coordinae x o x + rα o + x ( x x ) x ( x x ) (si è immaginao che la sorgene linea sia al suolo). Se l è l emissione lineare (g/m/s) la massa di ogni aricella sarà o m k { l ( x x ) + ( ) } N

57 Sorgeni Area Se si emeono N aricelle nel ime-se e la sorgene ha emissione q(g/m /s) ad ogni aricella viene aribuia la massa di: m k ( q L L ) N x A x A L x θ L x La osiione di ogni singola aricella sarà (nell ioesi che l area sia al suolo) x o o ( η xa ) cosθ + ( ξ A ) sinθ ( ξ ) cosθ ( η x ) sinθ A η L r dove r α e r β sono due numeri casuali esrai da una disribuione uniforme (-) α ξ L r x β A

58 Leura informaioni generali Leura informaioni sorgeni Ciclo Princiale (Ogni ime-se) Acquisiione dai Meeo e Micromeeo Generaione Nuove Paricelle Archieura Generale di un LPM Ciclo sulle Paricelle reseni Sosameno delle aricelle e calcolo nuove velocià urbolene con equaione di Langevin Calcolo della Concenraione nel ime-se

59 3. Emissioni con buoanc Molo sesso le emissioni sorauo quelle delle ciminiere sono cosiuie da fumi: - caldi (es. 5 C) - emessi con velocià elevae (es. 5 m/s) Per modelliare ciò: all emissione ad ogni aricella viene aribuia una velocià ascensionale a ( ) che si andrà a sommare a quella revisa dall equaione di Langevin. a > la velocià ascensionale decrescerà simulando la erdia di galleggiameno dei fumi fino ad annullarsi. I deagli sono iuoso comlessi ed è qui referibile omeerli.

60 4. Alri meccanismi Nei modelli a aricelle sono sai inrodoi anche i fenomeni di deosiione secca ed umida. Ci sono esemi molo ineressani resenai nella Leeraura Scienifica di raameno della chimica dell amosfera in un coneso di LPM anche se il roblema non ha ancora avuo una soluione comleamene soddisfacene.

61 Realisicià di una simulaione LPM Non è mai agevole e semlice verificare l aendibilià della simulaione oeraa da un modello ed in queso il Modello Lagrangiano a Paricelle non fa ecceione. Queso è dovuo rincialmene alla enuria e overà della maggior are dei daa-se serimenali disonibili allo scoo. Si resena a iolo di esemio il confrono ra la concenraione inegraa lungo la direione rasversale oenua da un iico LPM (non dei iù moderni) ed i celebri ed affidabili risulai oenui da Willis e Deardorff in laboraorio ue in condiioni conveive e relaive a rilasci da una sorgene uno a varie quoe. Risulai molo buoni

62 Realisicià di una simulaione LPM c / i.7 Risulai da eserimeni Risulai LPM

63 Realisicià di una simulaione LPM c / i.5 Risulai da eserimeni Risulai LPM

64 Se: è noo il veno medio ed i rinciali indicaori della urbolena del PBL in ogni uno dello saio e ad ogni isane di ineresse (anche nelle siuaioni ad orografia comlessa) il modello a aricelle roduce una descriione realisica del fenomeno della disersione degli inquinani in aria. Queso è robabilmene l unico modello aualmene in grado di raresenare realisicamene la disersione in condiioni foremene conveive ed in rossimià delle emissioni. Presena ancora qualche difficolà l inserimeno nel modello di reaioni chimiche e foochimiche. Quella qui resenaa è solo un esosiione didaica molo semlificaa.

65 Modelli Lagrangiani a Paricelle SPRAY - Ariane FLEXPART GRAL -

66 Bibliografia Esseniale Modelli Lagrangiani a Paricelle R. Soi (3): La Micromeeorologia e la Disersione degli Inquinani in Aria (APAT- CTN-ACE) H.C. Rodean (996): Sochasic Lagrangian Models of Turbulen Diffusion American Meeorological Socie Arofondimeni D.T. Gillesie: Markov Processes. An inroducion for hsical scieniss Academic Press C.W. Gardiner. Handbook of Sochasic Mehods for hsiscs chemisr and he naural sciences - Sringer