LE AZIONI AERODINAMICHE CARATTERIZZANTI IL MOTO DEI PROIETTILI SENZA ALETTATURE

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1 . G. BUATO AZIOI AODIAICH CAATTIZZATI I OTO DI POITTII ZA ATTATU mgbstudio.net

2 PAGIA ITZIOAT VUOTA

3 IDIC GA 1. ITODUZIO 1 2. AZIO D AIA U U POITTI 4 3. CAATTIZZAZIO DA FOZA F CAATTIZZAZIO D OTO AOCIATO AD F CAATTIZZAZIO D OTO DI PI DAPIG AZIOI AODIAICH TACUAT COCUIOI 47 APPDIC 1 e principli tipologie stndrd di proiettili 54 APPDIC 2 APPDIC 3 BIBIOGAFIA GA Tbell di comprzione dei simboli utilizzti in blistic per rppresentre i coefficienti erodinmici 57 pecifiche dimensionli del proiettile d rtiglieri Tipo 1 d 105 mm 59

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5 OAIO In questo scritto, dopo vere inqudrto il problem generle del moto di un proiettile di mss costnte e richimtone le equzioni del moto, viene dt l crtterizzzione delle zioni erodinmiche genti su un proiettile privo di lettture. Per definire l forz erodinmic complessiv gente su un proiettile si è dottto un pproccio semiempirico bsto sull individuzione dei principli fenomeni fisici di quli tle forz tre origine. Cioè scomponendo il complesso problem dell interzione fr proiettile ed ri in lcuni problemi elementri ed identificndo l forz erodinmic complessiv con l somm delle zioni erodinmiche ssocite questi problemi. Ciò consente nche di chirire il significto fisico delle forze erodinmiche che in blistic si considerno convenzionlmente genti su un proiettile (Drg, ift, ) e che spesso sono introdotte in modo ssiomtico. Il momento erodinmico complessivo è definito in modo - nlogo bsndosi sull crtterizzzione dottt per l forz erodinmic complessiv. ell ultimo prgrfo è riportto un rissunto, sotto form di tbelle sinottiche e figure, di qunto spiegto nei prgrfi precedenti.

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7 1. ITODUZIO I proiettili sono solidi di rotzione di form erodinmic, eventulmente dotti di un letttur posteriore. seguente Figur 1.1 mostr schemticmente un tipico proiettile moderno di rtiglieri ed un tipico proiettile con letttur posteriore, dotto di propulsione utonom. Questo secondo cso non srà però trttto nel presente scritto. Figur 1.1 Come per ogni corpo solido, l posizione nello spzio di un proiettile risult individut qundo rispetto d un tern di riferimento ssegnt (fiss o in movimento con legge not rispetto d un riferimento inerzile), che indicheremo con {}, è not l posizione del suo centro di mss (che ind i- cheremo con G) e l su orientzione. Per individure nello spzio un proiettile occorrono quindi due terne di ssi coordinti: l tern {} ed un tern solidle l proiettile (e quindi mobile) che indicheremo con {} e che conviene scegliere con origine in G ed ssi coincidenti con gli ssi principli d inerzi del proiettile stesso. Così fcendo inftti, l posizione di G è fornit rispetto ll tern {} dl vettore: r = G O 1.1 dove con O si è indict l origine di {}, mentre l orientzione del proiettile è fornit di tre ngoli che individuno l orientzione dell tern {} rispetto ll tern {}. Il moto del proiettile è completmente individuto, come quello di un qulsisi corpo solido, dll conoscenz, rispetto d un sistem di riferimento inerzile {}, dell velocità del suo centro di mss G (che indicheremo con v) e dell su velocità ngolre (che indicheremo con w ). Inftti, poiché il moto di {} si suppone conosciuto rispetto d {}, un volt noto il vettore v si può ottenere l velocità di G rispetto d {} (che indicheremo con v) e quindi l conoscenz in ogni istnte del vettore v (derivt rispetto l tempo del vettore r) mentre noto il vettore w che crtterizz il moto rottorio di {} rispetto d {}, si può ottenere l conoscenz in ogni istnte dell orientzione di {} rispetto d {} e di conseguenz l orientzione di {} rispetto d {}. I vettori v ed w (di significto fisico ben preciso) si ottengono integrndo le cosiddette equzioni crdinli del moto, le quli possono essere scritte reltivmente qulsisi sistem di riferimento, cioè rppresentndo i vettori v ed w rispetto d un tern rbitrri. Tli equzioni legno in modo differenzile l quntità di moto Q ed il momento ngolre K del proiettile rispetto {} (che sono rispettivmente un funzione di v ed un funzione di w ) lle zioni esterne genti sul proiettile stesso. el sistem di riferimento {} le e- quzioni crdinli del moto hnno l form seguente: 1

8 dq = F est 1.2 dt dk = est 1.3 dt dove F est ed est sono l forz totle ed il momento totle esterni genti sul proiettile. i suppone che K ed est sino clcolti utilizzno come centro di riduzione l origine di {} o il bricentro G del proiettile. pesso tuttvi è più comodo scrivere le equzioni crdinli del moto reltivmente d un sistem di riferimento diverso d {} e non necessrimente il medesimo per entrmbe. Ciò che cont inftti è che le equzioni crdinli del moto formino, eventulmente ssieme d opportune equzioni usilirie derivnti dll utilizzo di sistemi di riferimento diversi d {}, un sistem differenzile chiuso. In lcuni csi inoltre è opportuno utilizzre non l quntità di moto e/o il momento ngolre del proiettile rispetto d {}, cioè i vettori Q e K, m l quntità di moto e/o il momento ngolre del proiettile rispetto l sistem di riferimento utilizzto per scrivere le equzioni crdinli del moto, cioè i vettori ottenibili d Q e K vvlendosi dell conoscenz del moto del sistem utilizzto rispetto l sistem {}. chiro che in tutte queste situzioni le equzioni crdinli del moto ssumono un form differente d quell dt dll 1.2 ed 1.3. In blistic per determinre il moto di un proiettile si segue proprio un pproccio ibrido del tipo sopr ccennto. Il sistem di riferimento {} rispetto l qule si descrive il moto del centro di mss del proiettile è ssunto solidle ll Terr, e quindi mobile di moto conosciuto, con origine nel punto di spro. Come sistem di riferimento {} si ssume poi quello formto dgli ssi principli d inerzi del proiettile. i introduce infine un sistem di riferimento usilirio { 0}, inerzile e quindi fisso, coincidente con {} ll istnte inizile dello spro. prim equzione crdinle del moto viene scritt reltivmente d {} ed utilizzndo proprio il vettore quntità di moto del proiettile rispetto questo sistem di riferimento (vettore che indicheremo con Q). second equzione crdinle del moto viene scritt invece reltivmente d { 0}, utilizzndo il vettore momento ngolre del proiettile rispetto d { 0} stesso (cioè il vettore K ); come centro di riduzione dei momenti si ssume il centro di mss del proiettile, cioè il punto G. Con le ssunzioni ftte le equzioni crdinli del moto del proiettile ssumono llor l form seguente: d v dt 1 = 2 WT v WT ( W T r) + Fest 1.4 m dk = est 1.5 dt dove W T è l velocità di rotzione ssile dell Terr (suppost come è ovvio costnte), ed m è l mss del proiettile. Per mggiori dettgli su qunto or esposto si ved [1], [2], [3]. e zioni cui è soggetto un proiettile in volo sono l forz che l Terr esercit su di esso e le forze ed i momenti dovuti ll interzione con l ri. Quindi in generle l forz complessiv F est ed il momento complessivo est che giscono su un proiettile in volo vrnno l form seguente (ssumendo come centro di riduzione dei momenti il punto G): 2

9 Fest = FT + F 1.6 dove: = (C G) F est F est F T è l forz dovut ll ttrzione dell Terr, F è l forz dovut ll interzione con l ri, è il momento nturle dovuto ll interzione con l ri (momento di pin Dmping), C F è il punto di ppliczione dell forz F est. Il punto C F di ppliczione dell forz F est è determinto dll conoscenz dei punti di ppliczione delle forze F T ed F. forz F T è pplict l bricentro G del proiettile. forz F invece risult pplict in un punto C del proiettile che dipende nche dll ssetto di volo del proiettile stesso. In prtic quindi l interzione del proiettile con l ri risult crtterizzt d due grndezze: il vettore F ed il punto di ppliczione di questo vettore. Tenendo conto di qunto or detto, l 1.7 si può llor riscrivere nell form seguente: = (C G) F est dove C, F ed si devono considerre funzioni note dei prmetri che crtterizzno l interzione del proiettile con l ri. Poiché è difficile ottenere un crtterizzzione dell funzione C, è uso considerre l forz F pplict l bricentro G del proiettile ed introdurre come zione fisic sul proiettile il corrispondente momento di trsporto: = (C G) F 1.9 Con tle ccorgimento l 1.7 fornisce llor: = est e quindi, tenendo conto nche dell 1.6, le equzioni crdinli del moto 1.4 ed 1.5 ssumono l form seguente: d v 1 = 2 WT v WT ( W T r) + ( FT + F) 1.11 dt m dk = dt dove F T e un funzione not dei prmetri che crtterizzno l ttrzione terrestre mentre F, ed sono funzioni note dei prmetri che crtterizzno l interzione del proiettile con l ri. isult che per le forze F T ed F e per i momenti 3 ed è possibile ricondursi d un espres-

10 sione del tipo: F F 1.13 (0) T = T + termini trscurbili F F 1.14 (0) = + termini trscurbili 1.15 (0) = + termini trscurbili 1.16 (0) = + termini trscurbili ordine di grndezz dei termini trscurbili stbilisce, unitmente ll ordine di grndezz dei termini che compiono nell 1.11 per l non inerzilità del riferimento utilizzto, il grdo di pprossimzione crtteristico di un prticolre modello blistico e l tempo stesso ne definisce il cmpo di vlidità. Così, d esempio, il cosiddetto modello blistico eulerino rientr come cso prticolre del modello stbilito dlle equzioni 1.11 ed 1.12 sotto le seguenti ipotesi: (1) Trscur - bilità degli effetti legti ll non inerzilità del sistem di riferimento dottto per descrivere il moto del centro di mss del proiettile, (2) Trscurbilità dei momenti ed, (3) Indipendenz dell forz F dll orientzione e dll velocità di rotzione del proiettile. Chirmente, sotto queste ipotesi il proiettile dl punto di vist dinmico risult ssimilto d un punto mterile e come tle quindi viene identificto. Per mggiori dettgli su qunto or esposto si ved [3]. In questo scritto crtterizzeremo l forz F ed i momenti ed proprietà. on effettueremo invece l determinzione esplicit dell forz e ne studieremo le principli F e dei momenti ed. Questo inftti è un tipico problem di erodinmic che present nche notevoli difficoltà riso- lutive. Un pproccio semiempirico questo problem di fondmentle importnz in blistic, è dto dl cosiddetto component buildup method e viene ccennto in [4]. Per ltri dettgli su questo metodo sviluppto prtire dgli nni 50, si rimnd nche [5], [6] ed ll libreri on-line del ACA ( Un pproccio più rigoroso e preciso ll determinzione dell forz F e dei momenti ed, nto con lo sviluppo dell informtic, è fornito invece d tecniche di clcolo numerico note come computtionl fluid dynmic, implementte in ppositi progrmmi detti CFD. uso di questi progrmmi richiede però di norm delle conoscenze bbstnz pprofondite di erodinmic e clcolo numerico. Per l determinzione dell forz F T si ved [7]. 2. AZIO D AIA U U POITTI I VOO I proiettili, come si è detto, sono solidi di rotzione di form erodinmic. In essi si possono fondmentlmente individure tre componenti: il fondello, tipicmente un corto tronco di cono, più rrmente un cono, che tuttvi può nche mncre (si prl llor di proiettili fondo pitto); il corpo, di form cilindric, ed il puntle, tipicmente un ogiv tngente o secnte l corpo, con terminzione punt, smusst o tronc. (1) Il rpporto fr le lunghezze di questi componenti ed il clibro del proiettile può essere qunto mi vrio. seguente Figur 1.1 mostr schemticmente un tipico proiettile di rtiglieri con fondello tronco conico e puntle ogivle secnte con terminzione punt. 1) I proiettili reli presentno lcune volte degli nelli ttorno l corpo e in prossimità del fondello l fine di ottimizzrne il moto ll interno dell cnn. presenz di tli sporgenze influenz il vlore delle zioni erodinmiche m non influisce sull crtterizzzione di esse poiché non modific l simmetri del proiettile. 4

11 Figur 1.1 ri è un fluido viscoso e compressibile. Qundo un proiettile l ttrvers ess quindi esercit sul proiettile un zione l cui origine può ricondursi fenomeni viscosi e d un distribuzione di pressione non uniforme che si gener ttorno l proiettile in volo. Queste zioni equivlgono d un forz F pplict in un opportuno punto C dell sse del proiettile detto centro delle forze erodin- miche e d un momento l cui direzione coincide con quell dell sse del proiettile. forz F prende il nome di risultnte delle zioni erodinmiche, mentre il momento è solo un componente del momento complessivo est che gisce sul proiettile cus dell interzione con l ri. i h inftti, ssumendo il bricentro del proiettile come centro di riduzione dei momenti: = (C G) F + A proposito dell 2.1, è d notre che l posizione di C sull sse del proiettile dipende dll form ed nche dll ssetto di volo del proiettile stesso. su distnz d G dipende poi nche dll loclizzzione di G, cioè dll distribuzione delle msse nel proiettile ( prità di form). individuzione del punto C è quindi qunto mi compless e per tli rgioni è uso non definire il momento per mezzo dell 2.1 m in modo diretto nel senso che vedremo nel Prgrfo 4. Come si è detto, per descrivere il moto del centro di mss di un proiettile si utilizz un tern ortogonle solidle d un punto dell superficie terrestre ed vente orientzione fiss rispetto ll Terr. Indichimo con { P, x, y, z} quest tern ortogonle ed ssumimo che l sse z coincid con l normle estern ll superficie terrestre in P. Indichimo poi con {P, x, y, z } l tern inerzile coincidente con { P, x, y, z} ll istnte dello spro, rispetto ll qule viene descritto il moto di rotzione del proiettile ttorno l suo centro di mss. ino infine v l velocità del centro di mss del proiettile rispetto { P, x, y, z}, w l velocità ngolre del proiettile rispetto {P, x, y, z } e w il cmpo di velocità dell ri rispetto { P, x, y, z}. olitmente si ssume w = 0 o l più che w si un funzione di z. In ogni cso comunque si ritiene che il cmpo w si irrotzionle e piccolo rispetto v. Chirmente, se w = 0 il vettore v rppresent nche l velocità del centro di mss del proiettile rispetto ll ri (nel sistem di riferimento { P, x, y, z} ) ed il vettore w rppresent nche l velocità ngolre del proiettile rispetto ll ri (nel sistem di riferimento {P, x, y, z }). e invece il cmpo di velocità w è non nullo, llor l velocità reltiv del centro di mss del proiettile rispetto ll ri è v = v w (nel sistem di riferimento { P, x, y, z} ) mentre l velocità ngolre reltiv del proiettile rispetto ll ri è ncor w (nel sistem di riferimento {P, x, y, z }), in qunto per ipotesi rot w =

12 upporre w = 0 può sembrre un ipotesi rtificios, m in reltà è spesso ccettbile nche perché solitmente si evit di sprre in condizioni di ri turbolent. el seguito, per semplicità supporremo sempre che si w = 0. Ciò inftti non è limittivo in qunto il cso w 0 si ottiene d quello w = 0 eseguendo l sostituzione formle v v = v w. i x l sse del proiettile ed y, z un coppi di ssi fr loro ortogonli pssnti per il suo centro di mss G ed ortogonli ll sse x. chiro che per un proiettile senz lettture x, y, z formno sempre un tern di ssi principli d inerzi del proiettile. In Figur 2.2 è mostrto l ssetto normle di volo di un proiettile del tipo d noi considerto (cioè senz lettture). sse del proiettile h costntemente un piccolo sfsmento di ngolo (vribile) rispetto ll direzione dell velocità v ed il vettore w è nch esso costntemente vicino ll sse del proiettile; ciò dipende dl ftto che d un proiettile senz lettture per rgioni di stbilità è impost un rotzione orri ttorno ll sse x. Il centro delle forze erodinmiche C si trov costntemente dvnti G, nche se l su distnz d G dipende dll ssetto di volo del proiettile. Indichimo con x ˆ, y ˆ, z ˆ i versori degli ssi Figur 2.2 x, y, z ( xˆ diretto verso l punt del proiettile) e con Σ x il pino ortogonle x ˆ, cioè il pino individuto di versori y ˆ e z ˆ. Indichimo quindi con ˆv il versore di v e con Σ v il pino ortogonle ˆv. esperienz mostr che se si mntiene sempre molto piccolo (come deve essere), llor l forz F h direzione costntemente vicin quell dell velocità v, m verso opposto d ess. Ciò port scrivere: F = vˆ + f 2.2 dove è un quntità positiv ed f è l proiezione di vrà, in generle: F sul pino Σ v. Per qunto or detto, si - f << 2.3 6

13 mentre, per ovvie rgioni di simmetri, f = 0 se entrmbi i vettori v ed w gicciono sull sse del proiettile. Il momento nsce per il ftto che l proiettile, come si è detto, è impost un rotzione ttorno l proprio sse. sso inftti è l effetto dell resistenz oppost dll ri ll rotzione ssile, ed in ssenz di quest srebbe nullo. Poiché il senso di rotzione imposto i proiettili è quello orrio, possimo llor scrivere: dove = x ˆ 2.4 è un quntità positiv, null se w è ortogonle ll sse del proiettile. forz F ed il momento dipendono d numerosi fttori e, in line di principio, potrebbero essere clcolti determinndo, medinte le equzioni dell dinmic dei fluidi proprie del modello di ri prescelto, l distribuzione di pressione che si gener ttorno l proiettile in ssegnte condizioni di moto. vi più semplice e dirett per quntificre F ed è però quell sperimentle. A tle proposito risult llor opportuno osservre che F ed, essendo l effetto dell interzione fr il proiettile in moto e l ri, non possono che dipendere: dll form e dimensione del proiettile e dl mterile di cui è ftt l su superficie, dlle crtteristiche fisiche dell ri, dl moto del proiettile rispetto ll ri. evidente inoltre che l ccelerzione di grvità e l mss del proiettile non possono vere lcun influenz nel problem in esme. In relzione i tre fttori sopr precisti di quli deve dipendere l crtterizzzione dell forz F e del momento, occorre rilevre che: () form e l dimensione del proiettile possono essere crtterizzte d un unico prmetro dimensionle del proiettile stesso, d esempio, il clibro d. Inftti, l form del proiettile può sempre essere definit prtire d d nel modo schemticmente mostrto in Figur 2.4, dopo di che il vlore di d crtterizz l dimensione del proiettile. Figur 2.4 (b) e crtteristiche fisiche dell ri, essendo ess un fluido viscoso e compressibile, sono rppresentbili per mezzo dell densità ρ, dell viscosità cinemtic ν (che crtterizz l viscosità) e dell velocità del suono c (che crtterizz l compressibilità). 7

14 (c) Il moto del proiettile rispetto ll ri, per evidenti rgioni di simmetri, è completmente individuto di moduli dei vettori v = v w ed w, dgli ngoli che questi vettori formno con l sse del proiettile, e dll ngolo che formno tr loro le proiezioni di questi vettori sul pino Σ. x Poiché supponimo w = 0, per noi il moto del proiettile rispetto ll ri risult individuto di vettori v ed w, dgli ngoli che questi vettori formno con l sse x, e dll ngolo che formno tr loro le proiezioni di v ed w sul pino Σ. i v il modulo di v, ω il modulo di w, l ngolo fr v e x ), ed ε l ngolo fr w e l sse x. i h llo- l sse x (considerto positivo se diretto d v verso r, riferendo v ed w gli ssi x, y, z : x v = v cos xˆ + v ; w = ωcos ε xˆ + w 2.5 dove con v ed w si sono rppresentte rispettivmente l proiezione di v ed w sul pino Σ x. e v ed w, possimo concludere che il moto del pro- perciò indichimo con α l ngolo fr i vettori iettile rispetto ll ri è individuto di vlori di: v, ω,, ε, α 2.6 pesso tuttvi è utilizzto un ltro insieme di prmetri. i Ω l velocità di rotzione del proiettile ttorno l proprio sse (impost, come si è detto, per rgioni di stbilità) ed indichimo con ω il modulo di w. Allor, essendo: Ω = ωcosε ; ω = ωsin ε 2.7 è evidente che in luogo dei cinque prmetri indicti nell 2.6 si potrnno usre i seguenti: v, Ω, ω,, α 2.8 Questi sono i prmetri che noi nel seguito dotteremo per crtterizzre il moto del proiettile rispetto ll ri. Figur 2.5 mostr schemticmente qunto or esposto. Figur 2.5 8

15 i noti che con l utilizzo dei prmetri indicti nell 2.8 il pino individuto dl vettore v e dll sse x ssume un ruolo di riferimento. el seguito tle pino srà indicto con Σ. In forz di qunto precede, possimo sserire che l proiezione dell forz F lungo un qulsisi direzione di versore xˆ ed il momento, devono essere un funzione delle seguenti nove vribili: d ; ρ, ν, c ; v, Ω, ω,, α ; deve essere cioè: F xˆ = ( d, ρν,, cv,, Ωω,,, α) 2.9 ξ = ( d, ρν,, cv,, Ωω,,, α) 2.10 Chirmente, le relzioni or scritte sono purmente formli in qunto esse devono risultre dimensionlmente omogenee. Per fre ciò vvlimoci llor dell Anlisi Dimensionle. i h: [ ˆ ] T 2 F x = ; [ ] T 2 2 = 2.11 mentre le dimensioni delle grndezze fisiche d cui F ˆ x ed devono dipendere sono le seguenti ( ed α sono numeri puri): 3 [ d ] = ; [ ρ ] = ; [ 1 2 ν ] = T ; [ 1 c ] = T ; [ 1 v ] = T ; [ 1 Ω ] = T ; [ ω ] T 1 = 2.12 Usimo come grndezze principli ρ, d e v. Allor le grndezze secondrie sono F ˆ x,, ν, c, Ω e ω ed i numeri puri d esse ssociti risultno: Π = F xˆ F ˆ 2 2 x ρ d v = ; ρ d v ; Π 3 2 ν Π ν = ; vd Π = c c v ; Ω d ω d Π Ω = ; Π ω = 2.13 v v e segue che le espressioni tte rppresentre le grndezze F ˆ x ed devono essere necessrimente del tipo seguente (ricordndo che ed α sono numeri puri): ˆ 2 2 ρd v (,,,,, ) ξ Πν Πc ΠΩ Πω α F x = dv ν c Ω ω = ρ ( Π, Π, Π, Π, α, ) 2.15 dove ξ è un funzione l cui espressione dipende dll form del proiettile, dl mterile costituente l su superficie, dll posizione del suo centro di mss G e dll direzione xˆ considert, mentre è un funzione, necessrimente positiv, l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superficie; per qunto detto proposito delle 2.4, deve essere = 0 se Π Ω = 0. i noti che l espressione dell funzione ξ deve dipendere d G in qunto prità di v, Ω, ω, ed α, due proiettili di medesim form m divers posizione del centro di mss intergiscono in modo differente con l ri circostnte. icordimo inftti che l velocità v P di un punto qulsisi P dell superficie del proiettile si ottiene dll conoscenz di v ed w per mezzo dell seguente relzione: 9

16 vp = v+ w (P G) 2.16 Dunque, prità di v ed w, l velocità v P che crtterizz l interzione del proiettile con l ri in P, dipende dll posizione di G. seguente Figur 2.6 schemtizz qunto or detto nel pino ortogonle l vettore w. Figur 2.6 Poiché Π ν e Π c sono rispettivmente il reciproco del numero di ynolds e ed il reciproco del numero di ch, le 2.14 e 2.15 possono nche riscriversi nel modo seguente (dove si è lscito inlterto il simbolo che rppresent l funzione e per uniformrsi lle convenzioni si è invertito l ordine delle vribili Π e Π ): ν c ˆ 2 2 ρdv ξ(, e, ΠΩ, Πω, α, ) F x = dv e Ω ω = ρ (,,Π, Π, α, ) 2.18 e espressioni or ottenute definiscono completmente l form generle dell forz F e del momento. Per l 2.17 è chiro inftti che dovrà essere: F = ρ F (,, Π, Π, α, ) d v e Ω ω mentre, vvlendoci dell 2.18, dll 2.4 si ottiene: (,,,, ) x = ρ dv ˆ e,πω Πω α elle 2.19, F è un funzione vettorile l cui espressione dipende dll form del proiettile, dl mterile costituente l su superficie e dll posizione di G, mentre nell 2.20 è un funzione positiv l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superfi- cie. Deve essere = 0 se Π = 0. Ω ulle proprietà delle funzioni F e null può dirsi in generle, occorre però rilevre che se v = 0 l forz F non risult esttmente null qulor si ΠΩΠω 0. Ciò mostr che deve essere: F = ρd v F (,, Π, Π, α, ) + ρd Ωω F (,, Π, Π, α, ) (0) 4 (1) e Ω ω e Ω ω 10

17 dove (0) F e Π Π = mentre (0) F 0 se Ω ω 0 (1) F 0 se v = 0. esperienz mostr poi che le funzioni (1) F non devono mi nnullrsi nell origine. Occorre rilevre nche che non può nnul- v =. Dunque, tenendo presente qunto precedentemente detto circ l funzione, pos- lrsi se 0 simo concludere che deve essere: (,,,, ) = ρ d Ω ˆ e,πω Πω α x dove è un funzione positiv, non null per,, e,πω Πω, α=, 0. d rilevre però che spesso nell lettertur specilizzt per definire non si us l form 2.22 m un espressione dell form seguente: 4 = ρd vω ˆ e,πω Πω α x (,,,, ) dove è un funzione negtiv. Ciò inftti semplific le equzioni del moto e non cre problemi in qunto in blistic non si consider mi il cso v = CAATTIZZAZIO DA FOZA F forz F può chirmente essere ottenut clcolndone per vi numeric, medinte ppositi softwre, l proiezione lungo tre ssi ortogonli qulsisi. Questo modo di procedere non può tuttvi fornire un crtterizzzione dell forz F che consent di definire dei modelli blistici sufficientemente generli. sso inoltre non consente neppure di stbilire quli eventuli semplificzioni si possno in generle dottre senz commettere errori grossolni. Per crtterizzre l forz F ed eseguirne un nlisi si dott llor un pproccio semiempirico bsto sull individuzione dei principli fenomeni fisici di quli F tre origine. In prtic, il complesso problem dell interzione fr proiettile ed ri viene scomposto in lcuni problemi elementri e l forz F viene identifict con l somm delle zioni erodinmiche ssocite questi problemi. Concretmente, ssumendo F rppresentt dll 2.21, si individuno cinque componenti fisiche principli, ttrverso le quli esprimere l forz F. sse sono le seguenti: Drg (resistenz erodinmic) ift (spint erodinmic) Pitch Dmping (forz di smorzmento del beccheggio) bndmento terle (forz principle dovut ll effetto gnus) ω bndmento Trsversle (forz secondri dovut ll effetto gnus) Con l impostzione dottt si è quindi condotti d ssumere: F = ω on tutte le forze considerte hnno però l stess rilevnz, lcune inftti possono essere trscurte o producono solo effetti perturbtivi. Anlizzimo or più in dettglio le forze testé introdotte in modo nche d mostrrne l origine fisic. 11

18 (1) Drg forz di Drg è l componente principle dell forz erodinmic F e non può mi essere omess meno che il moto del proiettile non vveng prticmente in ssenz di ri (come quote elevtissime per le quli è lecito considerre F = 0 ). ss crtterizz l resistenz dell ri dovut ll pressione e ll viscosità che ostcol l vnzmento trsltorio del proiettile, supposto rotnte ttorno l proprio sse (vente orientzione fiss). (2) ss quindi non rppresent l resistenz effettiv oppost dll ri, m solo l su componente principle. on viene inftti tenuto conto dell rotzione trsversle del proiettile rppresentt dl vettore w. Chirmente, l forz deve essere prevlentemente un funzione di v e deve nnullrsi se v = 0. ss inoltre è un forz frennte del moto del centro di mss per cui l su orientzione deve essere in ogni istnte oppost quell di ˆv. icordndo l espressione generle che secondo il modello d interzione ri-proiettile d noi dottto deve vere un forz erodinmic, si ssume llor: = ρd v ΠΩ v (,,, ) ˆ e dove è un funzione positiv l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superficie (è chiro inftti, per l 2.16, che non può dipendere dll posizione del centro di mss). Tle funzione prende il nome di coefficiente di drg. esperienz mostr che l forz risult pplict in un punto C dell sse del proiettile, l cui distnz dll estremità nteriore del proiettile indicheremo con l e l cui ordint x indicheremo con x. Il vlore di l dipende dll form del proiettile e dl suo ssetto di volo. Per i proiettili del tipo d noi considerto (senz lettture) risult comunque che il punto C si colloc sempre dvnti G, si h cioè x > 0. Chirmente, poiché C si trov sull sse del proiettile, l forz si può pensre pprtenente l pino formto dll sse x e dl vettore v, cioè l pino Σ. In Figur 3.1 è illustrto qunto or detto proprio reltivmente tele pino. ebbene in line di principio Figur 3.1 che tle funzione dipende prticmente solo d, debb essere un funzione di,, Π,, l esperienz mostr e Ω e. In blistic inoltre nche l dipendenz e 2) Per definizione quindi è l forz che girebbe sul proiettile se questo, rotnte con orientzione fiss ttorno l proprio sse ncorto d un bnco di prov in glleri del vento, venisse investito, con uno sfsmento rispetto l suo sse, d un corrente d ri uniforme di velocità v. 12

19 dl numero di eynolds si può prticmente sempre trscurre in qunto per i vlori ssunti no r- mlmente d e nel cso dei proiettili, l funzione risult di ftto indipendente d quest vribile. elle ppliczioni blistiche si può quindi in generle ssumere: = (, ) 3.3 Chirmente, (, ) deve essere un funzione positiv. ss inoltre deve essere mnifestmente un funzione crescente di nell intervllo [0, π /2[. esperienz mostr che un soddisfcente pprossimzione di si ottiene nell form seguente: = ( ) + ( )sin dove ( ), ( ) sono entrmbe funzioni positive. Poiché, per evidenti rgioni, l ngolo deve mntenersi costntemente piccolo, nei modelli blistici più semplificti è lecito trscurre l dipendenz di d e quindi ssumere: (3) = 0 ( ) 3.5 funzione 0 ( ) prende il nome di coefficiente di drg per ngolo di ttcco nullo ed in numerose pubbliczioni specilizzte se ne possono trovre tbulzioni o formule d interpolzione, reltive diverse tipologie di proiettile. In Figur 3.2 è mostrto l ndmento dell funzione 0 ( ) per lcune tipologie di proiettile stndrd. (4) In Figur 3.3 e Figur 3.4 è riportto invece il digrmm di 0 ( ) ed il digrmm di 1 ( ) per il proiettile d rtiglieri Tipo 1 d 105 mm. sched delle crtteristiche erodinmiche di questo proiettile è riportt in Appendice 3. Figur 3.2 3) Quest perltro è necessrimente l scelt obbligt qulor il proiettile si identificto con un punto mterile (come nel modello blistico eulerino). 4) Per mggiori dettgli sui tipi di proiettile indicti si ved Appendice 1. 13

20 Figur 3.3 Figur 3.4 Concludimo l rgomento osservndo che in lettertur col nome coefficiente di drg viene spesso indict non l funzione ssocit d per mezzo dell 3.1, m un funzione d ess proporzionle. questo d esempio il cso in cui in luogo dell 3.1 si ssum per l seguente espressione: 1 2 = ρ Av C (,,, ) ˆ D e ΠΩ v dove A è l re dell sezione frontle del proiettile: A π 2 = d i h llor mnifestmente: C D 8 = 3.8 π 14

21 Per mggiori dettgli sui simboli utilizzti in blistic per rppresentre i coefficienti erodinmici si ved Appendice 2. Osservimo infine che lcune volte nelle pubbliczioni specilizzte non vengono riportti i vlori del coefficiente di drg m quelli di grndezze dimensionli d esso correlbili, come d esempio l ritrdzione. In questi csi può llor cpitre che i vlori riportti sino e- spressi in unità nglosssoni invece che metrico-decimli. (2) ift forz di ift è dopo il Drg l più rilevnte componente dell forz erodinmic F. ss crtterizz l zione erodinmic dovut ll effetto Bernulli in condizioni di vnzmento trsltorio e sol rotzione ssile, cioè nelle stesse condizioni rispetto lle quli è definito il Drg. Il ift quindi non rppresent l zione totle ssocit ll effetto Bernulli m solo l su componente principle. on viene inftti tenuto conto dell rotzione trsversle del proiettile rppresentt dl ve t- tore w. icordimo che l effetto Bernulli si verific qundo sull superficie di un corpo investito d un corrente fluid, l velocità del fluido h un distribuzione non simmetric. In queste cond i- zioni inftti, per il teorem di Bernulli, (5) sul corpo viene crersi un distribuzione di pressioni nch ess non simmetric, l cui risultnte è un forz gente sul corpo. zione di quest forz è ppunto l effetto Bernulli. el cso dei proiettili senz lettture (che sono solidi di rotzione) l effetto Bernulli può ovvimente verificrsi solo se oltre d essere v 0 è nche 0. Per rgioni di simmetri poi l forz risultnte d esso ssocit deve gicere nel pino formto dll sse x e dl vettore v (pino Σ ) e deve essere ortogonle v. ss inoltre deve sempre essere orientt verso l superficie del proiettile non direttmente investit dll ri (per cui risult un forz di sostentmento se Σ è verticle e > 0, cioè se l sse del proiettile si trov sopr l direzione dell velocità del centro di mss). icordndo l espressione generle che secondo il modello d interzione ri-proiettile d noi dottto deve vere un forz erodinmic, si è quindi condotti d ssumere: = ρ Π e ˆ d v sin (, e, Ω, ) dove: eˆ = ( vˆ xˆ) vˆ ( vˆ xˆ) vˆ 3.10 e è un funzione l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superficie (è chiro inftti, per l 2.16, che non può dipendere dll posizione del centro di mss). Tle funzione prende il nome di coefficiente di lift e deve essere positiv se < mentre deve essere null se c 15, dove c è un ngolo critico il cui vlore dipende d v e dll form del proiettile. Ciò si spieg col ftto che se l ngolo d ttcco super un certo vlore ssoluto, sull prte del proiettile non investit direttmente dl flusso d ri si h un distcco dell ven fluid e l effetto Bernulli scompre. esperienz mostr che l forz risult pplict nello stesso punto C in cui è pplict l forz di drg. In Figur 3.5 è illustrto nel pino Σ qunto or detto. ebbene in line di principio debb essere un funzione di,, Π,, dlle osservzioni sperimentli risult che tle funzione, l pri di, dipende prticmente solo d, e Ω e e. Inoltre 5) Precismente, il teorem di Bernulli stbilisce che l pressione sull superficie di un corpo immerso in un fluido in moto, risult minore in quelle regioni dell superficie del corpo dove l velocità del fluido è mggiore. c

22 nche per Figur 3.5 è di norm lecito trscurre l dipendenz d e, per cui si può in generle ssumere: = (, ) 3.11 Chirmente, (, ) deve essere un funzione positiv se < c e null se c. ss inoltre qundo <, deve essere mnifestmente un funzione crescente di. esperienz mostr che c un soddisfcente pprossimzione di si ottiene nell form seguente: = ( ) + ( )sin dove 0 1 ( ), ( ) sono entrmbe funzioni positive (si suppone ovvimente c < ). Poiché, per evidenti rgioni, l ngolo deve mntenersi costntemente piccolo e senz ltro minore dell ngolo critico c, nei modelli blistici più semplificti è lecito trscurre l dipendenz di d e quindi ssumere: = 0 ( ) 3.13 funzione 0 ( ) prende il nome di coefficiente linere di lift e nelle pubbliczioni specilizzte se ne possono trovre tbulzioni reltive diverse tipologie di proiettile. In Figur 3.6 e Figur 3.7 è riportto titolo d esempio il digrmm di 0 ( ) e quello di 1 ( ) per il proiettile d rtiglieri Tipo 1 d 105 mm (lo stesso proiettile l qule si riferiscono i digrmmi di Figur e Figur 3.4). Come si vede confrontndo i digrmmi di Figur 3.3 e Figur 3.6, è >. Tuttvi risult < in qunto in compre il fttore sin, che deve considerrsi piccolo ffinché si lecito, come si è supposto, rppresentre i coefficienti e per mezzo delle funzioni 0 e. condizione < è poi sempre verifict in prtic in qunto l ngolo è di norm sempre molto piccolo. i teng inoltre presente che se llor è = 0. isult quindi provto che rispetto l Drg, il ift è un componente secondri dell forz erodinmic F. c 0 16

23 Figur 3.6 Figur 3.7 Chirmente, poiché: ( vˆ xˆ) v ˆ = sin 3.14 l 3.9 può nche scriversi nel modo seguente: 2 2 = ρd v (,,, )( ˆ ˆ) ˆ e ΠΩ v x v 3.15 dove non compre esplicitmente il fttore sin. Tle fttore è comunque conglobto nel vettore ( vˆ xˆ) v ˆ il cui modulo è sin, come risult dll Concludimo rilevndo che in lettertur, come per il coefficiente di drg, col nome coefficiente di lift viene spesso indict non l funzione ssocit d per mezzo dell 3.9, m un funzione d ess proporzionle. questo d esempio il cso in cui in luogo dell 3.9 si ssum per l seguente espressione (reltiv ll stess convenzione dell 3.6): 17

24 1 2 = ρ Av sin C (,,, ) ˆ e ΠΩ e dove A è l re dell sezione frontle del proiettile: A π 2 = d i h llor mnifestmente: C 8 = 3.18 π OVAZIO Come si è visto il Drg ed il ift sono forze erodinmiche lle quli corrisponde un preciso significto fisico. In lcuni csi però risult conveniente non utilizzre direttmente tli forze m riferirsi ll proiezione dell loro somm lungo l sse del proiettile e lungo un sse questo ortogonle, pssnte per C e gicente nel pino Σ. i introducono così le seguenti due forze: X= [( + ) xˆ] x ˆ 3.19 = [( + ) nˆ] n ˆ 3.20 dove con n ˆ si è indicto il versore ottenuto ruotndo x ˆ nel pino positivo, cioè ponendo: Σ di 90 secondo il senso di nˆ = ( vˆ xˆ) xˆ ( vˆ xˆ) xˆ 3.21 forz X prende il nome di forz erodinmic ssile, mentre prende il nome di forz erodinmic normle. sse si devono considerre pplicte in C. uso ssumere: Xx ˆ ; 2 2 X =ρd v X 2 2 ˆ dvsin n =ρ 3.22 dove X e sono funzioni nloghe e che prendono rispettivmente il nome di coefficiente erodinmico ssile e coefficiente erodinmico normle. In Figur 3.8 è illustrto nel pino Σ qunto or esposto. Dlle 3.19 e 3.20 si ottiene, ponendo = v ˆ, = e : = sin X cos 3.23 = cos + X sin 3.24 e d queste relzioni si trggono immeditmente le seguenti formule che legno i coefficienti i coefficienti X e 2 X : ˆ e = sin cos 3.25 = cos X 18

25 Figur 3.8 i vede così che: 1 = ( ) 3.27 cos pesso in blistic per esprimere si utilizz proprio l relzione 3.27, in qunto il coefficiente è più fcile d determinre. i noti che se è piccolo, dlle 3.25 e 3.26 (o 3.27) risult con buon pprossimzione: = 3.28 X = , per l ipotesi con l qule è stt ottenut, consente di legre (3) Pitch Dmping Il Pitch Dmping è un componente in generle trscurbile dell forz erodinmic F che tuttvi è opportuno considerre per completezz e perché il momento che ne risult ssocito riveste un ruolo importnte per l stbilità del moto del proiettile. ss crtterizz il contributo portto l Drg ed l ift dll rotzione trsversle w. Tle rotzione, trscurt nell definizione di ed, produce inftti sull superficie del proiettile un distribuzione locle di velocità dell ri che v perturbre il cmpo di velocità dovuto ll vnzmento trsltorio ed ll rotzione ssile (l cui zione sul proiettile è rppresentt dl Drg e dl ift). Ciò provoc un distribuzione ggiuntiv non uniforme di pressione l cui risultnte è un forz gente sul proiettile, che, con l impostzione d noi dottt per crtterizzre F, è lecito considerre seprtmente d ed. Chirmente, per l 2.16, l distribuzione locle di velocità dell ri cust dll rotzione trsversle w dipende nche dll posizione del centro di mss G del proiettile. Anche l forz risult quindi dipendere, l contrrio di ed, dll posizione di G, cioè dll distribuzione intern delle msse del proiettile. Ovvimente, è non null solo se oltre d essere v 0 è nche ω 0. Inoltre, nel cso dei proiettili senz lettture (che sono solidi di rotzione), per rgioni di simmetri deve essere

26 ortogonle ll sse x e deve gicere sul pino pssnte per x ed ortogonle l vettore w (che definisce l sse d istntne rotzione trsversle). icordndo l espressione generle che secondo il modello d interzione ri-proiettile d noi dottto deve vere un forz erodinmic, si è quindi condotti d ssumere: dove: 3 = ρd vω (,,, ˆ e ΠΩ Πω, α, ) e 3.30 eˆ = w xˆ w xˆ 3.31 e è un funzione l cui espressione dipende dll form del proiettile, dl mterile costituente l su superficie e dll posizione di G (come si è voluto mettere in evidenz pponendo d ess l pice G ). ss prende il nome di coefficiente di pitch dmping e null può dirsi in generle circ il suo segno. sso inftti dipende fortemente dll tipologi del proiettile e dll posizione del suo centro di mss. Per tle rgione non è neppure possibile indicrne un digrmm tipo. Inoltre, stnte l scrs rilevnz prtic dell forz, nelle tvole che forniscono le crtteristiche erodinmiche dei proiettili, spesso di quest funzione non vengono riportte indiczioni. Anche per l posizione del punto di ppliczione dell forz, null può dirsi in generle. Tle punto, che indicheremo con C, gice inftti sull sse del proiettile m l su distnz l dll estremità nteriore del proiettile dipende fortemente dll form, dll ssetto di volo e dll posizione del centro di mss del proiettile stesso. In Figur 3.9 è illustrto qunto or detto nell ipotesi che si < 0 e C dvnti G (come solitmente ccde lmeno velocità supersoniche per l tipologi di proiettile indict in figur). Come si è detto, il momento ssocito ll forz riveste grnde importnz per l stbilità del moto del proiettile. conoscenz del segno di e l conoscenz dell colloczione del punto di ppliczione di srebbero quindi dti fondmentli se il momento ssocito d si dovesse ottenere nell form (C G). Poiché tuttvi, come vedremo, il momento ssocito d viene definito in modo differente (medinte rilievi sperimentli), questi dti non ssumono in prtic lcun rilevnz e pertnto non ci soffermeremo oltre su di essi. Osservimo però che l dipendenz di dll posizione del centro di mss del proiettile può essere rppresentt in modo esplicito, con evidente vntggio prtico. i dimostr inftti l seguente formul, che consente di esprimere il coefficiente di pitch dmping di un proiettile con centro di mss nel punto G, ttrverso il coefficiente di pitch dmping di un proiettile di identic form e centro di mss in un punto G, diverso d G: l l = 3.32 d (G) G G Ν dove con l G ed l G si è indict l distnz di G e di G dll estremità nteriore del proiettile, con d il clibro del proiettile e con il coefficiente erodinmico normle reltivo ll tipologi di proiettile considert (v. 3.22). formul 3.32 è importnte perché vvlendosi di ess è possibile ottenere il coefficiente di pitch dmping di tutti i proiettili di medesim form m differente posizione del centro di mss, qundo è noto il coefficiente di pitch dmping di un proiettile stndrd dell form consid e rt. Per mggiori dettgli su questo punto si rimnd [2] ed ll bibliogrfi ivi riportt (nel Cp. 2). 20

27 Figur 3.9 Chirmente, poiché: w xˆ =ω 3.33 l 3.30 può nche scriversi nel modo seguente: = ρ (,, Π, Π, α, ) w xˆ d v e Ω ω dove non compre esplicitmente il fttore ω. Tle fttore è comunque conglobto nel vettore w xˆ il cui modulo è ω, come risult dll Un ltr rppresentzione dell forz si ottiene osservndo che l derivt rispetto l tempo del versore x ˆ clcolt reltivmente l sistem di riferimento inerzile {P, x, y, z } (rispetto l qule è descritto il moto rottorio del proiettile), risult legt d w dll seguente relzione: d xˆ = w xˆ 3.35 dt Dunque l 3.34 si può nche scrivere così: 3 d xˆ = ρd v (, e, ΠΩ, Πω, α, ) 3.36 dt dove, ovvimente, l derivt del versore x ˆ si intende eseguit reltivmente l sistem di riferimento inerzile {P, x, y, z }. Concludimo rilevndo che in lettertur, come per il coefficiente di drg ed il coefficiente di lift, col nome coefficiente di pitch dmping viene spesso indict non l funzione ssocit d per mezzo dell 3.30, m un funzione d ess proporzionle. questo d esempio il cso in cui in 21

28 luogo dell 3.30 si ssum per l seguente espressione (reltiv ll stess convenzione dell 3.6 e 3.16): 1 = ρ Advω C (,,, e Π,, )ˆ ω Ω Πω αe dove A è l re dell sezione frontle del proiettile: A π 2 = d i h llor mnifestmente: 8 = 3.39 π C ω OVAZIO igurdo ll forz occorre fre un preciszione di crttere concettule. Oltre l meccnismo fisico che gener l forz esiste inftti un ltro meccnismo fisico, non contemplto nel modello d interzione ri-proiettile d noi dottto, che gener un forz che nel cso dei proiettili senz lettture gisce prticmente nell stess direzione di. Quest forz, che denoteremo con, nsce cus dell vrizione dell ngolo di ttcco e risult proporzionle ll velocità di vrizione di, cioè. ss è rppresentbile medinte l seguente relzione: 3 dv = ρ e ˆ 3.40 dove: dxˆ dvˆ dt dt eˆ = dxˆ dvˆ 3.41 dt dt e è un funzione l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superficie. ell 3.41 le derivte si intendono clcolte reltivmente l sistem di riferimento inerzile {P, x, y, z }. Il modello d interzione ri-proiettile che prevede l forz (e numerose ltre forze minori tutte mpimente trscurbili), si bs sull ipotesi che le zioni erodinmiche dipendno oltre che di prmetri del moto d noi considerti nche dlle loro derivte rispetto l tempo. Tutte le forze previste d questo modello che non sono previste dl modello d noi considerto sono, come si è detto, trscurbili. F tuttvi concettulmente eccezione l forz perché si somm d ed i riscontri sperimentli possono solo mostrre che è trscurbile l somm di tli forze. Per meglio crtterizzre, osservimo che l vrizione dell ngolo può dipendere d due fttori: l rotzione dell sse x dovut l vettore w e l vrizione di direzione di v, ssocit l moto del centro di mss del proiettile. Chirmente, per piccole vrizioni d x ˆ e d v ˆ dei versori x ˆ e ˆv nche l vrizione d dell ngolo è piccol e si può considerre dt dll differenz di 22

29 d x ˆ ed d v ˆ. est quindi rest giustificto il ftto che: dxˆ dvˆ = 3.42 dt dt Avvlendoci dell 3.42 scrivimo llor l 3.40 nel modo seguente: 3 dˆ dˆ ρdv x v = 3.43 dt dt relzione or ottenut consente, in virtù dell 3.36, di confrontre con l forz. Chirmente, l forz gisce prticmente nell stess direzione di se è costntemente: d x ˆ dˆ dˆ v x dt dt dt 3.44 quest situzione risult effettivmente verifict nel cso dei proiettili senz lettture, quindi possimo concludere che nei csi di nostro interesse, l zione complessiv sul proiettile nell dir e- zione del versore: eˆ = w xˆ w xˆ 3.45 risult l seguente: = ρdvω ( ) ˆ e d osservre però che nell ipotesi dell 3.44 l vrizione dell ngolo di ttcco è prodott u- nicmente dll vrizione di direzione dell sse del proiettile e quindi: = ω 3.47 e segue che l forz complessiv gente sul proiettile lungo l direzione e ˆ risult in prtic unicmente crtterizzt dl vettore w nell form 3.30, come previsto dl modello d interzione riproiettile d noi dottto. Ciò giustific pienmente l utilizzo dell 3.30 per definire l forz. inoltre d tenere presente che i vlori sperimentlmente ottenuti del coefficiente di pitch dmping d usrsi nell 3.30, forniscono in prtic l crtterizzzione estt di quest forz. (4) bndmento terle o bndmento terle è, come il Pitch Dmping, un componente in generle trscurbile dell forz erodinmic F m che è opportuno considerre per completezz e perché il momento che ne risult ssocito riveste un ruolo importnte per l stbilità del moto del proiettile. (6) ss c- 6) o bndmento terle che nel cso dei proiettili, come si è detto, è un forz in generle trscurbile, risult invece un delle forze erodinmiche più importnti qundo si consider il moto nell ri di sfere dotte di un rpido moto rottorio, come d esempio succede spesso con i plloni d clcio o le plle d tennis. Tle forz inftti è l cus 23

30 rtterizz l componente principle dell forz dovut l cosiddetto effetto gnus, cioè l forz che si gener su un corpo nimto d moto rottorio qundo il corpo è investito d un corrente d ri trsltori non costntemente llinet l suo sse d istntne rotzione. icordimo che effetto gnus è il risultto dell interzione viscos tr l ri e l superficie del corpo rotnte. Inftti qundo un corpo rotnte è investito d un corrente d ri trsltori, l rotzione del corpo provoc, per desione, l rotzione dell ri che si trov d immedito conttto con l su superficie e il moto circoltorio si propg, per effetto dell viscosità, tutt l ri vicin. corrente trsltori viene quindi trscint in rotzione e si produce un distribuzione di velocità non simmetric sull superficie del corpo. Per il teorem di Bernulli nche l pressione sull superficie del corpo è llor non simmetric e l su risultnte è un forz gente sul corpo. Chirmente, l forz complessiv che gisce su un proiettile dovut ll effetto gnus, F, dipende si d v e d w ed è non null solo se v w 0. Tuttvi nel cso dei proiettili senz lettture (che sono solidi di rotzione) tle forz, con l impostzione d noi dottt per crtterizzre F, si può sempre pensre ( Ω ) costituit d due componenti: un, principle F g, ssocit ll sol rotzione ssile, cioè supponendo null l rotzione trsversle e quindi ponendosi nelle medesime condizioni reltive ll definizione del Drg e del ift, ed un, secondri F, introdott per tenere conto dell ( Ω,ω ) rot- ( Ω ) zione trsversle w. o bndmento terle è proprio l forz F g. Ovvimente, è non null solo se oltre d essere v 0 è nche Ω 0 e 0. Per rgioni di simmetri poi tle forz deve essere ortogonle l pino formto dll sse x e dl vettore v (cioè l pino Σ ), ed il suo verso deve risultre opposto quello del vettore vˆ x ˆ. Ai proiettili inftti è impost un rotzione ssile in senso orrio e quindi orri è nche l rotzione dell ri dicente ll superficie del proiettile: qundo il cmpo circoltorio si somm quello trsltorio l distribuzione di velocità dell ri sull superficie del proiettile risult llor mggiore nell direzione oppost quell del vettore vˆ x ˆ. icordndo l espressione generle che secondo il modello d interzione riproiettile d noi dottto deve vere un forz erodinmic, in bse qunto precede si è quindi condotti d ssumere (in nlogi ll 3.2 e 3.9): = e ˆ ρdvω sin (, e, Π, ) Ω g g dove: eˆ = vˆ xˆ vˆ xˆ 3.49 e è un funzione l cui espressione dipende dll form del proiettile e dl mterile costituente l su superficie (è chiro inftti che, l pri di e, non può dipendere dll posizione del centro di mss). Tle funzione prende il nome di coefficiente di sbndmento lterle e per qunto si è detto sull orientzione di, risult negtiv. ss inoltre ssume di norm vlori piccoli. Tenendo conto che nell 3.48 compre nche il fttore sin, il cui vlore deve considerrsi sempre molto piccolo, risult quindi evidente come l forz si poss effettivmente di norm trscurre. esperienz mostr che l forz è pplict in un opportuno punto C dell sse del proiettile, l cui distnz dll estremità nteriore del proiettile indicheremo con l e l cui ordint x indiprinciple dell devizione lterle dell triettori cioè di quello che viene comunemente detto effetto. Per mggiori dettgli su questo punto si rimnd. G. Busto, Dinmic del Volo dei Plloni d Clcio, mgbstudio.net. 24

31 cheremo con x. Il vlore di l dipende dll form del proiettile e dl suo ssetto di volo. Per i proiettili del tipo d noi considerto (senz lettture) risult che il punto C si colloc, lmeno per le velocità supersoniche, dietro G, si h cioè, lmeno in cmpo supersonico, x < 0. In Figur 3.10 è illustrto qunto or detto proprio in quest situzione. d rilevre però che di norm per le tipologie di proiettile più comuni, in cmpo subsonico il punto C tende collocrsi nteriormente G. Figur 3.10 ell seguente Figur 3.11 è mostrto schemticmente il meccnismo che port ll formzione dell forz ed il motivo per il qule il suo verso è opposto quello del vettore vˆ x ˆ. Il cmpo di velocità dell ri sull superficie del proiettile risult inftti di mggiore intensità dove il flusso circoltorio si somm quello trsltorio, ed è quindi in quest regione dell superficie del proiettile che, per il teorem di Bernulli, l pressione risult minore. risultnte delle pressioni sul proiettile è dunque dirett verso di ess. Figur

32 ebbene in line di principio debb essere un funzione di,, Π,, dlle osservzioni e sperimentli risult che tle funzione per le velocità tipiche dei proiettili dipende prticmente solo d, e (mentre velocità molto bsse si h nche un dipendenz importnte d Π ). Tenendo conto che di norm risult nche lecito trscurre l dipendenz d e, si può quindi in generle ssumere: = (, ) 3.50 dove (, ) è un funzione negtiv. esperienz mostr che spesso un soddisfcente pprossimzione di in cmpo blistico si ottiene nell form seguente: = ( ) + ( )sin dove ( ), ( ) sono entrmbe funzioni negtive, dette rispettivmente coefficiente linere di sbndmento lterle e coefficiente cubico di sbndmento lterle. In lcuni csi inoltre è nche possibile considerre indipendente d è quindi ssumere = 0 ( ). on sempre però l e Ω dipendenz d può essere esplicitt nell form on lo è d esempio nel cso del proiettile d rtiglieri Tipo 1 d 105 mm (l qule si riferiscono i digrmmi di Figur 3.3, Figur 3.4, Figur 3.6 e Figur 3.7). A titolo d esempio, in Figur 3.12 è riportto, per due diversi vlori dell ngolo di ttcco, il grfico dell funzione reltiv proprio questo proiettile. Ω Chirmente, poiché: Figur 3.12 vˆ x ˆ = sin 3.52 l 3.48 può nche scriversi nel modo seguente: = (,,, ) vˆ x ˆ ρdvω e ΠΩ dove non compre esplicitmente il fttore sin. Tle fttore è comunque conglobto nel vettore 26